Matemática A - Geometria ENSINO SECUNDÁRIO 1997-2013

30.972 visualizações

Publicada em

Um livro criado pelo IAVE, para ajudar o alunos de secundário, com os mais variados exercícios de exame, que ajuda a estudar.

Publicada em: Educação
1 comentário
39 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
30.972
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1.806
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1.096
Comentários
1
Gostaram
39
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matemática A - Geometria ENSINO SECUNDÁRIO 1997-2013

  1. 1. QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS à _ E DE TESTES INTERMÉDIOS '1997-2013 COM RESOLUÇÕES i 4'? IÍÍÊ $9.51? *T3 'i4' T? " “rã um» i. L z. fa¡ "“ , img 1*' ›. é a. *à ~ ~ ; a E ' _ ÉETÍSW JISã-Züíiais GOVERNO DE _ V¡ PORTUGAL ÍNSTITUTO DE AVALIAÇAO EDUCATIVA, I. P. IAVE MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CIÊNCIA
  2. 2. MATEMÁTICA A QUESTÕES DE EXAMES NACIONAIS' E DE TESTES INTERMÉDIOS 1997-2013 coM RESOLUÇÕES Geometria Ensino Secundário : as GOVERNO DE u . PORTUGAL INSTITUTO DE AVALIAÇAO EDUCATIVA, I. P. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO ' E CiÊNCIA
  3. 3. MATEMÁTICA A Questões de Exames Nacionais e de Testes Intermédios 1 997-201 3 GEOMETRIA Ensino Secundário Instituto de Avaliação Educativa, I. P. Travessa das Terras de Sant'Ana, 15 1250-269 LISBOA Tel. : 213 895100 Fax: 213 895167 Internet: www. gave. min-edu. pt E-mail: gave-direcaO@gave. mec. pt Diretor do IAVE: Helder de Sousa 1.” edição: Janeiro de 2014 Tiragem: 3000 exemplares ISBN: 978-972-8866-65-5 Depósito legal: 367 796/13 Capa: Editorial do Ministério da Educação e Ciência Execução Gráfica e Distribuição: Editorial do Ministério da Educação e Ciência Estrada de Mem Martins, 4, S. Carlos Apartado 113 2726-901 MEM MARTINS Tel. : 219 266 600 Fax: 219 202 765 Internet: www. eme. pt E-mail: geral@eme. pt www. facebOOk. com/ EdítoriaIMEC
  4. 4. ÍNDICE Pág. Apresentação . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .5 Itens de seleção . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . f . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 7 Geometria no plano . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Í . ... ... ... ... ... ... .. . . 9 Geometria no espaço . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 14 Programação linear . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 33 Itens de construção . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. _.37 Geometria no plano . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 39 Geometria no espaço . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 46 Programação linear . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 78 Soluções . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 81 Itens de seleção . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 83 Itens de construção . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 85
  5. 5. a u ' l *nnã
  6. 6. Apresentação Esta publicação tem como principal finalidade disponibilizar materiais para utilização didática em contextos de aprendizagem diversificados. De acordo com os critérios editoriais adotados, este volume integra itens de Geometria relativos ao atual programa de Matemática A, de provas de exame nacionais (1 . a fase, 2.a fase e épocas especiais), provas modelo e testes intermédios, realizados entre 1997 e 2013. Esta publicação deve ser entendida como uma ferramenta facilitadora do trabalho iniciado e desenvolvido na sala de aula, e aí orientado pelo professor, mas que deve ser continuado para lá do tempo que, curricularmente, está destinado às aulas de Matemática. Entende-se, também, que este poderá ser um caminho para o desenvolvimento de processos de autorregulação das aprendizagens e um modo de valorizar a dimensão formativa da avaliação. Deve ainda ser um meio para que o processo de aprendizagem possa assumir uma dimensão interativa, ou seja, uma forma de trazer de novo para o palco da sala de aula, espaço privilegiado para a partilha de experiência e de saberes, tudo o que cada aluno, ou grupo de alunos, aprendeu no confronto com os desafios que a resolução de exercícios matemáticos pode sempre colocar. Reitera-se a ideia de que numa disciplina socialmente marcada pelo estigma da dificuldade, como é o caso da Matemática, é importante contrariar a inevitabilidade desta imagem e fomentar a consciência de que as dificuldades se ultrapassam com trabalho, persistente e inteligente. E é também preciso acreditar que o desenvolvimento do raciocínio matemático, hoje com acrescida acuidade, constitui uma ferramenta que, em diferentes circunstâncias da vida, se revela um auxiliar inestimável para outras aprendizagens: desde as linguas, às ciências naturais, humanas e sociais, passando pela música e por tantas outras áreas do saber. Helder Diniz de Sousa Outubro de 2013
  7. 7. 11mm¡ ea 'Í " u' 1 Ill 1,4' Taj" ¡JIX v 7,? Ll_. Jl n o - 11.» an_ - . ,.-- N: .. b 4 , qu- . il-IMZ n' MMM** Ilzf' A. .l- -. - - I Gimp: í *um . . ; a v . p 7a v- . - J mu: .J [mr-r 1I'-;1._¡¡¡ . #g-? l - ¡'. _-_'. g-| .
  8. 8. ITENS DE SELEÇÃO
  9. 9. Geometria no plano 1. Na figura, estão representados um triângulo isósceles [ABC] C e um quadrado inscrito nesse triângulo. A altura relativa à base [AB] é o segmento de reta [CD], representado a tracejado. Sabe-se que E = 40m e que CD = 86m Quanto mede, em centímetros, o lado do quadrado? A B D 9 5 w 7 M 7 8 11 (C) *3- (D) T 2. De dois vetores Í? e É sabe-se que têm ambos norma igual a 3 e que É . É = - 9 ( Í) . É designa o produto escalar de í por ? f ) Indique qual das afirmações seguintes é verdadeira. (N ? +?= Ú m›? -?= Ú (C) "ff L É (D) O ângulo dos vetores í e É é agudo 3. Na figura, estão representados dois vetores, AD e de normas 12 e 15, respetivamente. No segmento de reta [AD] está assinalado um ponto B No segmento de reta [AE] está assinalado um ponto C O triângulo [ABC] é retângulo e os seus lados têm 3, 4 e 5 unidades de comprimento. _a -: › Indique o valor do produto escalar AD . AE (A) 108 (B) 128 (C) 134 (D) 144
  10. 10. GEOMETRIA NO PLANO É, [ 4.. 4. Considere um vetor AB tal que z 1 A A Qual é o valor do produto escalar AB . BA ? (N 1 (M -1 (Q 0 (M 2 5. Considere, num referencial o. n. mOy, as retas r e s, definidas, respetivamente, por: 7": (;Lr, y): (1,3)+k(2,0), kE1R s: yzâx-l-l Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas (valor arredondado às unidades)? (A) 37° (B) 39° (C) 41° (D) 43° 6. Considere, num referencial o. n. xOy, a reta 'r que intersecta o eixo Oq: no ponto de abcissa 2 e que intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada 6 Qual é a equação reduzida da reta r ? (A) y = - 3.11% + 6 (B) y = 3.1' + 6 (C) y z 7 2.1' + 3 (D) y:23"+3 7. Na figura, está representada, num referencial o. n. IOy, a reta r', que intersecta o eixo Ozr no ponto de abcissa 2 eoeixo Oy no ponto de ordenada 2 Qual é a equação reduzida da reta r ? (A) y=2:1'+2 (B) y= -2a%+2 (Q y= *I+2 (m y= x+2 10
  11. 11. ¡TENS DE SELEÇÃO 01h30 . T-lr 10|»- Considere. num referencial o. n. . rOy, a reta r de equação y = ~ Seja s a reta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas (1,4) Qual e a equação reduzida da reta s ? (A) ,1¡"2.r-l-2 (B) y: -'2:l'+6 Lília: (c) yr-ÊJ-l-íí (D) y:2,r+ 3 Considere, num referencial o. n. . ztOy, a circunferência de equação . e 1)'-”+ (g-3)“-“ z 16 Quai das equações seguintes define uma reta tangente a esta circunferência? (A) -I' : a 3 (B) J' 2 1 (C) ! J = E 4 (D) ; U = 1 xa figura, está representada, num referencial o. n. . rOy, uma semicircunferéncia de : ectro na origem e que passa nos pontos P e Q Z : onto P tem coordenadas ( - 3.4) eo ponto Q tem coordenadas (3.4) '-5 " gura. está também representado o segmento de reta [PQ] e 'vy/ *SZSA ~3<J§3 5 '/ ':25^ q24 i : Ai/ 'SIÕA 45.153 ' : ~«/ -:16^y24 í 11
  12. 12. GEOMETRIA NO PLANO 11. Considere a condição (a: + 1)? + (y -1)2 5 2 / I 2 0 Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o. n. : vOy, o conjunto de pontos definido por esta condição? (A) (B) (C) (D) 12
  13. 13. ITENS DE sELEçÀo Na figura, está representada, num referencial o. n. : rOy, uma circunferência de centro no ponto P(2, - 1) 2.16] das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira? "Ai I-2)2+(y+1)2§4 / ; r>0 (s) _r~2)2+(y+1)2<4 / y>0 c) .1'+2)')+(y~1)2<4 / y>0 a) . r+2)2+(y~1)2<4 / xc>0 Ie ; w triângulo isósceles [ABC] sabe-se que: : s lados iguais são [AB] e [AC], tendo cada um deles 8 unidades de zcmprimento; 222a um dos dois ângulos iguais tem 30° de amplitude. É) -: › 1 -e e o valor do produto escalar AB . AC ? 1 _sz/ ã (a) -32 (c) 64 (D) 64/5 _ * -eferencial o. n. rOy , considere a circunferência definida por : E2 + g2 = 5 - 'eta ' é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (1, 2) 1 -e -: - o declive da reta 1'? IÇ/ (D) 2 [Oh-A M ~ à (c) 13
  14. 14. 1. Geometria no espaço Na figura, está representada uma planificação de um cubo. Em qual das opções seguintes pode estar representado esse cubo? (A) Num referencial o. n. Oxyz, considere um ponto A pertencente ao semieixo positivo Ox e um ponto B pertencente ao semieixo positivo Oy Quais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor ABB? (_ 2a 07 (2107 _ (E 21 1a (D) (2a B Na figura, está representado um tetraedro regular (sólido geométrico com quatro faces, que são todas triângulos equiláteros). B - A, B, C e D são os vértices do tetraedro o AB = 6 A O valor do produto escalar BC . BD é (D) 36x/5 (A) 18 (B) 18/5 (c) 36 14
  15. 15. |TENS DE sELEçÃo 4. Seja [AB] um diâmetro de uma esfera de centro C e raio 4 e -: › Qual é o valor do produto escalar CA . CB ? (A) 16 (B) -16 (c) 4(/ § (D) -4(/ § 5. Na figura, está representado um paralelepípedo retângulo [PQRS TU VX ] Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) ñíâfzo (B) ÚÕÍÊ= O (c) P-dñizo (D) TD-QÍTX/ :o 6. Na figura, está representada, num referencial o. n. Occyz, uma reta PQ ° O ponto P pertence ao plano yOz ° O ponto Q pertence ao plano : zrOy Indique qual das condições seguintes define a reta PQ 1 (A) 3x+5y+4« : O l (B) (96›y, z)= (3,0. -4)+k(3,5,0), kER (C) x=3/y=5/ 2:4 (D) ($›yaZ): (3757O)+k(3a0a_4)akeR 15
  16. 16. GEOMETRIA NO EsPAço 10. Qual das condições seguintes define, num referencial o. n. Omyz, uma reta paralela ao eixoOy? (A) y=1 (B) $=2Az=1 (C) x= y=2 (D) m=1/y=2/z=3 Num referencial o. n. Omyz, qual das seguintes condições define uma reta paralela ao eixo Oz? (A) 3722/3/:1 (B) (at, y,z): (1,2,0)+k(1,1,0), kEJR (C) 2:1 L__U__ (D) 2 ” 3 _Z Qual das condições seguintes define, num referencial o. n. Omyz, uma reta paralela ao eixo Oz? (A) (x, y,z)= (7,0,0)+k(1,1,0), kER (B) (ac, y,z)= (1,1,0)+k(0,0,7), (CGR (C) (x, y,z)= (1,1,0)+k(7,0,0), kER M (saw): (0,0,7)+k(1,1,0), keR Num referencial o. n. Omyz, considere os pontos P(0,0,4) e Q(0,4,0) Qual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [PQ] ? (A) A(1,0,0) M B(1,2,0) (C) C(2,1,0) (D) 170,012) 16
  17. 17. (TENS DE SELEÇÃO 11. 12. Na figura, está representado, num referencial o. n. Omyz, um cubo de aresta 2 Sabe-se que: - aface [ABCD] está contida no plano xOy - a aresta [DC] está contida no eixo Oy - oponto D tem coordenadas (0,2,0) Os pontos de coordenadas (2. 2, 0) e (0, 4, 0) são vértices do cubo. Qual é o plano mediador do segmento de reta cujos extremos são estes dois vértices? (A) ABC (B) ACG (c) BDH (D) BCF Na figura, está representado, num referencial o. n. 0517312, um cubo. - O vértice O é a origem do referencial Ovértice A pertence ao eixo O2 O vértice G pertence ao eixo Oy O vértice E pertence ao eixo OJ: H é o centro da face [OGFE] Uma equação do plano que contém os pontos D, B e H é ; r+y:10 Qual é a medida da aresta do cubo ? im/ ã (A) 5 M 10 (c) õx/ í (D) Num referencial o. n. Oryz, considere as retas r e definidas por: r:1?-2:y~1=: -3 s: (says): (2.1,3)+k(1,0,1). !CER Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) r' e s são concorrentes (B) r e s são não complanares (C) ir e s são paralelas (D) r e s são perpendiculares 17
  18. 18. GEOMETRIA NO ESPAÇO 14. Considere, num referencial o. n. Olryz, a reta r e o plano a. definidos, respetivamente, por: . ) _ i _ L . , _ . , _ 7°. .r-2~3 0.3x ~_0 Qual é a intersecção da reta r com o plano a ? (A) É o ponto (0. 2, 3) (B) É o ponto (0, 0, 0) (C) É o conjunto vazio (D) É a reta r 15. Num referencial o. n. Osvyz. as retas AB e r' são paralelas. O vetor A73! tem coordenadas ( - 2, m , 3) A reta r êdefinlda pela condição Ig = y 2 - É Ovalor de m é 1 (A) ~ 3 (B) - 1 (C) 0 (D) 1 16. Para um certo número real IC, as retas r e s, definidas, num referencial o. n. Omyz, pelas condições _w-1_y-3_i __;1C-3__y-5_: -!C 2 T 2 T 3 Ó ' 2 T 2 T 3 são coincidentes. Qualéovalor de IC? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 17. Considere, num referencial o. n. Orzyz, areta 7" definida por (J: ,y, z) = (1,2,3)+! C(0,0,1), !CER Qual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r ? (A) (: c,y, z): (1,2,3)+! C(0,1,0), !CER (B) (maya): (0,0,1)+! C(1,2,3), !CER (C) ZL' 2 2 A y z 1 (D) . i::2 / 2:1 18
  19. 19. ITENs DE SELEÇÃO 18. ui Considere, num referencial o. n. Oxyz, os planos a e i3, definidos pelas seguintes equações: a : ,ir z 1 e B : y z 2 Seja r a reta de intersecção dos planos a e B Indique qual das expressões seguintes é uma equação vetorial da reta r (A) (: E,y, z)z(1,2,0)-l-! C(0,0,2), !CER (B) (1,152): (1,1,0)+k(1,2,0). keR (c) (: c,y, z)z(1,1,0)+! C(0,0,2), !CER (D) (x, y,z)z(1,2,0)+k(1,2,0), keR Considere, num referencial o. n. Oxyz, dois planos concorrentes, de equações . r«y+3:z1 e x+y~7:z7 Seja r' a reta de intersecção dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence à reta 7" ? (A) (5,5,0) M (1,0,0) (C) (0,0,-1) (D) (4,3.0) . . : r = 0 . Num referencial o. n. Omyz, a condição 7 _ 3 define (A) O conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano. Num referencial o. n. Ozyz, os planos a e B são definidos pelas equações: az; r-y+z+àz e Bi2x+2y+2z+lz0 Os planos a e B são (A) coincidentes. (B) estritamente paralelos. (C) perpendiculares. (D) concorrentes não perpendiculares. 19
  20. 20. GEOMETRIA NO ESPAÇO 22. Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial o. n. Oxyz. um par de planos perpendiculares. (A) 1'+y:3e1'+y=0 (B) ~. i'+y-: z1 e3Cl7+2y+2Z=2 (C) : rzy e zz0 (D) 2.r+2,i_/ +::9 e ; it-3z:0 23. Considere, num referencial o. n. Omyz, um plano a. de equação a" + 2y E z z 2 Seja B o plano que é paralelo a Oi e que contém o ponto (0, 1, 2) Qual das condições seguintes é uma equação do plano B ? (A) , r+2i_y~: z1 (B) I+zz2 (C) rm~2y+zz0 (D) : r-y+zz1 24. Num referencial o. n. Ow-jyz, considere o plano a, de equação L' + y z 4 Oplano a é (A) perpendicular ao plano xOy (B) paralelo ao plano xOy (C) paralelo ao eixo Ox (D) perpendicular ao eixo Os: : 25. Num referencial o. n. Oatyz, um plano a é perpendicular ao plano ; FOZ Qual das seguintes pode ser uma equação do plano a ? (M : =I+2 (B) 2 = 1+ ; U (C) t : ;U (D) y Z 2 20
  21. 21. ITENS DE SELEÇÃO Num referencial o. n. 0131/3, sejam a e B Os planos definidos pelas equações: ()Z. I'+_ijzÍ:1 e , “7':2;1'+2y-2:z1 Aintersecção dos planos a e n” ê (A) O conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano. Num referencial o. n. 0.17/3, considere areta 7': z í z O ponto de intersecção da reta r com o plano . rOz tem coordenadas (A) (z i. 2. 0) (B) (1. 0. 2) (c) (1. o. 6) (D) (3. 0. 6) Na figura, está representado, num referencial o. n. 0.131): , um paralelepípedo retângulo. O vértice O é a origem do referencial . O vértice P pertence ao eixo 0.1' O vértice H pertence ao eixo Oy O vértice S pertence ao eixo O. : Ovértice U tem coordenadas (24,2) Seja r a reta de equação (.12 y. c) z (2. 0, 2) + A: (0, 0. 1). !C E R Qual é o ponto de intersecção da reta 7' com o plano OUV ? (A) Ponto P (B) Ponto T (C) Ponto (7 (D) Ponto V 21
  22. 22. GEOMETRIA NO ESPAÇO 29. Num referencial o. n. Oacyz, considere a reta r de equação vetorial ((17.1), .: )z(0, 1,2)-l-! C(3,0, E 1), !i7 E R A reta 'f' (A) é paralela ao plano ; rOy (B) é paralela ao plano ; C02 (C) é paralela ao plano yOz (D) não é paralela a nenhum dos planos coordenados. 30. Dois planos a e B são estritamente paralelos. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Qualquer reta contida em a é paralela a qualquer reta contida em B (B) Há retas contidas em a que intersectam B (C) Há retas perpendiculares a oz que não são perpendiculares a B (D) Dada uma reta contida em a. , existem em B infinitas retas que lhe são paralelas 31. Considere, num referencial o. n. Omyz: -oplano a, de equação 2x + 2y + 22 z 5 - a reta ir, definida pela condição ; r z y z z Qual é a posição relativa da reta r e do plano a ? (A) r é perpendicular a a (B) r e a são concorrentes, mas não perpendiculares (C) r' é estritamente paralela a a (D) 'r está contida em a 22
  23. 23. 32. 33. 35. ITENS DE SELEÇÃO Considere, relativamente a um referencial o. n. Oxy: : - um plano a, definido pela equação 3x a z z 2 - uma reta r, definida pela condição x z à z - um ponto P, de coordenadas (0,2,3) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) P pertencea (i (B) P pertencea r (C) 1' é paralela a a (D) r é perpendicular a a Considere, num referencial o. n. Oxyz, a reta r definida por x z y ~ 1 / z z 4 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) 'r é paralela ao plano xOy (B) 7' contém o ponto (2, 3, 5) (C) r é paralela ao eixo Oz (D) r' é concorrente com o eixo Ox Considere, num referencial o. n. Oxyz, o plano definido pela equação .1:+2y+3z z 10 Z Para um certo número real m, a condição x z y - 2 z : L define uma reta paralela ao referido plano. l Indique o valor de m (A) - 2 (B) - 1 (C) 1 (D) 2 Sejam a e B dois planos perpendiculares. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Qualquer reta paralela a a é paralela a B (B) Qualquer reta paralela à intersecção de a e B é paralela a B (C) Qualquer reta perpendicular a a é perpendicular a B (D) Qualquer reta perpendicular à intersecção de a e .3 é perpendicular a B 23
  24. 24. GEOMETRIA NO ESPAÇO 36. Num referencial o. n. Oxyz, qual das seguintes retas intersecta os três planos coordenados (xOy, xOz e yO: )? (A) (x, y,z) : (111) +1: (1,00). i-eR (B) (x, y,z) : (111) +1; (02,0), ke "t (c) (JLLZ) z (1,1,1)+! C(1,2,0), ke( (D) (: I7,y, :) z (1,1,1) +1: (1,2,3), ice "t 37. Num referencial o. n. Ouvi/ z, considere Os pontos P(1,0,0), Q(0,1,0) e R(0,0, 1) Qual das condições seguintes deñne uma reta perpendicular ao plano PQR ? (A)xz1/yz1/: z1 (B) xz1/yz1 (C) x~1zy-2zz-3 (D) x+y+zzl 38. Considere, num referencial o. n. Oxyz, uma reta ir, perpendicular ao plano yOz. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) Areta I' é perpendicular ao plano xOy (B) A reta 'I' está contida no plano xOy (C) Areta r' é perpendicular ao eixo Ox (D) Areta r é paralela ao eixo Ox 39. Considere duas retas distintas, r' e s, perpendiculares a um mesmo plano. Qual das Seguintes afirmações é verdadeira ? (A) r' é perpendiculara s (B) r' e s são concorrentes, mas não perpendiculares (C) 'I' é paralela a s (D) 'r' e s não são complanares 24
  25. 25. Num referencial o. n. Oxyz, acondição í _I_ 3 (A) um ponto. (B) o conjunto vazio. (C) uma reta. (D) um plano. deñne | TENS DE SELEÇÃO Num referencial o. n. Oaryz, qual das seguintes equações define uma superfície esférica tangente ao plano yOz ? (N 0-2V+f+%=1 mi w›(r-m*+f : *:4 w) (17-2)2+y2+z2z2 (. zr~2)2+y2+z2z9 Num referencial o. n. Oxi z uma esfera tem centro no ponto C (2, 3, 4) e é tangente ao plano xOy. Uma condição que define a esfera é (A) x2+y2+z3 54? (B) (x - 2)'-” + (y - 3)? + (z - 4V 5 22 mim-2V+o~3V+@~4V: ? mim-2Y+w-3F+&~4V<N Qual das Seguintes equações define, num referencial o. n. Oxyz, esférica tangente aos planos de equações z z 1 e z z 5 ? (A) 1:3 +112 + (z z 3)? 25 ~› i | N) O1 (B) x2+y2+(z~4) il ii: (C) 1:2 + yz + (z - 3)? (D) . i7°3+y2+(z 74V 4 25 uma superfície
  26. 26. r, __ GEOMETRIA NO ESPAÇO 44. Qual das seguintes equações define, num referencial o. n. Oxyz, uma superfície esférica tangente aos planos de equações x z 4 e y z 0 ? (A) (x-2)2+(y-2)2+z2=4 (B) (x-2)2+(y-2)2+z2z 16 (c) x2+y2+(z-2)2z4 (D) (x-2)2+y2+z2z16 45. Num referencial o. n. Oxyz, considere: - o plano a, de equação y z 4 - a superfície esférica E, de equação x2 + (y - 2)? + 22 z 4 A intersecção da superficie esférica E com o plano a é (A) um ponto. (B) uma circunferência de raio 1 (C) o conjunto vazio. (D) uma circunferência de raio 2 46. Num referencial o. n. Oxyz, a condição (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2z25 / xzy deñne (A) uma circunferência. (B) um ponto. (C) um segmento de reta. (D) o conjunto vazio. 47. Considere, num referencial o. n. Oxyz, a superficie esférica S , de equação (x~2)2+(y-2)2+(z-2)2z2 Qual das equações seguintes define um plano cuja intersecção com a superfície esférica não é vazia? (A) xz-1 (B) xz0 (C) xz3 (D) xz4 26
  27. 27. ITENS DE SELE ÃO Considere, num referencial o. n. Oxyz, a superficie esférica centrada na origem do referencial e cuja intersecção com o plano de equação z z 3 é uma circunferência de perímetro 8 7T Qual das seguintes é uma equação desta superfície esférica? (A) x2+y2+z2z9 (B) x2+y2+z2z16 (C) x2+y2+z2z25 (D) x2+y2+z2z36 Num referencial o. n. Oxyz, considere: - a esfera definida pela condição x2 + y? + 2:2 5 25 - o plano de equação z z 4 Qual é a área da intersecção da esfera com o plano? (A) 7T (B) 37r (C) 671' (D) 97T Num referencial o. n. Oxyz, a intersecção das superfícies esféricas definidas pelas equações x2+y2+z2z4 e x2+y2+z2 z9 é (A) um ponto. (B) uma superfície esférica. (C) uma circunferência. (D) o conjunto vazio. Considere, num referencial o. n. Oxyz, as superfícies esféricas definidas pelas equações x2+(y-2)2+z2 z2 e x2+(y-3)2+z2z2 A intersecção destas superfícies esféricas é. .. (A) um ponto. (B) uma circunferência. (C) o conjunto vazio. (D) um segmento de reta. 27
  28. 28. GEOMETRIA NO EsPAço 52. 53. 54. 55. Considere, num referencial o. n. 0.1311:: 2 É? - a esfera E definida pela condição (. r - H3 + (y a 2)? -i- ( - í 36 -areta r deequação (m, y, z) : (1,113) +k( - 20,1), k E R A intersecção da reta 'r' com a esfera E é um segmento de reta. Qual é o comprimento desse segmento de reta? (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 Considere a esfera definida pela condição (a: - 2)2 -i- (y ~ 3)2 + (s - 4)2 5 14 Sabendo que [AB] é um diâmetro dessa esfera e que A tem coordenadas (1, 1, 1), indique as coordenadas de B (A) (24.8) (B) (3.5,7) (c) (46,5) (D) Considere, num referencial o. n. Oaryz, a esfera E definida pela condição -› $2+(y-7)*+22§9 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Na esfera E existem pontos do eixo 0a# (B) Na esfera E existem pontos do eixo Oy (C) O ponto (7. 7, 0) pertence à esfera E (D) Oponto (0,0, 7) pertenceàesfera E Num referencial o. n. Oryz, a condição . T2 + _U2 + (z ~ 2)2 í 4 define uma esfera. Qual das equações seguintes define um plano que divide essa esfera em dois sólidos com o mesmo volume? (A) z : o (B) -I' i 1 (c) . r : 2 (o) _p = 3 28
  29. 29. n¡ n): n¡ U7 (II ll) ITENS DE SELEÇÃO Num referencial o. n. OJQi/ z, considere: - a esfera E definida pela condição . rj + _(12 + : g <_ 4 - areta r de equação vetorial (. r.,1¡. :) : (0,0.2) + k(0. 1,0). k E IR A intersecção da esfera E com a reta r é (A) um segmento de reta de comprimento 2 (B) um segmento de reta de comprimento 4 (C) um ponto. (D) o conjunto vazio. Considere, num referencial o. n. 0.11112, a superfície esférica de equação . (73 +113 + (l ~ 2)") : 4 A intersecção desta superfície com o plano . rOy é (A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma circunferência. (D) um círculo. Uma pirâmide tem 31 vértices. Quantas arestas tem? (A) 30 (B) 40 (c) 50 (o) 60 Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. Quantas faces e quantas arestas tem esse prisma? (A) 2m faces e 27¡ arestas (B) 2)¡ faces e 311 arestas (C) 71+ 2 faces e 22¡ arestas (D) n +2 faces e 551¡ arestas 29
  30. 30. GEOMETRIA No ESPA o 60. Na figura, está representado um cubo de aresta 4 Os pontos A, B e C são vértices da mesma face do cubo. O ponto D pertence a uma das arestas do cubo e DC' = 3 Qual é o valor da área da secção produzida no cubo pelo plano ABD? (A) 10 (B) 12 (c) 20 (D) 25 61. Na ñgura, está representado um sólido que se pode decompor no cubo [ABCDEF GH ] e na pirâmide triangular não regular [GIJK] Sabe-se que: - o cubo tem aresta 6 - o ponto I é o ponto de intersecção do segmento [BK] comaaresta [GF] - o ponto J é o ponto de intersecção do segmento [DK] comaaresta [GH] - o ponto G' é o ponto médio do segmento [C K l Qual é o valor do volume da pirâmide [GIJK] ? (A) 36 (B) 27 (C) 18 (D) 9
  31. 31. Considere, num referencial o. n. Oxyz, a reta r definida por y. z) : (3. Qual das condições seguintes define uma reta paralela â reta r ? (A) (B) lC) (D) g/ :õ / . I' : 3 / u'. y. 2) l. i'. y.: ) 4.5)+A: (1.0,0). kER : :6 u: 4 (L0m+kBAj)keR (&4m+kw4m)keR ITENS DE SELEÇÃO Na figura, está representado, num referencial o. n. Oaiyz, o cubo [OPQRSTUV] : e aresta 2 Os pontos P, R e T pertencem aos semieixos positivos. Juma das opções seguintes estão as coordenadas de um ponto pertencente a uma das arestas do cubo. Em qual? (A) (1,1.2) (B) (1,20) (C) ((),1.1) (D) (1,1.1) 31 , _ B. .-
  32. 32. GEOMETRIA NO ESPAÇO 64. Considere, num referencial o. n. 0.13112. a reta f definida por (I, y,z) : ( 1,2,3)+k(0.1,0). k E É( Qual das condições seguintes também define a reta t ? (A) .1': ~1/ _1/:2 (B) y:2/ : :3 (C) . r: 1^ : :3 (D) ; r=0/ : :O 65. Seja (l um número real. Considere, num referencial o. n. Oxyz, areta s eoplano [í definidos, respetivamente, por (. I'. _(j. 2') 2 ( - 1.0.3) + k(1, l. 7 1). k e R e 3Jr+3y +(i: :1 Sabe-se que a reta s e paralela ao plano H Qual é O valor de (1 '? (A) 4:5 (B) 1 (c) 3 (D) 6 66. Num referencial o. n, Oxyz, considere um ponto P que tem ordenada igual a a 4 e cota igual a 1. Considere também ovetor ã' de coordenadas (2. 3. 6) Sabe-se que os vetores OP e í' são perpendiculares. Qual é a abcissa do ponto P ? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 67. Considere, num referencial o. n. 0131/5, a reta definida por [ Í Qual das equações seguintes define um plano perpendicular a esta reta ? (A) . I'+y~: :5 (B) .17+y+22:5 (C) . r7y:5 (D) . r+y: ,5
  33. 33. Programação linear Na figura junta está representada a região admissível de um problema de Programação Linear. Esta região corresponde ao sistema x20 920 x55 3136 2w+y512 Qual é o valor máximo que a função objetivo, definida por z = :c + y, pode alcançar nesta região? (A) 7 (B) 9 (c) 11 (o) 13 Num certo problema de Programação Linear pretende-se maximizar a função objetivo, a qual é definida por L = 3:5 + y Na figura está representada a região admissível. Qual é a solução desse problema? (A) 27:6 e y=3 (B) x24 e y=2 (C) 1:24 e y=3 (D) x26 e y=2 33
  34. 34. PROGRAMAçÃO LlNEAFt 3. Num certo problema de Programação Linear pretende-se minimizar a função objetivo, a qual é definida por L 2 2x + y Na figura, está representada a região admissível. Numa das opções seguintes está a solução desse problema. Em qual delas? (A) m 2 1 e y 2 1 (B) a: 2 O e y 2 2 (C) a: 2 3 e y 2 1 (D) : C20 e y21 34
  35. 35. ITENS DE SELE ÃO L Considere o seguinte problema de Programação Linear: Um agricultor tem um terreno com 100 hectares, onde pretende semear centeio e tomate. Devido a problemas de regadio, não pode semear mais do que 30 hectares de tomate. Cada hectare de centeio dá um lucro de 800 euros e cada hectare de tomate dá um lucro de 1000 euros. Quantos hectares de centeio e quantos hectares de tomate deve o agricultor semear, de modo a obter o maior lucro possível? Seja a: o número de hectares de centeio e seja y o número de hectares de tomate. Em qual das figuras seguintes está representada a região admissível deste problema e nela assinalado o vértice S correspondente à solução? (A) (B) 35
  36. 36. .
  37. 37. 1 na: : ; Cir . ..a , , I. ln], w.. I.Dir| ü.n. I . ..#Ia. N.]i . :)I.
  38. 38. .. ,-L. .'›, ..q1 -H1 5' *“ - . r -¡. -., z,. _* r'
  39. 39. Geometria no plano Na figura, estão representadas, num referencial o. n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 Os pontos A e B pertencem àcircunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. Admitindo que o declive da reta AB é igual a 1 . . . í, resolva as tres alíneas seguintes: a) Mostre que uma equação da reta AB é : r - 2y + 5 2 0 b) Mostre que o ponto B tem coordenadas (3, 4) c) Seja C o ponto de coordenadas ( - 3, 16) Verifique que o triângulo [ABC] é retângulo em B Na figura, estão representados, num referencial o. n. : cOy : - os pontos A e D, pertencentes ao eixo Oy - oponto C, pertencente ao eixo Os: - a circunferência de centro na origem do referencial e raio 3, que passa pelos pontos A, C e D - a reta BD, que passa pelo ponto G - a reta AB, paralela ao eixo Oct: O ponto B tem coordenadas (6,3) Estão assinaladas na figura duas regiões: - uma, tracejada, no primeiro quadrante; - outra, sombreada, no quarto quadrante. a) Mostre que uma equação da mediatriz do segmento [BC] é y 2 - a: + 6 b) Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. c) Determine a área da região tracejada. Apresente o resultado arredondado às centésimas. 39
  40. 40. GEOMETRIA NO PLANO 3. Na figura, está representada, num referencial o. n. xOy, a circunferência que tem centro no ponto A(4, 7) e que passa pelo ponto D(8, 10) Sabe-se que: - [CF] é a corda da circunferência contida no eixo Oy - [CD] é uma corda da circunferência, paralela ao eixo Ox - [AE] é um raio da circunferência, paralelo ao eixo Oy - [ABCD] é um trapézio retângulo a) Determine a área do trapézio [ABCD] b) Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento [AD] c) Defina, por uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. 4. Na ñgura, está representada, num referencial o. n. xOy, a circunferência de equação (x-4)2+(y-1)2225 O ponto C é o centro da circunferência. a) O ponto A, de coordenadas (0, - 2), pertence à circunferência. A reta t é tangente à circunferência no ponto A Determine a equação reduzida da reta t 257r b) P e Q são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 6 Determine o valor do produto escalar CP . CQ 40
  41. 41. ÍTENS DE CONSTRU ÃO m figura, está representado um triângulo [ABC]. Os pontos D e E são os pontos médios dos lados [AB] e [BC], respetivamente. B Utilizando cálculo vetorial, prove que as retas AC e DE são paralelas. Na figura, está representada uma circunferência de centro O e raio r Sabe-se que: o [AB] é um diâmetro da circunferência - O ponto C pertence à circunferência - a é a amplitude do ângulo COB A B - [OD] é perpendicular a [AC] v Prove que TC 2 4 r2c0s2 ( %) C Na figura, está representado um quadrado [ABCD] de lado igual a 4 D C A E B Admita que o ponto E pertence ao segmento [AB] e que o triângulo [ADE] tem área igual a 6 2 Determine O valor exato de ED . DC , sem recorrer à calculadora. 41
  42. 42. GEOMETRIA No PLANO 8. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] A B Sabe-se que: - o ponto I é o ponto médio do lado [DC] J - o ponto J é o ponto médio do lado [BC] É) É) : › 2 Prove que AI. AJ 2 [IABH D I C 9. Considere, num referencial o. n. : rOy: - a reta r, definida pela equação y 2 2:1: - 1 - oponto A de coordenadas (0, - 2) a) Escreva uma equação vetorial da reta r b) Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta r que passa no ponto A c) Na figura ao lado, estão representados a reta r , o ponto A e a circunferência que tem centro no ponto A e que passa em O Defina, por uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a sua fronteira. 10. No referencial o. n. xOy da figura, estão representados o quadrado [OABC] e o retângulo [OPQR] Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo O1' eos pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC] Sabe-seque: - m2a - 0_P= b - Ézb Prove que as retas QB e RP são perpendiculares. 42
  43. 43. lTENs DE cONsTRU ÃO 11. Na figura, está representado um retângulo [ABCD] A B D ~ C Mostre que o produto escalar DB . DC é igual a DC 2 a) Na figura junta estão representados, em referencial o. n. mOy: - o círculo trigonométrico o areta r, de equação : c 2 1 - o ângulo de amplitude a, que tem por lado origem O semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta OA - o ponto B, intersecção do prolongamento da semirreta OA com areta r Como a figura sugere, a ordenada de B é JB Sem recorrer à calculadora, determine o valor de 5sen(% + a) + 2cos (37r-a) b) Considere agora um ponto P, do primeiro quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1 Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P Seja t a reta tangente à circunferência no ponto P Seja Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo 0.1' Prove que a abcissa do ponto Q é -lr- 43
  44. 44. GEOMETRIA No PLANO 13. Na figura, estão representadas, em referencial o. n. xOy, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem y B e raio igual a 5 › Os pontos A e B pertencem à circunferência. A O ponto A também pertence ao eixo das abcissas. 5 a) Admitindo que O declive da reta AB é igual a resolva as três alíneas seguintes: a1) Mostre que uma equação da reta AB é : t: - 2y + 5 2 0 a2) Mostre que o ponto B tem coordenadas (3,4) a3) Seja C o ponto de coordenadas ( - 3, 16) Verifique que o triângulo [ABC] é retângulo em B b) Admita agora que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. B Para cada posição do ponto B, seja a a F A y amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o A A semieixo positivo O3: e cujo lado extremidade é a 5 semirreta OB Seja d o comprimento do segmento [AB] bl) Mostre que d? 2 50 + 50 cosa bz) Para uma certa posição do ponto B, tem-se tg a 2 x/ 24 Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d
  45. 45. ÍTENS DE CONSTRU ÃO 14. Na figura, está representada, em referencial o. n. xOy, a circunferência de centro em O e raio 5 Os pontos A e B são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos Oct: e Oy, respetivamente. Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB , nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B Para cada posição do ponto P, sabe-se que: - o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO 2 PQ ° a reta r é a mediatriz do segmento [OQ] - o ponto R é o ponto de intersecção da reta r com o eixo Os: - a é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP (a E ] 0 , g [ ) Seja f afunção, de domínio ] 0 , g definida por f(: z:) 2 25 senwcosx Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora. a) Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f (a) b) Determine o valor de a, pertencente ao intervalo ] 0 , g [ , para o qual se tem f(a) 2 25 cos2a c) Seja 6 um número real, pertencente ao intervalo ]O , g [, tal que f(9) 2 5 Determine o valor de (sen 6 + cos 9)2 d) Considere agora o caso em que a abcissa do ponto P é 3 Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P 45
  46. 46. 1. Geometria no espaço Na figura, estão representados, num referencial o. n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide. A base da pirâmide, [OPQR], está contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma. O ponto W, vértice da pirâmide, coincide com o centro da base superior, [S TU V], do prisma. O ponto P tem coordenadas (5,0,0) a) Defina, por uma condição, a superfície esférica de centro no ponto Q e que passa no ponto O b) Sabe-se que o volume da pirâmide é igual a 75 Determine as coordenadas do ponto W, vértice da pirâmide. 46
  47. 47. ÍTENS DE CONSTRU ÃO l Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, o prisma triangular não regular [ABCDEF] Sabe-se que: - as basí são triângulí isósceles (É: AC e É: DF) - a base [ABC] está contida no plano : rOy - as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases - oponto A tem coordenadas (4,0,0) - oponto E tem coordenadas (0, 3,8) - o ponto F é o simêtrico do ponto E, relativamente ao plano xOz a) Determine uma equação vetorial da reta DF b) Determine a área lateral do prisma. 3. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, um cubo [OPQRSTUV] A aresta [OP] está contida no semieixo positivo O33, aaresta [OR] está contida no semieixo positivo Oy ea aresta [OS] está contida no semieixo positivo Oz Oponto U tem coordenadas (2, 2, 2) No eixo Oz está representado um ponto A, cuja cota é 4 a) Defina, por meio de uma condição, a aresta [U Q] b) Averigue se o ponto T pertence ao plano mediador do segmento [AV] c) Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano PQA e determine o seu perímetro. 47
  48. 48. GEOMETRIA NO ESPA O 4. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, parte de um plano ABC Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado. O plano ABC é definido pela equação 6:10 + 3y + 4z 2 12 Seja r a reta que passa no ponto A e é perpendicular ao plano ABC Determine uma equação vetorial da reta r 5. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] cuja base está contida no plano : ziOy Sabe-se que: - oponto A pertence ao eixo Oz: - oponto B tem coordenadas (5,3,0) o ponto V pertence ao plano de equação z 2 6 6:1: + 18y - 52 2 24 é uma equação do plano ADV 18a: - 6y + 5z 2 72 é uma equação do plano ABV a) Determine o volume da pirâmide. b) Determine as coordenadas do ponto V, sem recorrer à calculadora. c) Seja S' o ponto de coordenadas ( - 1, - 15.5) Seja 7" a reta que passa pelo ponto S e é perpendicular ao plano ADV Averigue se o ponto B pertence à reta r 48
  49. 49. ITENS DE coNsTRuçÃO 6. Considere, num referencial o. n. Oxyz, um cilindro de revolução oorno o representado na figura. - A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano rOy - [BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem coordenadas (0, - 5, 0) O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4, 3, 0) - A reta r passa no ponto B e é paralela ao eixo O2 - O ponto D pertence à reta r' e à circunferência que limita a base superior do cilindro. a) Justifique que a reta AC é perpendicular à reta AB b) Escreva uma equação vetorial da reta r c) Justifique que AC é um vetor perpendicular ao plano ABD Determine uma equação deste plano. d) Designando por a a amplitude do ângulo BOD, mostre que o volume do cilindro édado por V(a) 2 1257Ttga, com a e [0, g[ 49
  50. 50. GEOMETRIA NO ESPAQO 7. Considere, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide regular de base quadrada (ver figura). - O vértice V da pirâmide pertence ao semieixo positivo O2 - A base da pirâmide está contida no plano : rOy A aresta [PQ] é paralela ao eixo Oy - O ponto Q tem coordenadas (2, 2, 0) a) Sabendo que, na unidade considerada, o volume da pirâmide é igual a 32, mostre que a cota do vértice V é igual a 6 b) Mostre que o plano QRV pode ser definido pela equação 3y + 2 2 6 c) Determine uma condição que defina a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV d) Justifique que a intersecção da aresta [QV] com o plano de equação 2 2 3 é o ponto M (1, 1, 3) e determine a área da secção produzida na pirâmide por esse plano. 50
  51. 51. ITENS DE CONSTRU ÃO Uma embalagem de pastilhas tem a forma de um prisma hexagonal regular. Considere o prisma representado num referencial o. n. Oaryz Sabe-se que: - Os pontos A, B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano ; nOy e tem por centro a origem do referencial - Os pontos D, E. F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano de equação 2 2 12 - Oponto C tem coordenadas (0,4,0) a) Mostre que o ponto B tem coordenadas (V 12 , 2, 0) e aproveite este resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas ( - x/ 12 . 2, 12) b) Mostre que a reta DG pode ser definida pela condição /3x+y2 -4 / 2212 c) Determine a intersecção da reta DG com o plano que contém a face [ABF E] do prisma. d) Considere agora que a unidade do referencial é o centímetro ( 1 c iíiz) Sabendo que, quando a caixa foi comprada, tinha doze pastílhas. cada uma das quais com um volume de 30 cm3, determine, com aproxmaçào as unidades, a percentagem do volume da caixa que, no momento da corra. se encontrava vazio. 51
  52. 52. GEOMETRIA No EsPA O 9. Na figura, estão representados, num referencial o. n. Oxyz, um prisma quadrangular regular e uma pirâmide. _ _-. _____. .._ _ _ _ l I l l I A base [OF GE] da pirâmide está contida no plano xOy e coincide com a base inferior do prisma. O vértice H da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. O ponto G tem coordenadas (4, 4, 0) a) Sabendo que o volume do prisma é igual a 96, mostre que H tem coordenadas (2, 2, 6) b) Escreva uma equação cartesiana do plano OEH c) Indique, justiñcando, uma equação vetorial da reta que é a intersecção do plano OEH com o plano ABC d) Determine, com aproximação à centésima da unidade, o raio da esfera cuja área é igual à área total do prisma. 52
  53. 53. ITENS DE CONSTRUCAO 10. Num referencial o. n. Oxyz, considere um cone cuja base está contida no plano yOz e cujo vértice pertence ao semieixo positivo Ox A base tem raio 3 e centro em O, origem do referencial. A reta r', de equação (x, y,2) 2 (0,3,0) + k(3, ~ 1,0), k E IR, contém uma geratriz do cone. ' a) Mostre que a altura do cone é 9 b) Determine uma equação do plano que passa no vértice do cone e é perpendicular à reta 'r c) Determine a área do polígono que resulta da intersecção do cone com o plano de equação 2 2 0 53
  54. 54. GEOMETRIA No ESPAÇO 11. 12. Na figura, está representado um cubo. num referencial o. n. Oxyz - O vértice O coincide com a origem do referencial. - O vértice R pertence ao semieixo positivo Ox - O vértice P pertence ao semieixo positivo Oy - O vértice S pertence ao semieixo positivo O2 - Aabcissa de R é 2 a) Determine uma equação cartesiana do plano PUV b) Mostre que o raio da superficie esférica que passa nos oito vértices do cubo é (/3 e determine uma equação dessa superfície esférica. c) Calcule a área da região do plano PU V compreendida entre a secção determinada por esse plano, no cubo, e a secção determinada pelo mesmo plano, na superficie esférica referida na alinea anterior. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma caixa cilíndrica construida num material de espessura desprezável. A caixa contém duas bolas encostadas uma à Outra e às bases da caixa cilíndrica. - O cilindro tem uma das bases no plano xOz O centro dessa base é o ponto de coordenadas (3, 0, 3) A outra base está contida no plano de equação y 2 12 - As bolas são esferas de raio igual a 3 Os diâmetros das esferas e das bases do cilindro são iguais a) Justifique que a superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano x02 tem centro no ponto (3, 9, 3) e que o ponto (1, 8, 1) pertence a essa superfície esférica. b) Escreva uma equação do plano tangente, no ponto (1, 8, 1), à superficie esférica referida na alínea anterior. Nota: um plano tangente a uma superficie esférica é perpendicular ao raio relativo ao ponto de tangência. c) Considere agora a caixa vazia. Seccionou-se a caixa pelo plano de equação 2 2 4. Supondo que a unidade do referencial é o centímetro, determine O perímetro da secção obtida. 54
  55. 55. ITENS OE cONsTRu ÃO B. Considere, num referencial o. n. Oxyz, os pontos A(5, O, O) e B(0, 3, 1) a) Mostre que a reta AB está contida no plano de equação x + 2y - 2 2 5 b) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo O2 e de cota positiva, de tal modo que o triângulo [ABC] seja retângulo em C c) Determine o volume do cone que resulta da rotação do triângulo [AOB] em torno do eixo Ox 14. Considere, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide triangular não regular [OPQV] Tem-se que: - O vértice O da pirâmide é a origem do referencial - Ovértice V tem coordenadas (0,4, 2) O vértice Q pertence ao plano xOy - Uma equação do plano OPQ é x - y 2 0 Uma equação do plano PQV é x + y + 2 2 6 - Uma equação do plano OPV é x + y - 2 2 2 0 a) Mostre que o ponto P tem coordenadas (2,2,2) e que o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) b) Mostre queo ângulo OPQ é reto. c) Justifique que a reta PV é perpendicular ao plano OPQ e utilize este facto para determinar o volume da pirâmide [OPQV] 55
  56. 56. GEOMETRIA NO ESPAÇO 15. 16. Na ñgura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. z Sabe-se que: ° A base [ABCD] da pirâmide é um quadrado contido no plano xOy - Os pontos A e C pertencem ao eixo Ox - Os pontos B e D pertencem ao eixo Oy - O ponto P pertence ao eixo O2 a) Determine o volume da pirâmide, sabendo que uma equação do plano ABP é 2x + 2y + 2 2 6 b) Justifique que a reta definida pela condição % 2 % 2 2 é perpendicular - plano ABP e passa na origem do referencial. c) Determine uma equação da superficie esférica de centro na origem do referencial que é tangente ao plano ABP Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangu : regular. - A base da pirâmide é paralela ao plano xOy - O ponto A tem coordenadas (8,8, 7) c 3 - O ponto B pertence ao plano yOz O ponto C pertence ao eixo O2 O ponto D pertence ao plano x02 O ponto E é o centro da base da pirâmide O vértice V da pirâmide pertence ao plano v xOy a) Determine o perímetro de uma face lateral da pirâmide. b) Determine a amplitude do ângulo DVB Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima do grau. c) Seja a o plano que passa no ponto E e é paralelo ao plano AVB Mostre que o eixo Ox está contido em O 56
  57. 57. I 57 "EIS DE CONSTRUCAO 17. Considere, num referencial o. n. Oxyz: ° oponto A(10,0,0) ° oponto B(0,2, 1) ° oponto C(0,5,0) - areta AB ' areta BC X a) Justifique que as retas AB e BC são complanares e mostre que o plano a por elas definido admite como equação x + 2y + 62 2 10. b) Determine uma equação vetorial da reta de intersecção do plano a com o plano x02 c) Calcule o volume da pirâmide [OBCA] 18. Na figura, estão representados três pontos, num referencial o. n. Oxyz - o ponto A, que tem coordenadas (O, 5, 2) - o ponto B, que pertence ao plano x02 - oponto C, que pertence ao plano xOy A reta BC tem equação vetorial (x, y,2) 2 (5,4, - 1) +k(1,2, - 1), k E IR a) Mostre que o ponto B tem coordenadas (3,0, 1) e que o ponto C tem coordenadas (4, 2,0) b) Mostre que otriângulo [ABC] é retângulo em C c) Considere a superfície esférica de centro em A, cuja intersecção com o plano xOy é uma circunferência de raio 3 Determine uma equação dessa superficie esférica.
  58. 58. GEoiviErRiA NO EsPAçO 19. Na ñgura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, um cone de revolução. Sabe-se que: - A base do cone está contida no plano xOy e tem o seu centro na origem do referencial [AC] e [BD] são diâmetros da base - O ponto A pertence ao semieixo positivo Ox - O ponto B pertence ao semieixo positivo Oy - Ovértice V pertence ao semieixo positivo O2 a) Sabendo que uma equação do plano ABV é 4x + 4y + 32 2 12, mostre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4 b) Determine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto V e cuja intersecção com o plano xOy é a base do cone. c) Designando por a a amplitude do ângulo BVD, determine o valor de sen a 20. Na figura, está representado um cubo, num referencial o. n. Oxyz Sabe-se que: - a face [OPQR] está contida no plano xOy - a face [OS VR] está contida no plano xO2 - a face [OSTP] está contida no plano yO2 - uma equação do plano VTQ é x + y + 2 2 6 a) Mostre que o volume do cubo é 27 b) Determine uma equação da superfície esférica tal que: - o centro é o simêtrico de U, em relação ao plano xOy - o ponto Q pertence a essa superfície esférica. c) Seja a o plano que passa no ponto S e é paralelo ao plano VTQ Prove que a reta RP está contida em a 58
  59. 59. 21. 22. ITENs OE cONsTRu à A figura abaixo representa um cubo, num referencial o. n. Oxy: ° [ABCD] é uma face do cubo ° [EFGH] é a face oposta à face [ABCD] (o ponto H não está representado na figura) a) b) [AE], [CG] e [DH] são quatro arestas do cubo O ponto A tem coordenadas (3,5,3) O ponto D tem coordenadas ( w 3, 3, 6) Oponto E tem coordenadas (1,2, - 3) Determine o volume do cubo. Determine as coordenadas do ponto H e comente a seguinte afirmação: o ponto H pertence a um dos eixos coordenados. O ponto P é o ponto de intersecção do eixo O2 com a face [ABC D] Determine as coordenadas de P Considere, num referencial o. n. Oxyz, os pontos A(2,3,10) e B(10, 13,25) Um tiro é disparado de A, de tal forma que o projétil passa pelo ponto B a) b) Pretende-se atingir um alvo situado no ponto C (98, 123, 190) Mostre que, se o projétil seguir uma trajetória retilínea, o alvo é atingido. A trajetória retilínea só é garantida se o alvo se encontrar a menos de 300 unidades do local onde o projétil é disparado. Prove que, no caso presente, a trajetória retilínea está garantida. Justifique que existe um e um só plano a que passa na origem do referencial e nos pontos A, B e C Averigue se esse plano é perpendicular ao plano xOy 59 O
  60. 60. GEOMETRIA No EsPAçO 23. 24. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, um poliedro com doze faces, que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. Sabe-se que: - o vértice O do poliedro é a origem do referencial; - o vértice E do poliedro tem coordenadas (2,2,2) - a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo. a) Justifique que o ponto F não pertence à superfície esférica de diâmetro [PQ] b) Mostre que a reta EG é perpendicular ao plano ADQ c) Determine a área da secção definida no poliedro pelo plano ADQ Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxy2, uma pirâmide quadrangular regular. O vértice O é a origem do referencial Z O vértice P pertence ao eixo O2 P O vértice R pertence ao plano xOy V 0111.5) O vértice V tem coordenadas ( - 2, 11,5) Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é (x, y,2) 2 (7, - 1,5) +k(6, -8.0). k E R a) Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3x ~ 4y 2 0 b) Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4, 3, 5) c) Determine o volume da pirâmide. (7) L )
  61. 61. ITENs OE cONsTRu ÃO 25. Num referencial o. n. Oxy2, considere o paralelepípedo retângulo [OPQRSTUV] Os pontos P, R e V pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e O2, respetivamente. O quadrilátero [ABC D] é a secção obtida no paralelepípedo pelo plano de equação 2x + 3y + 2 2 22, que é perpendicular à reta OT Oponto R tem ordenada 6 a) Justifique que o ponto T tem coordenadas (4, 6, 2) b) Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano ABC e que passa no ponto Q c) Determine as coordenadas do ponto D lí Considere, num referencial o. n. Oxy2, duas retas, r e s, de equações “g1 = 9:1 22 e (x, y,2)2(1, -1,0)+k(2,1, 21), kEiR, respetivamente. a) Justifique que as retas r e s definem um plano. b) Mostre que o plano definido pelas retas r e s é paralelo ao plano de equação : t: - y + 2 2 10 c) Determine a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais. 61
  62. 62. GEOMETRIA NO ESPAQO 27. 28. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxy2, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide está contida no plano de equação 2 2 4 O vértice A pertence ao eixo O2 O vértice B pertence ao plano yO2 O vértice D pertence ao plano xO2 Ovértice C tem coordenadas (4,4,4) A altura da pirâmide é 6 a) Mostre que uma condição que deñne a reta DE é x - 4 2 - y 2 b) Determine uma equação do plano que passa no ponto B e é perpendicular à reta DE c) Determine a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xOy Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxy2, um octaedro [ABCDEF] Sabe-se que: - Ovértice B tem coordenadas (1,0, 1) - Ovértice E tem coordenadas (0, 1,1) - Ovértice F pertence ao plano xOy - Ovértice A tem coordenadas (1,1,2) a) Mostre que a reta definida pela condição x 2 y 2 2 é perpendicular ao plano ACD b) Determine uma equação da superfície esférica que passa nos seis vértices do octaedro. c) Seja a o plano definido pelo eixo O: e pelo ponto A A secção produzida no octaedro pelo plano O é um quadrilátero. Caracterize esse quadrilátero e determine o seu perímetro. 62
  63. 63. 29. Na figura, estão representados, num referencial o. n. Oxy2, um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura. A base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano xOy O vértice P pertence ao eixo Ox O vértice R pertence ao eixo Oy O vértice S pertence ao eixo O2 Ovértice U tem coordenadas (2,2,4) a) Escreva uma condição que defina a reta TU TENS OE cONsTRu à b) Calcule a amplitude do ângulo WQV. Apresente o resultado em graus, arredondado às unidades. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. c) Considere o plano de equação x 2 y Determine a área da região compreendida entre as secções produzidas, por esse plano, no prisma e na pirâmide. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxy2, um sólido formado por um paralelepípedo retângulo [ABC DE F GH] e uma pirâmide [ABC DV] A base [EF GH ] do paralelepípedo está contida no plano xOy e a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo. A aresta [GF] está contida no eixo Oy Uma equação da superfície esférica com centro A(1,1,1) eque contém G é (x-1)2+(y-1)2+(2-1)2211 a) Veriñque queo ponto H tem coordenadas ( 1, - 2,0) b) Mostre que uma equação do plano AGH é y - 3: + '2 2 0 c) Designando por r: a cota do ponto V, mostre que o volume do sólido é 2 + (- 63 O
  64. 64. GEOMETRIA No EsPAçO 31. Na ñgura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide regular. Sabe-se que: - a base [RSTU] é um quadrado de área 4 com centro na origem do referencial - a aresta [RS] é paralela ao eixo Oy - Ovértice V tem coordenadas (0,0,2) Mostre que a reta definida pela condição x 2 0 / y 2 2 2 é perpendicular ao plano STV e escreva uma equação deste plano. 32. Considere, num referencial o. n. Oxyz, o ponto P (0, 4, 3) a) Seja a o plano que passa no ponto P e é perpendicular â reta de equação vetorial (x, y, z) 2 (0, 1, - 3) + k (1,0, 2), k E IR Determine a área da secção produzida pelo plano a na esfera deñnida pela condição (x + 2)2 + (y - 1)? + (z - 4)? 5 3 b) Admita que um ponto Q se desloca ao longo do semieixo positivo O2, nunca coincidindo com a origem O do referencial. Seja f a função que faz corresponder, â cota 2 do ponto Q, o perímetro do triângulo [OPQ] Mostre que f(2) 2 z + 5 + v 22 - 62 + 25
  65. 65. ITENs OE CONSTRU ÃO 33. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, o cubo [OPQRSTU V] de aresta 5 O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial. Os vértices P, R e S do cubo pertencem aos semieixos positivos Ox, Oy e Oz, respetivamente. O triângulo escaleno [M N Q] é a secção produzida no cubo pelo plano a de equação 10x +15y +62 = 125 a) Escreva uma condição que defina a reta que passa por U e é perpendicular ao plano a b) Seja , B aamplitude, em graus, do ângulo MQN Determine 6 Apresente o resultado arredondado às unidades. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 65
  66. 66. GEOMETRIA No EsPAçO 34. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular. Admita que o vértice E se desloca no semieixo positivo Oz, entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos. Com o movimento do vértice E, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano xOy, de tal forma que: - a pirâmide permanece sempre regular - o vértice A tem sempre abcissa igual à ordenada - sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre x + c 2 6 a) Seja V(x) ovolume da pirâmide, em função de x (x E ]0,6[ ) Mostreque V(x) 28x? - -Ê- x3 b) Admita agora que x 2 1 Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos A, B e E e determine uma equação cartesiana do plano ABE 66
  67. 67. ITENS DE CONSTRUQÃO 35. Na figura, está representado um referencial o. n. Oxyz Cada um dos pontos A, B e C pertence a um eixo coordenado. O ponto P pertence ao plano ABC O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados. O plano ABC é definido pela equação x + 2y + 32 2 9 a) Seja a a abcissa do ponto P (a e ]0, 3[) Mostre que o volume do prisma é dado, em função de a, por V(a) 2 3a? - a3 b) Seja r a reta que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano ABC Determine uma equação vetorial da reta r 67
  68. 68. GEOMETRIA No ESPA O 36. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, um cone de revolução. Sabe-se que: - a base do cone está contida no plano a de equação x + 2y - 22 2 11 - o vértice V do cone tem coordenadas ( 1, 2, 6) - o ponto C é o centro da base do cone a) Determine uma equação do plano 'y que passa no vértice do cone e que é paralelo ao plano a b) Seja B o plano deñnido pela equação 2x - y + 2 2 3 Averigue se os planos a e B são perpendiculares. c) Seja W o ponto simêtrico do ponto V, em relação ao plano xOy Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condição que defina o segmento de reta [VW] d) Sabendo que o raio da base do cone é igual a 3, determine o volume do cone. 68
  69. 69. ITENS DE cONsTRu ÃO 37. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR] Oponto Q tem coordenadas (2, 2,0) O volume do sólido é igual a 10 a) Determine a cota do ponto E b) Determine uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto T e que passa pelo ponto C c) Na figura abaixo está representado o cubo, em papel quadriculado. Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano F QD Em seguida, assinale com um X a opção correta, quanto à forma da secção. A secção obtida é um E triângulo D retângulo Iosango trapézio pentágono CIIJÉIJ hexágono 69
  70. 70. GEOMETRIA No EsPAçO 38. Na figura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, o cubo [ABCDEF GH] (o ponto H não está representado na figura). a) Preencha cada um dos espaços seguintes, utilizando a designação de um ponto ou de um vetor, de modo a obter afirmações verdadeiras. Copie as añrmações obtidas para a sua folha de respostas. b) Admita agora que: - o ponto A tem coordenadas (11, - 1,2) - oponto B tem coordenadas (13, 2, 8) - o ponto E tem coordenadas (8, 5, 0) b1) Determine a área da secção produzida no cubo pelo plano ABG b2) Defina, por uma condição, a reta que passa pelo ponto F e é paralela ao eixo O2 70
  71. 71. 39. ITENS OE coNsTRuçÃO Na figura, estão representados, num referencial o. n. Oxyz, a pirâmide quadrangular regular [VOPQR] e o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] Sabe-se que: - os vértices P e R da pirâmide pertencem aos eixos coordenados Ox e Oy, respetivamente; - uma das bases do prisma está contida na base da pirâmide e cada vértice da outra base pertence a uma aresta da pirâmide. a) Preencha cada um dos espaços seguintes, de modo a obter afirmações verdadeiras quanto à posição relativa das retas e/ ou dos planos. Copie as afirmações obtidas para a sua folha de respostas. As retas DQ e VF são . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. As retas EH e . ... ... ... ... .. são não complanares. Areta PQ eoplano HGB são . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Areta F Q eo plano ADH são . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Os planos BQV e . ... ... ... ... .. são perpendiculares. b) Sabe-se que x2 + y2 + 22 - 2 x - 2 y - 82 2 0 é uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto V e que passa nos quatro vértices da base da pirâmide [VOPQR] Calcule o volume da pirâmide [VOPQR] 71
  72. 72. GEOMETRIA No EsPAçO 40. 41. Na figura, está representado, em referencial o. n. Oxyz, o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] As coordenadas dos pontos A, B e G são (11, -1,2), (8, 5, 0) e (6,9, 15), respetivamente. a) Determine as coordenadas do ponto H b) Escreva uma equação que defina a superfície esférica com centro no ponto A e que passa no ponto B c) Escreva uma equação que defina a reta que passa no ponto G e que é paralela ao eixo Oy Na figura, está representado um cilindro de altura h e raio da base r Sejam A e B os centros das bases do cilindro. Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento [AB], nunca coincidindo com o ponto A, nem com o ponto B Cada posição do ponto P determina dois cones cujos vértices coincidem com o ponto P e cujas bases coincidem com as bases do cilindro. Mostre que a soma dos volumes dos dois cones é constante, isto é, não depende da posição do ponto P Sugestão: designe por a a altura de um dos cones. 72
  73. 73. ITENs OE coNsTRuçÃO 42. Na figura, está representado, em referencial o. n. Oxyz, o poliedro [VNOPQURST] , que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que: - a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano . rOy - oponto P pertence ao eixo Ox - oponto U tem coordenadas (4, - 4, - 4) - o plano QTV 5x + 2y + 22 2 12 é definido pela equação a) Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina. a1) Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial. a2) Plano perpendicular à reta QN e que passa no ponto V a3) Reta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U a4) Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T b) Considere um ponto A, com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U Sabe-se que O71 . ã] 2 8 Determine a cota do ponto A c) Determine O volume do poliedro [VNOPQURST] 73
  74. 74. GEOMETRIA No ESPAÇO 43. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxy2, uma pirâmide quadrangular regular [ABCDE] cuja base está contida no plano . rOy Sabe-se que: - Ovértice A tem coordenadas (1,0,0) - Ovértice B tem coordenadas (0. 1.0) - o plano DCE é perpendicular à reta definida pela condição I_ 3 . CNIW :7 »O Determine o volume da pirâmide. Nota: pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano DCE 74
  75. 75. Ill as : z : :nsTnuçÀo 44. Na Figura 1, está representada uma peça metálica plana na (2-2 se “E'CC; a tracejado um quadrado [ABCD] com 3dm de lado. Na Figura 2, está representada a peça metálica que se obteve a part' da primeira peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH] Figura 1 Relativamente à Figura 2, sabe-se que: - cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD] - os quatro triângulos retângulos [EDH] , [HCG] , [GBF] e geometricamente iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto a) b) menor. Mostre que a área do quadrado [EFGH] é 5 dmz [FAE] são Na Figura 3, está representada uma pirâmide quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 45 dm? ” de área e cuja altura é 12 dm Sobre esta pirâmide deixou-se descair a peça metálica representada na Figura 2, de tal modo que esta peça ficou paralela à base da pirâmide e os vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as arestas laterais da pirâmide. Determine a distância, d , em decímetros, entre a peça metálica e a base da pirâmide. Nota Admita que a espessura da peça metálica é desprezâvel e tenha em conta que a área do quadrado [EFGH] é õdm” 75 V d. ) Figura 3
  76. 76. GEOMETRIA NO ESPA O 45. Na figura, está representada, num referencial o. n. Oxyz, a pirâmide quadrangular regular [ABCDE] Seja F o centro da base da pirâmide. Sabe-se que: - o ponto F tem coordenadas ( - 2, 1, - 1) - o vetor FE? tem coordenadas ( - 1, 2, 2) - a reta EA é definida pela condição (m, y, z) = ( - 3,3,1) + k(1, - 5,1), k E IR a) Escreva uma condição cartesiana que defina a reta EA Nota - Não necessita de apresentar cálculos. b) Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação m - 2g - 22 + 2 = 0 a: - y = - 6 c) Sabe-se que a condição define a reta ED y - z = 2 Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto D 76
  77. 77. ITENS DE CONSTRU Ão 46. Na ñgura, está representado, num referencial o. n. Oxyz, o cubo [ABCDEF GH ] (o ponto E não está representado na figura). Sabe-se que: - oponto F tem coordenadas (1,3, - 4) ? à - ovetor FA tem coordenadas (2,3,6) a) Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina. a1) Plano FGH a2) Reta AF a3) Superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto G b) Sabe-se ainda que a equação 6x + 2y - 3,2 + 25 = 0 define o plano HCD Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto E (vértice do cubo, não representado na figura). 77
  78. 78. Programação linear Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 80 hectares. Pretende semear pelo menos 25 hectares de trigo e pelo menos 15 hectares de milho. Sabe-se que ° o custo de produção de um hectare de trigo é 1 500 euros, - o custo de produção de um hectare de milho é 1 000 euros, e que - cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros, ' cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros. Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que 100 000 euros nesta produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro máximo? A turma da Isabel decidiu fazer arranjos florais, utilizando flores do horto da escola, para vender no Dia dos Namorados. Idealizaram arranjos formados por margaridas, rosas e violetas. Dispõem de: 192 margaridas, 88 rosas e 112 violetas. Pensaram formar dois tipos de arranjos: A e B. Cada arranjo do tipo A: - será composto por 16 margaridas, 4 rosas e 8 violetas; - dará um lucro de 3 euros. Cada arranjo do tipo B: - será composto por 8 margaridas, 8 rosas e 8 violetas; - dará um lucro de 2 euros. a) A Isabel sugeriu que se fizessem 7 arranjos de cada tipo. O Dinis sugeriu que se fizessem 10 arranjos do tipo A e 5 do tipo B. Averigue se cada uma destas propostas é, ou não, viável, tendo em conta as flores disponíveis. b) Determine o número de arranjos de cada tipo que os alunos devem produzir, para obterem o maior lucro possível (admitindo que vendem todos os arranjos). 78
  79. 79. ITENS DE CONSTRUÇÃO Encomendaram-se a um pasteleiro dois tipos de bolos para uma festa de casamento. Cada quilograma de bolo do tipo A dá um lucro de 5 euros, e cada quilograma de bolo do tipo B dá um lucro de 7 euros. Relativamente aos produtos necessários à confeção dos bolos, o pasteleiro só tem limitações em dois: dispõe apenas de 10 kg de açúcar e de 6 kg de farinha. Sabe-se que: - cada quilograma de bolo do tipo A leva 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha; - cada quilograma de bolo do tipo B leva 0,2 kg de açúcar e 0.3 kg de farinha. a) O pasteleiro pensa fazer 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B. Sera que é possivel? Justifique a sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e quantos quilogramas de bolo do tipo B deve o pasteleiro fabricar para ter o maior lucro possível? Determine o valor desse lucro. Uma autarquia pondera o abastecimento anual de energia elétrica para iluminação da via pública. Para o efeito, a rede nacional pode fornecer-lhe dois tipos de energia: energia de origem convencional, maioritariamente resultante da combustão de fuel, ou, em alternativa. energia eólica. Para uma cobertura razoável de iluminação, no período noturno, o consumo anual de energia não poderá ser inferior a 40 . WWW. Por razões ambientais, a autarquia pretende que a quantidade de energia de origem convencional não exceda a quantidade de energia eólica fornecida. Relativamente à energia de origem convencional, tem-se: - o preço por cada M1177 é de 80euros. Relativamente a energia eólica, tem-se: - o preço por cada , M1172 e de 90 euros; - o fornecimento de energia, nesse ano, não poderá ultrapassar os 40 . HW/ i. Determine que quantidade de energia de cada tipo deve ser consumida. de modo que possam ser minimizados os custos, tendo em conta as condicionantes referidas. 79
  80. 80. PRoGRAMAçÃo LINEAR 5. Uma frutaria confeciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga. Bebida X : com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Bebida Y : com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga. Para confecionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de laranja e de 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e cada litro de bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente toda a produção destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y deve confecionar por dia, para maximizar o lucro? 80
  81. 81. SOLUÇÕES
  82. 82. Í - e. a . _. . - _ . .E , u lmühniwrlltrill , , , . . ._. . . . L , .
  83. 83. ITENS DE SELEÇÃO Geometria no plano 1J23 CAD 4 B O >oo > 5 A A Geometria no espaço Programação linear 12 BAD o 34 em 83 1 2 3 4 5 6 7|a 9 w H n n A c A ByBLD”B¡A“B7A'ciBiA1 ciA 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3o 31 32 33 D"cic A A A DiA“B“D'A C A 41 42 43 44 45 46 47 |48 49” 5o 51 52 53 c'o'c A'A*A c| c D D'B c B 61 62 63 64 65 66 67 ' j 1 Í o AEB c D c D! | | j j
  84. 84. a) b) ITENS DE CONSTRUÇÃO Geometria no plano Comoodeclive da reta AB eiguala aequação reduzida desta retaeda forma g = à . '17 + b Comoareta passa no ponto A( - 5,0), tem-se 0 : >< ( - 5) + b 0:à><(/5)+bc>0: e §+b c> b: Vem, então: 1 5 . Í ç , g: 5.1: + í <: > 2y(; l'+5 <: > x~2y+o:0 O ponto B é o único ponto do primeiro quadrante que pertence simultaneamente â reta AB e à circunferência centrada na origem do referencial e raio 5, cuja equação é 3:2 + g2 = 25 Portanto, para mostrar que o ponto B tem coordenadas (3, 4), basta verificar que este par ordenado satisfaz, quer a equação da reta, quer a equação da circunferência. Tem-se: - 3-2><4+5:0 43 3 8+5=0 <: > 0:0, oqueéverdade; - 32 + 42 : 25 <: > 9 + 16 : 25 4:5 25 z 25, o que também é verdade. Portanto, oponto B tem coordenadas (3,4) Otriângulo [ABC] éretângulo em B se, esó se, os vetores BA e Bt: forem perpendiculares. Tem-se: BÍÍ= A-B: (~5,0)~ (3.4) : (4a -4) BõzCzBz(-3.16)»(3,4): (~6,12) . - . , _“"› '17' Estes dois vetores sao perpendiculares se, e so se, o produto escalar BA . B( for igualazero. Vejamos: ÊÀÍÊ : (as. e4). (~6.12):48e48:0 Otriângulo [ABC] é, de facto, retângulo em B 85
  85. 85. GEOMETRIA NO PLANO l a) O ponto B tem coordenadas _li_ Ia Uma vez que a circunferência tem raio 3. o ponto (' tem coordenadas (3. 0) Vamos agora apresentar três processos para resolver o problema. Primeiro processo: A mediatriz do segmento [BC] é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes do ponto B e do ponto C. Portanto, um ponto P, de coordenadas (.12 g), perter: e à mediatriz do segmento [BC] se, e só se, BB , a PC' PB= P(' <: > / (.I'(Õ)3+ (_l¡~3)'3 : / (.l'*3)2+(: _m2 e <: > (;1' e 6)* + (lj » 3V z (r _ : s)'-“ +113 c> <= > ,173 »12.1^+»36+_y3 a 6g + 0 : .172 e 6.1" + 9+ _113 c: <: > - 12.1' + 36 ~ 6g e 7 6.1' <: > ~ 6g : 12.1: - 6.1' ~ 36 à <: > -- 6;/ : 6.1' ~ 36 à g : ~ . r +6 Segundo processo: A mediatriz do segmento [BC] e a reta perpendicular a este segmento que conte* seu ponto medio. Como a reta BC é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares mediatriz do segmento [BC] é paralela à bissetriz dos quadrantes pares, pelo que te declive e l Portanto, a equação reduzida da mediatriz do segmento [BF] e da fc'^' g : - . lí + b. Determinemos o valor de b. O ponto médio do segmento [BC] tem coordenadas < 6:3 . 3:0 ou ser tem coordenadas Substituindo estas coordenadas na equafâ g 2 ~ .1'+l›, vem: 3 S) i ' 12 2_~2+1› bsã+ãzbe2gbeo Portanto, uma equação da mediatriz do segmento [BC] e g : ~ . r + 6 Terceiro grocesso: Para mostrar que y : .r + 6 é uma equação da mediatriz do segmento [Br basta mostrar que qualquer ponto da reta de equação g : ~ .17 l 6 está a ig_ distância dos pontos B e C 86
  86. 86. |TENS DE CONSTRUÇÃO Qualquer ponto P desta reta tem coordenadas da forma (x, - a: + 6) Vamos então verificar que, para qualquer : E E R, se tem PB = PC É= PÇC<= > (ar-6)2+(-x+6-3)2= (x-3)2+(-: c+6-0)2 e / (a: -6>2+(-m+3)2= / (-T'3)2+(_-77+6)2 Esta igualdade é verdadeira para qualquer a: E JR Portanto, para qualquer ponto P da reta de equação g = - x+6, tem-se PB = PC b) A região sombreada é limitada pela circunferência de centro na origem do referencial e raio 3 e pela reta BC Comecemos por determinar a equação reduzida da reta BC Como BC= C-B= (3,0)-(6,3)= (-3, -3), odeclive da reta BC é Comoo ponto D, de coordenadas (0, - 3), pertencea reta BC, a reta BC tem ordenada na origem igual a - 3 Portanto, a equação reduzida da reta BC é g = m - 3 Tal como a figura ao lado ilustra, a região em causa é a intersecção de duas regiões: - A região definida pela condição g í : r - 3 - A região deñnida pela condição : v2 + g2 5 9 Portanto, uma condição que define a região sombreada, incluindo a fronteira, é gÉx-B / . r2+g2§9 87
  87. 87. GEOMETRIA NO PLANO c) b) A área da região tracejada é igual à diferença entre a área do trapézio [ABCO] e e quarta parte da área do círculo de raio 3. Portanto, tem-se: 77x32 4 Área da região tracejada = 6 _g3 x3- z 6,43 [CD] é a base maior do trapézio. Como CD é igual à abcissa do ponto D, tem-se CD = 8 [BA] é a base menor do trapézio. Como m é igual à abcissa do ponto A, tem-se EX = 4 A altura do trapézio é igual à diferença entre a ordenada do ponto D e a ordenada d: ponto A, ou seja, é 10 - 7 = 3 A área do trapézio é, portanto, 8 É 4 ><3=18 Seja P(x, g) um ponto genérico da mediatriz do segmento [AD] Tem-se: ñ= Í<= ›(x-4)2+(g-7)2=(x-8)2+(g-10)2 <= > <= > x2-8x+16 +g2~14g+49= x2-16x+64 +g2-20g+10O e <= > -8x+16 - 14g+49= -16x+64 -20g+100 «à 4: 6g: -8x+99 <: > y= -%x+% e yz-âaw? . . . . 4 33 Assrm, aequação reduzida da mediatriz do segmento [AD] é g = - -3-x + 7 A região sombreada é limitada pelas retas de equações x 2 0, x = 4 e g = 7 e pela circunferência de centro no ponto A(4, 7) e raio igual à norma de É E z D- A = (8,10) - (4,7) = (4,3) peloque ]]AD]] = v4? +32 = 5 Assim, uma condição que define a região sombreada, incluindo a fronteira, é (x-4)2+(y-7)2525 / O§x§4 / y57 88
  88. 88. ÍTENS DE CONSTRUQÃO 4. a) Como as coordenadas do ponto C são (4, 1) e as coordenadas do ponto A são (o, -2), vem Ê = (4,1) - (o, -2) = (4,3) Assim, o vetor de coordenadas (3, - 4) tem a direção da reta t e, portanto, o declive desta reta é igual a - é Como a ordenada na origem da reta t é - 2, a equação reduzida desta reta é 4 g = - í : I: - 2 b) O raio do círculo é igual a 5, pelo que a área do circulo é 25 7r Como a área da região sombreada é podemos concluir que a área da região sombreada é ¡li- da área do circulo. Portanto, a amplitude do ângulo QCP é um sexto de 360°, ou seja, é 60° Vem, então: -> : t E o 1 25 013.06 = [[013]] x ]]CQ]] xcos60 = 5><5x 7 = 7 5. Tem-se: ÃÊEHBWÊ É = 2 É¡ É = 2 É' Vem, então: Ê= AT3'+B_C'=2D_B'+2B“E'=2(ʧ+ É) =2DÊ Portanto, AC = 2 DE. Daqui resulta que os vetores AC e DE são colineares, pelo que as retas AC e DE são paralelas.
  89. 89. GEOMETRIA NO PLANO 6. Como OA : Otriângulo : NAC e isósceles. Como o triângulo [CAC e isósceles. a altura [OD] intersecta [AC no pont: médio deste segmento. donde ; lD : pelo que AC : 2 AD Como o ângulo COB é um ângulo ao centro, a amplitude do arco CB é igual 5 amplitude do ângulo COB Portanto. a amplitude do arco CB e igual a (i O ângulo (AB e' um ângulo inscrito na circunferência, pelo que a sua amplitude e igual a metade da amplitude do arco CB Logo, a amplitude do ângulo CAB é igual a E í % u _ (l Como cos P vem AD : AO COS : rCOs Tem-se AB. TC: ]]AB][ >< ]]A(' x cos Como ]4B]] _ í:2r ecomo rlC : T : 2 T: 2 rCOS vem . ÍlB. AC 5 21x 2 rcos >< cos : 4I3COS3 7. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1° Processo ED). D(' s. 11:13]] >< ]]D(" >< cos Tem-se: › [P] = I - Como a área do triângulo [ADE] e igual a (3 e É : 4 . vem: L§L”: (;©T'xE: I-2:Af : :um : s i) 7 a Assim, T1?” A. 4D: e E z FD 5 b il
  90. 90. ITENS DE CONSTRUÇÃO Portanto, : 5 Tem-se, ainda, COS(ED^ D( ) : -cos(DE E . Ei/ Í I : : _COS<DÊA) : : i : ._ E t) Logo, ED. DC:5><4>< (: 2 -12 2° Processo Consideremos um referencial o. n. xOg do plano, em que, como a figura sugere, a origem do referencial coincide com oponto A eos pontos B e D pertencem aos eixos Ox e Og, respetivamente. Comoaárea do triângulo [ADE] é igual a 6 e É é iguala 4, vem: «AégMassíãxAçpdmss A-Exzidzsmsts Tem-se, portanto: C(4.4) D(0.4) E(3,0) Assim, ED : D- E : (0.4) - (3,0) : ( - 3,4) TC' : r: : D: (4,4)- (0,4): (4,0) Vem, então: ED . DC : ( :3,4). (4,0): :12+0: -12 Tem-se AÍ: AD+DÍ e AJ : AB›+ Bj Então, AÍ. AJ : (AD + Df) . (AB + BJ) : l | AD. AB'+AD. BJ+D1'. AB+DIIBJ: í› à o+AD. Ê+D“I. AB+o: í. : . +DIÓAB: ÉÉW ngm), gm) m: Hmíôpgmw): ÊHÚHZTÊIIÉH? àllñllitàllÉll? E
  91. 91. a) b) 10. 11. GEOMETRIA NO PLANO Como a reta r tem declive 2 e ordenada na origem - 1 , as coordenadas de u vetor diretor da reta 'r são (1, 2) e as coordenadas de um ponto da reta são (0, - 1) Portanto, uma equação vetorial da reta r é: (x, g) : (0, - 1) + k(1, 2), k E IR Seja s a reta paralelaà reta r que passa no ponto A. A reta s tem declive 2, pois paralela à reta r , e tem ordenada na origem - 2 , pois passa no ponto A Portanto, a equação reduzida da reta s é: g : 2x - 2 A região representada a sombreado é limitada pela circunferência que tem centro ponto A(0, - 2) e raio 2, pelo eixo Og epela reta r Uma condição que define esta região, incluindo a sua fronteira, é: x2+(y+2)254 / x20 A y52x-1 As retas QB e RP são perpendiculares se : 0 Tem-se: P(b,0), B(a, a), R(0,a - b) e Q(b, a- b) Então, É : B-Q: (a, a)-(b, a-b): (a-b, a-a+b): (a-b, b) ñ: P-R: (b,0)-(o, a-b): (b, -a+b) 'Qí. ñ*: (a-b, b). (b, -a+b): (a~b)><b+bx(: a+b): : ab-b2-ab+b2=0 Portanto, as retas QB e RP são perpendiculares. Tem-seque : +Ê)Ê= :mm w-otíd : o 455]): [[o-o*[]2=o-c2 Em alternativa, apresenta-se a seguinte resolução: Seja a oângulodos vetores DB e DC 92
  92. 92. ITENs DE CONSTRUÇÃO Tem-seque : >< Di Atendendo a que nos a : e a que [[É][: W e ][Ê]]: D*C. vem fa. ? : Em ía >< 9g. ; :71 7:55' 12. a) Resulta da figura que tga : M8 Pretende-se saber 5sen + a) + 2cos (' 7 : a) Ora, 5sen(â + a) + 2cos (37r: a) : õcosa - 2cosa : :Bcoso Portanto, sabemos que tg a : M8 e queremos saber o valor de 3 cos Oz 1 cos? a Tem-se: 1 + tgza : 1 cos2a Vem, então: 1 + - 005204 2 , L : cosa: 9 Como a e' um ângulo cujo lado extremidade está no terceiro quadrante, tem-se que cos a < 0 l Portanto, cosa : : T Vem então que 3cosa : : 1 93 3
  93. 93. GEOMETRlA NO PLANO b) Apresentamos a seguir três possiveis processos de resolução: 1° Processo: Seja B a amplitude do ângulo QOP Por um lado, tem-se que cosB : r Por outro lado, tem-se que : 2:_ : E cosB OQ OQ Portanto, É : r, donde : Q: -í- Portanto, a reta t intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa lr 2° Processo: Seja x a abcissa do ponto Q. Como este ponto pertence ao eixo Ox, a sua ordenada é zero. Tem-se assim que Q tem coordenadas (x, 0) 1 n A o EE E _ Como a reta t etangente acIrcunferencIa no ponto P, os vetores OP e PQ sao __› í› perpendiculares, pelo que OP . PQ : 0 Como ñ: Q-P: (x,0)-(r, s): (x-r, -s), vem: Ú3›. PQ›: O<: > (r, s). (x-r, -s):0 <: >rx-r2-s2:0 <= > <: >rx: r2+. s2 <= >rx:1 <: >x: ir 94
  94. 94. ÍTENS DE CONSTRU ' 3.° Processo Tem-se que OP : (7,3) , pelo que um vetor diretor da reta t é o vetor -> u : ( - s, r) Odeclive da reta t é, portanto, iguala - % Aequação reduzida da reta t é, assim, da forma g : - -Z- x + b Como o ponto P(r, s) pertence a esta reta, tem-se que s : - Í: - r + b, 2 2 2 dondevem b: s+ -Z-r : s + ê- : LJ-L : ?l Aequação reduzida da reta t é g = - -Íçn- x + ? l A abcissa do ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox é a solução da equação 0: - ? x + (onde x éaincógníta). _1_ r 1 r 1 s Ora, O--sx+s<= >sx_s <= >x-% <= › <= ›x= -1x-s-<= > x: -1- S T' 'f' 13. a1) Como o declive da reta AB e' igual a à , a equação reduzida desta reta é da forma y: à-x+b Comoaretapassanoponto A(-5,0), tem-se 0:à ><(-5) +b : §-x(_5)+b: ›0:-§+b @bzg Vem, então: g: àx+g <= > 2g: x+5 <= > x-2g+5:0 a2) O ponto B é o único ponto do primeiro quadrante que pertence simultaneamente à reta AB e à circunferência centrada na origem do referencial e raio 5, cuja equação é x2 + g2 = 25 Portanto, para mostrar que o ponto B tem coordenadas (3, 4), é suficiente verificar que este par ordenado satisfaz, quer a equação da reta, quer a equação da circunferência. 95
  95. 95. GEOMETRIA NO PLANO Tem-se: - 3:2><4+5:0 <= >3:8+5:0 @0:0, oqueéverdade; - 32+42 :25 <: > 9 +16 :25 : :› 25:25, oquetambéméverdade. Portanto, oponto B tem coordenadas (3,4) a3) O triângulo [ABC] é retângulo em B se, e só se, os vetores BA e B são perpendiculares. Tem-se: Êí= A:B: (-5,0)-(3,4): (-8,:4) B_c': c-B: (:3,16): (3,4): (-6,12) -_› -› Estes dois vetores são perpendiculares se, e só se, o produto escalar BA . BC é igualazero. Vejamos: É( . íõ : (-8, :4). (:6,12):48-48:0 Otriângulo [ABC] é, de facto, retângulo em B b1) Tem-se que as coordenadas do ponto B são (5 cos a . 5 sen a ) Como as coordenadas do ponto A são ( - 5,0), tem-se: : › AB : B-A: (5cosa, 5sena) - (-5,0) : (5+5cosa, 5sena) E 2 Portanto, d2 : ]]AB]] : (5+5cosa)2 + (5sena)2 : : 25+50cOsa +25cos2a + 25sen2a : 25 + 50 cosa + 25 (cosza + sen? a) : 25+50cosa +25 : 50+50cosa - 1 b2) Tem-se 1 + tg** O : C052 a Como tg O : x/24 vem: _ 1 1 A 2 _ 1 1 +24 _ Q0520, <: > coça : 25 <= > cos a _ T5 Como a é um ângulo do primeiro quadrante, tem-se cos a : % Portanto, d? : 50 + 50cosa : 50 + 50 >< : 50 + 1o: 60 Vem, então, d : x/ 60 96
  96. 96. ITENS DE CONSTRUÇÃO 14. a) No triângulo [OPQ] , o segmento de reta [PR] é a altura relativa à base [OQ] (T É Assimaárea do triângulo [OPQ] édada por Tem-se: - cosa : = 05H. pelo que 7: õcosa e. portanto, ÕÕ:1()cosn - sena PR : ZR, peloque PçRzñsenn 0P Portanto, a área do triângulo [OPQ] e' 10cos<i >< ñsenn _ P. ) : 25 senucosu 2 _f(u) b) fm) 2 25 cos3 a <: > 25 sen a cosa : 25 C053 a <: > sen acosa = C052 a Como u E Ji). tem-se cos a # 0 lxJ|3| Portanto, para a E ] 0 . tem-se senucosa : C052 a c: scn a : cos a <: > @(12% c) f(()) : a c» 25sen6cos9:5 <: > senücosô: (senH + 0059)? : sen3H+2senHcos9+cos3H : : sen3H+cos3H+2senHcos0:1+2senHcos9 2 L ›> i i 1+2>< . ~l+ ; who H 'a| -J ; n|-q Portanto, (sen (-) + cos 9X3 : d) Aordenada do ponto P é PR Como o triângulo [OPR] é retângulo, por aplicação do teorema de Pitágoras, tem-se PR z / ()P2 e an") z M25 v9 z 4 Assim, as coordenadas do ponto P são Cá. ; Vamos determinar a equação reduzida da reta trgeãe a circunferência no ponto P por dois processos. 97
  97. 97. GEOMETRIA NO PLANO 1.° Processo A reta tangente à circunferência no ponto P é perpendicular à reta OP . Como o vetor OP tem coordenadas (3, 4), o declive da reta OP é à e, portanto, o declive da reta tangente à circunferência no ponto P é - â Assim, a equação reduzida da reta pedida é da forma y = - &a; + b Como P pertence a esta reta, vem 4=--Í-><3+b ©4=~%+b <= >b= % Portanto, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P é 3 25 y= -í-"HT 2.° Processo O ponto G (a3, y) pertence à reta tangente à circunferência no ponto P se e só se cs vetores OP e G P forem perpendiculares, ou seja, se esó se 0P . GP = O Tem-se O_I3=P-O= (3,4) -(0,0) = (3,4) õF= P~G= <3,4>~<w, y>= (3sx,4sy> ã? G-P' : o <= > (3,4). (3-; z:,4-y)=0 e <: › 3(3-: c)+4(4-y)= O c› 9-3x+16-4y=0 <= > <= > -4y=3$-25 <_-› y: -ãsmii Portanto, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P é 3 25 9= -ZHT
  98. 98. Geometria no espaço a) Oponto Q tem coordenadas (5.; '),0) Adistância do ponto Q ao ponto () é 5/2 : M50 Assim, uma equação da superfície esférica de centro no ponto Q e que passa no ponto ) 0 e (m 5)* +01- 5)- s , a3 : .50 b) A área da base da pirâmide é 52 : 25 9;' _- Designando por /1 aaltura da pirâmidetem-se “g1 : lo 25 h 3 ;75 c: 25h. : 225 à 11:9 .9) Vem, então: . sp. Portanto, as coordenadas do ponto W' são . a) Tem-se: Í)(= l,().8) F((). -3,8) Portanto, FD! í D r F : (43,0) Assim, uma equação vetorial da reta DF é (1,2). 2) : (4.03) -l- / v(4.3,0). k E R b) Tem-se AB Aárea da face [ABED] é, então, E >< É : 3 >< 8 : 40 A face [AGFD] é igual à face [ABEDL pelo que a sua área também é igual a 40 Aáreadaface [BÚFE] é É >< ÍÉ : 6 >< 8 : 48 Portanto, a área lateral do prisma é 40 + 40 -l- 48 : 128 99
  99. 99. GEOMETRIA NO ESPAÇO a) b) A aresta [UQ] está contida na reta de intersecção dos planos PU Q e RUQ, definidos, respetivamente, pelas equações m = 2 e y = 2 A aresta [U Q] é o conjunto dos pontos desta reta que têm cota compreendida entre O e 2. Assim, uma condição que define a aresta [UQ] é x=2 / y=2 / 0§z§2 Para que o ponto T pertença ao plano mediador do segmento [AV], o ponto T t de estar a igual distância de A e de V Para determinarmos a distância de T a A podemos ter em conta que as coorden de A são (0,0,4) eas de T são (2,0, 2) Tem-se, então, ñ = ,/ (0 - 2)? + (0- 0)? + (4- 2)? = Jã O segmento [TV é uma diagonal de uma face do cubo, pelo que o seu comprimen _ l , /22 +22 = Já Portanto, o ponto T pertence ao plano mediador do segmento [AV] A secção produzida no cubo pelo plano PQA é o retângulo sombreado na figura. Dois lados do retângulo têm comprimento 2 (por serem iguais às arestas do cubo). Para determinarmos o comprimento de cada um dos outros dois lados, podemos ter em conta que os triângulos [ABS] e [PTB] são iguais, pelo que Êzl Vem, então: ÊZFFHPT? c> BP2:12+22 <= > Wzt/ ã O perímetro do retângulo é, portanto, '2 x '2 + '2 >< = 4 + 2/5 100
  100. 100. b) ITENS DE CONSTRUÇÃO O ponto A pertence ao eixo 0.1', pelo que a sua ordenada e a sua cota são ; -a s 2 zero. Como o ponto A pertence ao plano ABC', vem: 6.1'+J5><0+4><0: 12 a 1:2 Portanto, oponto A tem coordenadas (20.0) Como o plano ABC' tem equação 6.1' v Iii¡ s el: : . - : EÍ' : e : :: * (6,511) e perpendicular ao plano, pelo que é um vetc' c 'er' : a 'êíã lJQI/ .Z : '. .'. '. ~› ' ~ : --1 Assim, uma equação vetorial da reta r é A altura da pirâmide é a cota do ponto V. que é igual a 6 O ponto A tem coordenadas (.17, 0, 0) Como o ponto A pertence ao plano ADV , tem-se 6.1'-l-l8><0-5><0 24 <5 6.1' 24 4>. r 4 Portanto, as coordenadas do ponto A são 0, 0) Tem-se, então, AB- / (5 4)? l (3 ())2 l (0 A área da base da pirâmide é, portanto, igual a 10 10><6 3 O volume da pirâmide é igual a 2 20 O ponto V é o ponto de intersecção de três planos: o plano de equação 2 2 6 , o plano ADV eoplano ABV : : 6 6;: : + 18y ~ 52 z 24 , obtemos as coordenadas do ponto V 18I76y+5z :72 Resolvendo o sistema z : 6 2 : 6 : = 6 6.1' + 18,1/ - 5. 2 24 <: > 6:1' + 18y - 30 2 24 <: > 6.1'+18'_1¡: 54 18.1' » 6;/ + 5: : 72 18:1' - 6,1/ + 30 : 72 18,1' 7 Gy 2 42 . : m 6 . : : 6 : : 6 <: > - 18.1' ~ 54g : e 162 <: > - 60g : ~ 120 c> ,1/ : 2 18.1' - 6,1/ : 42 18.1' ~ 6;/ = 42 18.1' -- 12 : 42 s : 6 <= > lj : 2 Deste modo, tem-se l' 5:5 . 1 . ' I : 3 101
  101. 101. GEOMETRIA NO EsPAçO c) O plano ADV é deñnido pela ecuaçêa lj¡ - 18y - 52 = 24 Então, o vetor de coordenadas i6. 15. ~ õ) é perpendicular ao plano ADV, ser: portanto um vetor diretor da reta r Como é verdade que T = _lí = _í , conclui-se que o ponto pertence à reta r a) O ângulo BAG está inscrito numa semicircunferéncia, sendo, por isso, um ângulo re” Como o ângulo BAG é reto, a reta AG é perpendicular à reta AB Outro processo de resolução deste exercício consiste em mostrar que os vetores _é e e AB são perpendiculares. Tem-se: : e AG C-A: (0,-5,0)-(4,3,0)= (-4,-8,0) ÃÉ= B-A= (0,5, 0)-(4,3,0)= (-4,2,0) Uma vez que os vetores AG e AB são diferentes do vetor nulo, se o prodq e j» escalar de AG por AB for igual a zero, poder-se-á concluir que os vetores A 7 : a e AB são perpendiculares. Vejamos: ÊÍEq-zi, -8,0) . (-4,2,o)= = (-4)><(-4)+(~8)x2+0><0=16+(-16)+0=0 Os vetores AG e AB são, de facto, perpendiculares, pelo que a reta AC e perpendicular à reta AB 102
  102. 102. |TENS DE CONSTRUÇÃO b) Para se escrever uma equação vetorial de uma e: : e 'assaz' : :: ánecerz - um ponto da reta; - um vetor com a direção da reta. Neste caso, tem-se: Ponto da reta: o ponto BMJ. 5, (l) Vetor com a direção da reta: como a reta r e paralela ao eixo O2. tem-se que o vetor (O. 0. 'l P) tem a direção da reta r Equação vetorial da reta I' (Jay. 2) _ (l). 310) + 1.10.0. 1). A' E IR c) Se o vetor for perpendicular a dois vetores não colineares do plano . ÁBD, então o vetor AG é perpendicular ao plano A BD Dois vetores não colineares do plano ABD são, por exemplo, o vetor A B e o vetor (0. l). l) (recorde-se que este vetor tem a direção da reta r, a qual está contida no plano c-lBD) Já mostramos, na alínea a), que o vetor e perpendicular ao vetor AB Se provarmos que o vetor .4(' e perpendicular ao vetor (O. l). l), fica provado o pretendido. Vejamos: (-4. ~&ll) . ((l. ().1): ( wl)><()+l78)x()+0><1:l) l 0+Ut0 Está provado. Determinemos agora uma equação do plano ABD Como o vetor 7 l 7 el. ~ 8. (l) e perpendicular ao plano ABD, este plano pode ser definido por uma equação do tipo ~ 4.1' - 8;/ e l): : ' Determinemos o valor de L' Como o ponto Bll). 5. (l) pertence ao plano ABD, tem-se: ~4><() i*~“. '›+l)*~l)r/ r,ouseja lv_ ll) Vem, então. que uma equação do plano ABD é 1.1' - x. ll), equação esta equivalenteaequação . r - 2)¡ u ll) 103
  103. 103. GEOMETRIA NO EsPAçO d) b) Tem-se que tga 2 f: 2 pelo que BD 2 5 tga Portanto, a altura do cilindro é dada, em função de a, por 5 tga Como a área da base do cilindro e igual a 7T' >< 52 : 25 7r, vem que o volume : cilindroédado. em função de a, por 257.' >< 5 tga, que é igual a 1257r tga Como o ponto Q tem coordenadas (2, 2, 0), a aresta da base da pirâmide mede pelo que a área da base da pirâmide é igual a 16 Designando por h a altura da pirâmide, tem-se então que à >< 16 >< h z 32 Resolvendo esta equação, vem h 2 6 Como a cota do vértice V é igual à altura da pirâmide, vem que a cota do vértice 'l igual a 6 Para mostrar que o plano QRV pode ser definido pela equação 3:1/ + z 2 6, bes mostrar que os pontos, não colineares, Q, R e V pertencem ao plano definidc : esta equação. Vejamos: Ponto Q(2,2,0): 3X2+0=6<à6:6 PontoR(*2,2,0): 3x2+0=6<= >6=6 Ponto V(0,0,6): 3><0+6:6<: >6:6 Afirmação verdadeira. Afirmação verdadeira. Afirmação verdadeira. Está provado. Outro processo de resolução deste exercício consiste em obter uma equação do p s' QRV e mostrar que ela é equivalente à equação 3g + z = Comecemos então por determinar as coordenadas de um vetor perpendicular ao j: e QRV. Para isso, vamos determinar as coordenadas de dois vetores (não colinear: do plano QRV, para depois obtermos as coordenadas de um vetor perpendicu a' esses dois. Este terceiro vetor, sendo perpendicular a dois vetores (não colineares plano QRV, será perpendicular ao plano QRV QR e QV são dois vetores não colineares do plano QRV 104
  104. 104. d) ITENS DE CONSTRUÇÃO Tem-se: -4.l| .ll QTR›: R-Q: (-2,2,0)-(2.2.0l QV = V ~Q : (0,0,6) - (2,2,0) : i - "2. - 2.6) Pretendemos agora determinar um vetor í = lr. g. :) que seja perpendicular a QR e a QV Tem-se: U1Q7z'<e(i-. y,; ).(e4,0,0)=0 <= > -4:r+0+0=0 <: › x20 ÚLQTVW: (17,g, z). (-2, -2,6)=0 <: > -2a: -2g+6z= O _ [x20 [x20 [x20 Vem, entao: <= > <: > y=3: ~2$+2g+6z:0 -2g+6z=0 _, í Portanto, um vetor perpendicular a QR e a QV é, por exemplo, o vetor (0,3, 1) Como o vetor (O, 3, 1) é perpendicular ao plano QRV, este plano pode ser definido por uma equação do tipo 01 + 3g + z z k Como o ponto Q(2, 2, 0) pertence ao plano QRV, tem-se: 0x2+3><2+0=k, ou seja, k = 6 Vem, então, que uma equação do plano QRV é 3g + z : 6 Um vetor perpendicular ao plano QRV é o vetor (O, 3, 1) Portanto, a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QRV pode ser definida pela seguinte equação vetorial: (56,31%) : (0707 0)+k(0?371)S k E R Tem-seque QT = V e Q = (0,0,6) - (2,2,0) = ( e 2, - 2,6) Portanto, a reta QV pode ser definida pela seguinte equação vetorial: (mayaz) z (2927 T 2: T 2:6): k É [R Daqui resulta que a reta QV pode ser definida pela condição 105

×