Vetores

1. GEOMETRIA ANALÍTICA
VETORES NO ESPAÇO –
Tratamento Algébrico
• Prof.ª Ma. Índia Andréia Costa Siqueira
• india.siqueira@cnp.ifmt.edu.br

2. VETORES NO ESPAÇO
Vimos em Vetores no Plano que:
• A base canônica 𝑖, 𝑗 determina o sistema ortogonal xOy;
• Um ponto P(x,y) qualquer desse plano corresponde ao vetor 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Em Vetores no Espaço, de forma análoga, temos que:
• A base canônica 𝑖, 𝑗, 𝑘 determina o sistema ortogonal Oxyz (dois a dois ortogonais de
mesma origem);
• Temos três eixos cartesianos: o eixo Ox (das abcissas), Oy (das ordenadas) e Oz (das cotas)
• Um ponto P(x,y,z) qualquer desse plano corresponde ao vetor 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

3. x ortogonal a y;
y ortogonal a z;
x ortogonal a z;
Temos 3 planos a cada dupla de eixos;
Sistema cartesiano
ortogonal Oxyz
z
y
x
z
y
x
O
O
𝑦
𝑘
𝑖
1
1
1
z
y
x
O

4. Ponto P (x, y, z) no espaço
Vetor 𝑣 = 𝑂𝑃
Vetor 𝑣 = 𝑂𝑃 (diagonal do paralelepípedo de
arestas definidas pelos vetores 𝑥𝑖, y𝑗 e z𝑘
x
z
y
O
x
z
y
𝑘
𝑖
y𝑗
z
y
x
O
𝑗
x𝑖
z𝑘
𝑣
𝑃
x𝑖+y𝑗

5. O vetor 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 também pode ser expresso por: 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
Representação doVetor 𝑣
Exemplos:
2𝑖 − 3𝑗 + 𝑘 = (2, −3,1)
𝑖 − 𝑗 = (1, −1,0)
2𝑗 − 𝑘 = (0,2, −1)
4𝑘 = (0,0,4)
E os casos particulares de vetores unitários
𝑖 = (1,0,0)
𝑗 = (0,1,0)
𝑘 = (0,0,1)

6. Considere o paralelepípedo abaixo:
Exemplo
C
z
y
x
O
F
3
B
𝑃
E
2
A
D
4
𝑖
𝑘
𝑗
Um ponto (x, y, z) está no:
• Eixo dos x quando y = 0 e z = 0.
Ponto A(2,0,0);
• Eixo dos y quando x = 0 e z = 0.
Ponto C(0,4,0);
• Eixo dos z quando x = 0 e y = 0.
Ponto E(0,0,3);
• Plano xy quando z = 0.
Ponto B(2,4,0);
• Plano xz quando y = 0.
Ponto F(2,0,3);
• Plano yz quando x = 0.
Ponto D(0,4,3);
O ponto B é a projeção
de P no plano xy
O ponto D e F são
projeções de P nos
planos yz e xz,
repectivamente.
Todos os pontos da face PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão
acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3)
Todos os pontos da face PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à
direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo
(x, 4, z)

7. Observe que:
• Os pontos do eixo dos x são escritos da forma (x, 0, 0);
• O conjunto de pontos do plano xy são escritos da forma (x, y, 0);
Pontos pertencentes ao
eixo ou plano coordenado
x
z
y
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑦 = 0
𝑧 = 0
𝑥 = 0
𝑧 = 0
(0, 𝑦, 0)
(𝑥, 0,0)
(0,0, 𝑧)
(0, 𝑦, 𝑧)
(𝑥, 0, 𝑧)
(𝑥, 𝑦, 0)
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑧 = 0

8. Exemplo:
Marcar o ponto
𝐴(3, −2, 4)
Marcando um ponto no
espaço
z
y
x
−2
3
4
𝐴
𝐴′
1º Marcamos o ponto A’ no plano x,y
2º Deslocamos o ponto A’ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades
para cima.
3º Marcamos o ponto A.

9. Octantes
Num plano temos 4 quadrantes. Já no espaço, é dividido em octantes, que tem seus sinais
correspondentes em ordem numérica.

10. Verificar em que octante se localiza cada ponto abaixo:
a) 𝐴(−3, 5, −1)
b) B(−3, −5, −1)
c) C(3, 5, −1)
d) D(−3, 5, 1)
e) E(3, −5, 1)
f) F(3, −5, −1)
g) G(−3, −5, 1)
h) H(3, 5, 1)
Exercícios
6º octante
7º octante
5º octante
2º octante
4º octante
8º octante
3º octante
1º octante

11. Definições e Conclusões
As definições e conclusões no espaço, são análogas às do plano:
• Igualdade⟹ Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se,
𝑥1 = 𝑥2 ; 𝑦1 = 𝑦2 ; 𝑧1= 𝑧2;
• Operações ⟹ Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 𝛼 ∈ ℝ, define-se:
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2
𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1)
• Vetor definido por dois pontos quaisquer no espaço ⟹ Se A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) então:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1
Já vimos que se 𝑣 = B − A, então B = A + 𝑣

12. Definições e Conclusões
As definições e conclusões no espaço, são análogas às do plano:
• Ponto médio ⟹ Se A (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e B (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são extemos de um segmento, então o ponto
médio será dado por:
𝑀
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
,
𝑧1+𝑧2
2
• Paralelismo⟹ Se os vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são paralelos, então:
𝑢 = 𝛼𝑣 ou
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
• Módulo de um vetor ⟹ O módulo do vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por:
𝑣 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

13. 1) Dados os pontos 𝐴(0,1, −1) e B(1,2, −1) e os vetores 𝑢 = (−2, −1, 1), 𝑣 = (3, 0, − 1) e
𝑤 = (−2, 2, 2), verificar se existem números 𝑎1, 𝑎2e 𝑎3tais que 𝑤 = 𝑎1𝐴𝐵 + 𝑎2𝑢 + 𝑎3𝑣.
Exemplos
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
𝐴𝐵 = 1,2, −1 − (0,1, −1)
𝐴𝐵 = 1,1, 0
𝑤 = 𝑎1𝐴𝐵 + 𝑎2𝑢 + 𝑎3𝑣
(−2,2,2) = 𝑎1 1,1, 0 + 𝑎2 −2, −1,1 + 𝑎3(3,0, −1)
−2, 2, 2 = 𝑎1, 𝑎1, 0 + −2𝑎2, −𝑎2, 𝑎2 + (3𝑎3, 0, −𝑎3)
−2, 2, 2 = 𝑎1 − 2𝑎2 + 3𝑎3, 𝑎1 − 𝑎2, 𝑎2 − 𝑎3
𝑎1 − 2𝑎2 + 3𝑎3 = −2
𝑎1 − 𝑎2 = 2
𝑎2 − 𝑎3 = 2
𝑎1 = 2 + 𝑎2
𝑎3 = −2 + 𝑎2
𝑎1 − 2𝑎2 + 3𝑎3 = −2
2 + 𝑎2 − 2𝑎2 + 3(−2 + 𝑎2) = −2
2 + 𝑎2 − 2𝑎2−6 + 3𝑎2= −2
2𝑎2 = −2 − 2 + 6
2𝑎2 = 2
𝑎2 = 1
𝑎1 = 2 + 𝑎2
𝑎1 = 2 + 1
𝑎1 = 3
𝑎3 = −2 + 𝑎2
𝑎3 = −2 + 1
𝑎3 = −1
𝒂𝟏 = 𝟑, 𝒂𝟐 = 𝟏 𝒆 𝒂𝟑 = −𝟏

14. Exemplos
2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados
𝐴 3, −2, 4 , 𝐵(5,1, −3)e C(0,1, 2).
A
D C
B
𝐷 = 𝐴 + 𝐵𝐶 ou 𝐷 = 𝐶 + 𝐵𝐴
𝐷 = 𝐴 + (𝐶 − 𝐵)
𝐷 = 3, −2,4 + 0,1,2 − 5,1, −3
𝐷 = (−2, −2,9)

15. 3) Sabendo que o ponto 𝑃(−3, 𝑚, 𝑛) pertence à reta que passa pelos pontos 𝐴(1, −2,4) e
B(−1, −3,1), determinar 𝑚 e 𝑛.
Exemplos
𝐴, 𝐵 e 𝑃 pertencem à mesma reta, então qualquer dupla de vetores com esses pontos serão
vetores paralelos.
Tomemos 𝐴𝐵 ∥ 𝐴𝑃
𝐵 − 𝐴 ∥ 𝑃 − 𝐴
−1, −3,1 − 1, −2,4 ∥ −3, 𝑚, 𝑛 − (1, −2,4)
(−2, −1, −3) ∥ (−4, 𝑚 + 2, 𝑛 − 4)
Então:
−2
−4
=
−1
𝑚+2
=
−3
𝑛−4
−2
−4
=
−1
𝑚 + 2
−2 𝑚 + 2 = −1 . (−4)
−2𝑚 − 4 = 4
𝑚 =
4 + 4
−2
𝒎 = −𝟒 −2
−4
=
−3
𝑛 − 4
−2 𝑛 − 4 = −3 . (−4)
−2𝑛 + 8 = 12
𝑛 =
12 − 8
−2
𝒏 = −𝟐

16. Exemplos
4) Seja o triângulo de vértices 𝐴 4, −1, −2 , 𝐵(2,5, −6) e C(1, −1, −2). Calcular o
comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado 𝐴𝐵.
C
A B
M
Mediana é o segmento 𝐶𝑀, portanto precisamos encontrar o
ponto M, que é ponto médio de 𝐴𝐵
𝑀 =
4 + 2
2
,
−1 + 5
2
,
−2 + (−6)
2
𝑀 = (3, 2, −4)
𝐶𝑀 é 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐶 à 𝑀
𝑑𝐶𝑀 = 3 − 1 2 + (2 − −1 )2+(−4 − −2 )2
𝑑𝐶𝑀 = 2 2 + (3)2+(−2)2
𝑑𝐶𝑀 = 4 + 9 + 4
𝑑𝐶𝑀 = 17

17. Perguntas???