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MÁRCIA CONTE BOA  AULA
Espírito crítico Não basta olhar para ver, não basta ouvir para escutar. A compreensão dos assuntos implica uma permanente atitude crítica sobre aquilo que se ouve ou vê. Esta atitude crítica exerce-se relacionando aquilo que está a ser estudado com aquilo que já conhecemos e com as opiniões que temos sobre o assunto. Usamos este espírito crítico para descobrir aquilo que é (ou parece ser) o essencial dos assuntos estudados, as idéias principais, o "sumo da questão". Uma boa forma de espevitar o espírito crítico é, de vez em quando, estudar um assunto antes de ele ser abordado pelo professor na aula.
Aula de Revisão Geometria Analítica 1  –  Equação da Reta 2 – Área do triângulo 3 – ponto Médio 4 – Distância entre dois pontos Professora Márcia Conte
PLANO   CARTESIANO
 
[object Object],[object Object]
EQUAÇÃO GERAL DA RETA r: A x  +  B y  +  C  =  0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta  r se am + bn + c    0, P não é um ponto da reta r   EXEMPLO:   X - 3Y  + 5 = 0 Onde o ponto P (1,2)    r Já o ponto P (2, -5)    r
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: y = mx + b  onde, m = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy. O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. m = tg  α  ( abertura ou inclinação da reta )
   Coeficiente angular = 1      Em todas as retas o coeficiente linear (  ponto de intersecção com o eixo das ordenadas -  eixo de y  ) é zero  b = 0 .    Coeficiente angular = 3      Coeficiente angular =2   ÂNGULO:  71.56º ÂNGULO:  63.43º ÂNGULO:  45º PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima
 
 
1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0  – 4x +2y –2 = 0    2y = 4x +2 Encontrar os coeficientes angular e linear da  reta r  que passa por  A(0, 1) e B(2, 5).   Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:   Ou  y =  2x +1  RESOLUÇÃO: COEFICIENTE ANGULAR =  2   COEFICIENTE LINEAR =  1   Veja o gráfico a seguir.   EXEMPLO:   0 ,[object Object],2 ,[object Object],X Y  1
No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) =  2  x +1. 1 5 COEFICIENTE ANGULAR =  2   COEFICIENTE LINEAR =  1   Observe que o  coeficiente angular  é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso  2  ). O  coeficiente linear  é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso  1 )    este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja  o esboço do gráfico dessa função...
Exercícios Resolvidos  01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.                                                                      
Consideremos dois pontos A e B tais que  não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y. Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.
 
02. Calcule a área da região hachurada :                                                        Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), os vértices tomados no sentido  horário ou anti-horário , temos: A= A1 + A2                               A1 = ½ |  1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1  – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3.  | = 3 A2 = ½ |  4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2  –1.3.1 – 2.1.4 – 1.5.1  |= 3,5 A = 6,5 u.a OBS: as duas  | |  (barras), indica que o valor está em módulo e sempre será  positivo
EXERCÍCIO 3  Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
EXERCÍCIO 04:   Vamos determinar a distância entre os pontos  A(1, -1)  e  B(4, -5) :
SOLUÇÃO   DA   QUESTÃO EXERCÍCIO 05:   Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
EXERCÍCIO 05:  –  PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
 
EXERCÍCIO 6 As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades  (1, –2 ) e  ( –1 – 4 ) são:  a)  ( 3 , 1 ) b)  ( 1 , 3 )  c) ( –2  , –3 ) d) ( 0 , –3  ) e) ( 3 , 3 )
EXERCÍCIO 7 Os pontos A (1, -7) e B (  – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é a) y = 3x  – 1  b) y + 2x – 5 = 0 c) y = 5 – 4x  d) 2x + y + 5 = 0 e) y = 5x + 24 -7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0 –  10x  – 5y – 25 = 0 Dividindo toda a equação por (-5): 2x  + y + 5 = 0 = 0 X Y  1 1 -7 1  -4 3  1
Questão 07  Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)? A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ]  | A = |1/2 [ – 18 ] |  A = | – 9 |  A =  9  u.a.  (unidade de área) observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas  |  |  significam módulo XA YA  1 1/2 XB YB  1 XC YC  1 -2 -1  1 ½ 1 3  1 4 1  1
SOLUÇÃO     Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades. QUESTÃO 08
SOLUÇÃO     Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3). QUESTÃO 08
 
 
Y = 4 x = 6 y = 2x – 3 y = – 3x + 6 OBS: as equações são  exemplos de cada situação representada nos gráficos
 
 

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Márcia Conte boa aula sobre espírito crítico e geometria analítica

  • 2. Espírito crítico Não basta olhar para ver, não basta ouvir para escutar. A compreensão dos assuntos implica uma permanente atitude crítica sobre aquilo que se ouve ou vê. Esta atitude crítica exerce-se relacionando aquilo que está a ser estudado com aquilo que já conhecemos e com as opiniões que temos sobre o assunto. Usamos este espírito crítico para descobrir aquilo que é (ou parece ser) o essencial dos assuntos estudados, as idéias principais, o "sumo da questão". Uma boa forma de espevitar o espírito crítico é, de vez em quando, estudar um assunto antes de ele ser abordado pelo professor na aula.
  • 3. Aula de Revisão Geometria Analítica 1 – Equação da Reta 2 – Área do triângulo 3 – ponto Médio 4 – Distância entre dois pontos Professora Márcia Conte
  • 4. PLANO CARTESIANO
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  • 7. EQUAÇÃO GERAL DA RETA r: A x + B y + C = 0 se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r se am + bn + c  0, P não é um ponto da reta r EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0 Onde o ponto P (1,2)  r Já o ponto P (2, -5)  r
  • 8. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: y = mx + b onde, m = coeficiente angular da reta b = coeficiente linear da reta (ponto de intersecção com o eixo Oy. O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox. m = tg α ( abertura ou inclinação da reta )
  • 9. Coeficiente angular = 1  Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas - eixo de y ) é zero b = 0 .  Coeficiente angular = 3  Coeficiente angular =2 ÂNGULO: 71.56º ÂNGULO: 63.43º ÂNGULO: 45º PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima
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  • 13. No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1. 1 5 COEFICIENTE ANGULAR = 2 COEFICIENTE LINEAR = 1 Observe que o coeficiente angular é o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ). O coeficiente linear é o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1 )  este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação. Veja o esboço do gráfico dessa função...
  • 14. Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.                                                                      
  • 15. Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y. Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.
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  • 17. 02. Calcule a área da região hachurada :                                                        Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), os vértices tomados no sentido horário ou anti-horário , temos: A= A1 + A2                               A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3 A2 = ½ | 4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2 –1.3.1 – 2.1.4 – 1.5.1 |= 3,5 A = 6,5 u.a OBS: as duas | | (barras), indica que o valor está em módulo e sempre será positivo
  • 18. EXERCÍCIO 3 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)
  • 19. 2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
  • 20. EXERCÍCIO 04: Vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5) :
  • 21. SOLUÇÃO DA QUESTÃO EXERCÍCIO 05: Calcule o ponto médio entre os pontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).
  • 22. EXERCÍCIO 05: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO
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  • 24. EXERCÍCIO 6 As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são: a) ( 3 , 1 ) b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 ) d) ( 0 , –3 ) e) ( 3 , 3 )
  • 25. EXERCÍCIO 7 Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0 c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0 e) y = 5x + 24 -7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0 – 10x – 5y – 25 = 0 Dividindo toda a equação por (-5): 2x + y + 5 = 0 = 0 X Y 1 1 -7 1 -4 3 1
  • 26. Questão 07 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)? A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] | A = |1/2 [ – 18 ] | A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área) observe que a área é sempre positiva e que as duas barrinhas | | significam módulo XA YA 1 1/2 XB YB 1 XC YC 1 -2 -1 1 ½ 1 3 1 4 1 1
  • 27. SOLUÇÃO  Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades. QUESTÃO 08
  • 28. SOLUÇÃO  Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3). QUESTÃO 08
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  • 31. Y = 4 x = 6 y = 2x – 3 y = – 3x + 6 OBS: as equações são exemplos de cada situação representada nos gráficos
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