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Cˆonicas
Defini¸c˜ao. Uma se¸c˜ao cˆonica (ou cˆonica) ´e uma curva obtida pela interse¸c˜ao de um
plano com um cone circular reto.
Vamos considerar um cone circular reto com duas folhas. Uma geratriz (ou elemento)
do cone ´e uma reta que est´a sobre o cone; todas as geratrizes de um cone se interceptam
no ponto V , chamado v´ertice do cone.
Dependendo da inclina¸c˜ao relativa entre o plano e o eixo do cone, uma cˆonica ´e classifi-
cada como: par´abola, elipse (incluindo a circunferˆencia como caso particular) ou hip´erbole.
Veremos que as cˆonicas podem ser descritas por equa¸c˜oes do segundo grau nas vari´aveis
x e y da forma:
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
onde A, B, C, D e E s˜ao constantes.
1
Antes de come¸carmos o estudo das cˆonicas em si, vamos relembrar alguns fatos da
Geometria Anal´ıtica que nos ser˜ao ´uteis.
Transla¸c˜ao de Eixos
Lembremos que o gr´afico da equa¸c˜ao (x − h)2
+ (y − k)2
= r2
´e uma circunferˆencia no
plano xy com centro no ponto (h, k) e de raio r.
Por exemplo, o gr´afico da equa¸c˜ao (x − 2)2
+ (y − 1)2
= 9 ´e uma circunferˆencia no
plano xy com centro no ponto (2, 1) e raio 3.
Se considerarmos um sistema de coordenadas com eixos x e y perpendiculares aos
eixos x e y, respectivamente, e cuja origem estivesse no ponto O = (h, k), a mesma
circunferˆencia esbo¸cada na figura acima teria a equa¸c˜ao mais simples:
(x )2
+ (y )2
= r2
Vemos assim, que o formato de uma curva n˜ao ´e afetado quando mudamos a posi¸c˜ao
dos eixos coordenados para novos eixos paralelos aos iniciais, por´em a equa¸c˜ao da curva ´e
alterada. Em geral, se no plano, com um sistema de eixos coordenados xy, fizermos uma
mudan¸ca para outro sistema com eixos coordenados x y paralelos aos iniciais, dizemos
que houve uma transla¸c˜ao de eixos no plano.
2
Portanto, fazer uma transla¸c˜ao no plano, ´e transladar o sistema original, paralelamente
aos eixos x e y, para uma nova origem O = (h, k).
Seja P um ponto no plano com coordenadas (x, y) em rela¸c˜ao a um dado conjunto de
eixos coordenados e sejam (x , y ) as coordenadas do mesmo ponto ap´os os eixos terem
sidos transladados para uma nova origem com coordenadas (h, k) em rela¸c˜ao aos eixos
iniciais. Ent˜ao, estas coordenadas est˜ao relacionadas da seguinte forma:



x = x + h
y = y + k
⇔



x = x − h
y = y − k
Se uma equa¸c˜ao de uma curva ´e dada em termos de x e y, ent˜ao uma equa¸c˜ao em x
e y ser´a obtida substituindo x por x + h e y por y + k. O gr´afico de uma equa¸c˜ao em
x e y em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e exatamente o mesmo conjunto de pontos que o gr´afico
da equa¸c˜ao correspondente em x e y , em rela¸c˜ao aos eixos x e y .
Uma das utilidades da transla¸c˜ao de eixos ´e eliminar os termos x e y de uma equa¸c˜ao
do segundo grau para obter uma forma mais simples da equa¸c˜ao.
Exemplo. Dada a equa¸c˜ao
x2
+ y2
− 6x − 2y + 6 = 0
encontre a equa¸c˜ao do gr´afico em rela¸c˜ao aos eixos x e y ap´os uma transla¸c˜ao de eixos
para a nova origem (3, 1).
Solu¸c˜ao. Um ponto P representado por (x, y) em rela¸c˜ao ao sistema de eixos original,
tem a representa¸c˜ao (x , y ) em rela¸c˜ao ao novo sistema de eixos, onde
x = x + 3 e y = y + 1
Substituindo esses valores de x e y na equa¸c˜ao dada, obtemos
(x + 3)2
+ (y + 1)2
− 6(x + 3) − 2(y + 1) + 6 = 0
Simplificando, a equa¸c˜ao acima reduz-se a
(x )2
+ (y )2
= 4
3
O gr´afico dessa equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a x e y ´e uma circunfrˆencia com centro na origem e
de raio 2. O gr´afico em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e, ent˜ao, uma circunfrˆencia com centro em
(3, 1) e de raio 2.
Rota¸c˜ao de Eixos
Vimos que a transla¸c˜ao de eixos pode ser utilizada para simplificar a forma de certas
equa¸c˜oes. Agora vamos ver como transformar uma equa¸c˜ao do segundo grau que cont´em
o termo xy em outra equa¸c˜ao sem esse termo. Para isso, faremos uma rota¸c˜ao dos eixos
coordenados.
Sejam x e y eixos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares e ¯x e ¯y eixos
de um outro sistema de coordenadas com a mesma origem. Suponha que o eixo ¯x forme
com o eixo x um ˆangulo cuja medida ´e de α radianos. Ent˜ao, naturalmente, o eixo ¯y forma
com o eixo y um ˆangulo cuja medida em radianos ´e α. Nesse caso, dizemos que houve
uma rota¸c˜ao do sistema de coordenadas xy de um ˆangulo de α radianos para formar o
sistema ¯x¯y.
Seja P um ponto no plano com coordenadas (x, y) em rela¸c˜ao a um dado conjunto de
eixos coordenados e sejam (¯x, ¯y) as coordenadas do mesmo ponto ap´os a rota¸c˜ao dos eixos
4
de um ˆangulo α em rela¸c˜ao aos eixos iniciais. Ent˜ao, estas coordenadas est˜ao relacionadas
da seguinte forma:



x = ¯x cos α − ¯y senα
y = ¯x senα + ¯y cos α
⇔



¯x = x cos α + y senα
¯y = −x senα + y cos α
Exemplo. Determine as coordenadas do ponto P(4, 2), ap´os uma rota¸c˜ao dos eixos
coordenados de uma ˆangulo de π/6 radianos.
Solu¸c˜ao. Pelas equa¸c˜oes acima, temos
¯x = 4 cos
π
6
+ 2 sen
π
6
= 4 ·
√
3
2
+ 2 ·
1
2
= 2
√
3 + 1
e
¯y = −4 sen
π
6
+ 2 cos
π
6
= −4 ·
1
2
+ 2 ·
√
3
2
= −2 +
√
3
Portanto, o ponto P ter´a coordenadas (2
√
3+1, −2+
√
3) com rela¸c˜ao ao novo sistema
de coordenadas.
Agora considere a equa¸c˜ao do segundo grau em duas inc´ognitas x e y:
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
onde A, B, C, D e E s˜ao constantes, e suponha que B = 0. Podemos transformar a
equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao
¯A¯x2
+ ¯C¯y2
+ ¯D¯x + ¯E¯y + ¯F = 0
por uma rota¸c˜ao de eixos de ˆangulo α para o qual
cotg2α =
A − C
B
5
Exemplo. Determine o ˆangulo de rota¸c˜ao nos eixos coordenados que elimine o termo xy
da equa¸c˜ao
9x2
+
√
3xy + 8y2
− 80 = 0
Solu¸c˜ao. Para eliminar o termo xy por uma rota¸c˜ao de eixos, precisamos escolher um
ˆangulo α tal que
cotg2α =
A − C
B
=
9 − 8
√
3
=
√
3
3
Logo, 2α = π/3. Portanto, o ˆangulo de rota¸c˜ao deve ser α = π/6 radianos.
Note que, usando α = π/6 nas equa¸c˜oes que relacionam x com ¯x e y com ¯y, obtemos
x =
√
3
2
¯x −
1
2
¯y e y =
1
2
¯x +
√
3
2
¯y
Substituindo essas express˜oes para x e y na equa¸c˜ao dada, obtemos
9
√
3
2
¯x − 1
2
¯y
2
+
√
3
√
3
2
¯x − 1
2
¯y 1
2
¯x +
√
3
2
¯y + 8 1
2
¯x +
√
3
2
¯y
2
− 80 = 0
Simplificando, obtemos
38
320
¯x2
+
15
320
¯y = 1
Veremos mais adiante que esta ´ultima equa¸c˜ao ´e mais f´acil de se representar graficamente.
Referˆencias
[1] LEITHOLD, Louis. O C´alculo com geometria anal´ıtica. 3. ed. S˜ao Paulo, SP:
Harbra, c1994. 2 v. ISBN 8529400941 v.1
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Conicas

  • 1. Cˆonicas Defini¸c˜ao. Uma se¸c˜ao cˆonica (ou cˆonica) ´e uma curva obtida pela interse¸c˜ao de um plano com um cone circular reto. Vamos considerar um cone circular reto com duas folhas. Uma geratriz (ou elemento) do cone ´e uma reta que est´a sobre o cone; todas as geratrizes de um cone se interceptam no ponto V , chamado v´ertice do cone. Dependendo da inclina¸c˜ao relativa entre o plano e o eixo do cone, uma cˆonica ´e classifi- cada como: par´abola, elipse (incluindo a circunferˆencia como caso particular) ou hip´erbole. Veremos que as cˆonicas podem ser descritas por equa¸c˜oes do segundo grau nas vari´aveis x e y da forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 onde A, B, C, D e E s˜ao constantes. 1
  • 2. Antes de come¸carmos o estudo das cˆonicas em si, vamos relembrar alguns fatos da Geometria Anal´ıtica que nos ser˜ao ´uteis. Transla¸c˜ao de Eixos Lembremos que o gr´afico da equa¸c˜ao (x − h)2 + (y − k)2 = r2 ´e uma circunferˆencia no plano xy com centro no ponto (h, k) e de raio r. Por exemplo, o gr´afico da equa¸c˜ao (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9 ´e uma circunferˆencia no plano xy com centro no ponto (2, 1) e raio 3. Se considerarmos um sistema de coordenadas com eixos x e y perpendiculares aos eixos x e y, respectivamente, e cuja origem estivesse no ponto O = (h, k), a mesma circunferˆencia esbo¸cada na figura acima teria a equa¸c˜ao mais simples: (x )2 + (y )2 = r2 Vemos assim, que o formato de uma curva n˜ao ´e afetado quando mudamos a posi¸c˜ao dos eixos coordenados para novos eixos paralelos aos iniciais, por´em a equa¸c˜ao da curva ´e alterada. Em geral, se no plano, com um sistema de eixos coordenados xy, fizermos uma mudan¸ca para outro sistema com eixos coordenados x y paralelos aos iniciais, dizemos que houve uma transla¸c˜ao de eixos no plano. 2
  • 3. Portanto, fazer uma transla¸c˜ao no plano, ´e transladar o sistema original, paralelamente aos eixos x e y, para uma nova origem O = (h, k). Seja P um ponto no plano com coordenadas (x, y) em rela¸c˜ao a um dado conjunto de eixos coordenados e sejam (x , y ) as coordenadas do mesmo ponto ap´os os eixos terem sidos transladados para uma nova origem com coordenadas (h, k) em rela¸c˜ao aos eixos iniciais. Ent˜ao, estas coordenadas est˜ao relacionadas da seguinte forma:    x = x + h y = y + k ⇔    x = x − h y = y − k Se uma equa¸c˜ao de uma curva ´e dada em termos de x e y, ent˜ao uma equa¸c˜ao em x e y ser´a obtida substituindo x por x + h e y por y + k. O gr´afico de uma equa¸c˜ao em x e y em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e exatamente o mesmo conjunto de pontos que o gr´afico da equa¸c˜ao correspondente em x e y , em rela¸c˜ao aos eixos x e y . Uma das utilidades da transla¸c˜ao de eixos ´e eliminar os termos x e y de uma equa¸c˜ao do segundo grau para obter uma forma mais simples da equa¸c˜ao. Exemplo. Dada a equa¸c˜ao x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0 encontre a equa¸c˜ao do gr´afico em rela¸c˜ao aos eixos x e y ap´os uma transla¸c˜ao de eixos para a nova origem (3, 1). Solu¸c˜ao. Um ponto P representado por (x, y) em rela¸c˜ao ao sistema de eixos original, tem a representa¸c˜ao (x , y ) em rela¸c˜ao ao novo sistema de eixos, onde x = x + 3 e y = y + 1 Substituindo esses valores de x e y na equa¸c˜ao dada, obtemos (x + 3)2 + (y + 1)2 − 6(x + 3) − 2(y + 1) + 6 = 0 Simplificando, a equa¸c˜ao acima reduz-se a (x )2 + (y )2 = 4 3
  • 4. O gr´afico dessa equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a x e y ´e uma circunfrˆencia com centro na origem e de raio 2. O gr´afico em rela¸c˜ao aos eixos x e y ´e, ent˜ao, uma circunfrˆencia com centro em (3, 1) e de raio 2. Rota¸c˜ao de Eixos Vimos que a transla¸c˜ao de eixos pode ser utilizada para simplificar a forma de certas equa¸c˜oes. Agora vamos ver como transformar uma equa¸c˜ao do segundo grau que cont´em o termo xy em outra equa¸c˜ao sem esse termo. Para isso, faremos uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados. Sejam x e y eixos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares e ¯x e ¯y eixos de um outro sistema de coordenadas com a mesma origem. Suponha que o eixo ¯x forme com o eixo x um ˆangulo cuja medida ´e de α radianos. Ent˜ao, naturalmente, o eixo ¯y forma com o eixo y um ˆangulo cuja medida em radianos ´e α. Nesse caso, dizemos que houve uma rota¸c˜ao do sistema de coordenadas xy de um ˆangulo de α radianos para formar o sistema ¯x¯y. Seja P um ponto no plano com coordenadas (x, y) em rela¸c˜ao a um dado conjunto de eixos coordenados e sejam (¯x, ¯y) as coordenadas do mesmo ponto ap´os a rota¸c˜ao dos eixos 4
  • 5. de um ˆangulo α em rela¸c˜ao aos eixos iniciais. Ent˜ao, estas coordenadas est˜ao relacionadas da seguinte forma:    x = ¯x cos α − ¯y senα y = ¯x senα + ¯y cos α ⇔    ¯x = x cos α + y senα ¯y = −x senα + y cos α Exemplo. Determine as coordenadas do ponto P(4, 2), ap´os uma rota¸c˜ao dos eixos coordenados de uma ˆangulo de π/6 radianos. Solu¸c˜ao. Pelas equa¸c˜oes acima, temos ¯x = 4 cos π 6 + 2 sen π 6 = 4 · √ 3 2 + 2 · 1 2 = 2 √ 3 + 1 e ¯y = −4 sen π 6 + 2 cos π 6 = −4 · 1 2 + 2 · √ 3 2 = −2 + √ 3 Portanto, o ponto P ter´a coordenadas (2 √ 3+1, −2+ √ 3) com rela¸c˜ao ao novo sistema de coordenadas. Agora considere a equa¸c˜ao do segundo grau em duas inc´ognitas x e y: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 onde A, B, C, D e E s˜ao constantes, e suponha que B = 0. Podemos transformar a equa¸c˜ao acima na equa¸c˜ao ¯A¯x2 + ¯C¯y2 + ¯D¯x + ¯E¯y + ¯F = 0 por uma rota¸c˜ao de eixos de ˆangulo α para o qual cotg2α = A − C B 5
  • 6. Exemplo. Determine o ˆangulo de rota¸c˜ao nos eixos coordenados que elimine o termo xy da equa¸c˜ao 9x2 + √ 3xy + 8y2 − 80 = 0 Solu¸c˜ao. Para eliminar o termo xy por uma rota¸c˜ao de eixos, precisamos escolher um ˆangulo α tal que cotg2α = A − C B = 9 − 8 √ 3 = √ 3 3 Logo, 2α = π/3. Portanto, o ˆangulo de rota¸c˜ao deve ser α = π/6 radianos. Note que, usando α = π/6 nas equa¸c˜oes que relacionam x com ¯x e y com ¯y, obtemos x = √ 3 2 ¯x − 1 2 ¯y e y = 1 2 ¯x + √ 3 2 ¯y Substituindo essas express˜oes para x e y na equa¸c˜ao dada, obtemos 9 √ 3 2 ¯x − 1 2 ¯y 2 + √ 3 √ 3 2 ¯x − 1 2 ¯y 1 2 ¯x + √ 3 2 ¯y + 8 1 2 ¯x + √ 3 2 ¯y 2 − 80 = 0 Simplificando, obtemos 38 320 ¯x2 + 15 320 ¯y = 1 Veremos mais adiante que esta ´ultima equa¸c˜ao ´e mais f´acil de se representar graficamente. Referˆencias [1] LEITHOLD, Louis. O C´alculo com geometria anal´ıtica. 3. ed. S˜ao Paulo, SP: Harbra, c1994. 2 v. ISBN 8529400941 v.1 6