Aula 6Esbo»ando gr¶¯cos: primeiros passos    c       aExiste o processo simples de esbo»ar-se o gr¶¯co de uma fun»~o cont¶...
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  1. 1. Aula 6Esbo»ando gr¶¯cos: primeiros passos c aExiste o processo simples de esbo»ar-se o gr¶¯co de uma fun»~o cont¶ c a ca ³nua ligando-seum n¶mero ¯nito de pontos P1 = (x1 ; f (x1 )); : : : ; Pn = (xn ; f(xn )), de seu gr¶¯co, no u aplano xy. Mas este procedimento nem sempre revela as nuances do gr¶¯co. a Nesta aula veremos como as derivadas s~o ferramentas auxiliares no esbo»o desses a cgr¶¯cos, provendo informa»~es qualitativas que n~o podem ser descobertas atrav¶s de a co a euma simples plotagem de pontos.6.1 Crescimento e decrescimento y f(x2) f(x) f(x) cresce f(x1) 0 x1 x x2 x quando x cresce Figura 6.1. f ¶ crescente em um certo intervalo I. eDe¯ni»~o 6.1 ca 1. A fun»~o f(x) ¶ crescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando x ca e aumenta de valor, f (x) tamb¶m aumenta de valor. e Em outras palavras, f ¶ crescente se vale a implica»~o e ca x1 < x2 ) f(x1 ) < f (x2 ) 47
  2. 2. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 48 para quaisquer x1 ; x2 2 I. 2. A fun»~o f (x) ¶ decrescente no intervalo I (I ½ R) se, nesse intervalo, quando ca e x cresce em valor, f(x) decresce. Em outras palavras, f ¶ decrescente se vale a implica»~o e ca x1 < x2 ) f(x1 ) > f (x2 ) para quaisquer x1 ; x2 2 I. y f(x1) f(x) decresce f(x) y=f(x) f(x2) 0 x1 x x2 x quando x cresce Figura 6.2. f ¶ decrescente em um certo intervalo I. eTeorema 6.1 Suponhamos que f ¶ cont¶e ³nua no intervalo fechado [a; b] e tem derivadanos pontos do intervalo aberto ]a; b[. 1. Se f 0 (x) > 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~o f ¶ crescente no a e intervalo [a; b]. 2. Se f 0 (x) < 0 nos pontos do intervalo aberto ]a; b[, ent~o f ¶ decrescente no a e intervalo [a; b].N~o iremos demonstrar o teorema 6.1 aqui. Iremos apenas ilustrar geometricamente o afato de que esse teorema ¶ bastante plaus¶ e ³vel. Na ¯gura 6.3, em que f ¶ crescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas etangentes ao gr¶¯co de f, no intervalo ]a; b[, s~o inclinadas para a direita. Da¶ os a a ³coe¯cientes angulares dessas retas s~o todos positivos. Como o coe¯ciente angular em aum ponto P = (c; f (c)) ¶ f 0 (c), temos f 0 (c) > 0 para cada c 2]a; b[. e O comportamento de f 0 (x) nos extremos do intervalo n~o precisa ser levado em a 0 0considera»~o. Na ¯gura 6.3, temos f (a) = 0 e f (b) = +1 (a reta tangente em ca(b; f (b)) ¶ vertical, lim f 0 (x) = +1). e ¡ x!b Na ¯gura 6.4, em que f ¶ decrescente em um certo intervalo [a; b], todas as retas etangentes ao gr¶¯co de f, no intervalo ]a; b[, s~o inclinadas para a esquerda. Da¶ os a a ³
  3. 3. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 49 a bFigura 6.3. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre positivos, ¶ indicativo ede fun»~o crescente. cacoe¯cientes angulares dessas retas s~o todos negativos. Como o coe¯ciente angular em aum ponto P = (c; f (c)) ¶ f (c), temos f 0 (c) < 0 para cada c 2]a; b[. e 0 O comportamento de f 0 (x) nos extremos do intervalo n~o precisa ser levado em a 0 0considera»~o. Na ¯gura 6.4, temos f (a) = 0 e f (b) = ¡1 (a reta tangente em ca(b; f (b)) ¶ vertical, lim f 0 (x) = ¡1). e ¡ x!b b aFigura 6.4. Os coe¯cientes angulares, das retas tangentes, sempre negativos, ¶ indicativo ede fun»~o decrescente. caDe¯ni»~o 6.2 (Pontos de m¶ximo e pontos de m¶ ca a ³nimo locais)Um ponto x0 , no dom¶ da fun»~o f , ¶ um ponto de m¶ ³nio ca e ³nimo local de f se existe umintervalo [a; b] contido no dom¶ de f , com a < x0 < b, tal que f (x) ¸ f (x0 ) para ³niotodo x em [a; b].Isto ocorre, por exemplo, no caso em que existem intervalos [a; x0 ] e [x0 ; b] contidosem D(f ) tais que f ¶ decrescente em [a; x0 ] e ¶ crescente em [x0 ; b]. Veja ¯gura 6.5. e eSe, ao contr¶rio, f(x) · f (x0 ), para todo x em [a; b], x0 ¶ um ponto de m¶ximo local a e ade f .Isto se d¶, por exemplo, quando existem intervalos [a; x0 ] e [x0 ; b] contidos em D(f ) atais que f ¶ crescente em [a; x0 ] e decrescente em [x0 ; b]. Veja ¯gura 6.6. e
  4. 4. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 50 f(x0) a x0 bFigura 6.5. x0 ¶ um ponto de m¶ e ³nimo local. Note que f 0 (x0 ) = 0 se f tem derivada emx0 pois, em um ponto de m¶ ³nimo local, a reta tangente ao gr¶¯co deve ser horizontal. a f(x0) a x0 bFigura 6.6. x0 ¶ um ponto de m¶ximo local. Note que f 0 (x0 ) = 0 se f tem derivada em e ax0 pois, em um ponto de m¶ximo local, a reta tangente ao gr¶¯co deve ser horizontal. a a6.2 Derivadas de ordem superior e concavidades do gr¶¯co aSendo f uma fun»~o, de¯nimos f 0 como sendo a fun»~o derivada de f , e f 00 (l^-se f ca ca eduas linhas") como sendo a derivada da derivada de f , ou seja 00 f 0 (x + ¢x) ¡ f 0 (x) 0 0 f (x) = (f (x)) = lim ¢x!0 ¢x E costume denotar tamb¶m, sendo y = f(x), ¶ e µ ¶ 00 (2) d2 y d dy f (x) = f (x) = 2 = dx dx dx d2 yA nota»~o ca dx2 ¶ lida de dois y de x dois". e Analogamente, de¯nem-se µ ¶ 000 (3) d3 y d 00 0 d2 y f (x) = f (x) = (f (x)) = 3 = dx dx dx2e para cada n ¸ 2 µ ¶ (n) (n¡1) dn y 0 d dn¡1 y f (x) = (f (x)) = n = dx dx dxn¡1
  5. 5. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 51De¯ni»~o 6.3 ca 1. O gr¶¯co de y = f (x) ¶ c^ncavo para cima (ou tem concavidade voltada para a e o cima) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tang^ncia, a curva y = e f (x) est¶, nesse intervalo, sempre no semi-plano acima de cada reta tangente a a ela nesse intervalo (veja ¯gura 6.7). Dizemos que o intervalo I ¶ aberto quando I tem uma das formas: ]a; b[, ]a; +1[, e ]¡ 1; b[. 2. O gr¶¯co de y = f (x) ¶ c^ncavo para baixo (ou tem concavidade voltada para a e o baixo) no intervalo aberto I se, exceto pelos pontos de tang^ncia, a curva y = e f (x) est¶, nesse intervalo, sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente a a ela (veja ¯gura 6.8). xFigura 6.7. Neste gr¶¯co a curva y = f (x) ¶ c^ncava para cima, para valores de x em a e oum certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tang^ncia, a ecurva y = f (x) (para x 2 I) est¶ sempre no semi-plano acima de cada reta tangente aa ela. Neste caso, µ medida em que x cresce, cresce tamb¶m o coe¯ciente angular da a ereta tangente µ curva no ponto (x; f (x)), na ¯gura passando de negativo a positivo. a xFigura 6.8. Neste gr¶¯co a curva y = f (x) ¶ c^ncava para baixo, para valores de x em a e oum certo intervalo aberto I. Isto quer dizer que, exceto pelos pontos de tang^ncia, a ecurva y = f(x) (para x 2 I) est¶ sempre no semi-plano abaixo de cada reta tangente aa ela. Neste caso, µ medida em que x cresce, decresce o coe¯ciente angular da reta atangente µ curva no ponto (x; f (x)), na ¯gura passando de positivo a negativo. a
  6. 6. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 52Teorema 6.2 Sendo f (x) deriv¶vel duas vezes nos pontos do intervalo aberto I, a 1. se f 00 (x) > 0 para todo x 2 I, ent~o a curva y = f (x) ¶ c^ncava para cima em a e o I; 2. se f 00 (x) < 0 para todo x 2 I, ent~o a curva y = f (x) ¶ c^ncava para baixo em a e o I. N~o demonstraremos o teorema 6.2 aqui, mas faremos a seguinte observa»~o. a ca Se f 00 (x) > 0 nos pontos x 2 I ent~o, pelo teorema 6.1, a fun»~o f 0 (x) ¶ crescente a ca eem I. Assim, f 0 (x) cresce µ medida em que x cresce, como na ¯gura 6.7. Desse modo, atemos a curva y = f (x) c^ncava para cima em I. o Se f 00 (x) < 0 nos pontos x 2 I ent~o, pelo teorema 6.1, a fun»~o f 0 (x) ¶ a ca e 0decrescente em I. Assim, f (x) decresce µ medida em que x cresce, como na ¯gura 6.8. aDesse modo, temos a curva y = f(x) c^ncava para baixo em I. oDe¯ni»~o 6.4 (Pontos de in°ex~o da curva y = f (x)) ca aO ponto P = (x0 ; f (x0 )) ¶ um ponto de in°ex~o da curva y = f (x) se esta curva ¶ e a ec^ncava para cima (ou para baixo) em um intervalo ]®; x0 [ (® real ou ¡1) e c^ncava o opara baixo (respectivamente, para cima) em um intervalo ]x0 ; ¯[ (¯ real ou +1).Isto quer dizer que o ponto P = (x0 ; f (x0 )) ¶ um ponto de mudan»a do sentido de e cconcavidade do gr¶¯co de f . Veja ¯gura 6.9. a P x0 x Figura 6.9. P ¶ um ponto de in°ex~o do gr¶¯co de f . e a a Tendo em vista o resultado do teorema 6.2, se f 00 (x) ¶ cont¶ e ³nua, os candidatos apontos de in°ex~o s~o os pontos (x; f (x)) para os quais f 00 (x) = 0. a aExemplo 6.1 Consideremos a fun»~o f (x) = x2 ¡ 3x. caTemos f 0 (x) = 2x ¡ 3 e f 00 (x) = 2. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~o todas a ³nuas em R.cont¶ Analisando a varia»~o de sinal de f 0 (x), deduzimos: ca f 0 (x) > 0 , 2x ¡ 3 > 0 , x > 3=2Assim, f (x) ¶ crescente no intervalo x ¸ 3=2 (ou seja, no intervalo [3=2; +1[). e Por outro lado, f (x) ¶ decrescente no intervalo ]¡ 1; 3=2]. e Desse modo, em x0 = 3=2, temos um ponto m¶ ³nimo local, que acontece ser o 0 ³nimo de f(x). Note que f (3=2) = 0, pois se x0 ¶ um ponto de m¶ximo ouponto de m¶ e a
  7. 7. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 53m¶³nimo local, de uma fun»~o deriv¶vel, a reta tangente ao gr¶¯co em (x0 ; f(x0 )) deve ca a aser horizontal. Como f 00 (x) = 2 > 0 para todo x, o gr¶¯co de f tem a concavidade sempre avoltada para cima. Com os elementos deduzidos acima, notando que f (3=2) = ¡9=4, e que 0 e 3 s~o aas ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f (x) = 0), temos o esbo»o da curva y = x2 ¡ 3x ³zes co ca cna ¯gura 6.10. y 3/2 0 1 2 3 x -1 -2 -9/4 Figura 6.10. Aqui levamos em conta tamb¶m que lim f (x) = +1 e lim f (x) = +1. e x!+1 x!¡1Exemplo 6.2 Consideremos a fun»~o f (x) = x3 ¡ 3x2 . caTemos f 0 (x) = 3x2 ¡ 6x e f 00 (x) = 6x ¡ 6. Assim, f e suas derivadas f 0 e f 00 s~o todas a ³nuas em R.cont¶ Analisando a varia»~o de sinal de f 0 (x), deduzimos: ca f 0 (x) = 3x(x ¡ 2) > 0 , x < 0 ou x > 2 Assim, f (x) ¶ crescente no intervalo ]¡ 1; 0] e tamb¶m ¶ crescente no intervalo e e e[2; +1[, sendo decrescente no intervalo [0; 2]. Desse modo 0 ¶ ponto de m¶ximo local e a 0de f e 2 ¶ ponto de m¶ e ³nimo local. Repare que 0 e 2 s~o ra¶ de f (x). Assim, nos a ³zespontos (0; f (0)) = (0; 0) e (2; f (2)) = (2; ¡4) as retas tangentes ao gr¶¯co de f s~o a ahorizontais. Analisando a varia»~o de sinal de f 00 (x), temos ca f 00 (x) = 6x ¡ 6 > 0 , x > 1Assim, a curva y = x3 ¡ 3x2 , gr¶¯co de f , tem concavidade voltada para cima quando ax > 1, e para baixo quando x < 1. O ponto P = (1; f(1)) = (1; ¡2) ¶ ponto de ein°ex~o do gr¶¯co. a a
  8. 8. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 54 y 0 1 2 3 x -1 -2 -4 Figura 6.11. Com os elementos deduzidos acima, notando que 0 e 3 s~o as ra¶ de f (solu»oes a ³zes c~ 3 2da equa»~o f (x) = 0), temos o esbo»o da curva y = x ¡ 3x na ¯gura 6.11. ca c Aqui levamos em conta tamb¶m que lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1. e x!+1 x!¡16.3 ProblemasCada uma das fun»~es f (x) dadas abaixo tem como dom¶ todo o conjunto R. Para co ³niocada uma delas, (a) Calcule f 0 (x) e determine os intervalos em que f ¶ crescente e aqueles em que f e ¶ decrescente; e ³nimo locais de f , bem (b) Determine os pontos de m¶ximo locais e os pontos de m¶ a como os valores de f (x) nesses pontos; (c) Calcule f 00 (x) e determine os intervalos em que a curva y = f (x) ¶ c^ncava para e o cima e aqueles em que ela ¶ c^ncava para baixo; e o (d) Determine os pontos de in°ex~o da curva y = f(x); a (e) Calcule as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f(x) = 0), quando isto n~o for dif¶ ³zes co ca a ³cil; (f) Calcule os limites lim f(x) e lim f (x). x!+1 x!¡1 (g) A partir dos dados coletados acima, fa»a um esbo»o bonito do gr¶¯co de f . c c a 1. f (x) = ¡x2 + 2x + 1
  9. 9. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 55 2. f (x) = x3 ¡ 6x2 + 9x 3. f (x) = 3x4 ¡ 4x3 ¡ 12x2 + 8 x2 + 3 4. f (x) = x2 + 1 5. f (x) = 2x3 ¡ 9x2 + 12x ¡ 6 4x 6. f (x) = x2+16.3.1 Respostas e sugest~es o 1. (a) f 0 (x) = ¡2x + 2. f % (¶ crescente) em ]¡ 1; 1], e & (¶ decrescente) em [1; +1[. e e (b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f . f (1) = 2. (c) f e a 00 (x) = ¡2. A curva y = f (x) ¶ sempre c^ncava para baixo. (d) A curva y = f (x) n~o tem pontos de in°ex~o. e o p p a a (e) As ra¶ ³zes de f s~o 1 ¡ 2 ¼ ¡0; 6 e 1 + 2 ¼ 2; 4. (f) lim f (x) = ¡1, a x!+1 lim f (x) = ¡1. x!¡1 2. (a) f 0 (x) = 3x2 ¡ 12x + 9. f % em ]¡ 1; 1], & em [1; 3], e % novamente em [3; +1[. (b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f , 3 ¶ ponto de m¶ e a e ³nimo local. f (1) = 4, f (3) = 0. (c) f 00 (x) = ¡6x ¡ 12. A curva y = f (x) ¶ _ (c^ncava para baixo) em ]¡ 1; 2[ e ^ e o (c^ncava para cima) em ]2; +1[. (d) P = (2; 2) ¶ o unico ponto de in°ex~o do gr¶¯co o e ¶ a a de f . (e) As ra¶ de f s~o 0 e 3. (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = ¡1. ³zes a x!+1 x!¡1 3. (a) f 0 (x) = 12x3 ¡ 12x2 ¡ 24x = 12(x3 ¡ x2 ¡ 2x). f & em ]¡ 1; ¡1], % em [1; 0], & em [0; 2] e % em [2; +1[. (b) ¡1 e 2 s~o pontos de m¶ a ³nimo locais de f , 0 ¶ ponto e de m¶ximo local. f (¡1) = 3, f (0) = 8, f (2) = ¡24. (c) f 00 (x) = 36x2 ¡ 24x ¡ 24 = a 12(3x2 ¡ 2x ¡ 2). A curva y = f (x) ¶ ^ em ] ¡ 1; x1 [ e em ]x2 ; +1[, e ¶ _ em p e p e ]x1 ; x2 [, sendo x1 = (1 ¡ 7)=3 ¼ ¡0; 5 e x2 = (1 + 7)=2 ¼ 1; 2. (d) Os pontos de in°ex~o do gr¶¯co s~o (x1 ; f (x1 )) e (x2 ; f (x2 )). (e) As ra¶ de f n~o podem ser a a a ³zes a determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que f tem uma raiz entre 0 e 1, e uma outra entre 2 e 3. (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = +1. x!+1 x!¡1 ¡4x 4. (a) f 0 (x) = . f % em ] ¡ 1; 0], e & em [0; +1[. (b) 0 ¶ ponto de e (x2 + 1)2 4(3x2 ¡ 1) m¶ximo local de f . f (0) = 3. (c) f 00 (x) = a . A curva y = f (x) ¶ ^ em e p p (x2 + 1)3 p p ] ¡ 1; ¡ 3=3[ e em ] 3=3; +1[, e ¶ _ em ] ¡ 3=3; 3=3[. (d) Os pontos de in°ex~o p p e p a do gr¶¯co s~o (¡ 3=3; 5=2) e ( 3=3; 5=2), sendo 3=3 ¼ 0; 6. (e) f n~o tem ra¶ a a a ³zes: f (x) > 0 para todo x real. (f) lim f (x) = 1, lim f (x) = 1. x!+1 x!¡1 5. (a) f 0 (x) = 6x2 ¡ 18x + 12 = 6(x2 ¡ 3x + 2). f % em ]¡ 1; 1], & em [1; 2], e % em [2; +1[. (b) 1 ¶ ponto de m¶ximo local de f , 2 ¶ ponto de m¶ e a e ³nimo local. f (1) = ¡1, f (2) = ¡2. (c) f 00 (x) = 12x ¡ 18 = 6(2x ¡ 3). A curva y = f (x) ¶ ^ em ]3=2; +1[ e e ¶ _ em ] ¡ 1; 3=2[. (d) O ponto de in°ex~o do gr¶¯co ¶ (3=2; ¡3=2). (e) As ra¶ e a a e ³zes
  10. 10. ¶Esbocando graficos: primeiros passos » 56 de f n~o podem ser determinadas com facilidade. Gra¯camente, poderemos notar que a f tem uma raiz entre 2 e 3 (f) lim f (x) = +1, lim f (x) = ¡1. x!+1 x!¡1 4(1 ¡ x2 ) 6. (a) f 0 (x) = . f & em ]¡ 1; ¡1], % em [¡1; 1], e & em [1; +1[. (b) ¡1 (1 + x2 )2 ¶ ponto de m¶ e ³nimo local de f , 1 ¶ ponto de m¶ximo local. f (¡1) = 2, f (1) = 2. (c) e a 8x(x 2 ¡ 3) p p f 00 (x) = 2 3 . A curva y = f (x) ¶ _ em ]¡ 1; ¡ 3[, ^ em ]¡ 3; 0[, _ e p (1 + x ) p p p em ]0; 3[ e p em 3; +1[. (d) Os pontos de in°ex~o do gr¶¯co s~o (¡ 3; ¡ 3), p ^ a a a (0; 0) e ( 3; 3) (e) A unica ra¶ de f ¶ 0. (f) lim f (x) = 0, lim f (x) = 0. ¶ ³z e x!+1 x!¡1Esbo»os dos gr¶¯cos: c a1. 2. y y 2 4 2 -1 0 1 2 3 x -2 0 x 1 2 33. 4. y y 3 10 8 (-1,3) 1 2 3 2 0 -2 -1 x -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -20 (2,-24)5. 6. y y 4 2 2 1 2 3 0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2 -4 -2 -6

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