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Aula 5

Limites laterais

Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo
                                                o
                                     (
                                          x se x ¸ 0
                               jxj =
                                        ¡x se x < 0
              p    p                                       p    p
    exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois
Por p
1 ¡ 2 < 0).
     Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o
                                                                         ca
                                                  x
                                   f (x) = x +
                                                 jxj

                   ca      ³nio) ¶ o conjunto R ¡ f0g.
cujo campo de de¯ni»~o (dom¶     e
      Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto
f (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1.
                   a         e     c

                                            y

                                       2


                                       1



                            -2    -1             1     2   x

                                       -1


                                       -2




                                                                 x
                  Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x +
                                  c       a                     jxj
                                                                    .


                                            39
Limites laterais                                                                    40


     Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se
< 0, f (x) tende a ¡1.
     Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1,
                a                                                          e
e denotamos
                                   lim f (x) = 1
                                      +
                                     x!0
     Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶ igual
                  e                                                          e
a ¡1, e denotamos
                                 lim f (x) = ¡1
                                    ¡x!0

       De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo
                                            ca            a                e
inferior de um intervalo contido em D(f ),
                            lim f (x) signi¯ca              lim f(x)
                                                         x!x0
                           x!x+
                              0                          x>x0

     Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f),
              a                e
                            lim f (x) signi¯ca              lim f (x)
                                                         x!x0
                           x!x¡
                              0                          x<x0


Exemplo 5.1

Consideremos agora a fun»~o f (x) = 1=x. Conforme j¶ observado no exemplo 4.7, aula
                          ca                        a
4 (reveja-o), esta fun»~o n~o tem limite quando x ! 0.
                      ca a
      Temos D(f) = R ¡ f0g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; +1[. Assim, 0 ¶ extremo superior do
                                                                  e
intervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶m ¶ extremo inferior do intervalo ]0; +1[ ½ D(f ).
                                   e e

                                               y
                                               3


                                               2
                                                    y=1/x

                                               1

                                               0
                                -2    -1             1        2   3       x

                                               -1


                                               -2




                                           1                          1
                   Figura 5.2. limx!0+     x
                                               = +1, limx!0¡          x
                                                                          = ¡1

     No esbo»o do gr¶¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^ncia dos limites laterais
            c       a                                       e
                        1       1                            1       1
                 lim      = lim = +1                lim        = lim = ¡1
                 x!0+   x x!0 x
                            x>0
                                                    x!0¡     x x!0 x
                                                                 x<0
Limites laterais                                                                    41

                                  1          1
(Tamb¶m ilustramos que lim
     e                                = lim      = 0.)
                             x!+1 x     x!¡1 x

      Neste caso, ¶ conveniente denotar, introduzindo novos s¶
                  e                                          ³mbolos em nossa ¶lgebra
                                                                              a
de limites,
                         1     1                   1     1
                     lim = + = +1              lim   = ¡ = ¡1
                    x!0+ x    0               x!0¡ x    0

Observa»~o 5.1 Em geral, dizemos que
       ca
 lim f(x) = 0+ se
x!x0

 (i) lim f(x) = 0, e
    x!x0

 (ii) f(x) mant¶m-se > 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯ciente-
                e
       mente pr¶ximo de x0 .
               o

Dizemos que lim f (x) = 0¡ se
               x!x0

 (i) lim f(x) = 0, e
    x!x0

 (ii) f(x) mant¶m-se < 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) < 0 para todo x su¯ciente-
                e
       mente pr¶ximo de x0 .
               o

Escrevemos ainda lim+ f (x) = 0+ para indicar que
                      x!x0
(i) lim+ f (x) = 0, e (ii) f (x) > 0 quando x ! x0 e x > x0 .
   x!x0

       Analogamente, podemos tamb¶m conceituar os casos
                                 e
       lim f(x) = 0¡ , lim¡ f (x) = 0¡ , e lim¡ f (x) = 0+ .
       x!x+
          0                x!x0               x!x0



       Nossa ¶lgebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados:
             a
                       (                                 (
                 c           +1    se c > 0        c         ¡1   se c > 0
                   =                                 =
                0+           ¡1    se c < 0       0¡         +1   se c < 0

       Tamb¶m ¶ f¶cil intuir que
           e e a

              +1                  +1              ¡1              ¡1
                 = +1                = ¡1            = ¡1            = +1
              0+                  0¡              0+              0¡

Exemplo 5.2
                                             1       1
       lim (x ¡ 1)2 = 0+ , portanto lim            = + = +1.
       x!1                            x!1 (x ¡ 1)2  0
Limites laterais                                                                   42

          2x ¡ 3   ¡3
      lim        = + = ¡1
     x!0 +  x      0
             5      5
      lim        =    = 0+
     x!+1 x ¡ 3    +1

                                   x+2           x+2
Exemplo 5.3 Calcular lim +               e lim ¡
                           x!¡2   jx + 2j x!¡2 jx + 2j

Solu»~o. Observe que x + 2 > 0 se e somente se x > ¡2.
    ca
     Assim sendo, se x > ¡2, temos x + 2 > 0 e ent~o jx + 2j = x + 2.
                                                  a
     Por outro lado, se x < ¡2, temos x + 2 < 0 e ent~o jx + 2j = ¡(x + 2).
                                                     a
     Assim sendo, temos
                          x+2          x+2         x+2
                 lim +          = lim        = lim      = lim 1 = 1
               x!¡2      jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 x + 2 x!¡2
                                    x>¡2             x>¡2

                      x+2          x+2          x+2
             lim ¡          = lim        = lim         = lim ¡1 = ¡1
          x!¡2       jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 ¡(x + 2) x!¡2
                              x<¡2         x<¡2


Observa»~o 5.2 A a¯rma»~o
       ca             ca
                                           lim f (x) = a
                                           x!x0

¶ equivalente µ a¯rma»~o, simult^nea, de que
e             a      ca         a

                              lim f(x) = a e        lim f (x) = a
                             x!x+
                                0                  x!x¡
                                                      0




     Se no entanto f (x) ¶ de¯nida para x > x0 , mas n~o ¶ de¯nida para x < x0 , ent~o
                         e                            a e                           a
     limx!x0 f (x) = a signi¯ca limx!x+ f (x) = a
                                      0
                          p                       p
     Por exemplo, limx!0 x = 0, muito embora x n~o esteja de¯nida para x < 0.
                               p                    a p
                        lim
Neste caso, a¯rmar quep x!0 x = 0 signi¯ca que limx!0+ x = 0, j¶ que n~o se
                                                                 a      a
de¯ne o limite limx!0¡ x

       ca           a              ca      ³nua em [a; b])
Observa»~o 5.3 (O gr¶¯co de uma fun»~o cont¶

No exemplo ao in¶ da aula, vimos que a fun»~o f (x) = x + x=jxj tem limites laterais
                 ³cio                       ca
diferentes no ponto x0 = 0, sendo lim f (x) = 1 e lim f(x) = ¡1. Assim, conforme
                                     +               ¡
                                       x!0                  x!0
podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶¯co de f apresenta um salto no ponto 0.
                                     a
      Tamb¶m a fun»~o f (x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶m o salto ¶
            e       ca                                              e          e
in¯nito, sendo lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1.
                  +                ¡
                x!0                   x!0
Limites laterais                                                                    43


                            y


                     f(b)

                    f(a)



                        0       a                             b     x



                            e     ³nua e diferenci¶vel no intervalo [a; b].
              Figura 5.3. f ¶ cont¶               a

                            y


                     f(b)

                    f(a)



                        0       a         c          d        b     x



              e     ³nua no intervalo [a; b], mas n~o tem derivadas nos pontos c e d.
Figura 5.4. f ¶ cont¶                              a

      Na aula 4, estivemos observando que a fun»~o f (x) = 1=x2 tem limite in¯nito no
                                               ca
ponto 0: lim f (x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o gr¶¯co salta" para cima dos
                                                          a
          x!0
dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶¯co.
                                                  a
      Quando uma fun»~o f (x) ¶ cont¶
                       ca       e     ³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curva
y = f (x), a · x · b, gr¶¯co de f no intervalo [a; b], n~o apresenta quebras ou saltos.
                        a                               a
       Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶¯co ligando o ponto inicial A =
                                                     a
(a; f (a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶pis do papel, tal como na ¯gura
                                                       a
5.3.

Observa»~o 5.4 (Uma fun»~o cont¶
         ca                 ca       ³nua pode n~o ter derivada sempre) J¶ na ¯gu-
                                                   a                              a
ra 5.4 temos uma ilustra»~o de uma fun»~o cont¶
                        ca            ca       ³nua no intervalo [a; b] que, no entanto,
n~o tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes
 a
a c e d n~o ¶ poss¶ tra»ar retas tangentes ao gr¶¯co de f .
         a e      ³vel c                         a

Observa»~o 5.5 (Continuidade signi¯ca lim ¢f = 0) Na observa»~o 2.1, aula 2,
       ca                                                   ca
                                              ¢x!0
vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0 (x0 ) ent~o lim ¢f = 0. Na verdade, n~o ¶
                                                   a                           a e
                                                      ¢x!0
necess¶rio termos f diferenci¶vel x0 para que tenhamos lim ¢f = 0.
      a                      a
                                                          ¢x!0
Limites laterais                                                                      44


      A condi»~o necess¶ria e su¯ciente para que tenhamos lim ¢f = 0 ¶ que f seja
             ca        a                                             e
                                                          ¢x!0
cont¶
    ³nua no ponto x0 .
      Vejamos: ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ).
     Fazendo x = x0 + ¢x, temos ¢f = f (x) ¡ f(x0 ). Temos que ¢x ! 0 se e
somente se x ! x0 .
      Se lim ¢f = 0, ent~o lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, logo
                        a
         ¢x!0                   x!x0
 lim f (x) = lim [(f (x) ¡ f (x0 )) + f (x0 )] = 0 + f(x0 ) = f(x0 ). Assim, f ¶ cont¶
                                                                               e     ³nua
x!x0         x!x0
em x0 .
                 ³nua em x0 , lim f (x) = f (x0 ). Logo, lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, e
      Se f ¶ cont¶
           e
                                    x!x0                    x!x0
ent~o lim ¢f = 0.
   a
      ¢x!0

      Assim, lim ¢f = 0 , lim f (x) = f (x0 ).
              ¢x!0                  x!x0

      Quando existe f 0 (x0 ), temos lim ¢f = 0 e ent~o lim f (x) = f(x0 ), ou seja
                                                     a
                                       ¢x!0               x!x0

                                 a    e     ³nua em x0 .
      Se f tem derivada em x0 ent~o f ¶ cont¶
     No entanto, podemos ter f cont¶
                                   ³nua em x0 , sem ter derivada em x0 . Veja proble-
mas 5 e 6 abaixo.


5.1      Problemas


                                y




                           0               1        2                    x

                               -1/2

                          -1




                                           Figura 5.5.
Limites laterais                                                                                            45


  1. Na ¯gura 5.5 est¶ esbo»ado o gr¶¯co de uma fun»~o y = f (x). Complete as
                     a     c        a              ca
     igualdades:

                (a) lim f(x) =
                       ¡
                                               (b) lim f (x) =
                                                      +
                                                                                   (c) lim f(x) =
                                                                                          ¡
                    x!1                              x!1                              x!2
                (d) lim f(x) =
                       +
                                               (e) lim f (x) =
                                                      ¡
                                                                                   (f) lim f (x) =
                                                                                          +
                    x!2                              x!0                              x!0
                (g) lim f(x) =                 (h) lim f(x) =
                    x!+1                             x!¡1


  2. Em que pontos a fun»~o f do problema anterior ¶ de¯nida? Em quais pontos ¶
                        ca                         e                          e
     cont¶
         ³nua?

  3. Calcule os limites laterais

                          j¼ ¡ xj          j¼ ¡ xj                1
                 (a) lim¡         (b) lim+             (c) lim
                     x!¼   x¡¼        x!¼   x¡¼            x!8¡ x ¡ 8
                            1              x2 ¡ 5x + 4          p
                 (d) lim          (e) lim              (f) lim x ¡ 2
                     x!8+ x ¡ 8       x!2+    2¡x          x!2+


  4. Calcule os limites        lim f (x),       lim f (x) e diga se existe o limite lim f (x).
                             x!¡3+             x!¡3¡                                             x!¡3
                e        e  ³nua no ponto ¡3.
     Diga tamb¶m se f ¶ cont¶
                  8                                    8
                  <    1                               < 9
                            se x < ¡3                                                           se x · ¡3
     (a) f (x) =    2 ¡ 3x                 (b) f (x) =   x2
                  : p                                  : p4 + x                                 se x > ¡3
                    3
                      x + 2 se x ¸ ¡3                    3




  5. Veri¯que que a fun»~o f (x) = jxj ¶ cont¶
                       ca                e       ³nua em x0 = 0, mas n~o existe f 0 (0)
                                                                           a
                                           f (0+¢x)¡f (0)
     (mostre que n~o existe o limite lim
                  a                             ¢x
                                                          ). Mostre que existem os limites
                                               ¢x!0
                         f (0+¢x)¡f (0)                f (0+¢x)¡f (0)
     laterais    lim +        ¢x
                                          e    lim          ¢x
                                                                      ,    chamados respectivamente de
                ¢x!0                          ¢x!0¡
                                                      0 +
     derivada direita de f no ponto 0 (f (0 )) e derivada esquerda de f no ponto 0
     (f 0 (0¡ )). Esboce o gr¶¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos
                             a
     acima.
                                     p
  6. Veri¯que que a fun»~o f (x) = 3 x ¶ cont¶
                         ca             e      ³nua em x0 = 0, mas lim f (0+¢x)¡f (0) =
                                                                             ¢x        ¢x!0
     +1. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f 0 (0) = +1. Esboce o
     gr¶¯co de f , tra»ando-o cuidadosamente atrav¶s dos pontos de abcissas 0, §1=8,
       a              c                           e
     §1, §8, e interprete geometricamente o fato de que f 0 (0) = +1.


5.1.1    Respostas e sugest~es
                           o
  1. (a) ¡1      (b) ¡1=2        (c) +1        (d) 0       (e) ¡1         (f) ¡1     (g) ¡1=2     (h) ¡1

  2. A fun»~o f ¶ de¯nida em R ¡ f1g. E cont¶
          ca    e                     ¶     ³nua em R ¡ f1; 2g.

  3. (a) ¡1     (b) 1      (c) ¡1         (d) +1        (e) +1       (f) 0
Limites laterais                                                                             46


  4.
       (a)    lim f (x) = ¡1,      lim f (x) = 1=11. N~o se de¯ne (n~o existe) o limite
                                                      a             a
             x!¡3+                x!¡3¡
       lim f (x). f (¡3) = ¡1, mas como n~o existe lim f (x), f n~o ¶ cont¶
                                         a                       a e      ³nua no ponto
       x!¡3                                            x!¡3
       ¡3.
       (b)    lim f (x) = 1,    lim f (x) = 1, lim f (x) = 1. f ¶ cont¶
                                                                e     ³nua no ponto ¡3 pois
             x!¡3+             x!¡3¡          x!¡3
       lim f (x) = f (¡3).
       x!¡3

  5. Ao esbo»ar o gr¶¯co de f , notamos que f (x) = x, se x ¸ 0, e f (x) = x, se x · 0.
               c        a
     Assim, f  0 (0+ ) = 1 indica a presen»a de uma reta tangente ao gr¶¯co de f , µ direita do
                                          c                            a            a
     ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶¯co de y = x, x ¸ 0, no ponto (0; 0) (a
                                                       a
     reta tangente a uma reta ¶ a pr¶pria reta). Analogamente, interpreta-se f 0 (0¡ ) = ¡1.
                                  e     o
                                                               p
  6. f 0 (0) = +1 signi¯ca que a reta tangente a curva y = 3 x, no ponto (0; 0), ¶ vertical.
                                                  µ                                  e

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  • 1. Aula 5 Limites laterais Para cada x real, de¯ne-se o valor absoluto ou m¶dulo de x como sendo o ( x se x ¸ 0 jxj = ¡x se x < 0 p p p p exemplo, j 2j = 2, j+ 3j = +3, j¡ 4j = 4, j0j = 0, j1 ¡ 2j = 2 ¡ 1 (pois Por p 1 ¡ 2 < 0). Para apresentar o conceito de limites laterais, consideraremos a fun»~o ca x f (x) = x + jxj ca ³nio) ¶ o conjunto R ¡ f0g. cujo campo de de¯ni»~o (dom¶ e Se x > 0, jxj = x e portanto f (x) = x + 1. Se x < 0, jxj = ¡x e portanto f (x) = x ¡ 1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 5.1. a e c y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 x Figura 5.1. Esbo»o do gr¶¯co de f (x) = x + c a jxj . 39
  • 2. Limites laterais 40 Se x tende a 0, mantendo-se > 0, f (x) tende a 1. Se tende a 0, mantendo-se < 0, f (x) tende a ¡1. Dizemos ent~o que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela direita, ¶ igual a 1, a e e denotamos lim f (x) = 1 + x!0 Dizemos tamb¶m que o limite de f (x), quando x tende a 0 pela esquerda, ¶ igual e e a ¡1, e denotamos lim f (x) = ¡1 ¡x!0 De um modo geral, sendo f (x) uma fun»~o, se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo ca a e inferior de um intervalo contido em D(f ), lim f (x) signi¯ca lim f(x) x!x0 x!x+ 0 x>x0 Se x0 est¶ no interior ou ¶ extremo superior de um intervalo contido em D(f), a e lim f (x) signi¯ca lim f (x) x!x0 x!x¡ 0 x<x0 Exemplo 5.1 Consideremos agora a fun»~o f (x) = 1=x. Conforme j¶ observado no exemplo 4.7, aula ca a 4 (reveja-o), esta fun»~o n~o tem limite quando x ! 0. ca a Temos D(f) = R ¡ f0g = ] ¡ 1; 0[ [ ]0; +1[. Assim, 0 ¶ extremo superior do e intervalo ] ¡ 1; 0[ ½ D(f ), e tamb¶m ¶ extremo inferior do intervalo ]0; +1[ ½ D(f ). e e y 3 2 y=1/x 1 0 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 1 1 Figura 5.2. limx!0+ x = +1, limx!0¡ x = ¡1 No esbo»o do gr¶¯co de f, ¯gura 5.2, ilustramos a ocorr^ncia dos limites laterais c a e 1 1 1 1 lim = lim = +1 lim = lim = ¡1 x!0+ x x!0 x x>0 x!0¡ x x!0 x x<0
  • 3. Limites laterais 41 1 1 (Tamb¶m ilustramos que lim e = lim = 0.) x!+1 x x!¡1 x Neste caso, ¶ conveniente denotar, introduzindo novos s¶ e ³mbolos em nossa ¶lgebra a de limites, 1 1 1 1 lim = + = +1 lim = ¡ = ¡1 x!0+ x 0 x!0¡ x 0 Observa»~o 5.1 Em geral, dizemos que ca lim f(x) = 0+ se x!x0 (i) lim f(x) = 0, e x!x0 (ii) f(x) mant¶m-se > 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) > 0 para todo x su¯ciente- e mente pr¶ximo de x0 . o Dizemos que lim f (x) = 0¡ se x!x0 (i) lim f(x) = 0, e x!x0 (ii) f(x) mant¶m-se < 0 quando x ! x0 , ou seja, f (x) < 0 para todo x su¯ciente- e mente pr¶ximo de x0 . o Escrevemos ainda lim+ f (x) = 0+ para indicar que x!x0 (i) lim+ f (x) = 0, e (ii) f (x) > 0 quando x ! x0 e x > x0 . x!x0 Analogamente, podemos tamb¶m conceituar os casos e lim f(x) = 0¡ , lim¡ f (x) = 0¡ , e lim¡ f (x) = 0+ . x!x+ 0 x!x0 x!x0 Nossa ¶lgebra de limites passa a contar agora com os seguintes novos resultados: a ( ( c +1 se c > 0 c ¡1 se c > 0 = = 0+ ¡1 se c < 0 0¡ +1 se c < 0 Tamb¶m ¶ f¶cil intuir que e e a +1 +1 ¡1 ¡1 = +1 = ¡1 = ¡1 = +1 0+ 0¡ 0+ 0¡ Exemplo 5.2 1 1 lim (x ¡ 1)2 = 0+ , portanto lim = + = +1. x!1 x!1 (x ¡ 1)2 0
  • 4. Limites laterais 42 2x ¡ 3 ¡3 lim = + = ¡1 x!0 + x 0 5 5 lim = = 0+ x!+1 x ¡ 3 +1 x+2 x+2 Exemplo 5.3 Calcular lim + e lim ¡ x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j Solu»~o. Observe que x + 2 > 0 se e somente se x > ¡2. ca Assim sendo, se x > ¡2, temos x + 2 > 0 e ent~o jx + 2j = x + 2. a Por outro lado, se x < ¡2, temos x + 2 < 0 e ent~o jx + 2j = ¡(x + 2). a Assim sendo, temos x+2 x+2 x+2 lim + = lim = lim = lim 1 = 1 x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 x + 2 x!¡2 x>¡2 x>¡2 x+2 x+2 x+2 lim ¡ = lim = lim = lim ¡1 = ¡1 x!¡2 jx + 2j x!¡2 jx + 2j x!¡2 ¡(x + 2) x!¡2 x<¡2 x<¡2 Observa»~o 5.2 A a¯rma»~o ca ca lim f (x) = a x!x0 ¶ equivalente µ a¯rma»~o, simult^nea, de que e a ca a lim f(x) = a e lim f (x) = a x!x+ 0 x!x¡ 0 Se no entanto f (x) ¶ de¯nida para x > x0 , mas n~o ¶ de¯nida para x < x0 , ent~o e a e a limx!x0 f (x) = a signi¯ca limx!x+ f (x) = a 0 p p Por exemplo, limx!0 x = 0, muito embora x n~o esteja de¯nida para x < 0. p a p lim Neste caso, a¯rmar quep x!0 x = 0 signi¯ca que limx!0+ x = 0, j¶ que n~o se a a de¯ne o limite limx!0¡ x ca a ca ³nua em [a; b]) Observa»~o 5.3 (O gr¶¯co de uma fun»~o cont¶ No exemplo ao in¶ da aula, vimos que a fun»~o f (x) = x + x=jxj tem limites laterais ³cio ca diferentes no ponto x0 = 0, sendo lim f (x) = 1 e lim f(x) = ¡1. Assim, conforme + ¡ x!0 x!0 podemos vizualizar na ¯gura 5.1, o gr¶¯co de f apresenta um salto no ponto 0. a Tamb¶m a fun»~o f (x) = 1=x tem um salto no ponto 0. Agora por¶m o salto ¶ e ca e e in¯nito, sendo lim f (x) = +1 e lim f (x) = ¡1. + ¡ x!0 x!0
  • 5. Limites laterais 43 y f(b) f(a) 0 a b x e ³nua e diferenci¶vel no intervalo [a; b]. Figura 5.3. f ¶ cont¶ a y f(b) f(a) 0 a c d b x e ³nua no intervalo [a; b], mas n~o tem derivadas nos pontos c e d. Figura 5.4. f ¶ cont¶ a Na aula 4, estivemos observando que a fun»~o f (x) = 1=x2 tem limite in¯nito no ca ponto 0: lim f (x) = +1. Aqui, nas proximidades de 0, o gr¶¯co salta" para cima dos a x!0 dois lados, apresentando uma quebra na curva do gr¶¯co. a Quando uma fun»~o f (x) ¶ cont¶ ca e ³nua nos pontos de um intervalo [a; b], a curva y = f (x), a · x · b, gr¶¯co de f no intervalo [a; b], n~o apresenta quebras ou saltos. a a Intuitivamente falando, podemos desenhar o gr¶¯co ligando o ponto inicial A = a (a; f (a)) ao ponto ¯nal B = (b; f(b)) sem tirarmos o l¶pis do papel, tal como na ¯gura a 5.3. Observa»~o 5.4 (Uma fun»~o cont¶ ca ca ³nua pode n~o ter derivada sempre) J¶ na ¯gu- a a ra 5.4 temos uma ilustra»~o de uma fun»~o cont¶ ca ca ³nua no intervalo [a; b] que, no entanto, n~o tem derivada em dois pontos desse intervalo. Note que nos pontos correspondentes a a c e d n~o ¶ poss¶ tra»ar retas tangentes ao gr¶¯co de f . a e ³vel c a Observa»~o 5.5 (Continuidade signi¯ca lim ¢f = 0) Na observa»~o 2.1, aula 2, ca ca ¢x!0 vimos que, sendo x0 2 D(f), se existe f 0 (x0 ) ent~o lim ¢f = 0. Na verdade, n~o ¶ a a e ¢x!0 necess¶rio termos f diferenci¶vel x0 para que tenhamos lim ¢f = 0. a a ¢x!0
  • 6. Limites laterais 44 A condi»~o necess¶ria e su¯ciente para que tenhamos lim ¢f = 0 ¶ que f seja ca a e ¢x!0 cont¶ ³nua no ponto x0 . Vejamos: ¢f = f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ). Fazendo x = x0 + ¢x, temos ¢f = f (x) ¡ f(x0 ). Temos que ¢x ! 0 se e somente se x ! x0 . Se lim ¢f = 0, ent~o lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, logo a ¢x!0 x!x0 lim f (x) = lim [(f (x) ¡ f (x0 )) + f (x0 )] = 0 + f(x0 ) = f(x0 ). Assim, f ¶ cont¶ e ³nua x!x0 x!x0 em x0 . ³nua em x0 , lim f (x) = f (x0 ). Logo, lim (f (x) ¡ f (x0 )) = 0, e Se f ¶ cont¶ e x!x0 x!x0 ent~o lim ¢f = 0. a ¢x!0 Assim, lim ¢f = 0 , lim f (x) = f (x0 ). ¢x!0 x!x0 Quando existe f 0 (x0 ), temos lim ¢f = 0 e ent~o lim f (x) = f(x0 ), ou seja a ¢x!0 x!x0 a e ³nua em x0 . Se f tem derivada em x0 ent~o f ¶ cont¶ No entanto, podemos ter f cont¶ ³nua em x0 , sem ter derivada em x0 . Veja proble- mas 5 e 6 abaixo. 5.1 Problemas y 0 1 2 x -1/2 -1 Figura 5.5.
  • 7. Limites laterais 45 1. Na ¯gura 5.5 est¶ esbo»ado o gr¶¯co de uma fun»~o y = f (x). Complete as a c a ca igualdades: (a) lim f(x) = ¡ (b) lim f (x) = + (c) lim f(x) = ¡ x!1 x!1 x!2 (d) lim f(x) = + (e) lim f (x) = ¡ (f) lim f (x) = + x!2 x!0 x!0 (g) lim f(x) = (h) lim f(x) = x!+1 x!¡1 2. Em que pontos a fun»~o f do problema anterior ¶ de¯nida? Em quais pontos ¶ ca e e cont¶ ³nua? 3. Calcule os limites laterais j¼ ¡ xj j¼ ¡ xj 1 (a) lim¡ (b) lim+ (c) lim x!¼ x¡¼ x!¼ x¡¼ x!8¡ x ¡ 8 1 x2 ¡ 5x + 4 p (d) lim (e) lim (f) lim x ¡ 2 x!8+ x ¡ 8 x!2+ 2¡x x!2+ 4. Calcule os limites lim f (x), lim f (x) e diga se existe o limite lim f (x). x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3 e e ³nua no ponto ¡3. Diga tamb¶m se f ¶ cont¶ 8 8 < 1 < 9 se x < ¡3 se x · ¡3 (a) f (x) = 2 ¡ 3x (b) f (x) = x2 : p : p4 + x se x > ¡3 3 x + 2 se x ¸ ¡3 3 5. Veri¯que que a fun»~o f (x) = jxj ¶ cont¶ ca e ³nua em x0 = 0, mas n~o existe f 0 (0) a f (0+¢x)¡f (0) (mostre que n~o existe o limite lim a ¢x ). Mostre que existem os limites ¢x!0 f (0+¢x)¡f (0) f (0+¢x)¡f (0) laterais lim + ¢x e lim ¢x , chamados respectivamente de ¢x!0 ¢x!0¡ 0 + derivada direita de f no ponto 0 (f (0 )) e derivada esquerda de f no ponto 0 (f 0 (0¡ )). Esboce o gr¶¯co de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos a acima. p 6. Veri¯que que a fun»~o f (x) = 3 x ¶ cont¶ ca e ³nua em x0 = 0, mas lim f (0+¢x)¡f (0) = ¢x ¢x!0 +1. Neste caso, por abuso de linguagem, dizemos que f 0 (0) = +1. Esboce o gr¶¯co de f , tra»ando-o cuidadosamente atrav¶s dos pontos de abcissas 0, §1=8, a c e §1, §8, e interprete geometricamente o fato de que f 0 (0) = +1. 5.1.1 Respostas e sugest~es o 1. (a) ¡1 (b) ¡1=2 (c) +1 (d) 0 (e) ¡1 (f) ¡1 (g) ¡1=2 (h) ¡1 2. A fun»~o f ¶ de¯nida em R ¡ f1g. E cont¶ ca e ¶ ³nua em R ¡ f1; 2g. 3. (a) ¡1 (b) 1 (c) ¡1 (d) +1 (e) +1 (f) 0
  • 8. Limites laterais 46 4. (a) lim f (x) = ¡1, lim f (x) = 1=11. N~o se de¯ne (n~o existe) o limite a a x!¡3+ x!¡3¡ lim f (x). f (¡3) = ¡1, mas como n~o existe lim f (x), f n~o ¶ cont¶ a a e ³nua no ponto x!¡3 x!¡3 ¡3. (b) lim f (x) = 1, lim f (x) = 1, lim f (x) = 1. f ¶ cont¶ e ³nua no ponto ¡3 pois x!¡3+ x!¡3¡ x!¡3 lim f (x) = f (¡3). x!¡3 5. Ao esbo»ar o gr¶¯co de f , notamos que f (x) = x, se x ¸ 0, e f (x) = x, se x · 0. c a Assim, f 0 (0+ ) = 1 indica a presen»a de uma reta tangente ao gr¶¯co de f , µ direita do c a a ponto (0; 0)", como sendo a reta tangente ao gr¶¯co de y = x, x ¸ 0, no ponto (0; 0) (a a reta tangente a uma reta ¶ a pr¶pria reta). Analogamente, interpreta-se f 0 (0¡ ) = ¡1. e o p 6. f 0 (0) = +1 signi¯ca que a reta tangente a curva y = 3 x, no ponto (0; 0), ¶ vertical. µ e