Aula 7Esbo»ando gr¶¯cos: zeros no    c       adenominador e retas ass¶                       ³ntotas                      ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶    »       ¶                                       ³ntotas          ...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Calculo1 aula07

167 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
167
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
2
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Calculo1 aula07

  1. 1. Aula 7Esbo»ando gr¶¯cos: zeros no c adenominador e retas ass¶ ³ntotas ³nuas em R, com derivadasNa aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»~es cont¶ coprimeira e segunda tamb¶m cont¶ e ³nuas. Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»~o para fun»~es alg¶bricas. Uma fun»~o ca co e ca¶ alg¶brica quando sua f¶rmula f (x) envolve todas ou algumas das quatro opera»oese e o p c~racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»~es de ra¶ n-¶simas ( co ³zes e n ). Na verdade, as fun»~es da aula 6 s~o tamb¶m fun»oes alg¶bricas. co a e c~ eAs fun»~es alg¶bricas que estaremos estudando agora, por¶m, tem uma ou v¶rias das co e e aseguintes peculiaridades: (i) o denominador na f¶rmula de f (x) se anula para um ou mais valores de x; o e ³nua em x, mas f 0 n~o o ¶; (ii) para alguns valores de x, f ¶ cont¶ a e (iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~o cont¶ a ³nuas em x, mas f 00 n~o o ¶; a e (iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶ ³ntota da curva y = f(x)). (Os gr¶¯cos das fun»oes dos problemas 4 e 6, p¶gina 55, tem ass¶ a c~ a ³ntotas horizontais). A apresenta»~o desses novos aspectos no esbo»o de gr¶¯cos de fun»~es ser¶ feita ca c a co aatrav¶s de exemplos. Vamos a eles. e 2x + 1Exemplo 7.1 Esbo»ar o gr¶¯co de f , sendo f (x) = c a , ou seja, esbo»ar a curva c x¡2 2x + 1y= . x¡2Detectando ass¶ ³ntotas verticais Repare que D(f ) = R ¡ f2g. 57
  2. 2. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 58 5 5 Agora, lim f (x) = lim = = +1, e lim f (x) = lim = ¡ = ¡1 + x!2 x!2 x>2 0+ x!2 ¡ x!2 x<2 0 Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»~o cax = 2 ¶ uma ass¶ e ³ntota vertical do gr¶¯co de f. Mais precisamente, esses limites laterais adetectam quequando x ! 2+ , os pontos correspondentes, no gr¶¯co, sobem" no plano xy, aproxi- amando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x ! 2¡ , os pontos do gr¶¯co descem" ano plano xy, tamb¶m aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶ e ³ntota. Crescimento e decrescimento Temos (2x + 1)0 (x ¡ 2) ¡ (x ¡ 2)0 (2x + 1) 2(x ¡ 2) ¡ (2x + 1) f 0 (x) = = (x ¡ 2) 2 (x ¡ 2)2 Portanto ¡5 f 0 (x) = (x ¡ 2)2Assim sendo f 0 (x) < 0 para todo x em D(f ) = R ¡ f2g. Esta fun»~o f n~o pode ter ca am¶ximos nem m¶ a ³nimos locais. Temos o seguinte diagrama de sinais de f 0 e intervalos de crescimento e decresci-mento de f : f _ 2 _ x f ∃ f(2) Concavidades do gr¶¯co a Temos · ¸0 00 ¡5 f (x) = = [¡5(x ¡ 2)¡2 ]0 = 10(x ¡ 2)¡3 (x ¡ 2)2Temos o seguinte diagrama de sinais de f 00 e dire»~es de concavidades do gr¶¯co de f : co a f _ 2 + y = f(x) x Como 2 6 2 D(f ), o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o. a a a Comportamento no in¯nito (outras ass¶ ³ntotas) 2x + 1 lim f(x) = lim =2 x!+1 x!+1 x ¡ 2
  3. 3. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 59 Tamb¶m lim f (x) = 2 e x!¡1 Assim, a reta y = 2 ¶ uma ass¶ e ³ntota horizontal µ direita e µ esquerda do gr¶¯co a a ade f . Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos aspectos estudados acima: ¯gura 7.1 c a 8 6 4 y=2 2 0 2 4 6 8 -4 -2 -2 x=2 -4 Figura 7.1. x2 ¡ 2x + 2Exemplo 7.2 Esbo»ar o gr¶¯co de y = c a . x¡1 Detectando ass¶ ³ntotas verticais Repare que D(f ) = R ¡ f1g. x2 ¡ 2x + 2 1 x2 ¡ 2x + 2 1 Agora, lim = + = +1, e lim = ¡ = ¡1 x!1 + x¡1 0 x!1¡ x¡1 0 A reta vertical de equa»~o x = 1 ¶ uma ass¶ ca e ³ntota vertical do gr¶¯co da curva a 2y = x ¡2x+2 . x¡1 Quando x est¶ pr¶ximo de 1, pontos da curva sobem" no plano xy, aproximando- a ose da ass¶ ³ntota, µ direita, e descem", aproximando-se da ass¶ a ³ntota, µ esquerda. a Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶ a ³nimos locais Temos (x2 + 2x + 2)0 (x ¡ 1) ¡ (x ¡ 1)0 (x2 + 2x + 2) y0 = (x ¡ 1)2 (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ (x2 ¡ 2x + 2) x2 ¡ 2x = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)2
  4. 4. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 60Portanto x2 ¡ 2x x(x ¡ 2) y0 = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)2 Assim, y 0 = 0 para x = 0 e para x = 2. As ra¶ do numerador de y 0 s~o 0 e 2, enquanto que 1 ¶ raiz do denominador. ³zes a eAl¶m disso, em cada um dos intervalos ]¡ 1; 0[, ]0; 1[, ]1; 2[ e ]2; +1[, a derivada y 0 emant¶m-se positiva ou negativa. e Este fato nos ¶ garantido por um teorema da An¶lise Matem¶tica, chamado teo- e a arema do anulamento, ou teorema de Bolzano, que enunciaTeorema de Bolzano Se uma fun»~o cont¶ ca ³nua f n~o tem ra¶ em um intervalo, a ³zesent~o f (x) mant¶m-se positiva ou negativa em todos os pontos x do intervalo. a e Com base nessas observa»~es, para analisar a varia»~o de sinais de y 0 podemos co carecorrer ao seguinte argumento:Quando x ¶ muito grande, y 0 > 0. Assim, y 0 > 0 no intervalo x > 2. Quando x passa epor 2, y 0 troca de sinal. Portanto, y 0 < 0 para 1 < x < 2. Quando x passa por 1, y 0n~o muda de sinal porque o termo x¡ 1 aparece elevado ao quadrado no denominador. aAssim sendo, temos ainda y 0 < 0 no intervalo 0 < x < 1. Ao passar por 0, y 0 trocade sinal novamente e temos ent~o y 0 > 0 quando x < 0. a Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 e intervalos de crescimento e adecrescimento de y: y + 0 _ 1 _ 2 + x y pto de ∃ y(1) pto de max min local local y = 0 y = 0 Temos ent~o que y cresce em ]¡ 1; 0], decresce em [0; 1[ e em ]1; 2], e cresce em a[2; +1[. Concavidades e in°ex~es do gr¶¯co o a Temos · ¸0 00x2 ¡ 2x (x2 ¡ 2x)0 (x ¡ 1)2 ¡ [(x ¡ 1)2 ]0 (x2 ¡ 2x) y = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)4 (2x ¡ 2)(x ¡ 1)2 ¡ 2(x ¡ 1)(x2 ¡ 2x) = (x ¡ 1)4 (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ 2(x2 ¡ 2x) 2 = = (x ¡ 1)3 (x ¡ 1)3
  5. 5. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 61 y _ 1 + y = y(x) xTemos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades da curva y = y(x): c~ Como n~o h¶ y para x = 1, o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o. a a a a a Comportamento no in¯nito (outras ass¶ ³ntotas) x2 ¡ 2x + 2 x2 lim y(x) = lim = lim = lim x = +1 x!+1 x!+1 x¡1 x!+1 x x!+1 x2 Temos ainda lim y(x) = lim = lim x = ¡1 x!¡1 x!¡1 x x!¡1 Assim, a curva n~o tem ass¶ a ³ntota horizontal. Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos elementos coletados acima: ¯gura 7.2 c a y 4 3 2 1 0 1 2 3 x -4 -2 -1 x=1 -2 -3 Figura 7.2. Ass¶ ³ntotas inclinadas! H¶ algo mais que pode ser destacado no gr¶¯co esbo»ado na ¯gura 7.2: a exis- a a ct^ncia, at¶ aqui insuspeita, de uma ass¶ e e ³ntota inclinada (tamb¶m chamada ass¶ e ³ntotaobl¶ ³qua). Se lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0, para certos n¶meros reais a e b, temos que a reta u x!+1y = ax + b ¶ uma ass¶ e ³ntota do gr¶¯co de f µ direita, uma ass¶ a a ³ntota inclinada se a 60. =
  6. 6. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 62 Neste caso, µ medida em que x cresce, tornando-se muito grande, com valores apositivos, f(x) torna-se cada vez mais pr¶ximo de ax + b. o Por raz~es an¶logas, a reta y = ax+b ¶ uma ass¶ o a e ³ntota do gr¶¯co de f , µ esquerda, a aquando lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0. x!¡1 Como determinar os coe¯cientes a e b ? Para determinar a, note que se lim [f(x) ¡ (ax + b)] = 0, ent~o a x!§1 f (x) [f (x) ¡ (ax + b)] + (ax + b) lim = lim x!§1 x x!§1 x f (x) ¡ (ax + b) ax + b = lim + lim x!§1 x x!§1 x 0 = +a=a +1Assim, se a reta y = ax + b ¶ uma ass¶ e ³ntota do gr¶¯co de f ent~o a a f (x) f(x) lim = a ou lim =a x!+1 x x!¡1 xPara determinar b, basta agora calcularmos lim (f (x) ¡ ax) = b x!§1 No caso da curva que estamos estudando, f (x) y x2 ¡ 2x + 2 lim = lim = lim x!§1 x x!§1 x x!§1 x(x ¡ 1) 2 x ¡ 2x + 2 x2 = lim = lim 2 = 1 x!§1 x2 ¡ x x!§1 xe assim obtemos a = 1. Al¶m disso, e µ ¶ µ ¶ x2 ¡ 2x + 2 x2 ¡ 2x + 2 lim ¡ ax = lim ¡x x!§1 x¡1 x!§1 x¡1 x2 ¡ 2x + 2 ¡ x(x ¡ 1) = lim x!§1 x¡1 ¡x + 2 = lim = ¡1 x!§1 x ¡ 1e assim obtemos b = ¡1. Portanto, a reta y = x ¡ 1 ¶ ass¶ e ³ntota inclinada da curva. Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»~o adicional sobre caa ass¶ ³ntota inclinada, temos um novo esbo»o, mais preciso, da curva da ¯gura 7.2, na c¯gura 7.3.
  7. 7. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 63 y 4 3 2 y= x-1 1 0 1 2 3 x -4 -2 -1 x=1 -2 -3 Figura 7.3. pExemplo 7.3 Esbo»ar o gr¶¯co de y = f(x) = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 . c a O gr¶¯co desta fun»~o f n~o apresenta ass¶ a ca a ³ntotas verticais, visto que a fun»~o f cae ³nua em todo o conjunto R, isto ¶, em todos os pontos de R.¶ cont¶ e Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶ a ³nimos locais p Temos y = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 . Para calcular y 0 , primeiro faremos y = (x + 2)(x ¡ 3)2=3Desse modo, pela regra da derivada de um produto, 2 y 0 = (x ¡ 3)2=3 + (x + 2) ¢ (x ¡ 3)¡1=3 3Agora, para facilitar os c¶lculos, colocamos em evid^ncia a fra»~o 1=3, e tamb¶m a a e ca epot^ncia de x ¡ 3 de menor expoente: e 1 y 0 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ [3(x ¡ 3)1 + 2(x + 2)] 3 1 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (5x ¡ 5) 3 5 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (x ¡ 1) 3Para termos clareza quanto aos sinais de y 0 , reescrevemos y 0 usando radicais: 5(x ¡ 1) y0 = p 3 3x¡3
  8. 8. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 64 ca e ³nua em todos os pontos de R, mas f 0 (x) n~o se de¯neNote que a fun»~o f ¶ cont¶ aquando x = 3. ³zes do numerador e do denominador de y 0 s~o 1 e 3, sendo y 0 = 0 para As ra¶ ax = 1. Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 , e correspondentes intervalos de acrescimento e decrescimento de f: y + 1 _ 3 + x y pto de ∃ y(3) max local pto de min y = 0 local Temos ent~o que f cresce em ] ¡ 1; 1], decresce em [1; 3] e cresce novamente aem [1; +1[. Aqui temos algo novo: f n~o tem derivada em x0 = 3, mas x0 = 3 ¶ um a eponto de m¶³nimo local de f ! Como ¶ a geometria do gr¶¯co de f nas proximidades e ado ponto x0 = 3 ? A resposta a esta quest~o vir¶ com o estudo das concavidades do a agr¶¯co. a Concavidades e in°ex~es da curva o Temos · ¸0 00 5 ¡1=3 y = (x ¡ 3) ¢ (x ¡ 1) 3 ¡5 5 = (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 1) + (x ¡ 3)¡1=3 9 3 5 ¡4=3 = (x ¡ 3) [¡(x ¡ 1) + 3(x ¡ 3)1 ] 9 5 = (x ¡ 3)¡4=3 (2x ¡ 8) 9 10 = (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 4) 9Assim, 10(x ¡ 4) f 00 (x) = p 9 3 (x ¡ 3)4 Temos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades do gr¶¯co p c~ ade f (resista µ tenta»~o de simpli¯car o radical ( ) a ca 3 4) : y _ 3 _ 4 + y = f(x) x
  9. 9. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 65 O ponto (4; f (4)) = (4; 6) ¶ ponto de in°ex~o do gr¶¯co. e a a Deixamos ao leitor a veri¯ca»~o de que o gr¶¯co de f n~o tem retas ass¶ ca a a ³ntotas no f (x)in¯nito, pois lim x = +1. x!§1 Com base nos elementos coletados acima, temos um esbo»o da curva y = f (x) cna ¯gura 7.4. y 6 4 2 0 1 2 3 4 x -2 -3 -2 Figura 7.4. p Neste esbo»o levamos em conta as aproxima»~es f(1) = 3 3 4 ¼ 3 ¢ (1; 6) = 4; 8, p c cof (0) = 2 3 9 ¼ 2 ¢ (2; 1) = 4; 2. Levamos em conta tamb¶m que ¡2 e 3 s~o ra¶ de f e a ³zes(isto ¶, solu»~es de f (x) = 0). e co Note que, antes e pouco depois de x0 = 3, o gr¶¯co tem concavidade voltada apara baixo. Como f decresce em [1; 3] e cresce em [3; +1[, temos, no gr¶¯co de f, a aforma»~o de um bico" agudo no ponto (3; 0). Isto explica a inexist^ncia de derivada ca eem x0 . N~o h¶ reta tangente ao gr¶¯co no ponto (3; 0). a a aObserva»~o 7.1 (O gr¶¯co de f em pontos com derivadas in¯nitas) ca aQuando f ¶ cont¶ e ³nua em um intervalo contendo um ponto x0 no seu interior, e f 0 ¶ e ³nua em todos os pontos desse intervalo, exceto em x0 e, al¶m disso, lim f 0 (x) =cont¶ e x!x0+1 ou ¡1, temos uma reta vertical tangente ao gr¶¯co de f em P = (x0 ; f (x0 )). aEstes dois casos s~o ilustrados na ¯gura 7.5. a Quando lim+ f 0 (x) = +1 e lim¡ f 0 (x) = ¡1, o gr¶¯co forma um bico em P = a x!x0 x!x0(x0 ; f(x0 )), tal como no ponto (3; 0) da ¯gura 7.4 ou no ponto P do gr¶¯co µ esquerda a a 0 0na ¯gura 7.6. Quando lim+ f (x) = ¡1 e lim¡ f (x) = +1, temos novamente um x!x0 x!x0bico em P , s¶ que agora apontando para cima, tal como no gr¶¯co µ direita na ¯gura o a a7.6.
  10. 10. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 66 P P x0 x x0 x Figura 7.5. A esquerda, limx!x0 f 0 (x) = ¡1. A direita, limx!x0 f 0 (x) = +1 µ µ P P x0 x x0 xFigura 7.6. A esquerda, limx!x+ f 0 (x) = +1, e limx!x¡ f 0 (x) = ¡1. A direita, µ 0 0 µlimx!x+ f 0 (x) = ¡1, e limx!x¡ f 0 (x) = +1 0 07.1 Problemas ³nuas, chamado teorema de Bolzano ou teo-Um importante teorema sobre fun»~es cont¶ corema do anulamento, enuncia o seguinte:Teorema de Bolzano Se f ¶ uma fun»~o cont¶ e ca ³nua no intervalo [a; b], com f (a) < 0e f(b) > 0 (ou com f (a) > 0 e f (b) < 0), ent~o f tem uma raiz no intervalo ]a; b[, aisto ¶, existe x0 , a < x0 < b, tal que f (x0 ) = 0. e Na p¶gina 60, desta aula, temos uma vers~o equivalente desse teorema. a a Este teorema est¶ ilustrado nos gr¶¯cos das fun»~es (cont¶ a a co ³nuas) dos problemas 3e 5, p¶gina 56, da aula 6. A fun»~o do problema 3 satisfaz f(0) > 0 e f (1) < 0, e a catamb¶m f(2) < 0 e f (3) > 0, o que lhe garante a exist^ncia de uma raiz entre 0 e 1, e e ede uma outra entre 2 e 3. J¶ a fun»~o do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]2; 3[. a ca 1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que (a) f(x) = x5 + x + 1 possui uma raiz no intervalo ]¡ 1; 0[. (b) A equa»~o x3 ¡ 4x + 2 = 0 tem tr^s ra¶ reais distintas entre si. ca e ³zes 2. Mostre que todo polin^mio p(x), de grau ¶ o ³mpar, com coe¯cientes reais, tem ao menos uma raiz real. Sugest~o. Considere os limites lim p(x) e lim p(x). a x!+1 x!¡1Para cada uma das fun»~es dadas abaixo, co
  11. 11. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 67 (a) Determine o dom¶ da fun»~o e, com base nisto, veri¯que se a curva y = f (x) ³nio ca tem retas ass¶ ³ntotas verticais. (b) Calcule f 0 (x) e determine os intervalos em que f ¶ crescente e aqueles em que f e ¶ decrescente; e ³nimo locais de f , bem (c) Determine os pontos de m¶ximo locais e os pontos de m¶ a como os valores de f (x) nesses pontos; (d) Calcule f 00 (x) e determine os intervalos em que a curva y = f (x) ¶ c^ncava para e o cima e aqueles em que ela ¶ c^ncava para baixo; e o (e) Determine os pontos de in°ex~o da curva y = f (x); a (f) Calcule as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f (x) = 0), quando isto n~o for dif¶ ³zes co ca a ³cil; (g) Veri¯que se a curva y = f(x) tem retas ass¶ ³ntotas horizontais ou inclinadas. (h) A partir dos dados coletados acima, fa»a um esbo»o bonito do gr¶¯co de f . c c a (i) Indique os pontos do gr¶¯co onde a reta tangente ¶ vertical e os pontos onde inexiste a e tal reta tangente (procure por pontos onde f ¶ cont¶ e ³nua, mas f 0 n~o ¶ de¯nida). a e x 3. f (x) = x2 ¡ 2 x2 4. f (x) = 1+x p3 5. f (x) = x2 ¡ 1 p 6. f (x) = 3 1 ¡ x3 p 7. f (x) = 3 6x2 ¡ x3 p 8. f (x) = 2x ¡ 2 3 x3 + 17.1.1 Respostas e sugest~es oPara os problemas de 3 a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda,e o esbo»o do gr¶¯co. c a x2 + 2 2x3 + 12x 3. f 0 (x) = ¡ , f 00 (x) = ¡ 2 (x2 ¡ 2)2 (x ¡ 2)3 2x + x2 00 2 4. f 0 (x) = 2 , f (x) = (1 + x) (1 + x)3 2 ¡2 5. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 x 3 3 9 x4
  12. 12. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 68 ¡x2 ¡2x 6. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 (1 ¡ x3 )2 3 (1 ¡ x3 )5 4x ¡ x2 ¡8x2 7. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 (6x2 ¡ x3 )2 3 (6x2 ¡ x3 )5 2x2 ¡4x 8. f 0 (x) = 2 ¡ p , f 00 (x) = p 3 (x3 + 1)2 3 (x3 + 1)5Esbo»os dos gr¶¯cos: c a3. 4. y y x=-1 y= x-1 -1 0 x − √− − − − x 2 0 √2 (-2,-4)5. 6. y y (0,1) (1,0) x -1 1 x -1 (0,-1) y = -x7. 8. y y _ 0 x 3 (4,2√4 ) 2 (-1,2) (0,-2) 0 2 (6,0) x 3 __ __ 3 __ __ ( -√1/2 , -4√1/2 ) y = -x + 2 p Dado num¶rico: e 3 1=2 ¼ 0;8 p 3 Dado num¶rico: e 4 ¼ 1;6

×