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3ª GERÊNCIA REGIONAL DE EDUCAÇÃO
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Exercicios complementares
1) Localize no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos:A(2, 1),
B(-3,5), C(3,-2), D(-4,-1), E(4,0) e F(0,-3).
2) Dado o plano cartesiano abaixo,
determine as coordenadas dos ponto A,
B, C, D, E e F.
3) Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3,7) e B(1,4) b) E(3,-1) e F(3,5)
4) Vamos determinar a distância entre os
pontos A eB do plano cartesiano ao lado.
5) Dados os pontos A e B abaixo, determine as coordenadas do ponto
médio entre A e B:
a) A(4, –9) e B( –2, 7). b) A(0, 3) e B( –2, 5).
2) (Marque apenas uma alternativa). Seja A = (4,3), B = (0,-3) e M
um ponto pertencente ao eixo AB com AM = BM. Determine as
coordenadas do ponto M.
a) (2,0) b) (0,0) c) (–2,0) d) (0,2) e) (0, –2)
Baricentro e Mediana:
Mediana de um triângulo: Segmento de reta que partede um vértice do
triângulo e divide o lado oposto ao meio, ou seja, é a medida deum vértice
do triângulo até o ponto médio do lado oposto.
Exemplo1: Os pontos A(2,-4), B(-2,1) e C(-4,5) são vértices de um
triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.
Baricentro de um triângulo: é o ponto de intersecção das medianas do
Triângulo.
Fórmula para determinar o Baricentro
de um triângulo: Dado um triângulo ABC,
conforme a figura ao lado, tal que seus
vértices são A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC)
e sejam os segmentos AM1, BM2 e CM3 as
medianas desse triângulo. Sendo G(xG,yG)
o ponto de intersecção das três medianas,
logo G é o Baricentro do triângulo ABC.
Podemos determinar as coordenadas xG eyG
do ponto G pelas seguintes fórmulas:
𝐱𝐆 =
𝐱𝐀+𝐱𝐁+𝐱𝐂
𝟑
e 𝐲𝐆 =
𝒚𝐀+𝐲𝐁+𝐲𝐂
𝟑
onde: G(xG,yG).
Exemplo2: Dado um triângulo de vértices A(1,1), B(3,5) e C(-1,3),
calcule o seu baricentro.
Condição de alinhamento de três pontos
Dizemos que três pontos distintos estão
alinhados, se e somente se, eles fazem partede
uma mesma reta. Tais pontos são chamados de
pontos colineares.
Considere os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e
C(xC,yC) e seja D o determinante abaixo:
D = |
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
| temos que:
 D = 0 se, e somente se, A, B e C são colineares, isto é, estão
alinhados.
 D ≠ 0 se, e somente se, A, B e C formam um triângulo.
Exemplo3: Verifique se os pontos abaixo estão alinhados ou se são os
vértices de um triângulo.
a) A(6,4), B(3,2) e C(4,-1) b) A(-1,2), B(3,1) e C(7,0)
Exemplo4: Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão
alinhados se, e somente se:
a) k = 11 b) k = 12 c) k = 13 d) k = 14 e) k = 15
Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xA,yA),
B(xB,yB) e C(xC,yC) e seja D o determinante
abaixo:
D = |
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
|
Temos que: D ≠ 0 e consequentemente a área do triângulo ABC é dada
por:
A ABC =
|D|
2
Exemplo5: Os pontos não-alinhados A(2, 1),
B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um
triângulo. Calcule a área desse triângulo, a
partir das coordenadas de seus vértices.
Exercícios para prova
1) (Marque apenas uma alternativa) Os pontos A(6,-2), B(-5,-3) e
C(9,5) são vértices de um triângulo. O comprimento da mediana AM
do triângulo ABC é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
2) Calcule o baricentro dos triângulos cujos vértices são:
a) A(9,1), B(5,-3) e C(1,-1) b) P(-6,8), Q(3,5) e R(0,-1)
3) (Marque apenas uma alternativa) O valor de k para que os pontos
A(k,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam colineares é:
a) 0 b) 10 c) 3 d) 12 e) -4
4) Verifique seos pontos abaixo estão alinhados ou se são os vértices de
um triângulo.
a) A(3,2), B(0,5) e C(1,6) b) A(3,2), B(0,5) e C(1,6)
5) (Marque apenas uma
alternativa) (UERJ). No
sistema de coordenadas
cartesianas a seguir, está
representado o triângulo ABC.
A área do triângulo ABC é:
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
6) (Marque apenas uma alternativa) Calcular a área do triângulo de
vértices A(1,3), B(4,1) e C(6,5).
a) 16 b) 4 c) 10 d) 12 e) 8

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GEOMETRIA ANALÍTICA: Estudo da Reta
Toda reta pode ser representada por uma equação, que pode ser
determinada ou representada por inúmeras maneiras. Vamos conhecer
algumas dessas maneiras.
Equação geral da reta
A toda reta r do plano cartesiano está associada pelo menos uma equação
do tipo ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, com a e b não
nulos simultaneamente (diferentes de zero), exe y são as coordenadas de
um ponto P(x, y) genérico de r. Desse modo temos a reta
r: ax + by + c = 0, a qual chamamos de equação geral da reta.
A Reciproca também é verdadeira: Toda equação da forma
ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais tais que a ≠ 0 ou b ≠ 0,
estáassociada uma única reta r do plano cartesiano, cujos pontos possuem
coordenadas (x,y) que satisfazem essa equação.
Como determinar a equação geral de uma reta r conhecendo dois
pontos A e B.
Seja r a reta que passa pelos pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) e Seja P(x , y)
um ponto qualquer (genérico) destareta . Pela condição de alinhamento de
três pontos, podemos escrever:
D = |
xA yA 1
xB yB 1
x y 1
| Como D = 0, pois A, B e P estão na mesma reta. Temos
que:
|
xA yA 1
xB yB 1
x y 1
| = 0
Desenvolvendo o determinante e igualando a zero, obtemos a equação
geral da reta r, dada por:
r: ax + by + c = 0
Exemplo1: Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos
A(-1,3) e B(1,1).
Exemplo2: Determine a equação
geral da reta ao lado:
Intersecção de Retas.
Dadas as retas r e s concorrentes. O ponto de intersecção P(xP,yP) é único
e pertence as duas retas. Daí suas coordenadas devem satisfazer as
equações de ambas as retas, ao mesmo tempo. Assim:
Sejam as retas r e s dadas pelas equações gerais r: a1x + b1y + c1 = 0 e
s:a2x +b2y + c2 = 0. Substituindo as coordenadas do ponto P(xP,yP)
simultaneamente nas equações de r e s, obtemos o sistema:
{
a1xP + b1yP + c1 = 0
a2 xP + b2yP + c2 = 0
Ao resolver o sistema pode-se determinar o valor das incógnitas xP e yP e
assim encontrar o ponto deintersecção.
Exemplo3: Determine o ponto I(x,y) de
interseção das retas r: 2x + y – 1 = 0 e
s: 4x + 3y – 17 = 0.
Exemplo4: Determine o ponto P(x,y) de
interseção das retas r e s no gráfico ao lado.
Coeficiente angular
Dada uma reta r no plano cartesiano,
chamamos de Coeficiente angular ou
declividade da reta r, o número real m
definido pela tangente do ângulo alfa
(α), ou seja:
m = tg α.
Outra maneira de encontrarmos o coeficiente angular de uma reta é
conhecendo dois pontos pertencentes areta. Assim:Dados os pontos A(xA,
yA) e B(xB, yB) pertencentes a reta r, o coeficiente angular da reta é dado
por:
m =
𝐲𝐁 − 𝐲𝐀
𝐱𝐁 − 𝐱𝐀
Exemplo5: Determine o coeficiente angular da retaque passapelos pontos
A e B abaixo:
a) A(0, 2) e B(3, 11) b) A(-3, 4) e B(1, 8)
Equação reduzida da reta
Se uma reta não é vertical, ou seja, não é paralela ao eixo OY, então é
possíveltransformar sua equação geral em uma equação conhecida como
forma reduzida da reta e vice-versa. De fato. Seja a equação da reta r
dada na sua forma geral, logo:
ax + by + c = 0 ⇒ by = –ax – c ⇒ y =
−a
b
x −
c
b
Agora fazendo m =
−a
b
e n =
−c
b
, obtemos: y = mx + n, onde m é o
coeficiente angular da reta e n é chamado de coeficiente linear. Logo:
y = mx + n é a Equação na forma reduzida.
Inversamente, se uma reta é dada em sua forma reduzida, basta agrupar
todos os seus termos em um único membro parachegarmos a equação
geral da reta.
y = mx + n ⇒ mx – y + n = 0 é a equação geral dessa reta.
Exemplo6: Determine a equação na forma geral da reta de equação
y = 6x – 7.
Exemplo7: Determine a equação naforma reduzidada reta r nos seguintes
casos:
a) A equação geral de r é 2x + 5y – 15 = 0.
b) A reta r passapelos pontos A(1,6) e B(3,10).
Exercícios para entregar
1) Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(3,2) e
B(-1,1).
2) Determine a equação geral da reta ao
lado:
3) Determine o ponto P(x,y) de interseção
das retas r e s no gráfico ao lado:

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4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.
4) Determine o coeficiente angular da reta que passapelos pontos A eB
abaixo:
a) A(1, 3) e B(5, 15) b) A(-2, 4) e B(1, 7)
5) Determine o ponto I(x,y) de interseção das retas r: 2x – y – 3 = 0 e s:
3x + 2y – 1 = 0.
6) Determine a equação na forma reduzida da reta r tal que a equação
geral de r é 6x + 3y – 18 = 0.
7) Determine a equação na forma reduzida da reta r que passa pelos
pontos A(3,6) e B(4,8).
8) Determine a equação na forma geral da equação y = 5x – 9.

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Equação Fundamental da Reta
Sabemos que qualquer reta não-perpendicular ao eixo x possui
uma equação do tipo y = mx + n, onde m é o coeficiente angular e n é o
coeficiente linear. Assim dado um ponto P(x0,y0) pertencente a reta, as
coordenadas deste ponto devem satisfazer a equação da reta. Logo: y0 =
mx0 + n.
Daí podemos gerar e resolver o seguinte sistema: {
y = mx + n
y0 = mx0 + n
com
as duas equações.
Agora, subtraindo a segunda equação da primeira equação, obtemos:
y − y0 = m(x − x0) → Equação Fundamental da Reta.
Exemplo1: Determine a equação fundamental das retas abaixo que
passam pelos pontos P e tem declividade m:
a) P(2,5) e m = 3 Resposta: Noteque x0 = 2 e y0 = 5. Substituindo
os valores das coordenadas de P e o coeficiente angular da reta na
fórmula da equação fundamental, obtemos:
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − 5 = 3(x − 2)
b) P(-3,4) e m = 6 Resposta: Noteque x0 = -3 e y0 = 4. Substituindo
os valores das coordenadas de P e o coeficiente angular da reta na
fórmula da equação fundamental, obtemos:
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − 4 = 6(x − (−3)) ⇒ y − 4 =
6(x + 3)

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Exemplo2: Seja a equação fundamental da reta r dada por y − 5 =
3(x − 2). Determine sua equação Geral.
Resposta: y − 5 = 3 ∙ (x − 2) ⇒ y − 5 = 3x − 6 ⇒
3x − y + 5 − 6 = 0 ⇒ 3x − y − 1 = 0
Exemplo3: Encontre a equação Geral da reta r que passapelo ponto
A(2,-5) e tem coeficiente angular igual a m = – 2.
Resposta: Note que x0 = 2 e y0 = -5. Substituindo os valores das
coordenadas de A e o coeficiente angular da reta na fórmula da equação
fundamental, obtemos:
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − (−5) = −2 ∙ (x − 2) ⇒ y + 5 =
−2x + 4 ⇒ 2x + y + 5 − 4 = 0 ⇒ 2x + y + 1 = 0
Exemplo4: Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos
A(2,3) e B(5,9).
Resposta: Note que: xA = 2, yA = 3, xB = 5 e yB = 9. Daí utilizando a
fórmula paradeterminar o coeficiente angular m da retaque passapor A e
B, temos:
m =
yB − yA
xB − xA
⇒ m =
9 − 3
5−2
⇒ m =
6
3
⇒ m = 2
Agora substituindo o ponto A(2,3) e o coeficiente angular da reta m = 2 na
fórmula da equação fundamental, obtemos:
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − 3 = 2 ∙ (x − 2) ⇒ y − 3 = 2x − 4
⇒ 2x – y + 3 − 4 = 0 ⇒ 2x – y − 1 = 0
Atividade para entregar:
1) Determine a equação fundamental das retas abaixo que passampelos
pontos P e tem declividade m.
a) P(2,9) e m = 4 b) P(-
5,4) e m = 3
2) Determine a equação Geral da reta das equações fundamentais
abaixo:
a) y − 2 = 2(x − 2). b)
y − 5 = 3(x + 4).
3) Encontre a equação Geral da retar que passapelo ponto A(2,3) e tem
coeficiente angular igual a m = 6.
4) Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos:
a) A(1,3) e B(4,9). b) A(-1,2) e
B(2,-7).
Atividade 7 – 2º Bimestre
Posições relativas entre duas retas
No estudo inicial de Geometria Analítica, sabemos que, dadas duas retas
quaisquer no plano cartesiano, só existem duas posições relativas entre
elas: ou as retas são paralelas ou as retas são concorrentes.
Retas Paralelas
Definição: São retas que nunca se cruzam,
ou seja, não há ponto em comum
(intersecção) entreelas. São também retas
que possuema mesma inclinação, ou seja,
elas devem formar o mesmo ângulo com o
eixo das abscissas. Daí segue que elas
devem possuir o mesmo coeficiente
angular, uma vez que a tangente do ângulo
formado exista.
Assim podemos enunciar a teoria abaixo.
Dados duas retas distintas r es, tais que, r: y = mrx + nr e s:y = msx +
ns. As retas r e s são paralelas se, e somente se:
mr = ms
Denotamos retas paralelas por:r // s (r paralela a s).
No caso de r e s serem verticais, evidentemente que r // s, embora não
existam mr e ms, pois a tangente não existe.
Retas concorrentes
Se os coeficientes angulares das retas r e s são diferentes, ou seja, mr ≠
ms, então r e s são chamadas de retas concorrentes.
Definição: Dizemos que duas retas disposta no mesmo plano são
concorrentes, quando as duas retas se cruzam em um ponto que é comum
a ambas, ou seja, quando há um ponto de intersecção entre elas.
Retas coincidentes
Definição: São retas que pertencem ao mesmo plano e possuemtodos os
pontos em comum, ou seja, possuemas mesmas equações da reta, ou são
equações equivalentes.
Exemplo1: Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas ou são
concorrentes:
a) r: y = −3x + 5 e s: y = 5x − 9.
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma reduzida da reta,
ou seja, y = mx + n. Logo:
mr = −3 e ms = 5 ⇒ mr ≠ ms. Portanto r e s são concorrentes.
b) r: y = 2x + 5 e s: y = 2x − 9.
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma reduzida da reta,
ou seja, y = mx + n. Logo:
mr = 2 e ms = 2 ⇒ mr = ms. Portanto r // s.
c) r: y − 5 = 3(x − 2) e s: y − 7 = 3(x − 6).
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma fundamental da
reta, ou seja, y − y0 = m(x − x0). Logo:
mr = 3 e ms = 3 ⇒ mr = ms. Portanto r // s.
d) r: y − 8 = 2(x − 2) e s: y + 5 = −3(x − 5).
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma fundamental da
reta, ou seja, y − y0 = m(x − x0). Logo:
mr = 2 e ms = −3 ⇒ mr ≠ ms. Portanto r e s são concorrentes.
e) r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 10x – 15y + 45 = 0.
Resposta: Note que as equações de r e s estão na forma geral da reta, ou
seja, ay + bx + c = 0. Assim, vamos determinar o coeficiente angular de
cada uma das retas, transformando as equações para a forma reduzida.

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Reta r: Vamos transformar a equação geral de r na sua forma reduzida.
Logo:
2x + 3y – 7 = 0 ⇒ 3y = – 2x + 7 ⇒ y =
−2
3
x +
7
3
Reta s: Faremos o mesmo processo paraa reta s.
– 10x – 15y + 45 = 0 ⇒ – 15y = 10x – 45 ⇒ y =
10
−15
x −
45
−15
⇒ y = −
2
3
x + 3
Noteque:
mr = −
2
3
e ms = −
2
3
⇒ mr= ms. Portanto r // s.
Exemplo2: Determine a equação geral da reta t que passapelo ponto P(1,
2) e é paralela à reta r de equação 8x – 2y + 9 = 0.
Resposta: Para determinar a equação de uma reta basta conhecermos um
ponto dessa reta e o seu coeficiente angular. Já conhecemos o ponto P(1,
2) da retaprocurada, agora restaencontrar o seu coeficiente angular. Como
a reta t é paralela à reta s, elas possuem o mesmo coeficiente angular.
Assim, utilizando a equação da reta r iremos determinar seu coeficiente
angular.
Então primeiro vamos transformar a equação geral de r na sua forma
reduzida. Logo:
8x – 2y + 9 = 0 ⇒ – 2y = – 8x – 9 ⇒ y =
−8
−2
x −
9
−2
⇒
y = 4x +
9
2
⇒ mr= 4 Logo temos que: mt=4.
Agora, conhecendo o ponto da reta P(1,2) e seu coeficiente angular,
utilizamos a equação fundamental paradeterminar sua equação geral.
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − 2 = 4(x − 1) ⇒ y − 2 = 4x −
4 ⇒ 4x− y − 4 + 2 = 0 ⇒ 4x − y − 2 = 0
Atividade para entregar:
1) O que são retas paralelas?
2) O que são retas concorrentes?
3) O que são Retas coincidentes?
4) Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas:
a) r: y = −3x + 5 e s: y = −3x − 9
b) r: y = 2x + 5 e s: y = 6x− 9
c) r: y − 4 = 5(x − 5) e s: y − 7 = 4(x + 9)
d) r: y − 8 = 3(x − 2) e s: y + 5 = 3(x − 5)
e) r: 5x + 3y – 7 = 0 e s: 15x + 9y + 2 = 0
f) r: 4x + 8y – 7 = 0 e s: – 2x +6 y + 4 = 0
5) Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(4,2) e é
paralela à reta r de equação 2x – 12y – 6 = 0.
Atividade 8 – 2º Bimestre
Retas Perpendiculares
Definição: São retas concorrentes que
formam entre si ângulos de 90° graus.
Duas retas distintas r e s, tais que, r: 𝐲 =
𝐦𝐫𝐱 + 𝐧𝐫 e s: 𝐲 = 𝐦𝐬𝐱 + 𝐧𝐬 são
perpendiculares se, e somente se:
mr ∙ ms = -1
Denotamos Por r⊥ s (r perpendicular a s).
Exemplo1: Verifique se as retas r e s abaixo são perpendiculares:
f) r: y = 5x + 5 e s: y =
−1
5
x − 9.
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma reduzida da reta,
ou seja, y = mx + n. Logo:
mr = 5 e ms =
−1
5
⇒ mr ∙ ms = 5 ∙
−1
5
=
−5
5
= −1. Portanto r ⊥ s.
g) r: y = 2x + 5 e s: y = −2x − 9.
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma reduzida da reta,
ou seja, y = mx + n. Logo:
mr = 2 e ms = −2 ⇒ mr ∙ ms = 2 ∙ (−2) = −4 Portanto r não é
perpendicular a s.
h) r: y − 5 = 3(x − 2) e s: y − 7 =
1
3
(x − 6).
Resposta: Noteque as equações de r e s estão na forma fundamental da
reta, ou seja, y − y0 = m(x − x0). Logo:
mr = 3 e ms =
1
3
⇒ mr ∙ ms = 3 ∙
1
3
=
3
3
= 1. Portanto r não é
perpendicular a s.
i) r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: –3x + 2y + 4 = 0.
Resposta: Note que as equações de r e s estão na forma geral da reta, ou
seja, ay + bx + c = 0. Assim, vamos determinar o coeficiente angular de
cada uma das retas, transformando as equações para a forma reduzida.
Reta r: Vamos transformar a equação geral de r na sua forma reduzida.
Logo:
2x + 3y – 7 = 0 ⇒ 3y = – 2x + 7 ⇒ y =
−2
3
x +
7
3
Reta s: Faremos o mesmo processo paraa reta s.
–3x + 2y + 4 = 0 ⇒ 2y = 3x – 4 ⇒ y =
3
2
x −
4
2
⇒ y =
3
2
x − 2
Noteque:
mr = −
2
3
e ms =
3
2
⇒ mr ∙ ms = −
2
3
∙
3
2
=
−6
6
= −1. Portanto r ⊥
s.
Exemplo2: Determine a equação geral da reta s que passapelo ponto P(5,
-2) e é perpendicular à reta r de equação x – 2y + 3 = 0
Resposta: Para determinar a equação de uma reta basta conhecermos um
ponto dessa reta e seu coeficiente angular. Já conhecemos o ponto P(5, -2)
da reta procurada, agora resta encontrar o seu coeficiente angular. Como a
retar éparalela à retas, elas possuemo mesmo coeficiente angular. Assim,
utilizando a equação da reta r iremos determinar o seu coeficiente angular.
Daí vamos transformar a equação geral de r na sua forma reduzida. Logo:

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x – 2y + 3 = 0 ⇒ – 2y = – x – 3 ⇒ y =
−1
−2
x −
3
−2
⇒ y =
1
2
x +
3
2
⇒ mr=
1
2
Daí segue que: mr ∙ ms = -1 ⇒
1
2
∙ ms = -1 ⇒
ms
2
= -1 ⇒ ms = -2.
Agora, conhecendo o ponto da reta P(5,-2) e seu coeficiente angular,
utilizamos a equação fundamental para determinar sua equação geral.
y − y0 = m(x − x0) ⇒ y − (−2) = −2 ∙ (x − 5) ⇒ y + 2 =
−2x + 5 ⇒ 2x + y + 2 − 5 = 0 ⇒ 2x+ y − 3 = 0
Atividade para entregar:
6) Defina retas perpendiculares.
7) Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas:
a) r: y =
1
3
x + 5 e s: y = −3x − 9
b) r: y = 2x + 5 e s: y = −2x − 9
c) r: y − 4 = 5(x − 5) e s: y − 7 = −
1
5
(x + 9)
d) r: y − 8 = 3(x − 2) e s: y + 5 =
1
3
(x − 5)
e) r: 2x + 6y – 7 = 0 e s: 6x – 2y + 2 = 0
f) r: x + 8y – 7 = 0 e s: – x + 8y + 4 = 0
8) Determine a equação geral da reta s que passa pelo ponto P(4,2) e é
perpendicular à reta r de equação 2x – 12y – 6 = 0.
9) Determine a equação geral das retas r e s que passapelo ponto P e Q
respectivamente, tal que r // s, conforme o gráfico abaixo:
10) Determine a equação reduzida das retas r e s, com P e Q pertencentes
a r e r ⊥ s, conforme o gráfico abaixo:
Equação Segmentária da reta
Considere uma reta r não paralela a nenhum dos eixos e que interceptaos
eixos x e y nos pontos A(p,0) eB(0,q) respectivamente, com p ≠ 0 e q ≠ 0.
Note que a equação geral de r é dada por:
|
𝐩 𝟎 𝟏
𝟎 𝐪 𝟏
𝐱 𝐲 𝟏
| = 0, sendo (x,y) um ponto aleatório da reta.
Desenvolvendo o determinante obtemos a equação segmentária da reta r.
daí segue:
|
p 0 1 p 0
0 q 1 0 q
x y 1 x y
| = 0 ⇒ pq – (qx + py) = 0 ⇒ pq – qx – py = 0
⇒ qx + py – pq = 0 ⇒ qx + py = pq.
Agora dividindo toda a equação por pq, obtemos:
𝐪𝐱
𝐩𝐪
+
𝐩𝐲
𝐩𝐪
=
𝐩𝐪
𝐩𝐪
⇒
𝐱
𝐩
+
𝐲
𝐪
= 𝟏 Equação segmentária da reta.
Com a equação segmentária, podemos determinar os pontos de
interseção da reta com os eixos ordenados do plano. O termo que divide x
na equação segmentária é abscissa do ponto de intercessão da reta com o
eixo x, e o termo que divide y é ordenada do ponto de interseção da reta
com o eixo y.
Exemplo1: Escreva a equação segmentária da reta r que passa pelos
pontos A = (7, 0) e B = (0, 4).
Resposta: Substituindo os valores de p = 7 e q = 4 na fórmula da
equação segmentária, obtemos:
𝐱
𝐩
+
𝐲
𝐪
= 𝟏 ⇒
𝐱
𝟕
+
𝐲
𝟒
= 𝟏
Exemplo2: Escreva a equação segmentária da reta r que passa pelos
pontos P e Q, conforme o gráfico abaixo.
Resposta: Note que os pontos P(3,0) e
Q(0,2) intersectam os eixos X e Y
respectivamente, logo: Substituindo os
valores de p = 3 e q = 2 na fórmula da
equação segmentária obtemos:
𝐱
𝐩
+
𝐲
𝐪
= 𝟏 ⇒
𝐱
𝟑
+
𝐲
𝟐
= 𝟏
Exemplo3: Escreva a equação segmentária da retar de equação 3x + 2y –
6 = 0.

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Resposta: Vamos desenvolver a equação do enunciado até sua forma
segmentária. Daí segue que:
3x + 2y – 6 = 0 ⇒ 3x + 2y = 6 ⇒
𝟑𝐱
𝟔
+
𝟐𝐲
𝟔
=
𝟔
𝟔
⇒
𝐱
𝟐
+
𝐲
𝟑
= 𝟏
Exemplo4: Dadas as equações das retas r abaixo. Determine os pontos da
reta r que cortam os eixos X e Y.
a)
𝐱
𝟓
+
𝐲
𝟑
= 𝟏 Resposta: (5,0) corta o eixo X e (0,3) corta o eixo Y.
b) 4x – 8y + 16 = 0. Resposta: Vamos desenvolver a equação do
enunciado até sua forma segmentária. Daí segue que:
4x – 8y + 16 = 0 ⇒ 4x – 8y = –16 ⇒
𝟒𝐱
−𝟏𝟔
−
𝟖𝐲
−𝟏𝟔
=
−𝟏𝟔
−𝟏𝟔
⇒
𝐱
−𝟒
+
𝐲
𝟐
= 𝟏
Logo concluímos que: (-4,0) corta o eixo X e (0,2) corta o eixo Y.
Atividade para entregar:
1) Escreva a equação segmentária da reta r que passapelos pontos A =
(7, 0) e B = (0, 4).
2) Escreva a equação segmentária da reta r que passa pelos pontos P e
Q, conforme o gráfico abaixo.
3) Escreva a equação segmentária da reta r de equação 5x + 15y – 30 =
0.
4) Dadas as equações das retas r abaixo. Determine os pontos dareta r
que cortam o eixo X e o eixo Y.
a)
𝐱
𝟓
+
𝐲
𝟑
= 𝟏
b) 4x – 12y + 26 = 0.
Distância entre ponto e
reta
A distância entre um ponto
P e uma reta s é a distância
do ponto P a um ponto Q,
tal que Q é o “pé da
perpendicular” de s, traçada
pelo ponto P.
Assim, dados um ponto P(x0, y0) e uma reta s: ax + by + c = 0, podemos
calcular a distância d entre o ponto Pe a retas utilizando afórmula abaixo:
d =
|a ∙ x0 + b ∙ y0 + c|
√a2
+ b2
Exemplo1: Determine a distância do ponto P à reta r, sendo:
a) P(-1, -3) e r: 3x – y + 5 = 0.
Resposta: Note que x0 = −1, y0 = −3, a = 3, b = -1 e c = 5. Agora
aplicando os valores na fórmula da distância entre ponto e reta, obtemos:
d =
|a∙x0+b∙y0+c|
√a2 + b2
⇒ d =
|3 ∙ (−1)+(−1)∙ (−3) + 5 |
√32 + (−1)2
⇒ d =
|−3 + 3 + 5 |
√9 + 1
⇒ d =
|5 |
√10
∙
√10
√10
⇒ d =
5√10
10
⇒ d =
√10
2
b) A(2, 3) e r: 6x – 8y + 4 = 0.
Resposta: Noteque x0 = 2,y0 = 3, a = 6, b = -8 e c = 4. Agora aplicando
os valores na fórmula da distância entre ponto e reta, obtemos:
d =
|a∙x0+b∙y0+c|
√a2+b2
⇒ d =
|6 ∙ 2 +(−8)∙ 3 + 4|
√62+(−8)2
⇒ d =
|12 −24+ 4 |
√36 + 64
⇒ d =
|−8 |
√100
⇒ d =
8
10
⇒ d =
4
5
Exemplo2: Determine a distância entre as retas r e s de equações r: y = 3x
– 1 e s: 6x – 2y + 15 = 0, sabendo que elas são paralelas.
Resposta: Como as retas são paralelas, tome um ponto qualquer de uma
das retas. Assim vamos determinar um ponto da reta r. Logo:
Para x = 1 temos que: y = 3x – 1 ⇒ y = 3 ∙ 1 – 1 ⇒ y = 3 – 1 ⇒
y = 2. Portanto o ponto (1,2) pertente a r.
Agora vamos determinar a distância de (1,2) a s. Assim encontramos a
distância entre as retas r e s.
Noteque x0 = 1,y0 = 2, a = 6, b = -2 e c = 15. Agora aplicando os valores
na fórmula da distância entre ponto e reta, obtemos:
d =
|a∙x0+b∙y0+c|
√a2+b2
⇒ d =
|6 ∙ 1 +(−2) ∙ 2 + 15|
√62+ (−2)2
⇒ d =
|6 − 4 + 15 |
√36 + 4
⇒ d =
|17|
√40
∙
√40
√40
⇒ d =
17√40
40
Atividade para entregar:
1) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo:
a) P(5, -3) e r: 8x – 6y + 4 = 0. b)
P(1,3) e r: 5x + 12y – 2 = 0
2) Determine a distância entre as retas r e s de equações r: 3y – 4x + 2 =
0 e s: 3y – 4x – 8 = 0, sabendo que elas são paralelas.

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