7 coordenadas polares e curvas paramétricas

MATEMÁTICA II
(Módulo de Análise Matemática)
Apontamentos das aulas
Problemas propostos
Soluções dos problemas propostos
Mestrado Integrado em Engenharia Química
FEUP
João M. M. Mendonça

Capítulo # 7
COORDENADAS POLARES E
CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
7.1 Coordenadas polares no plano
7.2 Curvas paramétricas no plano
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO
________________________________________________________________
1
7.1 Coordenadas polares no plano
A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas
coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo,
e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada
radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada
angular θ representa o ângulo que o segmento
OP faz com o eixo polar:
Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou
ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é
arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada
radial é igual a zero.

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas
rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser
representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z.
Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da
seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo
ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é
particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares.
7.1.1 Relações entre coordenadas polares e rectangulares
Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas
polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera-
-se por convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente
com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é
coincidente com a parte positiva do eixo Ox:
Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes
relações entre os dois sistemas de coordenadas:
2

________________________________________________________________
3

x = r cos θ
y = r sen θ
⎧
⎨
⎩
e

r2 = x2 + y2
tg θ = y
x
, se x ≠ 0
θ = ± π/2 , se x = 0 e y ≠ 0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Se x 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos
escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x 0, o ponto P estará situado no 2º ou
no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é
sabido, o contradomínio da função arctg é o intervalo ]– π/2, π/2[.
Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este
ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo
θ é arbitrário.
Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas
polares do ponto com coordenadas rectangulares (1,

3).

x = 1
y = 3
⎧
⎨
⎩
⇒

r2 = 4
tg θ = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒

r = ± 2
θ = π/3 ∨ θ = 4π/3
⎧
⎨
⎩
Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x 0 ∧ y 0), se utilizarmos o
valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular
deverá ser π/3:
(2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.
Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a
correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3:
(– 2, 4π/3) ou, mais geralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.

________________________________________________________________
7.1.2 Curvas em coordenadas polares
Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do
que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas
polares em muitos problemas que envolvam essas curvas.
O gráfico da equação F(r,θ) = 0 é definido como sendo o conjunto de todos os
pontos do plano Oxy em que cada ponto tem pelo menos um par de coordenadas
polares (r,θ) que satisfaz aquela equação. Em muitos casos, verifica-se que a
equação F(r,θ) = 0 pode ser resolvida em ordem a r, isto é, pode ser escrita na
chamada forma explícita, r = f(θ).
A curva correspondente poderá ser esboçada se prepararmos uma tabela com
alguns valores de (r,θ) que satisfaçam a equação dada. Apresentamos a seguir
três testes de simetria que poderão ser utilizados com vantagem para esboçar os
gráficos de curvas em coordenadas polares.
4
7.1.2.1 Testes de simetria
Se a equação não se alterar
quando se substitui θ por – θ,
o gráfico é simétrico com
respeito ao eixo Ox:

________________________________________________________________
5
quando se substitui θ por
π – θ, o gráfico é simétrico
com respeito ao eixo Oy:
quando se substitui r por – r,
o gráfico é simétrico com
respeito à origem:
Estas são condições suficientes de simetria, mas não são necessárias; isto
significa que as simetrias referidas podem ocorrer mesmo que estas condições
não sejam satisfeitas.

________________________________________________________________
7.1.2.2 Rectas em coordenadas polares
As únicas rectas que têm uma representação simples em coordenadas polares
são as rectas verticais, as rectas horizontais e as rectas que passam pela origem
das coordenadas:
6
A recta vertical que passa
pelo ponto de coordenadas
rectangulares (a, 0) tem a
seguinte equação em
coordenadas polares:
r cos θ = a
ou
r = a sec θ
em que θ ∈ ]– π/2, π/2[.
A recta horizontal que passa
pelo ponto de coordenadas
rectangulares (0, a) tem a
seguinte equação em
r sen θ = a
ou
r = a cosec θ
em que θ ∈ ]0, π[.

________________________________________________________________
7
Uma recta que passe pela
origem das coordenadas e que
faça um ângulo θo com a
parte positiva do eixo Ox tem
a seguinte equação em
θ = θo
em que r ∈ ]– ∞, ∞[.
7.1.2.3 Circunferências em coordenadas polares
As únicas circunferências com equações simples em coordenadas polares são as
circunferências centradas na origem, e as circunferências centradas num dos
eixos e tangentes ao outro eixo na origem das coordenadas
Uma circunferência com
centro na origem e de raio
igual a

a tem a seguinte
equação em coordenadas
polares:
r = a
em que θ ∈ [0, 2π].

________________________________________________________________
8
centro no ponto (a, 0) e de
raio igual a

a tem a seguinte
polares:
r = 2a cos θ
em que θ ∈ [– π/2, π/2].
centro no ponto (0, a) e de
raio igual a

a tem a seguinte
polares:
r = 2a sen θ
em que θ ∈ [0, π].

________________________________________________________________
Exemplo 7.2 Mostre que a curva polar de equação r = – 4 sen θ é uma
circunferência, obtendo a sua equação em coordenadas
rectangulares; em seguida, calcule as coordenadas polares de
alguns pontos e faça um esboço da curva.
r = – 4 sen θ ⇒ r2 = – 4 r sen θ ⇒ x2 + y2 = – 4y ⇒ x2 + (y + 2)2 = 4
A equação r = – 4 sen θ representa uma circunferência de raio 2 centrada no
ponto (0, – 2); calculemos as coordenadas polares de alguns pontos do gráfico:
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
r 0 – 2 – 2
9

3 – 4 – 2

3 – 2 0
Se considerarmos o intervalo [π, 2π], obtemos exactamente os mesmos pontos:
θ π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π
r 0 2 2

3 4 2

3 2 0
A circunferência é gerada quando θ percorre qualquer intervalo [α, π + α]:

________________________________________________________________
7.1.2.4 Caracóis de Pascal
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:
r = a + b cos θ ou r = a + b sen θ
Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o
intervalo [0, 2π]. A forma do caracol de Pascal é determinada apenas pelo valor
absoluto do quociente a/b:
10

⎧
⎨
0 a /b 1: caracol de Pascal com laço
a /b = 1: cardióide
1 a /b 2 : caracol de Pascal com reentrância
a /b 2 : caracol de Pascal convexo
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Quanto à posição do caracol de Pascal em relação aos eixos coordenados, ela
depende de a/b ser positivo ou negativo, e de aparecer cos θ ou sen θ na equação
respectiva:
Caracol com laço de equação r = 1 + 2 cos θ:

a /b = 1/2

________________________________________________________________
Cardióide de equação r = 2 + 2 cos θ:
11

a /b = 1
Caracol com reentrância de equação r = 3 + 2 cos θ:

a /b = 3/2

________________________________________________________________
Caracol convexo de equação r = 5 + 2 cos θ:
12

a /b = 5/2
A resolução analítica de duas equações simultâneas em coordenadas polares
nem sempre produz todos os pontos de intersecção dos respectivos gráficos,
devido ao facto de cada ponto ter múltiplas representações em coordenadas
polares. Assim, a única forma certa de visualizar todos os pontos de intersecção
de duas curvas polares consiste em traçar os gráficos dessas curvas.
Exemplo 7.3 Determine as coordenadas polares de todos os pontos de
intersecção dos cardióides de equações r = 1 + cos θ e
r = 1 – cos θ.
Comecemos por determinar as coordenadas polares de todos os pontos que
satisfazem simultaneamente as duas equações dadas:
1 + cos θ = 1 – cos θ ⇒ 2 cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 ∨ θ = 3π/2 ⇒ r = 1
As soluções encontradas algebricamente são portanto as seguintes, utilizando
A(1, π/2) e B(1, 3π/2)

________________________________________________________________
A única forma certa de verificar se existem mais pontos de intersecção consiste
em traçar as duas curvas no mesmo gráfico:
Claramente, há um terceiro ponto de intersecção, que é a origem. Porém, as
coordenadas polares deste ponto não podem ser obtidas por métodos algébricos,
já que essas coordenadas são (0, π) para o cardióide de equação r = 1 + cos θ,
mas são (0, 0) para o cardióide de equação r = 1 – cos θ.
13
7.1.2.5 As rosáceas
r = a cos nθ ou r = a sen nθ
em que n ∈ IN . Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ
percorrer o intervalo [0, 2π] quando n for par, ou o intervalo [0, π] quando n for
ímpar. A posição da rosácea em relação aos eixos coordenados, depende de a ser
positivo ou negativo, e de aparecer cos nθ ou sen nθ na equação.

________________________________________________________________
Se n for par, as rosáceas apresentam 2n “laços”, igualmente espaçados em torno
da origem (em termos angulares); se n for ímpar, as rosáceas só apresentam n
“laços”, também igualmente espaçados. O comprimento do diâmetro de cada
um dos “laços”, medido a partir da origem até à sua extremidade, é igual a
14

a :
Rosácea de 4 laços de equação r = 2 cos 2θ

________________________________________________________________
15

________________________________________________________________
16
7.1.2.6 As espirais
Este é o nome genérico que é dado a todas as curvas polares abertas que dão
infinitas “voltas” em torno da origem à medida que θ aumenta ou diminui.
Há vários tipos diferentes de espirais, dos quais mencionaremos apenas os três
exemplos mais conhecidos:
• Espirais de Arquimedes:
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = aθ, em
que θ ≥ 0 ou θ ≤ 0, e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:
Espiral de Arquimedes de equação r = 2θ, com θ ≥ 0
• Espirais logarítmicas:
Estas são curvas que se obtêm como gráfico da equação r = eaθ, em que θ ∈ IR ,
e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem
depende apenas do sinal de a:

________________________________________________________________
Espiral logarítmica de equação r = eθ/5
17
• Espirais hiperbólicas:
Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = a/θ , em
que θ 0 ou θ 0, e a ∈ IR {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em
torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:
Espiral hiperbólica de equação r = 10/θ, com θ 0 (notar a assímptota y = 10)

________________________________________________________________
Note-se que a recta de equação y = a é uma assímptota horizontal do gráfico da
espiral hiperbólica de equação r = a/θ, já que:
18
lim
θ→0
y =
lim
θ→0
r sen θ =
lim
θ→0
(a/θ) sen θ = a
lim
θ→0

sen θ
θ = a (1) = a.
7.1.2.7 As lemniscatas (de Bernoulli)
r2 = ± a2 cos 2θ ou r2 = ± a2 sen 2θ
Trata-se de curvas fechadas “em forma de hélice”, que podem ser traçadas
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π/2, e considerando apenas os
pontos em que r2 ≥ 0. A posição da lemniscata com respeito aos eixos
coordenados depende de o sinal de a2 ser positivo ou negativo, e de aparecer
cos 2θ ou sen 2θ na equação:
A lemniscata de equação r2 = 4 cos 2θ, com θ ∈ [– π/4, π/4]

________________________________________________________________
A lemniscata de equação r2 = 4 sen 2θ, com θ ∈ [0, π/2]
7.1.2.8 As curvas “em forma de oito”
r2 = ± a2 cos θ ou r2 = ± a2 sen θ
Trata-se de curvas fechadas “em forma de oito”, que podem ser traçadas
fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π, e considerando apenas os
pontos em que r2 ≥ 0.
A posição destas curvas com respeito aos eixos coordenados depende apenas de
aparecer cos θ ou sen θ na equação:
19

________________________________________________________________
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 cos θ, com θ ∈ [– π/2, π/2]
A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 sen θ, com θ ∈ [0, π]
20

________________________________________________________________
7.1.3 Área em coordenadas polares
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada por
uma curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um sector circular
de raio r e ângulo-ao-centro Δθ, ou seja:
* ∈ [θi–1, θi], em que i = 1, ..... , n:
21
Área do sector circular =

1
2
r2 Δθ
Seja r = f(θ) uma função contínua e não-negativa de θ, em que α ≤ θ ≤ β e
0 β – α ≤ 2π. Começamos por fazer uma partição regular de [α, β] em n sub-
-intervalos todos iguais, de comprimento Δθ =

β − α
n
. Em seguida, escolhemos
um ponto qualquer θ
i
É evidente da figura junta que quanto maior for n e menor for Δθ, mais as
regiões obtidas com esta partição se assemelharão a sectores circulares.

________________________________________________________________
Portanto, se Δθ ≈ 0, podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é
praticamente igual à área de um sector circular de raio f
nΣ
22

θi *
( ) e ângulo-ao-centro
Δθ, ou seja:
ΔAi ≈

1
2

⎡ ( )
⎢⎣
f θi *
⎤
⎥⎦
2
Δθ ⇒ A =

i=1
ΔAi ≈

nΣ
i=1

1
2

⎡ ( )
⎢⎣
f θ i *
⎤
⎥⎦
2
Δθ
No limite, quando n
→ ∞ e Δθ
→ 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor
exacto da área delimitada pela curva polar de equação r = f(θ) no intervalo
α ≤ θ ≤ β, valor esse que pode ser calculado por meio do seguinte integral:
A =

∫
β α

1
2

[f(θ)]2
dθ =

∫
β α

1
2
r2 dθ
Frequentemente, a aplicação prática desta fórmula é facilitada se se entrar em
linha de conta com as possíveis simetrias do gráfico da equação r = f(θ) que
delimita a região cuja área se pretende calcular.
Como regra geral, o intervalo de integração [α, β] deverá ser o intervalo mais
pequeno que permita calcular a área pretendida; note-se em particular a restrição
β – α ≤ 2π.
Deverá ainda ter-se especial cuidado nos casos em que r2 for negativo, o que
obviamente não faz qualquer sentido.
Exemplo 7.4 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação
r = 3 + 2 cos θ.
Já vimos atrás que o caracol de Pascal é uma curva fechada que é
completamente traçada quando θ percorre o intervalo [0, 2π[:
θ 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π
r 5 3+

2 3 3–

2 1 3–

2 3 3+

2 5

________________________________________________________________
π ∫ (9 + 12 cos θ + 4
π ∫ (11 + 12 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =
π ∫ cos 2θ dθ = 0
π ∫ 11 dθ = 11π
23
A =

∫
2π 0

1
2
(3 + 2 cos θ)2 dθ = (por simetria) = 2

∫
π 0

1
2
(3 + 2 cos θ)2 dθ =
=

∫ π (9 + 12 cos θ + 4 cos2 θ) dθ =
0

0

1 + cos 2θ
2
) dθ =
=

0

⎛
⎝

∫ π cos θ dθ =
0

0

⎞
⎠
=

0
Acontece muitas vezes que a curva que delimita a região cuja área se pretende
calcular “começa” na origem das coordenadas. Neste caso, o valor do ângulo α
terá de ser determinado por resolução da equação r = f(θ) = 0. Se esta equação
tiver mais do que uma solução, deverá ser escolhida aquela que for adequada,
atendendo à posição no plano Oxy da região cuja área se pretende calcular.

________________________________________________________________
Considerações análogas são válidas para a determinação do ângulo β, quando a
curva “acabar” na origem das coordenadas, ou então para a determinação dos
dois limites, quando a curva “começar” e “acabar” na origem das coordenadas:
24
α é uma solução da equação f(θ) = 0
β é uma solução da equação f(θ) = 0
Se r = f(θ) e r = g(θ) forem as equações de duas curvas polares contínuas tais
que 0 ≤ g(θ) ≤ f(θ) no intervalo α ≤ θ ≤ β, com 0 β – α ≤ 2π, a área da região
delimitada pelas duas curvas naquele intervalo será dada pela diferença entre as
áreas das regiões delimitadas pela curva mais afastada da origem, r = f(θ), e pela
curva mais próxima da origem, r = g(θ), ou seja:
A =

∫
β α

1
2

[f(θ)]{ 2 − [g(θ)]2} dθ

________________________________________________________________
Todas as considerações feitas para o caso anterior são ainda aplicáveis neste
caso, nomeadamente no que diz respeito a:
• possíveis simetrias dos gráficos;
• intervalo de integração [α, β] mais adequado, sempre com β – α ≤ 2π;
• casos em que r2 for negativo.
Exemplo 7.5 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação
r = 1 + 2 cos θ e exterior à circunferência r = 2.
Comecemos por fazer um esboço da região cuja área se quer obter, fazendo θ
percorrer o intervalo [0, 2π[:
θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 4π/3 3π/2 5π/3 2π
r 3 2 1 0 – 1 0 1 2 3
É possível observar a simetria com respeito ao eixo Ox da região cuja área se
pretende calcular:
Neste caso, os dois pontos de intersecção podem ser obtidos algebricamente:
r = 1 + 2 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3 (θ = – π/3)
25

________________________________________________________________
Devido à simetria com respeito ao eixo Ox, a área pretendida será dada por:
π/3 ∫ (1 + 4 cos θ + 4 cos2 θ – 4) dθ =
π/3 ∫ (1 + 4 cos θ + 4
π/3 ∫ (– 1 + 4 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =
26
A =

π/3 ∫
− π/3

1
2
{(1 + 2 cos θ)2 − 22} dθ =
= 2

∫
π/3 0

1
2
{(1 + 2 cos θ)2 − 22} dθ =
=

0
=

0

1 + cos 2θ
2
– 4) dθ =
=

0

15 3 − 2π
6
.
Problemas propostos / Secção 7.1
1. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos cujas coordenadas
polares são:
(a) (1, – π/3);
(b) (– 2, 2π/3);
(c) (– 2, – 7π/6).
2. Determine duas representações em coordenadas polares, uma com r 0 e
outra com r 0, para os pontos cujas coordenadas rectangulares são:
(a) (– 1, – 1);
(b) (

3, – 1);
(c) (– 3,

3).
3. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas polares:
(a) x = 3y;
(b) xy = 1;
(c) y = x2.

________________________________________________________________
4. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas rectangulares:
27
(a) r = – 5 cos θ;
(b) r = 1 – cos 2θ;
(c) r = 3 sec θ.
5. Esquematize o gráfico de cada uma das curvas polares indicadas a seguir,
referindo possíveis simetrias com respeito aos eixos principais ou à
origem:
(a) r = 2 cos θ;
(b) r = 1 + cos θ;
(c) r = 2 + 4 cos θ;
(d) r2 = 4 sen 2θ;
(e) r = 2 sen 2θ;
(f) r = 3 cos 3θ.
6. Determine todos os pontos de intersecção das curvas polares a seguir
indicadas:
(a) r = 2 e r = cos θ;
(b) r = sen θ e r = cos 2θ;
(c) r = 1 – cos θ e r2 = 4 cos θ.
7. Determine a área delimitada pelas curvas polares a seguir indicadas:
(a) r = 1 + cos θ;
(b) r = 2 – cos θ;
(c) r = – 4 cos θ;
(d) r = 2 cos 2θ;
(e) r2 = 4 sen 2θ.
8. Determine a área das regiões do plano abaixo descritas:
(a) Interior a r = cos θ e a r =

3 sen θ;
(b) Interior a r = 3 + 2 cos θ e exterior a r = 4;
(c) Interior a r2 = cos 2θ e a r2 = sen 2θ.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.1
1. (a) (1/2, –

3/2);
(b) (1, –

3);

________________________________________________________________
28
(c) (

3, – 1).
2. (a) (

2, 5π/4) e (–

2, π/4);
(b) (2, 11π/6) e (– 2, 5π/6);
(c) (2

3, 5π/6) e (– 2

3, 11π/6).
3. (a) θ = arctg

1
3
;
(b) r2 sen 2θ = 2, com θ ∈ ]0, π/2[;
(c) r = tg θ sec θ, com θ ∈ [0, π/2[ ∪ ]π/2, π].
4. (a) (x + 5/2)2 + y2 = (5/2)2;
(b) (x2 + y2)3 = 4y4;
(c) x = 3.
5. (a) Circunferência de raio 1 e centro em (1, 0); simetria com respeito
ao eixo Ox;
(b) Cardióide; simetria com respeito a Ox;
(c) Caracol de Pascal com laço; simetria com respeito a Ox;
(d) Lemniscata; simetria com respeito à origem;
(e) Rosácea de 4 pétalas; simetrias com respeito a Ox, Oy e à origem;
(f) Rosácea de 3 pétalas; simetria com respeito a Ox.

________________________________________________________________
29
6. (a) {
∅};
(b) (1/2, π/6), (1/2, 5π/6), (1, π/2) e (0, 0);
(c) (2 (

2 – 1), arccos (3 – 2

2)), (2 (

2 – 1), – arccos (3 – 2

2)),
(2, π) e (0, 0).
6.(b)
6.(c)
7. (a) 3π/2;
(b) 9π/2;
(c) 4π;
(d) 2π;
(e) 4.

________________________________________________________________
30
8. (a)

5π − 6 3
24
;
(b)

39 3 − 10π
6
;
(c)

2 − 2
2
.

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO
________________________________________________________________
31
7.2 Curvas paramétricas no plano
Qualquer curva no plano Oxy pode sempre ser representada analiticamente se
exprimirmos as coordenadas rectangulares x e y como funções contínuas de uma
terceira variável t, normalmente designada por parâmetro, o qual toma valores
num dado intervalo I ⊆ IR :

x = f(t)
y = g(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⊆ IR
O conjunto de todos os pontos do plano Oxy que satisfazem estas duas equações
simultâneas é designado por curva paramétrica plana, e as equações acima
escritas são chamadas equações paramétricas dessa curva plana.
Se o intervalo I for um intervalo fechado do tipo [a, b], os pontos A

(f(a),g(a)) e
B
(f(b),g(b)) são chamados pontos terminais da curva. Se estes dois pontos
coincidirem, a curva plana diz-se fechada. Se a curva não tiver pontos onde se
auto-intersecta, dizemos que é uma curva simples.
7.2.1 Orientação de uma curva paramétrica
A mesma curva plana pode ser representada por infinitos pares de equações
paramétricas do tipo {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}. É costume dizer-se que
cada uma destas representações constitui uma parametrização diferente da
mesma curva. Portanto, quando nos referimos a uma curva paramétrica plana,
estamos a falar de uma curva plana com uma parametrização bem definida.
Definição: A orientação de uma curva paramétrica plana é o sentido em
que a curva é percorrida quando o parâmetro da curva aumenta.
A orientação de uma curva está intimamente associada à parametrização
utilizada para descrever essa curva, e poderá ser invertida se utilizarmos uma
parametrização diferente para a mesma curva.

________________________________________________________________
Se for possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas, perde-se a
informação acerca da orientação da curva, e pode mesmo acontecer que a
extensão do gráfico da curva seja alterada.
7.2.2 Equações paramétricas da recta
Qualquer recta do plano Oxy pode sempre ser representada pelas suas equações
paramétricas, que exprimem x e y como funções lineares do parâmetro t:
32

x = xo + a t
y = yo + b t
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ IR
em que (xo, yo) são as coordenadas rectangulares de um ponto arbitrário da
recta, e em que a e b são duas constantes relacionadas com o seu declive:
Se a ≠ 0 e b ≠ 0, o parâmetro t pode ser facilmente eliminado daquelas duas
equações, obtendo-se a equação da recta em coordenadas rectangulares:

x − xo
a
= y − yo
b
⇒ y − yo = b
a
(x − xo)

________________________________________________________________
pelo que o declive da recta é exactamente igual a

33
b
a
. Se a = 0 e b ≠ 0, obtém-se
a recta vertical x = xo; se a ≠ 0 e b = 0, obtém-se a recta horizontal y = yo.
7.2.3 Equações paramétricas da elipse (circunferência)
Qualquer elipse de semieixos paralelos aos eixos coordenados pode sempre ser
representada pelas equações paramétricas

x = x o + a cos t
y = y o + b sen t
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ [0, 2π], a 0 e b 0
em que a e b representam o comprimento dos semieixos da elipse na direcção
dos eixos Ox e Oy, respectivamente, e (xo, yo) são as coordenadas rectangulares
do seu centro. A orientação associada a esta representação paramétrica equivale
a percorrer a elipse no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:
O parâmetro t pode agora ser eliminado utilizando a identidade fundamental da
Trigonometria, obtendo-se a equação em coordenadas rectangulares de uma
elipse centrada em (xo, yo) e com os eixos paralelos a Ox e a Oy:

________________________________________________________________
34
cos2 t + sen2 t = 1 ⇒

(x − xo)2
a2
+

(y − yo)2
b2
= 1
Se a = b, as equações acima escritas (quer as equações paramétricas, quer a
equação em coordenadas rectangulares) representam uma circunferência de raio
a centrada no ponto de coordenadas rectangulares (xo, yo).
Exemplo 7.6 Orientação associada a duas parametrizações diferentes da
circunferência de raio 1 centrada na origem, de equação
x2 + y2 = 1:
Se utilizarmos a parametrização

x = cos t
y = sen t
⎧
⎨
⎩
, 0 ≤ t ≤ 2π, a circunferência é
descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio:
t 0 π/2 π 3π/2 2π
x 1 0 – 1 0 1
y 0 1 0 – 1 0
Se, porém, utilizarmos a parametrização

x = cos t
y = − sen t
⎧
⎨
⎩
, 0 ≤ t ≤ 2π, a mesma
circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido dos
ponteiros do relógio:
t 0 π/2 π 3π/2 2π
x 1 0 – 1 0 1
y 0 – 1 0 1 0

________________________________________________________________
7.2.4 Equações paramétricas do ciclóide
O ciclóide é a curva descrita por um ponto fixo P da periferia de um círculo de
raio a, quando esse círculo roda sem deslizar ao longo do eixo Ox:
As equações paramétricas do ciclóide são (ver exemplo seguinte):
35

x = a (t − sen t)
y = a (1 − cos t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ IR e a ∈ IR+
Exemplo 7.7 Dedução geométrica das equações paramétricas do ciclóide:

________________________________________________________________
As equações paramétricas do ciclóide podem ser deduzidas geometricamente se
interpretarmos o parâmetro t como sendo o ângulo de rotação do círculo,
expresso em radianos (ver figura anterior):
–1
36
1. arco
PT =

OT, porque o círculo roda sem deslizar, e o ponto P
encontrava-se inicialmente em O;
2. arco
PT = at, porque é o comprimento de um arco de circunferência de
raio a e ângulo-ao-centro t;
3.

PQ =

OT –

Ox = at – x (evidente da figura);
4.

PQ = a sen t, do triângulo rectângulo PQC;
5. at – x = a sen t ⇒ x = at – a sen t = a (t – sen t), de 3. e 4.;
6.

CQ =

Oa –

Oy = a – y (evidente da figura);
7.

CQ = a cos t, do triângulo rectângulo PQC;
8. a – y = a cos t ⇒ y = a – a cos t = a (1 – cos t), de 6. e 7.
É possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas e relacionar
directamente x com y, mas o resultado que se obtém por este processo é muito
mais complicado do que as equações paramétricas acima escritas.
7.2.5 Funções definidas por representações paramétricas
Definição: Uma curva plana representada pelo par de equações paramétricas
{x = f(t),y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}, diz-se uma curva suave (ou
curva lisa) se as derivadas

dx
dt
e

dy
dt
forem contínuas e não se
anularem simultaneamente para nenhum valor de t ∈ I.
Mostremos que uma curva paramétrica suave pode sempre ser considerada
como sendo o gráfico de uma função do tipo y = F(x) numa certa vizinhança de
qualquer ponto da curva onde

dx
dt
≠ 0:

dx
dt
0 (ou 0), ∀t ∈ I ⇒ x = f(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒
⇒ Existe a função inversa t = f
(x) ⇒ y = g(t) = g(f
–1
(x)) = F(x)

________________________________________________________________
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:
37
Repare-se bem que, se

dx
dt
≠ 0, apenas podemos garantir que a função y = F(x)
existe, mas isso não significa que possamos saber qual é essa função! Para isso
acontecer, teríamos de ser capazes de eliminar o parâmetro t das duas equações
paramétricas, o que na maior parte dos casos é impossível.
7.2.5.1 Derivação de funções do tipo y = F(x)
definidas por representações paramétricas
Se for verificada a condição

dx
dt
≠ 0 num intervalo contido em I, a derivada da
função y = F(x) nesse intervalo poderá ser obtida directamente das equações
paramétricas, sem que seja necessário eliminar o parâmetro t para conhecer a
função y = F(x).
De facto, se

dx
dt
≠ 0, mostrámos acima que t = f
–1
(x) ⇒ y = g(f
–1
(x)) = F(x).
Aplicando as conhecidas regras de derivação da função composta e da função
inversa, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de F(x):
F´(x) =

⎡ g (f−1(x))
⎢⎣
⎤
⎥⎦
′
=

g′ f( −1(x))

f( −1(x))′
=

g′ f( −1(x))

1
f ′ f( −1(x)) =

g′ f( −1(x))
f ′ f( −1(x))

________________________________________________________________
38
–1
Substituindo agora f
(x) por t na última expressão, vem o resultado pretendido:
F´(x) =

g′(t)
f ′(t)
, se f´(t) ≠ 0
Repare-se que nesta fórmula o símbolo de derivação se refere à variável x no 1º
membro e à variável t no 2º membro! Se utilizarmos a notação diferencial para
as derivadas, o resultado é muito mais “intuitivo” e fácil de memorizar:

dy
dx
=

dy
dt
dx
dt
, se

dx
dt
≠ 0
Para calcularmos F´´(x), basta repetir o procedimento anterior, derivando

g′(t)
f ′(t)
em ordem a x por intermédio de t:
F´´(x) =

d
dx

g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠ =

d
dt
g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
dx
dt
=

g′(t)
f ′(t)
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
′
f ′(t)
, se f´(t) ≠ 0
Este resultado também pode ser escrito utilizando apenas a notação diferencial:

d2y
dx2
=

d
dx

dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ =

d
dt
dy/dt
dx/dt
⎛
⎝
⎞
⎠
dx
dt
, se

dx
dt
≠ 0
Exemplo 7.8 Considere a curva paramétrica seguinte:

x = 2t2 + 1
y = 3t3 + 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, com t ∈ IR .
(a) Escreva a equação da tangente à curva no ponto onde
o parâmetro t toma o valor 1;
(b) Determine o sinal da concavidade no mesmo ponto.

________________________________________________________________
39
(a)

dx
dt
= 4t
dy
dt
= 9t2
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⇒

dy
dx
=

9t2
4t
=

9 t
4
, se t ≠ 0
Para t = 1, obtém-se x = 3, y = 5 e

dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ t = 1
=

9
4
, logo a equação da tangente à
curva no ponto correspondente a t = 1 será: (y – 5) =

9
4
(x – 3).
(b)

d2y
dx2
=

d
dx

9 t
4
⎛
⎝
⎞
⎠ =

d
dt
9 t
4
⎛
⎝
⎞
⎠
dx
dt
=

9
4
4t
=

9
16 t
, se t ≠ 0 ⇒
⇒

d2y
dx2
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟
t = 1
=

9
16
0 ⇒ concavidade positiva.
7.2.5.2 Integração de funções do tipo y = F(x)
Suponhamos que era dada a curva paramétrica suave de equações {x = f(t),
y = g(t)}, com a ≤ t ≤ b; para garantir que esta curva representa o gráfico de uma
função não-negativa y = F(x) no intervalo [c,d] correspondente, vamos admitir
que

dx
dt
≠ 0 e que y = g(t) ≥ 0 em [a,b]:
Podemos então calcular directamente a área delimitada pelo gráfico de y = F(x)
e pelo eixo Ox entre c e d, utilizando as equações paramétricas da curva, mesmo
sem conhecermos a função F(x):

________________________________________________________________
d ∫ [F(x)]2 dx = π
40
A =

∫ d F(x) dx =
c

∫ d y dx =
c

y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ =

** ∫ y(t)
*

dx
dt
dt
em que a notação y(t), aqui utilizada pela primeira vez, significa que devemos
exprimir y em função de t (y = g(t)) para calcularmos o integral, e em que * = a
e ** = b se

dx
dt
0, mas * = b e ** = a se

dx
dt
0, como se depreende facilmente
das duas figuras abaixo representadas:
Note-se pois que a integração com respeito a t poderá ser feita de a para b ou de
b para a, conforme a orientação da curva paramétrica que representa o gráfico
de y = F(x); em qualquer dos casos, independentemente dessa orientação, isto
corresponde a uma integração com respeito a x feita de c para d.
O volume dos sólidos de revolução que se obtêm por rotação da mesma região
do plano em torno de Ox ou de Oy também pode ser calculado directamente a
partir da representação paramétrica, sem termos de eliminar o parâmetro t:
• Rotação em torno de Ox (método das secções rectas):
Vx = π

c

∫ d y2 dx =
c
=

y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ = π

** ∫ [y(t)]2
*

dx
dt
dt

________________________________________________________________
• Rotação em torno de Oy (método das cascas cilíndricas):
d ∫ x F(x) dx = 2π
2π ∫ (1 – cos t) (1 – cos t) dt =
41
Vy = 2π

c

∫ d x y dx =
c
=

x = f(t)
y = g(t)
dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= 2π

** ∫ x(t) y(t)
*

dx
dt
dt
Nestes integrais, mais uma vez, a notação x(t) e y(t) significa que devemos
exprimir estas duas variáveis em função do parâmetro t, e os limites * e ** têm
o significado já explicado: * = a e ** = b se

dx
dt
0, ou * = b e ** = a se

dx
dt
0.
Exemplo 7.9 Calcule a área delimitada pelo arco de ciclóide de equações
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t, 0 ≤ t ≤ 2π} e pelo
eixo Ox, e o volume que se obtém rodando essa região do
plano Oxy em torno do eixo Ox.

x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧
⎨
⎩
, com 0 ≤ t ≤ 2π

dx
dt
= 1 – cos t
A =

∫ 2π y(t)
0

dx
dt
dt =

0

________________________________________________________________
2π ∫ (
2π ∫ (1 – cos t)2 (1 – cos t) dt =
2π ∫ (1 – 3 cos t + 3 cos2t – cos3t) dt =
** ∫
42
=

∫ 2π (1 – 2 cos t + cos2t) dt =
0

0

3
2
– 2 cos t +

1
2
cos 2t) dt = 3π
Vx = π

∫ 2π [y(t)]2
0

dx
dt
dt = π

0
= π

0
2π ∫ (

cos t dt = 0
∫
2π 0
⎟
⎟
⎟⎟
cos3 t dt = 0
∫
2π 0
⎛
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎠
=
= π

∫ 2π (1 + 3 cos2t) dt = π
0

0

5
2
+

3
2
cos 2t) dt = 5π2
Podemos calcular o comprimento do arco de curva suave, que constitui o gráfico
da função y = F(x) em [c,d], sem eliminar t das equações {x = f(t), y = g(t)}:
s =

∫
d c

1 + [F′(x)]2 dx =

∫
d c

1 + dy
dx
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx =
=

dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
; dx = dx
dt
dt
⎛
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
=

*

dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2

dx
dt
dt =
=

** ∫
*

dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2

dx
dt
dx
dt
dt =

∫
b a

dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dt
A justificação da última passagem é a seguinte: (* = a e ** = b) se

dx
dt
0 ⇒
⇒

dx
dt
=

dx
dt
, mas (* = b e ** = a) se

dx
dt
0 ⇒

dx
dt
= –

dx
dt
. Portanto,
neste caso, a integração é sempre feita de a para b, quer

dx
dt
0, quer

dx
dt
0.

________________________________________________________________
Exemplo 7.10 Calcule o comprimento do arco de ciclóide de equações
paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t}, em que 0 ≤ t ≤ 2π.
43

x = t − sen t
y = 1 − cos t
⎧
⎨
⎩
, com 0 ≤ t ≤ 2π

dx
dt
= 1 – cos t ;

dy
dt
= sen t
s =

∫
2π 0

dx
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
+ dy
dt
⎡
⎢⎣
⎤
⎥⎦
2
dt =

∫
2π 0

(1 − cos t)2 + (sen t)2 dt =
=

∫
2π 0

2 − 2 cos t dt = [porque 1 – cos t ≡ 2 sen2 (t/2)]
=

∫
2π 0

4 sen2 (t /2) dt =

∫ 2π 2
0

sen (t /2) dt =
[porque 0 ≤ t ≤ 2π ⇒ 0 ≤ t/2 ≤ π ⇒
⇒ sen (t/2) ≥ 0 ⇒

sen (t /2) = sen (t/2)]
= 2

∫ 2π sen (t/2) dt = 8
0

________________________________________________________________
7.2.5.3 Derivação e integração de funções do tipo x = G(y)
Uma curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}
pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo x =
= G(y) numa certa vizinhança de qualquer ponto da curva onde
44

dy
dt
≠ 0:

dy
dt
0 (ou 0), ∀t ∈ I ⇒ y = g(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒
⇒ Existe a função inversa t = g–1(y) ⇒ x = f(t) = f(g–1(y)) = G(y)
Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:
É possível escrever fórmulas análogas às que deduzimos atrás para calcular
derivadas ou integrais (por exemplo áreas, ou volumes de sólidos de revolução,
ou comprimentos de arcos de curva), sem termos necessidade de eliminar o
parâmetro t, ou seja, sem termos de conhecer a função x = G(y).
Por exemplo, a derivada da função x = G(y) será agora dada pela fórmula:

dx
dy
=

dx
dt
dy
dt
, se

dy
dt
≠ 0

________________________________________________________________
d ∫ x dy =
45
Se

dy
dt
0 ou

dy
dt
0, e se adicionalmente for x = f(t) ≥ 0 em [a,b], a área que é
delimitada pelo gráfico de x = G(y) em [c,d] e pelo eixo Oy é dada por:
A =

∫ d G(y) dy =
c

c

x = f(t)
dy = dy
dt
dt
⎛
⎜
⎝
⎞
⎠
⎟ =

** ∫ x(t)
*

dy
dt
dt
em que (* = a e ** = b) se

dy
dt
0, mas (* = b e ** = a) se

dy
dt
0. As fórmulas
para o cálculo de volumes de sólidos de revolução e comprimentos de arcos de
curva no caso em que x = G(y) podem ser facilmente deduzidas.
7.2.6 Representação paramétrica de curvas
em coordenadas polares
Uma curva plana também pode ser representada se exprimirmos as coordenadas
polares (r, θ) de um ponto “corrente” da curva como funções contínuas de um
parâmetro t qualquer:

r = r(t)
θ = θ(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⊆ IR
Esta representação paramétrica em coordenadas polares pode sempre ser
transformada numa representação paramétrica da mesma curva em coordenadas
rectangulares, com a mesma parametrização:

x = r cos θ = r(t) cos (θ(t)) = f(t)
y = r sen θ = r(t) sen (θ(t)) = g(t)
⎧
⎨
⎩
, com t ∈ I ⇒
⇒

dx
dt
= dr
dt
cos (θ(t)) − r(t) sen (θ(t))
dθ
dt
dy
dt
= dr
dt
sen (θ(t)) + r(t) cos (θ(t))
dθ
dt
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

________________________________________________________________
Supondo que as equações paramétricas acima escritas definem uma função
y = F(x) (ou x = G(y)) num intervalo contido em I, podemos agora utilizar as
expressões de x = f(t), y = g(t),
46

dx
dt
e

dy
dt
acima obtidas para calcular derivadas
e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) envolvendo essa função, sem termos de
saber exactamente qual é a função, conforme foi explicado atrás.
Exemplo 7.11 A trajectória de uma partícula material no plano Oxy pode
ser representada pelas equações paramétricas

r = cos t
θ = 1
2
t
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
com t ≥ 0, em que t é o tempo. Qual a forma da trajectória da
partícula? Quais as componentes da velocidade segundo os
eixos Ox e Oy em cada instante t?

r = cos t
θ = 1
2
t
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒ t = 2θ ⇒ r = cos 2θ (rosácea de 4 laços)
A partícula inicia o seu movimento no instante t = 0 no ponto de coordenadas
rectangulares (1, 0), e percorre a rosácea de 4 laços representada na figura junta,
voltando ao ponto de partida quando t = 4π (θ = 2π), e recomeçando novamente
a percorrer a mesma trajectória.

________________________________________________________________
As componentes da velocidade da partícula em cada instante t são
47

dx
dt
e

dy
dt
:

x = r cos θ = cos t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
y = r sen θ = cos t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
⇒
⇒

dx
dt
= − sen t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠ − 1
2
cos t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
dy
dt
= − sen t sen
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠ + 1
2
cos t cos
1
2
t
⎛
⎝
⎞
⎠
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
7.2.7 Utilização da coordenada θ como parâmetro
Sempre que uma curva polar puder ser representada por uma equação explícita
do tipo r = r(θ), a escolha mais natural para o parâmetro t da curva polar é a
própria coordenada angular θ:
r = r(θ) ⇒

x = r cos θ = r(θ) cos θ = f(θ)
y = r sen θ = r(θ) sen θ = g(θ)
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒

dx
dθ
= dr
dθ cos θ − r(θ) sen θ
dy
dθ
= dr
dθ sen θ + r(θ) cos θ
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Supondo que a curva polar de equação r = r(θ) representa uma função y = F(x)
(ou x = G(y)) no intervalo considerado, podemos agora utilizar as expressões
acima obtidas para calcular derivadas e/ou integrais (áreas, volumes, etc.)
envolvendo essa função, sem termos de saber exactamente qual é a função. Por
exemplo, se quisermos calcular

dy
dx
= F´(x):

________________________________________________________________
48

dy
dx
=

dy
dθ
dx
dθ
=

dr
dr
desde que

dx
dθ ≠ 0, ou seja,

dr
dθ cos θ ≠ r(θ) sen θ.
Exemplo 7.12 Obtenha as coordenadas polares dos pontos do cardióide de
equação r = 1 – cos θ onde a tangente ao gráfico é vertical.
Tangente vertical ⇒

dy
dx
→ ± ∞ ⇒

dx
dy
= 0

x = r cos θ = (1 − cos θ) cos θ
y = r sen θ = (1 − cos θ) sen θ
⎧
⎨
⎩
⇒

dx
dθ
= sen θ (2 cos θ − 1)
dy
dθ
= cos θ − cos 2θ
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

dx
dy
=

dx
dθ
dy
dθ
= 0 ⇒

dx
dθ = 0 ∧

dy
dθ ≠ 0 ⇒

________________________________________________________________
⇒ sen θ (2 cos θ – 1) = 0 ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ (sen θ = 0 ∨ cos θ = 1/2) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ (θ = 0 ∨ θ = π ∨ θ = 2π ∨ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒
⇒ θ = π/3 (r = 1/2) ∨ θ = π (r = 2) ∨ θ = 5π/3 (r = 1/2)
Se a curva polar de equação r = r(θ) passar pela origem das coordenadas quando
θ = θo (isto é, se r(θ) = 0 ⇒ θ = θo), e se
49

dr
dθ ≠ 0 no mesmo ponto, então,
substituindo r(θ) = 0 e θ = θo na equação

dy
dx
=

dr
dr
e
simplificando, obtemos imediatamente

dy
dx
⎛
⎝
⎞
⎠ r = 0
= tg θo, o que significa que a
recta θ = θo é tangente à curva polar r = r(θ) na origem (r = 0):
Exemplo 7.13 A rosácea de equação r = 2 cos 3θ, com 0 ≤ θ ≤ π, passa três
vezes pela origem das coordenadas. Calcule o declive das
três rectas tangentes à rosácea na origem.
Na origem das coordenadas, r = 0 ⇒ cos 3θ = 0 ⇒ 3θ = (2k + 1)

π
2
, k ∈ Z ⇒
⇒ θ = (2k + 1)

π
6
, k ∈ Z. Como 0 ≤ θ ≤ π, as três soluções possíveis são:

________________________________________________________________
50
θ =

π
6
(k = 0) ; θ =

3π
6
=

π
2
(k = 1) ; θ =

5 π
6
(k = 2)
Verifiquemos se

dr
dθ ≠ 0 em cada um destes três pontos:

dr
dθ = – 6 sen 3θ ⇒

dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = π/6
= − 6 sen (π/2) = − 6 ≠ 0
dr
dθ
⎪
⎪
⎪⎪
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = π/2
= − 6 sen (3π/2) = 6 ≠ 0
dr
dθ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎛
⎝
⎞
⎠ θ = 5π/6
= − 6 sen (5 π/2) = − 6 ≠ 0
⎧
⎨
⎩
Podemos então concluir que as rectas de equações θ =

π
6
, θ =

π
2
e θ =

5 π
6
são
tangentes à rosácea de equação r = 2 cos 3θ na origem das coordenadas:
A fórmula que permite calcular o comprimento de um arco de curva suave tem
um aspecto muito simples para uma curva polar de equação explícita r = r(θ):

dx
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
+

dy
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
=

⎛
dr
⎝
θ − θ) θ dθ cos r(sen ⎞
⎠
2
+

⎛
dr
⎝
θ + θ) θ dθ sen r(cos ⎞
⎠
2

________________________________________________________________
Desenvolvendo o 2º membro e simplificando (verificar!), obtém-se:
2π ∫ 2 sen (θ/2) dθ = [– 4 cos (θ/2)]
51

dx
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
+

dy
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= [r(θ)]2 +

dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
Substituindo este resultado na fórmula que foi obtida atrás para o cálculo do
comprimento de um arco de uma curva paramétrica suave, com t = θ, a = α e
b = β, obtém-se a fórmula pretendida:
s =

∫
β α

[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
dθ
Exemplo 7.14 Calcular o comprimento do cardióide de equação r = 1 – cos θ.
r(θ) = 1 – cos θ ⇒

dr
dθ = sen θ ⇒
⇒ [r(θ)]2 +

dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= (1 – cos θ)2 + (sen θ)2 = 2 – 2 cos θ =
= 2 (1 – cos θ) = [1 – cos θ ≡ 2 sen2 (θ/2)] = 4 sen2 (θ/2) ⇒
⇒

[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= 2 sen2 (θ/2) = 2 sen (θ/2)
0 ≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ θ/2 ≤ π ⇒ sen (θ/2) ≥ 0 ⇒

[r(θ)]2 + dr
dθ
⎛
⎝
⎞
⎠
2
= 2 sen (θ/2)
s =

0

2π
0
= – 4 cos π + 4 cos 0 = 8.

________________________________________________________________
Problemas propostos / Secção 7.2
1. Em cada caso, elimine o parâmetro t e represente graficamente a
correspondente curva, indicando qual a sua orientação:
(a) x = 3t – 4, y = 6t + 2, t ∈ IR ;
(b) x = 2 cos t, y = 5 sen t, 0 ≤ t ≤ 2π;
(c) x = t2, y = t3, t ∈ IR ;
(d) x = t2, y = 2 ln t, t ≥ 1.
2. Para cada uma das curvas paramétricas abaixo referidas, escreva a
equação da tangente à curva no ponto indicado, e verifique em seguida se
a concavidade é positiva ou negativa no mesmo ponto, tudo isto sem
eliminar o parâmetro t:
(a) x = 2t3 + 2 , y = 3t2 + 1, quando t = 1;
(b) x = t sen t, y = t cos t, quando t = π/2;
52
(c) x =

3t
1 + t3
, y =

3t2
1 + t3
, quando t = 1.
3. Em cada caso, determine a área delimitada pela curva paramétrica dada e
pelo eixo Ox, e calcule em seguida o volume que se obtém ao rodar essa
região em torno do eixo Ox:
(a) x = t3, y = 2t2 + 1, – 1 ≤ t ≤ 1;
(b) x = e3t, y = e–t, 0 ≤ t ≤ ln 2;
(c) x = cos t, y = sen2 t, 0 ≤ t ≤ π;
(d) x = cos t, y = et, 0 ≤ t ≤ π.
4. Em cada caso, determine o comprimento da curva paramétrica dada:
(a) x = 2t, y =

2
3
t3/2, 5 ≤ t ≤ 12;
(b) x =

1
2
t2, y =

1
3
t3, 0 ≤ t ≤ 1;
(c) x = sen t – cos t, y = sen t + cos t, π ≤ 4t ≤ 2π;
(d) x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π.

________________________________________________________________
5. Para cada uma das curvas polares abaixo referidas, escreva a equação da
tangente à curva no ponto indicado:
(a) r = exp (
53

3θ), quando θ = π/2;
(b) r = sen 3θ, quando θ = π/6;
(c) r =

1
θ , quando θ = 2.
6. Determine as coordenadas rectangulares de todos os pontos da curva
polar r = 1 – 2 sen θ em que a tangente à curva é horizontal.
7. Em cada caso, determine o comprimento da curva polar dada:
(a) r = eθ/2, 0 ≤ θ ≤ 4π;
(b) r = θ, 2π ≤ θ ≤ 4π.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.2
1. (a) y = 2x + 10;
(b) 25 x2 + 4 y2 = 100;
(c) y2 = x3;
(d) y = ln x, x ≥ 1.

________________________________________________________________
2. (a) y = x e concavidade negativa;
54
(b) y =

π
2
π
2
− x
⎛
⎝
⎞
⎠ e concavidade negativa;
(c) y = – x + 3 e concavidade negativa.
3. (a)

22
5
e

358π
35
;
(b)

9
2
e 3π;
(c)

4
3
e

16π
5
;
(d)

1
2
(eπ + 1) e

π
5
(e2π + 1).

________________________________________________________________
55
4. (a)

74
3
;
(b)

1
3
(2 2 − 1);
(c)

2 π
4
;
(d)

2 e( π − 1).
5. (a) y = e

3 π/2
–

3 x;
(b) y = 2 –

3 x;
(c)

y − sen 2
2
⎛
⎝
⎞
⎠ =

tg 2 − 2
2 tg 2 + 1
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠

x − cos 2
2
⎛
⎝
⎞
⎠ .

________________________________________________________________
⎡
⎢⎣ –
–
56
6. (0, – 1), (0, – 3),

( 15 /8, 1/8) e

(− 15 /8, 1/8).
7. (a)

5 (e2π − 1);
(b)

2π 1 + 16π2 + 1
2
ln ⎛ 4π + 1 + 16π2
⎝
⎞
⎠

π 1 + 4π2 − 1
2
ln ⎛ 2π + 1 + 4π2
⎝
⎞
⎠
⎤
⎥⎦ .

7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS”
________________________________________________________________
7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”
Se exceptuarmos os chamados “casos degenerados” (por exemplo, x2 + y2 = 0,
ou y2 – x2 = 0) há apenas três tipos de curvas planas do 2º grau, que também
são chamadas (secções) “cónicas”: a parábola, a elipse (de que a circunferência
é um caso particular), e a hipérbole.
Iremos aqui recordar a representação analítica destas três curvas do 2º grau, mas
apenas no caso mais simples em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos
coordenados no plano Oxy. Se for este o caso, pode-se mostrar que não aparece
o termo em xy na equação da curva do 2º grau, ou seja, ela será do tipo seguinte:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0.
57
7.A.1 Parábola
A equação
(x – h)2 = ± 4p (y – k)
representa uma parábola com
vértice em (h,k) e eixo de
simetria paralelo a Oy,
“abrindo” na direcção positiva
ou na direcção negativa do eixo
Oy, conforme o sinal ± no 2º
membro.
O número positivo p, que aparece nesta equação e na seguinte, representa a
distância entre o vértice e o foco da parábola, em que ambos os pontos estão
situados sobre o eixo de simetria da parábola.

________________________________________________________________
58
A equação
(y – k)2 = ± 4p (x – h)
representa uma parábola com
vértice em (h,k) e eixo de
simetria paralelo a Ox,
“abrindo” na direcção positiva
ou na direcção negativa do eixo
Ox, conforme o sinal ± no 2º
membro.
7.A.2 Elipse
A equação

(x − h)2
a2
+

(y − k)2
b2
= 1
com a 0 e b 0, representa
uma elipse com centro em (h,k)
e semieixos de comprimentos a
e b, na direcção dos eixos Ox e
Oy, respectivamente.
No caso particular em que a = b, resulta uma circunferência com centro em
(h,k), de raio a = b, cuja equação é (x – h)2 + (y – k)2 = a2.

________________________________________________________________
59
7.A.3 Hipérbole
A equação

(y − k)2
b2
–

(x − h)2
a2
= 1
uma hipérbole com centro em
(h,k) e eixo focal paralelo a Oy,
sendo a distância dos vértices
ao centro da hipérbole igual a
b.
O eixo focal duma hipérbole é a recta sobre a qual estão situados os dois focos,
assim como os dois vértices e o centro da hipérbole.
A equação

(x − h)2
a2
–

(y − k)2
b2
= 1
uma hipérbole com centro em
(h,k) e eixo focal paralelo a Ox,
sendo a distância dos vértices
ao centro da hipérbole igual a
a.

________________________________________________________________
Para decidirmos qual destas curvas é que é representada por uma equação do
tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, temos em 1º lugar de “completar o
quadrado” nas variáveis x e/ou y, para em seguida podermos comparar com as
equações acima escritas:
Exemplo 7A.1 Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das
equações do 2º grau a seguir indicadas:
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0;
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0;
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0.
(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0 ⇒ y2 – 6y = 8x + 23 ⇒
⇒ y2 – 6y + 9 = 8x + 32 ⇒ (y – 3)2 = 8 (x + 4).
Esta equação representa uma parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria
paralelo a Ox, “abrindo” na direcção positiva do eixo Ox.
(b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0 ⇒ 16 (x2 – 4x) + 9 (y2 – 6y) = – 1 ⇒
⇒ 16 (x2 – 4x + 4) + 9 (y2 – 6y + 9) = – 1 + 64 + 81 ⇒
⇒ 16 (x – 2)2 + 9 (y – 3)2 = 144 ⇒
60

(x − 2)2
9
+ (y − 3)2
16
= 1.
Esta equação representa uma elipse com centro em (2, 3) e com semieixos de
comprimentos 3 e 4 na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente.
(c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0 ⇒ (x2 – 4x) – (y2 – 8y) = 21 ⇒
⇒ (x2 – 4x + 4) – (y2 – 8y + 16) = 21 + 4 – 16 ⇒

________________________________________________________________
61
⇒ (x – 2)2 – (y – 4)2 = 9 ⇒

(x − 2)2
9
− (y − 4)2
9
= 1.
Esta equação representa uma hipérbole com centro em (2, 4) e eixo focal
paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 3.
Problemas propostos / Secção 7.A
Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das equações do 2º grau a
seguir indicadas:
(a) x2 – 4x + 2y = 1;
(b) x2 + 9y2 + 2x – 18y + 1 = 0;
(c) 4x2 – 9y2 – 16x – 54y – 29 = 0;
(d) y2 – 6y – 2x + 1 = 0;
(e) 5x2 + 9y2 + 20x – 54y = – 56;
(f) x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0.
Soluções dos problemas propostos / Secção 7.A
(a) Parábola com vértice em (2, 5/2) e eixo de simetria paralelo a Oy,
“abrindo” na direcção negativa do eixo Oy;
(b) Elipse com centro em (– 1, 1) e com semieixos de comprimentos 3 e 1 na
direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente;
(c) Hipérbole com centro em (2, – 3) e eixo focal paralelo a Oy, sendo a
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2;
(d) Parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria paralelo a Ox,
“abrindo” na direcção positiva do eixo Ox;
(e) Elipse com centro em (– 2, 3) e com semieixos de comprimentos 3 e

5,
na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente;
(f) Hipérbole com centro em (– 1, 1) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a
distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2.

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