Aula 5Limites lateraisPara cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo                               ...
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  1. 1. Aula 5Limites lateraisPara cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo o ( x se x ¸ 0 jxj = ¡x se x < 0 p p p p exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (poisPor p1 ¡ 2 < 0). Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o ca x f (x) = x + jxj ca ³nio) ¶ o conjunto R ¡ f0g.cujo campo de de¯ni»~o (dom¶ e Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portantof (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1. a e c y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 x Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x + c a jxj . 39
  2. 2. Limites laterais 40 Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se< 0, f (x) tende a ¡1. Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1, a ee denotamos lim f (x) = 1 + x!0 Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶ igual e ea ¡1, e denotamos lim f (x) = ¡1 ¡x!0 De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo ca a einferior de um intervalo contido em D(f ), lim f (x) signi¯ca lim f(x) x!x0 x!x+ 0 x>x0 Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f), a e lim f (x) signi¯ca lim f (x) x!x0 x!x¡ 0 x<x0Exemplo 5.1Consideremos agora a fun»~o f (x) = 1=x. Conforme j¶ observado no exemplo 4.7, aula ca a4 (reveja-o), esta fun»~o n~o tem limite quando x ! 0. ca a Temos D(f) = R ¡ f0g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; +1[. Assim, 0 ¶ extremo superior do eintervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶m ¶ extremo inferior do intervalo ]0; +1[ ½ D(f ). e e y 3 2 y=1/x 1 0 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 1 1 Figura 5.2. limx!0+ x = +1, limx!0¡ x = ¡1 No esbo»o do gr¶¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^ncia dos limites laterais c a e 1 1 1 1 lim = lim = +1 lim = lim = ¡1 x!0+ x x!0 x x>0 x!0¡ x x!0 x x<0
  3. 3. Limites laterais 41 1 1(Tamb¶m ilustramos que lim e = lim = 0.) x!+1 x x!¡1 x Neste caso, ¶ conveniente denotar, introduzindo novos s¶ e ³mbolos em nossa ¶lgebra ade limites, 1 1 1 1 lim = + = +1 lim = ¡ = ¡1 x!0+ x 0 x!0¡ x 0Observa»~o 5.1 Em geral, dizemos que ca lim f(x) = 0+ sex!x0 (i) lim f(x) = 0, e x!x0 (ii) f(x) mant¶m-se > 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯ciente- e mente pr¶ximo de x0 . oDizemos que lim f (x) = 0¡ se x!x0 (i) lim f(x) = 0, e x!x0 (ii) f(x) mant¶m-se < 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) < 0 para todo x su¯ciente- e mente pr¶ximo de x0 . oEscrevemos ainda lim+ f (x) = 0+ para indicar que x!x0(i) lim+ f (x) = 0, e (ii) f (x) > 0 quando x ! x0 e x > x0 . x!x0 Analogamente, podemos tamb¶m conceituar os casos e lim f(x) = 0¡ , lim¡ f (x) = 0¡ , e lim¡ f (x) = 0+ . x!x+ 0 x!x0 x!x0 Nossa ¶lgebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados: a ( ( c +1 se c > 0 c ¡1 se c > 0 = = 0+ ¡1 se c < 0 0¡ +1 se c < 0 Tamb¶m ¶ f¶cil intuir que e e a +1 +1 ¡1 ¡1 = +1 = ¡1 = ¡1 = +1 0+ 0¡ 0+ 0¡Exemplo 5.2 1 1 lim (x ¡ 1)2 = 0+ , portanto lim = + = +1. x!1 x!1 (x ¡ 1)2 0
  4. 4. Limites laterais 42 2x ¡ 3 ¡3 lim = + = ¡1 x!0 + x 0 5 5 lim = = 0+ x!+1 x ¡ 3 +1 x+2 x+2Exemplo 5.3 Calcular lim + e lim ¡ x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2jSolu»~o. Observe que x + 2 > 0 se e somente se x > ¡2. ca Assim sendo, se x > ¡2, temos x + 2 > 0 e ent~o jx + 2j = x + 2. a Por outro lado, se x < ¡2, temos x + 2 < 0 e ent~o jx + 2j = ¡(x + 2). a Assim sendo, temos x+2 x+2 x+2 lim + = lim = lim = lim 1 = 1 x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 x + 2 x!¡2 x>¡2 x>¡2 x+2 x+2 x+2 lim ¡ = lim = lim = lim ¡1 = ¡1 x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 ¡(x + 2) x!¡2 x<¡2 x<¡2Observa»~o 5.2 A a¯rma»~o ca ca lim f (x) = a x!x0¶ equivalente µ a¯rma»~o, simult^nea, de quee a ca a lim f(x) = a e lim f (x) = a x!x+ 0 x!x¡ 0 Se no entanto f (x) ¶ de¯nida para x > x0 , mas n~o ¶ de¯nida para x < x0 , ent~o e a e a limx!x0 f (x) = a signi¯ca limx!x+ f (x) = a 0 p p Por exemplo, limx!0 x = 0, muito embora x n~o esteja de¯nida para x < 0. p a p limNeste caso, a¯rmar quep x!0 x = 0 signi¯ca que limx!0+ x = 0, j¶ que n~o se a ade¯ne o limite limx!0¡ x ca a ca ³nua em [a; b])Observa»~o 5.3 (O gr¶¯co de uma fun»~o cont¶No exemplo ao in¶ da aula, vimos que a fun»~o f (x) = x + x=jxj tem limites laterais ³cio cadiferentes no ponto x0 = 0, sendo lim f (x) = 1 e lim f(x) = ¡1. Assim, conforme + ¡ x!0 x!0podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶¯co de f apresenta um salto no ponto 0. a Tamb¶m a fun»~o f (x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶m o salto ¶ e ca e ein¯nito, sendo lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1. + ¡ x!0 x!0
  5. 5. Limites laterais 43 y f(b) f(a) 0 a b x e ³nua e diferenci¶vel no intervalo [a; b]. Figura 5.3. f ¶ cont¶ a y f(b) f(a) 0 a c d b x e ³nua no intervalo [a; b], mas n~o tem derivadas nos pontos c e d.Figura 5.4. f ¶ cont¶ a Na aula 4, estivemos observando que a fun»~o f (x) = 1=x2 tem limite in¯nito no caponto 0: lim f (x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o gr¶¯co salta" para cima dos a x!0dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶¯co. a Quando uma fun»~o f (x) ¶ cont¶ ca e ³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curvay = f (x), a · x · b, gr¶¯co de f no intervalo [a; b], n~o apresenta quebras ou saltos. a a Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶¯co ligando o ponto inicial A = a(a; f (a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶pis do papel, tal como na ¯gura a5.3.Observa»~o 5.4 (Uma fun»~o cont¶ ca ca ³nua pode n~o ter derivada sempre) J¶ na ¯gu- a ara 5.4 temos uma ilustra»~o de uma fun»~o cont¶ ca ca ³nua no intervalo [a; b] que, no entanto,n~o tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes aa c e d n~o ¶ poss¶ tra»ar retas tangentes ao gr¶¯co de f . a e ³vel c aObserva»~o 5.5 (Continuidade signi¯ca lim ¢f = 0) Na observa»~o 2.1, aula 2, ca ca ¢x!0vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0 (x0 ) ent~o lim ¢f = 0. Na verdade, n~o ¶ a a e ¢x!0necess¶rio termos f diferenci¶vel x0 para que tenhamos lim ¢f = 0. a a ¢x!0
  6. 6. Limites laterais 44 A condi»~o necess¶ria e su¯ciente para que tenhamos lim ¢f = 0 ¶ que f seja ca a e ¢x!0cont¶ ³nua no ponto x0 . Vejamos: ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ). Fazendo x = x0 + ¢x, temos ¢f = f (x) ¡ f(x0 ). Temos que ¢x ! 0 se esomente se x ! x0 . Se lim ¢f = 0, ent~o lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, logo a ¢x!0 x!x0 lim f (x) = lim [(f (x) ¡ f (x0 )) + f (x0 )] = 0 + f(x0 ) = f(x0 ). Assim, f ¶ cont¶ e ³nuax!x0 x!x0em x0 . ³nua em x0 , lim f (x) = f (x0 ). Logo, lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, e Se f ¶ cont¶ e x!x0 x!x0ent~o lim ¢f = 0. a ¢x!0 Assim, lim ¢f = 0 , lim f (x) = f (x0 ). ¢x!0 x!x0 Quando existe f 0 (x0 ), temos lim ¢f = 0 e ent~o lim f (x) = f(x0 ), ou seja a ¢x!0 x!x0 a e ³nua em x0 . Se f tem derivada em x0 ent~o f ¶ cont¶ No entanto, podemos ter f cont¶ ³nua em x0 , sem ter derivada em x0 . Veja proble-mas 5 e 6 abaixo.5.1 Problemas y 0 1 2 x -1/2 -1 Figura 5.5.
  7. 7. Limites laterais 45 1. Na ¯gura 5.5 est¶ esbo»ado o gr¶¯co de uma fun»~o y = f (x). Complete as a c a ca igualdades: (a) lim f(x) = ¡ (b) lim f (x) = + (c) lim f(x) = ¡ x!1 x!1 x!2 (d) lim f(x) = + (e) lim f (x) = ¡ (f) lim f (x) = + x!2 x!0 x!0 (g) lim f(x) = (h) lim f(x) = x!+1 x!¡1 2. Em que pontos a fun»~o f do problema anterior ¶ de¯nida? Em quais pontos ¶ ca e e cont¶ ³nua? 3. Calcule os limites laterais j¼ ¡ xj j¼ ¡ xj 1 (a) lim¡ (b) lim+ (c) lim x!¼ x¡¼ x!¼ x¡¼ x!8¡ x ¡ 8 1 x2 ¡ 5x + 4 p (d) lim (e) lim (f) lim x ¡ 2 x!8+ x ¡ 8 x!2+ 2¡x x!2+ 4. Calcule os limites lim f (x), lim f (x) e diga se existe o limite lim f (x). x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3 e e ³nua no ponto ¡3. Diga tamb¶m se f ¶ cont¶ 8 8 < 1 < 9 se x < ¡3 se x · ¡3 (a) f (x) = 2 ¡ 3x (b) f (x) = x2 : p : p4 + x se x > ¡3 3 x + 2 se x ¸ ¡3 3 5. Veri¯que que a fun»~o f (x) = jxj ¶ cont¶ ca e ³nua em x0 = 0, mas n~o existe f 0 (0) a f (0+¢x)¡f (0) (mostre que n~o existe o limite lim a ¢x ). Mostre que existem os limites ¢x!0 f (0+¢x)¡f (0) f (0+¢x)¡f (0) laterais lim + ¢x e lim ¢x , chamados respectivamente de ¢x!0 ¢x!0¡ 0 + derivada direita de f no ponto 0 (f (0 )) e derivada esquerda de f no ponto 0 (f 0 (0¡ )). Esboce o gr¶¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos a acima. p 6. Veri¯que que a fun»~o f (x) = 3 x ¶ cont¶ ca e ³nua em x0 = 0, mas lim f (0+¢x)¡f (0) = ¢x ¢x!0 +1. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f 0 (0) = +1. Esboce o gr¶¯co de f , tra»ando-o cuidadosamente atrav¶s dos pontos de abcissas 0, §1=8, a c e §1, §8, e interprete geometricamente o fato de que f 0 (0) = +1.5.1.1 Respostas e sugest~es o 1. (a) ¡1 (b) ¡1=2 (c) +1 (d) 0 (e) ¡1 (f) ¡1 (g) ¡1=2 (h) ¡1 2. A fun»~o f ¶ de¯nida em R ¡ f1g. E cont¶ ca e ¶ ³nua em R ¡ f1; 2g. 3. (a) ¡1 (b) 1 (c) ¡1 (d) +1 (e) +1 (f) 0
  8. 8. Limites laterais 46 4. (a) lim f (x) = ¡1, lim f (x) = 1=11. N~o se de¯ne (n~o existe) o limite a a x!¡3+ x!¡3¡ lim f (x). f (¡3) = ¡1, mas como n~o existe lim f (x), f n~o ¶ cont¶ a a e ³nua no ponto x!¡3 x!¡3 ¡3. (b) lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1. f ¶ cont¶ e ³nua no ponto ¡3 pois x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3 lim f (x) = f (¡3). x!¡3 5. Ao esbo»ar o gr¶¯co de f , notamos que f (x) = x, se x ¸ 0, e f (x) = x, se x · 0. c a Assim, f 0 (0+ ) = 1 indica a presen»a de uma reta tangente ao gr¶¯co de f , µ direita do c a a ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶¯co de y = x, x ¸ 0, no ponto (0; 0) (a a reta tangente a uma reta ¶ a pr¶pria reta). Analogamente, interpreta-se f 0 (0¡ ) = ¡1. e o p 6. f 0 (0) = +1 signi¯ca que a reta tangente a curva y = 3 x, no ponto (0; 0), ¶ vertical. µ e

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