Apresentação ISBET Jovem Aprendiz e Estágio 2023.pdf
Função composta
1. MATEMÁTICA – A1
Resolução:
Determinando as somas:
AULA 10
1
f(x) + g(x) = x 2 2x 3 x 1
2
FUNÇÃO COMPOSTA
3
f(x) + g(x) = x 2 x 4
Sejam as funções f: A B e g: B C, chama-se 2
função composta de g com f à função h: A C tal que e
h(x) = g[f(x)] = g o f(x). 1
g(x) - f(x) = x 1 x 2 2x + 3
2
5
g(x) - f(x) = x 2 x + 2
2
Analisando as proposições:
1. Falsa, pois f(x) + g(x) é uma parábola e por tanto possui
dois zeros.
2. Verdadeira, pois a,b[2,5] se a < b tem-se h(a) < h(b)
onde h(x) = f(x) + g(x).
5
3. Verdadeira, pois sendo g(x) – f(x) = x 2 x + 2 >0
2
para qualquer x que pertence ao intervalo (0,3).
(fog)(0) = f(g(0)) = f(-1) = 0
4. Falsa, pois 5
(gof)(0) = g(f(0)) = g(-3) = - 2
R: Alternativa a
EXERCÍCIOS DE SALA 03) (ACAFE) Dadas as funções reais f(x) = 2x - 6 e
g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b, é:
01) Sejam f e g duas funções reais tais que f(x) = 2x – 1 a) 10
e g(x) = x2 – 2. Então a função (fog)(x) é igual a: b) 13
a) 2x2 – 3 c) 12
b) 2x2 + 3 d) 20
2
c) 2x – 5 e) 8
d) 2x2 + 5
2
e) 2x - 1 Resolução:
Resolução
f g x 12x 8
(fog)(x) f(g(x)) 2g x 6 12x 8
(fog)(x) f(x 2)
2
g x 6x 7
(fog)(x) 2(x 2 2) 1 Mas,
(fog)(x) 2x 2 4 1 g x ax b
(fog)(x) 2x 2 5
Então :
R: Alternativa c
a b 13
02) (UFPR) Considere as afirmativas abaixo a respeito R: Alternativa b
1
das funções f(x) x 2 2x 3 e g(x) x 1 , com 04) O gráfico abaixo representa a função f(x), definida
2 no intervalo [–1, 4].
x R:
1. A função f(x) + g(x) tem exatamente três zeros.
2. A função f(x) + g(x) é crescente no intervalo [2,5].
3. A função g(x) – f(x) é positiva no intervalo aberto (0,3).
4. Quando x = 0, tem-se (fog)(x) = (gof)(x).
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
Considerando que g(x) = f(x–2), assinale o que for
correto.
1
2. MATEMÁTICA – A1
01. g(1) + g(4) = 1
02. g(5) = –1
04. f(g(2)) = 1
08. g(f(0)) = 0
Analisando o gráfico
01.
g 1 f 1 0
g 4 f 2 1
g 1 g 4 1 verdadeira
02. g 5 f 3 1 verdadeira
g 2 f 0 1
04.
f g 2 f 1 1 verdadeira
REGRA PRÁTICA
f 0 1 Dada uma função bijetora f: A B a sua função
08.
g f 0 g 1 f 1 0 verdadeira inversa será a função f 1 : B A, cuja sentença é assim
obtida:
1º) substituí-se na sentença de f, "x" por "y" e "y" por "x".
Soma: 15
2º) isola-se "y" num dos membros, Obtendo-se
AULA 11 f 1 (x).
FUNÇÃO INVERSA
EXERCÍCIOS DE SALA
DEFINIÇÃO
2x 5
Seja f : A B uma função. Se existir uma função 01) (UDESC) Seja f(x) uma função com
g: B A tal que: 3
domínio sobre a reta real. A função que expressa a
inversa de f é:
f gx g f x x 3x 5
a) f 1 x
2
Dizemos que g : B A é a função inversa de f e se
3x 5
indica por f 1. b) 1
f (x)
2
3x 5
c) f 1(x)
2
2x 3
d) f 1(x)
5
1 3x 2
e) f (x)
5
2x + 5
f (x) =
3
2y + 5
x=
TEOREMA 3
3x = 2y + 5
Se a função f : A B admite inversa então, 3x - 5 = 2y
necessariamente a função f e bijetora. 3x - 5
=y
2
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
3x - 5
f -1(x) =
Os gráficos de f e f 1 são simétricos em relação à 2
bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º).
Resposta: a
2
3. MATEMÁTICA – A1
02) Determine a função inversa da função 02) Considere as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3
f : IR IR definida por f x 2x 4 e construa os
2
e g(x) = x - 4. O valor de f 0 g(2) é:
gráficos das duas funções em um mesmo sistema a) 1
de referências. b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
f(x) 2x 4
x 2y 4 g 2 22 4
x4
y g 2 0
2
f g 2 F(0)
f 1 x
x4 f g 2 0 3
2
f g 2 3
Resposta: c
03) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3 e
2
g(x) = x - 4. O valor da expressão [f(g(2)) + g(f(1))] é
igual a:
a) 0
b) 15
03) (UDESC) Se f : IR {3} IR {a} definida por c) -15
1 d) 20
f(x) é inversível, então, o valor de a é: e) 12
x3
a) 3
b) 5
f g 2 g f 1 3 g 1 3
c) –3
d) 0 f g 2 g f 1 3 g 4
f g 2 g f 1 3 4 4
e) 2 2
f g 2 g f 1 15
Resolução:
1 1
f(x) y Resposta: b
x3 x3
Trocando x por y e y por x: 04) Considere as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3
1 e g(x) = 2x - 5. A função (g 0 f)(x) é definida como
x
y 3 sendo:
x(y 3) 1 a) x + 1
b) 2x + 3
1 1 c) x-1
y 3 f 1(x) 3
x x d) 2x + 5
Assim, x 0. e) 2x + 1
R: Alternativa d
g f x g x 3
EXERCÍCIOS-TAREFA g f x 2 3 5
AULAS 10 e 11 g f x 2x 6 5
g f x 2x 1
01) Sejam as funções reais f e g tais que f(x) = x + 3 e
g(x) = x2 - 4. O valor da expressão [f(2) + g(1)] é Resposta: e
igual a:
a) 0 05) Se f(x + 1) = x2 +2, então f(3) é igual a:
b) 1 a) 2
c) -1 b) 4
d) 2 c) 6
e) -2 d) 11
e) 18
f 2 g 1 2 3 1 4
2
f x 1 x 2 2
f 2 g 1 5 3 f 2 x 22 2
f 2 g 1 2 f 3 6
Resposta: d Resposta: c
3
4. MATEMÁTICA – A1
06) A função f: IR IR é tal que 09) (UDESC) Considere as funções f e g de IR em IR
f(8x) = 4f(x). Se f(8) = 16, então f(1) vale: definidas por:
a) 16
b) 4 x 6, se x 0
c) 8 f x
d) 2 2x 5, se x 0
e) 1 e
f 8x 4f x 2x 2 5, se x 0
gx 3
x , se x 0
f 8.1 4f 1
f 8 4f 1
Calcule gf 3 .
16
f 1 a) 8
4 b) 16
f 1 4 c) 27
d) 25
Resposta: b e) -8
07) Seja f: IR IR uma função tal que g 3 6
f(3x +1) = 1 – x. Então f(a) é:
a) 1 – a g 3
b) 3a + 1
c) - 3a 33
4a 27
d) Resposta: c
3
e) 4 – 3a
10) (UDESC) A função f é tal que
f(2x + 3) = 3x + 2. Nessas condições,
f(3x + 2), é igual a:
f 3x 1 1 x
9 1
y 1
a) x
f y 1 2 2
3x 1 y 3 b) 2x 3
3 y 1
3x y-1 f y c)
2
x 1
3 3
y 1
x 4y 3x 2
3 f y d)
3 e) 3x – 2
4a
f a 2x 3 y
3
Resposta: d 2x y 3
y3
08) Se f e g são funções de IR em IR tais que x
2
f(x) = 2x - 1 e f(g(x)) = x2 - 1, então:
a) g x
x2 2 f 2x 3 3x 2 Então:
2 3 3x 2 5
y3 f 3x 2
x2 f y 3 2
gx
2
b) 2
2 9x 6 5
3y 9 f 3x 2
1 f y 2
g x x2
2
c) 2
9x 1
f 3x 2
2
3y 9 4
x2 f y 2
d) gx 2
3 3y 5
3x 2 f y
e) g x 2
2 Resposta: a
f g x x2 1 11) Uma função f de variável real satisfaz à condição
f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da
2g x 1 x 2 1 variável x. Sabendo que f(2) = 1, podemos concluir
que f(5) é igual a:
x2
gx a)
1
2 2
Alternativa b b) 1
5
c)
2
d) 5
e) 10
4
5. MATEMÁTICA – A1
f(x +1) = f(x) + f(1) 14) Os gráficos das funções reais definidas por
f(x) = x – 1 e g(x)= k , 1 k > 0, se interceptam num
2 x
1
x = 1 f(2) = 2f(1) f(1) ponto de abscissa 3. O valor de f(g(k)) é:
2
g x k2
1
x 2 f(3) f(2) f(1) 1
3
f g P 3, y
f g 2 f 22
2 2 g 3 k3
3 1 f 3 32 1 f g 2 f 4
x 3 f(4) f(3) f(1) 2 8 k3
2 2 f 3 8 f g 2 42 1
1 5 23 k 3
x 4 f(5) f(4) f(1) 2 P 3,8 f g 2 15
2 2 k2
R: Alternativa C.
15) Os valores positivos de a e b, sabendo que
12) (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro
(ff) (x) = x + 1 e que f(x) = ax +b são
grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1.
respectivamente:
Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f
a) 1 e 2
corta o eixo x.
b) 3 e 4
c) 2e2
Resolução:
d) 1 e 3
Se a função f é de primeiro grau e decrescente, então:
e) 1 e 1/2
f x ax b
Como f 3 2 3a b 2 b 2 3a
ff(x) x 1 f(x) ax b
f f 1 1 a(ax b) b x 1
a a b b 1 a2 x ab b x 2 1
a ab b 1
2
a2 x ab b x 2 1
Mas, b 2 3a então : a2 1
a a 2 3a 2 3a 1
2
a 1 a 1
2a a 1 0
2 bb 1
Resolvendo a equação: 2b 1
1
1
a' = -1 ou a" = (nãoserve) b
2 2
R: Alternativa E.
Logo : b 5
Assim : f(x) x 5, que corta o eixo x em 16) (ACAFE) Sendo f : IR IR , definida por
f x 0 x 5 f x 2x 2 , todas as alternativas estão corretas,
exceto.
R: 05 a) f(x) é uma função crescente.
b) O valor de f(0) é igual a 2.
13) (UDESC) Sejam as funções f e g dadas por x2
c) A função inversa de f é dada por f 1 x .
f x x 3 2 e g x 3 x 2 ; portanto, o valor 2
numérico de f g 1 g f 1 é: d) O gráfico f(x) é uma reta que intercepta o eixo OX no
ponto (1,0).
a) 2
b) 1 e) f(x) é positiva para x 1
c) 0
3 f(x) 2x 2 y 2x 2
d) 3
e) 1 x 2y 2
x2 x2
y f 1(x)
g( 1) 3 1 1 2 2
f(g( 1)) f(1) 13 2 1 x 1 f(1) 2.1 2 4
R: Alternativa D.
f( 1) ( 1)2 2 3
g(f( 1)) g( 3) 3 1 1 17) Consideremos a função inversível f cujo gráfico é
visto abaixo.
| f(g( 1)) g(f( 1)) | | 1 ( 1) | 0
R: Alternativa C.
A lei que define f 1 x é:
a) y = 3x + 3/2
b) y = 2x - 3/2
5
6. MATEMÁTICA – A1
c) y = (3/2)x -3 01. Verdadeira
d) y = (2/3)x +2 y x 3
e) y = -2x - 3/2 y 03
P1(0,2) y3 0,3
P2 (3, 4) 02. Falsa, f é uma função decrescente pois a< 0.
Na inversa :
04. Verdadeira
P1(2,0)
g x x2 1
P2 (4,3)
g x 0
2a b 0
f 1(x) ax b
4a b 3 x2 1 0
2a 3 x2 1
3 x 1
a b 3
2 08. Verdadeira
3x
f 1(x) 3
2
R: Alternativa C.
Im g y / y 1
18) A função inversa de uma função cujos pares são
(x, y) é uma outra função em que os pares são
invertidos, isto é, x da original passa a ser y e vice-
2x 1
versa. Encontre a função inversa de y .
3x
16. Verdadeira
3x 1 y x 3
a) y 1
2x x y 3
3x
b) y 1 y x 3
2x 3
2x 1 f 1 x x 3
c) y 1
x 32. Verdadeira
d) 1
y
1
g f 1 g 1 3
g f 1 g 2
2x
1 1
y
g f 1 22 1
e)
3x 2
g f 1 3
2x 1
y 64. Falsa.
3x
2y 1
x b yv
3y xv 4a
x.3y 2y 1
2a
0 yv
0 2
4.1. 1
3xy 2y 1 xv 4.1
2
y 3x 2 1 xv 0 4
yv
1 4
y y v 1
3x 2
1 V 0, 1
Logo: y 1
3x 2 Resposta: (VFVVVVF) 61.
19) (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas
por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 – 1. Determine a soma
dos números associados à(s) proposição (ões)
VERDADEIRA(S).
01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das
ordenadas em (0,3).
02. f é uma função crescente.
04. –1 e +1 são os zeros da função g.
08. Im(g) = {y R / y -1}.
16. A função inversa da f é definida por f 1( x ) x 3 .
32. O valor de g( f (1)) é 3.
64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0,0).
6
7. MATEMÁTICA – A1
20) (UFSC) – Sendo f : IR IR definida por
1 1 GABARITO
x
f (x) y , determine a soma dos números
x 1 AULAS 10 e 11
associados às afirmativas VERDADEIRAS.
01. O gráfico de f(x) é uma reta. 01) D
02. f ( x ) é uma função injetora. 02) C
x 03) B
04. Sua inversa é f 1 . 04) E
x 1
05) C
08. f ( x ) é uma função par. 06) B
16. O valor de f(2) é igual a 2. 07) D
32. f ( x ) é uma função bijetora. 08) B
09) C
01. Falsa. 10) A
11) C
12) 05
13) C
14) 15
15) E
16) D
17) C
18) E
19) 61
20) 54
02. Verdadeira. Como x1 x 2 f x1 f x 2 a função é
injetora.
04. Verdadeira.
x
y
x 1
y
x
y 1
x.y x y
x.y y x
y x 1 x
x
y f x
x 1
08. Falsa.
f x f x
x x
x 1 x 1
x x
x 1 x 1
x x
x 1 x 1
16. Verdadeira
2
f 2
2 1
f 2 2
32. Verdadeira.
Como Im 1 e o CD 1 a função é
sobrejetora.
Como a função é injetora, a função é bijetora.
Resposta: (FVVFVV) 54.
7