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Aula 13

Limites indeterminados e as regras
de L'Hopital

Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites
indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶m exami-
                                                                           e
nando gr¶¯cos de fun»~es envolvendo fun»~es exponenciais.
        a            co                 co
Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente
                      x!a
de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I
       co                      a
um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶
                                                                         a      ³nuas
e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = lim g(x) = 0.
       a            =
                            x!a          x!a


Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente
                     x!a
de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I
       co                      a
um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶
                                                                         a      ³nuas
e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = §1, lim g(x) = §1.
       a            =
                            x!a                x!a

      Os mesmos conceitos s~o de¯nidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡ ,
                           a
ou ainda se a = §1.
      S~o duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e
       a
outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente
em um ¶nico teorema (que n~o demonstraremos).
       u                    a
Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim f(x)=g(x) tem uma forma indeter-
                                                 x!a
minada 0=0 ou 1=1, ent~o
                      a

                                      f (x)       f 0 (x)
                                  lim       = lim 0
                                  x!a g(x)    x!a g (x)


caso o limite lim f 0 (x)=g 0 (x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶
                                                                                     e
              x!a
substitu¶ por a+ ou a¡ , ou se a = +1 ou ¡1.
        ³do


                                           108
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                      109

                               x2 ¡ x ¡ 2
Exemplo 13.1 Calcular lim
                          x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2


Solu»~o. Um c¶lculo direto nos d¶ a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶todo tradicional,
    ca        a                 a                                  e
usando fatora»~es, fazemos
             co
             x2 ¡ x ¡ 2         (x ¡ 2)(x + 1)        x+1
        lim              = lim                 = lim        = 3=7
        x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2   x!2 (x ¡ 2)(3x + 1)   x!2 3x + 1

        Aplicando regras de L'Hopital, n~o necessitamos da fatora»~o:
                                        a                        ca
             x2 ¡ x ¡ 2         (x2 ¡ x ¡ 2)0        2x ¡ 1
        lim              = lim                 = lim        = 3=7
        x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2   x!2 (3x2 ¡ 5x ¡ 2)0   x!2 6x ¡ 5

      No caso de quociente de polin^mios, n~o precisamos das regras de L'Hopital, mas
                                    o       a
µs vezes as regras de L'Hopital s~o nosso unico recurso para o c¶lculo de um limite:
a                                a        ¶                     a

                                x ¡ sen x
Exemplo 13.2 Calcular lim
                          x!0      x3

O limite ¶ indeterminado, da forma 0=0, a agora n~o podemos colocar em evid^ncia
         e                                        a                        e
nenhuma pot^ncia de x. Aplicando L'Hopital, temos
             e


        x ¡ sen x       (x ¡ sen x)0
    lim           = lim
    x!0    x3       x!0     (x3 )0
                        1 ¡ cos x
                  = lim                     (= 0=0, aplicamos novamente L'Hopital)
                    x!0    3x2
                        sen x                            sen x
                  = lim       = 1=6         (usando lim        = 1)
                    x!0 6x                          x!0    x

                               e2x
Exemplo 13.3 Calcular lim
                          x!+1 x3


Aqui temos uma indetermina»~o da forma 1=1. Aplicando L'Hopital, temos
                          ca

      e2x       (e2x )0
  lim     = lim
 x!+1 x3   x!+1 (x3 )0

                2e2x
          = lim                  (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital)
           x!+1 3x2
                (2e2x )0
          = lim
           x!+1 (3x2 )0

                4e2x
          = lim                  (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital)
           x!+1 6x
                8e2x     +1
          = lim        =    = +1
           x!+1 6         6
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                  110


      No c¶lculo de limites, sabemos que tamb¶m 0 ¢ 1 e (+1) ¡ (+1) s~o s¶
          a                                  e                       a ³mbolos
de indetermina»~o. No caso 0 ¢ 1 tamb¶m podemos aplicar regras de L'Hopital, ap¶s
               ca                        e                                     o
uma manipula»~o conveniente das fun»~es no limite.
              ca                      co
     Suponhamos que lim f (x)¢g(x) ¶ indeterminado na forma 0¢1, isto ¶, lim f (x) =
                                   e                                  e
                          x!a                                              x!a
0 e lim g(x) = 1.
   x!a

     Neste caso, primeiramente fazemos
                                                     f(x)
                           lim f (x) ¢ g(x) = lim          = 0=0
                           x!a                x!a   1=g(x)
e ent~o, aplicando L'Hopital, calculamos
     a
                                            f 0 (x)
                                      lim
                                      x!a (1=g(x))0

ou ent~o
      a
                                                 g(x)
                      lim f (x) ¢ g(x) = lim            = 1= § 1
                      x!a                   x!a 1=f (x)

e ent~o, por L'Hopital, calculamos
     a
                                            g 0 (x)
                                      lim
                                      x!a (1=f (x))0


Exemplo 13.4 Calcular lim x ¢ ln x.
                         + x!0


Temos lim x ¢ ln x = 0 ¢ (¡1). Recorde-se que lim ln x = ¡1 (veja aula 9).
         +                                       +
       x!0                                           x!0

     Neste caso, fazemos
                           ln x
    lim x ¢ ln x = lim
       +              +     1                                      (= ¡1= + 1)
   x!0              x!0
                            x
                       (ln x)0        1=x
                = lim ¡ 1 ¢0 = lim
                     +             + ¡1=x2
                                           = lim (¡x) = 0
                 x!0           x!0          x!0+
                          x



13.1       Novos s¶
                  ³mbolos de indetermina»~o
                                        ca
                                                   ³mbolos de indetermina»~o 00 , 10
Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s¶                     ca
   1
e1 .
Em toda a literatura de matem¶tica universit¶ria, adota-se, ainda que sub-liminar-
                               a             a
mente µs vezes, a de¯ni»~o 0 = 1. No c¶lculo de limites no entanto, 00 ¶ um s¶
       a               ca   0
                                      a                                e     ³mbolo
de indetermina»~o. O exemplo abaixo explica porqu^.
              ca                                  e

     Consideremos a fun»~o f (x) = xk=ln x (k constante), de¯nida para x > 0. Vimos
                        ca
na aula 9, que lim ln x = ln 0+ = ¡1.
                  +
              x!0
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                                    111

                                                                                   +
        Assim, utilizando ¶lgebra de limites, temos lim f (x) = 0k= ln 0 = 0k=¡1 = 00 .
                          a                            +     x!0
                                                              k
                                         ln(xk= ln x )
     No entanto, f (x) = xk= ln x = e                    = e ln x ¢ln x = ek , ou seja, f (x) ¶ a fun»~o
                                                                                              e      ca
constante ek , e portanto lim f (x) = ek .
                             +
                           x!0

Tamb¶m s~o formas indeterminadas, ou seja, s¶
      e   a                                 ³mbolos de indetermina»~o, as ex-
                                                                  ca
          1   0
press~es 1 e 1 .
     o

        Suponhamos que o limite lim f(x)g(x) tem uma das formas indeterminadas 00 , 10
                                  x!a
ou 11 . Aqui deveremos ter f (x) > 0 no dom¶ da fun»~o f g .
                                           ³nio    ca
        Em qualquer um desses casos, fazemos
                                                    g(x)
                             f (x)g(x) = eln f (x)         = eg(x)¢ln f (x)

e ent~o
     a
                                      lim f (x)g(x) = eL
                                      x!a

sendo
                                   L = lim [g(x) ¢ ln f (x)]
                                         x!a


        Para as formas indeterminadas 00 , 10 e 11 , o limite L = lim [g(x) ¢ ln f (x)]
                                                                                   x!a
ter¶ sempre a forma indeterminada 0 ¢ 1 (ou 1 ¢ 0), e reca¶
   a                                                      ³mos ent~o em um caso
                                                                  a
anteriormente estudado.

Exemplo 13.5 Calcular lim xx (aqui, x ! 0 signi¯ca x ! 0+ ).
                           x!0


Solu»~o. Aqui temos uma indetermina»~o 00 . Seguindo procedimento descrito acima,
    ca                             ca
fazemos
                                         x
                               xx = eln x = ex¢ln x
e ent~o lim xx = eL , sendo L = lim x ln x.
     a     +                       +
          x!0                         x!0

        Pelo exemplo 13.4, L = 0 e portanto lim xx = e0 = 1
                                               +   x!0


Exemplo 13.6 Calcular lim (1 + sen 2x)1=x .
                           x!0


Aqui temos uma indetermina»~o 11 .
                          ca
                                                     1=x       1
        Fazemos (1 + sen 2x)1=x = eln(1+sen 2x)            = e x ¢ln(1+sen 2x) . Ent~o
                                                                                    a
        lim (1 + sen 2x)1=x = eL , sendo
        x!0

                1                        ln(1 + sen 2x)
        L = lim   ¢ ln(1 + sen 2x) = lim                              (= 0=0).
                x
              x!0                    x!0       x
        Aplicando L'Hopital,
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                       112

          ln(1 + sen 2x)       [ln(1 + sen 2x)]0            1
      lim                = lim                   = lim            ¢ 2 cos 2x = 2.
      x!0       x          x!0       (x) 0         x!0 1 + sen 2x

      Portanto lim (1 + sen 2x)1=x = e2 .
               x!0

      As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»~o 0=0 e 1=1, dizem que
                                                           ca
lim f (x)=g(x) = lim f 0 (x)=g 0 (x), mas somente quando este ¶ltimo limite ¶ efetivamente
                                                              u             e
x!a              x!a
comput¶vel.
        a
     No exemplo abaixo, temos uma indetermina»~o 1=1 para a qual a regra de
                                                    ca
                                             0     0
L'Hopital n~o se aplica porque o limite lim f (x)=g (x) n~o existe, mas o limite
           a                                             a
                                         x!a
lim f (x)=g(x) ¶ calcul¶vel.
               e       a
x!a


                               x + sen x
Exemplo 13.7 Calcular lim                .
                          x!+1    x

Solu»~o. Temos sen x ¸ ¡1, da¶ x + sen x ¸ x ¡ 1 para todo x 2 R.
    ca                       ³
      Logo lim (x + sen x) ¸ lim (x ¡ 1) = +1. Assim sendo, lim (x + sen x) =
            x!+1                x!+1                                x!+1
                       x + sen x
+1, e o limite lim               ¶ indeterminado na forma 1=1.
                                 e
                 x!+1       x
                                                 (x + sen x)0
      Aplicando L'Hopital, consideramos lim                   = lim (1 + cos x). Este
                                           x!+1      (x)0      x!+1
limite n~o existe (n~o ¶ ¯nito nem in¯nito) pois quando x cresce inde¯nidamente, cos x
        a           a e
¯ca oscilando inde¯nidamente entre ¡1 e +1.
                         sen x
      Entretanto lim           = 0, pois, sendo x > 0, como ¡1 · sen x · 1,
                  x!+1     x
                                       1   sen x   1
                                   ¡     ·       ·
                                       x     x     x
            1                     sen x                     sen x
Como lim      = 0, temos 0 · lim        · 0, e portanto lim       = 0.
       x!+1 x                x!+1   x                  x!+1   x
                  x + sen x        ³    sen x ´
      Assim, lim            = lim 1 +           =1+0=1
            x!+1      x       x!+1        x


13.2        Novos casos de gr¶¯cos envolvendo fun»~es ex-
                              a                  co
            ponenciais. Dois exemplos
                                                     2
Exemplo 13.8 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = 2xe¡x .
                 c       a

                                                           2         2        2
Solu»~o. Temos D(f ) = R = ]¡ 1; +1[, e f 0 (x) = 2e¡x ¡ 4x2 e¡x = 2e¡x (1 ¡ 2x2 ).
     ca                      p
            ³ticos de f s~o § 2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»~o em cadeia,
Os pontos cr¶            a                                         ca
  u 0    u  0
(e ) = e ¢ u .
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                               113

                                    p               p                         p
       Assim, Temos f 0 (x) > 0 se ¡ 2=2 < xp
          p                                      < 2=2, e f 0 (x) < 0 se x > 2=2 ou
                                                      p
se x < ¡ 2=2.p   Portanto f ¶ crescentep [¡ 2=2; 2=2], e decrescente em cada um
                             e          em
dos intervalos [ 2=2; +1[ e ]¡ 1; ¡ 2=2].
              p                                                   p
       x1 = ¡ 2=2 ¶ um ponto p m¶
                     e            de ³nimo local de f , e x2 = 2=2 ¶ um ponto de
                                              p ¡1=2          p      p e ¡1=2
m¶ximo local de f . Temos f (¡ 2=2) = ¡ 2e
  a                           p ¡1=2                     e f ( 2=2) = 2e      . Para o
esbo»o do gr¶¯co, usaremos 2e
     c       a                        ¼ 1; 4 ¢ 0; 6 = 0; 84
                           2                 2             2                          2
     f 00 (x) = ¡12xe¡x + 8x3 e¡x = 4e¡x (2x3 ¡ 3x) = 4e¡x x(2x2 ¡ 3).
                                       p
     f 00 (x) = 0 se e somente se x = § 6=2 ou x = 0.
     A varia»~o de sinais de f 00 , com a correspondente an¶lise das concavidades do
              ca                                           a
gr¶¯co de f , ¶ dada no diagrama abaixo.
  a           e

                     y''       _   - √ 6/2                 0    _       √ 6/2
                                                  +                                   +
              y = f(x)                                                                    x


                                                            p     p
      S~o pontos de in°ex~o do gr¶¯co osp
        a       p        p   a        a     pontos P1 = (¡ p ¡ 6e¡3=2 ), P2 =
                                                             6=2;   p
(0; 0) e P3 = ( 6=2; 6e¡3=2 ). p     Temos, p ¼ 1; 3, f(¡ 6=2) = ¡ 6e¡3=2 ¼
                                             6=2
¡2; 5 ¢ 2; 2 ¼ ¡0; 6, f (0) = 0 e f ( 6=2) = 6e¡3=2 ¼ 0; 6.
     Pesquisando a exist^ncia de ass¶
                        e           ³ntotas do gr¶¯co temos
                                                 a
                 2
      lim 2xe¡x = §1 ¢ e¡1 = §1 ¢ 0.
     x!§1

     Para evitarmos a indetermina»~o, fazemos
                                 ca
                 2          2x     1
      lim 2xe¡x = lim x2 (= ).
     x!§1            x!§1 e        1
     Aplicando regras de L'Hopital, temos
          2x        (2x)0           2      2
      lim     = lim    2 0 =  lim     2 =    = 0.
     x!§1 ex
            2
               x!§1 (ex )    x!§1 2xex    §1
     Assim, a reta y = 0 (eixo x) ¶ ass¶
                                  e    ³ntota horizontal do gr¶¯co de f .
                                                              a
     Com base nos elementos estudados, o gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.1.
                                           a         e     c

                                                           y
                                                      1




                                                                    1           2 x


                                                      -1


                                                 Figura 13.1.
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                            114


Exemplo 13.9 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = xx , x > 0.
                 c       a

Solu»~o. Do exemplo 13.5, temos lim xx = 1. Esta ¶ uma informa»~o relevante para
    ca                             +
                                                 e            ca
                                        x!0
esbo»armos o gr¶¯co de f nas proximidades de 0.
    c          a
      No exemplo 10.1, da aula 9, obtivemos f 0 (x) = xx (1 + ln x).
      Assim, f 0 (x) = 0 se e somente se ln x = ¡1, isto ¶, x = e¡1 = 1=e. Como
                                                           e
ln x = loge x tem base e > 1, a fun»~o ln ¶ crescente, e portanto f 0 (x) > 0 quando
                                    ca      e
ln x > ¡1, logo para x > e¡1 = 1=e, e f 0 (x) < 0 para x < 1=e.
      Da¶ a fun»~o xx ¶ decrescente no intervalo ]0; 1=e] e crescente no intervalo
         ³,      ca       e
[1=e; +1[, sendo 1=e um ponto de m¶ ³nimo local (e absoluto) de f . Temos ainda
f (1=e) = (1=e)1=e ¼ 0; 7.
      Finalmente, f 00 (x) = xx ¢ [(1=x) + (1 + ln x)2 ], e assim f 00 (x) > 0 para todo x > 0,
e ent~o o gr¶¯co de f tem concavidade sempre voltada para cima.
     a      a
      Obviamente lim xx = +1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.2.
                                  a         e     c
                    x!+1


                                        y
                                    4




                                    1


                                                               x
                                    0       1/e   1        2


                                            Figura 13.2.

      Al¶m disso,
        e
                          f(x)       xx
                        lim    = lim    = lim xx¡1 = +1
                      x!+1 x    x!+1 x   x!+1

e portanto o gr¶¯co de f n~o tem ass¶
               a          a         ³ntotas.


13.3       Problemas
   1. Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L'Hopital se necess¶rio.
                                                                           a
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                             115

              x cos x ¡ sen x                      ln x
      (a) lim                             (b) lim p
          x!0        x3                       x!+1 3 x
               3       2
              x ¡ 2x ¡ x + 2
      (c) lim                             (d) lim xn e¡x (n inteiro positivo)
          x!1    x3 ¡ 7x + 6                  x!+1
      (e) lim xn e¡x (n inteiro positivo) (f) lim x ln x
           x!¡1                                  +    x!0
               ln(sen 2x)
      (g) lim                                    (h) lim (x2 )x
           x!0 ln(sen 3x)                              x!0
      (i) lim (1 + 3x)1=x                        (j) lim x1=(x¡1)
           x!0                                        x!1
      (k) lim (cos x)1=x                         (l) lim x¸ e¡x (¸ real positivo)
           x!0                                        x!+1

    Respostas. (a) ¡1=3. (b) 0. (c) 1=2. (d) 0. (e) +1 se n ¶ par, ¡1 se n ¶
                                                             e             e
                                     3
    ³mpar. (f) 0. (g) 1. (h) 1. (i) e . (j) e. (k) 1. (l) 0.
    ¶

  2. Calcule as equa»~es das retas ass¶
                     co                ³ntotas do gr¶¯co de cada uma das seguintes
                                                    a
     fun»~es.
        co
                  ln x          ¡       ¢
                                      1 x
      (a) f (x) = p     (b) y = 1 + x       (c) y = 2x ¢ e¡1=x
                   3
                     x
                2 ¡x            sen x
      (d) y = x e       (e) y =
                                  x
     Respostas. (a) y = 0, e x = 0. (b) y = e. (c) x = 0, e y = 2x ¡ 1. (d) y = 0.
     (e) y = 0.

  3. Esboce os gr¶¯cos das seguintes fun»~es.
                 a                      co
                                  2                          2             2 ln(2x)
    (a) y = 2xe¡x       (b) y = e¡x       (c) y = 2x2 e¡x        (d) y =            .
                                                                               x
    Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.)
                                                        a     co
                                                                 2                     2
    (a) y 0 = 2(1 ¡ x)e¡x , y 00 = 2(x ¡ 2)e¡x , (b) y 0 = ¡2xe¡x , y 00 = (4x2 ¡ 2)e¡x
                     2                     2
    (c) y 0 = 4xe¡x (1 ¡ x2p y 00 = 4e¡x (1 ¡ 5x2 + 2x4 )
                              ),
                                      p
                   00 s~o § 1 5 § 17, sendo aproximadamente §0; 5 e §1; 5).
    (os zeros de y a        2
    (d) y 0 = 2[1 ¡ ln(2x)]=x2 , y 00 = 2[¡3 + 2 ln(2x)]=x3 .
    (a)                                         (b)
                  y                                                              y
                                                                             1

                  0     1    2        3     x

                   -1

                                                                   -1            0      1    x
                   -2

                                                      Dados num¶ricos. e¡1=2 ¼ 0;6.
                                                               e
                   -3




          Dados num¶ricos. 2e¡1 ¼ 0;7
                     e
          4e¡2 ¼ 0;5.
Limites indeterminados e as regras de L'Hopital                                                        116


    (c)                                          (d)
                              y                               y
                          1                              2


                                                         1
            -2     -1         0   1        2 x
                                                                                3/2
                                                                      e/2       e /2               x
          Dados num¶ricos. f (0;5) ¼ 0;4
                      e                                   0       1         2          3   4   5
          f (1;5) ¼ 0;5
                                                         -1


                                                         -2


                                                         -3

                                                       Dados num¶ricos. e=2 ¼ 1;4
                                                                   e
                                                       e3=2 =2 ¼ 2;2.

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  • 1. Aula 13 Limites indeterminados e as regras de L'Hopital Nesta aula, estaremos apresentando as regras de L'Hopital, regras para calcular limites indeterminados, da forma 0=0 ou 1=1, usando derivadas. Estaremos tamb¶m exami- e nando gr¶¯cos de fun»~es envolvendo fun»~es exponenciais. a co co Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 0=0, se o quociente x!a de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co a um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuas e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = lim g(x) = 0. a = x!a x!a Diremos que o limite lim f (x)=g(x) tem a forma indeterminada 1=1, se o quociente x!a de fun»~es reais f (x)=g(x) est¶ de¯nido em um conjunto da forma I ¡ fag (sendo I co a um intervalo, e a uma extremidade ou ponto interior de I), f (x) e g(x) s~o cont¶ a ³nuas e deriv¶veis para x 6a, e lim f (x) = §1, lim g(x) = §1. a = x!a x!a Os mesmos conceitos s~o de¯nidos analogamente se tivermos x ! a+ ou x ! a¡ , a ou ainda se a = §1. S~o duas as chamadas regras de L'Hopital. Uma para formas indeteminadas 0=0 e a outra para formas indeterminadas 1=1. Ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um ¶nico teorema (que n~o demonstraremos). u a Teorema 13.1 (Regras de L'Hopital) Se lim f(x)=g(x) tem uma forma indeter- x!a minada 0=0 ou 1=1, ent~o a f (x) f 0 (x) lim = lim 0 x!a g(x) x!a g (x) caso o limite lim f 0 (x)=g 0 (x) exista (sendo ¯nito ou in¯nito). O mesmo vale se a ¶ e x!a substitu¶ por a+ ou a¡ , ou se a = +1 ou ¡1. ³do 108
  • 2. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 109 x2 ¡ x ¡ 2 Exemplo 13.1 Calcular lim x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 Solu»~o. Um c¶lculo direto nos d¶ a forma indeterminada 0=0. Pelo m¶todo tradicional, ca a a e usando fatora»~es, fazemos co x2 ¡ x ¡ 2 (x ¡ 2)(x + 1) x+1 lim = lim = lim = 3=7 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (x ¡ 2)(3x + 1) x!2 3x + 1 Aplicando regras de L'Hopital, n~o necessitamos da fatora»~o: a ca x2 ¡ x ¡ 2 (x2 ¡ x ¡ 2)0 2x ¡ 1 lim = lim = lim = 3=7 x!2 3x2 ¡ 5x ¡ 2 x!2 (3x2 ¡ 5x ¡ 2)0 x!2 6x ¡ 5 No caso de quociente de polin^mios, n~o precisamos das regras de L'Hopital, mas o a µs vezes as regras de L'Hopital s~o nosso unico recurso para o c¶lculo de um limite: a a ¶ a x ¡ sen x Exemplo 13.2 Calcular lim x!0 x3 O limite ¶ indeterminado, da forma 0=0, a agora n~o podemos colocar em evid^ncia e a e nenhuma pot^ncia de x. Aplicando L'Hopital, temos e x ¡ sen x (x ¡ sen x)0 lim = lim x!0 x3 x!0 (x3 )0 1 ¡ cos x = lim (= 0=0, aplicamos novamente L'Hopital) x!0 3x2 sen x sen x = lim = 1=6 (usando lim = 1) x!0 6x x!0 x e2x Exemplo 13.3 Calcular lim x!+1 x3 Aqui temos uma indetermina»~o da forma 1=1. Aplicando L'Hopital, temos ca e2x (e2x )0 lim = lim x!+1 x3 x!+1 (x3 )0 2e2x = lim (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital) x!+1 3x2 (2e2x )0 = lim x!+1 (3x2 )0 4e2x = lim (= 1=1, aplicamos novamente L'Hopital) x!+1 6x 8e2x +1 = lim = = +1 x!+1 6 6
  • 3. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 110 No c¶lculo de limites, sabemos que tamb¶m 0 ¢ 1 e (+1) ¡ (+1) s~o s¶ a e a ³mbolos de indetermina»~o. No caso 0 ¢ 1 tamb¶m podemos aplicar regras de L'Hopital, ap¶s ca e o uma manipula»~o conveniente das fun»~es no limite. ca co Suponhamos que lim f (x)¢g(x) ¶ indeterminado na forma 0¢1, isto ¶, lim f (x) = e e x!a x!a 0 e lim g(x) = 1. x!a Neste caso, primeiramente fazemos f(x) lim f (x) ¢ g(x) = lim = 0=0 x!a x!a 1=g(x) e ent~o, aplicando L'Hopital, calculamos a f 0 (x) lim x!a (1=g(x))0 ou ent~o a g(x) lim f (x) ¢ g(x) = lim = 1= § 1 x!a x!a 1=f (x) e ent~o, por L'Hopital, calculamos a g 0 (x) lim x!a (1=f (x))0 Exemplo 13.4 Calcular lim x ¢ ln x. + x!0 Temos lim x ¢ ln x = 0 ¢ (¡1). Recorde-se que lim ln x = ¡1 (veja aula 9). + + x!0 x!0 Neste caso, fazemos ln x lim x ¢ ln x = lim + + 1 (= ¡1= + 1) x!0 x!0 x (ln x)0 1=x = lim ¡ 1 ¢0 = lim + + ¡1=x2 = lim (¡x) = 0 x!0 x!0 x!0+ x 13.1 Novos s¶ ³mbolos de indetermina»~o ca ³mbolos de indetermina»~o 00 , 10 Estudaremos agora procedimentos para lidar com os s¶ ca 1 e1 . Em toda a literatura de matem¶tica universit¶ria, adota-se, ainda que sub-liminar- a a mente µs vezes, a de¯ni»~o 0 = 1. No c¶lculo de limites no entanto, 00 ¶ um s¶ a ca 0 a e ³mbolo de indetermina»~o. O exemplo abaixo explica porqu^. ca e Consideremos a fun»~o f (x) = xk=ln x (k constante), de¯nida para x > 0. Vimos ca na aula 9, que lim ln x = ln 0+ = ¡1. + x!0
  • 4. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 111 + Assim, utilizando ¶lgebra de limites, temos lim f (x) = 0k= ln 0 = 0k=¡1 = 00 . a + x!0 k ln(xk= ln x ) No entanto, f (x) = xk= ln x = e = e ln x ¢ln x = ek , ou seja, f (x) ¶ a fun»~o e ca constante ek , e portanto lim f (x) = ek . + x!0 Tamb¶m s~o formas indeterminadas, ou seja, s¶ e a ³mbolos de indetermina»~o, as ex- ca 1 0 press~es 1 e 1 . o Suponhamos que o limite lim f(x)g(x) tem uma das formas indeterminadas 00 , 10 x!a ou 11 . Aqui deveremos ter f (x) > 0 no dom¶ da fun»~o f g . ³nio ca Em qualquer um desses casos, fazemos g(x) f (x)g(x) = eln f (x) = eg(x)¢ln f (x) e ent~o a lim f (x)g(x) = eL x!a sendo L = lim [g(x) ¢ ln f (x)] x!a Para as formas indeterminadas 00 , 10 e 11 , o limite L = lim [g(x) ¢ ln f (x)] x!a ter¶ sempre a forma indeterminada 0 ¢ 1 (ou 1 ¢ 0), e reca¶ a ³mos ent~o em um caso a anteriormente estudado. Exemplo 13.5 Calcular lim xx (aqui, x ! 0 signi¯ca x ! 0+ ). x!0 Solu»~o. Aqui temos uma indetermina»~o 00 . Seguindo procedimento descrito acima, ca ca fazemos x xx = eln x = ex¢ln x e ent~o lim xx = eL , sendo L = lim x ln x. a + + x!0 x!0 Pelo exemplo 13.4, L = 0 e portanto lim xx = e0 = 1 + x!0 Exemplo 13.6 Calcular lim (1 + sen 2x)1=x . x!0 Aqui temos uma indetermina»~o 11 . ca 1=x 1 Fazemos (1 + sen 2x)1=x = eln(1+sen 2x) = e x ¢ln(1+sen 2x) . Ent~o a lim (1 + sen 2x)1=x = eL , sendo x!0 1 ln(1 + sen 2x) L = lim ¢ ln(1 + sen 2x) = lim (= 0=0). x x!0 x!0 x Aplicando L'Hopital,
  • 5. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 112 ln(1 + sen 2x) [ln(1 + sen 2x)]0 1 lim = lim = lim ¢ 2 cos 2x = 2. x!0 x x!0 (x) 0 x!0 1 + sen 2x Portanto lim (1 + sen 2x)1=x = e2 . x!0 As regras de L'Hopital, nos casos de indetermina»~o 0=0 e 1=1, dizem que ca lim f (x)=g(x) = lim f 0 (x)=g 0 (x), mas somente quando este ¶ltimo limite ¶ efetivamente u e x!a x!a comput¶vel. a No exemplo abaixo, temos uma indetermina»~o 1=1 para a qual a regra de ca 0 0 L'Hopital n~o se aplica porque o limite lim f (x)=g (x) n~o existe, mas o limite a a x!a lim f (x)=g(x) ¶ calcul¶vel. e a x!a x + sen x Exemplo 13.7 Calcular lim . x!+1 x Solu»~o. Temos sen x ¸ ¡1, da¶ x + sen x ¸ x ¡ 1 para todo x 2 R. ca ³ Logo lim (x + sen x) ¸ lim (x ¡ 1) = +1. Assim sendo, lim (x + sen x) = x!+1 x!+1 x!+1 x + sen x +1, e o limite lim ¶ indeterminado na forma 1=1. e x!+1 x (x + sen x)0 Aplicando L'Hopital, consideramos lim = lim (1 + cos x). Este x!+1 (x)0 x!+1 limite n~o existe (n~o ¶ ¯nito nem in¯nito) pois quando x cresce inde¯nidamente, cos x a a e ¯ca oscilando inde¯nidamente entre ¡1 e +1. sen x Entretanto lim = 0, pois, sendo x > 0, como ¡1 · sen x · 1, x!+1 x 1 sen x 1 ¡ · · x x x 1 sen x sen x Como lim = 0, temos 0 · lim · 0, e portanto lim = 0. x!+1 x x!+1 x x!+1 x x + sen x ³ sen x ´ Assim, lim = lim 1 + =1+0=1 x!+1 x x!+1 x 13.2 Novos casos de gr¶¯cos envolvendo fun»~es ex- a co ponenciais. Dois exemplos 2 Exemplo 13.8 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = 2xe¡x . c a 2 2 2 Solu»~o. Temos D(f ) = R = ]¡ 1; +1[, e f 0 (x) = 2e¡x ¡ 4x2 e¡x = 2e¡x (1 ¡ 2x2 ). ca p ³ticos de f s~o § 2=2. Lembremo-nos de que, por deriva»~o em cadeia, Os pontos cr¶ a ca u 0 u 0 (e ) = e ¢ u .
  • 6. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 113 p p p Assim, Temos f 0 (x) > 0 se ¡ 2=2 < xp p < 2=2, e f 0 (x) < 0 se x > 2=2 ou p se x < ¡ 2=2.p Portanto f ¶ crescentep [¡ 2=2; 2=2], e decrescente em cada um e em dos intervalos [ 2=2; +1[ e ]¡ 1; ¡ 2=2]. p p x1 = ¡ 2=2 ¶ um ponto p m¶ e de ³nimo local de f , e x2 = 2=2 ¶ um ponto de p ¡1=2 p p e ¡1=2 m¶ximo local de f . Temos f (¡ 2=2) = ¡ 2e a p ¡1=2 e f ( 2=2) = 2e . Para o esbo»o do gr¶¯co, usaremos 2e c a ¼ 1; 4 ¢ 0; 6 = 0; 84 2 2 2 2 f 00 (x) = ¡12xe¡x + 8x3 e¡x = 4e¡x (2x3 ¡ 3x) = 4e¡x x(2x2 ¡ 3). p f 00 (x) = 0 se e somente se x = § 6=2 ou x = 0. A varia»~o de sinais de f 00 , com a correspondente an¶lise das concavidades do ca a gr¶¯co de f , ¶ dada no diagrama abaixo. a e y'' _ - √ 6/2 0 _ √ 6/2 + + y = f(x) x p p S~o pontos de in°ex~o do gr¶¯co osp a p p a a pontos P1 = (¡ p ¡ 6e¡3=2 ), P2 = 6=2; p (0; 0) e P3 = ( 6=2; 6e¡3=2 ). p Temos, p ¼ 1; 3, f(¡ 6=2) = ¡ 6e¡3=2 ¼ 6=2 ¡2; 5 ¢ 2; 2 ¼ ¡0; 6, f (0) = 0 e f ( 6=2) = 6e¡3=2 ¼ 0; 6. Pesquisando a exist^ncia de ass¶ e ³ntotas do gr¶¯co temos a 2 lim 2xe¡x = §1 ¢ e¡1 = §1 ¢ 0. x!§1 Para evitarmos a indetermina»~o, fazemos ca 2 2x 1 lim 2xe¡x = lim x2 (= ). x!§1 x!§1 e 1 Aplicando regras de L'Hopital, temos 2x (2x)0 2 2 lim = lim 2 0 = lim 2 = = 0. x!§1 ex 2 x!§1 (ex ) x!§1 2xex §1 Assim, a reta y = 0 (eixo x) ¶ ass¶ e ³ntota horizontal do gr¶¯co de f . a Com base nos elementos estudados, o gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.1. a e c y 1 1 2 x -1 Figura 13.1.
  • 7. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 114 Exemplo 13.9 Esbo»ar o gr¶¯co de f (x) = xx , x > 0. c a Solu»~o. Do exemplo 13.5, temos lim xx = 1. Esta ¶ uma informa»~o relevante para ca + e ca x!0 esbo»armos o gr¶¯co de f nas proximidades de 0. c a No exemplo 10.1, da aula 9, obtivemos f 0 (x) = xx (1 + ln x). Assim, f 0 (x) = 0 se e somente se ln x = ¡1, isto ¶, x = e¡1 = 1=e. Como e ln x = loge x tem base e > 1, a fun»~o ln ¶ crescente, e portanto f 0 (x) > 0 quando ca e ln x > ¡1, logo para x > e¡1 = 1=e, e f 0 (x) < 0 para x < 1=e. Da¶ a fun»~o xx ¶ decrescente no intervalo ]0; 1=e] e crescente no intervalo ³, ca e [1=e; +1[, sendo 1=e um ponto de m¶ ³nimo local (e absoluto) de f . Temos ainda f (1=e) = (1=e)1=e ¼ 0; 7. Finalmente, f 00 (x) = xx ¢ [(1=x) + (1 + ln x)2 ], e assim f 00 (x) > 0 para todo x > 0, e ent~o o gr¶¯co de f tem concavidade sempre voltada para cima. a a Obviamente lim xx = +1. O gr¶¯co de f ¶ esbo»ado na ¯gura 13.2. a e c x!+1 y 4 1 x 0 1/e 1 2 Figura 13.2. Al¶m disso, e f(x) xx lim = lim = lim xx¡1 = +1 x!+1 x x!+1 x x!+1 e portanto o gr¶¯co de f n~o tem ass¶ a a ³ntotas. 13.3 Problemas 1. Calcule os seguintes limites, aplicando regras de L'Hopital se necess¶rio. a
  • 8. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 115 x cos x ¡ sen x ln x (a) lim (b) lim p x!0 x3 x!+1 3 x 3 2 x ¡ 2x ¡ x + 2 (c) lim (d) lim xn e¡x (n inteiro positivo) x!1 x3 ¡ 7x + 6 x!+1 (e) lim xn e¡x (n inteiro positivo) (f) lim x ln x x!¡1 + x!0 ln(sen 2x) (g) lim (h) lim (x2 )x x!0 ln(sen 3x) x!0 (i) lim (1 + 3x)1=x (j) lim x1=(x¡1) x!0 x!1 (k) lim (cos x)1=x (l) lim x¸ e¡x (¸ real positivo) x!0 x!+1 Respostas. (a) ¡1=3. (b) 0. (c) 1=2. (d) 0. (e) +1 se n ¶ par, ¡1 se n ¶ e e 3 ³mpar. (f) 0. (g) 1. (h) 1. (i) e . (j) e. (k) 1. (l) 0. ¶ 2. Calcule as equa»~es das retas ass¶ co ³ntotas do gr¶¯co de cada uma das seguintes a fun»~es. co ln x ¡ ¢ 1 x (a) f (x) = p (b) y = 1 + x (c) y = 2x ¢ e¡1=x 3 x 2 ¡x sen x (d) y = x e (e) y = x Respostas. (a) y = 0, e x = 0. (b) y = e. (c) x = 0, e y = 2x ¡ 1. (d) y = 0. (e) y = 0. 3. Esboce os gr¶¯cos das seguintes fun»~es. a co 2 2 2 ln(2x) (a) y = 2xe¡x (b) y = e¡x (c) y = 2x2 e¡x (d) y = . x Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µs solu»~es.) a co 2 2 (a) y 0 = 2(1 ¡ x)e¡x , y 00 = 2(x ¡ 2)e¡x , (b) y 0 = ¡2xe¡x , y 00 = (4x2 ¡ 2)e¡x 2 2 (c) y 0 = 4xe¡x (1 ¡ x2p y 00 = 4e¡x (1 ¡ 5x2 + 2x4 ) ), p 00 s~o § 1 5 § 17, sendo aproximadamente §0; 5 e §1; 5). (os zeros de y a 2 (d) y 0 = 2[1 ¡ ln(2x)]=x2 , y 00 = 2[¡3 + 2 ln(2x)]=x3 . (a) (b) y y 1 0 1 2 3 x -1 -1 0 1 x -2 Dados num¶ricos. e¡1=2 ¼ 0;6. e -3 Dados num¶ricos. 2e¡1 ¼ 0;7 e 4e¡2 ¼ 0;5.
  • 9. Limites indeterminados e as regras de L'Hopital 116 (c) (d) y y 1 2 1 -2 -1 0 1 2 x 3/2 e/2 e /2 x Dados num¶ricos. f (0;5) ¼ 0;4 e 0 1 2 3 4 5 f (1;5) ¼ 0;5 -1 -2 -3 Dados num¶ricos. e=2 ¼ 1;4 e e3=2 =2 ¼ 2;2.