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PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprenderenderenderenderender GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometria
AnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalítica?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososos
sobrsobrsobrsobrsobreeeee Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica?????
A Geometria Analítica estabelece relações entre
a álgebra e a geometria por meio de equações
e inequações. Isso permite transformar questões
de geometria em questões de análise e vice-
versa.
..................................................
..................................................
A Geometria Analítica, por meio de representações
cartesianas, pode ser usada para indicar a
temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de
Valores, efeitos da natureza etc.
–GEOMETRIAANALÍTICA
Manual de Matemática
474
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-
todo das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-
cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-
sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,
e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistema
cartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas x
e y, chamado origem.
• O par ordenado (x, y) é chamado
coordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
x
2º 1º
3º 4º
Manual de Matemática
475
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos:
A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
DistânciaentreDoisPontos
Dados dois pontos, A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
), definimos dA, B
a distância entre A e
B, como mostra a figura:
A
B
C
y
yB
yA
yB – yA
xB – xA
xA xB x
Manual de Matemática
476
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
2 2 2
AB AC BC
2 2
B A B A
d d d ou
d(AB) (x x ) (y y )
= +
= − + −
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os
pontos no plano cartesiano.
Solução:
2 2
B A B A
2 2
d(A, B) (x x ) (y y )
d(A, B) (1 2) ( 3 3)
d(A, B) 9 36
d(A, B) 45
d(A, B) 3 5
= − + −
= + + − −
= +
=
=
1
1
2
3
–2 –1
–1
–2
–3
x
y
B
A
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.
c) isósceles e não retângulo.
Solução:
Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.
2 2
d(A, B) (3 2) (1 2)
d(A, B) 25 1
d(A, B) 26
= + + −
= +
=
Manual de Matemática
477
2 2
d(B, C) (4 2) ( 4 2)
d(B, C) 36 36
d(B, C) 72
d(B, C) 6 2
= + + − −
= +
=
=
2 2
d(A, C) (4 3) ( 4 1)
d(A, C) 1 25
d(A, C) 26
= − + − −
= +
=
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
( ) ( ) ( )
2 2 2
72 26 26= +
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
PontoMédio
Sendo A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e M(xM
, yM
), o ponto que divide AB ao meio é
chamado ponto médio.
A
M
B
y
yB
yA
yM
xA xB xxM
Manual de Matemática
478
M(xM
, yM
) é o ponto médio do segmento AB .
A B A B
M M
x x y y
x e y
2 2
+ +
= =
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e
B(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:
A B A B
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
4 2 3 1
x y
2 2
x 3 y 1
+ +
= =
+ −
= =
= =
Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-
das de B.
Solução:
Aplicando a fórmula:
A B A B
M M
B B
B B
B
x x y y
x y
2 2
0 x 3 y
6 1
2 2
x 12 2 3 y
y 5
+ +
= =
+ +
= − =
= − = +
= −
B(12, –5)
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da
mediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:
Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
Manual de Matemática
479
Sendo o triângulo ABC:
A
M CB
Devemos calcular o comprimento AM.
Calculando o ponto médio de BC .
B C B C
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
0 4 2 6
x y
2 2
x 2 y 4
+ +
= =
+ +
= =
= =
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:
2 2
d(A, M) ( 1 2) (4 4)
d(A, M) 9
d(A, M) 3
= − − + −
=
=
BaricentrodeumTriângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
Ma
Mc Mb
CB
G
Sendo G(xG
, yG
), podemos definir
A B C
G
A B C
G
x x x
x e
3
y y y
y
3
+ +
=
+ +
=
Manual de Matemática
480
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).
Determine o vértice C.
Solução:
A B C A B C
G G
C C
C C
C C
x x x y y y
x y
3 3
3 1 x 1 2 y
6 8
3 3
18 2 x 24 3 y
x 16 y 27
+ + + +
= =
− + + +
= − =
= + − = +
= = −
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Para que três pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
A A
B B
C C
x y 1
D x y 1 0
x y 1
= =
Obs.:
Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
D =
− −2 6 1
4 8 1
1 7 1
2
4
1
6
8
7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D = 0
Manual de Matemática
481
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)
sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo
é D ≠ 0.
D
m m
=
–
–
–
–
≠
3 1 1
4 2 1
2 1
3
4
1
2
2
0
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0
–3m ≠ –8
3m ≠ 8
8
m
3
≠
Área de um Triângulo
Sendo os pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:
1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos
A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
D = − −
2 0 1
1 3 1
4 5 1
2
1
4
0
3
5
Manual de Matemática
482
D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0
D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do
triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
D a a= −
− − −
−
−
3 1 1
2 1 1
2 3 1
3
2
2
1
1
3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2
D = – 8a + 2
1
A D
2
1
6 8a 2
2
8a 2 12
8a 2 12 8a 2 12
8a 10 8a 14
8a 148a 10
14 7
10 a a
a 8 4
8
5
a
4
=
= − +
− + =
− + = − + = −
− = − = −
== −
− = ⇒ =
=
−
=
Manual de Matemática
483
A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e um ponto qualquer P(xP
, yP
) que
pertença à reta r( AB ).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
A A
B B
P P
x y 1
x y 1 0
x y 1
=
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação
ax + by + c = 0.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(4, –2) e B(3, 6).
Solução:
Substituindo em:
D
x y x y
=
− −
=
4 2 1
3 6 1
1
4
3
2
6 0
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0
–8x – y + 30 = 0
8x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto
A e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-
ver o sistema formado pelas equações dessas retas.
Manual de Matemática
484
Exemplo:
Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
Solução:
Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
0 3 1
4 2 1
1
0
4
3
2 0− − =
x y x y
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0
x – 4y + 12 = 0
reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−5 2
− −
− =
1 2 1
1
1
1
5
2
2 0
x y x y
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0
4x + 6y – 8 = 0
Formando um sistema, temos:
x 4y 12 0 ( 4)
4x 6y 8 0
4x
− + = −

+ − =
− 16y 48 0
4x
+ − =
6y 8 0
22y 56
56 28
y y
22 11


+ − =
=
= ⇒ =
Substituindo y =
28
11
em x – 4y + 12 = 0, temos:
x – 4y + 12 = 0
x – 4 . 28
11
+12 = 0
Manual de Matemática
485
x –
112
11
+12 = 0
x =
112
11
– 12
x =
20
11
−
O ponto de intersecção é
20 28
,
11 11
− 
 
 
.
EquaçãoReduzida
Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
= + →
↓
y mx b coeficiente linear
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,
medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
α
x
B A
B A
y y
m tg ou m
x x
−
= α =
−
Manual de Matemática
486
y
r
α
x
y
r α
x
m > 0 m < 0
y
r
x
y
x
r
m = 0 m não é definido
Exemplos:
1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
B A
B A
y y
m
x x
−
=
−
4 6
m
1 2
2
m
3
−
=
+
−
=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:
Manual de Matemática
487
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
3x 4
y
6 6
1x 2
y
2 3
−
= +
−
= +
em que
1
m
2
= − (coeficiente angular) e
2
b
3
= (coeficiente linear).
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e
B(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar
a definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?
Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.
Manual de Matemática
488
Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0
x – 5y – 15 = 0
–5y = –x + 15
5y = x – 15
1
y x 3
5
= −
EquaçãoSegmentária
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula
x y
1
p q
+ = , em que p
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
y
r
x
(0, q)
(p, 0)
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)
e B(0, 4).
Manual de Matemática
489
Solução:
Aplicando a fórmula:
x y
1
p q
x y x y
1 ou 1
3 4 3 4
+ =
−
+ = + =
−
Equação da reta que passa pelo ponto P(xp
, yp
) e tem
coeficiente angular m
Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-
lar
1
m
2
= − .
Solução:
Seja P(xp
, yp
) um ponto qualquer da reta.
Então p
p p
p
y y
m y y m(x x )
x x
−
= ⇒ − = −
−
(equação da reta)
y – yp
= m(x – xp
)
y – 3 =
1
2
−
(x + 2)
2y – 6 = –x – 2
x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
PosiçõesRelativasentreDuasRetas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem
iguais.
y
s
α
x
r
α
mr
= ms
Manual de Matemática
490
Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares
forem diferentes.
y
s
α
x
r
β
mr
≠ ms
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr
. ms
= – 1 forem
coeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
x
r
mr
. ms
= – 1
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são
paralelas.
Manual de Matemática
491
Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ mr
= 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
y = 3x +
1
3
⇒ ms
= 3
Como mr
= ms
, as retas são paralelas.
2) Determine K, para que as retas l1
: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l2
: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l1
e l2
, temos:
(l1
) (K + 2)x + y + 2 = 0
y = –(K+2)x – 2 1
m (K 2)= − +l
(l2
) 3x + Ky – 1 = 0
Ky = –3x + 1
2
3 1 3
y m
K k K
− −
= + =l
Como as retas l1
e l2
são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1
–(K+2) . 3
K
−
=–1
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
K=
6
4
−
=
3
2
−
Manual de Matemática
492
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que
passa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:
x – 2y + 3 = 0
–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ r
1
m
2
=
1x 3
y
2 2
= +
Como as retas r e s são paralelas, mr
= ms
=
1
2
.
y – yA
= ms
(x – xA
)
y – 2 =
1
2
(x + 1)
2y – 4 = x + 1
–x + 2y – 5 = 0
x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
y
s
x
r
θ1
θ2
θ
Definimos:
r s
r s
m m
tg
1 m m
−
θ=
+ ⋅
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.
Manual de Matemática
493
Solução:
Reduzindo as equações, temos:
(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0
–y = –2x – 1 y = –3x+2
y = 2x +1 ms
= –3
mr
= 2
Aplicando a fórmula:
DistânciaentrePontoeReta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp
, yp
) é dada pela
fórmula:
p p
P, r 2 2
ax by c
d
a b
+ +
=
+
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
Manual de Matemática
494
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:
p/x = 0
2 . 0 + y – 3 = 0
y = 3 P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos
A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do
triângulo.
B
A
CH
h
r
6 – 3 y – 3x – 2y = 0
–3x – 5y + 6 = 0
Manual de Matemática
495
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
Definição
CircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer ponto
da circunferência é chamada raio.
Equação da Circunferência
C
y
y
b
a
r
P(x, y)
x x
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.
Manual de Matemática
496
A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por
x2
+ y2
= r2
.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à
equação geral da circunferência:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
x2
– 2ax + a2
+ y2
– 2by + b2
– r2
= 0
2 2 2 2 2
F
x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =
Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:
• o coeficiente de x2
e y2
seja igual a 1;
• não exista termo na variável x y;
• o raio 2 2
r a b F= + − , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:
(x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9.
Solução:
Comparando as equações:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
e (x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9,obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3
C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e
C(–3, 4).
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 52
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 25
Manual de Matemática
497
3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa
pelo ponto P(3, 0).
Solução:
O ponto P pertence à circunferência.
r
C
P
2 2
d(C, P) r
r ( 2 3) (1 0)
r 25 1
r 26
=
= − − + −
= +
=
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= ( )
2
26
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= 26
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são
os pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:
C(a, b) é o ponto médio de AB .
4 2 2 6
a b
2 2
a 1 b 4
− +
= =
= =
C(1, 4)
r é dado por r = d(C, A).
2 2
r (1 4) (4 2)
r 9 4
r 13
= − + −
= +
=
A equação será (x – 1)2
+ (y – 4)2
= 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro em
C(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Manual de Matemática
498
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)2
+ (y – 3)2
= 42
x2
+ 2x + 1 + y2
– 6y + 9 – 16 = 0
x2
+ y2
+ 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:
Comparando as equações,
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
– r2
= 0 e
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0, temos:
–2a = –4 –2b = –10
2a = 4 2b = 10
a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)
a2
+ b2
– r2
= –7
22
+ 52
– r2
= –7
–r2
= –7 – 29
r2
= 36
r=6
PosiçõesRelativasentreCircunferênciaePonto
Observe a circunferência e os pontos:
C
y
P3
P1
P2
x
Se d(P1
, C) < r, P é interno.
Se d(P2
, C) = r, P ∈ à circunferência.
Se d(P3
, C) >r, P é externo.
Manual de Matemática
499
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-
rência x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
12
+(–1)2
–2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0 P é interior à circunferência.
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
32
+ 42
– 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0 Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-
cia x2
+ y2
+ 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
12
+ 22
+ 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a = 4
PosiçõesRelativasentreRetaeCircunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
C
y
x
a
b
c • a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, pois
não tem ponto em comum com a
circunferência d(C, c) > r.
Manual de Matemática
500
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0
–2a = –6 –2b = –2
2a = 6 2b = 2
a = 3 b = 1
C(3, 1)
a2
+ b2
– r2
= 1
32
+ 12
– r2
= 1
–r2
= –9
r2
= 9
r= 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.
2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência
x2
+ (y – 2)2
= 4.
Determine k.
Solução:
x2
+ (y – 2)2
= 4 C(0, 2) e r = 2
Kx – y = 0
Se a reta é tangente à
circunferência, d(C, s) = r.
Manual de Matemática
501
2
2
2
2
2
2
2
2
K 1
2 K 1 2
K 1 1
K 1 1
K 1 1
K 0 K 0
=
+
+ =
+ =
+ =
+ =
= ⇒ =
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r1
e r2
, os raios das circunferências de centros C1
e C2
e d, a distância
entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-
ferências:
d
C1
r1 r2
C2
As circunferências são
exteriores:
d > r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
As circunferências são
tangentes exteriores:
d = r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
As circunferências são
secantes:
d < r1
+ r2
Manual de Matemática
502
dC1r1
r2
C2
As circunferências são
tangentes interiores:
d = |r1
– r2
|
d
C1 r1
r2
C2
As circunferências são interiores:
d < |r1
– r2
|
Exemplo:
Verifique a posição relativa entre as circunferências
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25 e (x – 3)2
+ (y +2)2
= 9:
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25
C(2, –1) e r1
= 5
(x – 3)2
+ (y +2)2
= 9
C(3, –2) e r2
= 3
2 2
d (3 2) ( 2 1)
d 2
= − + − +
=
|r1
– r2
|=|5 – 3|=|2|=2
r1
+ r2
= 5 + 3 = 8
Portanto, d < |r1
– r2
| e as circunferências são interiores.
Estudo das Cônicas
As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse Hipérbole Parábola
Manual de Matemática
503
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias
de F1
e F2
seja sempre igual a 2a.
a a
aa
c c
b
b
B1
B2
F2F1
A1 A2
Elementos:
A1
, A2
, B1
e B2
são os vértices
a é o semi-eixo maior
b é o semi-eixo menor
c é a semidistância focal
F1
e F2
são os focos
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo maior)
1 2B B = 2b (eixo menor)
AMATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO INTERAGINDO
Podemos observar que a elipse
está presente na trajetória das
órbitas dos planetas em torno do
Sol, e o Sol está posicionado num
dos focos da elipse.
Todos os planetas, com exce-
ção de Plutão, descrevem elipses.
Sol
Planeta
trajetória elíptica
Manual de Matemática
504
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
P(x, y)
A1 A2
F1 (–c, 0) F2 (c, 0) x
y
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
F1
B1 B2
A1
F2
A2
x
y
2 2
2 2
y x
1
a b
+ =
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior horizontal:
P
F1
B1
F2
B2
A2
A1
x0
y0
x
y
c c
C
2 2
0 0
2 2
1 0 0
2 0 0
(x x ) (y y )
1,
a b
em que F(x c, y ) e
F (x c, y )
− −
+ =
−
+
Manual de Matemática
505
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior vertical:
F1
A1
B1
x0
y0
F2
B2
A2
x
y
C
c
c
Relação Fundamental
a2
= b2
+ c2
Excentricidade
Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
c
e=
a
, em que 0 < e < 1.
Exemplos:
1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-
tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.
Solução:
2a = 12 2c = 6
a = 6 c = 3
Aplicando a relação fundamental a2
= b2
+ c2
.
62
= b2
+ 32
b2
= 27
b 27 b 3 3= ⇒ =
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = .
2 2
x y
1
36 27
+ =
Manual de Matemática
506
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a
excentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x2
+ 5y2
= 20
Solução:
Dividindo a equação por 20, temos:
2 2
2 2
x 5y 20
20 20 20
x y
1
20 4
+ =
+ =
a2
= 20
a =
a = eixo maior: 4 5
b2
= 4
b= 2 eixo menor: 2b=4
a2
= b2
+ c2
20 = 4 + c2
c2
= 16
c= ±4
distância focal: 2c = 8
focos F1
(4, 0) e F2
(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b)
2 2
(y 4) (x 2)
1
9 4
− +
+ =
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
+ =
Manual de Matemática
507
a2
= 9
a 9=
a = 3 eixo maior: 2a = 6
b2
= 4
b = 2 eixo menor: 2b = 4
a2
= b2
+ c2
9 = 4 + c2
c2
= 5
c 5= ± distância focal: 2c 2 5=
Os focos têm coordenadas F1
(x0
, y0
+ c) e F2
(x0
, y0
– c). Substitutivo:
F1
(–2, 4 + 5 ) e F2
(–2, 4 – 5 ).
c 5
e e
a 3
= ⇒ =
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo
da diferença das distâncias desses pontos a F1
e F2
seja sempre igual a 2a.
Manual de Matemática
508
Elementos:
A1
e A2
são os vértices
F1
e F2
são os focos
a é o semi-eixo real
b é o semi-eixo imaginário
c é a semidistância focal
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo real)
1 2B B = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
F1 A1 A2
F2
a a
x
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F1
A1
A2
F2
a
c
x 2 2
2 2
y x
1
a b
− =
Manual de Matemática
509
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real horizontal:
F1
y0
x0
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(x x ) (y y )
1
a b
− −
− =
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real vertical:
F1
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
− =
Relação Fundamental
c2
= a2
+ b2
Excentricidade
c
e
a
= , com e > 1
Manual de Matemática
510
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos
real e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
F1 F2 x
y
b
a a
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:
b
y x
a
= ±
• Eixo real vertical e centro na origem:
a
y x
b
= ±
• Eixo real horizontal e C(x0
, y0
):
0 0
b
y y (x x )
a
− = ± −
• Eixo real vertical e C(x0
, y0
):
0 0
a
y y (x x )
b
− = ± −
Manual de Matemática
511
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
F1
F2
A2
A1
x
y
4
2
–2
–4
Solução:
Temos:
a = 2 e c = 4
Pela relação fundamental, temos:
c2
= a2
+ b2
16 = 4 + b2
b2
= 12
Logo:
2 2 2 2
2 2
y x y x
1 1
a b 4 12
− = ⇒ − =
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com
centro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:
2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)
a = 2 b = 4
Manual de Matemática
512
Equação:
2 2 2 2
2 2
x y x y
1 1
a b 4 16
− = ⇒ − =
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de
eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1
(–5, 0).
Solução:
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
2a = 8
a = 4 e c = 5
c2
= a2
+ b2
25 = 16 + b2
b2
= 25 – 16
b2
= 9
2 2
x y
1
16 9
− =
Excentricidade:
c
e
a
5
e
4
=
=
As assíntotas são:
b 3
y x y x
a 4
= ± ⇒ = ±
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da
reta d(diretriz) e do ponto F(foco).
Manual de Matemática
513
y0
x0 x
d
D
P
eixo de
simetria
F
y
V
p
2
p
2
• F é o foco.
• d é a diretriz.
• V é o vértice.
• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.
• V é o ponto médio do DF .
Equação
• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x0
y0
x
y d
0
F
P(x, y)
p
2
Concavidade para a direita:
(y – y0
)2
= 2p(x – x0
)
Se V (0, 0):
(y – 0)2
= 2p(x – 0)
y2
= 2px
Manual de Matemática
514
Concavidade voltada para a esquerda:
(y – y0
)2
= – 2p(x – x0
)
Se V(0, 0):
y2
= –2px
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
x0
y0
x
y
0
F
eixodesimetria
• Concavidade voltada para cima:
(x – x0
)2
= 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x0
)2
= – 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y2
= 12x, determine:
a) o vértice;
Manual de Matemática
515
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y2
= 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.
V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y2
= 2px.
2p = 12 Então,
p
3
2
=
p = 6
p
F , 0 F(3, 0)
2
 
= 
 
c) diretriz
p
D , 0
2
 
− 
 
D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Geometria Analítica (ponto e reta)
1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
10
1
2
3
–4 –3 –2 –1
–1
–2
2 3 4 x
y
A
B
C
D
E
F
G
Manual de Matemática
516
A EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, a
forma do zero mudou de um ponto para
um círculo.
O símbolo maia mais famoso para o
zero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemos
mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o
abajur projeta na parede.
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e
C(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a
mediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-
tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são
A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).
Manual de Matemática
517
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:
a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)
formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:
a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
coeficiente angular igual a
1
3
.
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos
A(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:
a) a equação geral;
b) a equação reduzida;
c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e
C(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são
paralelas. Então:
a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3
b) n = 3m d)
1
m
3
= −
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)
(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-
pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,
3) e C(2, –1). Determine a equação:
Manual de Matemática
518
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –
14 = 0 é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) 2 b)
3
2
c) 10 d) 1 e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos
seguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3 c)
1
C 2,
3
 
 
 
e r = 1
b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c)
1 5
C 1, e r
2 2
− 
= 
 
26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2) b) B(–1, 0)
27)(CESCEM–SP)Oraiodacircunferênciax2
+y2
–4x+6y–3=0éiguala:
a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:
a) (x – 2)2
+ (y – 3)2
≥ 1 b) x2
+ y2
< 81
Manual de Matemática
519
29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada
caso:
a) x – y = 2
x2
+ y2
– 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0
x2
+ y2
– 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6,
1
e
2
= C(0, 0), de eixo maior horizontal
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
2 2
y x
1
25 16
+ = b)
2 2
(x 6) x
1
25 16
−
+ =
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:
a) y2
= 12x b) x2
= 8y
Manual de Matemática
520
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno
P 21 3 5= +
5) a)
3
M 1,
2
 
− 
 
b) M(2,0) 6) CM = 4
7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8)
8 1
G ,
3 3
− 
 
 
9) a) não estão alinhados b) estão alinhados
10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4
12) x – 3y – 15 = 0 13)
x y
1
2 6
+ =
−
14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b)
2 5
y x
3 3
−
= − c)
x y
1
5 5
2 3
+ =
− −
15)
9
A u
2
= 16) e 17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0
20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2
24) a) (x – 1)2
+ (y +2)2
= 9 c)
2
2 1
(x 2) y 1
3
 
− + − = 
 
b) x2
+ (y – 4)2
= 5 d) x2
+ y2
= 27
25) a) x2
+ y2
+ 2x – 2y= 0 c) 2x2
+ 2y2
– 4x + 2y = 0
b) x2
+ y2
+ 4x – 4y + 4 = 0
Manual de Matemática
521
26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência
27) d
28) a) b)
C
y
x2
1
2
3 r = 1
–9 9
y
x
r
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.
b) r é secante à circunferência.
c) r é exterior à circunferência.
31) a) + =
2 2
x y
1
25 4
b)
2 2
x y
1
9 16
+ = c) + =
2 10
y x
8
20 2
32)
7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal 6, F1
(0, –3), F2
(0, 3)
3
e
5
= e
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal = 6, F1
(3, 0), F2
(9, 0) e
3
e
5
= .
34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2

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Por que aprender Geometria Analítica

  • 1. X PPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprenderenderenderenderender GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometria AnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalítica????? Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososos sobrsobrsobrsobrsobreeeee Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica????? A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões de geometria em questões de análise e vice- versa. .................................................. .................................................. A Geometria Analítica, por meio de representações cartesianas, pode ser usada para indicar a temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de Valores, efeitos da natureza etc. –GEOMETRIAANALÍTICA
  • 2. Manual de Matemática 474 Capítulo 1 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé- todo das coordenadas. Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir- cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres- sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos. Estudo do Ponto Sistema Cartesiano Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas, e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistema cartesiano ortogonal. • O ponto 0 é a intersecção das retas x e y, chamado origem. • O par ordenado (x, y) é chamado coordenada do ponto A. Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes. y x 2º 1º 3º 4º
  • 3. Manual de Matemática 475 Exemplo: Represente no plano cartesiano os pontos: A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3). DistânciaentreDoisPontos Dados dois pontos, A(xA , yA ) e B(xB , yB ), definimos dA, B a distância entre A e B, como mostra a figura: A B C y yB yA yB – yA xB – xA xA xB x
  • 4. Manual de Matemática 476 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 2 2 2 AB AC BC 2 2 B A B A d d d ou d(AB) (x x ) (y y ) = + = − + − Exemplos: 1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os pontos no plano cartesiano. Solução: 2 2 B A B A 2 2 d(A, B) (x x ) (y y ) d(A, B) (1 2) ( 3 3) d(A, B) 9 36 d(A, B) 45 d(A, B) 3 5 = − + − = + + − − = + = = 1 1 2 3 –2 –1 –1 –2 –3 x y B A 2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é: a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles. b) retângulo e isósceles. e) n.d.a. c) isósceles e não retângulo. Solução: Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o triângulo. 2 2 d(A, B) (3 2) (1 2) d(A, B) 25 1 d(A, B) 26 = + + − = + =
  • 5. Manual de Matemática 477 2 2 d(B, C) (4 2) ( 4 2) d(B, C) 36 36 d(B, C) 72 d(B, C) 6 2 = + + − − = + = = 2 2 d(A, C) (4 3) ( 4 1) d(A, C) 1 25 d(A, C) 26 = − + − − = + = Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles. Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 72 26 26= + 72 = 26 + 26 72 = 52 (F) Portanto, o triângulo não é retângulo. Resposta: c PontoMédio Sendo A(xA , yA ) e B(xB , yB ) e M(xM , yM ), o ponto que divide AB ao meio é chamado ponto médio. A M B y yB yA yM xA xB xxM
  • 6. Manual de Matemática 478 M(xM , yM ) é o ponto médio do segmento AB . A B A B M M x x y y x e y 2 2 + + = = Exemplos: 1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e B(2, –1). Solução: Substituindo os dados na fórmula: A B A B M M M M M M x x y y x y 2 2 4 2 3 1 x y 2 2 x 3 y 1 + + = = + − = = = = Portanto, M(3, 1). 2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena- das de B. Solução: Aplicando a fórmula: A B A B M M B B B B B x x y y x y 2 2 0 x 3 y 6 1 2 2 x 12 2 3 y y 5 + + = = + + = − = = − = + = − B(12, –5) 3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da mediana referente ao vértice A. Solução: Obs.: Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
  • 7. Manual de Matemática 479 Sendo o triângulo ABC: A M CB Devemos calcular o comprimento AM. Calculando o ponto médio de BC . B C B C M M M M M M x x y y x y 2 2 0 4 2 6 x y 2 2 x 2 y 4 + + = = + + = = = = M(2, 4) A mediana é dada pela d(A, M). Assim: 2 2 d(A, M) ( 1 2) (4 4) d(A, M) 9 d(A, M) 3 = − − + − = = BaricentrodeumTriângulo Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo. A Ma Mc Mb CB G Sendo G(xG , yG ), podemos definir A B C G A B C G x x x x e 3 y y y y 3 + + = + + =
  • 8. Manual de Matemática 480 Exemplo: Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8). Determine o vértice C. Solução: A B C A B C G G C C C C C C x x x y y y x y 3 3 3 1 x 1 2 y 6 8 3 3 18 2 x 24 3 y x 16 y 27 + + + + = = − + + + = − = = + − = + = = − Portanto, C(16, –27). Condição de Alinhamento de Três Pontos Para que três pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) sejam alinhados ou colineares, é necessário que: A A B B C C x y 1 D x y 1 0 x y 1 = = Obs.: Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo. Exemplos: 1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados. Solução: D = − −2 6 1 4 8 1 1 7 1 2 4 1 6 8 7 D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24 D = 0
  • 9. Manual de Matemática 481 Como D = 0, os pontos estão alinhados. 2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2) sejam vértices de um triângulo. Solução: A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo é D ≠ 0. D m m = – – – – ≠ 3 1 1 4 2 1 2 1 3 4 1 2 2 0 6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0 –3m ≠ –8 3m ≠ 8 8 m 3 ≠ Área de um Triângulo Sendo os pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) vértices de um triângulo, podemos calcular a área do triângulo pela fórmula: Exemplos: 1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5). Solução: Calculando o determinante: D = − − 2 0 1 1 3 1 4 5 1 2 1 4 0 3 5
  • 10. Manual de Matemática 482 D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0 D = – 21 2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6. Solução: D a a= − − − − − − 3 1 1 2 1 1 2 3 1 3 2 2 1 1 3 D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2 D = – 8a + 2 1 A D 2 1 6 8a 2 2 8a 2 12 8a 2 12 8a 2 12 8a 10 8a 14 8a 148a 10 14 7 10 a a a 8 4 8 5 a 4 = = − + − + = − + = − + = − − = − = − == − − = ⇒ = = − =
  • 11. Manual de Matemática 483 A Reta Equação Geral da Reta Dados os pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ) e um ponto qualquer P(xP , yP ) que pertença à reta r( AB ). Sabendo que A,B e P são colineares, então: A A B B P P x y 1 x y 1 0 x y 1 = A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação ax + by + c = 0. Exemplo: Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(4, –2) e B(3, 6). Solução: Substituindo em: D x y x y = − − = 4 2 1 3 6 1 1 4 3 2 6 0 24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0 –8x – y + 30 = 0 8x + y – 30 = 0 Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto A e B. Intersecção de Retas Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol- ver o sistema formado pelas equações dessas retas.
  • 12. Manual de Matemática 484 Exemplo: Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2). Solução: Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2): 0 3 1 4 2 1 1 0 4 3 2 0− − = x y x y 0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0 x – 4y + 12 = 0 reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2). −5 2 − − − = 1 2 1 1 1 1 5 2 2 0 x y x y 2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0 4x + 6y – 8 = 0 Formando um sistema, temos: x 4y 12 0 ( 4) 4x 6y 8 0 4x − + = −  + − = − 16y 48 0 4x + − = 6y 8 0 22y 56 56 28 y y 22 11   + − = = = ⇒ = Substituindo y = 28 11 em x – 4y + 12 = 0, temos: x – 4y + 12 = 0 x – 4 . 28 11 +12 = 0
  • 13. Manual de Matemática 485 x – 112 11 +12 = 0 x = 112 11 – 12 x = 20 11 − O ponto de intersecção é 20 28 , 11 11 −      . EquaçãoReduzida Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na forma reduzida, isolando o valor de y. = + → ↓ y mx b coeficiente linear coeficiente angular Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Coeficiente Angular É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas, medido sempre no sentido anti-horário. y r α x B A B A y y m tg ou m x x − = α = −
  • 14. Manual de Matemática 486 y r α x y r α x m > 0 m < 0 y r x y x r m = 0 m não é definido Exemplos: 1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e B(1, 4). Solução: Aplicando a fórmula, temos: B A B A y y m x x − = − 4 6 m 1 2 2 m 3 − = + − = 2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0 Solução: Isolando o valor de y, temos:
  • 15. Manual de Matemática 487 3x + 6y – 4 = 0 6y = –3x + 4 3x 4 y 6 6 1x 2 y 2 3 − = + − = + em que 1 m 2 = − (coeficiente angular) e 2 b 3 = (coeficiente linear). 3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e B(0, –3). Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar a definição de coeficiente angular. Qual será a inclinação da montanha? Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a montanha.
  • 16. Manual de Matemática 488 Solução: Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante. –15 – 2x + 3x – 5y = 0 x – 5y – 15 = 0 –5y = –x + 15 5y = x – 15 1 y x 3 5 = − EquaçãoSegmentária A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula x y 1 p q + = , em que p é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q). y r x (0, q) (p, 0) Exemplo: Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0) e B(0, 4).
  • 17. Manual de Matemática 489 Solução: Aplicando a fórmula: x y 1 p q x y x y 1 ou 1 3 4 3 4 + = − + = + = − Equação da reta que passa pelo ponto P(xp , yp ) e tem coeficiente angular m Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu- lar 1 m 2 = − . Solução: Seja P(xp , yp ) um ponto qualquer da reta. Então p p p p y y m y y m(x x ) x x − = ⇒ − = − − (equação da reta) y – yp = m(x – xp ) y – 3 = 1 2 − (x + 2) 2y – 6 = –x – 2 x + 2y – 4 = 0 (equação da reta) PosiçõesRelativasentreDuasRetas Retas Paralelas Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem iguais. y s α x r α mr = ms
  • 18. Manual de Matemática 490 Retas Concorrentes Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares forem diferentes. y s α x r β mr ≠ ms Retas Perpendiculares Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr . ms = – 1 forem coeficientes angulares inversos e contrários. y s x r mr . ms = – 1 Exemplos: 1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são paralelas.
  • 19. Manual de Matemática 491 Solução: Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos: 3x – y + 2 = 0 –y = –3x – 2 y = 3x + 2 ⇒ mr = 3 –9x + 3y – 1 = 0 3y = 9x + 1 y = 3x + 1 3 ⇒ ms = 3 Como mr = ms , as retas são paralelas. 2) Determine K, para que as retas l1 : (K + 2)x + y + 2 = 0 e l2 : 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares. Solução: Reduzindo as retas l1 e l2 , temos: (l1 ) (K + 2)x + y + 2 = 0 y = –(K+2)x – 2 1 m (K 2)= − +l (l2 ) 3x + Ky – 1 = 0 Ky = –3x + 1 2 3 1 3 y m K k K − − = + =l Como as retas l1 e l2 são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1 –(K+2) . 3 K − =–1 3K+6=–K 3K+K=–6 4K=–6 K= 6 4 − = 3 2 −
  • 20. Manual de Matemática 492 3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que passa pelo ponto A(–1, 2). Solução: Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida: x – 2y + 3 = 0 –2y = – x – 3 2y = x + 3 ⇒ r 1 m 2 = 1x 3 y 2 2 = + Como as retas r e s são paralelas, mr = ms = 1 2 . y – yA = ms (x – xA ) y – 2 = 1 2 (x + 1) 2y – 4 = x + 1 –x + 2y – 5 = 0 x – 2y + 5 = 0 Ângulo entre Duas Retas Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si: y s x r θ1 θ2 θ Definimos: r s r s m m tg 1 m m − θ= + ⋅ Exemplo: Determine o ângulo formado pelas retas: (r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.
  • 21. Manual de Matemática 493 Solução: Reduzindo as equações, temos: (r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0 –y = –2x – 1 y = –3x+2 y = 2x +1 ms = –3 mr = 2 Aplicando a fórmula: DistânciaentrePontoeReta A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp , yp ) é dada pela fórmula: p p P, r 2 2 ax by c d a b + + = + Exemplos: 1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1). Solução: Aplicando a fórmula, temos:
  • 22. Manual de Matemática 494 2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0 Solução: Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância. Tomando a reta r, determinamos o ponto: p/x = 0 2 . 0 + y – 3 = 0 y = 3 P(0, 3) Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0. 3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3). Solução: Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do triângulo. B A CH h r 6 – 3 y – 3x – 2y = 0 –3x – 5y + 6 = 0
  • 23. Manual de Matemática 495 Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r. Circunferência Definição CircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da circunferência). r r r r r C A distância de C a qualquer ponto da circunferência é chamada raio. Equação da Circunferência C y y b a r P(x, y) x x C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.
  • 24. Manual de Matemática 496 A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por x2 + y2 = r2 . Equação Geral da Circunferência Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à equação geral da circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 2 2 2 2 2 F x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − = Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que: • o coeficiente de x2 e y2 seja igual a 1; • não exista termo na variável x y; • o raio 2 2 r a b F= + − , sendo r >0. Exemplos: 1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é: (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9. Solução: Comparando as equações: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 e (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9,obtemos: a = 2, b = –1 e r = 3 C(2, –1) e r = 3 2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e C(–3, 4). Solução: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x + 3)2 + (y – 4)2 = 52 (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25
  • 25. Manual de Matemática 497 3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa pelo ponto P(3, 0). Solução: O ponto P pertence à circunferência. r C P 2 2 d(C, P) r r ( 2 3) (1 0) r 25 1 r 26 = = − − + − = + = (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x + 2)2 + (y – 1)2 = ( ) 2 26 (x + 2)2 + (y – 1)2 = 26 4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são os pontos A (4, 2) e B(–2, 6). Solução: C(a, b) é o ponto médio de AB . 4 2 2 6 a b 2 2 a 1 b 4 − + = = = = C(1, 4) r é dado por r = d(C, A). 2 2 r (1 4) (4 2) r 9 4 r 13 = − + − = + = A equação será (x – 1)2 + (y – 4)2 = 13. 5) Determine a equação geral da circunferência com centro em C(–1, 3) e r = 4. Solução: (x – a)2 + (y – b)2 = r2
  • 26. Manual de Matemática 498 Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida: (x+1)2 + (y – 3)2 = 42 x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0 x2 + y2 + 2x – 6y – 6 = 0 6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0. Solução: Comparando as equações, x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 e x2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0, temos: –2a = –4 –2b = –10 2a = 4 2b = 10 a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5) a2 + b2 – r2 = –7 22 + 52 – r2 = –7 –r2 = –7 – 29 r2 = 36 r=6 PosiçõesRelativasentreCircunferênciaePonto Observe a circunferência e os pontos: C y P3 P1 P2 x Se d(P1 , C) < r, P é interno. Se d(P2 , C) = r, P ∈ à circunferência. Se d(P3 , C) >r, P é externo.
  • 27. Manual de Matemática 499 Exemplos: 1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe- rência x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0. Solução: x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação, 12 +(–1)2 –2 . 1+4(–1)–10=0 –14 < 0 P é interior à circunferência. x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4) 32 + 42 – 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0 25> 0 Q é exterior à circunferência. 2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên- cia x2 + y2 + 3x – 6y – a = 0. Solução: Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter: 12 + 22 + 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0 a = 4 PosiçõesRelativasentreRetaeCircunferência Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir: C y x a b c • a é secante à circunferência, pois a intercepta em dois pontos d(C, a) < r. • b é tangente à circunferência, pois b a intercepta em um ponto d(C, b) = r. • c é exterior à circunferência, pois não tem ponto em comum com a circunferência d(C, c) > r.
  • 28. Manual de Matemática 500 Exemplos: 1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0? Solução: Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência: x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0 –2a = –6 –2b = –2 2a = 6 2b = 2 a = 3 b = 1 C(3, 1) a2 + b2 – r2 = 1 32 + 12 – r2 = 1 –r2 = –9 r2 = 9 r= 3 Calculando a distância de C à reta r, temos: Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência. 2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência x2 + (y – 2)2 = 4. Determine k. Solução: x2 + (y – 2)2 = 4 C(0, 2) e r = 2 Kx – y = 0 Se a reta é tangente à circunferência, d(C, s) = r.
  • 29. Manual de Matemática 501 2 2 2 2 2 2 2 2 K 1 2 K 1 2 K 1 1 K 1 1 K 1 1 K 0 K 0 = + + = + = + = + = = ⇒ = Posições Relativas de Duas Circunferências Dados r1 e r2 , os raios das circunferências de centros C1 e C2 e d, a distância entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun- ferências: d C1 r1 r2 C2 As circunferências são exteriores: d > r1 + r2 d C1 r1 r2 C2 As circunferências são tangentes exteriores: d = r1 + r2 d C1 r1 r2 C2 As circunferências são secantes: d < r1 + r2
  • 30. Manual de Matemática 502 dC1r1 r2 C2 As circunferências são tangentes interiores: d = |r1 – r2 | d C1 r1 r2 C2 As circunferências são interiores: d < |r1 – r2 | Exemplo: Verifique a posição relativa entre as circunferências (x – 2)2 + (y +1)2 = 25 e (x – 3)2 + (y +2)2 = 9: (x – 2)2 + (y +1)2 = 25 C(2, –1) e r1 = 5 (x – 3)2 + (y +2)2 = 9 C(3, –2) e r2 = 3 2 2 d (3 2) ( 2 1) d 2 = − + − + = |r1 – r2 |=|5 – 3|=|2|=2 r1 + r2 = 5 + 3 = 8 Portanto, d < |r1 – r2 | e as circunferências são interiores. Estudo das Cônicas As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois são obtidas pela intersecção de um plano e um cone. Elipse Hipérbole Parábola
  • 31. Manual de Matemática 503 Elipse Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias de F1 e F2 seja sempre igual a 2a. a a aa c c b b B1 B2 F2F1 A1 A2 Elementos: A1 , A2 , B1 e B2 são os vértices a é o semi-eixo maior b é o semi-eixo menor c é a semidistância focal F1 e F2 são os focos 1 2F F = 2c (distância focal) 1 2A A = 2a (eixo maior) 1 2B B = 2b (eixo menor) AMATEMÁTICA E A ASTRONOMIA ESTÃO INTERAGINDO Podemos observar que a elipse está presente na trajetória das órbitas dos planetas em torno do Sol, e o Sol está posicionado num dos focos da elipse. Todos os planetas, com exce- ção de Plutão, descrevem elipses. Sol Planeta trajetória elíptica
  • 32. Manual de Matemática 504 Equações • Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal: P(x, y) A1 A2 F1 (–c, 0) F2 (c, 0) x y 2 2 2 2 x y 1 a b + = • Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical: F1 B1 B2 A1 F2 A2 x y 2 2 2 2 y x 1 a b + = • Elipse de centro fora da origem C(x0 , y0 ) e eixo maior horizontal: P F1 B1 F2 B2 A2 A1 x0 y0 x y c c C 2 2 0 0 2 2 1 0 0 2 0 0 (x x ) (y y ) 1, a b em que F(x c, y ) e F (x c, y ) − − + = − +
  • 33. Manual de Matemática 505 • Elipse de centro fora da origem C(x0 , y0 ) e eixo maior vertical: F1 A1 B1 x0 y0 F2 B2 A2 x y C c c Relação Fundamental a2 = b2 + c2 Excentricidade Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e o semi-eixo maior. c e= a , em que 0 < e < 1. Exemplos: 1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon- tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6. Solução: 2a = 12 2c = 6 a = 6 c = 3 Aplicando a relação fundamental a2 = b2 + c2 . 62 = b2 + 32 b2 = 27 b 27 b 3 3= ⇒ = Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo 2 2 2 2 x y 1 a b + = . 2 2 x y 1 36 27 + =
  • 34. Manual de Matemática 506 2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a excentricidade de cada uma das elipses abaixo: a) x2 + 5y2 = 20 Solução: Dividindo a equação por 20, temos: 2 2 2 2 x 5y 20 20 20 20 x y 1 20 4 + = + = a2 = 20 a = a = eixo maior: 4 5 b2 = 4 b= 2 eixo menor: 2b=4 a2 = b2 + c2 20 = 4 + c2 c2 = 16 c= ±4 distância focal: 2c = 8 focos F1 (4, 0) e F2 (–4, 0) – eixo maior horizontal. b) 2 2 (y 4) (x 2) 1 9 4 − + + = Solução: A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical. 2 2 0 0 2 2 (y y ) (x x ) 1 a b − − + =
  • 35. Manual de Matemática 507 a2 = 9 a 9= a = 3 eixo maior: 2a = 6 b2 = 4 b = 2 eixo menor: 2b = 4 a2 = b2 + c2 9 = 4 + c2 c2 = 5 c 5= ± distância focal: 2c 2 5= Os focos têm coordenadas F1 (x0 , y0 + c) e F2 (x0 , y0 – c). Substitutivo: F1 (–2, 4 + 5 ) e F2 (–2, 4 – 5 ). c 5 e e a 3 = ⇒ = Hipérbole Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
  • 36. Manual de Matemática 508 Elementos: A1 e A2 são os vértices F1 e F2 são os focos a é o semi-eixo real b é o semi-eixo imaginário c é a semidistância focal 1 2F F = 2c (distância focal) 1 2A A = 2a (eixo real) 1 2B B = 2b (eixo imaginário) Equações • Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x: F1 A1 A2 F2 a a x 2 2 2 2 x y 1 a b − = • Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y: F1 A1 A2 F2 a c x 2 2 2 2 y x 1 a b − =
  • 37. Manual de Matemática 509 • Hipérbole de centro C(x0 , y0 ) e eixo real horizontal: F1 y0 x0 F2 x y 2 2 0 0 2 2 (x x ) (y y ) 1 a b − − − = • Hipérbole de centro C(x0 , y0 ) e eixo real vertical: F1 F2 x y 2 2 0 0 2 2 (y y ) (x x ) 1 a b − − − = Relação Fundamental c2 = a2 + b2 Excentricidade c e a = , com e > 1
  • 38. Manual de Matemática 510 Hipérbole Eqüilátera Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos real e imaginário iguais, ou seja, a = b. Equações das Assíntotas da Hipérbole Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. F1 F2 x y b a a b Equações • Eixo real horizontal e centro na origem: b y x a = ± • Eixo real vertical e centro na origem: a y x b = ± • Eixo real horizontal e C(x0 , y0 ): 0 0 b y y (x x ) a − = ± − • Eixo real vertical e C(x0 , y0 ): 0 0 a y y (x x ) b − = ± −
  • 39. Manual de Matemática 511 Exemplos: 1) Determine a equação da hipérbole abaixo: F1 F2 A2 A1 x y 4 2 –2 –4 Solução: Temos: a = 2 e c = 4 Pela relação fundamental, temos: c2 = a2 + b2 16 = 4 + b2 b2 = 12 Logo: 2 2 2 2 2 2 y x y x 1 1 a b 4 12 − = ⇒ − = 2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com centro na origem e eixo imaginário 2b = 8. Solução: 2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário) a = 2 b = 4
  • 40. Manual de Matemática 512 Equação: 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 1 a b 4 16 − = ⇒ − = 3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1 (–5, 0). Solução: 2 2 2 2 x y 1 a b − = 2a = 8 a = 4 e c = 5 c2 = a2 + b2 25 = 16 + b2 b2 = 25 – 16 b2 = 9 2 2 x y 1 16 9 − = Excentricidade: c e a 5 e 4 = = As assíntotas são: b 3 y x y x a 4 = ± ⇒ = ± Parábola Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da reta d(diretriz) e do ponto F(foco).
  • 41. Manual de Matemática 513 y0 x0 x d D P eixo de simetria F y V p 2 p 2 • F é o foco. • d é a diretriz. • V é o vértice. • a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro. • V é o ponto médio do DF . Equação • Eixo de simetria paralelo ao eixo x: x0 y0 x y d 0 F P(x, y) p 2 Concavidade para a direita: (y – y0 )2 = 2p(x – x0 ) Se V (0, 0): (y – 0)2 = 2p(x – 0) y2 = 2px
  • 42. Manual de Matemática 514 Concavidade voltada para a esquerda: (y – y0 )2 = – 2p(x – x0 ) Se V(0, 0): y2 = –2px • Eixo de simetria paralelo ao eixo y: x0 y0 x y 0 F eixodesimetria • Concavidade voltada para cima: (x – x0 )2 = 2p(y – y0 ) Se V(0, 0): x2 = 2py • Concavidade voltada para baixo: (x – x0 )2 = – 2p(y – y0 ) Se V(0, 0): x2 = –2py Exemplo: Dada a parábola de equação y2 = 12x, determine: a) o vértice;
  • 43. Manual de Matemática 515 b) o foco; c) a diretriz. a) vértice y2 = 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita. V(0, 0): b) foco A parábola é do tipo y2 = 2px. 2p = 12 Então, p 3 2 = p = 6 p F , 0 F(3, 0) 2   =    c) diretriz p D , 0 2   −    D(–3, 0) e a equação é x = –3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica (ponto e reta) 1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G. 10 1 2 3 –4 –3 –2 –1 –1 –2 2 3 4 x y A B C D E F G
  • 44. Manual de Matemática 516 A EVOLUÇÃO DO ZERO Desde os indianos até os árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo. O símbolo maia mais famoso para o zero era uma elipse com forma de olho. MATEMÁTICA DO ABAJUR Quando acendemos a luz de um abajur, podemos mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o abajur projeta na parede. 2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14). 3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4). 4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e C(–2, –6). Calcule seu perímetro. 5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos: a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2) 6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a mediana CM do triângulo. 7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep- tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4). 8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).
  • 45. Manual de Matemática 517 9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos: a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1) 10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1) formem vértices de um triângulo. 11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos: a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1) 12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem coeficiente angular igual a 1 3 . 13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–2, 0) e B(0, 6). 14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine: a) a equação geral; b) a equação reduzida; c) a equação segmentária. 15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e C(0, –2). 16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são paralelas. Então: a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3 b) n = 3m d) 1 m 3 = − 17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s) (K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes. 18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per- pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0. 19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1, 3) e C(2, –1). Determine a equação:
  • 46. Manual de Matemática 518 a) da reta AB; b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB . 20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0. 21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y – 14 = 0 é igual a: a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18 22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10? a) 2 b) 3 2 c) 10 d) 1 e) 2 23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0. Geometria Analítica (circunferência e elipse) 24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(1, –2) e r = 3 c) 1 C 2, 3       e r = 1 b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3= 25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos: a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c) 1 5 C 1, e r 2 2 −  =    26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência x2 + y2 – 6x – 2y – 3 = 0. a) A(1, –2) b) B(–1, 0) 27)(CESCEM–SP)Oraiodacircunferênciax2 +y2 –4x+6y–3=0éiguala: a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16 28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades: a) (x – 2)2 + (y – 3)2 ≥ 1 b) x2 + y2 < 81
  • 47. Manual de Matemática 519 29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferência x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0: a) está situado no centro. b) é interno à circunferência e fora do centro. c) está situado na curva. d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− . e) n.d.a. 30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada caso: a) x – y = 2 x2 + y2 – 8x + 4y + 18 = 0 b) x – y + 1 = 0 x2 + y2 – 10y + 15 = 0 c) x + 2y + 1 = 0 (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos: a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical c) a = 6, 1 e 2 = C(0, 0), de eixo maior horizontal 32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6. 33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses. a) 2 2 y x 1 25 16 + = b) 2 2 (x 6) x 1 25 16 − + = 34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo: a) y2 = 12x b) x2 = 8y
  • 48. Manual de Matemática 520 Respostas 1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0) 2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno P 21 3 5= + 5) a) 3 M 1, 2   −    b) M(2,0) 6) CM = 4 7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8) 8 1 G , 3 3 −      9) a) não estão alinhados b) estão alinhados 10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4 12) x – 3y – 15 = 0 13) x y 1 2 6 + = − 14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b) 2 5 y x 3 3 − = − c) x y 1 5 5 2 3 + = − − 15) 9 A u 2 = 16) e 17) K ≠ –3 18) x + 4y + 5 = 0 19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0 20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2 24) a) (x – 1)2 + (y +2)2 = 9 c) 2 2 1 (x 2) y 1 3   − + − =    b) x2 + (y – 4)2 = 5 d) x2 + y2 = 27 25) a) x2 + y2 + 2x – 2y= 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 2y = 0 b) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0
  • 49. Manual de Matemática 521 26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência 27) d 28) a) b) C y x2 1 2 3 r = 1 –9 9 y x r 29) b 30) a) r é exterior à circunferência. b) r é secante à circunferência. c) r é exterior à circunferência. 31) a) + = 2 2 x y 1 25 4 b) 2 2 x y 1 9 16 + = c) + = 2 10 y x 8 20 2 32) 7 4 33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8, distância focal 6, F1 (0, –3), F2 (0, 3) 3 e 5 = e b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8, distância focal = 6, F1 (3, 0), F2 (9, 0) e 3 e 5 = . 34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2