Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

4.243 visualizações

Publicada em

Material Didático referente a Disciplina Matemática Aplicada dos cursos técnicos de Automação Industrial e Eletrotécnica.

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

  1. 1. 1 OS NÚMEROS 1.1 Escrita dos números e unidades; 1.2 Conjuntos numéricos; 1.3 Sistema numérico e conversões; 1.4 Algarismos significativos e notação científica; 1.5 Arredondamento; 1.6 Teoria dos conjuntos.2 FUNÇÕES 2.1 Sistema de coordenadas cartesianas; 2.2 Relações, funções e equações polinomiais; 2.3 Progressão aritmética e progressão geométrica.3 GEOMETRIA 3.1 Teorema de Pitágoras e Trigonometria; 3.2 Geometria plana: Áreas e perímetros; 3.3 Geometria espacial: áreas e volumes.4 ESTATÍSTICA 4.1 Noções básicas de estatística. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  2. 2. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 2 Matemática Aplicada 1. Os números 1.1 ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES A evolução dos números Como aconteceu... Nos antigos sistemas de numeração a escritados números era bem complexa, o que dificultava muitoos cálculos. Por isso, o homem criou váriosinstrumentos que o auxiliavam no cálculo. Um dos primeiros instrumentos para calcular - oábaco - foi inventado há mais de mil anos. A origem dapalavra ábaco não é certa. Alguns a associam ao termosemita abac, que significa "poeira", e outros acreditamque ela deriva do termo grego abax, que significa"placa". Os primeiros ábacos eram formados por placasde madeira com sulcos, nos quais deslizavampequenas pedras. Mais tarde, essas placas foram substituídas portábuas ou pranchas com divisões em diversas linhas ou Outras formas de contagemcolunas paralelas, separando as diferentes ordens denumeração. Para representar números ou efetuaroperações colocavam-se fichas valendo uma unidadesimples cada uma. Durante a Idade Média (séculos V a XV), osistema indo-arábico de numeração e seus processosde cálculo foram muito divulgados. No século XIII(1202), Leonardo Fibonacci, famoso matemáticoitaliano conhecido apenas como Fibonacci, escreveu aobra Liberabaci ("Livro dos cálculos"), em 1202. Nelaele explicava o sistema indo-arábico de numeração esuas regras de cálculo. Os símbolos indo-arábicos sofreram váriastransformações na sua representação, antes deadquirirem a aparência que conservam até hoje. Como os livros eram escritos a mão, a forma dosalgarismos sofria várias alterações. Isso começou amudar a partir de 1440, quando Gutenberg inventou aimprensa, permitindo que a escrita dos números fossefixada. 1.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS A influência da imprensa foi tão importante queos símbolos atuais têm, em sua essência, a mesma Os dois principais objetos com que se ocupa aaparência dos símbolos que eram usados no século Matemática são os números e as figuras geométricas.XV. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que Sabe-se hoje que, na Europa, houve uma forte você estudou durante sua vida acadêmica.resistência à utilização desses símbolos. Essa 1.1.1. O conjunto ℕresistência só foi vencida depois que o comércio conjuntoeuropeu se expandiu de tal forma que se tornou “Deus criou os números naturais.imprescindível à adoção de um sistema de numeração O resto é obra dos homens.”que facilitasse os cálculos. LeopoldKronecker O conjunto dos números naturais é representado por: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … } Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  3. 3. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 3 Matemática Aplicada o número é uma dízima periódica. Um subconjunto importante de ℕ é o conjunto Neste caso, devemos seguir alguns passosℕ∗ , obtido excluindo o zero de ℕ: que serão ilustrados no exemplo abaixo. ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }OBS1:ℕ é fechada em relação à adição e multiplicação. Exemplo 2Dentro de ℕ podemos destacar os números pares e os Determine a fração geratriz das dízimas abaixo. ! a) 0, 5números ímpares. !! !! b) 2, 13 !! c) 1,325!! 1.1.2. O conjunto ℤ conjunto O conjunto dos números inteiros é representadopor: OBS3:ℚ é fechada em relação as quatro operações. ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Do conjunto dos números inteiros podemos 1.1.4. O conjunto " conjuntodestacar alguns subconjuntos importantes: Assim como existem números decimais que ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … } podem ser escritos como frações – com numerador e ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … } denominador inteiros – que são os números racionais, ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0} há aqueles que não admitem tal representação. São ℤ∗ = {1, 2, 3, 4, … } números decimais não exatos, que possuem ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1} representação infinita não periódica.OBS2:ℤ é fechada em relação à adição, subtração e Esses números são chamados de números irracionais, e seu conjunto é representado por ".multiplicação. Exemplo 3 1.1.3. O conjunto ℚ conjunto Note que os números abaixo apresentam O conjunto dos números racionais é inicialmente representação infinita não periódica.descrito como o conjunto dos quocientes entre dois a) √2 = 1,4142136 …inteiros. Utilizando o elemento genérico, podemos b) √3 = 1,7320508 …escrever, de modo mais simples: c) $ = 3,141592 … ℚ= ∈ℤ ∈ ℤ∗ 1.1.5. O conjunto ℝ Assim como o conjunto dos números inteiros, os O conjunto formado pelos números racionais eracionais apresentam cinco subconjuntos importantes: pelos números irracionais é chamado conjunto dos ℚ∗ : conjunto dos racionais não nulos; números reais e é representado por ℝ. Assim, temos: ℚ : conjunto dos racionais não negativos; ℝ = ℚ ∪ ", sendo que ℚe " são disjuntos, ou seja, ℚ : conjunto dos racionais não positivos; ℚ ∩ " = ∅. ℚ∗ : conjunto dos racionais positivos; Assim como o conjunto dos números inteiros e o ℚ∗ : conjunto dos racionais negativos. conjunto dos números racionais, os reais também apresentam cinco subconjuntos importantes, que Toda fração possui representação decimal e todo podem ser representados pelas seguintesnúmero decimal possui representação fracionária. propriedades: Para escrever uma fração na forma decimal, conjunto dos racionais não nulos:basta efetuar a divisão correspondente, por exemplo: ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* ≠ 0} !2/5 = 0,4;2/3 = 0,666. ..;1/3 = 0, 3. conjunto dos racionais não negativos: Para representar um número decimal na forma ℝ = {* ∈ ℝ |* ≥ 0}de uma fração devemos considerar duas situações: conjunto dos racionais não positivos: o número é decimal exato. ℝ = {* ∈ ℝ |* ≤ 0} Transformamos o número decimal em uma conjunto dos racionais positivos: fração cujo numerador é o número decimal sem a ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* > 0} vírgula e o denominador é composto pelo numeral conjunto dos racionais negativos: 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* < 0} decimais do número decimal dado. Exemplo 1 1.3 SISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕES Escreva a fração correspondente aos decimais 1.3.1 Sistema métrico decimal dados. O sistema de numeração que utilizamos a) 0,7 atualmente é o sistema de numeração decimal, pois b) 2,3 nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse c) 0,43 sistema também é conhecido por sistema de Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  4. 4. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 4 Matemática Aplicadanumeração indo-arábico, pelo fato de ter sido O quadro a seguir apresenta os múltiplos dodesenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido metro.pelos árabes. Os símbolos utilizados nesse sistemasão chamados algarismos, palavra decorrente donome do matemático árabe Mohammed al-Khowarizmi. No sistema de numeração decimal, podemosagrupar os elementos da seguinte maneira: Abaixo temos alguns dos principais instrumentos utilizados para a verificação de medidas de comprimento. Os agrupamentos de 10 elementos tambémpodem ser representados em um ábaco. Ao lado temos uma tabela quemostra a evolução dos algarismosutilizados em nosso sistema denumeração decimal.1.3.2 Medidas de comprimento Desde a Antiguidade, muitos povos criaram suasunidades de medida, ou seja, possuíam sua própriaunidade padrão. Antes do surgimento das unidades demedidas de comprimento que conhecemos hoje, comoo metro, diversos povos utilizavam partes do corpocomo referência. Observe nas ilustrações abaixo. Exemplo 4 Efetue as transformações abaixo. a) 5 m → mm b) 150 cm → dam c) 12 km → m d) 12 m → cm e) 265 dm → hm 1.3.3 Medidas de tempo O relógio Temos o metro como unidade padrão demedida, com base nele foi que surgiram outra unidadesde medida de comprimento, como o centímetro (cm), omilímetro (mm), o quilômetro (km), entre outras. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  5. 5. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 5 Matemática Aplicada Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o 1.4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃOrelógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral, CIENTÍFICAos relógios marcam as horas os minutos e ossegundos, sendo que: 1.4.1 Algarismos significativos O que torna um algarismo significativo ou não? Hoje em dia, a obtenção de medidas é fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma O calendário medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá uma incerteza associada a cada medida e é essa incerteza que torna um número significativo ou não. Considere a figura abaixo, em que uma régua comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o comprimento de um segsegmento de reta.Observando este calendário, podemos notar que o ano De acordo com a figura, a medida exata doé dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e , comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas, secada semana, em 7dias. podemos estimar, com uma pequena margem de erro, O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o que a medida do comprimento é 6,54 cm.de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um Em uma medida, dá dá-se o nome algarismosquadrimestre e o de 6 meses, a um semestre. significativos a todos os algarismos tidos como certos mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a1.3.4 Medidas de superfície medida 6,54 cm possui três algarismos significativos.Um outro exemplo seria o número 0,0034 Um que possui apenas dois algarismos significativos (observe que os zeros à esquerda indicam apenas um pode ser escrito como 3 ∙ 10 > ). 3,4 deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número 1.4.2 Notação científica Quando medimos o comprimento ou a largura de A diversidade dos númerosuma sala de aula, estamos utilizando medidas de que aparecem no mundo físico écomprimento. Quando queremos medir a superfície de enorme. Para ter uma ideia, auma sala, estamos querendo saber qual a área dessa massa da terra, por exemplo, é 5.980.000.000.000.000.000 000.000.000sala. de cerca de Neste tópico daremos ênfase apenas aconversão de unidades de medidas de superfície. A des quilogramas (12), enquanto o ), 0,000000000000001 metro (temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no diâmetro de um próton é de cerca decapítulo 3. (5). Para a conversão de unidades de medida de A grande quantidade de zeros torna asuperfície temos a seguinte tabela. representação desses números bastante inconveniente e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito massa da terra como 5 5,98.∙ 12, e o diâmetro do próton pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a como 10 34 5. Esse tipo de n . notação recebe o nome de Exemplo 5 notação científica.Efetue as conversões a seguir Ao usar a notação científica para representar um 6 5. 10 , em que 1 . 5 0 10 é a mantissa. Assim, a) 1,93 m² → cm² 7 número N qualquer, devemos escrevê escrevê-lo na forma b) 295 cm² → m² 8, 9: ∙ <=8 . c) 535 cm² → m² o número 253, por exemplo, deve ser escrito como , d) 12,5 m² → mm² e) 0,95 dam² → dm² Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  6. 6. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 6 Matemática Aplicada Visando facilitar ainda mais a notação das Quando o algarismo imediatamente seguinte aograndezas, é bastante comum a utilização de prefixos último algarismo a ser conservado for inferior a 5, orepresentando as potências de dez. a tabela seguinte último algarismo a ser conservado permanecerátraz a denominação dos principais prefixos de acordo sem modificação.com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia,Normalização e Qualidade Industrial). Exemplo 7 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplo 8 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7. 4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se- ão : 4,9. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade. Exemplo 9 4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se- Fonte: Resolução Conmetro 12/88, de 12 de outubro de 1988. ão: 4,6. Exemplo 6 Quando o algarismo imediatamente seguinte aoA lista a seguir apresenta valores numéricos que último a ser conservado for 5 seguido de zeros, sepodem, ou não estar representados em notação for par o algarismo a ser conservado, elecientifica. Faça as alterações necessária para que permanecerá sem modificação.todos os valores estejam representados na forma denotação científica. Exemplo 10 a) 3,2 ∙ 104 4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se- b) 23,5 ∙ 10 ? ão: 4,8. c) 0,73 ∙ 10> d) 0,067 ∙ 10 @ e) 1560 ∙ 10 > 1.6 TEORIA DOS CONJUNTOS. 1.5 ARREDONDAMENTO 1.6.1 Conceito básico Regras de arredondamento na Numeração A nível de segundo grau, conjunto é todaDecimal - Norma ABNT NBR 5891 de dezembro de coleção de objetos, de animais, de palavras, de1977. números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto qualquer é formado por elementos. Da mesma forma1.5.1 Objetivo que conjuntos, elementos são conceitos matemáticos Esta norma tem por fim estabelecer as regras de primitivos, portanto sem definição.arredondamento na Numeração Decimal. 1.6.2 Tipos de conjuntos1.5.2 Regras de arredondamento Em nosso cotidiano podemos perceber diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  7. 7. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 7 Matemática Aplicadacaminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto Caso A não esteja contido em B,de cães; conjunto de carros, entre outros. simbolicamente, temos A ⊄ G ou G ⊅ A (G não contém A).1.6.3 Elementos 1.6.10 Subconjunto Subconjunto Quando todos os elementos de um conjunto A conjunto A, sendo os jogadores Se considerarmos o qualquer forem também elementos de um conjunto G, titulares de um time de futebol, diz-se, então, que A é um subconjunto de G, ou seja, temos que cada jogador é um A ⊂ G. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou A. E que o conjunto A é limitado elemento pertencente ao conjunto seja, A ⊂ A ;ou finito e possui 11 elementos. O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A.1.6.4 Representação Um conjunto pode ser representado de várias Exemplo 11maneiras, entre as quais três são mais usuais: Se considerarmos todos osalunos do NEPAM, Diagramas podemos observar alguns subconjuntos? Representamos um conjunto por diagramas(curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus 1.6.11 Conjunto das parteselementos. O conjunto formado por todos os subconjuntos de um Listagem ou Enumeração conjunto A é chamado de conjunto das partes de A, Representamos um conjunto por uma letra que indicamos por M(A).maiúscula e listamos seus elementos entre chaves. Propriedade Característica Exemplo 12 Representamos um conjunto por meio de uma Dados os conjuntos A = {1}, G = {1, 2} e N = {1, 2, 3},propriedade característica de seus elementos, sem vamos determinar M(A), M(G) e M(N).nomeá-los. OBS1: Se um conjunto finito O qualquer tem P OBS11.6.5 (∈) Relação de pertinência ( ) elementos, então M(Q) tem 27 elementos, ou seja: Entre um elemento x qualquer e um conjunto A R[M(Q)] = 27 .qualquer só existe duas, e somente duas,1ª Possibilidade B ∈ C 2ª Possibilidade B ∉ Cpossibilidades de relacioná-los. 1.6.12 Operações com conjuntos: união ou reunião de conjuntos Dados os conjuntos A = {U, V, W, X} e G = {U, V, Y, Z, 2}, vamos determinar o conjunto N de maneira1.6.6 Conjunto vazio Um conjunto, embora seja associado a uma que seus elementos pertençam a pelo menos um doscoleção de objetos, às vezes não possui elementos. conjuntos, A ou G.ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø.Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio, N = {U, V, W, X, Y, Z, 2} O conjunto N é chamado de união ou reunião de A e G e pode ser indicado por A ∪ G, que se lê A união G ou A reunião G.1.6.7 Conjunto unitário Simbolicamente: se * é um elemento de A ∪ G, Quando um conjunto apresenta um único então* ∈ A ou * ∈ G, ou seja,A ∪ G = {*|* ∈elemento o chamamos de conjunto unitário. Por A [ * ∈ G}.exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol.1.6.8 Conjunto universo 1.6.13 Interseção de conjuntos O conjunto de todos os elementos considerados Considere os mesmos conjuntos A e G usadosem determinada situação é chamado conjunto acima, vamos determinar o conjunto ] de maneira queuniverso. seus elementos pertençam ao conjunto A e ao G. ] = {U, V} O conjunto ] é chamado interseção de A e G e1.6.9 Relação de inclusão O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e pode ser indicado por A ∩ G, que se lê A interseção G.A ⊂ G, relação de inclusão, ou seja,A está contido Simbolicamente: se * é um elemento de A ∩ G, A ∩ G = {*|* ∈em G ou G contém A (G ⊃ A). então * ∈ A e * ∈ G, ou seja: A Y * ∈ G}. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  8. 8. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 8 Matemática AplicadaOBS2: Quando A ∩ GOBS2 ∅, A e G são chamados b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ouconjuntos disjuntos. apenas de canelone ou de ambos os pratos? c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha Considerando os conjuntos A e G acima, vamos1.6.14 Quantidade de elementos do conjunto união nem de canelone? Adeterminar o número de elementos do conjunto A ∪ G. Questão4 Fórmula: A parte hachurada no gráfico representa: Dados os conjuntos A1.6.15 Diferença de Conjuntos 0, 1, 2, 3 e G{2, 3, 4, 5 , vamos determinar o conjunto C de maneiraque seus elementos pertençam ao conjunto A, mas nãopertença ao G. N {0, 1 O conjunto N é chamado diferença entre A e B e (A) A ∩ HG ∪ NJpode ser indicado por A– G, que se lê A menos G. , (B) HA ∩ GJ ∪ N Simbolicamente: se x é um elemento de A G, : (C) HA ∪ GJ ∩ N então * ∈ A e * ∉ G, ou seja: A G , *|* ∈ (D) A ∪ HG ∩ NJ AY* ∉G . (E) N.R.A. Questão5EXERCÍCIO PROPOSTO Se R_MH`Ja 64, então o conjunto ` é: , A) {a, b, c, d}Questão1 B) {a, b, c, d, e, f}(Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ G C) {a, b, c, d, e, f, g}tem 12 elementos e A ∪ G tem 60 elementos. O número D) ⍉de elementos do conjunto G é: E) {a, b, c, d, e} (A) 28 (B) 36 (C) 40 (D) 48 (E) 52Questão2Numa creche com 120 crianças, verificou verificou-se que 108haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contrao sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duasvacinas. Quantas crianças foram vacinadas contrapoliomielite e sarampo?Questão3Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinhaitaliana perguntou a 80 de seus clientes: “Entrelasanha, canelone e macarronada, de qual ou quaisvocê gosta?”. O resultado da pesquisa foi: ?”. • 35 gostam de lasanha; • 39 gostam de canelone; • 40 gostam de macarronada; • 15 gostam de lasanha e canelone; • 13 gostam de lasanha e macarronada; • 11 gostam de canelone e macarronada; • 5 gostam dos três pratos. a) Quantos clientes gostam somente de canelone? Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  9. 9. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 9 Matemática Aplicada 2. Funções valores de g que são imagem de * denominamos 2.1 Sistema de coordenadas cartesianas "mHlJ). imagem da função ("m O sistema cartesiano ortogonal é formado pordois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num Conjuntoponto denominado origem das coordenadas e quedeterminam um plano chamado plano cartesiano cartesiano. imagemNo plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares mos Note que oordenados: conjunto imagem é formado AH*h , gh J apenas pelos elementos do GH*i , gi J conjunto B que Domínio se relaciona com elementos NH*j , gj J Contradomínio Contrad de A. ]H*k , gk J 2.2.3 Função Polinomial do 1º Grau 2.2.3.1 Definição Exemplo 13 Chama-se função polinomial do 1º grau ou grau, uma lei da forma ZH H*J U* o V, onde a e b sãoMarque os pontos dado abaixo no plano cartesiano. função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por , números reais dados e U , 0.A(1, 0) Na função ZH H*J U* o V, o número r éB(-1, 3) chamado de coeficiente de * e o número s é chamadoC(2, -2)D(-3, -1) termo constante.E(0, 3) Exemplo 14F(2, 0) Determine os valores dos coeficientes das funçõesG(3, 3) a) ZH*J 5* 3; abaixo. b) ZH*J 2* 7 7;H(1, -3) c) ZH*J 11*.J(0, 1) 2.2 Relações, funções e equações polinomiais 2.2.3.2 Zero e Equação do 1º Grau 1º grau ZH*J U* o V, U , 0, o número real * tal que Chama-se zero ou raiz da função polinomial do se ZH*J 0. 2.2.1 Função Dados os conjuntos A e G não vazios, a relaçãoZ de A em G é uma função quando a cada elemento *do conjunto A está associado um único elemento g do V Temos: ZH*J 0 ⇒ U* o V 0 ⇒ U* V⇒*conjunto G. U Podemos representar uma função Z de A em G Gcom a seguinte notação: Exemplo 15 a) ZH*J 2* 5 Z: A → GouA → G Obtenção do zero das funç funções a seguir. b) ZH*J * 2 (lê-se: função Z de A em B) c) ZH*J 3* o 6 Quando escrevemos uma função Z: A → G, d) ZH*J 1 q 2.2.2 Domínio, contradomínio e imagem de uma função @denominamos o conjunto A de domínio ( HlJ). Cada elemento (fHlJ) e oconjunto G, de contradomínio (efHg de G associado ao elemento * de A, denominamos 2.2.3.3 Gráficoimagem de * pela função Z. Ao conjunto de todos os . Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  10. 10. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 10 Matemática Aplicada O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais ,g U* o V, com U , 0, é uma reta oblíqua aos eixos Quando ∆ 0 0, a equação não terá raízes reais, , e iguais;t* e tg. , mas sim raiz complexa, o que veremos nas2.2.3.4 Crescimento e Decrescimento próximas aulas.U / 0 (positivo) e, Decrescente quando U 0 0 O gráfico da função Afim será Crescente quando 2.2.4.3 Gráficos De acordo com as características dos gráficos(negativo). das funções quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir.2.2.3.5 Domínio e imagem fHlJ & "mHlJ & Exemplo 16 a) g 3* 1Construa os gráficos das funções a seguir. ões b) ZH*J *o2 c) ZH*J 3 q @ 2.2.4 Função Polinomial do 2º Grau Toda função Z: & → & tal que ZH*J U* @ o V* o2.2.4.1 DefiniçãoW, com U, V, W ∈ & e U , 0 é chamada função polinomialdo 2° grau. Exemplo 17 Exemplo 19 a) ZH*J *@ o 3 3* 2Determine os valores dos coeficientes das funções Determine a concavidade das funções: b) ZH*J 3* @ o 4* o 12 *abaixo.ZH*J * @ o 2* o 1;ZH*J 2* @ 4*. 2.2.4.4 Vértice da parábola para baixo, ela tem um ponto de máximo y.2.2.4.2 Raízes da função Quando uma parábola tem concavidade voltadapolinomial do 2° grau os valores de *para os quais a Chamamos de raízes, ou zeros, da funçãofunção se anula, ou seja, Z H*J 0. Para determinar as raízes de uma funçãopolinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de V x √∆Bhaskara. ∆ V@ 4∙U∙W ; * 2∙U para cima, ela tem um ponto de mínimo y. Exemplo 18 Quando a parábola tem concavidade voltada a) ZH*J * @ 4* o 3Determinar as raízes reais das funções a seguir. s b) ZH*J *² * 2 c) ZH*J 2*² * o 3 d) ZH*J * @ 4 eJ ZH*J 3*² 9*2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido:OBS1: A quantidade de raízes reais de uma função doOBS1 Quando ∆ / 0, a equação terá duas raízes reais , e diferentes; Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  11. 11. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 11 Matemática AplicadaOBS2: As coordenadas do vértice yH*z , gz J de uma a) ZH*J * @ 6* o 5OBS2 Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo: b) ZH*J 3* @ o 6parábola podem ser determinadas pelas relações ∆ c) ZH*J 2* o * @abaixo: Y gz V 4U *z 2U Questão6 Exemplo 20 a) ZH*J 3* @ 7* o 2 Determine as raízes das funções abaixo:Determinar as coordenadas dos vértice das funções a vértices b) ZH*J 3* @ o 6 a) ZH*J * @ 4* o 3seguir. c) ZH*J * @ o 5* o 7 b) ZH*J 2* @ * o 1 Questão7 verticalmente, tem sua altura | (em metros) dada em (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, MT) função do tempo { (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula | 5{ @ o 20*. Qual é aEXERCÍCIO PROPOSTO altura máxima atingida pela bola.Questão 1grau dada por g U* o V. Ache a lei que relaciona gO gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º Questão8com *. . (PUCCAMP - Adaptada Na figura a seguir tem-se Adaptada) representada a curva descrita por um projétil, desde o seu Y lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva g 2* @ o 4*, qual é à distân 4 descrita é a parábola de equação , distância AB, em metros? 2 Anotações -2 3 XEncontre g ZH*J sendo f uma função polinomial do 1ºQuestão 2grau, sabendo-se que ZH 3J 4 e Z ZH3J 6.Questão 3O gráfico ao lado descreveo valor cobrado porumtaxista, em reais, emfunção do número dequilômetros percorrido.Determine:a) o preço da bandeira;b) o preço cobrado porquilômetro rodado;c) a lei que define essegráfico.Dada a função Z: & → &, definida porQuestão4ZH* o 1J ZH*J o ZH1JeZH2J 1, determine o valor de ,ZH4J. ,Questão5 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  12. 12. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 12 Matemática Aplicada 2.2.5 Função Exponencial Questão 2 indústria é dada pela expressão ‡ <== Mensalmente, a produção em toneladas de certa <==. „ =,=9B na qual x é o número de meses contados2.2.5.1 DefiniçãoZ: } → }∗ , definida por ZH*J U q ou g U q , com q Chamamos de função exponencial toda função a partir de uma certa data. Após dez meses, qual seráU / 0 e U , 0. a produção atingida? Exemplo 21 Questão 3 mais eficiência a cada dia. Suponha que ˆ ‰„=H<Determine os valores das bases das funções Um empregado está executando a sua tarefa com 8 =,9… J seja o número de unidades fabricadas por diaseguintes. 3 q a) ZH*J ~ • de fabricação. Se { 14, 14 qual o valor de 6? > por esse empregado, após t dias do inicio do processo b) ZH*J 2q2.2.5.2 Gráficos Gráficos Questão 4 seja igual a 9==. H:J… reais. Após dois anos, a J Considere as funções abaixo e construa os Estima-se que daqui a t anos o valor de um terreno se 1 qrespectivos gráficos. UJ ZH*J 2q VJ ZH*J ‚ ƒ J 2 valorização (aumento de valor) em relação a hoje será de: a) R$ 4.000,00 c) R$ 2.000,00 b) R$ 3.500,00 d) R$ 1.500,00 e) R$ 1.000,00 Questão 5 Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por †HH…J H8J<8 … Isso significa que, cinco dias após a hora zero, o número de bactérias é: a) 1.024 b) 1.120 c) 512 e) √8 d) 20 : Se U / 1 Z é crescente Se 0 0 U 0 1 Z é decrescente crescente. OBS1 OBS1 Anotações2.2.5.3 Equação exponencial As equações exponenciais são aquelas em quea incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê resolvê-las,ou seja, para r / 0 er , <, temos:usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, r r ⟺EXERCÍCIO PROPOSTODetermine o valor de B nas equações abaixo.Questão 1 a) 2q 32 b) 3q 3 81 c) 5@q • 1 d) 3q 27 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  13. 13. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 13 Matemática Aplicada 2.2.6 Progressão Aritmética 2.2.7 Progressão Geométrica2.2.6.1 Definição 2.2.7.1 Definição Progressão aritmética é uma sequência É toda sequência numérica cujo quocientenumérica em que cada termo, a partir do segundo, é entre um termo qualquer (a partir de segundo) e seuigual ao anterior, somado com uma constante chamada antecessor é uma constante chamada razão – indicadarazão da progressão aritmética. por .2.2.6.2 Representação 2.2.7.2 Representação ŠC Hr< , r8 , r: , . . . , rP ); Š•(r< , r8 , r: , r„ , . . . , rŽ , . . . , rP , . . . ) Onde:Onde: r< é o primeiro termo; r< é o primeiro termo; rŽ é o termo que ocupa a posição Ž; ‹é a razão ‹ = r8 − r< = r: − r8 = … = rP − rP < ; rP é o termo que ocupa a posição P; rP é o termo da posição P; rP < é o termo anterior a rP ; Pé o número de termos. Žé menor que P (Ž < R).2.2.6.3 Classificação 2.2.7.3 Classificação I. Crescente:ocorre quando(•< > 0 Y • > I. Crescente: ocorre somente se ‹ > 0; 1)ou(•< < 0 Y 0 < • < 1). II. Constante: ocorre quando ‹ = =; II. Decrescente:ocorre quando(•< > 0 Y 0 < • < 1) III. Decrescente:isto somente ocorre se ‹ < 0; ou(•< < 0 Y • > 1). III. Constante:ocorre quando‘ = <.2.2.6.4 Fórmula do Termo Geral do IV. Oscilante:ocorre quando‘ < 0. rP = r + (P – <). ‹ 2.2.7.4 Fórmula do Termo Geral2.2.6.5 Interpolação Aritmética rP = r< ∙ P < Interpolar meios aritméticos entre dois 2.2.7.5 Interpolação Geométricanúmeros é formar uma progressão aritmética com Interpolar meios geométricos entre doistodos estes termos. Estes problemas consistem no números é formar uma progressão geométrica comcálculo da razão. todos estes termos. Estes problemas consistem no cálculo da razão. Exemplo 22Interpolar 2 meios aritméticos entre 7 e 22. Exemplo 23 Interpolar 3 meios aritméticos entre 64 e 4.2.2.6.6 Soma dos Termos de Uma PA PA 2.2.7.6 Soma dos Termos de Uma PG Podemos calcular a soma de termos de umaPA se conhecer o primeiro termo da progressão, o Podemos calcular a soma de termos de umaúltimo termo e a quantidade de termos a serem P.G. se conhecer o primeiro termo da progressão e asomados através da fórmula: razão: r< ∙ ( − <) P (r< + rP ). P ŒP = ŒP = −< 8 Onde:Onde: • ŒP é a soma de P termos da progressão; • ŒP é a soma de P termos da progressão; • r< é o primeiro termo; • r< é o primeiro termo; • é a razão da progressão. • rP é o último termo a ser somado; • Pé o numero de termos. • Pé o numero de termos. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  14. 14. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 14 Matemática Aplicada Questão 5EXERCÍCIO PROPOSTO Qual o valor do primeiro termo de uma Š• cujo sétimo termo é igual a 14 e cuja razão é igual a 2?Questão 1Determine o primeiro termo Hr< J, a razãoH‹ [ J, oúltimo termo HrP Je o número de termos HPJdasseguintes progressões. a) H<, :, 9, ’, “) b) (−:, −’, −<<, … ) c) (8, „, ”) d) (“, “, “, “, “, “) e) (9, <9, „9, … ) f) (<, :, 9, ’, “) g) (<‰, „, <, … )Questão 2Determine a razão e o décimo segundo termo da Questão 6ŠC(:, 9, ’, … ). Determine a soma dos 10 primeiros termos daŠC(<, „, ’, … ).Questão 3Determine a razão e o sétimotermo da Š•(<, :, “, … ). Questão 7 Determine a soma dos 10 primeiros termos daŠ•(<, 8, „, … ).Questão 4Qual o valor do primeiro termo de uma ŠC cujo décimotermo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5? Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  15. 15. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 15 Matemática Aplicada 3.Geometria 3.1 Teorema de Pitágoras notáveis 3.2.2 Tabela de arcos notáveisretângulo C†e. Abaixo temos a figura de um triângulo =° :=° ° „9° ‰=° “=° ™ P —¡™ …Ÿ 3.3 Geometria plana: áreas e perímetros 3.3.1 Polígonos e As Principais Figuras Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte r8 s8 o —8relação: 3.3.1.1 Polígonos São figuras plana formadas por três ou mais planas segmentos chamados lados de modo que cada lado 3.2 Trigonometria tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas 3.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. Através de conceitos primitivos primitivoscomo ponto, reta e plano, podemos fo , formar os mais variados polígonos, dentre as quais temos os não convexos e , temos, os convexos. 3.3.1.2 Polígono não convexo Um polígono é dito não convexo se, dados dois pontos do polígono, o segmento que contém estes sSeno pontos como extremidades contiver pontos que estão ™ Pr ˜ r fora do polígono. — ™ Pš r 3.3.1.3 Polígono convexo É um polígono construído de modo que os —Cosseno prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da ›œ•ž r figura original. ˜ s ›œ• š r OBS1: o perímetro de um polígono é a soma das OBS1 medidas de seus lados. s 3.3.2 Triângulos e suas classificaçõesTangente …Ÿ r ˜ — — Os triângulos são polígonos mais primitivos, …Ÿ š possuem três lados. Podemos classificá classificá-los de duas s maneiras: Quanto aos lados: Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  16. 16. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 16 Matemática Aplicada Perímetro do quadrado Š£ J quadradoHŠ Š£ „r ____________ ___________ _______________ Quanto aos ângulos: 3.3.3.3 Paralelogramo Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos devem ser congruentes._____________ __________________________ _________________________OBS2: a formas de se calcular a área de um triânguloOBS2depende de qual triângulo se está trabalhando. 3.3.3 Quadriláteros convexos e suas classificações 3.3.3.1 Retângulo Área do paralelogramo CŠ J paralelogramoHC Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos CŠ s¥iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: ladosiguais ou lados adjacentes diferentes. Perímetro do paralelogramo Š J paralelogramoHŠ ŠŠ 8Hr o sJ 3.3.3.4 Losango Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas diagonais são sempre perpendiculares.Área do retângulo ¢ J retânguloHC C¢ rsPerímetro do retângulo ¢ J retânguloHŠ Š¢ 8Hr o sJ J Área do losango ¤ J losangoHC f¦ C¤ 3.3.3.2 Quadrado 8 Caso particular de retângulo. Possui todos asoos lados iguais. Perímetro do losango ¤ J losangoHŠ Š¤ „r 3.3.3.5 Trapézio O trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. Pode se classificar em: trapézio retângulo: possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais;trapézioÁrea do quadrado HC£ J escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos C£ r8 diferentes. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  17. 17. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 17 Matemática Aplicada 3.4.1.1 Elementos de um poliedro Os polígonos que limitam o poliedro são chamados de faces, os lados dos polígonos das faces são chamados de arestas e as intersecções das J¥Área do trapézio §‹r J trapézioHC arestas são chamadas de vértices. H† o sJ Os poliedros podem ser classificados em: C§‹r 8 † o s o 8¤Perímetro do trapézio §‹r J trapézioHŠ Š§‹r 3.3.3.6 Hexágono :Área do hexágono HC¥ B J 3.4.1.2 A relação de Euler O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – ©8 √: C¨ B ‰∙ 1783) descobriu uma importante relação entre o „ número de vértice («), o número de aresta ( ), (C) e o Em todo poliedro convexo com C arestas, « número de faces (¬) de um poliedro convexo. )Perímetro do trapézio ¨ B J vértices e ¬ faces, vale a relação: trapézioHŠ Š¨ B ‰© « o ¬ Co 8 3.3.3.7 Circunferência e círculo 3.4.2 Prismas Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, os quais são classificados pelo número de lados das bases. Veja alguns exemplos deÁrea do círculo HCJ prismas. Ce ª‹8 doPerímetro da circunferência HŠe J Še 8ª‹ 3.4 Geometria espacial: áreas e volumes3.4.1 Poliedros 3.4.2.1 Elementos de um prisma Define-se como poliedro a todo sólido seformado por uma superfície fechada, limitada somentepor polígonos e que satisfaça às duas condiçõesabaixo. O ângulo formado entre dois polígono é diferente polígonos de um ângulo raso; Cada lado dos poliedros pertence somente a dois polígonos. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  18. 18. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 18 Matemática Aplicada « r‹ rs—3.4.2.2 Planificação dos prismas 3.4.3.4 do Volume do paralelepípedo 3.4.5 Cilindro São sólidos que possuem duas regiões paralelas na forma de círculos congruentes e uma superfície arredondada. Em um cilindro, as duas regiões circulares paralelas são chamadas de base do Prisma triangular Prisma quadrangular cilindro e a distância entre elas é chamada de altura do cilindro. ; C…¡…r© C¤r… o 8Cs3.4.2.3 Área lateral e área total C¤r… Šs ¥ « ‹-™mr Cs ¥3.4.2.4 Volume de um prisma C¤r… →área lateral do prisma;OBS3: nos itens 3.4.2.3 e 3.4.2.4, temos: BS3 C…¡…r© → área total do prisma; Cs →área do polígono da base; Šs →perímetro do polígono da base « ‹-™mr → Volume do prisma; base; ¥→altura do prisma.3.4.3 Cubo C¤r… 8ª‹¥ ; C…¡…r© 8ª‹H‹ o ¥J 3.4.5.1 Área lateral e área total C¤r… „r ; C…¡…r© ‰r «—-©-P¦‹¡ ª‹8 ¥ 3.4.5.2 do Volume do cilindro3.4.3.1 Área lateral e área total «—®s¡ r:3.4.3.2 do Volume do cubo 3.4.6 Cone Um sólido limitado por duas regiões: um m3.4.4 Paralelepípedo círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o círculo é chamado de base do come e a superfície « é o vértice do cone. C distância do vértice ao plano arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto reta em que um dos extremos é « e o outro é um ponto da base é chamada altura do cone e todo segmento de e da circunferência da base é chamado de geratriz. C¤r… 8Hr— o s— s—J3.4.3.3 Área lateral e área total C…¡…r© 8Hrs o r— o s—J Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  19. 19. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 19 Matemática Aplicada Questão 2 Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura.3.4.6.1 Área lateral e área total C¤r… ª‹Ÿ ; C…¡…r© ª‹HŸ o ‹J3.4.6.2 Volume do cone «—¡P ª‹8 ¥ Encontre a altura de cada degrau.3.4.7 Esfera Questão 3 No instante em que o ângulo de elevação do sol acima A esfera é um sólido limitado por uma do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3superfície curva de revolução que tem todos os pontos m, como mostra a figura ao lado.igualmente distantes de um ponto interior chamadocentro. A superfície esférica é resultado da revoluçãode uma semicircunferência em torno do diâmetro. Qual é a altura desse poste? Questão 43.4.6.3 Área total e volume Considere a sala representada na figura a seguir. 8 „ª‹: C…¡…r© „ª‹ ; « ™l ‹r : EXERCÍCIO PROPOSTOQuestão 1Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam asmargens de um rio. Determine qual a lotação máxima desta sala, sabendo- se que cada pessoa ocupa uma área de 1 m². Questão 5 Determine a área e o perímetro de um terreno na forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 21 e 28 metros. Questão 6 Um disco de aço usado para o corte de peças de metalDetermine a largura l desse rio. tem diâmetro igual a 10 cm. Determine o comprimento e a área deste disco. (considere $ 3,1.) Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  20. 20. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 20 Matemática AplicadaQuestão 7Num prisma quadrangular regular, a aresta da basemede 4 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule aárea lateral e a área total do prisma.Questão 8figura abaixo apresenta um prisma reto cujas basessão hexágonos regulares. Os lados dos hexágonosmedem 4 cm cada um e a altura do prisma mede 6 cm.Determine o volume do prisma.Questão 9Determine o número de vértices de um poliedroconvexo que tem três faces triangulares, uma facequadrangular, uma face pentagonal e duas faceshexagonais.Questão 10A figura a seguir representa um tambor, desses quesão usados para o transporte de óleo. O diâmetro dasua base mede 60cm e a altura, 85cm. Sendo assim,determine o custo do material utilizado na suaconfecção (desprezando as perdas), sabendo-se quecada metro quadrado custa R$ 100,00. (Considere$ 3.) Rascunho Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  21. 21. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 21 Matemática Aplicada 4. ESTATÍSTICA Introduçã ção4.1 Introdução Variável qualitativa: é quando seus valores são expressos por atributos. Ex: sexo, Com o desenvolvimento tecnológico, os meios preferência musical, etc. variáveis qualitativasde comunicação passaram a transmitir um número poder ser classificadas em: nominais oumuito maior de informações e muito mais rapidamente. ordinais.Essas informações, encontradas, por exemplo, em Variável quantitativa: é quando seus valoresjornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das são expressos em números. Ex: estatura,mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc. idade, salário, número de habitantes, etc. Variáveis quantitativas podem ser classificadas ser classificadas em discretas ou contínuas. 4.3 Distribuição de frequência H J 4.3.1. Frequência HlJ É o número de vezes que um determinado elemento é também chamado de frequência absoluta, l. aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno 4.3.2. Frequência Relativa Hl‹ J Programa das nações unidas para o desenvolvimento. A estatística é uma área da Matemática que É o quociente da frequência absoluta pelo número P de elementos dados l‹trabalha com a coleta de informações, bem como sua l P .organização e análise. Com a análise dos dados 4.3.3. Frequência Acumulada Hlr Jcoletados, podemos tomar decisões, além de fazerprevisões e planejamentos com mais segurança. É a soma das frequências relativas até determinado4.2 Termos da estatística dado. 4.3.4. Frequência Acumulada Relativa Hlr‹ J4.2.1 População relação ao total da absoluta. lr‹ Corresponde à proporção da frequência acumulada em orresponde lr População é todo universo que está sendo Pestudado. Ex: população de uma cidade. .4.2.2 Amostra Exemplo 24 Amostra é apenas uma parte da população Organize a tabela de frequência abaixo, de acordo comque está sendo estudada. Ex: parte da população de os conceitos estudados nos pontos acima.uma cidade. A amostragem pode ocorrer de trêsformas: Frequência Frequê ncia Amostragem aleatória (casual simples) a simples): Nível de Frequência Frequência acumulada acumulada escolaridade (f ) relativa (fr ) relativa amostra é composta de elementos retirados ao (fa ) (far ) acaso da população. Ensino Amostragem sistemática: aos elementos da 6 Fundamental amostra são escolhidos com base em um Ensino Médio 8 sistema preestabelecido. Amostragem estratificada: estratificada:a amostra é Ensino 2 composta de elementos proveniente de todos os Superior os grupos ou estratos da população. Total 164.2.3 Variável A variável fornece as características dapopulação, também sendo conhecida como variávelestatística. As variáveis podem ser classificadas em .qualitativas ou quantitativas. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  22. 22. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 22 Matemática Aplicada4.3.5. Intervalo de classe 4.4.3 Gráfico de setores Intervalos de classes são utilizados quando O gráfico de setores, também conhecidotrabalhamos com um número elevado de elementos. como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para representar partes de um todo. Atente para o fato de Exemplo 25 que o todo de gráfico de setor equivale a 360°, ou seja,Considere as notas obtidas por 20 alunos de uma 100% está para 360°. Essa relação será muito útil nasturma em certa avaliação na disciplina de matemática. análises desses tipos de gráficos. 72 43 91 65 67 70 83 87 81 85 Exemplos: 39 52 58 53 88 73 50 86 68 73Construa a tabela de frequência utilizando intervalos declasses.4.4 Representação gráfica de dados estatísticos 4.4.4 Histograma Os dados de uma pesquisa podem serrepresentados de várias maneiras. Os meios de Este tipo de gráfico é utilizado paracomunicação utilizam, em geral, os gráficos para representar as frequências absolutas e as relativas deapresentar esses dados. Isso ocorre porque os gráficos dados agrupados em intervalos de classes. Opermitem uma melhor visualização e também uma histograma é composto de retângulos justapostos cujasanálise mais detalhada dos dados apresentados. bases são apoiadas em um eixo horizontal. Exemplos:4.4.1 Gráfico de barras O gráfico de barras, também conhecido comográfico de colunas, é utilizado, em geral, pararepresentar dados de uma tabela de frequênciasassociados a uma variável qualitativa.Exemplos: Note que, se ligarmos os pontos médios das bases superiores das barras do histograma a partir de segmentos de retas, obteremos uma linha chamada poligonal de frequência. 4.4.5 Pictograma É uma técnica muito utilizada pelos meios de4.4.2 Gráfico de linhas comunicação, como revistas, jornais, entre outros,afim de tornar os gráficos mais atraentes. Esses meios de O gráfico de linhas, também conhecidos como comunicação costumam ilustrar imagens relacionadasgráfico de segmentos, é utilizado, em geral, para ao contexto do qual as informações fazem parte.representar a evolução dos valores de uma variável no Exemplos:decorrer do tempo de maneira contínua.Exemplos: Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com

×