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Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Equações de retas e planos no espaço
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1
1. Considere o plano α definido pela equação . Qual das equações seguintes define um
plano paralelo a α?
(A) 052  yx (B)
2
3 y
x

 (C) 013  yx (D) 052  yx
2. O plano que passa em A(3 , 1, 0) e é paralelo aos vetores e pode ser definido
por:
(A) 1 zy (B) 12  zx (C) 222  zyx (D) 122  zyx
3. A figura ao lado representa uma pirâmide quadrangular regular.
A base da pirâmide tem centro O e está contida no plano xOy,
[BC] é paralelo a Ox e E é o ponto médio de [BC].
O plano VBC é definido por .
3.1. Determine as coordenadas de V, B e C.
3.2. Escreva equações cartesianas da reta perpendicular ao plano
VBC que passa em A.
4. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base
quadrada. O vértice V da pirâmide pertence ao semieixo positivo Oz.
A base da pirâmide está contida no plano xOy. A aresta [PQ] é paralela ao
eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas (2 , 2, 0).
4.1. Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual
32, mostre que o vértice V tem coordendadas (0, 0, 6).
4.2. Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equação .
4.3. Determine uma condição que defina a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao
plano QRV.
Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Equações de retas e planos no espaço
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2
5. O cubo da figura ao lado tem as faces paralelas aos planos
coordenados; .
5.1. Determine as coordenadas de H, E e N.
5.2. Escreva uma equação do plano HEN.
5.3. Determine um valor, aproximado ao grau, da amplitude
do ângulo AHB.
5.4. Escreva uma equação do plano mediador de [EN].
6. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.
 O vértice O é a origem do referencial.
 O vértice P pertence ao eixo Oz.
 O vértice R pertence ao eixo xOy.
 O vértice V tem coordenadas ;
Uma equação vetorial da reta que contém a altura
da pirâmide é:
6.1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação .
6.2. Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4 , 3, 5).
6.3. Determine o volume da pirâmide.

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  • 1. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Equações de retas e planos no espaço Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1 1. Considere o plano α definido pela equação . Qual das equações seguintes define um plano paralelo a α? (A) 052  yx (B) 2 3 y x   (C) 013  yx (D) 052  yx 2. O plano que passa em A(3 , 1, 0) e é paralelo aos vetores e pode ser definido por: (A) 1 zy (B) 12  zx (C) 222  zyx (D) 122  zyx 3. A figura ao lado representa uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide tem centro O e está contida no plano xOy, [BC] é paralelo a Ox e E é o ponto médio de [BC]. O plano VBC é definido por . 3.1. Determine as coordenadas de V, B e C. 3.2. Escreva equações cartesianas da reta perpendicular ao plano VBC que passa em A. 4. Considere, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada. O vértice V da pirâmide pertence ao semieixo positivo Oz. A base da pirâmide está contida no plano xOy. A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy. O ponto Q tem coordenadas (2 , 2, 0). 4.1. Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual 32, mostre que o vértice V tem coordendadas (0, 0, 6). 4.2. Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equação . 4.3. Determine uma condição que defina a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV.
  • 2. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano Tema: Equações de retas e planos no espaço Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2 5. O cubo da figura ao lado tem as faces paralelas aos planos coordenados; . 5.1. Determine as coordenadas de H, E e N. 5.2. Escreva uma equação do plano HEN. 5.3. Determine um valor, aproximado ao grau, da amplitude do ângulo AHB. 5.4. Escreva uma equação do plano mediador de [EN]. 6. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.  O vértice O é a origem do referencial.  O vértice P pertence ao eixo Oz.  O vértice R pertence ao eixo xOy.  O vértice V tem coordenadas ; Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é: 6.1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação . 6.2. Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4 , 3, 5). 6.3. Determine o volume da pirâmide.