1. O ponto da reta r com abscissa 5 tem coordenadas (5, 10, 3). 2. Para que o ponto P pertença à reta s, deve-se ter m = -3 e n = -4. 3. A equação reduzida da reta que passa por A(4, 0, -3) na direção do vetor (2, 4, 5) é x = 2y + 8.

1. Lista de Exerc´ıcios - Retas
Geometria Anal´ıtica - 2016/1
1 - Determinar o ponto da reta r :



x = 2 − t
y = 5 + t
z = 2 − 2t
que tem abscissa 5.
2 - Achar os valores de m e n para que o ponto P = (3, m, n) perten¸ca `a reta s :



x = 1 − 2t
y = −3 − t
z = −4 + t
.
3 - Determinar as equa¸c˜oes reduzidas, com vari´avel independente x, da reta que passa pelo ponto
A(4, 0, −3) e tem a dire¸c˜ao do vetor (2, 4, 5).
4 - Quais as equa¸c˜oes param´etricas das retas r, s e t paralelas aos eixos x, y e z, respectivamente
e que passam pelo ponto (1, 2, 3) ? Fa¸ca um esbo¸co das retas.
5 - Qual deve ser o valor de m para que os pontos A = (3, m, 1), B = (1, 1, −1) e C = (−2, 10, −4)
perten¸cam `a mesma reta?
6 - Sejam A = (3, 6, −7), B = (−5, 2, 3) e C = (4, −7, −6) pontos dados.
a) Escreva as equa¸c˜oes vetorial e param´etricas para a reta r determinada pelos pontos B e
C, e obtenha sua forma sim´etrica (se existir). O ponto D = (3, 1, 4) pertence a esta reta
r?
b) Verifique que os pontos A, B e C s˜ao v´ertices de um triˆangulo.
1

2. c) Escreva as equa¸c˜oes param´etricas da mediana relativa ao v´ertice C do triˆangulo. Lembre-
se que a mediana relativa ao v´ertice C do triˆangulo ´e a reta passando por C e pelo ponto
m´edio entre A e B.
7 - Achar as equa¸c˜oes das seguintes retas:
a) reta que passa pelo ponto A = (3, 2, 1) e ´e perpendicular ao plano xOz;
b) reta que passa pelo ponto A = (2, 3, 4) e ´e ortogonal ao mesmo tempo aos eixos Ox e Oy.
8 - S˜ao dados os pontos A = (2, 1, 2), B = (−1, 1, −1) e C = (−2, −5, −4).
a)Os pontos A, B e C formam v´ertices de um triˆangulo?
b) Escreva todas as formas poss´ıveis de equa¸c˜oes para a reta que passa por B e C. O ponto
D = (1, 1, 2) pertence a essa reta ?
9 - Sejam P = (2, 1, −1) e Q = (0, −1, 0). Determine um ponto C da reta PQ tal que a ´area do
triˆangulo ABC seja 9, nos casos
a) A = (0, 3, 0), B = (6, 3, 3)
b) A = (−1, 1, 2), B = (−5, −3, 4)
10 - Achar o ˆangulo entre as retas:
a) r :



x = −2 − 2t
y = 2t
z = 3 − 4t
e s :



x = 4t
y = 2t − 6
z = 2t + 1
b) r :



y = −2x − 1
z = x + 2
e s :
y
3
=
z + 1
−3
e x = 2
11 - Calcular o valor de n para que seja de 300
o ˆangulo entre as retas r :
x − 2
4
=
y + 4
5
=
z
3
e
s :



y = nx + 5
z = 2x − 2
.
2

3. 12 - A reta r passa pelo ponto A = (1, −2, 1) e ´e paralela `a reta s :



x = 2 + t
y = −3t
z = −t
. Se P(−3, m, n) ∈
r, determinar m e n.
13 - A reta s :



y = mx + 3
z = x − 1
´e ortogonal `a reta determinada pelos pontos A = (1, 0, m) e
B = (−2, 2m, 2m). Calcular o valor de m.
14 - Dado um triˆangulo de v´ertices A = (1, 4, 0), B = (2, 1, −1) e C = (1, 2, 2), escrever uma
equa¸c˜ao vetorial da reta que cont´em a altura relativa ao v´ertice B.
15 - Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
r :



y = 2x + 3
z = 3x − 1
e s :
x − 1
2
=
y
−1
=
z
m
16 - Calcular o ponto de interse¸c˜ao das retas:
a) r :



y = 3x − 1
z = 2x + 1
e s :



y = 4x − 2
z = 3x
b) r :



y = −5
z = 4x + 1
e s :
x − 1
2
=
z − 5
−3
; y = −5
17 - Em que ponto a reta que passa por A = (1, 0, 1) e B = (−2, 2, 3) intercepta o plano yz?
18 - Dadas as retas r : X = (0, 0, 2) + λ(1, 1, 3) e s :



x = 2
y = t
z = 2 − t
e o ponto A = (4, 5, 1); ache
uma equa¸c˜ao vetorial de uma reta t que passe por A e seja perpendicular a r e a s.
3

4. 19 - Estabelecer as equa¸c˜oes param´etricas da reta que passa pelo ponto de interse¸c˜ao das retas
r : x − 2 =
y + 1
2
=
z
3
e s :



x = 1 − y
z = 2 + 2y
e ´e, ao mesmo tempo, ortogonal a ambas.
20 - Calcular o ponto de interse¸c˜ao das retas r :



x = 5 + t
y = 2 − t
z = 7 − 2t
e s :
x − 2
2
=
−y
−3
=
−z + 5
−4
.
21 - Estude a posi¸c˜ao relativa das retas r e s nos seguintes casos:
a) r :
x + 1
2
= y = z + 12 e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0), λ ∈ R
b) r :
x − 1
3
=
y − 5
3
=
z + 2
5
e s : x = −y =
z − 1
4
22 - Determinar as equa¸c˜oes param´etricas da perpendicular comum `as seguintes retas:
r :
x + 1
3
=
y + 3
−2
=
z − 2
−1
e t :
x − 2
2
=
y + 1
3
=
z − 1
−5
23 - Determinar equa¸c˜oes da reta que passa pelo ponto A(−4, −5, 3) e corta as retas:
r :
x + 1
3
=
y + 3
−2
=
z − 2
−1
e t :
x − 2
2
=
y + 1
3
=
z − 1
−5
24 - Determinar a equa¸c˜ao da reta que passa pelo ponto A(−1, 2, −3), ´e perpendicular ao vetor
−→n = (6, −2, −3) e corta a reta r :
x − 1
3
=
y + 1
2
=
z − 3
−5
.
4