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Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas
2º Ano
Apostila de Matemática # 3
Assunto:
Geometria Analítica
Organização: PET-CT
Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas
Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 2
1 INTRODUÇÃO
Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-Exacta, projeto que foi idealizado
pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O
projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,
física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o
projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-
las.
Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se
tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor
aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em
capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e
exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é
extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que
forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos
professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida.
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Capítulo 1 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO E
EQUAÇÃO DA RETA
1. Noções básicas:
René Descartes (1596-1650) físico, filósofo e matemático foi o autor da idéia simples,
porém genial, de localizar um ponto qualquer P do espaço em um plano por meio,
apenas, de um par de números e de um ponto referencial O, chamado de Origem.
Esse plano é definido por duas retas perpendiculares, eixo x e eixo y, e concorrentes no
ponto O. Para representar o ponto P são traçadas retas paralelas a x e y que passa pelo
ponto P, de forma que as interseções com os eixos x e y é respectivamente P1 e P2.
Assim, o ponto P é localizado por um par ordenado P(xp, yp), onde xp é a distância do
ponto P ao eixo y, ou seja, a distância OP1 e yp é a distância do ponto P ao eixo x, a
distância OP2. Observe a figura:
-Abscissa do ponto P: É o número real xp, que indica a distância orientada de P ao eixo
y.
Se xp > 0 → quantas unidades de P está a direita da origem.
Se xp < 0 → quantas unidades de P está a esquerda da origem.
Se xp = 0 → indica que P está sobre o eixo y.
-Ordenada do ponto P: É o número real yp, que indica a distância orientada de P ao
eixo x.
Se yp > 0 → quantas unidades de P está acima da origem.
Se yp < 0 → quantas unidades de P está abaixo da origem.
Se yp = 0 → indica que P está sobre o eixo x.
-Plano cartesiano ortogonal:
É o plano xOy, definido pelos eixos x e y
-Coordenadas cartesianas de P:
É o par ordenado (xp, yp)
-Eixo das abscissas(eixo x):
É a reta orientada OX
-Eixo das ordenadas (eixo y):
É a reta orientada OY
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Exercício resolvido 1:
Analise a figura, abaixo, e dê as coordenadas cartesianas dos pontos destacados:
Solução:
A(1,2); B(-1,2); C(-1,-2); D(1,-2); E(1,0) e F(0,2).
Observe que a ordem do par ordenado é importante, assim cada par ordenado representa
um ponto especifico do plano. Ex: o par ordenado (2,3) representa um ponto diferente
do par ordenado (3,2) no plano cartesiano.
2. Posições de um ponto em relação ao sistema cartesiano:
2.1 Quadrantes do plano:
Os eixos perpendiculares x e y definem o plano cartesiano e o dividi em quatro partes
ângulares, denominadas de quadrantes.
E fica evidente que:
P ϵ 1° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≥ 0
P ϵ 2° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≥ 0
P ϵ 3° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≤ 0
P ϵ 4° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≤ 0
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2.2 Bissetriz dos quadrantes:
Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, tiver
coordenadas iguais:
P ϵ b13 ↔ xp = yp
Isso significa que a bissetriz dos quadrantes ímpares b13 é o conjunto de pontos de
coordenadas iguais:
b13 = {(a,a) / a ϵ R}.
E um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas
opostas:
P ϵ b13 ↔ xp = -yp
Isso significa que a bissetriz dos quadrantes pares é o conjunto de pontos de
coordenadas opostas:
b13 = {(a,-a) / a ϵ R}.
3. Exercícios propostos:
1) Dados os pontos P(x + 5; 2y) e Q(15; y + 6) determine x e y para que:
a) P pertença ao terceiro quadrante.
b) Q pertença ao quarto quadrante.
c) P pertença ao eixo das abscissas
2) Dados os pontos M(2x + 6; x + 4) e N(y – 12; 2y + 6) determine x e y para que:
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a) M a bissetriz dos quadrantes ímpares e N a bissetriz dos quadrantes pares
b) M e N sejam iguais
3) Sejam Q simétrico ao ponto P(x, y) em relação ao eixo das abscissas e R
também simétrico à P(x, y) em relação ao eixo das ordenadas. Então está correto
que:
a) Q(-x, y)
b) Q(x, -y) e R(-x, y)
c) Q(x, -y) e R(-x, -y)
d) Q(x, -y) e R(-x, y)
4. Distância entre dois pontos:
Considere dois pontos distintos, A(x1 ,y1) e B(x2 ,y2), pertencentes ao plano cartesiano, a
distância entre elas é a medida do segmento de reta que os ligam, indicada por d(A,B):
Observe na figura o triângulo retângulo ABC. Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se
que:
(dab) 2
= (CA)2
+(CB)2
, onde CA = x2 - x1 e PB = y2 – y1 .
Logo: d2
ab = (x2 – x1)2
+ (y2 – y1)2
dab = ± (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Note que:
dab ≥ 0
(x2 – x1)2
= (x1 - x2)2
=(∆𝑥)2
e
(y2 – y1)2
= (y1 - y2)2
=(∆𝑦)2
Assim: 𝑑 𝑎𝑏 = ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2
Exercício Resolvido 2:
Calcule as medidas dos lados do triângulo cujos vértices são A(-2, 3), B(1, 3) e C(1, -1).
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Solução:
dab = −2 − 1 2 + 3 − 3 2 = 9 = 3
dac = −2 − 1 2 + 3 + 1 2 = 25 = 5
dbc = 1 − 1 2 + 3 + 1 2 = 16 = 4
5. Exercícios propostos:
4) Sendo A(3, 1), B( 4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto
ao seus lados e ângulos.
5) Calcule a distância de P(3, -4) à origem do sistema cartesiano.
6) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é
retângulo.
7) Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é
equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5)
8) Dados A(5, -2) e B(4, -1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os
outros dois vértices do mesmo.
6. Seguimento Orientado:
6.1 Definição:
Dado um seguimento de reta AB pode-se orientá-lo com um sentido de A para B ou de
B para A. Adotando o sentido de A para B obtém-se um seguimento orientado AB de
origem em A.
6.2 Razão de um seguimento:
Considere três pontos colineares A, B, e C com A ≠ B ≠ C, chama-se de razão entre os
seguimentos orientados AB e AC o número r tal que:
r =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
Pode-se calcular r em função das coordenadas de A, B e C, usando a formula da
distância de dois pontos, assim:
r =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑥 𝑏 −𝑥 𝑎
2+ 𝑦 𝑏 −𝑦 𝑎
2
(xc – xb)2 + (yc - yb)2
Ao traçarmos os seguimentos AB e BC no plano cartesiano, pode-se, ainda, deduzir
que:
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𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎
𝑥 𝑐 − 𝑥 𝑏
E/ou que:
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎
𝑦𝑐 − 𝑦 𝑏
Exercício Resolvido 3:
Obtenha as coordenadas do ponto C da reta AB, sabendo que A = (1, 5), B = (4, 17) e r
=
𝐴𝐶
𝐶𝐵
= 2.
Solução:
r =
𝑥 𝑐−𝑥 𝑎
𝑥 𝑏 −𝑥 𝑐
=
𝑥−1
4−𝑥
= 2
→ x - 1 = 8 - 2x → x = 3
r =
𝑦 𝑐−𝑦 𝑎
𝑦 𝑏 −𝑦 𝑐
=
𝑦−5
17−𝑦
= 2
→ y - 5 = 34 – 2y → y = 13
Então C = (3, 13).
6.3 Ponto médio de um seguimento:
Se a razão de seguimento
𝐴𝑃
𝑃𝐵
, for igual a 1, significa que P divide igualmente o
seguimento AB. Dessa forma P = M , ponto médio do seguimento AB.
Deduz que:
𝐴𝑃
𝑃𝐵
= 1 =
𝐴𝑀
𝑀𝐵
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
𝑥 𝑚 −𝑥 𝑎
𝑥 𝑏 −𝑥 𝑚
= 1
→ 𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑚
Logo, 𝑥 𝑚 =
𝑥 𝑏−𝑥 𝑎
2
Analogamente,
𝑦 𝑚 =
𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎
2
7. Exercícios propostos:
9) Dados A(5, 3) e B(-1,-3), seja C a intercessão da reta AB com o eixo das
abscissas. Calcule a razão AC/CB.
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10) Determine as coordenadas que dividem AB em quatro partes iguais, quando
A(3,-2) e B(15, 10)
11) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os
pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).
12) Se M(1, 1), N(0, 3) e P (-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC, e CA,
respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C.
13) O baricentro de um triângulo é G 5, 1 e dois de seus vértices são A(9, -3) e
B(1, 2). Determine o terceiro vértice
8. Condição de alinhamento de três pontos:
Sabe-se que por dois pontos distintos passa uma reta, logo esses dois pontos sempre
estarão alinhados, mas qual é a condição para que três pontos distintos estejam
alinhados?
Considere três distintos pontos A(xa,, ya), B(xb, yb) e C(xc,, yc) alinhados, ou seja,
pertencentes a uma mesma reta no plano cartesiano.
Pela figura encontra-se que os triângulos ABD e BCE são semelhantes, assim:
𝐴𝐷
𝐵𝐸
=
𝐵𝐷
𝐶𝐸
𝑥 𝑏 −𝑥 𝑎
𝑥 𝑐−𝑥 𝑏
=
𝑦 𝑏−𝑦 𝑎
𝑦 𝑐−𝑦 𝑏
→ (xb – xa)(yc – yb) = (xc – xb)(yb – ya)
→ (xb – xa)(yc – yb) - (xc – xb)(yb – ya) = 0
A igualdade acima pode ser escrita assim:
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Isso porque esse determinante é equivalente ao primeiro termo da equação anterior.
Daí tem-se, finalmente, que três pontos A(x1,, y1), B(x2,, y2), C(x3,, y3) são colineares se,
e somente se:
9. Exercícios propostos:
14) Os pontos A(2, 7); B(-3, 0) e C são colineares?
15) Se o ponto (q, -4) pertence a reta que passa pelos pontos (0, 6); (6, 0). Determine
q.
16) Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta a
bissetriz dos quadrantes ímpares.
17) Determine P(x, y) colinear simultaneamente com A(0, 3) e B(1, 0) e com C(1, 2)
e D(0, 1).
10. Equação geral da reta:
Considere a reta r na figura, definida por dois pontos de coordenadas conhecidas, A(xa,,
ya) e B(xb, yb):
Sendo P um ponto qualquer dessa reta. Como os pontos P, A e B são colineares, tem-se
que:
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Assim,
𝑦1 𝑥 + 𝑥2 𝑦 + 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦2 𝑥 = 0 → 𝑦1 − 𝑦2 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 + 𝑥1 𝑦2
− 𝑥2 𝑦1
= 0
Fazendo: 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑎
𝑥2 − 𝑥1 = 𝑏
𝑥1 𝑦2
− 𝑥2 𝑦1
= 𝑐
Obtém-se a equação geral da reta:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
Onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observe que a e b não pode ser
simultaneamente nulos.
Dessa forma, tem-se que toda reta possui uma equação da forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,
sendo a e b não simultaneamente nulos, que é chamada de equação geral da reta.
Observações:
1) Se a = 0, y = −
𝑐
𝑏
e essa reta é horizontal, paralela ao eixo x;
2) Se b = 0, y = −
𝑐
𝑎
e essa reta é vertical, paralela ao eixo y;
3) Se c =0, ax – by = 0 e essa reta passa pela origem.
Exercício resolvido 4:
Obter a equação geral da reta que passa nos pontos A e B(4,6). Sendo o ponto A
interseção das retas de equações 2x + y – 6 =0 e 2x – y – 6 =0.
Solução:
1. As coordenadas do ponto A são solução do sistema:
2x + y = 6 → x = 3 e y = 0
2x – y = 6 A(3,0)
2. Sendo P(x,y) o ponto genérico da reta r procurada A, B e P respeitam a condição
de alinhamento
3 0 1
4 6 1
𝑥 𝑦 1
= 0
→ 18 + 4y – 6x – 3y = 0
→ y – 6x + 18 = 0
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11. Exercícios propostos:
18) Dados os pontos A(1, 2), B(2, 2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa
por A e pelo ponto médio do segmento BC.
19) A reta determinada por A(p, q) e B(7, 3) passa pela origem. Qual é a relação
entre p e q?
20) Determine a interseção das retas x -5y = 14 e 3x + 2y = -9.
21) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são a interseções das retas x + y
= 6, x = 1 e y = 1.
12. Posições relativas de duas retas:
Dadas duas retas r e s cujas equações são
(r) a1x + b1y = c1
(s) a2x + b2y = c2
Elas podem ocupar somente três posições relativas ao plano cartesiano. Essas posições
são definidas com base no número de pontos comuns às duas retas.
Pode-se observar no exercício resolvido anterior, que o ponto de interseção de duas
retas deve obedecer as equações de ambas as retas. Logo, obtêm-se os pontos que
intercedem às retas r e s resolvendo um sistema com as equações dessas retas Assim:
-r e s são concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par
ordenado localizado na interseção das duas retas, logo, essas retas só possuem um ponto
em comum.
-r e s paralelas e distintas: quando o sistema não admite solução, assim não existe
ponto em comum nessas retas.
-r e s paralelas e coincidentes: quando o sistema possui infinitas soluções, assim essas
retas são iguais, pois possui os mesmos pontos.
r x s r ∩ s = 0 r = s
Para que esses três casos ocorram é necessário que:
r x s ↔
𝑎1
𝑎2
≠
𝑏1
𝑏2
(concorrentes)
r∩s=0 ↔
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
(paralelas e distintas)
r = s ↔
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
(coincidentes)
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Exercício resolvido 5:
Determine a posição relativa da reta r, de equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação a reta s
de equação 4x – 6y - 1 = 0.
Solução:
𝑎1
𝑎2
=
2
4
= 0,5
𝑏1
𝑏2
=
−3
−6
= 0,5
𝑐1
𝑐2
=
5
−1
= −5
Logo, ao compararmos, tem-se que
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
≠
𝑐1
𝑐2
, portanto são paralelas.
13. Exercícios propostos:
22) Qual a posição relativa entre as retas 3x – y – 7 = 0 e 6x -2y + 17 = 0
23) Para que valores de k as retas ( k + 1)x + 10y - 1 = 0 e 8x + (k - 1)y + 1 = 0 são
paralelas
14. Formas da equação da reta:
Neste item serão apresentadas diferentes e importantes formas da equação da reta,
observe:
1) Forma geral:
Viu-se que dada uma reta r, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo
𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, denominada de equação geral da reta.
2) Forma reduzida:
Dada a equação geral da reta r, se b ≠ 0, tem-se que:
→ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
→ 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐
→𝑦 = −
𝑎
𝑏
𝑥 + −
𝑐
𝑏
Chamando −
𝑎
𝑏
de m e −
𝑐
𝑏
de n. encontra-se:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏
Essa ultima equação, expressa y em função de x e é conhecida como equação reduzida
da reta r.
Exemplo: dada a equação geral da reta (s) 4x – 2y + 32 = 0 a equação reduzida desta é
y = 2x + 16.
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3) Forma segmentaria:
Essa forma representa retas definidas pelos pontos que interceptam os eixos cartesianos.
Considere uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos Q(0, q), interseção
com o eixo y e P(p,0), interseção com o eixo x.
Assim,
𝑥 𝑦 1
0 𝑞 1
𝑝 0 1
= 0
→ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 − 𝑝𝑞 = 0
→ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑝𝑞
→
𝒙
𝒑
+
𝒚
𝒒
= 𝟏
Essa ultima é a equação segmentária da reta r.
Exercício resolvido 6:
Determine a equação segmentária e geral da reta que passa pelos pontos R(3, 0) e F(0,
4).
Solução:
A equação segmentária é
𝑥
3
+
𝑦
4
= 1
Para encontrar a equação geral basta multiplicar de forma a eliminar os denominadores:
Multiplicando por 3 → 𝑥 +
3𝑦
4
= 3
Multiplicando por 4 → 4𝑥 + 3𝑦 = 12
Logo a equação geral é 4𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0
Exercício resolvido 7
Obter a equação segmentária da reta:
(s) 7x + 11y + 3 = 0.
Solução
7x + 11y = -3
→−
7
3
𝑥 −
11
3
𝑦 = 1
→
𝑥
−
3
7
+
𝑦
−
3
11
= 1 (equação segmentária)
4) Forma paramétrica:
Diferente das equações anteriores, a equação paramétrica não relaciona diretamente
entre si as coordenadas x e y.
Essas equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada de parâmetro
da equação. Assim x e y são dados em função de t:
x = f(t)
y = g(t), onde t ∈ 𝑅
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Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas tem que
eliminar o parâmetro t das duas equações.
Exercício resolvido 8:
Determine a equação geral da reta definida por:
x = 4 + 2t
y = 1 – t (𝑡 ∈ 𝑅)
Solução:
Vamos eliminar o parâmetro P para encontrar a equação geral:
Vem que t = 1 – y
Substituindo t na primeira equação:
x = 4 + 2(1 - y)
x = 4 + 2 -2y
2y +x -2 = 0 (equação geral da reta)
15. Exercícios propostos:
24) Dada a reta r que passa pelos pontos (3, 2) e (1, 0), dê sua expressão na forma
reduzida
25) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determine a equação segmentária da reta AB.
26) Dadas as equações paramétricas de uma reta (r) x = 10t – 2 e y = 3t, obtenha sua
equação segmentária
27) Qual é a posição relativa das retas (r)
𝑥
2
3
+
𝑦
−2
= 1 e
(s)x = t – 1, y = 3t - 2 ?
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16. Gabaritos:
1. a) x ≤ -5 e y ≤ 0
b) y ≤ -6
c)y = 0 e x ϵ R
2. a) x = -2 e y = 2
b) x = −
38
3
e y = −
22
3
.
3. Item d
4. Triângulo isósceles obtusângulo
5. 5
6. Para um triangulo ser retângulo o teorema de Pitágoras é verdadeiro, o que pode-
se verificar ao calcular a distância de cada vértice para outro e verificar o
teorema.(𝑑 𝑐𝑎
2
= 𝑑 𝑎𝑏
2
+ 𝑑 𝑐𝑏
2
)
7. P (
29
2
, 0 )
8. C(3, -2) D(4, -3) ou
C(5, 0) D(6, -3)
9. 1
10. (6, 1); (9, 4) e (12, 7)
11. dam = 5
12. A(-1, 0); B(3, 2); (-3, 4)
13. C(5, 4)
14. Não
15. q = 10
16. (2, 2)
17.
1
2
,
3
2
18. 3x + 4y -11 = 0
19. 7q - 3p = 0
20. (-1, -3)
21. 4( 2 + 2)
22. Paralelas distintas
23. -9 ou 9
24. y =
1
2
𝑥 −
1
2
25.
𝑥
−3
+
𝑦
5
= 1
26.
𝑥
−2
+
𝑦
3
5
= 1
27. Paralelas e distintas
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Capítulo 2 - TEOREMA ANGULAR
Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que
passa por esses dois pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a
necessidade de duas informações e dois conceitos importantes: o coeficiente angular da
reta e o coeficiente linear da reta.
1. Coeficiente angular
Consideremos o ângulo formado no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo
Ox até uma reta qualquer. Vejamos os exemplos a seguir:
Lembrete! Temos sempre 0º ≤ θ < 180º
Sendo θ o ângulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta o
número real m tal que: m = tg θ; θ ≠ 90º
Assim temos:
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Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois
quaisquer de seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos
pontos (x1,y1) e (x2, y2). O triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 -
y1 e o cateto horizontal igual a x2- x1. Dividindo o cateto vertical pelo horizontal,
obtemos a fórmula do coeficiente angular:
m =
𝒚 𝟐− 𝒚 𝟏
𝒙 𝟐− 𝒙 𝟏
= tg α
Preferimos a notação:
m =
𝜟𝒚
𝜟𝒙
(Δx ≠ 0)
em que Δx e Δy são, respectivamente, a diferença de abscissas e a diferença de
ordenadas entre A e B.
Por exemplo, o declive de reta que passa pelos pontos A(2,4) e B(4,10) é:
𝑚 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
(10 − 4)
(4 − 2)
= 3
Imagine que agora conhecemos a equação geral de uma reta: ax + by + c =0. Vamos
calcular o coeficiente angular dessa reta. Lembremos que, dados A(xA,yA) e B(xB,yB)
pertencentes à reta, a equação geral é:
Assim temos que: (yA – yB) = a e (xB – xA) = b. Logo:
𝑚 =
𝑦 𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴
= −
𝑎
𝑏
, 𝑏 ≠ 0
Por exemplo, o coeficiente angular da reta (r) 3 x – 3y + c = 0 é:
𝑚 = −
𝑎
𝑏
= −
3
−3
=
3
3
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No caso da equação geral da reta: ax + by + c = 0, podemos obter a equação reduzida da
reta. Isolando y e dividindo tudo por b teremos:
𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 => 𝑦 =
−𝑎
𝑏
𝑥 −
𝑐
𝑏
Como sabemos, m =
−𝑎
𝑏
. Podemos então definir n =
−𝑐
𝑏
e chamá-lo de coeficiente linear
da reta. Assim teremos a equação reduzida: y = mx + n
Exercícios:
1. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(3,0)
2. Qual o coeficiente angular da reta 5x + 3y + 13 = 0?
3. Calcule o coeficiente angular das retas:
a) 2x + 5 = 2y c) x = 9
b) x = 5t d) 3y = -5
y = 2 – 3t
4. Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC. Determine o
coeficiente angular da reta que contém a mediana obtida a partir do vértice A.
2. Equação de uma reta passando por P(x0,y0)
Seja r uma reta cujo coeficiente angular é igual a m. Sendo P(x0,y0) um ponto que
pertença a esta reta (P ∈ r) e um ponto Q(x,y) qualquer de r, tal que Q ≠ P. Podemos
escrever:
𝑚 =
𝛥𝑦
𝛥𝑥
=
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
=> 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0
Vemos que podemos determinar a equação de uma reta dados apenas seu coeficiente
angular e um ponto conhecido.
Exercício Resolvido:
Determine a equação geral da reta s sabendo que ela passa pelo ponto P(2,6) e que seu
coeficiente angular é m = 2.
Solução: y – y0 = m.(x – x0) => y – 6 = 2.(x – 2) => y – 6 = 2x – 4 => y = 2x + 2
Logo, s: y = 2x + 2.
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Obs.: Caso a reta seja reta seja perpendicular ao eixo dos x, sua equação será dada por:
𝑥 = 𝑥0
Pois nesse caso α = 90° e o coeficiente angular da reta não existe.
Exercícios
5. Dê a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2,-5) e tem coeficiente
angular −
4
5
6. Determine a equação da reta que passa por P e tem inclinação α em relação ao
eixo dos x nos casos seguintes:
a) P(-1,8) e α = 60° c) P(3,-1) e α = 0°
b) P(3,-5) e α = 90° d) P(2,-2) e α = arc tg 3
7. Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em P(-3,2)?
3. Condição de paralelismo
“Duas retas, r e s, não verticais, são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes
angulares são iguais.”
𝑟//𝑠 ⇔ 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑟
Demonstração
r // s ⇔ 𝛼 𝑟 = 𝛼 𝑠 ⇔ 𝑡𝑔 𝛼 𝑟 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑠 ⇔ 𝒎 𝒓 = 𝒎 𝒔
Exercício Resolvido:
Verifique se as retas (r) 3x + 6y - 1 = 0 e (s) 2x + 4y + 7 = 0 são paralelas.
Solução:
mr = −
𝑎1
𝑏1
= −
3
6
= −
1
2
ms = −
𝑎2
𝑏2
= −
2
4
= −
1
2
Como mr = ms, temos que as duas retas são paralelas.
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Exercício Resolvido:
Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s paralela à r e que passa
pelo ponto P(6,-5).
Solução:
Como as retas r e s são paralelas temos que mr = ms. Assim ms = mr = −
5
7
Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é:
𝑦 − (−5) = −
5
7
∙ (𝑥 − 6) ⇒ 7𝑦 + 35 = −5𝑥 + 30
𝑠: 5𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0
Exercícios
8. A reta y = mx – 5 é paralela À reta 2y = -3x + 1. Determine m.
9. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1,1) e é paralela à reta
y = -2x +1?
10. Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de
coordenadas (2,3) e (1,-4) passando pela origem.
11. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,4) e é paralela à bissetriz
do 2° quadrante.
12. Determine a equação da reta (s) que contém P(-5,4) e é paralela à reta (r) cujas
equações paramétricas são x = 3t e y = 2 – 5t.
13. Os pontos M, N, P e Q são os vértices de um paralelogramo situado no 1°
quadrante. Sendo M(3,5), N(1,2) e P(5,1), determine o vértice Q.
4. Condição de perpendicularismo
“Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto
de seus coeficientes angulares é -1.”
r ┴ s ⇔ mr . ms = -1
Demonstração
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1ª Parte: r ┴ s ⇒ mr . ms = -1
Da figura acima temos que: β = α + 90°
𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 – 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = −
1
𝑡𝑔 𝛼
=>
𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛼 = −1 => 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 = −1
2ª Parte: mr . ms = -1⇒ r ┴ s
Como mr.ms = -1, temos que mr ≠ ms, portanto as retas r e s são concorrentes e formam
um ângulo θ tal que:
𝛽 = 𝛼 + 𝜃 (1)
Temos também que:
𝑚 𝑟 = −
1
𝑚 𝑠
=> 𝑡𝑔 𝛽 = −
1
𝑡𝑔 𝛼
=> 𝑡𝑔 𝛽 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90° =>
𝛽 = 𝛼 + 90° (2)
Comparando (1) e (2) temos que θ = 90°. Logo r ┴ s.
Exercício Resolvido:
Verifique se as retas (r) 3x + 2y - 1 = 0 e (s) 4x - 6y + 3 = 0 são perpendiculares.
Solução:
mr = −
𝑎1
𝑏1
= −
3
2
ms = −
𝑎2
𝑏2
= −
4
−6
=
2
3
Como mr . ms = -1, temos que as duas retas são perpendiculares.
Exercício Resolvido:
Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s perpendicular à r e que
passa pelo ponto P(6,-5).
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Solução:
Como as retas r e s são perpendiculares temos que mr . ms = -1. Assim ms =
7
5
Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é:
𝑦 − −5 =
7
5
∙ 𝑥 − 6 ⇒ 5𝑦 + 25 = 7𝑥 − 42
𝑠: 7𝑥 − 5𝑦 − 67 = 0
Exercícios
14. Determine p de modo que as retas (r) -2x + (p - 7)y + 3 = 0 e (s) px + y – 13 = 0
sejam perpendiculares.
15. Se
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1 e Ax + By + c = 0 são retas perpendiculares, calcule bA + aB.
16. Qual o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (-2,-1) e
(8,3)?
17. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5,4) e é perpendicular à reta
5x – 4y + 7 = 0.
18. Determine a equação da reta perpendicular à reta x = y e que passa pela
intesecção das retas 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0.
19. Determine o pé da perpendicular baixada de P(-2,1) sobre (r) 2x – y – 20 = 0
20. Qual é o ponto simétrico de P(2,3) com relação à reta y = x – 3?
21. Determine a reta s, simétrica de (r) x – y + 1 = 0 em relação a (t) 2x + y + 4 = 0
5. Ângulo de duas retas
Dadas duas retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, vamos calcular os
ângulos que elas determinam.
Se r // s ou r ┴ s, o problema é imediato; portanto deixaremos esses dois casos de lado.
Quando duas retas são concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a dois
opostos pelos vértices (e congruentes).
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1º Caso: uma das retas (s, por exemplo) é vertical.
𝜃 + 𝛼 = 90° => 𝜃 = 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼
𝑡𝑔 𝜃 =
1
𝑡𝑔 𝛼
=> 𝑡𝑔 𝜃 =
1
𝑚 𝑟
Assim, para que θ seja agudo devemos ter: 𝑡𝑔 𝜃 = |
1
𝑚 𝑟
|
Resumo:
Dadas r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o
módulo do inverso do declive da outra.
2° Caso: nenhuma das retas é vertical
𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 =
𝑡𝑔 𝛼2 − 𝑡𝑔 𝛼1
1 + 𝑡𝑔 𝛼2 ∙ 𝑡𝑔 𝛼1
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟
1 + 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠
Para obtermos sempre o ângulo agudo entre as duas retas devemos então ter:
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟
1 + 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠
Resumo
Dadas r e s, se as duas têm coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o
modulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao produto dos declives.
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Exemplos
1°) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas: (r) 3x – y + 5 = 0 e (s) 2x + y + 3 = 0
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟
1 + 𝑚 𝑠 ∙ 𝑚 𝑟
=> 𝑡𝑔 𝜃 =
−2 − 3
1 + −2 . 3
=> 𝑡𝑔 𝜃 =
−5
−5
= 1 => 𝜃 =
𝜋
4
2°) Idem para (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (s) 6x - 4y + 5 = 0
𝑚 𝑟 = −
2
3
𝑒 𝑚 𝑠 =
3
2
=> 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 = −1 => 𝑟 é 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑠 => 𝜃 =
𝜋
2
3°) Idem para (r) 4x + 2y – 1 = 0 e (s) 3x – 4 = 0
𝑚 𝑟 = −2 𝑒 ∄𝑚 𝑠 => 𝑡𝑔 𝜃 =
1
𝑚 𝑟
=
1
−2
=
1
2
=> 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
1
2
4º) Idem para (r) 5x + 2y = 0 e (s) 10x + 4y – 7 = 0
𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑠 = −
5
2
=> 𝑟 𝑒 𝑠 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 => 𝜃 = 0°
Exercício Resolvido
Obter a reta s que passa pelo ponto P(6,-5) e que forma um ângulo de 45° com a reta
r: 5x + 7y + 1 = 0
Solução:
mr = −
𝑎
𝑏
= −
5
7
𝑡𝑔 𝜃 =
𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟
1 + 𝑚 𝑠 ∙ 𝑚 𝑟
=> 𝑡𝑔 45° =
𝑚 𝑠 − −
5
7
1 + 𝑚 𝑠 ∙ −
5
7
=> 1 =
7𝑚 𝑠. + 5
7 − 5𝑚 𝑠
1 =
(7𝑚 𝑠 + 5)²
(7 − 5𝑚 𝑠)²
=> 49 − 70𝑚 𝑠 + 25𝑚 𝑠² = 49𝑚 𝑠² + 70𝑚 𝑠 + 25
24𝑚 𝑠² + 140𝑚 𝑠 − 24 = 0 => 𝑚 𝑠 = −6 𝑜𝑢 𝑚 𝑠 =
1
6
Como s passa por P, podemos chegar a duas soluções nesse caso:
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1ª:
𝑦 − (−5) =
1
6
∙ (𝑥 − 6) => 6𝑦 + 30 = 𝑥 − 6 => 𝑥 − 6𝑦 − 36 = 0
2ª:
𝑦 − (−5) = −6. (𝑥 − 6) => 𝑦 + 5 = −6𝑥 + 36 => 6𝑥 + 𝑦 − 31 = 0
Exercícios
22. Qual é a tangente do ângulo formado pelas retas 3x + 2y + 2=0 e –x + 2y +5 =0?
23. Calcule o ângulo agudo formado pelas seguintes retas:
a) (r) x + 2y – 3 = 0 e (s) 2x + 3y – 5 = 0
b) (r) x.cos 60° + y.sen 60° = 6 e (s) 3y - 2 = 0
24. Conduza por P(0,0) as retas que formam ângulo 𝜃 =
𝜋
4
com (r) 6x + 2y – 3 = 0
25. Dados o ponto (5,4) e a reta (r) 2x – y + 7 = 0, conduza as seguintes retas por P:
s paralela a r
t perpendicular a r
u formando θ = arc tg 3 com r
v paralela ao eixo Ox
z paralela ao eixo Ou
26. Seja r a reta que passa pelos pontos (3,5) e (7,0). Obtenha a equação da reta s
simétrica de r em relação à reta x = 7.
6. Gabaritos
1) -1
2) -5/3
3) a) 1b) -3/5
c) não existe d) 0
4) 2
5) 4x + 5y + 17 = 0
6) a) 3 x – y + 8 + 3 = 0 b) x – 3 = 0
c) y + 1 = 0 d) 3x – y – 8 = 0
7. y – 2 = m.(x + 3) ou x + 3 = 0
8. m = -3/2
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9. y = -2x + 3
10. 7x – y = 0
11. x + y – 7 = 0
12. 5x + 3y + 13 = 0
13. Q (7,4)
14. P = -7
15. 0
16. -5/2
17. 4x + 5y = 0
18. 7x + 7y – 6 = 0
19. (8,-4)
20. (6,-1)
21. x – 7y – 3 = 0
22. 8
23. a) θ = arc tg (1/8) b) θ = 30°
24. x + 2y = 0 ou 2x – y = 0
25. (s) -2x + y + 6 = 0; (t) x + 2y – 13 = 0; (u) x + y – 9 = 0 ou x + 7y – 33 = 0; (v) y
– 4 = 0; (z) x – 5 = 0
26. 5x – 4y – 35 = 0
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Capítulo 3 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
1. Distância entre ponto e reta
Calculemos a distância entre a origem O e uma reta r cuja equação geral é:
ax + by + c = 0 (1)
Devemos primeiramente achar a reta s que passa pela origem e é perpendicular a r:
r ┴ s:
𝑚 𝑟. 𝑚 𝑠 = −1 =>
−𝑎
𝑏
∙ 𝑚 𝑠 = −1 => 𝑚 𝑠 =
𝑏
𝑎
Equação de s sabendo que passa pela origem:
𝑦 − 0 =
𝑏
𝑎
∙ 𝑥 − 0 =>
𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 (2)
Devemos achar então o ponto Q(x0,y0) resultante da interceptação das duas retas:
b.x0 – a.y0 = 0 => y0 =
𝑏
𝑎
∙ x0
a.x0 + b.y0 = - c => a.x0 + b ∙
𝑏
𝑎
∙ x0 = - c => 𝑥0 =
−𝑎.𝑐
𝑎2+ 𝑏2
e 𝑦0 =
−𝑏.𝑐
𝑎2+ 𝑏2
A distância entre a origem e o ponto Q corresponde a distância entre a origem e a reta r,
logo temos que d² = OQ²:
𝑑 𝑂,𝑟
2
= 𝑥0 − 0 2
+ 𝑦0 − 0 2
= 𝑥0
2
+ 𝑦0
2
=
𝑎2
. 𝑐2
𝑎2 + 𝑏2 2
+
𝑏2
. 𝑐2
𝑎2 + 𝑏2 2
=>
𝑑 𝑂,𝑟
2
=
𝑎2
+ 𝑏2
. 𝑐²
𝑎2 + 𝑏2 2
=
𝑐²
𝑎² + 𝑏²
=>
𝒅 𝑶,𝒓 =
𝒄
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
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Assim, por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 25 = 0 à origem é dada por:
𝑑 𝑂,𝑟 =
−25
32 + 42
=
−25
5
=
25
5
= 5
*Translação de sistema
Sejam P(x,y) e O´
(x0,y0) dois pontos referidos a um sistema cartesiano xOy.
Se x´O´y´ é um sistema tal que x´// x e y´ // y e x´e y´ têm respectivamente o mesmo
sentido positivo de x,y, dizemos que x´O´y´ foi obtido por uma translação de xOy.
Nosso objetivo é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no “novo” sistema
x´O´y´ e no “antigo” xOy.
Assim temos que:
Eixo – x:
𝑂𝑃1 = 𝑂𝑂1
´
+ 𝑂1
´
𝑃1 => 𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒙´
Eixo – y:
𝑂𝑃2 = 𝑂𝑂2
´
+ 𝑂2
´
𝑃2 => 𝒚 = 𝒚 𝟎 + 𝒚´
Queremos agora a distância entre um ponto P(x0,y0) e uma reta r: ax + by + c = 0
A idéia é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzida
anteriormente. Dando uma translação no sistema xOy de modo que P seja a origem do
sistema x‟Py‟, determinemos a equação da reta r no novo sistema, sabendo que x é da
forma x0 + x‟ e y é da forma y0 + y‟ nesse sistema de coordenadas.
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 => 𝑎. 𝑥′
+ 𝑥0 + 𝑏. 𝑦′
+ 𝑦0 + 𝑐 = 0 =>
=> 𝑎𝑥′
+ 𝑏𝑦′
+ 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0
Veja que na nova equação da reta r temos que ax‟ + by‟ + c‟ = 0, com
c’ = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
Conforme deduzido anteriormente, temos que a distância entre P e r é:
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𝑑 𝑃,𝑟 =
𝑐′
𝑎2 + 𝑏2
donde vem a fórmula:
𝒅 𝑷,𝒓 =
𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 + 𝒄
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
Por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x - 4y + 2 = 0 ao ponto P(2,-3) é dada por:
𝑑 𝑃,𝑟 =
3. 2 − 4. −3 + 2
32 + 42
=
20
5
=
20
5
= 4
Lembre-se que a distância d é, em qualquer caso, um número real não negativo, isto é:
d ≥ 0 quaisquer que sejam P e r.
Uma aplicação notável da fórmula da distância entre ponto e reta é o seguinte problema:
calcular a distância entre as retas paralelas:
(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c‟ = 0
A distância entre r e s é igual a distância de um ponto qualquer P ∈ s até a reta r. Então:
1º) seja P(x0,y0) pertencente a s
P ∈ s => 𝑎x0 + by0 + c′
= 0 => ax0 + by0 = −c′
2º) a distância de P até r é:
𝑑 𝑃,𝑟 =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
=
(−𝑐′
) + 𝑐
𝑎2 + 𝑏2
Então vem a fórmula:
𝒅 𝒓,𝒔 =
𝒄 − 𝒄′
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
Exercícios
1) Seja P o ponto de coordenadas (4,3) num sistema cartesiano ortogonal oxy.
Se OXY é um novo sistema de coordenadas obtido do anterior por uma
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translação da origem para de o para O(2,-1), determine as coordenadas de P
no novo sistema.
2) Calcule a distância do ponto (-2,3) ao eixo das ordenadas.
3) Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:
a) P(2,0) e (r) 2x + 3y -5 = 0
b) P(1,0) e (r) x + 3y – 5 = 0
4) Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(-3,0),
B(0,0) e C(6,8)
5) O ponto P(0,0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não
adjacentes a P sobre a reta x – 2y + 5 = 0. Qual a área do quadrado?
6) Calcule a distância entre as retas
(r) 3x + 4y – 13 = 0 e (s) 3x + 4y + 7 = 0
7) Determine as equações das retas que formam 45° com o eixo dos x e estão à
distância 2 do ponto P(3,4).
2. Área do triângulo
Calculemos a área do triângulo cujos vértices são:
A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3)
Sabemos que a área do triângulo é dada por : área =
1
2
∙ base ∙ altura
No caso do nosso triângulo temos: S =
1
2
∙ BC ∙ AH
BC é facilmente calculada pela fórmula da distância entre dois pontos. Logo:
𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥3
2 + (𝑦2 − 𝑦3)²
Em seguida devemos achar a distância entre A e H, encontrando primeiramente a
equação da reta BC e em seguida utilizando a fórmula da distância entre o ponto A e a
reta BC.
Equação da reta BC:
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Cálculo da distância do ponto A à reta BC:
substituindo a, b e c pelos seus respectivos valores, teremos:
𝐴𝐻 = 𝑑 =
𝑦2− 𝑦3 𝑥1+ 𝑥3− 𝑥2 𝑦1+ 𝑥2 𝑦3− 𝑥3 𝑦2
𝑦2− 𝑦3
2+ 𝑥3− 𝑥2
2
=
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
𝑦2− 𝑦3
2+ 𝑥3− 𝑥2
2
Fazendo DABC =
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1
𝑥3 𝑦3 1
, temos:
S =
1
2
∙ BC ∙ AH =
1
2
∙ 𝑥2 − 𝑥3
2 + (𝑦2 − 𝑦3)² ∙
| DABC |
𝑥2 − 𝑥3
2 + (𝑦2 − 𝑦3)²
donde vem a fórmula:
𝑺 =
𝟏
𝟐
∙ | 𝑫 𝑨𝑩𝑪 |
Por exemplo, a área do triângulo cujos vértices são A(4,1), B(-2,3) e C(0,-6) é:
DABC =
𝑥 𝐴 𝑦𝐴 1
𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 1
𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 1
=
4 1 1
−2 3 1
0 −6 1
= 36 + 2 + 12 = 50
𝑆 =
1
2
∙ 𝐷𝐴𝐵𝐶 =
1
2
∙ 50 = 25
Observações:
1. Para todo triângulo ABC, a área é um número real S > 0.
2. Se A, B e C são colineares, isto é, se não existe o triângulo ABC, temos DABC=0
e S = 0.
3. A unidade de área, raramente indicada nos problemas de geometria analítica, é o
quadrado da unidade de comprimento utilizada nos eixos.
Exercícios
8) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(a+1, a+2), B(a, a-1) e
C(a+2,a).
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9) Determine a área do triângulo ABC, onde A, B e C são, respectivamente, os
pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(1,-5),N(3,3) e P(9,-5)
10) Calcule a área do triângulo determinado pelas retas de equações y = 2x, y =
𝑥
2
e x = 4.
11) Calcule a área do quadrilátero ABCD, dados A(0,0), B(4,-2), C(6,8) e D(0,4)
12) Os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m,n), nessa ordem, formam um
paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do
paralelogramo ABCD.
13) Determine y de modo que o triângulo de vértices A(1,4), B(4,1) e C(0,y)
tenha área igual a 6.
14) Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 12, sabendo
que A(0,-1), B é a intersecção da reta (r) x + y – 2 = 0 com o eixo dos x e
𝐶 ∈ 𝑟.
15) Obtenha uma reta que passe por P(1,1) e defina com os eixos coordenados
um triângulo de área 2, no primeiro quadrante.
3. Gabaritos
1) (2,4)
2) 2
3) a) 13 / 13 b) 2. 10 / 5
4) AH = 12 / 5
5) 5
6) Dr,s = 4
7) x – y + 3 = 0 ou x – y – 1 = 0
8) 5 / 2
9) 8
10) 12
11) 34
12) (AD) 2x – y = 0 e área = 5
13) y = 9 ou y = 1
14) (10,-8) ou (-6,8)
15) x + y – 2 = 0
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Capítulo 4 - CIRCUNFERÊNCIAS
1. Definição e Equação Reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que apresentam a mesma
distância a um ponto fixo, denominado centro da circunferência. Observe a
circunferência abaixo:
Figura 1: Todos os pontos situados na linha azul pertencem a circunferência, pois distam igualmente do ponto C. Tal
distância é o raio, simbolizado por „‟r‟‟.
Matematicamente, a circunferência pode ser representada por uma equação. Com o
auxílio da figura abaixo, podemos averiguar que, dado um ponto P (x, y) pertencente à
circunferência, se usarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo abaixo,temos:
Figura 2: Demonstração da equação da circunferência
2 2 2
( ) ( )x a y b r    (1)
Essa equação é chamada equação da circunferência. Perceba que o ponto (a,b) é o
centro da circunferência, e „‟r‟‟, o raio da mesma.
Exercício Resolvido: Determine as coordenadas do centro e o raio da seguinte
circunferência:
2 2
( 4) ( 5) 4x y   
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Solução: O centro nada mais é do que os valores que estão subtraindo x e y, assim as
coordenadas do centro são: (4,5). O raio é o valor que se encontra ao quadrado, do outro
lado da equação. Logo, r = 2.
Exercícios:
1. Determine a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos:
a) C(3,5) e r = 7
b) C(0,0) e r = 9
c) C(-3,5) e r = 1
2. Qual a equação da circunferência de centro C(2,-1) que passa por P(3,3) ?
3. Qual a equação da circunferência de centro C(-2,5) que é tangente ao eixo das
ordenadas?
2. Equação Normal
A partir da equação da circunferência mostrada acima, obtemos:
2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 )x ax a y by b r     
Que equivale à:
2 2 2 2 2
2 2 ( ) 0x y ax by a b r      
Exercício Resolvido: Determine o centro e o raio da circunferência abaixo:
2 2
2 2 7 0x y x y    
Solução: Note que a equação acima equivale a:
2 2
( 1) ( 1) 9x y   
Assim, representa uma circunferência de C(1,1) e r = 3.
3. Reconhecimento
Conforme foi visto acima, uma circunferência pode ser representada por uma equação
do segundo grau. Contudo, quando saber se uma equação do segundo grau do tipo
mostrado abaixo, representa ou não uma circunferência?
2 2
0Ax By Cxy Dx Ey F     
Bem, para tal equação representar uma circunferência, precisamos ter as seguintes
condições:
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- Os coeficientes de x2
e y2
são iguais
- Não existe termo misto xy
- E se o raio for real e positivo
Agora, você pode estar se perguntando: como, a partir de tal equação, calcular o raio, e
o centro?
A resposta é dada pelas equações abaixo:
Sendo A = B = 1 (o que ocorre na maioria dos casos), temos que:
2 2
, ,
2 2
D E
a b r a b F      
Exercícios Resolvidos:
1- A equação 2 2
2 2 2 0x y x y     representa uma circunferência?
Solução: Bem, verificamos que os coeficientes de x2
e y2
são iguais, e que não existe
termo misto. Vamos, então, calcular o raio. Note que: 1
2
D
a    ; 1
2
E
b    .
Logo:
2 2
1 1 2 0r a b F      
Perceba que não existe circunferência de raio zero, logo, a equação não representa
uma circunferência.
2- Obter o centro e o raio da circunferência cuja equação é:
2 2
4 4 4 12 6 0x y x y    
Solução: Note que A = B = 4. Para usarmos as relações que conhecemos, precisamos
ter A = B = 1. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 4, resultando em:
2 2 3
3 0
2
x y x y    
Então:
1 3
,
2 2 2 2
D E
a b     
E o raio é:
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2 2 1 9 3
1
4 4 2
r a b F      
Obs: Quando não temos A= B= 1, e não é interessante efetuar a divisão por algum
valor, pode-se calcular o raio por:
2 2
4
2
D E AF
R
A
 

Exercícios:
4. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:
a) 2 2
4 4 1 0x y x y    
b) 2 2
2 2 8 8 34 0x y x y    
c)
2 2
2 15 0x y x   
5. Determine as coordenadas do centro da seguinte circunferência:
2 2
4 2 3x y x y   
6. Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência
2 2
( 3) ( 2) 25x y    e é perpendicular à reta 3 2 7 0x y  
7. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
2 2
10 8 0mx y x y k    
4) Ponto e circunferência
Vamos resolver o seguinte problema: dada uma circunferência de equação
2 2 2
( ) ( )x a y b r    , e um ponto P(x0,y0), qual é a posição do ponto P em relação à
circunferência?
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Para resolver tal situação, basta calcularmos a distância do ponto P até o centro da
circunferência (PQ), e, em seguida, comparar tal valor com o raio (r). Assim:
- Se PC > r, P é exterior à circunferência, isto é, P está fora da circunferência.
Lembrando-se da formula da distância entre dois pontos, podemos dizer que PC > r;
equivale à:
2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r   
Sendo assim, basta substituirmos os valores e comparar os resultados.
- Se PC = r, então P está situado sobre a circunferência. Para sabermos se isso acontece
basta substituir os valores na fórmula abaixo e verificar se a igualdade ocorre:
2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r   
- Se PC < r, então P está dentro da circunferência. Novamente, basta substituir os
valores e vê se a condição abaixo ocorre:
2 2 2
0 0( ) ( )x a y b r   
Exercícios:
8. Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência seguinte?
2 2
( 1) ( 1) 4x y   
9. Qual é a posição do ponto A(1, 2 ) em relação à circunferência seguinte?
2 2
4 4 4 0x y x x    
5) Inequações do 2o grau
Com o que aprendemos acima, podemos resolver algumas inequações do 2o
de uma
maneira simples, veja:
Exemplo 1: Resolva a seguinte inequação:
2 2
4 4 5 0x y x x    
Solução: Com alguns cálculos encontramos que as coordenadas do centro: C(2,2) e o
raio = 3 . Dessa forma, devido ao “sinal de menor”, a solução da inequação é o
conjunto dos pontos interiores à tal circunferência.
Exemplo 2: Resolva a seguinte inequação:
2 2
2 2 1 0x y x y    
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Solução: Temos que: Centro = C(1,1) e r = 1. Dessa forma a solução da inequação
acima é o conjunto dos pontos situados fora de tal circunferência. Ou seja, é o plano
cartesiano menos os pontos interiores à circunferência.
Exercícios:
10) Resolva as seguintes inequações:
a. 2 2
16x y 
b. 2 2
4 2 1 0x y x y    
11) Calcule a área do círculo que é a solução de:
2 2
4 6 8 0x y x y    
6) Reta e circunferência
Considere o seguinte problema:
-Obtenha o(s) ponto(s) de interseção da reta y x com a circunferência 2 2
2x y  .
Solução: Um ponto P(x,y) que está na interseção, obedece, obrigatoriamente, as duas
equações, pois ele está situado tanto sobre a reta quanto sobre a circunferência. Sendo
assim, substituindo:
2 2 2
( ) 2 2 2 1; : 1x x x x y ou x y         
Ou seja, os pontos comuns são: (1,1) e (-1,-1).
Para esse tipo de problema, temos algumas interpretações geométricas. Caso exista 2
pontos de intercessão, como ocorreu acima, dizemos então que a reta é secante à
circunferência. Caso haja somente 1 ponto, dizemos que a reta é tangente à
circunferência, e caso não haja nenhum ponto, dizemos que a reta é exterior à
circunferência.
Outra maneira de saber qual a posição de uma reta em relação a uma circunferência é
calcular a distância da reta ao centro da circunferência, e depois comparar tal distância
com o raio da circunferência.
Exercícios:
12) Qual a posição da reta 4 3 0x y  em relação à circunferência seguinte?
2 2
5 7 1 0x y x y    
13) Qual é a posição da reta 5 12 8 0x y   em relação à circunferência seguinte?
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2 2
2 0x y x  
14) Determine o ponto P onde a circunferência seguinte encontra o eixo dos x:
2 2
6 6 9 0x y x y    
15) Dada a reta 0x y c   e a circunferência seguinte, 2 2
6 4 12 0x y x y     ,
obtenha c de modo que a reta seja exterior à circunferência.
16) Obtenha a equação da circunferência de centro C(1,2) e que tangencia a reta de
equação 5 12 10 0x y  
7) Duas circunferências
Interseção
Leia com atenção o seguinte problema e sua solução:
-Obtenha a interseção da circunferência de centro C1(0,2) e raio r1 = 2 com a
circunferência de centro C2(1,0) e raio r2 = 1.
Solução: Temos:
2 2 2 2
( 0) ( 2) 4 4 0x y x y y        (I)
E, 2 2 2 2
( 1) ( 0) 1 2 0x y x y x        . (II)
Acima, temos um sistema com duas equações. Subtraindo a primeira pela segunda ,
temos que:
4 2 0 2y x x y    
Com o resultado acima, substituindo na primeira circunferência, temos:
2 2 2
(2 0) ( 2) 4 5 4 0y y y y      
Então, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos que:
0 2 0y x y x    
Ou,
4 / 5 2 8/ 5y x y x    
Assim, as circunferências têm dois pontos em comum: P (0,0) e Q (8/5, 4/5).
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Posições Relativas
A posição relativa de duas circunferências é determinada comparando a distância entre
os centros das duas circunferências com a soma ou diferença dos raios.
Calculada a distância entre os centros:
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( )d C C a a b b    
Onde 1 1( , )a b e 2 2( , )a b são as coordenadas do centro de cada circunferência.
A partir disso, são possíveis seis casos distintos de posição entre as duas
circunferências:
1- d > r1 + r2. Quando isso ocorre, dizemos que as circunferências são exteriores
2- d = r1 + r2. Diz-se que as circunferências são tangentes exteriormente
3- 1 2d r r  . Diz-se que as circunferências são tangentes interiormente.
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4- 1 2 1 2r r d r r    . Diz-se que as circunferências são secantes.
5- 1 20 d r r   . Diz-se que a circunferência de menor raio é interior à outra.
6- d = 0. Circunferências concêntricas.
Exercícios:
17) Qual é a posição relativa das circunferências seguintes:
2 2
49x y  e 2 2
6 8 21 0x y x y    
18) Obtenha a interseção das circunferências:
2 2
12 12 68 0x y x y     e 2 2
100x y 
19) Determine a posição relativa entre as seguintes circunferências:
2 2
16x y  e 2 2
6 4 4 0x y x y    
20) As circunferências de equação:
2 2
10 2 16 0x y x y     e 2 2
8 4 16 0x y x y    
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Interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de
raio maior à reta AB.
21) Obtenha as circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à circunferência
2 2
4 6 0x y x y   
8) Gabaritos
1) a) (x-3)2
+ (y-5)2
= 1
b) x2
+ y2
= 81
c) (x + 3)² +(y – 5)² = 1
2) (x – 2)² + (y + 1)² = 17
3) (x + 2)² + (y – 5)² = 4
4) a) C(2,-2), r = 3
b) C(-2,-2), r = 5
c) C(-1, 0), r = 4
5) (-2, 1)
6) 2x + 3y = 0
7) m = 1e k < 41
8) P é exterior.
9) A é interior.
10) a) O conjunto solução da inequação é o círculo de centro na origem e raio 4.
b)O conjunto solução da inequação é o círculo de centro (2, -1) e raio 2.
11) 5π
12) r é secante.
13) Tangente.
14) P(-3, 0)
15) c > 5 - 1 ou c > - 5 - 1
16) (x – 1)² + (y -2)² = 9
17) Tangentes interiormente.
18) {(6, 8), (8, 6)}
19) Secantes.
20) 2 .
21) (x – 2)² + (y +1)² = (4 - 13 )² ou (x – 2)² + (y +1)² = (4 + 13 )

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  • 1. Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas 2º Ano Apostila de Matemática # 3 Assunto: Geometria Analítica Organização: PET-CT
  • 2. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 2 1 INTRODUÇÃO Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-Exacta, projeto que foi idealizado pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática, física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá- las. Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida.
  • 3. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 3 Capítulo 1 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO E EQUAÇÃO DA RETA 1. Noções básicas: René Descartes (1596-1650) físico, filósofo e matemático foi o autor da idéia simples, porém genial, de localizar um ponto qualquer P do espaço em um plano por meio, apenas, de um par de números e de um ponto referencial O, chamado de Origem. Esse plano é definido por duas retas perpendiculares, eixo x e eixo y, e concorrentes no ponto O. Para representar o ponto P são traçadas retas paralelas a x e y que passa pelo ponto P, de forma que as interseções com os eixos x e y é respectivamente P1 e P2. Assim, o ponto P é localizado por um par ordenado P(xp, yp), onde xp é a distância do ponto P ao eixo y, ou seja, a distância OP1 e yp é a distância do ponto P ao eixo x, a distância OP2. Observe a figura: -Abscissa do ponto P: É o número real xp, que indica a distância orientada de P ao eixo y. Se xp > 0 → quantas unidades de P está a direita da origem. Se xp < 0 → quantas unidades de P está a esquerda da origem. Se xp = 0 → indica que P está sobre o eixo y. -Ordenada do ponto P: É o número real yp, que indica a distância orientada de P ao eixo x. Se yp > 0 → quantas unidades de P está acima da origem. Se yp < 0 → quantas unidades de P está abaixo da origem. Se yp = 0 → indica que P está sobre o eixo x. -Plano cartesiano ortogonal: É o plano xOy, definido pelos eixos x e y -Coordenadas cartesianas de P: É o par ordenado (xp, yp) -Eixo das abscissas(eixo x): É a reta orientada OX -Eixo das ordenadas (eixo y): É a reta orientada OY
  • 4. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 4 Exercício resolvido 1: Analise a figura, abaixo, e dê as coordenadas cartesianas dos pontos destacados: Solução: A(1,2); B(-1,2); C(-1,-2); D(1,-2); E(1,0) e F(0,2). Observe que a ordem do par ordenado é importante, assim cada par ordenado representa um ponto especifico do plano. Ex: o par ordenado (2,3) representa um ponto diferente do par ordenado (3,2) no plano cartesiano. 2. Posições de um ponto em relação ao sistema cartesiano: 2.1 Quadrantes do plano: Os eixos perpendiculares x e y definem o plano cartesiano e o dividi em quatro partes ângulares, denominadas de quadrantes. E fica evidente que: P ϵ 1° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≥ 0 P ϵ 2° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≥ 0 P ϵ 3° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≤ 0 P ϵ 4° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≤ 0
  • 5. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 5 2.2 Bissetriz dos quadrantes: Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, tiver coordenadas iguais: P ϵ b13 ↔ xp = yp Isso significa que a bissetriz dos quadrantes ímpares b13 é o conjunto de pontos de coordenadas iguais: b13 = {(a,a) / a ϵ R}. E um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas opostas: P ϵ b13 ↔ xp = -yp Isso significa que a bissetriz dos quadrantes pares é o conjunto de pontos de coordenadas opostas: b13 = {(a,-a) / a ϵ R}. 3. Exercícios propostos: 1) Dados os pontos P(x + 5; 2y) e Q(15; y + 6) determine x e y para que: a) P pertença ao terceiro quadrante. b) Q pertença ao quarto quadrante. c) P pertença ao eixo das abscissas 2) Dados os pontos M(2x + 6; x + 4) e N(y – 12; 2y + 6) determine x e y para que:
  • 6. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 6 a) M a bissetriz dos quadrantes ímpares e N a bissetriz dos quadrantes pares b) M e N sejam iguais 3) Sejam Q simétrico ao ponto P(x, y) em relação ao eixo das abscissas e R também simétrico à P(x, y) em relação ao eixo das ordenadas. Então está correto que: a) Q(-x, y) b) Q(x, -y) e R(-x, y) c) Q(x, -y) e R(-x, -y) d) Q(x, -y) e R(-x, y) 4. Distância entre dois pontos: Considere dois pontos distintos, A(x1 ,y1) e B(x2 ,y2), pertencentes ao plano cartesiano, a distância entre elas é a medida do segmento de reta que os ligam, indicada por d(A,B): Observe na figura o triângulo retângulo ABC. Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se que: (dab) 2 = (CA)2 +(CB)2 , onde CA = x2 - x1 e PB = y2 – y1 . Logo: d2 ab = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 dab = ± (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 Note que: dab ≥ 0 (x2 – x1)2 = (x1 - x2)2 =(∆𝑥)2 e (y2 – y1)2 = (y1 - y2)2 =(∆𝑦)2 Assim: 𝑑 𝑎𝑏 = ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2 Exercício Resolvido 2: Calcule as medidas dos lados do triângulo cujos vértices são A(-2, 3), B(1, 3) e C(1, -1).
  • 7. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 7 Solução: dab = −2 − 1 2 + 3 − 3 2 = 9 = 3 dac = −2 − 1 2 + 3 + 1 2 = 25 = 5 dbc = 1 − 1 2 + 3 + 1 2 = 16 = 4 5. Exercícios propostos: 4) Sendo A(3, 1), B( 4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto ao seus lados e ângulos. 5) Calcule a distância de P(3, -4) à origem do sistema cartesiano. 6) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo. 7) Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5) 8) Dados A(5, -2) e B(4, -1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices do mesmo. 6. Seguimento Orientado: 6.1 Definição: Dado um seguimento de reta AB pode-se orientá-lo com um sentido de A para B ou de B para A. Adotando o sentido de A para B obtém-se um seguimento orientado AB de origem em A. 6.2 Razão de um seguimento: Considere três pontos colineares A, B, e C com A ≠ B ≠ C, chama-se de razão entre os seguimentos orientados AB e AC o número r tal que: r = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 Pode-se calcular r em função das coordenadas de A, B e C, usando a formula da distância de dois pontos, assim: r = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑥 𝑏 −𝑥 𝑎 2+ 𝑦 𝑏 −𝑦 𝑎 2 (xc – xb)2 + (yc - yb)2 Ao traçarmos os seguimentos AB e BC no plano cartesiano, pode-se, ainda, deduzir que:
  • 8. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 8 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎 𝑥 𝑐 − 𝑥 𝑏 E/ou que: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 𝑦𝑐 − 𝑦 𝑏 Exercício Resolvido 3: Obtenha as coordenadas do ponto C da reta AB, sabendo que A = (1, 5), B = (4, 17) e r = 𝐴𝐶 𝐶𝐵 = 2. Solução: r = 𝑥 𝑐−𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −𝑥 𝑐 = 𝑥−1 4−𝑥 = 2 → x - 1 = 8 - 2x → x = 3 r = 𝑦 𝑐−𝑦 𝑎 𝑦 𝑏 −𝑦 𝑐 = 𝑦−5 17−𝑦 = 2 → y - 5 = 34 – 2y → y = 13 Então C = (3, 13). 6.3 Ponto médio de um seguimento: Se a razão de seguimento 𝐴𝑃 𝑃𝐵 , for igual a 1, significa que P divide igualmente o seguimento AB. Dessa forma P = M , ponto médio do seguimento AB. Deduz que: 𝐴𝑃 𝑃𝐵 = 1 = 𝐴𝑀 𝑀𝐵 𝐴𝑀 𝑀𝐵 = 𝑥 𝑚 −𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 −𝑥 𝑚 = 1 → 𝑥 𝑚 − 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑚 Logo, 𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑏−𝑥 𝑎 2 Analogamente, 𝑦 𝑚 = 𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎 2 7. Exercícios propostos: 9) Dados A(5, 3) e B(-1,-3), seja C a intercessão da reta AB com o eixo das abscissas. Calcule a razão AC/CB.
  • 9. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 9 10) Determine as coordenadas que dividem AB em quatro partes iguais, quando A(3,-2) e B(15, 10) 11) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1). 12) Se M(1, 1), N(0, 3) e P (-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC, e CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C. 13) O baricentro de um triângulo é G 5, 1 e dois de seus vértices são A(9, -3) e B(1, 2). Determine o terceiro vértice 8. Condição de alinhamento de três pontos: Sabe-se que por dois pontos distintos passa uma reta, logo esses dois pontos sempre estarão alinhados, mas qual é a condição para que três pontos distintos estejam alinhados? Considere três distintos pontos A(xa,, ya), B(xb, yb) e C(xc,, yc) alinhados, ou seja, pertencentes a uma mesma reta no plano cartesiano. Pela figura encontra-se que os triângulos ABD e BCE são semelhantes, assim: 𝐴𝐷 𝐵𝐸 = 𝐵𝐷 𝐶𝐸 𝑥 𝑏 −𝑥 𝑎 𝑥 𝑐−𝑥 𝑏 = 𝑦 𝑏−𝑦 𝑎 𝑦 𝑐−𝑦 𝑏 → (xb – xa)(yc – yb) = (xc – xb)(yb – ya) → (xb – xa)(yc – yb) - (xc – xb)(yb – ya) = 0 A igualdade acima pode ser escrita assim:
  • 10. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 10 Isso porque esse determinante é equivalente ao primeiro termo da equação anterior. Daí tem-se, finalmente, que três pontos A(x1,, y1), B(x2,, y2), C(x3,, y3) são colineares se, e somente se: 9. Exercícios propostos: 14) Os pontos A(2, 7); B(-3, 0) e C são colineares? 15) Se o ponto (q, -4) pertence a reta que passa pelos pontos (0, 6); (6, 0). Determine q. 16) Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 17) Determine P(x, y) colinear simultaneamente com A(0, 3) e B(1, 0) e com C(1, 2) e D(0, 1). 10. Equação geral da reta: Considere a reta r na figura, definida por dois pontos de coordenadas conhecidas, A(xa,, ya) e B(xb, yb): Sendo P um ponto qualquer dessa reta. Como os pontos P, A e B são colineares, tem-se que:
  • 11. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 11 Assim, 𝑦1 𝑥 + 𝑥2 𝑦 + 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦2 𝑥 = 0 → 𝑦1 − 𝑦2 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 + 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 = 0 Fazendo: 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑏 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 = 𝑐 Obtém-se a equação geral da reta: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 Onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observe que a e b não pode ser simultaneamente nulos. Dessa forma, tem-se que toda reta possui uma equação da forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, sendo a e b não simultaneamente nulos, que é chamada de equação geral da reta. Observações: 1) Se a = 0, y = − 𝑐 𝑏 e essa reta é horizontal, paralela ao eixo x; 2) Se b = 0, y = − 𝑐 𝑎 e essa reta é vertical, paralela ao eixo y; 3) Se c =0, ax – by = 0 e essa reta passa pela origem. Exercício resolvido 4: Obter a equação geral da reta que passa nos pontos A e B(4,6). Sendo o ponto A interseção das retas de equações 2x + y – 6 =0 e 2x – y – 6 =0. Solução: 1. As coordenadas do ponto A são solução do sistema: 2x + y = 6 → x = 3 e y = 0 2x – y = 6 A(3,0) 2. Sendo P(x,y) o ponto genérico da reta r procurada A, B e P respeitam a condição de alinhamento 3 0 1 4 6 1 𝑥 𝑦 1 = 0 → 18 + 4y – 6x – 3y = 0 → y – 6x + 18 = 0
  • 12. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 12 11. Exercícios propostos: 18) Dados os pontos A(1, 2), B(2, 2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento BC. 19) A reta determinada por A(p, q) e B(7, 3) passa pela origem. Qual é a relação entre p e q? 20) Determine a interseção das retas x -5y = 14 e 3x + 2y = -9. 21) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são a interseções das retas x + y = 6, x = 1 e y = 1. 12. Posições relativas de duas retas: Dadas duas retas r e s cujas equações são (r) a1x + b1y = c1 (s) a2x + b2y = c2 Elas podem ocupar somente três posições relativas ao plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de pontos comuns às duas retas. Pode-se observar no exercício resolvido anterior, que o ponto de interseção de duas retas deve obedecer as equações de ambas as retas. Logo, obtêm-se os pontos que intercedem às retas r e s resolvendo um sistema com as equações dessas retas Assim: -r e s são concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas, logo, essas retas só possuem um ponto em comum. -r e s paralelas e distintas: quando o sistema não admite solução, assim não existe ponto em comum nessas retas. -r e s paralelas e coincidentes: quando o sistema possui infinitas soluções, assim essas retas são iguais, pois possui os mesmos pontos. r x s r ∩ s = 0 r = s Para que esses três casos ocorram é necessário que: r x s ↔ 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 (concorrentes) r∩s=0 ↔ 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠ 𝑐1 𝑐2 (paralelas e distintas) r = s ↔ 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 = 𝑐1 𝑐2 (coincidentes)
  • 13. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 13 Exercício resolvido 5: Determine a posição relativa da reta r, de equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação a reta s de equação 4x – 6y - 1 = 0. Solução: 𝑎1 𝑎2 = 2 4 = 0,5 𝑏1 𝑏2 = −3 −6 = 0,5 𝑐1 𝑐2 = 5 −1 = −5 Logo, ao compararmos, tem-se que 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠ 𝑐1 𝑐2 , portanto são paralelas. 13. Exercícios propostos: 22) Qual a posição relativa entre as retas 3x – y – 7 = 0 e 6x -2y + 17 = 0 23) Para que valores de k as retas ( k + 1)x + 10y - 1 = 0 e 8x + (k - 1)y + 1 = 0 são paralelas 14. Formas da equação da reta: Neste item serão apresentadas diferentes e importantes formas da equação da reta, observe: 1) Forma geral: Viu-se que dada uma reta r, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, denominada de equação geral da reta. 2) Forma reduzida: Dada a equação geral da reta r, se b ≠ 0, tem-se que: → 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 → 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 →𝑦 = − 𝑎 𝑏 𝑥 + − 𝑐 𝑏 Chamando − 𝑎 𝑏 de m e − 𝑐 𝑏 de n. encontra-se: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏 Essa ultima equação, expressa y em função de x e é conhecida como equação reduzida da reta r. Exemplo: dada a equação geral da reta (s) 4x – 2y + 32 = 0 a equação reduzida desta é y = 2x + 16.
  • 14. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 14 3) Forma segmentaria: Essa forma representa retas definidas pelos pontos que interceptam os eixos cartesianos. Considere uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos Q(0, q), interseção com o eixo y e P(p,0), interseção com o eixo x. Assim, 𝑥 𝑦 1 0 𝑞 1 𝑝 0 1 = 0 → 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 − 𝑝𝑞 = 0 → 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑝𝑞 → 𝒙 𝒑 + 𝒚 𝒒 = 𝟏 Essa ultima é a equação segmentária da reta r. Exercício resolvido 6: Determine a equação segmentária e geral da reta que passa pelos pontos R(3, 0) e F(0, 4). Solução: A equação segmentária é 𝑥 3 + 𝑦 4 = 1 Para encontrar a equação geral basta multiplicar de forma a eliminar os denominadores: Multiplicando por 3 → 𝑥 + 3𝑦 4 = 3 Multiplicando por 4 → 4𝑥 + 3𝑦 = 12 Logo a equação geral é 4𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 Exercício resolvido 7 Obter a equação segmentária da reta: (s) 7x + 11y + 3 = 0. Solução 7x + 11y = -3 →− 7 3 𝑥 − 11 3 𝑦 = 1 → 𝑥 − 3 7 + 𝑦 − 3 11 = 1 (equação segmentária) 4) Forma paramétrica: Diferente das equações anteriores, a equação paramétrica não relaciona diretamente entre si as coordenadas x e y. Essas equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada de parâmetro da equação. Assim x e y são dados em função de t: x = f(t) y = g(t), onde t ∈ 𝑅
  • 15. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 15 Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas tem que eliminar o parâmetro t das duas equações. Exercício resolvido 8: Determine a equação geral da reta definida por: x = 4 + 2t y = 1 – t (𝑡 ∈ 𝑅) Solução: Vamos eliminar o parâmetro P para encontrar a equação geral: Vem que t = 1 – y Substituindo t na primeira equação: x = 4 + 2(1 - y) x = 4 + 2 -2y 2y +x -2 = 0 (equação geral da reta) 15. Exercícios propostos: 24) Dada a reta r que passa pelos pontos (3, 2) e (1, 0), dê sua expressão na forma reduzida 25) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determine a equação segmentária da reta AB. 26) Dadas as equações paramétricas de uma reta (r) x = 10t – 2 e y = 3t, obtenha sua equação segmentária 27) Qual é a posição relativa das retas (r) 𝑥 2 3 + 𝑦 −2 = 1 e (s)x = t – 1, y = 3t - 2 ?
  • 16. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 16 16. Gabaritos: 1. a) x ≤ -5 e y ≤ 0 b) y ≤ -6 c)y = 0 e x ϵ R 2. a) x = -2 e y = 2 b) x = − 38 3 e y = − 22 3 . 3. Item d 4. Triângulo isósceles obtusângulo 5. 5 6. Para um triangulo ser retângulo o teorema de Pitágoras é verdadeiro, o que pode- se verificar ao calcular a distância de cada vértice para outro e verificar o teorema.(𝑑 𝑐𝑎 2 = 𝑑 𝑎𝑏 2 + 𝑑 𝑐𝑏 2 ) 7. P ( 29 2 , 0 ) 8. C(3, -2) D(4, -3) ou C(5, 0) D(6, -3) 9. 1 10. (6, 1); (9, 4) e (12, 7) 11. dam = 5 12. A(-1, 0); B(3, 2); (-3, 4) 13. C(5, 4) 14. Não 15. q = 10 16. (2, 2) 17. 1 2 , 3 2 18. 3x + 4y -11 = 0 19. 7q - 3p = 0 20. (-1, -3) 21. 4( 2 + 2) 22. Paralelas distintas 23. -9 ou 9 24. y = 1 2 𝑥 − 1 2 25. 𝑥 −3 + 𝑦 5 = 1 26. 𝑥 −2 + 𝑦 3 5 = 1 27. Paralelas e distintas
  • 17. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 17 Capítulo 2 - TEOREMA ANGULAR Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses dois pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta. 1. Coeficiente angular Consideremos o ângulo formado no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo Ox até uma reta qualquer. Vejamos os exemplos a seguir: Lembrete! Temos sempre 0º ≤ θ < 180º Sendo θ o ângulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta o número real m tal que: m = tg θ; θ ≠ 90º Assim temos:
  • 18. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 18 Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois quaisquer de seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos pontos (x1,y1) e (x2, y2). O triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 - y1 e o cateto horizontal igual a x2- x1. Dividindo o cateto vertical pelo horizontal, obtemos a fórmula do coeficiente angular: m = 𝒚 𝟐− 𝒚 𝟏 𝒙 𝟐− 𝒙 𝟏 = tg α Preferimos a notação: m = 𝜟𝒚 𝜟𝒙 (Δx ≠ 0) em que Δx e Δy são, respectivamente, a diferença de abscissas e a diferença de ordenadas entre A e B. Por exemplo, o declive de reta que passa pelos pontos A(2,4) e B(4,10) é: 𝑚 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = (10 − 4) (4 − 2) = 3 Imagine que agora conhecemos a equação geral de uma reta: ax + by + c =0. Vamos calcular o coeficiente angular dessa reta. Lembremos que, dados A(xA,yA) e B(xB,yB) pertencentes à reta, a equação geral é: Assim temos que: (yA – yB) = a e (xB – xA) = b. Logo: 𝑚 = 𝑦 𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 = − 𝑎 𝑏 , 𝑏 ≠ 0 Por exemplo, o coeficiente angular da reta (r) 3 x – 3y + c = 0 é: 𝑚 = − 𝑎 𝑏 = − 3 −3 = 3 3
  • 19. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 19 No caso da equação geral da reta: ax + by + c = 0, podemos obter a equação reduzida da reta. Isolando y e dividindo tudo por b teremos: 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 => 𝑦 = −𝑎 𝑏 𝑥 − 𝑐 𝑏 Como sabemos, m = −𝑎 𝑏 . Podemos então definir n = −𝑐 𝑏 e chamá-lo de coeficiente linear da reta. Assim teremos a equação reduzida: y = mx + n Exercícios: 1. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(3,0) 2. Qual o coeficiente angular da reta 5x + 3y + 13 = 0? 3. Calcule o coeficiente angular das retas: a) 2x + 5 = 2y c) x = 9 b) x = 5t d) 3y = -5 y = 2 – 3t 4. Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC. Determine o coeficiente angular da reta que contém a mediana obtida a partir do vértice A. 2. Equação de uma reta passando por P(x0,y0) Seja r uma reta cujo coeficiente angular é igual a m. Sendo P(x0,y0) um ponto que pertença a esta reta (P ∈ r) e um ponto Q(x,y) qualquer de r, tal que Q ≠ P. Podemos escrever: 𝑚 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = 𝑦 − 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 => 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0 Vemos que podemos determinar a equação de uma reta dados apenas seu coeficiente angular e um ponto conhecido. Exercício Resolvido: Determine a equação geral da reta s sabendo que ela passa pelo ponto P(2,6) e que seu coeficiente angular é m = 2. Solução: y – y0 = m.(x – x0) => y – 6 = 2.(x – 2) => y – 6 = 2x – 4 => y = 2x + 2 Logo, s: y = 2x + 2.
  • 20. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 20 Obs.: Caso a reta seja reta seja perpendicular ao eixo dos x, sua equação será dada por: 𝑥 = 𝑥0 Pois nesse caso α = 90° e o coeficiente angular da reta não existe. Exercícios 5. Dê a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2,-5) e tem coeficiente angular − 4 5 6. Determine a equação da reta que passa por P e tem inclinação α em relação ao eixo dos x nos casos seguintes: a) P(-1,8) e α = 60° c) P(3,-1) e α = 0° b) P(3,-5) e α = 90° d) P(2,-2) e α = arc tg 3 7. Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em P(-3,2)? 3. Condição de paralelismo “Duas retas, r e s, não verticais, são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.” 𝑟//𝑠 ⇔ 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑟 Demonstração r // s ⇔ 𝛼 𝑟 = 𝛼 𝑠 ⇔ 𝑡𝑔 𝛼 𝑟 = 𝑡𝑔 𝛼 𝑠 ⇔ 𝒎 𝒓 = 𝒎 𝒔 Exercício Resolvido: Verifique se as retas (r) 3x + 6y - 1 = 0 e (s) 2x + 4y + 7 = 0 são paralelas. Solução: mr = − 𝑎1 𝑏1 = − 3 6 = − 1 2 ms = − 𝑎2 𝑏2 = − 2 4 = − 1 2 Como mr = ms, temos que as duas retas são paralelas.
  • 21. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 21 Exercício Resolvido: Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s paralela à r e que passa pelo ponto P(6,-5). Solução: Como as retas r e s são paralelas temos que mr = ms. Assim ms = mr = − 5 7 Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é: 𝑦 − (−5) = − 5 7 ∙ (𝑥 − 6) ⇒ 7𝑦 + 35 = −5𝑥 + 30 𝑠: 5𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0 Exercícios 8. A reta y = mx – 5 é paralela À reta 2y = -3x + 1. Determine m. 9. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1,1) e é paralela à reta y = -2x +1? 10. Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de coordenadas (2,3) e (1,-4) passando pela origem. 11. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,4) e é paralela à bissetriz do 2° quadrante. 12. Determine a equação da reta (s) que contém P(-5,4) e é paralela à reta (r) cujas equações paramétricas são x = 3t e y = 2 – 5t. 13. Os pontos M, N, P e Q são os vértices de um paralelogramo situado no 1° quadrante. Sendo M(3,5), N(1,2) e P(5,1), determine o vértice Q. 4. Condição de perpendicularismo “Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é -1.” r ┴ s ⇔ mr . ms = -1 Demonstração
  • 22. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 22 1ª Parte: r ┴ s ⇒ mr . ms = -1 Da figura acima temos que: β = α + 90° 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 – 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = − 1 𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛼 = −1 => 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 = −1 2ª Parte: mr . ms = -1⇒ r ┴ s Como mr.ms = -1, temos que mr ≠ ms, portanto as retas r e s são concorrentes e formam um ângulo θ tal que: 𝛽 = 𝛼 + 𝜃 (1) Temos também que: 𝑚 𝑟 = − 1 𝑚 𝑠 => 𝑡𝑔 𝛽 = − 1 𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90° => 𝛽 = 𝛼 + 90° (2) Comparando (1) e (2) temos que θ = 90°. Logo r ┴ s. Exercício Resolvido: Verifique se as retas (r) 3x + 2y - 1 = 0 e (s) 4x - 6y + 3 = 0 são perpendiculares. Solução: mr = − 𝑎1 𝑏1 = − 3 2 ms = − 𝑎2 𝑏2 = − 4 −6 = 2 3 Como mr . ms = -1, temos que as duas retas são perpendiculares. Exercício Resolvido: Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s perpendicular à r e que passa pelo ponto P(6,-5).
  • 23. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 23 Solução: Como as retas r e s são perpendiculares temos que mr . ms = -1. Assim ms = 7 5 Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é: 𝑦 − −5 = 7 5 ∙ 𝑥 − 6 ⇒ 5𝑦 + 25 = 7𝑥 − 42 𝑠: 7𝑥 − 5𝑦 − 67 = 0 Exercícios 14. Determine p de modo que as retas (r) -2x + (p - 7)y + 3 = 0 e (s) px + y – 13 = 0 sejam perpendiculares. 15. Se 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1 e Ax + By + c = 0 são retas perpendiculares, calcule bA + aB. 16. Qual o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (-2,-1) e (8,3)? 17. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5,4) e é perpendicular à reta 5x – 4y + 7 = 0. 18. Determine a equação da reta perpendicular à reta x = y e que passa pela intesecção das retas 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0. 19. Determine o pé da perpendicular baixada de P(-2,1) sobre (r) 2x – y – 20 = 0 20. Qual é o ponto simétrico de P(2,3) com relação à reta y = x – 3? 21. Determine a reta s, simétrica de (r) x – y + 1 = 0 em relação a (t) 2x + y + 4 = 0 5. Ângulo de duas retas Dadas duas retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, vamos calcular os ângulos que elas determinam. Se r // s ou r ┴ s, o problema é imediato; portanto deixaremos esses dois casos de lado. Quando duas retas são concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a dois opostos pelos vértices (e congruentes).
  • 24. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 24 1º Caso: uma das retas (s, por exemplo) é vertical. 𝜃 + 𝛼 = 90° => 𝜃 = 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 𝜃 = 1 𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 1 𝑚 𝑟 Assim, para que θ seja agudo devemos ter: 𝑡𝑔 𝜃 = | 1 𝑚 𝑟 | Resumo: Dadas r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o módulo do inverso do declive da outra. 2° Caso: nenhuma das retas é vertical 𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼2 − 𝑡𝑔 𝛼1 1 + 𝑡𝑔 𝛼2 ∙ 𝑡𝑔 𝛼1 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟 1 + 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 Para obtermos sempre o ângulo agudo entre as duas retas devemos então ter: 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟 1 + 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 Resumo Dadas r e s, se as duas têm coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o modulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao produto dos declives.
  • 25. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 25 Exemplos 1°) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas: (r) 3x – y + 5 = 0 e (s) 2x + y + 3 = 0 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟 1 + 𝑚 𝑠 ∙ 𝑚 𝑟 => 𝑡𝑔 𝜃 = −2 − 3 1 + −2 . 3 => 𝑡𝑔 𝜃 = −5 −5 = 1 => 𝜃 = 𝜋 4 2°) Idem para (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (s) 6x - 4y + 5 = 0 𝑚 𝑟 = − 2 3 𝑒 𝑚 𝑠 = 3 2 => 𝑚 𝑟 ∙ 𝑚 𝑠 = −1 => 𝑟 é 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑠 => 𝜃 = 𝜋 2 3°) Idem para (r) 4x + 2y – 1 = 0 e (s) 3x – 4 = 0 𝑚 𝑟 = −2 𝑒 ∄𝑚 𝑠 => 𝑡𝑔 𝜃 = 1 𝑚 𝑟 = 1 −2 = 1 2 => 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 1 2 4º) Idem para (r) 5x + 2y = 0 e (s) 10x + 4y – 7 = 0 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑠 = − 5 2 => 𝑟 𝑒 𝑠 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 => 𝜃 = 0° Exercício Resolvido Obter a reta s que passa pelo ponto P(6,-5) e que forma um ângulo de 45° com a reta r: 5x + 7y + 1 = 0 Solução: mr = − 𝑎 𝑏 = − 5 7 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚 𝑠 − 𝑚 𝑟 1 + 𝑚 𝑠 ∙ 𝑚 𝑟 => 𝑡𝑔 45° = 𝑚 𝑠 − − 5 7 1 + 𝑚 𝑠 ∙ − 5 7 => 1 = 7𝑚 𝑠. + 5 7 − 5𝑚 𝑠 1 = (7𝑚 𝑠 + 5)² (7 − 5𝑚 𝑠)² => 49 − 70𝑚 𝑠 + 25𝑚 𝑠² = 49𝑚 𝑠² + 70𝑚 𝑠 + 25 24𝑚 𝑠² + 140𝑚 𝑠 − 24 = 0 => 𝑚 𝑠 = −6 𝑜𝑢 𝑚 𝑠 = 1 6 Como s passa por P, podemos chegar a duas soluções nesse caso:
  • 26. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 26 1ª: 𝑦 − (−5) = 1 6 ∙ (𝑥 − 6) => 6𝑦 + 30 = 𝑥 − 6 => 𝑥 − 6𝑦 − 36 = 0 2ª: 𝑦 − (−5) = −6. (𝑥 − 6) => 𝑦 + 5 = −6𝑥 + 36 => 6𝑥 + 𝑦 − 31 = 0 Exercícios 22. Qual é a tangente do ângulo formado pelas retas 3x + 2y + 2=0 e –x + 2y +5 =0? 23. Calcule o ângulo agudo formado pelas seguintes retas: a) (r) x + 2y – 3 = 0 e (s) 2x + 3y – 5 = 0 b) (r) x.cos 60° + y.sen 60° = 6 e (s) 3y - 2 = 0 24. Conduza por P(0,0) as retas que formam ângulo 𝜃 = 𝜋 4 com (r) 6x + 2y – 3 = 0 25. Dados o ponto (5,4) e a reta (r) 2x – y + 7 = 0, conduza as seguintes retas por P: s paralela a r t perpendicular a r u formando θ = arc tg 3 com r v paralela ao eixo Ox z paralela ao eixo Ou 26. Seja r a reta que passa pelos pontos (3,5) e (7,0). Obtenha a equação da reta s simétrica de r em relação à reta x = 7. 6. Gabaritos 1) -1 2) -5/3 3) a) 1b) -3/5 c) não existe d) 0 4) 2 5) 4x + 5y + 17 = 0 6) a) 3 x – y + 8 + 3 = 0 b) x – 3 = 0 c) y + 1 = 0 d) 3x – y – 8 = 0 7. y – 2 = m.(x + 3) ou x + 3 = 0 8. m = -3/2
  • 27. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 27 9. y = -2x + 3 10. 7x – y = 0 11. x + y – 7 = 0 12. 5x + 3y + 13 = 0 13. Q (7,4) 14. P = -7 15. 0 16. -5/2 17. 4x + 5y = 0 18. 7x + 7y – 6 = 0 19. (8,-4) 20. (6,-1) 21. x – 7y – 3 = 0 22. 8 23. a) θ = arc tg (1/8) b) θ = 30° 24. x + 2y = 0 ou 2x – y = 0 25. (s) -2x + y + 6 = 0; (t) x + 2y – 13 = 0; (u) x + y – 9 = 0 ou x + 7y – 33 = 0; (v) y – 4 = 0; (z) x – 5 = 0 26. 5x – 4y – 35 = 0
  • 28. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 28 Capítulo 3 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA 1. Distância entre ponto e reta Calculemos a distância entre a origem O e uma reta r cuja equação geral é: ax + by + c = 0 (1) Devemos primeiramente achar a reta s que passa pela origem e é perpendicular a r: r ┴ s: 𝑚 𝑟. 𝑚 𝑠 = −1 => −𝑎 𝑏 ∙ 𝑚 𝑠 = −1 => 𝑚 𝑠 = 𝑏 𝑎 Equação de s sabendo que passa pela origem: 𝑦 − 0 = 𝑏 𝑎 ∙ 𝑥 − 0 => 𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 (2) Devemos achar então o ponto Q(x0,y0) resultante da interceptação das duas retas: b.x0 – a.y0 = 0 => y0 = 𝑏 𝑎 ∙ x0 a.x0 + b.y0 = - c => a.x0 + b ∙ 𝑏 𝑎 ∙ x0 = - c => 𝑥0 = −𝑎.𝑐 𝑎2+ 𝑏2 e 𝑦0 = −𝑏.𝑐 𝑎2+ 𝑏2 A distância entre a origem e o ponto Q corresponde a distância entre a origem e a reta r, logo temos que d² = OQ²: 𝑑 𝑂,𝑟 2 = 𝑥0 − 0 2 + 𝑦0 − 0 2 = 𝑥0 2 + 𝑦0 2 = 𝑎2 . 𝑐2 𝑎2 + 𝑏2 2 + 𝑏2 . 𝑐2 𝑎2 + 𝑏2 2 => 𝑑 𝑂,𝑟 2 = 𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐² 𝑎2 + 𝑏2 2 = 𝑐² 𝑎² + 𝑏² => 𝒅 𝑶,𝒓 = 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
  • 29. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 29 Assim, por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 25 = 0 à origem é dada por: 𝑑 𝑂,𝑟 = −25 32 + 42 = −25 5 = 25 5 = 5 *Translação de sistema Sejam P(x,y) e O´ (x0,y0) dois pontos referidos a um sistema cartesiano xOy. Se x´O´y´ é um sistema tal que x´// x e y´ // y e x´e y´ têm respectivamente o mesmo sentido positivo de x,y, dizemos que x´O´y´ foi obtido por uma translação de xOy. Nosso objetivo é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no “novo” sistema x´O´y´ e no “antigo” xOy. Assim temos que: Eixo – x: 𝑂𝑃1 = 𝑂𝑂1 ´ + 𝑂1 ´ 𝑃1 => 𝒙 = 𝒙 𝟎 + 𝒙´ Eixo – y: 𝑂𝑃2 = 𝑂𝑂2 ´ + 𝑂2 ´ 𝑃2 => 𝒚 = 𝒚 𝟎 + 𝒚´ Queremos agora a distância entre um ponto P(x0,y0) e uma reta r: ax + by + c = 0 A idéia é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzida anteriormente. Dando uma translação no sistema xOy de modo que P seja a origem do sistema x‟Py‟, determinemos a equação da reta r no novo sistema, sabendo que x é da forma x0 + x‟ e y é da forma y0 + y‟ nesse sistema de coordenadas. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 => 𝑎. 𝑥′ + 𝑥0 + 𝑏. 𝑦′ + 𝑦0 + 𝑐 = 0 => => 𝑎𝑥′ + 𝑏𝑦′ + 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0 Veja que na nova equação da reta r temos que ax‟ + by‟ + c‟ = 0, com c’ = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 Conforme deduzido anteriormente, temos que a distância entre P e r é:
  • 30. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 30 𝑑 𝑃,𝑟 = 𝑐′ 𝑎2 + 𝑏2 donde vem a fórmula: 𝒅 𝑷,𝒓 = 𝒂𝒙 𝟎 + 𝒃𝒚 𝟎 + 𝒄 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 Por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x - 4y + 2 = 0 ao ponto P(2,-3) é dada por: 𝑑 𝑃,𝑟 = 3. 2 − 4. −3 + 2 32 + 42 = 20 5 = 20 5 = 4 Lembre-se que a distância d é, em qualquer caso, um número real não negativo, isto é: d ≥ 0 quaisquer que sejam P e r. Uma aplicação notável da fórmula da distância entre ponto e reta é o seguinte problema: calcular a distância entre as retas paralelas: (r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c‟ = 0 A distância entre r e s é igual a distância de um ponto qualquer P ∈ s até a reta r. Então: 1º) seja P(x0,y0) pertencente a s P ∈ s => 𝑎x0 + by0 + c′ = 0 => ax0 + by0 = −c′ 2º) a distância de P até r é: 𝑑 𝑃,𝑟 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏2 = (−𝑐′ ) + 𝑐 𝑎2 + 𝑏2 Então vem a fórmula: 𝒅 𝒓,𝒔 = 𝒄 − 𝒄′ 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 Exercícios 1) Seja P o ponto de coordenadas (4,3) num sistema cartesiano ortogonal oxy. Se OXY é um novo sistema de coordenadas obtido do anterior por uma
  • 31. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 31 translação da origem para de o para O(2,-1), determine as coordenadas de P no novo sistema. 2) Calcule a distância do ponto (-2,3) ao eixo das ordenadas. 3) Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos: a) P(2,0) e (r) 2x + 3y -5 = 0 b) P(1,0) e (r) x + 3y – 5 = 0 4) Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(-3,0), B(0,0) e C(6,8) 5) O ponto P(0,0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x – 2y + 5 = 0. Qual a área do quadrado? 6) Calcule a distância entre as retas (r) 3x + 4y – 13 = 0 e (s) 3x + 4y + 7 = 0 7) Determine as equações das retas que formam 45° com o eixo dos x e estão à distância 2 do ponto P(3,4). 2. Área do triângulo Calculemos a área do triângulo cujos vértices são: A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3) Sabemos que a área do triângulo é dada por : área = 1 2 ∙ base ∙ altura No caso do nosso triângulo temos: S = 1 2 ∙ BC ∙ AH BC é facilmente calculada pela fórmula da distância entre dois pontos. Logo: 𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)² Em seguida devemos achar a distância entre A e H, encontrando primeiramente a equação da reta BC e em seguida utilizando a fórmula da distância entre o ponto A e a reta BC. Equação da reta BC:
  • 32. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 32 Cálculo da distância do ponto A à reta BC: substituindo a, b e c pelos seus respectivos valores, teremos: 𝐴𝐻 = 𝑑 = 𝑦2− 𝑦3 𝑥1+ 𝑥3− 𝑥2 𝑦1+ 𝑥2 𝑦3− 𝑥3 𝑦2 𝑦2− 𝑦3 2+ 𝑥3− 𝑥2 2 = 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 𝑦2− 𝑦3 2+ 𝑥3− 𝑥2 2 Fazendo DABC = 𝑥1 𝑦1 1 𝑥2 𝑦2 1 𝑥3 𝑦3 1 , temos: S = 1 2 ∙ BC ∙ AH = 1 2 ∙ 𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)² ∙ | DABC | 𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)² donde vem a fórmula: 𝑺 = 𝟏 𝟐 ∙ | 𝑫 𝑨𝑩𝑪 | Por exemplo, a área do triângulo cujos vértices são A(4,1), B(-2,3) e C(0,-6) é: DABC = 𝑥 𝐴 𝑦𝐴 1 𝑥 𝐵 𝑦 𝐵 1 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 1 = 4 1 1 −2 3 1 0 −6 1 = 36 + 2 + 12 = 50 𝑆 = 1 2 ∙ 𝐷𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ∙ 50 = 25 Observações: 1. Para todo triângulo ABC, a área é um número real S > 0. 2. Se A, B e C são colineares, isto é, se não existe o triângulo ABC, temos DABC=0 e S = 0. 3. A unidade de área, raramente indicada nos problemas de geometria analítica, é o quadrado da unidade de comprimento utilizada nos eixos. Exercícios 8) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(a+1, a+2), B(a, a-1) e C(a+2,a).
  • 33. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 33 9) Determine a área do triângulo ABC, onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(1,-5),N(3,3) e P(9,-5) 10) Calcule a área do triângulo determinado pelas retas de equações y = 2x, y = 𝑥 2 e x = 4. 11) Calcule a área do quadrilátero ABCD, dados A(0,0), B(4,-2), C(6,8) e D(0,4) 12) Os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m,n), nessa ordem, formam um paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do paralelogramo ABCD. 13) Determine y de modo que o triângulo de vértices A(1,4), B(4,1) e C(0,y) tenha área igual a 6. 14) Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 12, sabendo que A(0,-1), B é a intersecção da reta (r) x + y – 2 = 0 com o eixo dos x e 𝐶 ∈ 𝑟. 15) Obtenha uma reta que passe por P(1,1) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 2, no primeiro quadrante. 3. Gabaritos 1) (2,4) 2) 2 3) a) 13 / 13 b) 2. 10 / 5 4) AH = 12 / 5 5) 5 6) Dr,s = 4 7) x – y + 3 = 0 ou x – y – 1 = 0 8) 5 / 2 9) 8 10) 12 11) 34 12) (AD) 2x – y = 0 e área = 5 13) y = 9 ou y = 1 14) (10,-8) ou (-6,8) 15) x + y – 2 = 0
  • 34. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 34 Capítulo 4 - CIRCUNFERÊNCIAS 1. Definição e Equação Reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que apresentam a mesma distância a um ponto fixo, denominado centro da circunferência. Observe a circunferência abaixo: Figura 1: Todos os pontos situados na linha azul pertencem a circunferência, pois distam igualmente do ponto C. Tal distância é o raio, simbolizado por „‟r‟‟. Matematicamente, a circunferência pode ser representada por uma equação. Com o auxílio da figura abaixo, podemos averiguar que, dado um ponto P (x, y) pertencente à circunferência, se usarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo abaixo,temos: Figura 2: Demonstração da equação da circunferência 2 2 2 ( ) ( )x a y b r    (1) Essa equação é chamada equação da circunferência. Perceba que o ponto (a,b) é o centro da circunferência, e „‟r‟‟, o raio da mesma. Exercício Resolvido: Determine as coordenadas do centro e o raio da seguinte circunferência: 2 2 ( 4) ( 5) 4x y   
  • 35. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 35 Solução: O centro nada mais é do que os valores que estão subtraindo x e y, assim as coordenadas do centro são: (4,5). O raio é o valor que se encontra ao quadrado, do outro lado da equação. Logo, r = 2. Exercícios: 1. Determine a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C(3,5) e r = 7 b) C(0,0) e r = 9 c) C(-3,5) e r = 1 2. Qual a equação da circunferência de centro C(2,-1) que passa por P(3,3) ? 3. Qual a equação da circunferência de centro C(-2,5) que é tangente ao eixo das ordenadas? 2. Equação Normal A partir da equação da circunferência mostrada acima, obtemos: 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 )x ax a y by b r      Que equivale à: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0x y ax by a b r       Exercício Resolvido: Determine o centro e o raio da circunferência abaixo: 2 2 2 2 7 0x y x y     Solução: Note que a equação acima equivale a: 2 2 ( 1) ( 1) 9x y    Assim, representa uma circunferência de C(1,1) e r = 3. 3. Reconhecimento Conforme foi visto acima, uma circunferência pode ser representada por uma equação do segundo grau. Contudo, quando saber se uma equação do segundo grau do tipo mostrado abaixo, representa ou não uma circunferência? 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F      Bem, para tal equação representar uma circunferência, precisamos ter as seguintes condições:
  • 36. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 36 - Os coeficientes de x2 e y2 são iguais - Não existe termo misto xy - E se o raio for real e positivo Agora, você pode estar se perguntando: como, a partir de tal equação, calcular o raio, e o centro? A resposta é dada pelas equações abaixo: Sendo A = B = 1 (o que ocorre na maioria dos casos), temos que: 2 2 , , 2 2 D E a b r a b F       Exercícios Resolvidos: 1- A equação 2 2 2 2 2 0x y x y     representa uma circunferência? Solução: Bem, verificamos que os coeficientes de x2 e y2 são iguais, e que não existe termo misto. Vamos, então, calcular o raio. Note que: 1 2 D a    ; 1 2 E b    . Logo: 2 2 1 1 2 0r a b F       Perceba que não existe circunferência de raio zero, logo, a equação não representa uma circunferência. 2- Obter o centro e o raio da circunferência cuja equação é: 2 2 4 4 4 12 6 0x y x y     Solução: Note que A = B = 4. Para usarmos as relações que conhecemos, precisamos ter A = B = 1. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 4, resultando em: 2 2 3 3 0 2 x y x y     Então: 1 3 , 2 2 2 2 D E a b      E o raio é:
  • 37. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 37 2 2 1 9 3 1 4 4 2 r a b F       Obs: Quando não temos A= B= 1, e não é interessante efetuar a divisão por algum valor, pode-se calcular o raio por: 2 2 4 2 D E AF R A    Exercícios: 4. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências: a) 2 2 4 4 1 0x y x y     b) 2 2 2 2 8 8 34 0x y x y     c) 2 2 2 15 0x y x    5. Determine as coordenadas do centro da seguinte circunferência: 2 2 4 2 3x y x y    6. Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência 2 2 ( 3) ( 2) 25x y    e é perpendicular à reta 3 2 7 0x y   7. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência? 2 2 10 8 0mx y x y k     4) Ponto e circunferência Vamos resolver o seguinte problema: dada uma circunferência de equação 2 2 2 ( ) ( )x a y b r    , e um ponto P(x0,y0), qual é a posição do ponto P em relação à circunferência?
  • 38. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 38 Para resolver tal situação, basta calcularmos a distância do ponto P até o centro da circunferência (PQ), e, em seguida, comparar tal valor com o raio (r). Assim: - Se PC > r, P é exterior à circunferência, isto é, P está fora da circunferência. Lembrando-se da formula da distância entre dois pontos, podemos dizer que PC > r; equivale à: 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r    Sendo assim, basta substituirmos os valores e comparar os resultados. - Se PC = r, então P está situado sobre a circunferência. Para sabermos se isso acontece basta substituir os valores na fórmula abaixo e verificar se a igualdade ocorre: 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r    - Se PC < r, então P está dentro da circunferência. Novamente, basta substituir os valores e vê se a condição abaixo ocorre: 2 2 2 0 0( ) ( )x a y b r    Exercícios: 8. Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência seguinte? 2 2 ( 1) ( 1) 4x y    9. Qual é a posição do ponto A(1, 2 ) em relação à circunferência seguinte? 2 2 4 4 4 0x y x x     5) Inequações do 2o grau Com o que aprendemos acima, podemos resolver algumas inequações do 2o de uma maneira simples, veja: Exemplo 1: Resolva a seguinte inequação: 2 2 4 4 5 0x y x x     Solução: Com alguns cálculos encontramos que as coordenadas do centro: C(2,2) e o raio = 3 . Dessa forma, devido ao “sinal de menor”, a solução da inequação é o conjunto dos pontos interiores à tal circunferência. Exemplo 2: Resolva a seguinte inequação: 2 2 2 2 1 0x y x y    
  • 39. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 39 Solução: Temos que: Centro = C(1,1) e r = 1. Dessa forma a solução da inequação acima é o conjunto dos pontos situados fora de tal circunferência. Ou seja, é o plano cartesiano menos os pontos interiores à circunferência. Exercícios: 10) Resolva as seguintes inequações: a. 2 2 16x y  b. 2 2 4 2 1 0x y x y     11) Calcule a área do círculo que é a solução de: 2 2 4 6 8 0x y x y     6) Reta e circunferência Considere o seguinte problema: -Obtenha o(s) ponto(s) de interseção da reta y x com a circunferência 2 2 2x y  . Solução: Um ponto P(x,y) que está na interseção, obedece, obrigatoriamente, as duas equações, pois ele está situado tanto sobre a reta quanto sobre a circunferência. Sendo assim, substituindo: 2 2 2 ( ) 2 2 2 1; : 1x x x x y ou x y          Ou seja, os pontos comuns são: (1,1) e (-1,-1). Para esse tipo de problema, temos algumas interpretações geométricas. Caso exista 2 pontos de intercessão, como ocorreu acima, dizemos então que a reta é secante à circunferência. Caso haja somente 1 ponto, dizemos que a reta é tangente à circunferência, e caso não haja nenhum ponto, dizemos que a reta é exterior à circunferência. Outra maneira de saber qual a posição de uma reta em relação a uma circunferência é calcular a distância da reta ao centro da circunferência, e depois comparar tal distância com o raio da circunferência. Exercícios: 12) Qual a posição da reta 4 3 0x y  em relação à circunferência seguinte? 2 2 5 7 1 0x y x y     13) Qual é a posição da reta 5 12 8 0x y   em relação à circunferência seguinte?
  • 40. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 40 2 2 2 0x y x   14) Determine o ponto P onde a circunferência seguinte encontra o eixo dos x: 2 2 6 6 9 0x y x y     15) Dada a reta 0x y c   e a circunferência seguinte, 2 2 6 4 12 0x y x y     , obtenha c de modo que a reta seja exterior à circunferência. 16) Obtenha a equação da circunferência de centro C(1,2) e que tangencia a reta de equação 5 12 10 0x y   7) Duas circunferências Interseção Leia com atenção o seguinte problema e sua solução: -Obtenha a interseção da circunferência de centro C1(0,2) e raio r1 = 2 com a circunferência de centro C2(1,0) e raio r2 = 1. Solução: Temos: 2 2 2 2 ( 0) ( 2) 4 4 0x y x y y        (I) E, 2 2 2 2 ( 1) ( 0) 1 2 0x y x y x        . (II) Acima, temos um sistema com duas equações. Subtraindo a primeira pela segunda , temos que: 4 2 0 2y x x y     Com o resultado acima, substituindo na primeira circunferência, temos: 2 2 2 (2 0) ( 2) 4 5 4 0y y y y       Então, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos que: 0 2 0y x y x     Ou, 4 / 5 2 8/ 5y x y x     Assim, as circunferências têm dois pontos em comum: P (0,0) e Q (8/5, 4/5).
  • 41. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 41 Posições Relativas A posição relativa de duas circunferências é determinada comparando a distância entre os centros das duas circunferências com a soma ou diferença dos raios. Calculada a distância entre os centros: 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )d C C a a b b     Onde 1 1( , )a b e 2 2( , )a b são as coordenadas do centro de cada circunferência. A partir disso, são possíveis seis casos distintos de posição entre as duas circunferências: 1- d > r1 + r2. Quando isso ocorre, dizemos que as circunferências são exteriores 2- d = r1 + r2. Diz-se que as circunferências são tangentes exteriormente 3- 1 2d r r  . Diz-se que as circunferências são tangentes interiormente.
  • 42. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 42 4- 1 2 1 2r r d r r    . Diz-se que as circunferências são secantes. 5- 1 20 d r r   . Diz-se que a circunferência de menor raio é interior à outra. 6- d = 0. Circunferências concêntricas. Exercícios: 17) Qual é a posição relativa das circunferências seguintes: 2 2 49x y  e 2 2 6 8 21 0x y x y     18) Obtenha a interseção das circunferências: 2 2 12 12 68 0x y x y     e 2 2 100x y  19) Determine a posição relativa entre as seguintes circunferências: 2 2 16x y  e 2 2 6 4 4 0x y x y     20) As circunferências de equação: 2 2 10 2 16 0x y x y     e 2 2 8 4 16 0x y x y    
  • 43. Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 43 Interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de raio maior à reta AB. 21) Obtenha as circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à circunferência 2 2 4 6 0x y x y    8) Gabaritos 1) a) (x-3)2 + (y-5)2 = 1 b) x2 + y2 = 81 c) (x + 3)² +(y – 5)² = 1 2) (x – 2)² + (y + 1)² = 17 3) (x + 2)² + (y – 5)² = 4 4) a) C(2,-2), r = 3 b) C(-2,-2), r = 5 c) C(-1, 0), r = 4 5) (-2, 1) 6) 2x + 3y = 0 7) m = 1e k < 41 8) P é exterior. 9) A é interior. 10) a) O conjunto solução da inequação é o círculo de centro na origem e raio 4. b)O conjunto solução da inequação é o círculo de centro (2, -1) e raio 2. 11) 5π 12) r é secante. 13) Tangente. 14) P(-3, 0) 15) c > 5 - 1 ou c > - 5 - 1 16) (x – 1)² + (y -2)² = 9 17) Tangentes interiormente. 18) {(6, 8), (8, 6)} 19) Secantes. 20) 2 . 21) (x – 2)² + (y +1)² = (4 - 13 )² ou (x – 2)² + (y +1)² = (4 + 13 )