GEOMETRIA ANALÍTICA
Distância entre dois pontos
Ponto Médio
Baricentro
Área de um triângulo qualquer
Condição de alin...
Introdução
• A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos
estudos da Geometria atrav...
Distância entre dois pontos
A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da
matemática t...
Vamos representar dois pontos
quaisquer no plano cartesiano.
Portanto, teremos que a distância entre os
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Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto,
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Ponto Médio de um Segmento de Reta
O segmento de reta AB terá um
ponto médio (M) com as
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Exemplo 1
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determine as coordenadas do ponto ...
Baricentro
O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção
civil. No estudo analíti...
Baricentro
Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB, yB)
e C(xC, yC) e baricent...
Baricentro
Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7),
B(5, 3) e C(2, 2).
Solução:...
Área de um Triângulo
na Geometria Analítica
Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analíti...
Área de um Triângulo
na Geometria Analítica
Exemplo 1. Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0...
Área de um Triângulo
na Geometria Analítica
Exemplo 2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-...
Área de um Triângulo
na Geometria Analítica
Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de...
Condição de alinhamento de três
pontos
Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles
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Condição de alinhamento de três
pontos
Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de
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Condição de alinhamento de três
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Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são...
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Geometria analítica

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Geometria analítica

  1. 1. GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre dois pontos Ponto Médio Baricentro Área de um triângulo qualquer Condição de alinhamento de três pontos Ponto e Reta 1Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  2. 2. Introdução • A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas. Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas. • Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia. 2 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  3. 3. Distância entre dois pontos A distância permeia todos os conceitos da geometria analítica, pois nesta área da matemática temos a relação de elementos geométricos com os algébricos, e o elemento básico da geometria é o ponto. Um dos conceitos básicos que vimos na geometria é que a menor distância entre dois pontos é dada por uma reta, contudo, na geometria analítica esses pontos recebem coordenadas no plano cartesiano e por meio dessas coordenadas podemos encontrar o valor da distância entre dois pontos. 3 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  4. 4. Vamos representar dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Portanto, teremos que a distância entre os pontos A e B será a medida do segmento que tem os dois pontos como extremidade. Por se tratar de dois pontos quaisquer, representaremos as coordenadas desses pontos de maneira genérica. 4 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  5. 5. Sabe-se que os eixos coordenados do plano cartesiano são ortogonais, portanto, podemos construir um triângulo retângulo utilizando os pontos A e B, como mostra a figura a seguir. Note que o segmento AB é a hipotenusa do triângulo AOB, e a medida de AB corresponde à distância entre esses dois pontos. Por se tratar de um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, no qual teremos: 5 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  6. 6. Calcule a distância entre os pontos: A (4,5) e B(1,1) e represente-os geometricamente. 6 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  7. 7. Ponto Médio de um Segmento de Reta O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano: 7 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  8. 8. Exemplo 1 Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento. Exemplo 2 Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ. 8 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  9. 9. Baricentro O triângulo é uma figura geométrica muito importante, bastante utilizado na construção civil. No estudo analítico dos triângulos, quando conhecemos as coordenadas dos seus vértices, conseguimos determinar qual é o tipo de triângulo, qual a sua área e quais as coordenadas de seu baricentro. Faremos o estudo de como obter as coordenadas do baricentro do triângulo. Antes, precisamos definir o que é baricentro. Considere o triângulo de vértices A, B e C abaixo. Os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Os segmentos de reta MC, AN e PB são as medianas do triângulo. Denominamos baricentro (G) de um triângulo o ponto de encontro das medianas. 9 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  10. 10. Baricentro Agora vamos considerar um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e baricentro G(xG, yG). 10 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  11. 11. Baricentro Exemplo 1. Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 7), B(5, 3) e C(2, 2). Solução: Vamos calcular as coordenadas do Baricentro do triângulo separadamente, para não haver confusão no entendimento da fórmula, que é muito simples. Sabemos que: Portanto, o baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(3, 4). 11 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  12. 12. Área de um Triângulo na Geometria Analítica Vamos determinar a área de um triângulo do ponto de vista da geometria analítica. Assim, considere três pontos quaisquer, não colineares, A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Como esses pontos não são colineares, ou seja, não estão numa mesma reta, eles determinam um triângulo. A área desse triângulo será dada por: Observe que a área será metade do módulo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. 12 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  13. 13. Área de um Triângulo na Geometria Analítica Exemplo 1. Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6). Solução: Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12. 13 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  14. 14. Área de um Triângulo na Geometria Analítica Exemplo 2. Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4). Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante. 14 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  15. 15. Área de um Triângulo na Geometria Analítica Exemplo 3. Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x. Solução: Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então: 15 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  16. 16. Condição de alinhamento de três pontos Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados. Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados. Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados. Por esse motivo, ao verificar se os três pontos são alinhados, é preciso seguir a seguinte condição: 16 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  17. 17. Condição de alinhamento de três pontos Três pontos não alinhados em um plano cartesiano formam um triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A sua área poderá ser calculada da seguinte forma: Para que exista a área do triângulo esse determinante deverá ser diferente de zero. Caso seja igual a zero os três pontos, que eram os vértices do triângulo, só poderão estar alinhados. Portanto, podemos concluir que três pontos distintos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) estarão alinhados se = 0 17 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade
  18. 18. Condição de alinhamento de três pontos Exemplo1: Verifique se os pontos A(0,5), B(1,3) e C(2,1) são ou não colineares (são alinhados). Exemplo2: Verifique se os pontos A(-1,4), B(5,-2) e C(2,3) são ou não colineares (são alinhados). 18 Profa. Me. Kaline Andreza de França Correia Andrade

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