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1. INTRODUÇÃO
A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos
geométricos com as relações algébricas. Permite, assim, que a
Álgebra e a Geometria se relacionem, o que possibilita um
estudo sistemático das figuras geométricas, bem como,
reciprocamente, a interpretação geométricas das relações
algébricas.
2. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos
perpendiculares entre si, que se cruzam num ponto denominado
origem das coordenadas e que determinam um plano chamado
plano cartesiano.
No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares ordenados:
																 ,
,
,
,
3. PONTO
3.1. Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos e , a distância entre eles é
a medida de dada em unidade de medida de comprimento. A
distância entre esses pontos é indicada por , ou .
Considerando o plano cartesiano acima temos que a distância
entre os pontos e dar-se-á por:
,
3.2. Ponto médio de um segmento
Dados dois pontos distintos , e , ,
podemos obter as coordenadas do ponto médio de ,
cujas coordenadas são , .
																													
3.3. Condição de alinhamento de três pontos
Dados três pontos distintos, podemos verificar se estão
alinhados ou não utilizando apenas suas coordenadas. Se três
pontos distintos estão alinhados, então:
1
1
1
0
3.4. Área de um triângulo
Dados os pontos , , , e , em um
plano cartesiano, caso eles não estejam alinhados, é possível
calcular a área da região triangular cujos vértices são esses
pontos. A área, cujo valor deve ser positivo, é dada por:
∆ "
|$|
	
1
1
1
e | | é o módulo de .
3.5. Baricentro de um triângulo (2)
Denomina-se baricentro ou centro de gravidade de um
triângulo o ponto % &, & , interseção das três medianas desse
triângulo.
'
"
(
'
"
(
%
%
2
1
;			
%
%+
2
1
;			
%
%,
2
1
4. RETA
4.1. Equação geral da reta
Sejam os pontos , e , pertencentes a
uma reta - no plano cartesiano e um ponto , , qualquer
dessa reta.
Como s pontos , e , são colineares:
1
1
1
0
Daí temos que,
0.
Fazendo:
/;						 0;					 1, temos:
2 3 4 5
4.2. Equação reduzida da reta
Considera / 0 1 0 a equação geral da reta -.
Quando isolamos o obtemos a equação reduzida da reta -.
/ 0 1 0 ⇒ 0 / 1 ⇒
/
0
1
0
Fazendo:	
/
0
7					8							
1
0
9.
Temos,
: ;
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4.3. Inclinação e coeficiente angular de uma reta
Considere o plano cartesiano abaixo e uma reta - cuja
inclinação é < em relação ao eixo , a qual é medida no sentido
anti-horário do eixo para a reta.
Chama-se inclinação da
reta = a medida do ângulo
>. O coeficiente angular
ou declividade da reta é um
número real : que
expressa a tangente
trigonométrica de >, isto é:
: ?@	>.
Dependendo da inclinação podem ocorrer casos:
1º caso: 0° B < B 90° ⇒ DE	< F 0 ⇒ 7 F 0;
2º caso: 90° B < B 180° ⇒ DE	< B 0 ⇒ 7 B 0;
3º caso: < 90° ⇒ DE	< não é definida
4º caso: < 0° ⇒ DE	< 0 ⇒ 7 0.
4.4. Cálculo do coeficente angular
De modo geral, se , e , são pontos
distintos de uma reta - não-paralela ao eixo , a declividade ou
o coeficiente angular dessa reta é dada por:
:
4.5. Equação da reta que passa por um ponto (3)
Considere uma reta - e um ponto , , qualquer desta
reta. A equação da reta que passa pelo ponto ,H H, H e tem
coeficiente angular 7I é dada por:
5 := 5 .
4.6. Posição relativa entre duas retas (3)
Consideremos duas retas distintas, r e s, em um plano
cartesiano. Essas retas podem ser paralelas ou concorrentes.
4.6.1 Retas paralelas
Dadas duas retas = e J
distintas e não-verticais,
elas são paralelas entre
si se, e somente se, seus
coeficientes angulares
são iguais, isto é:
:= :J
4.6.2 Retas concorrentes
Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são
concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são
diferentes, isto é:
	:= K :J
4.6.3 Retas perpendiculares
Dadas duas retas = e J
distintas cujos coeficientes
angulares são,
respectivamente, 7I e 7L
elas são perpendiculares se,
e somente se,
:= ∙ :J N
4.7. Ângulo entre duas
retas (3)
Considere duas retas
concorrentes - e O oblíquas
ao eixo e ao eixo e não
perpendiculares entre si.
Nesse caso, temos:
?@	> P
:= :J
N := ∙ :J
P
4.8. Distância entre ponto e reta
A distãncia de um ponto
, a uma reta
-: / 0 1 0 é dada por:
, =
|2 ∙ 3 ∙ 4|
√2 3
TESTE DE VESTIBULAR
Questão 1Questão 1Questão 1Questão 1
(FEI - SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados
os pontos 0, 0 e , 3, T . Determine a alternativa cuja
expressão representa a distância do ponto , ao ponto em
função de T.
(A) √9 TU
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(D) √9 6T TU
(E) 9 T
Questão 2Questão 2Questão 2Questão 2
(UFMG – MG) Sabendo que a distância entre dois pontos
0; 1 e D; 2D é √13, o valor de D é:
AAAA 1 √61 /5	
BBBB 2	
CCCC 3	
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EEEE N.D.A.
AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3
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Questão 3Questão 3Questão 3Questão 3
(UFPR - PR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no
plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P
está no ponto 2D, 3 D e a partícula Q está no ponto 4D, 3D
2 .
Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas:
I. As partíclas colidem uma com a outra no instante D
`
a
.
II. Ambas as partíclas passam pelo ponto 4, 1 .
III. No instante D 1, a distância entre as partículas é √5.
Determine a alternativa correta.
(A) Somente as alternativas II e III são verdadeiras.
(B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
(C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
(D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
(E) Somente as alternativas I e III são verdadeiras.
Questão 4Questão 4Questão 4Questão 4
(UFMG – MG) Seja b 1, / um ponto do 3º quadrante. O
valor de / para que a distância do ponto , /, 1 ao ponto b seja
2, é:
(A) 1 √2
(B) 1 √2
(C) 1 √2
(D) 1 √2
(E) 1
Questão 5Questão 5Questão 5Questão 5
(UFMG – MG) A área de um quadado que tem 4, 8 e
2, 2 como vértices opostos é:
AAAA 36
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Questão 6Questão 6Questão 6Questão 6
(UFV - MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um
triângulo cujos vértices , e têm coordenadas ( 1, 0),
(0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se 7 e 9 são pontos médios de
e , respectivamente, a área do triângulo c + é igual a:
(A)
`
d
e. /.
(B)
f
`
e. /.
(C) 1 e. /.
(D)
d
U
e. /.
(E) N.R.A.
Questão 7Questão 7Questão 7Questão 7
(FGV - RJ) Uma reta do plono cartesiano contém os pontos
(2, 3) e (14, 7). O ponto ,(2002, 670):
(A) Pertence a essa reta.
(B) Está sobre esta reta.
(C) Esta abaixo desta reta.
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Questão 8Questão 8Questão 8Questão 8
(Unifor - CE) Considere a reta -, representada na figura a
seguir. Sua equação é:
(A) √3 1 √3
(B) √3 1 √3
(C) √3 1 √3
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Questão 9Questão 9Questão 9Questão 9
(UFRS – RS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de
ordenada:
(A)(A)(A)(A)
d
U
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`
d
(C)(C)(C)(C)
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a
(D)(D)(D)(D)
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`
(E)(E)(E)(E)
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Questão 10Questão 10Questão 10Questão 10
(UFMG – MG) Observe figura. A ordenada do ponto de
intersecção da reta r com o eixo das ordenadas é:
(A)(A)(A)(A) 2 3√3
(B)(B)(B)(B) 3 2√3
(C)(C)(C)(C) 2 √3
(D)(D)(D)(D) 3
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d
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QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 11111111
(UFPB - PB) A melhor arma contra o câncer é identificar
preccimete a doença. Em um exame de rotina, foi encontrado
em um paciente um pequeno nódulo, de área equivalente à o
triângulo cujos vértices são os pontos de interseção das retas
1, 1 0 e 2 0.
Qual a área ocupada pelo nódulo?
(A)
j
a
e. /.
(B)
j
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e. /.
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Geometria Analítica: Introdução aos conceitos básicos

  • 1. Página Web: professorgiancarlo.blogspot.com.br 1. INTRODUÇÃO A Geometria Analítica tem por objetivo conciliar os fatos geométricos com as relações algébricas. Permite, assim, que a Álgebra e a Geometria se relacionem, o que possibilita um estudo sistemático das figuras geométricas, bem como, reciprocamente, a interpretação geométricas das relações algébricas. 2. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num ponto denominado origem das coordenadas e que determinam um plano chamado plano cartesiano. No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares ordenados: , , , , 3. PONTO 3.1. Distância entre dois pontos Dados dois pontos distintos e , a distância entre eles é a medida de dada em unidade de medida de comprimento. A distância entre esses pontos é indicada por , ou . Considerando o plano cartesiano acima temos que a distância entre os pontos e dar-se-á por: , 3.2. Ponto médio de um segmento Dados dois pontos distintos , e , , podemos obter as coordenadas do ponto médio de , cujas coordenadas são , . 3.3. Condição de alinhamento de três pontos Dados três pontos distintos, podemos verificar se estão alinhados ou não utilizando apenas suas coordenadas. Se três pontos distintos estão alinhados, então: 1 1 1 0 3.4. Área de um triângulo Dados os pontos , , , e , em um plano cartesiano, caso eles não estejam alinhados, é possível calcular a área da região triangular cujos vértices são esses pontos. A área, cujo valor deve ser positivo, é dada por: ∆ " |$| 1 1 1 e | | é o módulo de . 3.5. Baricentro de um triângulo (2) Denomina-se baricentro ou centro de gravidade de um triângulo o ponto % &, & , interseção das três medianas desse triângulo. ' " ( ' " ( % % 2 1 ; % %+ 2 1 ; % %, 2 1 4. RETA 4.1. Equação geral da reta Sejam os pontos , e , pertencentes a uma reta - no plano cartesiano e um ponto , , qualquer dessa reta. Como s pontos , e , são colineares: 1 1 1 0 Daí temos que, 0. Fazendo: /; 0; 1, temos: 2 3 4 5 4.2. Equação reduzida da reta Considera / 0 1 0 a equação geral da reta -. Quando isolamos o obtemos a equação reduzida da reta -. / 0 1 0 ⇒ 0 / 1 ⇒ / 0 1 0 Fazendo: / 0 7 8 1 0 9. Temos, : ;
  • 2. AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3 Página Web: professorgiancarlo.blogspot.com.br 4.3. Inclinação e coeficiente angular de uma reta Considere o plano cartesiano abaixo e uma reta - cuja inclinação é < em relação ao eixo , a qual é medida no sentido anti-horário do eixo para a reta. Chama-se inclinação da reta = a medida do ângulo >. O coeficiente angular ou declividade da reta é um número real : que expressa a tangente trigonométrica de >, isto é: : ?@ >. Dependendo da inclinação podem ocorrer casos: 1º caso: 0° B < B 90° ⇒ DE < F 0 ⇒ 7 F 0; 2º caso: 90° B < B 180° ⇒ DE < B 0 ⇒ 7 B 0; 3º caso: < 90° ⇒ DE < não é definida 4º caso: < 0° ⇒ DE < 0 ⇒ 7 0. 4.4. Cálculo do coeficente angular De modo geral, se , e , são pontos distintos de uma reta - não-paralela ao eixo , a declividade ou o coeficiente angular dessa reta é dada por: : 4.5. Equação da reta que passa por um ponto (3) Considere uma reta - e um ponto , , qualquer desta reta. A equação da reta que passa pelo ponto ,H H, H e tem coeficiente angular 7I é dada por: 5 := 5 . 4.6. Posição relativa entre duas retas (3) Consideremos duas retas distintas, r e s, em um plano cartesiano. Essas retas podem ser paralelas ou concorrentes. 4.6.1 Retas paralelas Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais, isto é: := :J 4.6.2 Retas concorrentes Dadas duas retas = e J distintas e não-verticais, elas são concorrentes se, e somente se, seus coeficientes angulares são diferentes, isto é: := K :J 4.6.3 Retas perpendiculares Dadas duas retas = e J distintas cujos coeficientes angulares são, respectivamente, 7I e 7L elas são perpendiculares se, e somente se, := ∙ :J N 4.7. Ângulo entre duas retas (3) Considere duas retas concorrentes - e O oblíquas ao eixo e ao eixo e não perpendiculares entre si. Nesse caso, temos: ?@ > P := :J N := ∙ :J P 4.8. Distância entre ponto e reta A distãncia de um ponto , a uma reta -: / 0 1 0 é dada por: , = |2 ∙ 3 ∙ 4| √2 3 TESTE DE VESTIBULAR Questão 1Questão 1Questão 1Questão 1 (FEI - SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos 0, 0 e , 3, T . Determine a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto , ao ponto em função de T. (A) √9 TU (B) T 3 (C) 3T (D) √9 6T TU (E) 9 T Questão 2Questão 2Questão 2Questão 2 (UFMG – MG) Sabendo que a distância entre dois pontos 0; 1 e D; 2D é √13, o valor de D é: AAAA 1 √61 /5 BBBB 2 CCCC 3 DDDD 2 √61 /2 EEEE N.D.A.
  • 3. AP1 - Geometria Analítica I Matemática 3 Página Web: professorgiancarlo.blogspot.com.br Questão 3Questão 3Questão 3Questão 3 (UFPR - PR) Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada instante t a partícula P está no ponto 2D, 3 D e a partícula Q está no ponto 4D, 3D 2 . Com base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas: I. As partíclas colidem uma com a outra no instante D ` a . II. Ambas as partíclas passam pelo ponto 4, 1 . III. No instante D 1, a distância entre as partículas é √5. Determine a alternativa correta. (A) Somente as alternativas II e III são verdadeiras. (B) Somente a afirmativa II é verdadeira. (C) Somente a afirmativa III é verdadeira. (D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. (E) Somente as alternativas I e III são verdadeiras. Questão 4Questão 4Questão 4Questão 4 (UFMG – MG) Seja b 1, / um ponto do 3º quadrante. O valor de / para que a distância do ponto , /, 1 ao ponto b seja 2, é: (A) 1 √2 (B) 1 √2 (C) 1 √2 (D) 1 √2 (E) 1 Questão 5Questão 5Questão 5Questão 5 (UFMG – MG) A área de um quadado que tem 4, 8 e 2, 2 como vértices opostos é: AAAA 36 (B)(B)(B)(B) 20 (C)(C)(C)(C) 18 (D)(D)(D)(D) 16 (E)(E)(E)(E) 12 Questão 6Questão 6Questão 6Questão 6 (UFV - MG) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices , e têm coordenadas ( 1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se 7 e 9 são pontos médios de e , respectivamente, a área do triângulo c + é igual a: (A) ` d e. /. (B) f ` e. /. (C) 1 e. /. (D) d U e. /. (E) N.R.A. Questão 7Questão 7Questão 7Questão 7 (FGV - RJ) Uma reta do plono cartesiano contém os pontos (2, 3) e (14, 7). O ponto ,(2002, 670): (A) Pertence a essa reta. (B) Está sobre esta reta. (C) Esta abaixo desta reta. (D) Não pertence ao plano cartesiano. (E) É a origem do plano cartesiano. Questão 8Questão 8Questão 8Questão 8 (Unifor - CE) Considere a reta -, representada na figura a seguir. Sua equação é: (A) √3 1 √3 (B) √3 1 √3 (C) √3 1 √3 (D) √3 1 √3 (E) √3 √3 Questão 9Questão 9Questão 9Questão 9 (UFRS – RS) As retas r e s da figura interceptam-se no ponto de ordenada: (A)(A)(A)(A) d U (B)(B)(B)(B) ` d (C)(C)(C)(C) h a (D)(D)(D)(D) i ` (E)(E)(E)(E) jj k Questão 10Questão 10Questão 10Questão 10 (UFMG – MG) Observe figura. A ordenada do ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas é: (A)(A)(A)(A) 2 3√3 (B)(B)(B)(B) 3 2√3 (C)(C)(C)(C) 2 √3 (D)(D)(D)(D) 3 U√d d (E)(E)(E)(E) 3√3 2 QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 11111111 (UFPB - PB) A melhor arma contra o câncer é identificar preccimete a doença. Em um exame de rotina, foi encontrado em um paciente um pequeno nódulo, de área equivalente à o triângulo cujos vértices são os pontos de interseção das retas 1, 1 0 e 2 0. Qual a área ocupada pelo nódulo? (A) j a e. /. (B) j ` e. /. (C) 1 e. /. (D) d U e. /. (E) N.R.A.