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Questões de Curvas e Superfícies
Parte da Primeira Prova de ALGA II – EPS 02 - 16 de abril de 2003
1) Apresente as equações de cada aresta da parte do
sólido (interno ao hiperbolóide circular cêntrico)
desenhado ao lado, sabendo que as coordenadas
dos pontos S e P são dadas por S(0,0,1) e P(0,4,2).
2) Desenhar
para 0 ≤ θ ≤ 3π
3) Use duas superfícies cilíndricas para desenhar a parte da curva
onde os pontos têm todas as coordenadas positivas.
=======================================================================
Parte da Segunda Prova de ALG – 05 de maio de 2003
4) O que representa graficamente a equação a.y2
= 3z ( a = constante) no plano cartesiano YOZ ?
e a equação θ = π/3 em coordenadas cilíndricas ρθ Z ?
5) Determine a(s) interseção(ões)
entre:
→
C (t) = t.
→
i + t² .
→
j + (2t +1).
→
k
e o cilindro elíptico ( figura ao lado)
com
maior raio = 3
e
menor raio = 2
6) Identifique (apresente nomes) e esboce o gráfico cartesiano (XYZ) de:
a) 9x = y² + z² b) 4x² + y² - 2z² + 8 =0
7) Apresente as equações de cada aresta do sólido desenhado ao lado, sabendo
que as coordenadas do ponto P são dadas por (0,0,6) e que uma da faces é
parte da superfície gerada pela rotação da curva
36
z²
1x += no plano XOZ,
em torno do eixo OZ
=======================================================================
Outros Exercícios
8) Apresente as equações das 9 arestas e das 5 faces da figura desenhada abaixo, sendo que a única face não plana
é parte de um parabolóide hiperbólico simétrico em ralação ao eixo OZ.
Considere as seguintes
coordenadas:
O(0,0,0)
B(0,5,2)
D(1,0,-3)
P(0,-4,-3)
9) Identifique (apresente nomes) e esboce o gráfico cartesiano (XYZ) das superfícies:
a) x² - y² = 9z b) 4x² + y² + 2z² = 8
10) Apresente as equações de cada aresta do sólido desenhado ao
lado, sabendo que as coordenadas do ponto P são dadas por
(6,0,0) e que uma da faces tem equação 2z – x² + y² = 9.
11) Faça um esboço de
→
C (t) = cos t.
→
i + 4sen t.
→
j + 2t.
→
k .
12) Faça um esboço de C1(t) = t.i + (t² +1).j + 2t.k.
13) Fazer um esboço de 2z² - y² - 3x² = 60.
14) Fazer um esboço de 2z² - y + 3x² = 0.
15) Determine a(s) interseção(ões) entre:
→
C (t) = t.
→
i + (t² +1).
→
j + 2t.
→
k e y + 2z² = 4x².
16) Determine a(s) interseção(ões)
entre: C2 = [3t² , t , t-2]
e y² + 2z² = 4x.
17) Quais as equações paramétricas
da elipse determinada pela
interseção do cilindro circular de
raio 1 (ver figura) com o plano
dado por 15x + 12y + 20 z =1 ?
18
)
Apresente as equações das superfícies cilíndricas projetantes da curva 


=+
=+
2
4
yx²
zy²x²
19 Identificar (nome) e apresentar um esboço do gráfico a) 4x² - y² - 2 z² = 8
) (no espaço cartesiano XYZ) das superfícies : b) x² + z² = 4y
20
)
Desenhar 


=
+=
πθ
θρ
/
cos3
z para 0 ≤ θ ≤ 4π
21) Qual a equação dos parabolóides hiperbólicos simétricos em relação ao eixo OY ?
22
)
Traçar o gráfico de 


=+
=+
2
4
yx²
zy²x²
entre A(-2 , -2 , 2) e B(4 , -14 , 53)
23
)
Desenhar 


=
−=
πθ
θρ
/2
sen4
z para 0 ≤ θ ≤ 3π
24) Qual a equação geral da quádrica cêntrica que contém a parte
desenhada ao lado, onde um vértice é A(0,0,1) e a curva C é dada
por



=
=+
3
922
z
yx
?
25) Faça o gráfico de E(t) = [5 sen t, -2 cos t , t/π ]
26) Em relação a x² + 4y² = 4 – z²,
a) Apresente seu nome, justificando-o;
b) Faça um esboço do gráfico cartesiano (XYZ).
Resposta:
a) Elipsóide circular, mais “achatado” no eixo OY,
pois os traços nos são duas elipses e uma circunferência.
b) Figura ao lado
27) Qual a equação geral do parabolóide de revolução simétrico em relação ao eixo OY, com vértice
em V ( 0 , 0 , 0 ) e que contem o ponto P ( 1 , - 2 , 3 ) ?
A equação geral do parabolóide: Ax² + By + Az² = 0. Usando o ponto P ( 1 , - 2 , 3 ), temos:
A – 2B + 9A = 0  B = 5A  Ax² + 5Ay + Az² = 0  Resp.: x² + 5y + z² = 0
28) Qual a equação geral do elipsóide de revolução simétrico em relação ao eixo OX, com
vértices em V1 ( 0 , 0 , 0 ) e V2 ( 8 , 0 , 0 ) que contem o ponto P ( 2 , - 3 , 4 ) ?
Resposta: 25x² + 12y² + 12z² - 200x = 0

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Exerc cur sup

  • 1. Questões de Curvas e Superfícies Parte da Primeira Prova de ALGA II – EPS 02 - 16 de abril de 2003 1) Apresente as equações de cada aresta da parte do sólido (interno ao hiperbolóide circular cêntrico) desenhado ao lado, sabendo que as coordenadas dos pontos S e P são dadas por S(0,0,1) e P(0,4,2). 2) Desenhar para 0 ≤ θ ≤ 3π 3) Use duas superfícies cilíndricas para desenhar a parte da curva onde os pontos têm todas as coordenadas positivas. ======================================================================= Parte da Segunda Prova de ALG – 05 de maio de 2003 4) O que representa graficamente a equação a.y2 = 3z ( a = constante) no plano cartesiano YOZ ? e a equação θ = π/3 em coordenadas cilíndricas ρθ Z ? 5) Determine a(s) interseção(ões) entre: → C (t) = t. → i + t² . → j + (2t +1). → k e o cilindro elíptico ( figura ao lado) com maior raio = 3 e menor raio = 2 6) Identifique (apresente nomes) e esboce o gráfico cartesiano (XYZ) de: a) 9x = y² + z² b) 4x² + y² - 2z² + 8 =0 7) Apresente as equações de cada aresta do sólido desenhado ao lado, sabendo que as coordenadas do ponto P são dadas por (0,0,6) e que uma da faces é parte da superfície gerada pela rotação da curva 36 z² 1x += no plano XOZ, em torno do eixo OZ
  • 2. ======================================================================= Outros Exercícios 8) Apresente as equações das 9 arestas e das 5 faces da figura desenhada abaixo, sendo que a única face não plana é parte de um parabolóide hiperbólico simétrico em ralação ao eixo OZ. Considere as seguintes coordenadas: O(0,0,0) B(0,5,2) D(1,0,-3) P(0,-4,-3) 9) Identifique (apresente nomes) e esboce o gráfico cartesiano (XYZ) das superfícies: a) x² - y² = 9z b) 4x² + y² + 2z² = 8 10) Apresente as equações de cada aresta do sólido desenhado ao lado, sabendo que as coordenadas do ponto P são dadas por (6,0,0) e que uma da faces tem equação 2z – x² + y² = 9. 11) Faça um esboço de → C (t) = cos t. → i + 4sen t. → j + 2t. → k . 12) Faça um esboço de C1(t) = t.i + (t² +1).j + 2t.k. 13) Fazer um esboço de 2z² - y² - 3x² = 60. 14) Fazer um esboço de 2z² - y + 3x² = 0. 15) Determine a(s) interseção(ões) entre: → C (t) = t. → i + (t² +1). → j + 2t. → k e y + 2z² = 4x². 16) Determine a(s) interseção(ões) entre: C2 = [3t² , t , t-2] e y² + 2z² = 4x. 17) Quais as equações paramétricas da elipse determinada pela interseção do cilindro circular de raio 1 (ver figura) com o plano dado por 15x + 12y + 20 z =1 ? 18 ) Apresente as equações das superfícies cilíndricas projetantes da curva    =+ =+ 2 4 yx² zy²x² 19 Identificar (nome) e apresentar um esboço do gráfico a) 4x² - y² - 2 z² = 8
  • 3. ) (no espaço cartesiano XYZ) das superfícies : b) x² + z² = 4y 20 ) Desenhar    = += πθ θρ / cos3 z para 0 ≤ θ ≤ 4π 21) Qual a equação dos parabolóides hiperbólicos simétricos em relação ao eixo OY ? 22 ) Traçar o gráfico de    =+ =+ 2 4 yx² zy²x² entre A(-2 , -2 , 2) e B(4 , -14 , 53) 23 ) Desenhar    = −= πθ θρ /2 sen4 z para 0 ≤ θ ≤ 3π 24) Qual a equação geral da quádrica cêntrica que contém a parte desenhada ao lado, onde um vértice é A(0,0,1) e a curva C é dada por    = =+ 3 922 z yx ? 25) Faça o gráfico de E(t) = [5 sen t, -2 cos t , t/π ] 26) Em relação a x² + 4y² = 4 – z², a) Apresente seu nome, justificando-o; b) Faça um esboço do gráfico cartesiano (XYZ). Resposta: a) Elipsóide circular, mais “achatado” no eixo OY, pois os traços nos são duas elipses e uma circunferência. b) Figura ao lado 27) Qual a equação geral do parabolóide de revolução simétrico em relação ao eixo OY, com vértice em V ( 0 , 0 , 0 ) e que contem o ponto P ( 1 , - 2 , 3 ) ? A equação geral do parabolóide: Ax² + By + Az² = 0. Usando o ponto P ( 1 , - 2 , 3 ), temos: A – 2B + 9A = 0  B = 5A  Ax² + 5Ay + Az² = 0  Resp.: x² + 5y + z² = 0 28) Qual a equação geral do elipsóide de revolução simétrico em relação ao eixo OX, com vértices em V1 ( 0 , 0 , 0 ) e V2 ( 8 , 0 , 0 ) que contem o ponto P ( 2 , - 3 , 4 ) ? Resposta: 25x² + 12y² + 12z² - 200x = 0