1. MATEMÁTICA
LOGARITMOS
E.2) Calcule o valor de log3 2 , sabendo que
1. DEFINIÇÃO
e log10 3 = 0, 477 .
log10 2 = 0, 301
Dados a, b ∈ R+ e a ≠ 1 .
*
Resolução:
loga b = x ↔ ax = b
Mudando o logaritmo para a base 10, temos:
2. ELEMENTOS log 2 0, 301
log3 2 = =
log 3 0, 477
logaritmando 2.6. Antilogaritmo e Cologaritmo
Logaritmo Define-se como antilog de x na base a como o
log b =x logaritmando do logaritmo de b na base a, ou seja,
a
loga b = x ⇔ antiloga x = b .
base Define-se como cologaritmo de b na base a
como o oposto do logaritmo de b na base a, ou seja,
O logaritmo representa o expoente da base pa- cologa b = − loga b .
ra gerar o logaritmando.
Exemplo:
Exemplo E.1) b = antilog2 3 ⇔ log2 b = 3 ⇒ b = 8 .
E.1) log2 8 = x ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3 .
3
E.2) Determine o colog2 16 = − log2 16 = −4 .
3
E.2) log2 2 2 = x ⇒ 2x = 2 2 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = . 2.7. Equações Logarítmicas
2
Para resolver as equações logarítmicas da
2.2. Conseqüências da Definição
mesma base, usamos o fato de a função logarítmica
Dados x, b, a > 0 e a ≠ 1 . ser injetora, ou seja, quando suas imagens são iguais,
0
loga 1 = 0 , pois a =1.
1
então os elementos correspondentes do domínio são
loga a = 1 , pois a =a. iguais (supondo satisfeitas as condições de existência
loga am = m , pois am=am. dos logaritmos). Em símbolos, temos:
logc x1 = logc x 2 ⇔ x1 = x 2 ( x1, x 2 ∈ R + ,c ∈ R + e c ≠ 1) .
aloga b = b .
loga x = loga b ⇒ x = b Exemplo:
2.3. Representações Especiais E.1) Calcule o valor de x na equação
log ( x − 3) = log ( 2x − 5 )
O logaritmo na base 10 é escrito sem a ba-
se, isto é, log10 b = log b . Resolução:
O logaritmo na base e (número periano) é Usando a propriedade na equação.
escrito como lnb = loge b log ( x − 3) = log ( 2x − 5 ) ⇒ x − 3 = 2x − 5 ⇒ x = 2 ,
2.4. Propriedades Operatórias como x = 2 não satisfaz à condição de existência,
Satisfeitas as condições de existência, temos: pois o logaritmando se torna negativo, então o con-
P1) logb (ac) = logb a + logb c ; junto solução é vazio.
a 3. LOGARITMOS DECIMAIS
P2) logb   = logb a − logb c ;
 
c
Denomina-se de logaritmo decimal ou de
P3) logbam = m . logb a ; Brigss a todo logaritmo de base 10. Esses logaritmos
1 podem ser escritos como abaixo.
P4) log m a = ⋅ logb a .
b m
2.5. Mudança de Base log b= c + 0, m
O loga b pode ser escrito em qualquer base
Representa a mantissa (parte
x ( x > 0 e x ≠ 1) como a divisão de logx b e logx a , ou se- fracionária do logaritmo).
logx b Representa a característica (parte
ja, loga b = (com a > 0 e a ≠ 1 ).
logx b inteira do logaritmo).
Exemplo:
log2 5 3.1. Cálculo da Característica
E.1) log3 5 =
log2 3 Considere o logaritmo logb, em que b está es-
crito na forma decimal.
Editora Exato 4

2. Se b > 1, então a característica de log b é 2 A soma log 8 + log 16 .
2 2
encontrada subtraindo uma unidade do nú- Resolução:
mero de algarismos que b apresenta em sua log2 8 = x log2 16 = x
parte inteira. x
2 =8 2x = 16
Exemplo: 2x = 2 2x = 24
E.1) log3478,701 ⇒ 4 − 1 = 3
{ x =3 x =4
4alg
E.2) log 2 , 347 ⇒ c = 1− 1 = 0 .
{
1 alg 3+4=7
Se b < 1, então a característica de log b é i-
gual ao oposto do números de zeros que b 3 Qual o valor da expressão log 25 + log 81 ?
apresenta antes do primeiro algarismo não 5 3
nulo. Resolução:
log5 25 = x log3 81 = x
Exemplo: x
5 = 25 3x = 81
E.1) log 0, 0 31⇒ c = −2 .
{
2 zeros 5x = 52 3x = 34
E.2) log0,23 345 ⇒ c = −4
1000 x =2 x =4
4 zeros 2+4=6
3.2. Cálculo da Mantissa
É obtida em tabela conhecida como tábua de
logaritmos. EXERCÍCIOS
Propriedade: se as representações decimais de
dois números positivos diferem apenas na posição da 1 (PUC) Se log 512 = x , então x vale:
2 2
vírgula, então os logaritmos possuem a mesma man- a) 6
tissa. b) 3/2
Exemplo: c) 9
E.1) log 271 = 2 + 0,43297 = 2,43297 d) 3
E.2) log 2,71 = 0 + 0,43297 = 0,43297 e) 2/3
E.3) log 0,0271 = −2 + 0,43297 = −1, 56703
2 (FESP) A expressão log 16 − log 32 é igual a:
2 4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a) ½
1 Resolva: log 5 b) 3/2
c) 1
625
Resolução:
d) 2
log 5 = x (lê-se log de 5 na base 625)
625
e) 2/3
Fatorar:
625 5 3 (CESCEM) O valor da expressão
125 5
25 5 log 1 32 + log0,001 − log0,1 10 10 é:
5 5 2
1
4 a) –13
5 b) 2
c) –13/2
625x = 5 d) 13/2
1
(5 )
/ 4 x
= 5 2 → 4x =
/
1 e) –19/2
2
1
x =
8 4 A solução da equação log x + log ( 3x − 2 ) = 1 é i-
8 8
gual a:
a) –4/3
b) 1/2
c) –2
d) 2
e) 4/3
Editora Exato 5

3. 5 Se log x = a , então log x é igual a:
2 8
11 (FEI-SP) Se log2 = a e log3 = b , escrevendo
a) a/3. log
32
em função de a e b, obtemos:
b) a/4 27
c) 2a. a) 2a+b
d) 3a. b) 2a-b
e) 4a. c) 2ab
2a
d)
b
6 O produto log 2 ⋅ log 5 ⋅ log 3 é igual a:
9 2 5 e) 5a-3b
a) 0.
b) 1.
c) 1/5. 12 (FATEC) A solução da equação
d) 1/3. log7 10 ⋅ log5 7 ⋅ log x = 4 é:
e) 1/2. a) 625.
b) 2401.
c) 10000.
7 O valor da expressão log 5 ⋅ log 27 é:
3 25 d) 710.
a) 2/3. e) 57.
b) 3/2.
c) 2.
d) 3. 13 A característica de log2 é:
e) 1/3. a) 2.
b) 1.
c) 0.
8 (MACK) O valor de log ( log 2 ⋅ log 3 ) é:
2 3 4 d) 1 .
a) 2. e) 2 .
b) 1/2.
c) –1/2.
14 (PUC) O logaritmo negativo log a = −3, 415 po-
d) –2. 10
e) 3/2. derá ser escrito:
a) 3.415.
b) 4, 415 .
b
9 (FUVEST) Se log b − log a = 5 , o quociente
2 2
c) 3,415 .
a
vale: d) 4,585 .
a) 10. e) Nenhuma.
b) 25.
c) 32. 15 (GAMA FILHO) Dado log3 = 0, 47712 , calcule
d) 64. log81 + log 2, 43
e) 128.
a) 2,29408.
b) 1.01476.
x c) 2,01002.
10 (UFMT) Sendo log 25 = , podemos afirmar que
4
3 d) 3,65432.
log2 5 é igual a: e) 2,41784.
x
a)
3 16 (CESCEM) As características, no sistema deci-
b)
2x mal, de log7, log 0,032, log105 e log0,00010, são,
3 respectivamente:
x2
c) a) 1, -1, 6, -3.
9
b) 1, -1, 5, -3.
d) 3
x c) 0, -1, 5, -4.
3 d) 0, -2, 5, -4.
e) 3
x2 e) 7, 0, 5, 0.
9
Editora Exato 6

4. 17 Supondo-se para log 2 o valor aproximado 0,301,
acha-se para log 12,5 o valor:
a) 0,602.
b) 0,398.
c) 0,903.
d) 0,097.
e) 1,097.
GABARITO
1 A
2 B
3 C
4 D
5 A
6 E
7 B
8 D
9 C
10 A
11 E
12 A
13 C
14 D
15 A
16 D
17 E
Editora Exato 7