Geometria Analítica

Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento
MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3ª ano
Distância entre dois pontos e ponto
médio de um segmento

PLANO CARTESIANO
 O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a
origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo
horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical
(eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que
chamamos de quadrantes.

x
y
O (0, 0)
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
Eixo das
abscissas
Eixo das
ordenadas
Origem
PLANO CARTESIANO

P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
COORDENADAS NO PLANO
 3 é a abscissa de P;
 4 é a ordenada de P;
 3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
 Em geral:
 A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas
coordenadas (abscissa e ordenada).

SINAIS NO PLANO
x
y
+
+
+
+
–
–
– –
y = 0
O( 0, 0)
x = 0

BISSETRIZES DOS QUADRANTES
x
y
x = y
(abscissa = ordenada)
x = – y
(abscissa = - ordenada)
1ª bissetriz
2ª bissetriz

2
2
)
y
y
(
)
x
x
(
AB A
B
A
B 



A
B
xA xB
yA
yB
x
y
C
 Aplicando o teorema de
Pitágoras no triângulo ABC,
temos:
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
0
(AB)2 = |xB – xA|2 + |yB – yA|2
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
 Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB),
respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela
aplicação do teorema de Pitágoras.

 (UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo
em B, então k é igual a:
A(0,0)
B(3,1)
C(2,k)
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo
ABC, temos:
(dAC)² = (dAB)² + (dBC)²
(2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)²
(Operando os quadrados e termos
semelhantes): 2k = 8  k = 4
EXEMPLO

 Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos
congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy
formam segmentos que mantêm as mesmas relações.
 Determinando a ordenada yM
do ponto médio M, temos:
A
B
M
xA xM xB
yA
yM
yB
x
y  Determinando a abcissa xM do
ponto médio M, temos:
xM =
xA + xB
2
0
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
yM =
yA + yB
2

 (FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades
A(5,-2) e B(-1, -4) são:
Seja M(xM, yM) o ponto médio, então:
xM = xA + xB
2
= 5 + (-1) = 2
2
yM = yA + yB
2
= -2 + (-4) = -3
2
M(2,-3)
EXEMPLO 1

 (U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de
um triângulo, quais são os seus vértices?
No triângulo, usaremos a fórmula do
ponto médio em cada um de seus lados:
xA + xC = 2 yA + yc = 1
2 2
xA + xB = 3 yA + yB = 3
2 2
xB + xC = 6 yB + yC = 2
2 2
Resolvendo os sistemas, temos:
A(1,2), B(7, 4) e C(5,0)
A
B C
(2,1)
(3,3)
(6,2)
EXEMPLO 2

EXEMPLO 3
 Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).
P(1, –1)
Q(–2, 3)
R(a, b)
–2 =
a + 1
2
a + 1 = – 4
⇒ ⇒ a = – 5
3 =
b – 1
2
b – 1 = 6
⇒ ⇒ b = 7
⇒ R (–5, 7)

MEDIANA
 Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto
ao meio.
G
A(xA , yA)
B(xB , yB) C(xC , yC)
M1
M2
M3
G é chamado BARICENTRO (ponto de
encontro das medianas) do Triângulo.
AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1
G(xG , yG)
xG = xA + xB + xC
3
yG = yA + yB + yC
3

 (FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu
baricentro.
O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo:
xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1
3 3
yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3
3 3
G(1;5/3)
EXEMPLO

APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
 Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) ,
C(xC , yC) e
x
y
C
B
A
xA xB xC
yC
yB
yA
0
 D = 0  A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados
 D  0  A, B e C formam um triângulo.
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
D =

 (PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja
sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b?
C sobre o eixo das abcissas C(a, 0)
A, B e C são colineares  det = 0
Portanto: = 0
a = 7
C(7;0)
-1 2 1
3 1 1
a 0 1
EXEMPLO 1

 (PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k.
A, B e C são pontos não alinhados  det  0, ou seja:
 0  k  2
EXEMPLO 2
k 0 1
1 -2 1
3 2 1

APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO
 Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para
calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer:
 Calcular o seguinte determinante, a
partir das coordenadas dos vértices.
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
D =
 A área do triângulo é metade do módulo
desse determinante.
AABC =
|D|
2
xA xB xC
yA
yC
yB
y
x
C
B
A
0

 Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices
de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir
das coordenadas de seus vértices?
x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
EXEMPLO

x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
N
P
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
AMNP = AM . AP = 4 . 4 = 16
AT1 = (CP . AP)/2 = (4 . 2)/2 = 4
AT2 = (CN . BN)/2 = (2 . 2)/2 = 2
AT3 = (AM . BM)/2 = (4 . 2)/2 = 4
AT = 16 – (4 + 2 + 4)
AT = 6

x
y
4
1 A
B
C
2 6
3
5
③
① ②
M
N
P
5
4
1
5
4
3
6
1
3
6
1
2
1
1
2
+6
–12
D = – 28 + 40 = 12
+4 +30
–10 –6
Área =
|D|
2
|12|
2
= 6
=

QUESTÕES http://zonadaponte.com.sap
o.pt/gifs/escola/esc003.gif

1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e
R(3,5), é:
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.

2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano
cartesiano x0y vale:
a) 14
b) 13
c) 12
d) 9
e) 8

3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for
igual a:
a) -5
b) -1
c) -3
d) -4
e) -2

4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano
sejam colineares é:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 10
e) 5

5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os
vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois
segmentos congruentes. Então, M é:
a) (2, 2)
b) (0, 4)
c) (5, 6)
d) (2, 4)
e) (4, 0)

6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio
arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para
facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema
cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações
nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende
acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as
coordenadas do local do acampamento.
P(15/2 ; 15/2)

EXTRAS
GEOGEBRA
 Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica
de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e
ponto médio de um segmento.
 Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.

REFERÊNCIAS
Sites:
 http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
 http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
 http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm
 http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-
reta.htm
Livros:
 I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
 Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
 I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.

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