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1     OS NÚMEROS
     1.1 Escrita dos números e unidades;
    1.2 Conjuntos numéricos;
    1.3 Sistema numérico e conversões;
    1.4 Algarismos significativos e notação científica;
    1.5 Arredondamento;
    1.6 Teoria dos conjuntos.



2     FUNÇÕES
     2.1 Sistema de coordenadas cartesianas;
     2.2 Relações, funções e equações polinomiais;
     2.3 Progressão aritmética e progressão geométrica.



3     GEOMETRIA
    3.1   Teorema de Pitágoras e Trigonometria;
    3.2   Geometria plana: Áreas e perímetros;
    3.3   Geometria espacial: áreas e volumes.



4 ESTATÍSTICA
     4.1 Noções básicas de estatística.




              Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 2                                         Matemática Aplicada


                                           1. Os números
  1.1 ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES                                  A evolução dos números

   Como aconteceu...

       Nos antigos sistemas de numeração a escrita
dos números era bem complexa, o que dificultava muito
os cálculos. Por isso, o homem criou vários
instrumentos que o auxiliavam no cálculo.
       Um dos primeiros instrumentos para calcular - o
ábaco - foi inventado há mais de mil anos. A origem da
palavra ábaco não é certa. Alguns a associam ao termo
semita abac, que significa "poeira", e outros acreditam
que ela deriva do termo grego abax, que significa
"placa".
       Os primeiros ábacos eram formados por placas
de madeira com sulcos, nos quais deslizavam
pequenas pedras.
       Mais tarde, essas placas foram substituídas por
tábuas ou pranchas com divisões em diversas linhas ou                 Outras formas de contagem
colunas paralelas, separando as diferentes ordens de
numeração. Para representar números ou efetuar
operações colocavam-se fichas valendo uma unidade
simples cada uma.
       Durante a Idade Média (séculos V a XV), o
sistema indo-arábico de numeração e seus processos
de cálculo foram muito divulgados. No século XIII
(1202), Leonardo Fibonacci, famoso matemático
italiano conhecido apenas como Fibonacci, escreveu a
obra Liberabaci ("Livro dos cálculos"), em 1202. Nela
ele explicava o sistema indo-arábico de numeração e
suas regras de cálculo.
       Os símbolos indo-arábicos sofreram várias
transformações na sua representação, antes de
adquirirem a aparência que conservam até hoje.
       Como os livros eram escritos a mão, a forma dos
algarismos sofria várias alterações. Isso começou a
mudar a partir de 1440, quando Gutenberg inventou a
imprensa, permitindo que a escrita dos números fosse
fixada.                                                             1.2   CONJUNTOS NUMÉRICOS
       A influência da imprensa foi tão importante que
os símbolos atuais têm, em sua essência, a mesma                        Os dois principais objetos com que se ocupa a
aparência dos símbolos que eram usados no século                  Matemática são os números e as figuras geométricas.
XV.                                                               O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que
       Sabe-se hoje que, na Europa, houve uma forte               você estudou durante sua vida acadêmica.
resistência à utilização desses símbolos. Essa
                                                                     1.1.1. O conjunto ℕ
resistência só foi vencida depois que o comércio
                                                                              conjunto
europeu se expandiu de tal forma que se tornou
                                                                                             “Deus criou os números naturais.
imprescindível à adoção de um sistema de numeração
                                                                                                 O resto é obra dos homens.”
que facilitasse os cálculos.                                                                                         LeopoldKronecker


                                                                          O conjunto dos números naturais é representado
                                                                  por:
                                                                                   ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }

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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 3                                       Matemática Aplicada

                                                                        o número é uma dízima periódica.
       Um subconjunto importante de ℕ é o conjunto
                                                                              Neste caso, devemos seguir alguns passos
ℕ∗ , obtido excluindo o zero de ℕ:
                                                                        que serão ilustrados no exemplo abaixo.
                ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }
OBS1:ℕ é fechada em relação à adição e multiplicação.                                      Exemplo 2
Dentro de ℕ podemos destacar os números pares e os                      Determine a fração geratriz das dízimas abaixo.
                                                                                 !
                                                                           a) 0, 5
números ímpares.
                                                                                 !!
                                                                                  !!
                                                                           b) 2, 13
                                                                                  !!
                                                                           c) 1,325!!
   1.1.2. O conjunto ℤ
            conjunto
       O conjunto dos números inteiros é representado
por:                                                              OBS3:ℚ é fechada em relação as quatro operações.
          ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
       Do conjunto dos números inteiros podemos                      1.1.4. O conjunto "
                                                                              conjunto
destacar alguns subconjuntos importantes:                                 Assim como existem números decimais que
     ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … }                    podem ser escritos como frações – com numerador e
     ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … }                                      denominador inteiros – que são os números racionais,
     ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0}                                  há aqueles que não admitem tal representação. São
     ℤ∗ = {1, 2, 3, 4, … }                                        números decimais não exatos, que possuem
     ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1}                                    representação infinita não periódica.
OBS2:ℤ é fechada em relação à adição, subtração e                         Esses números são chamados de números
                                                                  irracionais, e seu conjunto é representado por ".
multiplicação.
                                                                                         Exemplo 3
   1.1.3. O conjunto ℚ
            conjunto                                              Note    que    os     números     abaixo      apresentam
        O conjunto dos números racionais é inicialmente           representação infinita não periódica.
descrito como o conjunto dos quocientes entre dois                  a) √2 = 1,4142136 …
inteiros. Utilizando o elemento genérico, podemos                    b) √3 = 1,7320508 …
escrever, de modo mais simples:                                      c) $ = 3,141592 …
                ℚ=         ∈ℤ      ∈ ℤ∗
                                                                    1.1.5. O conjunto ℝ
      Assim como o conjunto dos números inteiros, os
                                                                         O conjunto formado pelos números racionais e
racionais apresentam cinco subconjuntos importantes:
                                                                  pelos números irracionais é chamado conjunto dos
     ℚ∗ : conjunto dos racionais não nulos;
                                                                  números reais e é representado por ℝ. Assim, temos:
     ℚ : conjunto dos racionais não negativos;
                                                                  ℝ = ℚ ∪ ", sendo que ℚe " são disjuntos, ou seja,
     ℚ : conjunto dos racionais não positivos;
                                                                  ℚ ∩ " = ∅.
     ℚ∗ : conjunto dos racionais positivos;
                                                                         Assim como o conjunto dos números inteiros e o
     ℚ∗ : conjunto dos racionais negativos.
                                                                  conjunto dos números racionais, os reais também
                                                                  apresentam cinco subconjuntos importantes, que
      Toda fração possui representação decimal e todo
                                                                  podem      ser    representados      pelas seguintes
número decimal possui representação fracionária.
                                                                  propriedades:
      Para escrever uma fração na forma decimal,
                                                                       conjunto dos racionais não nulos:
basta efetuar a divisão correspondente, por exemplo:
                                                                                    ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* ≠ 0}
                                   !
2/5 = 0,4;2/3 = 0,666. ..;1/3 = 0, 3.
                                                                       conjunto dos racionais não negativos:
      Para representar um número decimal na forma
                                                                                    ℝ = {* ∈ ℝ |* ≥ 0}
de uma fração devemos considerar duas situações:
                                                                       conjunto dos racionais não positivos:
    o número é decimal exato.
                                                                                    ℝ = {* ∈ ℝ |* ≤ 0}
           Transformamos o número decimal em uma
                                                                       conjunto dos racionais positivos:
    fração cujo numerador é o número decimal sem a
                                                                                    ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* > 0}
    vírgula e o denominador é composto pelo numeral
                                                                       conjunto dos racionais negativos:
    1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas
                                                                                    ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* < 0}
    decimais do número decimal dado.
                     Exemplo 1                                     1.3 SISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕES
    Escreva a fração correspondente aos decimais                  1.3.1  Sistema métrico decimal
    dados.                                                              O sistema de numeração que utilizamos
      a) 0,7                                                      atualmente é o sistema de numeração decimal, pois
      b) 2,3                                                      nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse
      c) 0,43                                                     sistema também é conhecido por sistema de

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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 4                                       Matemática Aplicada

numeração indo-arábico, pelo fato de ter sido                           O quadro a seguir apresenta os múltiplos do
desenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido              metro.
pelos árabes. Os símbolos utilizados nesse sistema
são chamados algarismos, palavra decorrente do
nome do matemático árabe Mohammed al-Khowarizmi.
      No sistema de numeração decimal, podemos
agrupar os elementos da seguinte maneira:                                 Abaixo temos alguns dos principais instrumentos
                                                                  utilizados para a verificação de medidas de
                                                                  comprimento.




     Os agrupamentos de 10 elementos também
podem ser representados em um ábaco.




        Ao lado temos uma tabela que
mostra a evolução dos algarismos
utilizados em nosso sistema de
numeração decimal.

1.3.2  Medidas de comprimento
      Desde a Antiguidade, muitos povos criaram suas
unidades de medida, ou seja, possuíam sua própria
unidade padrão. Antes do surgimento das unidades de
medidas de comprimento que conhecemos hoje, como
o metro, diversos povos utilizavam partes do corpo
como referência. Observe nas ilustrações abaixo.

                                                                                       Exemplo 4
                                                                  Efetue as transformações abaixo.
                                                                      a) 5 m → mm
                                                                      b) 150 cm → dam
                                                                      c) 12 km → m
                                                                      d) 12 m → cm
                                                                      e) 265 dm → hm

                                                                  1.3.3    Medidas de tempo
                                                                                         O relógio




     Temos o metro como unidade padrão de
medida, com base nele foi que surgiram outra unidades
de medida de comprimento, como o centímetro (cm), o
milímetro (mm), o quilômetro (km), entre outras.

                 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 5                                       Matemática Aplicada

       Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o               1.4   ALGARISMOS        SIGNIFICATIVOS      E   NOTAÇÃO
relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral,                  CIENTÍFICA
os relógios marcam as horas os minutos e os
segundos, sendo que:
                                                                  1.4.1   Algarismos significativos
                                                                         O que torna um algarismo significativo ou não?
                                                                         Hoje em dia, a obtenção de medidas é
                                                                  fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma
                     O calendário                                 medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá
                                                                  uma incerteza associada a cada medida e é essa
                                                                  incerteza que torna um número significativo ou não.
                                                                         Considere a figura abaixo, em que uma régua
                                                                  comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o
                                                                  comprimento de um segsegmento de reta.




Observando este calendário, podemos notar que o ano                       De acordo com a figura, a medida exata do
é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e
                        ,                                         comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas,
                                                                                      se
cada semana, em 7dias.                                            podemos estimar, com uma pequena margem de erro,
 O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o                que a medida do comprimento é 6,54 cm.
de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um                            Em uma medida, dá  dá-se o nome algarismos
quadrimestre e o de 6 meses, a um semestre.                       significativos a todos os algarismos tidos como certos
                                                                  mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a
1.3.4   Medidas de superfície                                     medida       6,54   cm     possui    três   algarismos
                                                                  significativos.Um outro exemplo seria o número 0,0034
                                                                                 Um
                                                                  que possui apenas dois algarismos significativos
                                                                  (observe que os zeros à esquerda indicam apenas um

                                                                  pode ser escrito como 3 ∙ 10 > ).
                                                                                         3,4
                                                                  deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número



                                                                  1.4.2    Notação científica
      Quando medimos o comprimento ou a largura de                        A diversidade dos números
uma sala de aula, estamos utilizando medidas de                   que aparecem no mundo físico é
comprimento. Quando queremos medir a superfície de                enorme. Para ter uma ideia, a
uma sala, estamos querendo saber qual a área dessa                massa da terra, por exemplo, é

                                                                  5.980.000.000.000.000.000
                                                                                          000.000.000
sala.                                                             de              cerca             de
      Neste tópico daremos ênfase apenas a
conversão de unidades de medidas de superfície. A
                     des                                          quilogramas (12), enquanto o
                                                                                      ),

                                                                  0,000000000000001 metro (
temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no                diâmetro de um            próton é de cerca de
capítulo 3.                                                                                     (5).
      Para a conversão de unidades de medida de                           A grande quantidade de zeros torna a
superfície temos a seguinte tabela.                               representação desses números bastante inconveniente
                                                                  e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática
                                                                  para escrever valores muito grandes ou muito

                                                                  massa da terra como 5   5,98.∙ 12, e o diâmetro do próton
                                                                  pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a

                                                                  como 10 34 5. Esse tipo de n
                                                                                  .              notação recebe o nome de
                     Exemplo 5                                    notação científica.
Efetue as conversões a seguir                                             Ao usar a notação científica para representar um

                                                                  6 5. 10 , em que 1 . 5 0 10 é a mantissa. Assim,
    a) 1,93 m² → cm²
                                                                             7
                                                                  número N qualquer, devemos escrevê   escrevê-lo na forma
    b) 295 cm² → m²

                                                                  8, 9: ∙ <=8 .
    c) 535 cm² → m²                                               o número 253, por exemplo, deve ser escrito como
                                                                                    ,
    d) 12,5 m² → mm²
    e) 0,95 dam² → dm²

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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                        6                                    Matemática Aplicada

      Visando facilitar ainda mais a notação das                            Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos                        último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o
representando as potências de dez. a tabela seguinte                        último algarismo a ser conservado permanecerá
traz a denominação dos principais prefixos de acordo                        sem modificação.
com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia,
Normalização e Qualidade Industrial).                                                          Exemplo 7
                                                                            1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á
                                                                            1,3.

                                                                            Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
                                                                            último algarismo a ser conservado for superior a 5,
                                                                            ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo
                                                                            diferente de zero, o último algarismo a ser
                                                                            conservado deverá ser aumentado de uma unidade.

                                                                                               Exemplo 8
                                                                            1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á:
                                                                            1,7.
                                                                            4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-
                                                                            ão : 4,9.

                                                                            Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
                                                                            último algarismo a ser conservado for 5 seguido de
                                                                            zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser
                                                                            conservado para o algarismo par mais próximo.
                                                                            Consequentemente, o último a ser retirado, se for
                                                                            ímpar, aumentará uma unidade.

                                                                                              Exemplo 9
                                                                            4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se-
        Fonte: Resolução Conmetro 12/88, de 12 de outubro de 1988.          ão: 4,6.


                     Exemplo 6                                              Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
A lista a seguir apresenta valores numéricos que                            último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se
podem, ou não estar representados em notação                                for par o algarismo a ser conservado, ele
cientifica. Faça as alterações necessária para que                          permanecerá sem modificação.
todos os valores estejam representados na forma de
notação científica.                                                                           Exemplo 10
    a) 3,2 ∙ 104                                                            4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se-
    b) 23,5 ∙ 10 ?
                                                                            ão: 4,8.
    c) 0,73 ∙ 10>
    d) 0,067 ∙ 10 @
    e) 1560 ∙ 10 >
                                                                          1.6    TEORIA DOS CONJUNTOS.
 1.5    ARREDONDAMENTO
                                                                         1.6.1    Conceito básico
      Regras de arredondamento na Numeração                                       A nível de segundo grau, conjunto é toda
Decimal - Norma ABNT NBR 5891 de dezembro de                             coleção de objetos, de animais, de palavras, de
1977.                                                                    números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto
                                                                         qualquer é formado por elementos. Da mesma forma
1.5.1  Objetivo                                                          que conjuntos, elementos são conceitos matemáticos
      Esta norma tem por fim estabelecer as regras de                    primitivos, portanto sem definição.
arredondamento na Numeração Decimal.
                                                                         1.6.2   Tipos de conjuntos
1.5.2     Regras de arredondamento                                               Em nosso cotidiano podemos perceber
                                                                         diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a

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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 7                                       Matemática Aplicada

caminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto                  Caso    A        não  esteja contido em  B,
de cães; conjunto de carros, entre outros.                        simbolicamente,       temos A ⊄ G ou G ⊅ A (G não
                                                                  contém A).

1.6.3   Elementos                                                 1.6.10    Subconjunto
                                                                            Subconjunto
                                                                          Quando todos os elementos de um conjunto A
                       conjunto A, sendo os jogadores
                                Se   considerarmos    o
                                                                  qualquer forem também elementos de um conjunto G,
                       titulares de um time de futebol,           diz-se, então, que A é um subconjunto de G, ou seja,
                       temos que cada jogador é um                A ⊂ G. Observações:
                                                                       Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou
                       A. E que o conjunto A é limitado
                       elemento pertencente ao conjunto
                                                                       seja, A ⊂ A ;
ou finito e possui 11 elementos.                                       O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto
                                                                       de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A.
1.6.4    Representação
        Um conjunto pode ser representado de várias                                   Exemplo 11
maneiras, entre as quais três são mais usuais:                    Se considerarmos todos osalunos do               NEPAM,
     Diagramas                                                    podemos observar alguns subconjuntos?
        Representamos um conjunto por diagramas
(curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus                1.6.11   Conjunto das partes
elementos.                                                        O conjunto formado por todos os subconjuntos de um
     Listagem ou Enumeração                                       conjunto A é chamado de conjunto das partes de A,
        Representamos um conjunto por uma letra                   que indicamos por M(A).
maiúscula e listamos seus elementos entre chaves.
     Propriedade Característica                                                      Exemplo 12
        Representamos um conjunto por meio de uma                 Dados os conjuntos A = {1}, G = {1, 2} e N = {1, 2, 3},
propriedade característica de seus elementos, sem                 vamos determinar M(A), M(G) e M(N).
nomeá-los.
                                                                  OBS1: Se um conjunto finito O qualquer tem P
                                                                  OBS1
1.6.5                            (∈)
          Relação de pertinência ( )                              elementos, então M(Q) tem 27 elementos, ou seja:
         Entre um elemento x qualquer e um conjunto A             R[M(Q)] = 27 .
qualquer só existe duas, e somente duas,

1ª Possibilidade B ∈ C 2ª Possibilidade B ∉ C
possibilidades de relacioná-los.                                  1.6.12       Operações com conjuntos: união ou reunião de
                                                                               conjuntos
                                                                             Dados os conjuntos A = {U, V, W, X} e G =
                                                                  {U, V, Y, Z, 2}, vamos determinar o conjunto N de maneira
1.6.6    Conjunto vazio
        Um conjunto, embora seja associado a uma
                                                                  que seus elementos pertençam a pelo menos um dos
coleção de objetos, às vezes não possui elementos.
                                                                  conjuntos, A ou G.

ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø.
Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio,
                                                                                       N = {U, V, W, X, Y, Z, 2}
                                                                             O conjunto N é chamado de união ou reunião
                                                                  de A e G e pode ser indicado por A ∪ G, que se lê A
                                                                  união G ou A reunião G.
1.6.7   Conjunto unitário
                                                                      Simbolicamente: se * é um elemento de A ∪ G,
       Quando um conjunto apresenta um único
                                                                      então* ∈ A ou * ∈ G, ou seja,A ∪ G = {*|* ∈
elemento o chamamos de conjunto unitário. Por
                                                                      A [ * ∈ G}.
exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol.

1.6.8   Conjunto universo
                                                                  1.6.13    Interseção de conjuntos
      O conjunto de todos os elementos considerados
                                                                        Considere os mesmos conjuntos A e G usados
em determinada situação é chamado conjunto
                                                                  acima, vamos determinar o conjunto ] de maneira que
universo.
                                                                  seus elementos pertençam ao conjunto A e ao G.
                                                                                         ] = {U, V}
                                                                        O conjunto ] é chamado interseção de A e G e
1.6.9  Relação de inclusão
     O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e
                                                                  pode ser indicado por A ∩ G, que se lê A interseção G.
A ⊂ G, relação de inclusão, ou seja,A está contido
                                                                     Simbolicamente: se * é um elemento de A ∩ G,
                                                                                                          A ∩ G = {*|* ∈
em G ou G contém A (G ⊃ A).
                                                                     então * ∈ A e * ∈ G, ou seja:
                                                                     A Y * ∈ G}.


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OBS2: Quando A ∩ G
OBS2                       ∅, A e G são chamados                     b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou
conjuntos disjuntos.                                                    apenas de canelone ou de ambos os pratos?
                                                                     c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha

      Considerando os conjuntos A e G acima, vamos
1.6.14   Quantidade de elementos do conjunto união                      nem de canelone?
                                  A
determinar o número de elementos do conjunto A ∪ G.               Questão4
 Fórmula:                                                         A parte hachurada no gráfico representa:



        Dados os conjuntos A
1.6.15       Diferença de Conjuntos
                                      0, 1, 2, 3 e G
{2, 3, 4, 5 , vamos determinar o conjunto C de maneira
que seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não
pertença ao G.
                           N {0, 1
        O conjunto N é chamado diferença entre A e B e             (A)   A ∩ HG ∪ NJ
pode ser indicado por A– G, que se lê A menos G.
                              ,                                    (B)   HA ∩ GJ ∪ N
    Simbolicamente: se x é um elemento de A G,
                        :                                          (C)   HA ∪ GJ ∩ N
    então * ∈ A e * ∉ G, ou seja: A G
                               ,                  *|* ∈            (D)   A ∪ HG ∩ NJ
    AY* ∉G .                                                       (E)   N.R.A.


                                                                  Questão5
EXERCÍCIO PROPOSTO                                                Se R_MH`Ja 64, então o conjunto ` é:
                                                                                        ,
                                                                  A) {a, b, c, d}
Questão1                                                          B) {a, b, c, d, e, f}
(Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ G                 C) {a, b, c, d, e, f, g}
tem 12 elementos e A ∪ G tem 60 elementos. O número               D) ⍉
de elementos do conjunto G é:                                     E) {a, b, c, d, e}
 (A) 28
 (B) 36
 (C) 40
 (D) 48
 (E) 52


Questão2
Numa creche com 120 crianças, verificou
                                verificou-se que 108
haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra
o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas
vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra
poliomielite e sarampo?

Questão3
Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha
italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre
lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais
você gosta?”. O resultado da pesquisa foi:
          ?”.
 • 35 gostam de lasanha;
 • 39 gostam de canelone;
 • 40 gostam de macarronada;
 • 15 gostam de lasanha e canelone;
 • 13 gostam de lasanha e macarronada;
 • 11 gostam de canelone e macarronada;
 • 5 gostam dos três pratos.
   a) Quantos clientes gostam somente de canelone?




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                                               2. Funções
                                                                   valores de g que são imagem de * denominamos
  2.1 Sistema de coordenadas cartesianas                                             "mHlJ).
                                                                   imagem da função ("m
       O sistema cartesiano ortogonal é formado por
dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num
                                                                                                                 Conjunto
ponto denominado origem das coordenadas e que
determinam um plano chamado plano cartesiano
                                       cartesiano.                                                               imagem
No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares
                               mos                                                                                Note que o
ordenados:                                                                                                          conjunto
                                                                                                                   imagem é
                                                                                                                    formado
                                           AH*h , gh J                                                           apenas pelos
                                                                                                                 elementos do

                                                 GH*i , gi J
                                                                                                                conjunto B que
                                                                    Domínio                                       se relaciona
                                                                                                                com elementos

                                           NH*j , gj J
                                                                                        Contradomínio
                                                                                        Contrad                       de A.




                                          ]H*k , gk J
                                                                      2.2.3 Função Polinomial do 1º Grau

                                                                   2.2.3.1   Definição
                   Exemplo 13                                             Chama-se função polinomial do 1º grau ou
                                                                                                                grau,

                                                                   uma lei da forma ZH  H*J U* o V, onde a e b são
Marque os pontos dado abaixo no plano cartesiano.                  função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por
                                                                               ,

                                                                   números reais dados e U , 0.
A(1, 0)

                                                                          Na função ZH   H*J U* o V, o número r é
B(-1, 3)

                                                                   chamado de coeficiente de * e o número s é chamado
C(2, -2)
D(-3, -1)                                                          termo constante.
E(0, 3)
                                                                                      Exemplo 14
F(2, 0)
                                                                   Determine os valores dos coeficientes das funções
G(3, 3)
                                                                       a) ZH*J 5* 3;
                                                                   abaixo.

                                                                       b) ZH*J   2* 7  7;
H(1, -3)

                                                                       c) ZH*J 11*.
J(0, 1)



 2.2 Relações, funções e equações polinomiais
                                                                   2.2.3.2    Zero e Equação do 1º Grau

                                                                   1º grau ZH*J U* o V, U , 0, o número real * tal que
                                                                         Chama-se zero ou raiz da função polinomial do
                                                                                 se

                                                                   ZH*J    0.
  2.2.1 Função
      Dados os conjuntos A e G não vazios, a relação
Z de A em G é uma função quando a cada elemento *
do conjunto A está associado um único elemento g do                                                              V
                                                                   Temos:
                                                                        ZH*J 0 ⇒ U* o V       0 ⇒ U*    V⇒*
conjunto G.                                                                                                     U
       Podemos representar uma função Z de A em G

                                  G
com a seguinte notação:                                                                Exemplo 15

                                                                      a) ZH*J 2* 5
                   Z: A → GouA → G                                 Obtenção do zero das funç
                                                                                        funções a seguir.

                                                                      b) ZH*J * 2
             (lê-se: função Z de A em B)

                                                                      c) ZH*J 3* o 6
      Quando escrevemos uma função Z: A → G,                          d) ZH*J       1
                                                                                 q
  2.2.2 Domínio, contradomínio e imagem de uma função
                                                                                    @
denominamos o conjunto A de domínio (
                                   HlJ). Cada elemento
                                            (fHlJ) e o
conjunto G, de contradomínio (efH
g de G associado ao elemento * de A, denominamos
                                                                   2.2.3.3     Gráfico

imagem de * pela função Z. Ao conjunto de todos os
                           .


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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                      10                                       Matemática Aplicada

      O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,                            Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais
                                                                                              ,
g U* o V, com U , 0, é uma reta oblíqua aos eixos
                                                                                Quando ∆ 0 0, a equação não terá raízes reais,
                     ,                                                          e iguais;
t* e tg.                                                                                      ,
                                                                                mas sim raiz complexa, o que veremos nas
2.2.3.4     Crescimento e Decrescimento                                         próximas aulas.

U / 0 (positivo) e, Decrescente quando U 0 0
      O gráfico da função Afim será Crescente quando                    2.2.4.3      Gráficos
                                                                                De acordo com as características dos gráficos
(negativo).                                                             das funções quadráticas, podemos organizar o quadro
                                                                        a seguir.
2.2.3.5       Domínio e imagem

                   fHlJ       &    "mHlJ      &

                     Exemplo 16

   a) g 3* 1
Construa os gráficos das funções a seguir.
                             ões

   b) ZH*J       *o2
   c) ZH*J         3
               q
                   @




   2.2.4 Função Polinomial do 2º Grau



      Toda função Z: & → & tal que ZH*J U* @ o V* o
2.2.4.1     Definição

W, com U, V, W ∈ & e U , 0 é chamada função polinomial
do 2° grau.

                   Exemplo 17                                                               Exemplo 19

                                                                           a) ZH*J      *@ o 3
                                                                                             3* 2
Determine os valores dos coeficientes das funções                       Determine a concavidade das funções:

                                                                           b) ZH*J 3* @ o 4* o 12
                                                                                              *
abaixo.
ZH*J * @ o 2* o 1;
ZH*J    2* @ 4*.
                                                                        2.2.4.4        Vértice da parábola

                                                                                  para baixo, ela tem um ponto de máximo y.
2.2.4.2    Raízes da função                                                       Quando uma parábola tem concavidade voltada

polinomial do 2° grau os valores de *para os quais a
      Chamamos de raízes, ou zeros, da função

função se anula, ou seja, Z H*J 0.
      Para determinar as raízes de uma função
polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de


                                                  V x √∆
Bhaskara.

          ∆   V@       4∙U∙W        ;     *
                                                  2∙U


                                                                                  para cima, ela tem um ponto de mínimo y.
                     Exemplo 18                                                   Quando a parábola tem concavidade voltada

   a) ZH*J * @ 4* o 3
Determinar as raízes reais das funções a seguir.
                             s

   b) ZH*J *² * 2
   c) ZH*J 2*² * o 3
   d) ZH*J * @ 4
    eJ ZH*J        3*²      9*


2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido:
OBS1: A quantidade de raízes reais de uma função do
OBS1

      Quando ∆ / 0, a equação terá duas raízes reais
                    ,
      e diferentes;

                       Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                11                                       Matemática Aplicada

OBS2: As coordenadas do vértice yH*z , gz J de uma
                                                                  a) ZH*J * @ 6* o 5
OBS2                                                              Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo:

                                                                  b) ZH*J      3* @ o 6
parábola podem ser determinadas pelas relações

                                         ∆                        c) ZH*J 2* o * @
abaixo:

                         Y gz
                       V
                                        4U
               *z
                      2U
                                                                  Questão6
                    Exemplo 20

                                                                  a) ZH*J 3* @ 7* o 2
                                                                  Determine as raízes das funções abaixo:
Determinar as coordenadas dos vértice das funções a
                              vértices

                                                                  b) ZH*J    3* @ o 6
   a) ZH*J * @ 4* o 3
seguir.

                                                                  c) ZH*J * @ o 5* o 7
   b) ZH*J      2* @ * o 1

                                                                  Questão7

                                                                  verticalmente, tem sua altura | (em metros) dada em
                                                                  (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima,
                                                                          MT)

                                                                  função do tempo { (em segundos) decorrido após o
                                                                  lançamento pela fórmula |         5{ @ o 20*. Qual é a
EXERCÍCIO PROPOSTO
                                                                  altura máxima atingida pela bola.
Questão 1

grau dada por g U* o V. Ache a lei que relaciona g
O gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º
                                                                  Questão8
com *.
                         .
                                                                  (PUCCAMP - Adaptada Na figura a seguir tem-se
                                                                                    Adaptada)
                                                                  representada a curva descrita por
                                                                  um projétil, desde o seu
                              Y                                   lançamento (ponto A) até que
                                                                  atinja o solo (ponto B). Se a curva

                                                                  g      2* @ o 4*, qual é à distân
                              4                                   descrita é a parábola de equação
                                                                                  ,          distância
                                                                  AB, em metros?
                        2
                                                                                            Anotações
                 -2                 3        X




Encontre g ZH*J sendo f uma função polinomial do 1º
Questão 2

grau, sabendo-se que ZH 3J 4 e Z
                               ZH3J 6.

Questão 3
O gráfico ao lado descreve
o valor cobrado por
umtaxista, em reais, em
função do número de
quilômetros     percorrido.
Determine:
a) o preço da bandeira;
b) o preço cobrado por
quilômetro rodado;
c) a lei que define esse
gráfico.


Dada a função Z: & → &, definida por
Questão4

ZH* o 1J ZH*J o ZH1JeZH2J 1, determine o valor de
                      ,

ZH4J.
                                ,



Questão5
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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                       12                                       Matemática Aplicada

   2.2.5 Função Exponencial                                              Questão 2

                                                                         indústria é dada pela expressão ‡ <==
                                                                         Mensalmente, a produção em toneladas de certa

                                                                         <==. „ =,=9B na qual x é o número de meses contados
2.2.5.1     Definição

Z: } → }∗ , definida por ZH*J U q ou g U q , com
                                q
      Chamamos de função exponencial toda função
                                                                         a partir de uma certa data. Após dez meses, qual será
U / 0 e U , 0.                                                           a produção atingida?

                        Exemplo 21                                       Questão 3

                                                                         mais eficiência a cada dia. Suponha que ˆ ‰„=H<
Determine     os    valores das bases             das    funções         Um empregado está executando a sua tarefa com

                                                                         8 =,9… J seja o número de unidades fabricadas por dia
seguintes.
                    3 q
    a) ZH*J        ~ •

                                                                         de fabricação. Se {    14,
                                                                                                14 qual o valor de 6?
                    >                                                    por esse empregado, após t dias do inicio do processo
    b) ZH*J        2q

2.2.5.2    Gráficos
           Gráficos                                                      Questão 4

                                                                         seja igual a 9==. H:J… reais. Após dois anos, a
                                                                                               J
      Considere as funções abaixo e construa os                          Estima-se que daqui a t anos o valor de um terreno
                                                                                 se

                                       1 q
respectivos gráficos.

     UJ ZH*J 2q              VJ ZH*J ‚ ƒ
                               J
                                       2
                                                                         valorização (aumento de valor) em relação a hoje será
                                                                         de:
                                                                         a) R$ 4.000,00         c) R$ 2.000,00
                                                                         b) R$ 3.500,00         d) R$ 1.500,00
                                                                         e) R$ 1.000,00

                                                                         Questão 5
                                                                         Sob certas condições, o número de bactérias B de
                                                                         uma cultura, em função do tempo t, medido em horas,
                                                                         é dado por
                                                                                              †HH…J H8J<8
                                                                                                              …


                                                                         Isso significa que, cinco dias após a hora zero, o
                                                                         número de bactérias é:
                                                                         a) 1.024
                                                                         b) 1.120
                                                                         c) 512

                                                                         e) √8
                                                                         d) 20
                                                                            :

               Se U / 1 Z é crescente
               Se 0 0 U 0 1 Z é decrescente
                            crescente.
   OBS1
   OBS1

                                                                                                   Anotações
2.2.5.3    Equação exponencial
      As equações exponenciais são aquelas em que
a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê
                                        resolvê-las,

ou seja, para r / 0 er , <, temos:
usamos o fato de que a função exponencial é injetiva,



                    r         r ⟺



EXERCÍCIO PROPOSTO

Determine o valor de B nas equações abaixo.
Questão 1

   a) 2q 32
   b) 3q 3 81
   c) 5@q • 1
   d) 3q 27


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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                   13                                             Matemática Aplicada

  2.2.6 Progressão Aritmética                                           2.2.7 Progressão Geométrica


2.2.6.1       Definição                                              2.2.7.1         Definição

          Progressão aritmética é uma sequência                              É toda sequência numérica cujo quociente
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é                   entre um termo qualquer (a partir de segundo) e seu
igual ao anterior, somado com uma constante chamada                  antecessor é uma constante chamada razão – indicada
razão da progressão aritmética.                                      por .

2.2.6.2       Representação                                          2.2.7.2         Representação


                 ŠC Hr< , r8 , r: , . . . , rP );                              Š•(r< , r8 , r: , r„ , . . . , rŽ , . . . , rP , . . . )
                                                                     Onde:
Onde:                                                                  r< é o primeiro termo;
  r< é o primeiro termo;                                               rŽ é o termo que ocupa a posição Ž;
  ‹é a razão ‹ = r8 − r< = r: − r8 = … = rP − rP < ;                   rP é o termo que ocupa a posição P;
  rP é o termo da posição P;                                           rP < é o termo anterior a rP ;
  Pé o número de termos.                                               Žé menor que P (Ž < R).

2.2.6.3       Classificação                                          2.2.7.3     Classificação
                                                                         I. Crescente:ocorre           quando(•< > 0 Y • >
   I.     Crescente: ocorre somente se ‹ > 0;                                1)ou(•< < 0 Y 0 < • < 1).
  II.     Constante: ocorre quando ‹ = =;                               II. Decrescente:ocorre quando(•< > 0 Y 0 < • < 1)
 III.     Decrescente:isto somente ocorre se ‹ < 0;                          ou(•< < 0 Y • > 1).
                                                                       III. Constante:ocorre quando‘ = <.
2.2.6.4       Fórmula do Termo Geral
                      do                                              IV. Oscilante:ocorre quando‘ < 0.


                   rP = r + (P – <). ‹                               2.2.7.4         Fórmula do Termo Geral


2.2.6.5       Interpolação Aritmética                                                           rP = r< ∙       P <


          Interpolar meios aritméticos entre dois                    2.2.7.5     Interpolação Geométrica
números é formar uma progressão aritmética com                                 Interpolar meios geométricos entre dois
todos estes termos. Estes problemas consistem no                     números é formar uma progressão geométrica com
cálculo da razão.                                                    todos estes termos. Estes problemas consistem no
                                                                     cálculo da razão.
                       Exemplo 22
Interpolar 2 meios aritméticos entre 7 e 22.                                                Exemplo 23
                                                                     Interpolar 3 meios aritméticos entre 64 e 4.

2.2.6.6       Soma dos Termos de Uma PA
                                     PA
                                                                     2.2.7.6         Soma dos Termos de Uma PG
         Podemos calcular a soma de termos de uma
PA se conhecer o primeiro termo da progressão, o                              Podemos calcular a soma de termos de uma
último termo e a quantidade de termos a serem                        P.G. se conhecer o primeiro termo da progressão e a
somados através da fórmula:                                          razão:
                                                                                                     r< ∙ (    − <)
                                                                                                               P

                         (r< + rP ). P                                                       ŒP =
                    ŒP =                                                                                      −<
                              8
                                                                     Onde:
Onde:                                                                   • ŒP é a soma de P termos da progressão;
   •       ŒP é a soma de P termos da progressão;                       • r< é o primeiro termo;
   •       r< é o primeiro termo;                                       •  é a razão da progressão.
   •       rP é o último termo a ser somado;                            • Pé o numero de termos.
   •       Pé o numero de termos.

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                                                                  Questão 5
EXERCÍCIO PROPOSTO                                                Qual o valor do primeiro termo de uma Š• cujo sétimo
                                                                  termo é igual a 14 e cuja razão é igual a 2?
Questão 1
Determine o primeiro termo Hr< J, a razãoH‹ [ J, o
último termo HrP Je o número de termos HPJdas
seguintes progressões.
     a) H<, :, 9, ’, “)
     b) (−:, −’, −<<, … )
     c) (8, „, ”)
     d) (“, “, “, “, “, “)
     e) (9, <9, „9, … )
     f) (<, :, 9, ’, “)
     g) (<‰, „, <, … )

Questão 2
Determine a razão e o décimo segundo termo da                     Questão 6
ŠC(:, 9, ’, … ).                                                  Determine a soma             dos     10       primeiros   termos
                                                                  daŠC(<, „, ’, … ).




Questão 3
Determine a razão e o sétimotermo da Š•(<, :, “, … ).


                                                                  Questão 7
                                                                  Determine a soma             dos     10       primeiros   termos
                                                                  daŠ•(<, 8, „, … ).




Questão 4
Qual o valor do primeiro termo de uma ŠC cujo décimo
termo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5?




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                                              3.Geometria
 3.1  Teorema de Pitágoras                                                                  notáveis
                                                                      3.2.2 Tabela de arcos notáveis

retângulo C†e.
         Abaixo temos a figura de um triângulo
                                                                                  =°       :=°
                                                                                             °        „9°        ‰=°   “=°

                                                                       ™ P

                                                                       —¡™

                                                                       …Ÿ



                                                                      3.3    Geometria plana: áreas e perímetros


                                                                      3.3.1 Polígonos e As Principais Figuras
           Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte


                  r8        s8 o —8
relação:
                                                                       3.3.1.1   Polígonos

                                                                               São figuras plana formadas por três ou mais
                                                                                           planas
                                                                     segmentos chamados lados de modo que cada lado
 3.2   Trigonometria                                                 tem interseção com somente outros dois lados
                                                                     próximos, sendo que tais interseções são denominadas
  3.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo              vértices do polígono e os lados próximos não são
                                                                     paralelos.
                                                                               Através de conceitos primitivos
                                                                                                     primitivoscomo ponto,
                                                                     reta e plano, podemos fo
                                                                                    ,            formar os mais variados
                                                                     polígonos, dentre as quais temos os não convexos e
                                                                               ,                 temos,
                                                                     os convexos.

                                                                       3.3.1.2   Polígono não convexo

                                                                               Um polígono é dito não convexo se, dados
                                                                     dois pontos do polígono, o segmento que contém estes

                                                            s
Seno                                                                 pontos como extremidades contiver pontos que estão
                                                    ™ Pr
                                                ˜           r
                                                                     fora do polígono.

                                                            —
                                                    ™ Pš
                                                            r
                                                                       3.3.1.3   Polígono convexo

                                                                                É um polígono construído de modo que os

                                                           —
Cosseno                                                              prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da

                                                    ›œ•ž
                                                           r
                                                                     figura original.

                                                 ˜         s
                                                  ›œ• š
                                                           r
                                                                     OBS1: o perímetro de um polígono é a soma das
                                                                     OBS1
                                                                     medidas de seus lados.



                                                            s
                                                                      3.3.2 Triângulos e suas classificações
Tangente
                                                    …Ÿ r
                                                ˜           —
                                                            —
                                                                              Os triângulos são polígonos mais primitivos,

                                                    …Ÿ š
                                                                     possuem três lados. Podemos classificá
                                                                                                     classificá-los de duas
                                                            s        maneiras:
                                                                         Quanto aos lados:



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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                16                                       Matemática Aplicada


                                                                  Perímetro do quadrado Š£ J
                                                                               quadradoHŠ
                                                                                             Š£     „r
 ____________       ___________          _______________

    Quanto aos ângulos:
                                                                      3.3.3.3    Paralelogramo

                                                                          Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos
                                                                  devem ser congruentes.
_____________       __________________________
                    _________________________

OBS2: a formas de se calcular a área de um triângulo
OBS2
depende de qual triângulo se está trabalhando.



  3.3.3 Quadriláteros convexos e suas classificações

  3.3.3.1    Retângulo
                                                                  Área do paralelogramo CŠ J
                                                                          paralelogramoHC
          Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos                                         CŠ     s¥
iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: lados
iguais ou lados adjacentes diferentes.
                                                                  Perímetro do paralelogramo Š J
                                                                               paralelogramoHŠ
                                                                                        ŠŠ        8Hr o sJ

                                                                      3.3.3.4    Losango

                                                                           Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas
                                                                  diagonais são sempre perpendiculares.



Área do retângulo ¢ J
        retânguloHC
                         C¢     rs

Perímetro do retângulo ¢ J
             retânguloHŠ
                   Š¢         8Hr o sJ
                                     J

                                                                  Área do losango ¤ J
                                                                          losangoHC
                                                                                                    f¦
                                                                                             C¤
  3.3.3.2    Quadrado
                                                                                                     8
           Caso particular de retângulo. Possui todos
             aso
os lados iguais.
                                                                  Perímetro do losango ¤ J
                                                                               losangoHŠ
                                                                                             Š¤     „r

                                                                      3.3.3.5    Trapézio

                                                                            O trapézio é uma figura que possui dois lados
                                                                  paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e
                                                                  outra menor. Pode se classificar em: trapézio retângulo:
                                                                  possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados
                                                                  não paralelos possuem medidas iguais;trapézio
Área do quadrado HC£ J                                            escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos
                         C£     r8                                diferentes.



                 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                 17                                       Matemática Aplicada

                                                                   3.4.1.1     Elementos de um poliedro

                                                                            Os polígonos que limitam o poliedro são
                                                                   chamados de faces, os lados dos polígonos das faces
                                                                   são chamados de arestas e as intersecções das

                                      J¥
Área do trapézio §‹r J
        trapézioHC                                                 arestas são chamadas de vértices.
                                H† o sJ                                     Os poliedros podem ser classificados em:
                  C§‹r
                                   8


                                † o s o 8¤
Perímetro do trapézio §‹r J
             trapézioHŠ
                  Š§‹r

   3.3.3.6   Hexágono




                                           :
Área do hexágono HC¥ B J                                           3.4.1.2    A relação de Euler
                                                                             O matemático suíço Leonhard Euler (1707         –
                                       ©8 √:
                      C¨   B        ‰∙                             1783) descobriu uma importante relação entre              o
                                         „                         número de vértice («), o número de aresta (
                                                                                           ),                  (C) e         o

                                                                             Em todo poliedro convexo com C arestas,     «
                                                                   número de faces (¬) de um poliedro convexo.
                                                                                        )
Perímetro do trapézio ¨ B J
                                                                   vértices e ¬ faces, vale a relação:
             trapézioHŠ
                         Š¨     B     ‰©

                                                                                        « o ¬         Co 8
   3.3.3.7   Circunferência e círculo

                                                                   3.4.2 Prismas

                                                                            Entre os poliedros mais conhecidos,
                                                                   destacamos os prismas, os quais são classificados pelo
                                                                   número de lados das bases. Veja alguns exemplos de
Área do círculo HCJ
                                                                   prismas.

                           Ce       ª‹8
     do



Perímetro da circunferência HŠe J
                           Še       8ª‹

 3.4   Geometria espacial: áreas e volumes


3.4.1 Poliedros                                                    3.4.2.1      Elementos de um prisma

         Define-se como poliedro a todo sólido
                se
formado por uma superfície fechada, limitada somente
por polígonos e que satisfaça às duas condições
abaixo.
   O ângulo formado entre dois polígono é diferente
                                polígonos
   de um ângulo raso;
   Cada lado dos poliedros pertence somente a dois
   polígonos.



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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                    18                                         Matemática Aplicada


                                                                                               «   r‹      rs—
3.4.2.2       Planificação dos prismas                                3.4.3.4            do
                                                                                  Volume do paralelepípedo




                                                                      3.4.5 Cilindro

                                                                                 São sólidos que possuem duas regiões
                                                                      paralelas na forma de círculos congruentes e uma
                                                                      superfície arredondada. Em um cilindro, as duas
                                                                      regiões circulares paralelas são chamadas de base do
      Prisma triangular              Prisma quadrangular              cilindro e a distância entre elas é chamada de altura do
                                                                      cilindro.

                             ;      C…¡…r©    C¤r… o 8Cs
3.4.2.3       Área lateral e área total
     C¤r…        Šs ¥


                        «   ‹-™mr      Cs ¥
3.4.2.4       Volume de um prisma




     C¤r… →área lateral do prisma;
OBS3: nos itens 3.4.2.3 e 3.4.2.4, temos:
 BS3

          C…¡…r© → área total do prisma;
          Cs →área do polígono da base;
          Šs →perímetro do polígono da base
          « ‹-™mr → Volume do prisma;
                                         base;

          ¥→altura do prisma.

3.4.3 Cubo




                                                                             C¤r…      8ª‹¥ ;           C…¡…r©   8ª‹H‹ o ¥J
                                                                      3.4.5.1       Área lateral e área total




              C¤r…      „r       ;     C…¡…r©    ‰r                                        «—-©-P¦‹¡        ª‹8 ¥
                                                                      3.4.5.2              do
                                                                                    Volume do cilindro
3.4.3.1      Área lateral e área total




                            «—®s¡      r:
3.4.3.2             do
             Volume do cubo
                                                                      3.4.6 Cone

                                                                                Um sólido limitado por duas regiões: um
                                                                                 m
3.4.4 Paralelepípedo                                                  círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o
                                                                      círculo é chamado de base do come e a superfície

                                                                      « é o vértice do cone. C distância do vértice ao plano
                                                                      arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto



                                                                      reta em que um dos extremos é « e o outro é um ponto
                                                                      da base é chamada altura do cone e todo segmento de
                                                                             e

                                                                      da circunferência da base é chamado de geratriz.



                     C¤r…      8Hr— o s—
                                      s—J
3.4.3.3      Área lateral e área total


                C…¡…r©       8Hrs o r— o s—J


                     Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                   19                                       Matemática Aplicada

                                                                     Questão 2
                                                                     Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa
                                                                     de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a
                                                                     figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus
                                                                     de mesma altura.




3.4.6.1      Área lateral e área total
          C¤r…     ª‹Ÿ ;          C…¡…r©      ª‹HŸ o ‹J

3.4.6.2      Volume do cone
                      «—¡P          ª‹8 ¥
                                                                     Encontre a altura de cada degrau.
3.4.7 Esfera
                                                                     Questão 3
                                                                     No instante em que o ângulo de elevação do sol acima
          A esfera é um sólido limitado por uma
                                                                     do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3
superfície curva de revolução que tem todos os pontos
                                                                     m, como mostra a figura ao lado.
igualmente distantes de um ponto interior chamado
centro. A superfície esférica é resultado da revolução
de uma semicircunferência em torno do diâmetro.




                                                                     Qual é a altura desse poste?

                                                                     Questão 4
3.4.6.3      Área total e volume                                     Considere a sala representada na figura a seguir.

                          8
                                                   „ª‹:
          C…¡…r©    „ª‹       ;      «     ™l ‹r
                                                    :



 EXERCÍCIO PROPOSTO
Questão 1
Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as
margens de um rio.
                                                                     Determine qual a lotação máxima desta sala, sabendo-
                                                                     se que cada pessoa ocupa uma área de 1 m².

                                                                     Questão 5
                                                                     Determine a área e o perímetro de um terreno na forma
                                                                     de um triângulo retângulo cujos catetos medem 21 e 28
                                                                     metros.

                                                                     Questão 6
                                                                     Um disco de aço usado para o corte de peças de metal
Determine a largura l desse rio.                                     tem diâmetro igual a 10 cm. Determine o comprimento
                                                                     e a área deste disco. (considere $ 3,1.)

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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                               20                                       Matemática Aplicada

Questão 7
Num prisma quadrangular regular, a aresta da base
mede 4 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule a
área lateral e a área total do prisma.


Questão 8
figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases
são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos
medem 4 cm cada um e a altura do prisma mede 6 cm.
Determine o volume do prisma.




Questão 9
Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem três faces triangulares, uma face
quadrangular, uma face pentagonal e duas faces
hexagonais.

Questão 10
A figura a seguir representa um tambor, desses que
são usados para o transporte de óleo. O diâmetro da
sua base mede 60cm e a altura, 85cm. Sendo assim,
determine o custo do material utilizado na sua
confecção (desprezando as perdas), sabendo-se que
cada metro quadrado custa R$ 100,00. (Considere
$ 3.)
                     Rascunho




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                                      4. ESTATÍSTICA
    Introduçã
           ção
4.1 Introdução                                                              Variável qualitativa: é quando seus valores
                                                                            são expressos por atributos. Ex: sexo,
       Com o desenvolvimento tecnológico, os meios                          preferência musical, etc. variáveis qualitativas
de comunicação passaram a transmitir um número                              poder ser classificadas em: nominais ou
muito maior de informações e muito mais rapidamente.                        ordinais.
Essas informações, encontradas, por exemplo, em                             Variável quantitativa: é quando seus valores
jornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das                    são expressos em números. Ex: estatura,
mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc.                        idade, salário, número de habitantes, etc.
                                                                            Variáveis quantitativas podem ser classificadas
                                                                            ser classificadas em discretas ou contínuas.


                                                                  4.3 Distribuição de frequência


                                                                                    H J
                                                                  4.3.1. Frequência HlJ
                                                                  É o número de vezes que um determinado elemento

                                                                  é também chamado de frequência absoluta, l.
                                                                  aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno



                                                                  4.3.2. Frequência Relativa Hl‹ J
 Programa das nações unidas para o desenvolvimento.

       A estatística é uma área da Matemática que                 É o quociente da frequência absoluta pelo número P de
                                                                  elementos dados l‹
trabalha com a coleta de informações, bem como sua                                          l
                                                                                            P
                                                                                                .
organização e análise. Com a análise dos dados

                                                                  4.3.3. Frequência Acumulada Hlr J
coletados, podemos tomar decisões, além de fazer
previsões e planejamentos com mais segurança.
                                                                  É a soma das frequências relativas até determinado
4.2 Termos da estatística                                         dado.

                                                                  4.3.4. Frequência Acumulada Relativa Hlr‹ J
4.2.1 População

                                                                  relação ao total da absoluta. lr‹
                                                                  Corresponde à proporção da frequência acumulada em
                                                                    orresponde
                                                                                                          lr
         População é todo universo que está sendo
                                                                                                           P
estudado. Ex: população de uma cidade.                                                                         .

4.2.2 Amostra                                                                          Exemplo 24
          Amostra é apenas uma parte da população                 Organize a tabela de frequência abaixo, de acordo com
que está sendo estudada. Ex: parte da população de                os conceitos estudados nos pontos acima.
uma cidade. A amostragem pode ocorrer de três
formas:                                                                                  Frequência
                                                                                                                  Frequê ncia
        Amostragem aleatória (casual simples) a
                                          simples):                  Nível de Frequência            Frequência acumulada
                                                                                         acumulada
                                                                   escolaridade   (f )              relativa (fr ) relativa
        amostra é composta de elementos retirados ao                                        (fa )
                                                                                                                     (far )
        acaso da população.
                                                                      Ensino
        Amostragem sistemática: aos elementos da                                   6
                                                                   Fundamental
        amostra são escolhidos com base em um
                                                                    Ensino Médio      8
        sistema preestabelecido.
        Amostragem estratificada:
                        estratificada:a amostra é                      Ensino
                                                                                      2
        composta de elementos proveniente de todos
                              os                                      Superior
        os grupos ou estratos da população.                            Total         16

4.2.3 Variável
          A variável fornece as características da
população, também sendo conhecida como variável
estatística. As variáveis podem ser classificadas em
           .
qualitativas ou quantitativas.


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4.3.5. Intervalo de classe                                          4.4.3 Gráfico de setores

         Intervalos de classes são utilizados quando                          O gráfico de setores, também conhecido
trabalhamos com um número elevado de elementos.                     como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para
                                                                    representar partes de um todo. Atente para o fato de
                     Exemplo 25                                     que o todo de gráfico de setor equivale a 360°, ou seja,
Considere as notas obtidas por 20 alunos de uma                     100% está para 360°. Essa relação será muito útil nas
turma em certa avaliação na disciplina de matemática.               análises desses tipos de gráficos.
  72    43    91    65    67     70    83     87    81    85
                                                                    Exemplos:

  39    52    58    53    88     73    50     86    68    73

Construa a tabela de frequência utilizando intervalos de
classes.



4.4 Representação gráfica de dados estatísticos
                                                                    4.4.4 Histograma
         Os dados de uma pesquisa podem ser
representados de várias maneiras. Os meios de                                Este tipo de gráfico é utilizado para
comunicação utilizam, em geral, os gráficos para                    representar as frequências absolutas e as relativas de
apresentar esses dados. Isso ocorre porque os gráficos              dados agrupados em intervalos de classes. O
permitem uma melhor visualização e também uma                       histograma é composto de retângulos justapostos cujas
análise mais detalhada dos dados apresentados.                      bases são apoiadas em um eixo horizontal.
                                                                    Exemplos:
4.4.1 Gráfico de barras

         O gráfico de barras, também conhecido como
gráfico de colunas, é utilizado, em geral, para
representar dados de uma tabela de frequências
associados a uma variável qualitativa.
Exemplos:
                                                                            Note que, se ligarmos os pontos médios das
                                                                    bases superiores das barras do histograma a partir de
                                                                    segmentos de retas, obteremos uma linha chamada
                                                                    poligonal de frequência.

                                                                    4.4.5 Pictograma

                                                                             É uma técnica muito utilizada pelos meios de
4.4.2 Gráfico de linhas                                             comunicação, como revistas, jornais, entre outros,afim
                                                                    de tornar os gráficos mais atraentes. Esses meios de
      O gráfico de linhas, também conhecidos como                   comunicação costumam ilustrar imagens relacionadas
gráfico de segmentos, é utilizado, em geral, para                   ao contexto do qual as informações fazem parte.
representar a evolução dos valores de uma variável no               Exemplos:
decorrer do tempo de maneira contínua.
Exemplos:




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Prof. Giancarlo S. S. Pereira                                    23                                       Matemática Aplicada

4.5 Medidas de tendência central                                                        Exemplo 27
                                                                      Um levantamento sobre a idade em anos, dos alunos
                                                                      do 1º ano do colégio Impacto resultou na seguinte
         Em estatística, as medidas de tendências                     distribuição:
centrais são utilizadas a fim de obter um valor que                              Idade         Número de alunos
tende a caracterizar ou representar melhor um conjunto                              14                 4
de dados. Dentre as medidas de tendência central,                                   15                12
estudaremos a média aritmética, a moda e a                                          16                 8
mediana.                                                                            17                 1

4.5.1                               °
          Média Aritmética Simples H¯J
                                                                      a) Construa o gráfico de linha relativo a esses dados.


         É o quociente obtido ao se dividir a soma das
frequências da variável pelo número de valores.

                 B< o B8 o B: o ⋯ o B P       ∑ P B-
                                                -³<
            °
            ¯
                           P                     P

4.5.2                                 °
          Média aritmética ponderada H´µ J

         É o quociente obtido ao se dividir a soma dos
produtos das frequências da variável por seus
respectivos pesos pela soma dos pesos.
            B< ∙ < + B8 ∙ 8 + B: ∙ : + ⋯ + B P ∙ P
     ¯°
                     < + 8 + : +⋯+ P                                  b) Construa o gráfico de barras verticais relativo a
                         ∑ P B- ∙ -
                           -³<
                                                                      esses dados.
                      =
                           ∑P-³< -


4.5.3     Moda (´œ)

          Denomina-se moda de um conjunto de dados
o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode
não existir e, mesmo quando exista, pode não ser
única.

4.5.4     Mediana (´¶)

         É o valor que ocupa a posição central de um
rol quando este apresenta uma quantidade ímpar de
valores. Para um rol que tem quantidade par de
valores, a mediana é a média aritmética dos dois                      c) Construa o gráfico de setores relativo a esses dados.
valores centrais.

                    Exemplo 26
Em uma prova realiza com 40 alunos da 5ª série de
uma determinada escola, obteve-se o seguinte
resultado em número de pontos por alunos.

 Pontos      0   1     2     3    4    5     6    7    8     9
 Alunos      1   5     3     2    2    6     8    2    6     5

Represente a distribuição de freqüência dos dados. Em
seguida determine a moda, a mediana e a média
aritmética da 5 maiores notas.




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Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

  • 1. 1 OS NÚMEROS 1.1 Escrita dos números e unidades; 1.2 Conjuntos numéricos; 1.3 Sistema numérico e conversões; 1.4 Algarismos significativos e notação científica; 1.5 Arredondamento; 1.6 Teoria dos conjuntos. 2 FUNÇÕES 2.1 Sistema de coordenadas cartesianas; 2.2 Relações, funções e equações polinomiais; 2.3 Progressão aritmética e progressão geométrica. 3 GEOMETRIA 3.1 Teorema de Pitágoras e Trigonometria; 3.2 Geometria plana: Áreas e perímetros; 3.3 Geometria espacial: áreas e volumes. 4 ESTATÍSTICA 4.1 Noções básicas de estatística. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 2. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 2 Matemática Aplicada 1. Os números 1.1 ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES A evolução dos números Como aconteceu... Nos antigos sistemas de numeração a escrita dos números era bem complexa, o que dificultava muito os cálculos. Por isso, o homem criou vários instrumentos que o auxiliavam no cálculo. Um dos primeiros instrumentos para calcular - o ábaco - foi inventado há mais de mil anos. A origem da palavra ábaco não é certa. Alguns a associam ao termo semita abac, que significa "poeira", e outros acreditam que ela deriva do termo grego abax, que significa "placa". Os primeiros ábacos eram formados por placas de madeira com sulcos, nos quais deslizavam pequenas pedras. Mais tarde, essas placas foram substituídas por tábuas ou pranchas com divisões em diversas linhas ou Outras formas de contagem colunas paralelas, separando as diferentes ordens de numeração. Para representar números ou efetuar operações colocavam-se fichas valendo uma unidade simples cada uma. Durante a Idade Média (séculos V a XV), o sistema indo-arábico de numeração e seus processos de cálculo foram muito divulgados. No século XIII (1202), Leonardo Fibonacci, famoso matemático italiano conhecido apenas como Fibonacci, escreveu a obra Liberabaci ("Livro dos cálculos"), em 1202. Nela ele explicava o sistema indo-arábico de numeração e suas regras de cálculo. Os símbolos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação, antes de adquirirem a aparência que conservam até hoje. Como os livros eram escritos a mão, a forma dos algarismos sofria várias alterações. Isso começou a mudar a partir de 1440, quando Gutenberg inventou a imprensa, permitindo que a escrita dos números fosse fixada. 1.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS A influência da imprensa foi tão importante que os símbolos atuais têm, em sua essência, a mesma Os dois principais objetos com que se ocupa a aparência dos símbolos que eram usados no século Matemática são os números e as figuras geométricas. XV. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que Sabe-se hoje que, na Europa, houve uma forte você estudou durante sua vida acadêmica. resistência à utilização desses símbolos. Essa 1.1.1. O conjunto ℕ resistência só foi vencida depois que o comércio conjunto europeu se expandiu de tal forma que se tornou “Deus criou os números naturais. imprescindível à adoção de um sistema de numeração O resto é obra dos homens.” que facilitasse os cálculos. LeopoldKronecker O conjunto dos números naturais é representado por: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … } Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 3. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 3 Matemática Aplicada o número é uma dízima periódica. Um subconjunto importante de ℕ é o conjunto Neste caso, devemos seguir alguns passos ℕ∗ , obtido excluindo o zero de ℕ: que serão ilustrados no exemplo abaixo. ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … } OBS1:ℕ é fechada em relação à adição e multiplicação. Exemplo 2 Dentro de ℕ podemos destacar os números pares e os Determine a fração geratriz das dízimas abaixo. ! a) 0, 5 números ímpares. !! !! b) 2, 13 !! c) 1,325!! 1.1.2. O conjunto ℤ conjunto O conjunto dos números inteiros é representado por: OBS3:ℚ é fechada em relação as quatro operações. ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Do conjunto dos números inteiros podemos 1.1.4. O conjunto " conjunto destacar alguns subconjuntos importantes: Assim como existem números decimais que ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … } podem ser escritos como frações – com numerador e ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … } denominador inteiros – que são os números racionais, ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0} há aqueles que não admitem tal representação. São ℤ∗ = {1, 2, 3, 4, … } números decimais não exatos, que possuem ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1} representação infinita não periódica. OBS2:ℤ é fechada em relação à adição, subtração e Esses números são chamados de números irracionais, e seu conjunto é representado por ". multiplicação. Exemplo 3 1.1.3. O conjunto ℚ conjunto Note que os números abaixo apresentam O conjunto dos números racionais é inicialmente representação infinita não periódica. descrito como o conjunto dos quocientes entre dois a) √2 = 1,4142136 … inteiros. Utilizando o elemento genérico, podemos b) √3 = 1,7320508 … escrever, de modo mais simples: c) $ = 3,141592 … ℚ= ∈ℤ ∈ ℤ∗ 1.1.5. O conjunto ℝ Assim como o conjunto dos números inteiros, os O conjunto formado pelos números racionais e racionais apresentam cinco subconjuntos importantes: pelos números irracionais é chamado conjunto dos ℚ∗ : conjunto dos racionais não nulos; números reais e é representado por ℝ. Assim, temos: ℚ : conjunto dos racionais não negativos; ℝ = ℚ ∪ ", sendo que ℚe " são disjuntos, ou seja, ℚ : conjunto dos racionais não positivos; ℚ ∩ " = ∅. ℚ∗ : conjunto dos racionais positivos; Assim como o conjunto dos números inteiros e o ℚ∗ : conjunto dos racionais negativos. conjunto dos números racionais, os reais também apresentam cinco subconjuntos importantes, que Toda fração possui representação decimal e todo podem ser representados pelas seguintes número decimal possui representação fracionária. propriedades: Para escrever uma fração na forma decimal, conjunto dos racionais não nulos: basta efetuar a divisão correspondente, por exemplo: ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* ≠ 0} ! 2/5 = 0,4;2/3 = 0,666. ..;1/3 = 0, 3. conjunto dos racionais não negativos: Para representar um número decimal na forma ℝ = {* ∈ ℝ |* ≥ 0} de uma fração devemos considerar duas situações: conjunto dos racionais não positivos: o número é decimal exato. ℝ = {* ∈ ℝ |* ≤ 0} Transformamos o número decimal em uma conjunto dos racionais positivos: fração cujo numerador é o número decimal sem a ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* > 0} vírgula e o denominador é composto pelo numeral conjunto dos racionais negativos: 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* < 0} decimais do número decimal dado. Exemplo 1 1.3 SISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕES Escreva a fração correspondente aos decimais 1.3.1 Sistema métrico decimal dados. O sistema de numeração que utilizamos a) 0,7 atualmente é o sistema de numeração decimal, pois b) 2,3 nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse c) 0,43 sistema também é conhecido por sistema de Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 4. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 4 Matemática Aplicada numeração indo-arábico, pelo fato de ter sido O quadro a seguir apresenta os múltiplos do desenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido metro. pelos árabes. Os símbolos utilizados nesse sistema são chamados algarismos, palavra decorrente do nome do matemático árabe Mohammed al-Khowarizmi. No sistema de numeração decimal, podemos agrupar os elementos da seguinte maneira: Abaixo temos alguns dos principais instrumentos utilizados para a verificação de medidas de comprimento. Os agrupamentos de 10 elementos também podem ser representados em um ábaco. Ao lado temos uma tabela que mostra a evolução dos algarismos utilizados em nosso sistema de numeração decimal. 1.3.2 Medidas de comprimento Desde a Antiguidade, muitos povos criaram suas unidades de medida, ou seja, possuíam sua própria unidade padrão. Antes do surgimento das unidades de medidas de comprimento que conhecemos hoje, como o metro, diversos povos utilizavam partes do corpo como referência. Observe nas ilustrações abaixo. Exemplo 4 Efetue as transformações abaixo. a) 5 m → mm b) 150 cm → dam c) 12 km → m d) 12 m → cm e) 265 dm → hm 1.3.3 Medidas de tempo O relógio Temos o metro como unidade padrão de medida, com base nele foi que surgiram outra unidades de medida de comprimento, como o centímetro (cm), o milímetro (mm), o quilômetro (km), entre outras. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 5. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 5 Matemática Aplicada Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o 1.4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃO relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral, CIENTÍFICA os relógios marcam as horas os minutos e os segundos, sendo que: 1.4.1 Algarismos significativos O que torna um algarismo significativo ou não? Hoje em dia, a obtenção de medidas é fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma O calendário medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá uma incerteza associada a cada medida e é essa incerteza que torna um número significativo ou não. Considere a figura abaixo, em que uma régua comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o comprimento de um segsegmento de reta. Observando este calendário, podemos notar que o ano De acordo com a figura, a medida exata do é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e , comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas, se cada semana, em 7dias. podemos estimar, com uma pequena margem de erro, O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o que a medida do comprimento é 6,54 cm. de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um Em uma medida, dá dá-se o nome algarismos quadrimestre e o de 6 meses, a um semestre. significativos a todos os algarismos tidos como certos mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a 1.3.4 Medidas de superfície medida 6,54 cm possui três algarismos significativos.Um outro exemplo seria o número 0,0034 Um que possui apenas dois algarismos significativos (observe que os zeros à esquerda indicam apenas um pode ser escrito como 3 ∙ 10 > ). 3,4 deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número 1.4.2 Notação científica Quando medimos o comprimento ou a largura de A diversidade dos números uma sala de aula, estamos utilizando medidas de que aparecem no mundo físico é comprimento. Quando queremos medir a superfície de enorme. Para ter uma ideia, a uma sala, estamos querendo saber qual a área dessa massa da terra, por exemplo, é 5.980.000.000.000.000.000 000.000.000 sala. de cerca de Neste tópico daremos ênfase apenas a conversão de unidades de medidas de superfície. A des quilogramas (12), enquanto o ), 0,000000000000001 metro ( temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no diâmetro de um próton é de cerca de capítulo 3. (5). Para a conversão de unidades de medida de A grande quantidade de zeros torna a superfície temos a seguinte tabela. representação desses números bastante inconveniente e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática para escrever valores muito grandes ou muito massa da terra como 5 5,98.∙ 12, e o diâmetro do próton pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a como 10 34 5. Esse tipo de n . notação recebe o nome de Exemplo 5 notação científica. Efetue as conversões a seguir Ao usar a notação científica para representar um 6 5. 10 , em que 1 . 5 0 10 é a mantissa. Assim, a) 1,93 m² → cm² 7 número N qualquer, devemos escrevê escrevê-lo na forma b) 295 cm² → m² 8, 9: ∙ <=8 . c) 535 cm² → m² o número 253, por exemplo, deve ser escrito como , d) 12,5 m² → mm² e) 0,95 dam² → dm² Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 6. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 6 Matemática Aplicada Visando facilitar ainda mais a notação das Quando o algarismo imediatamente seguinte ao grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o representando as potências de dez. a tabela seguinte último algarismo a ser conservado permanecerá traz a denominação dos principais prefixos de acordo sem modificação. com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial). Exemplo 7 1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á 1,3. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplo 8 1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á: 1,7. 4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se- ão : 4,9. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente, o último a ser retirado, se for ímpar, aumentará uma unidade. Exemplo 9 4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se- Fonte: Resolução Conmetro 12/88, de 12 de outubro de 1988. ão: 4,6. Exemplo 6 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao A lista a seguir apresenta valores numéricos que último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se podem, ou não estar representados em notação for par o algarismo a ser conservado, ele cientifica. Faça as alterações necessária para que permanecerá sem modificação. todos os valores estejam representados na forma de notação científica. Exemplo 10 a) 3,2 ∙ 104 4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se- b) 23,5 ∙ 10 ? ão: 4,8. c) 0,73 ∙ 10> d) 0,067 ∙ 10 @ e) 1560 ∙ 10 > 1.6 TEORIA DOS CONJUNTOS. 1.5 ARREDONDAMENTO 1.6.1 Conceito básico Regras de arredondamento na Numeração A nível de segundo grau, conjunto é toda Decimal - Norma ABNT NBR 5891 de dezembro de coleção de objetos, de animais, de palavras, de 1977. números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto qualquer é formado por elementos. Da mesma forma 1.5.1 Objetivo que conjuntos, elementos são conceitos matemáticos Esta norma tem por fim estabelecer as regras de primitivos, portanto sem definição. arredondamento na Numeração Decimal. 1.6.2 Tipos de conjuntos 1.5.2 Regras de arredondamento Em nosso cotidiano podemos perceber diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 7. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 7 Matemática Aplicada caminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto Caso A não esteja contido em B, de cães; conjunto de carros, entre outros. simbolicamente, temos A ⊄ G ou G ⊅ A (G não contém A). 1.6.3 Elementos 1.6.10 Subconjunto Subconjunto Quando todos os elementos de um conjunto A conjunto A, sendo os jogadores Se considerarmos o qualquer forem também elementos de um conjunto G, titulares de um time de futebol, diz-se, então, que A é um subconjunto de G, ou seja, temos que cada jogador é um A ⊂ G. Observações: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou A. E que o conjunto A é limitado elemento pertencente ao conjunto seja, A ⊂ A ; ou finito e possui 11 elementos. O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A. 1.6.4 Representação Um conjunto pode ser representado de várias Exemplo 11 maneiras, entre as quais três são mais usuais: Se considerarmos todos osalunos do NEPAM, Diagramas podemos observar alguns subconjuntos? Representamos um conjunto por diagramas (curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus 1.6.11 Conjunto das partes elementos. O conjunto formado por todos os subconjuntos de um Listagem ou Enumeração conjunto A é chamado de conjunto das partes de A, Representamos um conjunto por uma letra que indicamos por M(A). maiúscula e listamos seus elementos entre chaves. Propriedade Característica Exemplo 12 Representamos um conjunto por meio de uma Dados os conjuntos A = {1}, G = {1, 2} e N = {1, 2, 3}, propriedade característica de seus elementos, sem vamos determinar M(A), M(G) e M(N). nomeá-los. OBS1: Se um conjunto finito O qualquer tem P OBS1 1.6.5 (∈) Relação de pertinência ( ) elementos, então M(Q) tem 27 elementos, ou seja: Entre um elemento x qualquer e um conjunto A R[M(Q)] = 27 . qualquer só existe duas, e somente duas, 1ª Possibilidade B ∈ C 2ª Possibilidade B ∉ C possibilidades de relacioná-los. 1.6.12 Operações com conjuntos: união ou reunião de conjuntos Dados os conjuntos A = {U, V, W, X} e G = {U, V, Y, Z, 2}, vamos determinar o conjunto N de maneira 1.6.6 Conjunto vazio Um conjunto, embora seja associado a uma que seus elementos pertençam a pelo menos um dos coleção de objetos, às vezes não possui elementos. conjuntos, A ou G. ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø. Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio, N = {U, V, W, X, Y, Z, 2} O conjunto N é chamado de união ou reunião de A e G e pode ser indicado por A ∪ G, que se lê A união G ou A reunião G. 1.6.7 Conjunto unitário Simbolicamente: se * é um elemento de A ∪ G, Quando um conjunto apresenta um único então* ∈ A ou * ∈ G, ou seja,A ∪ G = {*|* ∈ elemento o chamamos de conjunto unitário. Por A [ * ∈ G}. exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol. 1.6.8 Conjunto universo 1.6.13 Interseção de conjuntos O conjunto de todos os elementos considerados Considere os mesmos conjuntos A e G usados em determinada situação é chamado conjunto acima, vamos determinar o conjunto ] de maneira que universo. seus elementos pertençam ao conjunto A e ao G. ] = {U, V} O conjunto ] é chamado interseção de A e G e 1.6.9 Relação de inclusão O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e pode ser indicado por A ∩ G, que se lê A interseção G. A ⊂ G, relação de inclusão, ou seja,A está contido Simbolicamente: se * é um elemento de A ∩ G, A ∩ G = {*|* ∈ em G ou G contém A (G ⊃ A). então * ∈ A e * ∈ G, ou seja: A Y * ∈ G}. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 8. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 8 Matemática Aplicada OBS2: Quando A ∩ G OBS2 ∅, A e G são chamados b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou conjuntos disjuntos. apenas de canelone ou de ambos os pratos? c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha Considerando os conjuntos A e G acima, vamos 1.6.14 Quantidade de elementos do conjunto união nem de canelone? A determinar o número de elementos do conjunto A ∪ G. Questão4 Fórmula: A parte hachurada no gráfico representa: Dados os conjuntos A 1.6.15 Diferença de Conjuntos 0, 1, 2, 3 e G {2, 3, 4, 5 , vamos determinar o conjunto C de maneira que seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não pertença ao G. N {0, 1 O conjunto N é chamado diferença entre A e B e (A) A ∩ HG ∪ NJ pode ser indicado por A– G, que se lê A menos G. , (B) HA ∩ GJ ∪ N Simbolicamente: se x é um elemento de A G, : (C) HA ∪ GJ ∩ N então * ∈ A e * ∉ G, ou seja: A G , *|* ∈ (D) A ∪ HG ∩ NJ AY* ∉G . (E) N.R.A. Questão5 EXERCÍCIO PROPOSTO Se R_MH`Ja 64, então o conjunto ` é: , A) {a, b, c, d} Questão1 B) {a, b, c, d, e, f} (Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ G C) {a, b, c, d, e, f, g} tem 12 elementos e A ∪ G tem 60 elementos. O número D) ⍉ de elementos do conjunto G é: E) {a, b, c, d, e} (A) 28 (B) 36 (C) 40 (D) 48 (E) 52 Questão2 Numa creche com 120 crianças, verificou verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo? Questão3 Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais você gosta?”. O resultado da pesquisa foi: ?”. • 35 gostam de lasanha; • 39 gostam de canelone; • 40 gostam de macarronada; • 15 gostam de lasanha e canelone; • 13 gostam de lasanha e macarronada; • 11 gostam de canelone e macarronada; • 5 gostam dos três pratos. a) Quantos clientes gostam somente de canelone? Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 9. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 9 Matemática Aplicada 2. Funções valores de g que são imagem de * denominamos 2.1 Sistema de coordenadas cartesianas "mHlJ). imagem da função ("m O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num Conjunto ponto denominado origem das coordenadas e que determinam um plano chamado plano cartesiano cartesiano. imagem No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares mos Note que o ordenados: conjunto imagem é formado AH*h , gh J apenas pelos elementos do GH*i , gi J conjunto B que Domínio se relaciona com elementos NH*j , gj J Contradomínio Contrad de A. ]H*k , gk J 2.2.3 Função Polinomial do 1º Grau 2.2.3.1 Definição Exemplo 13 Chama-se função polinomial do 1º grau ou grau, uma lei da forma ZH H*J U* o V, onde a e b são Marque os pontos dado abaixo no plano cartesiano. função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por , números reais dados e U , 0. A(1, 0) Na função ZH H*J U* o V, o número r é B(-1, 3) chamado de coeficiente de * e o número s é chamado C(2, -2) D(-3, -1) termo constante. E(0, 3) Exemplo 14 F(2, 0) Determine os valores dos coeficientes das funções G(3, 3) a) ZH*J 5* 3; abaixo. b) ZH*J 2* 7 7; H(1, -3) c) ZH*J 11*. J(0, 1) 2.2 Relações, funções e equações polinomiais 2.2.3.2 Zero e Equação do 1º Grau 1º grau ZH*J U* o V, U , 0, o número real * tal que Chama-se zero ou raiz da função polinomial do se ZH*J 0. 2.2.1 Função Dados os conjuntos A e G não vazios, a relação Z de A em G é uma função quando a cada elemento * do conjunto A está associado um único elemento g do V Temos: ZH*J 0 ⇒ U* o V 0 ⇒ U* V⇒* conjunto G. U Podemos representar uma função Z de A em G G com a seguinte notação: Exemplo 15 a) ZH*J 2* 5 Z: A → GouA → G Obtenção do zero das funç funções a seguir. b) ZH*J * 2 (lê-se: função Z de A em B) c) ZH*J 3* o 6 Quando escrevemos uma função Z: A → G, d) ZH*J 1 q 2.2.2 Domínio, contradomínio e imagem de uma função @ denominamos o conjunto A de domínio ( HlJ). Cada elemento (fHlJ) e o conjunto G, de contradomínio (efH g de G associado ao elemento * de A, denominamos 2.2.3.3 Gráfico imagem de * pela função Z. Ao conjunto de todos os . Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 10. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 10 Matemática Aplicada O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais , g U* o V, com U , 0, é uma reta oblíqua aos eixos Quando ∆ 0 0, a equação não terá raízes reais, , e iguais; t* e tg. , mas sim raiz complexa, o que veremos nas 2.2.3.4 Crescimento e Decrescimento próximas aulas. U / 0 (positivo) e, Decrescente quando U 0 0 O gráfico da função Afim será Crescente quando 2.2.4.3 Gráficos De acordo com as características dos gráficos (negativo). das funções quadráticas, podemos organizar o quadro a seguir. 2.2.3.5 Domínio e imagem fHlJ & "mHlJ & Exemplo 16 a) g 3* 1 Construa os gráficos das funções a seguir. ões b) ZH*J *o2 c) ZH*J 3 q @ 2.2.4 Função Polinomial do 2º Grau Toda função Z: & → & tal que ZH*J U* @ o V* o 2.2.4.1 Definição W, com U, V, W ∈ & e U , 0 é chamada função polinomial do 2° grau. Exemplo 17 Exemplo 19 a) ZH*J *@ o 3 3* 2 Determine os valores dos coeficientes das funções Determine a concavidade das funções: b) ZH*J 3* @ o 4* o 12 * abaixo. ZH*J * @ o 2* o 1; ZH*J 2* @ 4*. 2.2.4.4 Vértice da parábola para baixo, ela tem um ponto de máximo y. 2.2.4.2 Raízes da função Quando uma parábola tem concavidade voltada polinomial do 2° grau os valores de *para os quais a Chamamos de raízes, ou zeros, da função função se anula, ou seja, Z H*J 0. Para determinar as raízes de uma função polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de V x √∆ Bhaskara. ∆ V@ 4∙U∙W ; * 2∙U para cima, ela tem um ponto de mínimo y. Exemplo 18 Quando a parábola tem concavidade voltada a) ZH*J * @ 4* o 3 Determinar as raízes reais das funções a seguir. s b) ZH*J *² * 2 c) ZH*J 2*² * o 3 d) ZH*J * @ 4 eJ ZH*J 3*² 9* 2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido: OBS1: A quantidade de raízes reais de uma função do OBS1 Quando ∆ / 0, a equação terá duas raízes reais , e diferentes; Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 11. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 11 Matemática Aplicada OBS2: As coordenadas do vértice yH*z , gz J de uma a) ZH*J * @ 6* o 5 OBS2 Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo: b) ZH*J 3* @ o 6 parábola podem ser determinadas pelas relações ∆ c) ZH*J 2* o * @ abaixo: Y gz V 4U *z 2U Questão6 Exemplo 20 a) ZH*J 3* @ 7* o 2 Determine as raízes das funções abaixo: Determinar as coordenadas dos vértice das funções a vértices b) ZH*J 3* @ o 6 a) ZH*J * @ 4* o 3 seguir. c) ZH*J * @ o 5* o 7 b) ZH*J 2* @ * o 1 Questão7 verticalmente, tem sua altura | (em metros) dada em (UCDB-MT) Uma bola lançada para cima, MT) função do tempo { (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula | 5{ @ o 20*. Qual é a EXERCÍCIO PROPOSTO altura máxima atingida pela bola. Questão 1 grau dada por g U* o V. Ache a lei que relaciona g O gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º Questão8 com *. . (PUCCAMP - Adaptada Na figura a seguir tem-se Adaptada) representada a curva descrita por um projétil, desde o seu Y lançamento (ponto A) até que atinja o solo (ponto B). Se a curva g 2* @ o 4*, qual é à distân 4 descrita é a parábola de equação , distância AB, em metros? 2 Anotações -2 3 X Encontre g ZH*J sendo f uma função polinomial do 1º Questão 2 grau, sabendo-se que ZH 3J 4 e Z ZH3J 6. Questão 3 O gráfico ao lado descreve o valor cobrado por umtaxista, em reais, em função do número de quilômetros percorrido. Determine: a) o preço da bandeira; b) o preço cobrado por quilômetro rodado; c) a lei que define esse gráfico. Dada a função Z: & → &, definida por Questão4 ZH* o 1J ZH*J o ZH1JeZH2J 1, determine o valor de , ZH4J. , Questão5 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 12. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 12 Matemática Aplicada 2.2.5 Função Exponencial Questão 2 indústria é dada pela expressão ‡ <== Mensalmente, a produção em toneladas de certa <==. „ =,=9B na qual x é o número de meses contados 2.2.5.1 Definição Z: } → }∗ , definida por ZH*J U q ou g U q , com q Chamamos de função exponencial toda função a partir de uma certa data. Após dez meses, qual será U / 0 e U , 0. a produção atingida? Exemplo 21 Questão 3 mais eficiência a cada dia. Suponha que ˆ ‰„=H< Determine os valores das bases das funções Um empregado está executando a sua tarefa com 8 =,9… J seja o número de unidades fabricadas por dia seguintes. 3 q a) ZH*J ~ • de fabricação. Se { 14, 14 qual o valor de 6? > por esse empregado, após t dias do inicio do processo b) ZH*J 2q 2.2.5.2 Gráficos Gráficos Questão 4 seja igual a 9==. H:J… reais. Após dois anos, a J Considere as funções abaixo e construa os Estima-se que daqui a t anos o valor de um terreno se 1 q respectivos gráficos. UJ ZH*J 2q VJ ZH*J ‚ ƒ J 2 valorização (aumento de valor) em relação a hoje será de: a) R$ 4.000,00 c) R$ 2.000,00 b) R$ 3.500,00 d) R$ 1.500,00 e) R$ 1.000,00 Questão 5 Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por †HH…J H8J<8 … Isso significa que, cinco dias após a hora zero, o número de bactérias é: a) 1.024 b) 1.120 c) 512 e) √8 d) 20 : Se U / 1 Z é crescente Se 0 0 U 0 1 Z é decrescente crescente. OBS1 OBS1 Anotações 2.2.5.3 Equação exponencial As equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê resolvê-las, ou seja, para r / 0 er , <, temos: usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, r r ⟺ EXERCÍCIO PROPOSTO Determine o valor de B nas equações abaixo. Questão 1 a) 2q 32 b) 3q 3 81 c) 5@q • 1 d) 3q 27 Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 13. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 13 Matemática Aplicada 2.2.6 Progressão Aritmética 2.2.7 Progressão Geométrica 2.2.6.1 Definição 2.2.7.1 Definição Progressão aritmética é uma sequência É toda sequência numérica cujo quociente numérica em que cada termo, a partir do segundo, é entre um termo qualquer (a partir de segundo) e seu igual ao anterior, somado com uma constante chamada antecessor é uma constante chamada razão – indicada razão da progressão aritmética. por . 2.2.6.2 Representação 2.2.7.2 Representação ŠC Hr< , r8 , r: , . . . , rP ); Š•(r< , r8 , r: , r„ , . . . , rŽ , . . . , rP , . . . ) Onde: Onde: r< é o primeiro termo; r< é o primeiro termo; rŽ é o termo que ocupa a posição Ž; ‹é a razão ‹ = r8 − r< = r: − r8 = … = rP − rP < ; rP é o termo que ocupa a posição P; rP é o termo da posição P; rP < é o termo anterior a rP ; Pé o número de termos. Žé menor que P (Ž < R). 2.2.6.3 Classificação 2.2.7.3 Classificação I. Crescente:ocorre quando(•< > 0 Y • > I. Crescente: ocorre somente se ‹ > 0; 1)ou(•< < 0 Y 0 < • < 1). II. Constante: ocorre quando ‹ = =; II. Decrescente:ocorre quando(•< > 0 Y 0 < • < 1) III. Decrescente:isto somente ocorre se ‹ < 0; ou(•< < 0 Y • > 1). III. Constante:ocorre quando‘ = <. 2.2.6.4 Fórmula do Termo Geral do IV. Oscilante:ocorre quando‘ < 0. rP = r + (P – <). ‹ 2.2.7.4 Fórmula do Termo Geral 2.2.6.5 Interpolação Aritmética rP = r< ∙ P < Interpolar meios aritméticos entre dois 2.2.7.5 Interpolação Geométrica números é formar uma progressão aritmética com Interpolar meios geométricos entre dois todos estes termos. Estes problemas consistem no números é formar uma progressão geométrica com cálculo da razão. todos estes termos. Estes problemas consistem no cálculo da razão. Exemplo 22 Interpolar 2 meios aritméticos entre 7 e 22. Exemplo 23 Interpolar 3 meios aritméticos entre 64 e 4. 2.2.6.6 Soma dos Termos de Uma PA PA 2.2.7.6 Soma dos Termos de Uma PG Podemos calcular a soma de termos de uma PA se conhecer o primeiro termo da progressão, o Podemos calcular a soma de termos de uma último termo e a quantidade de termos a serem P.G. se conhecer o primeiro termo da progressão e a somados através da fórmula: razão: r< ∙ ( − <) P (r< + rP ). P ŒP = ŒP = −< 8 Onde: Onde: • ŒP é a soma de P termos da progressão; • ŒP é a soma de P termos da progressão; • r< é o primeiro termo; • r< é o primeiro termo; • é a razão da progressão. • rP é o último termo a ser somado; • Pé o numero de termos. • Pé o numero de termos. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 14. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 14 Matemática Aplicada Questão 5 EXERCÍCIO PROPOSTO Qual o valor do primeiro termo de uma Š• cujo sétimo termo é igual a 14 e cuja razão é igual a 2? Questão 1 Determine o primeiro termo Hr< J, a razãoH‹ [ J, o último termo HrP Je o número de termos HPJdas seguintes progressões. a) H<, :, 9, ’, “) b) (−:, −’, −<<, … ) c) (8, „, ”) d) (“, “, “, “, “, “) e) (9, <9, „9, … ) f) (<, :, 9, ’, “) g) (<‰, „, <, … ) Questão 2 Determine a razão e o décimo segundo termo da Questão 6 ŠC(:, 9, ’, … ). Determine a soma dos 10 primeiros termos daŠC(<, „, ’, … ). Questão 3 Determine a razão e o sétimotermo da Š•(<, :, “, … ). Questão 7 Determine a soma dos 10 primeiros termos daŠ•(<, 8, „, … ). Questão 4 Qual o valor do primeiro termo de uma ŠC cujo décimo termo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5? Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 15. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 15 Matemática Aplicada 3.Geometria 3.1 Teorema de Pitágoras notáveis 3.2.2 Tabela de arcos notáveis retângulo C†e. Abaixo temos a figura de um triângulo =° :=° ° „9° ‰=° “=° ™ P —¡™ …Ÿ 3.3 Geometria plana: áreas e perímetros 3.3.1 Polígonos e As Principais Figuras Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte r8 s8 o —8 relação: 3.3.1.1 Polígonos São figuras plana formadas por três ou mais planas segmentos chamados lados de modo que cada lado 3.2 Trigonometria tem interseção com somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas 3.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo vértices do polígono e os lados próximos não são paralelos. Através de conceitos primitivos primitivoscomo ponto, reta e plano, podemos fo , formar os mais variados polígonos, dentre as quais temos os não convexos e , temos, os convexos. 3.3.1.2 Polígono não convexo Um polígono é dito não convexo se, dados dois pontos do polígono, o segmento que contém estes s Seno pontos como extremidades contiver pontos que estão ™ Pr ˜ r fora do polígono. — ™ Pš r 3.3.1.3 Polígono convexo É um polígono construído de modo que os — Cosseno prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da ›œ•ž r figura original. ˜ s ›œ• š r OBS1: o perímetro de um polígono é a soma das OBS1 medidas de seus lados. s 3.3.2 Triângulos e suas classificações Tangente …Ÿ r ˜ — — Os triângulos são polígonos mais primitivos, …Ÿ š possuem três lados. Podemos classificá classificá-los de duas s maneiras: Quanto aos lados: Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 16. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 16 Matemática Aplicada Perímetro do quadrado Š£ J quadradoHŠ Š£ „r ____________ ___________ _______________ Quanto aos ângulos: 3.3.3.3 Paralelogramo Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos devem ser congruentes. _____________ __________________________ _________________________ OBS2: a formas de se calcular a área de um triângulo OBS2 depende de qual triângulo se está trabalhando. 3.3.3 Quadriláteros convexos e suas classificações 3.3.3.1 Retângulo Área do paralelogramo CŠ J paralelogramoHC Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos CŠ s¥ iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: lados iguais ou lados adjacentes diferentes. Perímetro do paralelogramo Š J paralelogramoHŠ ŠŠ 8Hr o sJ 3.3.3.4 Losango Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas diagonais são sempre perpendiculares. Área do retângulo ¢ J retânguloHC C¢ rs Perímetro do retângulo ¢ J retânguloHŠ Š¢ 8Hr o sJ J Área do losango ¤ J losangoHC f¦ C¤ 3.3.3.2 Quadrado 8 Caso particular de retângulo. Possui todos aso os lados iguais. Perímetro do losango ¤ J losangoHŠ Š¤ „r 3.3.3.5 Trapézio O trapézio é uma figura que possui dois lados paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e outra menor. Pode se classificar em: trapézio retângulo: possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados não paralelos possuem medidas iguais;trapézio Área do quadrado HC£ J escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos C£ r8 diferentes. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 17. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 17 Matemática Aplicada 3.4.1.1 Elementos de um poliedro Os polígonos que limitam o poliedro são chamados de faces, os lados dos polígonos das faces são chamados de arestas e as intersecções das J¥ Área do trapézio §‹r J trapézioHC arestas são chamadas de vértices. H† o sJ Os poliedros podem ser classificados em: C§‹r 8 † o s o 8¤ Perímetro do trapézio §‹r J trapézioHŠ Š§‹r 3.3.3.6 Hexágono : Área do hexágono HC¥ B J 3.4.1.2 A relação de Euler O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – ©8 √: C¨ B ‰∙ 1783) descobriu uma importante relação entre o „ número de vértice («), o número de aresta ( ), (C) e o Em todo poliedro convexo com C arestas, « número de faces (¬) de um poliedro convexo. ) Perímetro do trapézio ¨ B J vértices e ¬ faces, vale a relação: trapézioHŠ Š¨ B ‰© « o ¬ Co 8 3.3.3.7 Circunferência e círculo 3.4.2 Prismas Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, os quais são classificados pelo número de lados das bases. Veja alguns exemplos de Área do círculo HCJ prismas. Ce ª‹8 do Perímetro da circunferência HŠe J Še 8ª‹ 3.4 Geometria espacial: áreas e volumes 3.4.1 Poliedros 3.4.2.1 Elementos de um prisma Define-se como poliedro a todo sólido se formado por uma superfície fechada, limitada somente por polígonos e que satisfaça às duas condições abaixo. O ângulo formado entre dois polígono é diferente polígonos de um ângulo raso; Cada lado dos poliedros pertence somente a dois polígonos. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 18. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 18 Matemática Aplicada « r‹ rs— 3.4.2.2 Planificação dos prismas 3.4.3.4 do Volume do paralelepípedo 3.4.5 Cilindro São sólidos que possuem duas regiões paralelas na forma de círculos congruentes e uma superfície arredondada. Em um cilindro, as duas regiões circulares paralelas são chamadas de base do Prisma triangular Prisma quadrangular cilindro e a distância entre elas é chamada de altura do cilindro. ; C…¡…r© C¤r… o 8Cs 3.4.2.3 Área lateral e área total C¤r… Šs ¥ « ‹-™mr Cs ¥ 3.4.2.4 Volume de um prisma C¤r… →área lateral do prisma; OBS3: nos itens 3.4.2.3 e 3.4.2.4, temos: BS3 C…¡…r© → área total do prisma; Cs →área do polígono da base; Šs →perímetro do polígono da base « ‹-™mr → Volume do prisma; base; ¥→altura do prisma. 3.4.3 Cubo C¤r… 8ª‹¥ ; C…¡…r© 8ª‹H‹ o ¥J 3.4.5.1 Área lateral e área total C¤r… „r ; C…¡…r© ‰r «—-©-P¦‹¡ ª‹8 ¥ 3.4.5.2 do Volume do cilindro 3.4.3.1 Área lateral e área total «—®s¡ r: 3.4.3.2 do Volume do cubo 3.4.6 Cone Um sólido limitado por duas regiões: um m 3.4.4 Paralelepípedo círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o círculo é chamado de base do come e a superfície « é o vértice do cone. C distância do vértice ao plano arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto reta em que um dos extremos é « e o outro é um ponto da base é chamada altura do cone e todo segmento de e da circunferência da base é chamado de geratriz. C¤r… 8Hr— o s— s—J 3.4.3.3 Área lateral e área total C…¡…r© 8Hrs o r— o s—J Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 19. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 19 Matemática Aplicada Questão 2 Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura. 3.4.6.1 Área lateral e área total C¤r… ª‹Ÿ ; C…¡…r© ª‹HŸ o ‹J 3.4.6.2 Volume do cone «—¡P ª‹8 ¥ Encontre a altura de cada degrau. 3.4.7 Esfera Questão 3 No instante em que o ângulo de elevação do sol acima A esfera é um sólido limitado por uma do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3 superfície curva de revolução que tem todos os pontos m, como mostra a figura ao lado. igualmente distantes de um ponto interior chamado centro. A superfície esférica é resultado da revolução de uma semicircunferência em torno do diâmetro. Qual é a altura desse poste? Questão 4 3.4.6.3 Área total e volume Considere a sala representada na figura a seguir. 8 „ª‹: C…¡…r© „ª‹ ; « ™l ‹r : EXERCÍCIO PROPOSTO Questão 1 Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as margens de um rio. Determine qual a lotação máxima desta sala, sabendo- se que cada pessoa ocupa uma área de 1 m². Questão 5 Determine a área e o perímetro de um terreno na forma de um triângulo retângulo cujos catetos medem 21 e 28 metros. Questão 6 Um disco de aço usado para o corte de peças de metal Determine a largura l desse rio. tem diâmetro igual a 10 cm. Determine o comprimento e a área deste disco. (considere $ 3,1.) Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 20. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 20 Matemática Aplicada Questão 7 Num prisma quadrangular regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área lateral e a área total do prisma. Questão 8 figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 4 cm cada um e a altura do prisma mede 6 cm. Determine o volume do prisma. Questão 9 Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais. Questão 10 A figura a seguir representa um tambor, desses que são usados para o transporte de óleo. O diâmetro da sua base mede 60cm e a altura, 85cm. Sendo assim, determine o custo do material utilizado na sua confecção (desprezando as perdas), sabendo-se que cada metro quadrado custa R$ 100,00. (Considere $ 3.) Rascunho Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 21. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 21 Matemática Aplicada 4. ESTATÍSTICA Introduçã ção 4.1 Introdução Variável qualitativa: é quando seus valores são expressos por atributos. Ex: sexo, Com o desenvolvimento tecnológico, os meios preferência musical, etc. variáveis qualitativas de comunicação passaram a transmitir um número poder ser classificadas em: nominais ou muito maior de informações e muito mais rapidamente. ordinais. Essas informações, encontradas, por exemplo, em Variável quantitativa: é quando seus valores jornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das são expressos em números. Ex: estatura, mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc. idade, salário, número de habitantes, etc. Variáveis quantitativas podem ser classificadas ser classificadas em discretas ou contínuas. 4.3 Distribuição de frequência H J 4.3.1. Frequência HlJ É o número de vezes que um determinado elemento é também chamado de frequência absoluta, l. aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno 4.3.2. Frequência Relativa Hl‹ J Programa das nações unidas para o desenvolvimento. A estatística é uma área da Matemática que É o quociente da frequência absoluta pelo número P de elementos dados l‹ trabalha com a coleta de informações, bem como sua l P . organização e análise. Com a análise dos dados 4.3.3. Frequência Acumulada Hlr J coletados, podemos tomar decisões, além de fazer previsões e planejamentos com mais segurança. É a soma das frequências relativas até determinado 4.2 Termos da estatística dado. 4.3.4. Frequência Acumulada Relativa Hlr‹ J 4.2.1 População relação ao total da absoluta. lr‹ Corresponde à proporção da frequência acumulada em orresponde lr População é todo universo que está sendo P estudado. Ex: população de uma cidade. . 4.2.2 Amostra Exemplo 24 Amostra é apenas uma parte da população Organize a tabela de frequência abaixo, de acordo com que está sendo estudada. Ex: parte da população de os conceitos estudados nos pontos acima. uma cidade. A amostragem pode ocorrer de três formas: Frequência Frequê ncia Amostragem aleatória (casual simples) a simples): Nível de Frequência Frequência acumulada acumulada escolaridade (f ) relativa (fr ) relativa amostra é composta de elementos retirados ao (fa ) (far ) acaso da população. Ensino Amostragem sistemática: aos elementos da 6 Fundamental amostra são escolhidos com base em um Ensino Médio 8 sistema preestabelecido. Amostragem estratificada: estratificada:a amostra é Ensino 2 composta de elementos proveniente de todos os Superior os grupos ou estratos da população. Total 16 4.2.3 Variável A variável fornece as características da população, também sendo conhecida como variável estatística. As variáveis podem ser classificadas em . qualitativas ou quantitativas. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 22. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 22 Matemática Aplicada 4.3.5. Intervalo de classe 4.4.3 Gráfico de setores Intervalos de classes são utilizados quando O gráfico de setores, também conhecido trabalhamos com um número elevado de elementos. como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para representar partes de um todo. Atente para o fato de Exemplo 25 que o todo de gráfico de setor equivale a 360°, ou seja, Considere as notas obtidas por 20 alunos de uma 100% está para 360°. Essa relação será muito útil nas turma em certa avaliação na disciplina de matemática. análises desses tipos de gráficos. 72 43 91 65 67 70 83 87 81 85 Exemplos: 39 52 58 53 88 73 50 86 68 73 Construa a tabela de frequência utilizando intervalos de classes. 4.4 Representação gráfica de dados estatísticos 4.4.4 Histograma Os dados de uma pesquisa podem ser representados de várias maneiras. Os meios de Este tipo de gráfico é utilizado para comunicação utilizam, em geral, os gráficos para representar as frequências absolutas e as relativas de apresentar esses dados. Isso ocorre porque os gráficos dados agrupados em intervalos de classes. O permitem uma melhor visualização e também uma histograma é composto de retângulos justapostos cujas análise mais detalhada dos dados apresentados. bases são apoiadas em um eixo horizontal. Exemplos: 4.4.1 Gráfico de barras O gráfico de barras, também conhecido como gráfico de colunas, é utilizado, em geral, para representar dados de uma tabela de frequências associados a uma variável qualitativa. Exemplos: Note que, se ligarmos os pontos médios das bases superiores das barras do histograma a partir de segmentos de retas, obteremos uma linha chamada poligonal de frequência. 4.4.5 Pictograma É uma técnica muito utilizada pelos meios de 4.4.2 Gráfico de linhas comunicação, como revistas, jornais, entre outros,afim de tornar os gráficos mais atraentes. Esses meios de O gráfico de linhas, também conhecidos como comunicação costumam ilustrar imagens relacionadas gráfico de segmentos, é utilizado, em geral, para ao contexto do qual as informações fazem parte. representar a evolução dos valores de uma variável no Exemplos: decorrer do tempo de maneira contínua. Exemplos: Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com
  • 23. Prof. Giancarlo S. S. Pereira 23 Matemática Aplicada 4.5 Medidas de tendência central Exemplo 27 Um levantamento sobre a idade em anos, dos alunos do 1º ano do colégio Impacto resultou na seguinte Em estatística, as medidas de tendências distribuição: centrais são utilizadas a fim de obter um valor que Idade Número de alunos tende a caracterizar ou representar melhor um conjunto 14 4 de dados. Dentre as medidas de tendência central, 15 12 estudaremos a média aritmética, a moda e a 16 8 mediana. 17 1 4.5.1 ° Média Aritmética Simples H¯J a) Construa o gráfico de linha relativo a esses dados. É o quociente obtido ao se dividir a soma das frequências da variável pelo número de valores. B< o B8 o B: o ⋯ o B P ∑ P B- -³< ° ¯ P P 4.5.2 ° Média aritmética ponderada H´µ J É o quociente obtido ao se dividir a soma dos produtos das frequências da variável por seus respectivos pesos pela soma dos pesos. B< ∙ < + B8 ∙ 8 + B: ∙ : + ⋯ + B P ∙ P ¯° < + 8 + : +⋯+ P b) Construa o gráfico de barras verticais relativo a ∑ P B- ∙ - -³< esses dados. = ∑P-³< - 4.5.3 Moda (´œ) Denomina-se moda de um conjunto de dados o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode não existir e, mesmo quando exista, pode não ser única. 4.5.4 Mediana (´¶) É o valor que ocupa a posição central de um rol quando este apresenta uma quantidade ímpar de valores. Para um rol que tem quantidade par de valores, a mediana é a média aritmética dos dois c) Construa o gráfico de setores relativo a esses dados. valores centrais. Exemplo 26 Em uma prova realiza com 40 alunos da 5ª série de uma determinada escola, obteve-se o seguinte resultado em número de pontos por alunos. Pontos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Alunos 1 5 3 2 2 6 8 2 6 5 Represente a distribuição de freqüência dos dados. Em seguida determine a moda, a mediana e a média aritmética da 5 maiores notas. Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com