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Aula 7

Esbo»ando gr¶¯cos: zeros no
    c       a
denominador e retas ass¶
                       ³ntotas

                                                           ³nuas em R, com derivadas
Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»~es cont¶
                                                  co
primeira e segunda tamb¶m cont¶
                        e       ³nuas.
      Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»~o para fun»~es alg¶bricas. Uma fun»~o
                                               ca           co     e               ca
¶ alg¶brica quando sua f¶rmula f (x) envolve todas ou algumas das quatro opera»oes
e    e                   o                                              p         c~
racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»~es de ra¶ n-¶simas (
                                              co         ³zes e         n
                                                                             ).
     Na verdade, as fun»~es da aula 6 s~o tamb¶m fun»oes alg¶bricas.
                       co              a      e     c~      e
As fun»~es alg¶bricas que estaremos estudando agora, por¶m, tem uma ou v¶rias das
      co      e                                         e               a
seguintes peculiaridades:

 (i) o denominador na f¶rmula de f (x) se anula para um ou mais valores de x;
                       o

                                  e     ³nua em x, mas f 0 n~o o ¶;
 (ii) para alguns valores de x, f ¶ cont¶                   a    e

 (iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~o cont¶
                                          a      ³nuas em x, mas f 00 n~o o ¶;
                                                                       a    e

 (iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se
      inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶  ³ntota da curva y = f(x)). (Os
      gr¶¯cos das fun»oes dos problemas 4 e 6, p¶gina 55, tem ass¶
        a            c~                         a                ³ntotas horizontais).
      A apresenta»~o desses novos aspectos no esbo»o de gr¶¯cos de fun»~es ser¶ feita
                 ca                               c       a           co      a
atrav¶s de exemplos. Vamos a eles.
     e

                                                  2x + 1
Exemplo 7.1 Esbo»ar o gr¶¯co de f , sendo f (x) =
                c       a                                , ou seja, esbo»ar a curva
                                                                        c
                                                  x¡2
   2x + 1
y=        .
    x¡2

Detectando ass¶
              ³ntotas verticais
     Repare que D(f ) = R ¡ f2g.

                                           57
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                            58

                                            5                           5
     Agora, lim f (x) = lim =                 = +1, e lim f (x) = lim = ¡ = ¡1
               +
             x!2                     x!2
                                     x>2
                                           0+         x!2 ¡       x!2
                                                                  x<2
                                                                       0
      Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»~o ca
x = 2 ¶ uma ass¶
      e          ³ntota vertical do gr¶¯co de f. Mais precisamente, esses limites laterais
                                      a
detectam que
quando x ! 2+ , os pontos correspondentes, no gr¶¯co, sobem" no plano xy, aproxi-
                                                a
mando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x ! 2¡ , os pontos do gr¶¯co descem"
                                                                   a
no plano xy, tamb¶m aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶
                 e                                           ³ntota.
      Crescimento e decrescimento
     Temos
                     (2x + 1)0 (x ¡ 2) ¡ (x ¡ 2)0 (2x + 1)   2(x ¡ 2) ¡ (2x + 1)
         f 0 (x) =                                         =
                                   (x ¡ 2) 2                      (x ¡ 2)2

     Portanto
                                                              ¡5
                                               f 0 (x) =
                                                           (x ¡ 2)2
Assim sendo f 0 (x) < 0 para todo x em D(f ) = R ¡ f2g. Esta fun»~o f n~o pode ter
                                                                ca     a
m¶ximos nem m¶
 a               ³nimos locais.
     Temos o seguinte diagrama de sinais de f 0 e intervalos de crescimento e decresci-
mento de f :

                              f'           _               2          _    x
                              f                        ∃ f(2)



      Concavidades do gr¶¯co
                        a
     Temos
                                   ·           ¸0
                     00     ¡5
                 f (x) =                            = [¡5(x ¡ 2)¡2 ]0 = 10(x ¡ 2)¡3
                         (x ¡ 2)2
Temos o seguinte diagrama de sinais de f 00 e dire»~es de concavidades do gr¶¯co de f :
                                                  co                        a

                                  f ''     _               2          +

                           y = f(x)                                         x



     Como 2 6
            2 D(f ), o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o.
                         a     a                    a
      Comportamento no in¯nito (outras ass¶
                                          ³ntotas)
                               2x + 1
       lim f(x) = lim                 =2
     x!+1                 x!+1 x ¡ 2
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                          59


         Tamb¶m lim f (x) = 2
             e
                  x!¡1

         Assim, a reta y = 2 ¶ uma ass¶
                             e        ³ntota horizontal µ direita e µ esquerda do gr¶¯co
                                                        a           a               a
de f .
         Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos aspectos estudados acima: ¯gura 7.1
             c       a


                                           8

                                           6


                                           4

                              y=2          2

                                               0      2     4   6   8
                               -4   -2

                                         -2           x=2


                                         -4




                                           Figura 7.1.


                                                   x2 ¡ 2x + 2
Exemplo 7.2 Esbo»ar o gr¶¯co de y =
                c       a                                      .
                                                      x¡1

         Detectando ass¶
                       ³ntotas verticais
         Repare que D(f ) = R ¡ f1g.
                  x2 ¡ 2x + 2    1                x2 ¡ 2x + 2      1
         Agora, lim           = + = +1, e lim                   = ¡ = ¡1
              x!1  + x¡1        0            x!1¡     x¡1         0
     A reta vertical de equa»~o x = 1 ¶ uma ass¶
                            ca        e        ³ntota vertical do gr¶¯co da curva
                                                                    a
     2
y = x ¡2x+2 .
       x¡1

      Quando x est¶ pr¶ximo de 1, pontos da curva sobem" no plano xy, aproximando-
                    a o
se da ass¶
         ³ntota, µ direita, e descem", aproximando-se da ass¶
                 a                                           ³ntota, µ esquerda.
                                                                     a
         Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶
                                       a         ³nimos locais
         Temos
                         (x2 + 2x + 2)0 (x ¡ 1) ¡ (x ¡ 1)0 (x2 + 2x + 2)
                    y0 =
                                            (x ¡ 1)2
                         (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ (x2 ¡ 2x + 2)       x2 ¡ 2x
                       =                                    =
                                    (x ¡ 1)2                   (x ¡ 1)2
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                          60


Portanto
                                        x2 ¡ 2x    x(x ¡ 2)
                                 y0 =            =
                                        (x ¡ 1)2   (x ¡ 1)2

     Assim, y 0 = 0 para x = 0 e para x = 2.
     As ra¶ do numerador de y 0 s~o 0 e 2, enquanto que 1 ¶ raiz do denominador.
           ³zes                    a                            e
Al¶m disso, em cada um dos intervalos ]¡ 1; 0[, ]0; 1[, ]1; 2[ e ]2; +1[, a derivada y 0
  e
mant¶m-se positiva ou negativa.
    e
     Este fato nos ¶ garantido por um teorema da An¶lise Matem¶tica, chamado teo-
                   e                               a          a
rema do anulamento, ou teorema de Bolzano, que enuncia
Teorema de Bolzano Se uma fun»~o cont¶
                                   ca       ³nua f n~o tem ra¶ em um intervalo,
                                                    a        ³zes
ent~o f (x) mant¶m-se positiva ou negativa em todos os pontos x do intervalo.
   a            e
      Com base nessas observa»~es, para analisar a varia»~o de sinais de y 0 podemos
                               co                       ca
recorrer ao seguinte argumento:
Quando x ¶ muito grande, y 0 > 0. Assim, y 0 > 0 no intervalo x > 2. Quando x passa
            e
por 2, y 0 troca de sinal. Portanto, y 0 < 0 para 1 < x < 2. Quando x passa por 1, y 0
n~o muda de sinal porque o termo x¡ 1 aparece elevado ao quadrado no denominador.
 a
Assim sendo, temos ainda y 0 < 0 no intervalo 0 < x < 1. Ao passar por 0, y 0 troca
de sinal novamente e temos ent~o y 0 > 0 quando x < 0.
                                 a
      Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 e intervalos de crescimento e
               a
decrescimento de y:

                  y'    +        0       _    1       _     2      +    x
                  y          pto de          ∃ y(1)       pto de
                             max                          min
                             local                        local
                             y' = 0                       y' = 0



     Temos ent~o que y cresce em ]¡ 1; 0], decresce em [0; 1[ e em ]1; 2], e cresce em
              a
[2; +1[.
      Concavidades e in°ex~es do gr¶¯co
                          o        a
     Temos
                  ·         ¸0
             00x2 ¡ 2x             (x2 ¡ 2x)0 (x ¡ 1)2 ¡ [(x ¡ 1)2 ]0 (x2 ¡ 2x)
           y =                   =
               (x ¡ 1)2                              (x ¡ 1)4
                                   (2x ¡ 2)(x ¡ 1)2 ¡ 2(x ¡ 1)(x2 ¡ 2x)
                                 =
                                                   (x ¡ 1)4
                                   (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ 2(x2 ¡ 2x)            2
                                 =                                 =
                                               (x ¡ 1)3                 (x ¡ 1)3
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                           61


                        y''           _             1             +

                      y = y(x)                                            x



Temos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades da curva y = y(x):
                                                  c~

     Como n~o h¶ y para x = 1, o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o.
           a a                     a     a                    a
      Comportamento no in¯nito (outras ass¶
                                          ³ntotas)
                         x2 ¡ 2x + 2       x2
       lim y(x) = lim                = lim    = lim x = +1
     x!+1           x!+1    x¡1       x!+1 x   x!+1

                                      x2
     Temos ainda lim y(x) = lim          = lim x = ¡1
                  x!¡1         x!¡1 x       x!¡1

     Assim, a curva n~o tem ass¶
                     a         ³ntota horizontal.
      Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos elementos coletados acima: ¯gura 7.2
          c       a

                                                y
                                           4

                                           3


                                           2

                                           1

                                                0       1     2   3   x
                                 -4   -2

                                           -1           x=1

                                           -2


                                           -3




                                           Figura 7.2.


      Ass¶
         ³ntotas inclinadas!
      H¶ algo mais que pode ser destacado no gr¶¯co esbo»ado na ¯gura 7.2: a exis-
        a                                       a         c
t^ncia, at¶ aqui insuspeita, de uma ass¶
 e        e                            ³ntota inclinada (tamb¶m chamada ass¶
                                                             e              ³ntota
obl¶
   ³qua).
     Se lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0, para certos n¶meros reais a e b, temos que a reta
                                                 u
         x!+1
y = ax + b ¶ uma ass¶
           e        ³ntota do gr¶¯co de f µ direita, uma ass¶
                                a         a                 ³ntota inclinada se a 60.
                                                                                  =
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                        62


      Neste caso, µ medida em que x cresce, tornando-se muito grande, com valores
                   a
positivos, f(x) torna-se cada vez mais pr¶ximo de ax + b.
                                         o
     Por raz~es an¶logas, a reta y = ax+b ¶ uma ass¶
            o     a                       e        ³ntota do gr¶¯co de f , µ esquerda,
                                                               a           a
quando lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0.
       x!¡1

     Como determinar os coe¯cientes a e b ?
     Para determinar a, note que se lim [f(x) ¡ (ax + b)] = 0, ent~o
                                                                  a
                                       x!§1

                    f (x)        [f (x) ¡ (ax + b)] + (ax + b)
                    lim   = lim
                x!§1 x      x!§1               x
                                 f (x) ¡ (ax + b)          ax + b
                          = lim                   + lim
                            x!§1         x           x!§1    x
                             0
                          =     +a=a
                            +1

Assim, se a reta y = ax + b ¶ uma ass¶
                            e        ³ntota do gr¶¯co de f ent~o
                                                 a            a

                                  f (x)                   f(x)
                            lim         = a ou      lim        =a
                           x!+1     x              x!¡1    x
Para determinar b, basta agora calcularmos

                                    lim (f (x) ¡ ax) = b
                                   x!§1

     No caso da curva que estamos estudando,
                       f (x)       y          x2 ¡ 2x + 2
                     lim     = lim     = lim
                 x!§1 x       x!§1 x     x!§1 x(x ¡ 1)
                                     2
                                   x ¡ 2x + 2           x2
                             = lim             = lim 2 = 1
                              x!§1     x2 ¡ x     x!§1 x

e assim obtemos a = 1.
     Al¶m disso,
       e
                    µ                      ¶          µ               ¶
                        x2 ¡ 2x + 2                    x2 ¡ 2x + 2
              lim                   ¡ ax       = lim               ¡x
            x!§1           x¡1                  x!§1      x¡1
                                                     x2 ¡ 2x + 2 ¡ x(x ¡ 1)
                                               = lim
                                                x!§1          x¡1
                                                     ¡x + 2
                                               = lim         = ¡1
                                                x!§1 x ¡ 1

e assim obtemos b = ¡1.
     Portanto, a reta y = x ¡ 1 ¶ ass¶
                                e    ³ntota inclinada da curva.
      Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»~o adicional sobre
                                                                  ca
a ass¶
     ³ntota inclinada, temos um novo esbo»o, mais preciso, da curva da ¯gura 7.2, na
                                         c
¯gura 7.3.
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                        63


                                             y
                                        4

                                        3


                                        2
                                                           y= x-1
                                        1

                                             0   1     2   3        x
                             -4    -2

                                        -1       x=1

                                        -2


                                        -3




                                         Figura 7.3.
                                                  p
Exemplo 7.3 Esbo»ar o gr¶¯co de y = f(x) = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 .
                c       a

      O gr¶¯co desta fun»~o f n~o apresenta ass¶
          a             ca     a               ³ntotas verticais, visto que a fun»~o f
                                                                                 ca
e     ³nua em todo o conjunto R, isto ¶, em todos os pontos de R.
¶ cont¶                               e
      Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶
                                     a        ³nimos locais
                       p
      Temos y = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 .
      Para calcular y 0 , primeiro faremos
                                  y = (x + 2)(x ¡ 3)2=3
Desse modo, pela regra da derivada de um produto,
                                                    2
                        y 0 = (x ¡ 3)2=3 + (x + 2) ¢ (x ¡ 3)¡1=3
                                                    3
Agora, para facilitar os c¶lculos, colocamos em evid^ncia a fra»~o 1=3, e tamb¶m a
                          a                         e          ca             e
pot^ncia de x ¡ 3 de menor expoente:
   e
                            1
                       y 0 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ [3(x ¡ 3)1 + 2(x + 2)]
                            3
                            1
                           = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (5x ¡ 5)
                            3
                            5
                           = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (x ¡ 1)
                            3
Para termos clareza quanto aos sinais de y 0 , reescrevemos y 0 usando radicais:
                                            5(x ¡ 1)
                                        y0 = p
                                            3 3x¡3
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                          64


              ca    e     ³nua em todos os pontos de R, mas f 0 (x) n~o se de¯ne
Note que a fun»~o f ¶ cont¶                                          a
quando x = 3.
          ³zes do numerador e do denominador de y 0 s~o 1 e 3, sendo y 0 = 0 para
     As ra¶                                          a
x = 1.
      Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 , e correspondentes intervalos de
                a
crescimento e decrescimento de f:

                     y'            +          1      _      3       +       x
                    y                      pto de         ∃ y'(3)
                                           max
                                           local          pto de
                                                          min
                                           y' = 0         local



     Temos ent~o que f cresce em ] ¡ 1; 1], decresce em [1; 3] e cresce novamente
               a
em [1; +1[. Aqui temos algo novo: f n~o tem derivada em x0 = 3, mas x0 = 3 ¶ um
                                     a                                       e
ponto de m¶³nimo local de f ! Como ¶ a geometria do gr¶¯co de f nas proximidades
                                   e                  a
do ponto x0 = 3 ? A resposta a esta quest~o vir¶ com o estudo das concavidades do
                                         a     a
gr¶¯co.
  a
      Concavidades e in°ex~es da curva
                          o
     Temos
                                   ·                         ¸0
                          00         5        ¡1=3
                         y =           (x ¡ 3)      ¢ (x ¡ 1)
                                     3
                                   ¡5                           5
                               =        (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 1) + (x ¡ 3)¡1=3
                                    9                           3
                                   5         ¡4=3
                               =     (x ¡ 3)      [¡(x ¡ 1) + 3(x ¡ 3)1 ]
                                   9
                                   5
                               =     (x ¡ 3)¡4=3 (2x ¡ 8)
                                   9
                                   10
                               =       (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 4)
                                   9
Assim,
                                                      10(x ¡ 4)
                                           f 00 (x) = p
                                                     9 3 (x ¡ 3)4

      Temos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades do gr¶¯co
                                                p        c~                       a
de f (resista µ tenta»~o de simpli¯car o radical ( )
              a      ca                          3      4) :



                   y''                 _     3       _      4           +

                 y = f(x)                                                       x
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                         65


     O ponto (4; f (4)) = (4; 6) ¶ ponto de in°ex~o do gr¶¯co.
                                 e               a       a
      Deixamos ao leitor a veri¯ca»~o de que o gr¶¯co de f n~o tem retas ass¶
                                  ca             a          a               ³ntotas no
                   f (x)
in¯nito, pois lim x = +1.
             x!§1

     Com base nos elementos coletados acima, temos um esbo»o da curva y = f (x)
                                                          c
na ¯gura 7.4.

                                        y




                                        6


                                             4

                                        2

                                             0   1   2      3   4   x
                              -2   -3

                                        -2




                                         Figura 7.4.

                                                               p
       Neste esbo»o levamos em conta as aproxima»~es f(1) = 3 3 4 ¼ 3 ¢ (1; 6) = 4; 8,
          p       c                                co
f (0) = 2 3 9 ¼ 2 ¢ (2; 1) = 4; 2. Levamos em conta tamb¶m que ¡2 e 3 s~o ra¶ de f
                                                        e              a     ³zes
(isto ¶, solu»~es de f (x) = 0).
      e      co
      Note que, antes e pouco depois de x0 = 3, o gr¶¯co tem concavidade voltada
                                                       a
para baixo. Como f decresce em [1; 3] e cresce em [3; +1[, temos, no gr¶¯co de f, a
                                                                        a
forma»~o de um bico" agudo no ponto (3; 0). Isto explica a inexist^ncia de derivada
     ca                                                            e
em x0 . N~o h¶ reta tangente ao gr¶¯co no ponto (3; 0).
         a a                      a

Observa»~o 7.1 (O gr¶¯co de f em pontos com derivadas in¯nitas)
       ca           a

Quando f ¶ cont¶
          e     ³nua em um intervalo contendo um ponto x0 no seu interior, e f 0 ¶   e
    ³nua em todos os pontos desse intervalo, exceto em x0 e, al¶m disso, lim f 0 (x) =
cont¶                                                          e
                                                                          x!x0
+1 ou ¡1, temos uma reta vertical tangente ao gr¶¯co de f em P = (x0 ; f (x0 )).
                                                a
Estes dois casos s~o ilustrados na ¯gura 7.5.
                  a
     Quando lim+ f 0 (x) = +1 e lim¡ f 0 (x) = ¡1, o gr¶¯co forma um bico em P =
                                                       a
              x!x0                 x!x0
(x0 ; f(x0 )), tal como no ponto (3; 0) da ¯gura 7.4 ou no ponto P do gr¶¯co µ esquerda
                                                                        a    a
                                0                     0
na ¯gura 7.6. Quando lim+ f (x) = ¡1 e lim¡ f (x) = +1, temos novamente um
                       x!x0                          x!x0
bico em P , s¶ que agora apontando para cima, tal como no gr¶¯co µ direita na ¯gura
             o                                              a    a
7.6.
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                               66




                                 P                              P




                                x0       x                     x0      x



    Figura 7.5. A esquerda, limx!x0 f 0 (x) = ¡1. A direita, limx!x0 f 0 (x) = +1
                µ                                 µ



                                                                P
                                 P



                               x0       x                     x0      x



Figura 7.6. A esquerda, limx!x+ f 0 (x) = +1, e limx!x¡ f 0 (x) = ¡1. A direita,
              µ
                                0                     0
                                                                      µ
limx!x+ f 0 (x) = ¡1, e limx!x¡ f 0 (x) = +1
       0                      0




7.1     Problemas
                                        ³nuas, chamado teorema de Bolzano ou teo-
Um importante teorema sobre fun»~es cont¶
                               co
rema do anulamento, enuncia o seguinte:
Teorema de Bolzano Se f ¶ uma fun»~o cont¶
                                e          ca        ³nua no intervalo [a; b], com f (a) < 0
e f(b) > 0 (ou com f (a) > 0 e f (b) < 0), ent~o f tem uma raiz no intervalo ]a; b[,
                                                   a
isto ¶, existe x0 , a < x0 < b, tal que f (x0 ) = 0.
     e
      Na p¶gina 60, desta aula, temos uma vers~o equivalente desse teorema.
          a                                   a
      Este teorema est¶ ilustrado nos gr¶¯cos das fun»~es (cont¶
                      a                 a            co        ³nuas) dos problemas 3
e 5, p¶gina 56, da aula 6. A fun»~o do problema 3 satisfaz f(0) > 0 e f (1) < 0, e
      a                           ca
tamb¶m f(2) < 0 e f (3) > 0, o que lhe garante a exist^ncia de uma raiz entre 0 e 1, e
     e                                                e
de uma outra entre 2 e 3. J¶ a fun»~o do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]2; 3[.
                            a     ca

  1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que
       (a) f(x) = x5 + x + 1 possui uma raiz no intervalo ]¡ 1; 0[.
       (b) A equa»~o x3 ¡ 4x + 2 = 0 tem tr^s ra¶ reais distintas entre si.
                 ca                        e ³zes
  2. Mostre que todo polin^mio p(x), de grau ¶
                           o                  ³mpar, com coe¯cientes reais, tem ao
     menos uma raiz real.
     Sugest~o. Considere os limites lim p(x) e lim p(x).
           a
                                       x!+1          x!¡1


Para cada uma das fun»~es dadas abaixo,
                     co
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                            67


 (a) Determine o dom¶ da fun»~o e, com base nisto, veri¯que se a curva y = f (x)
                       ³nio       ca
      tem retas ass¶
                   ³ntotas verticais.

 (b) Calcule f 0 (x) e determine os intervalos em que f ¶ crescente e aqueles em que f
                                                        e
      ¶ decrescente;
      e

                                                          ³nimo locais de f , bem
 (c) Determine os pontos de m¶ximo locais e os pontos de m¶
                                a
      como os valores de f (x) nesses pontos;

 (d) Calcule f 00 (x) e determine os intervalos em que a curva y = f (x) ¶ c^ncava para
                                                                         e o
      cima e aqueles em que ela ¶ c^ncava para baixo;
                                   e o

 (e) Determine os pontos de in°ex~o da curva y = f (x);
                                 a

 (f) Calcule as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f (x) = 0), quando isto n~o for dif¶
                  ³zes        co          ca                           a         ³cil;

 (g) Veri¯que se a curva y = f(x) tem retas ass¶
                                               ³ntotas horizontais ou inclinadas.

 (h) A partir dos dados coletados acima, fa»a um esbo»o bonito do gr¶¯co de f .
                                           c         c              a

 (i) Indique os pontos do gr¶¯co onde a reta tangente ¶ vertical e os pontos onde inexiste
                             a                        e
       tal reta tangente (procure por pontos onde f ¶ cont¶
                                                    e      ³nua, mas f 0 n~o ¶ de¯nida).
                                                                           a e

                     x
  3. f (x) =
                  x2 ¡ 2
                  x2
  4. f (x) =
               1+x
               p3
  5.   f (x) = x2 ¡ 1
               p
  6.   f (x) = 3 1 ¡ x3
               p
  7.   f (x) = 3 6x2 ¡ x3
                     p
  8.   f (x) = 2x ¡ 2 3 x3 + 1


7.1.1     Respostas e sugest~es
                            o
Para os problemas de 3 a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda,
e o esbo»o do gr¶¯co.
        c       a

                     x2 + 2                 2x3 + 12x
   3. f 0 (x) = ¡             , f 00 (x) = ¡ 2
                    (x2 ¡ 2)2               (x ¡ 2)3
                  2x + x2 00              2
   4. f 0 (x) =           2
                            , f (x) =
                  (1 + x)             (1 + x)3
                2              ¡2
   5. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p
               3 x
                3              3
                              9 x4
Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶
    »       ¶                                       ³ntotas                                                                                      68

                         ¡x2                                 ¡2x
     6. f 0 (x) = p                         , f 00 (x) = p
                  3
                        (1   ¡ x3 )2                     3
                                                          (1 ¡ x3 )5

                        4x ¡ x2                                    ¡8x2
     7. f 0 (x) = p                           , f 00 (x) = p
                  3
                        (6x2 ¡ x3 )2                       3
                                                                  (6x2 ¡ x3 )5

                                      2x2               ¡4x
     8. f 0 (x) = 2 ¡ p                 , f 00 (x) = p
                      3
                              (x3 + 1)2              3
                                                       (x3 + 1)5

Esbo»os dos gr¶¯cos:
    c         a
3.                                                                  4.
                                      y                                                                            y




                                                                                               x=-1
                                                                                                                                    y= x-1




                                                                                                     -1       0                              x
                − √−
                   −                          −
                                              −              x
                   2              0          √2



                                                                                             (-2,-4)




5.                                                           6.
                              y                                                                  y


                                                                                                 (0,1)



                                                                                                                       (1,0)
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                   -1                 1               x
                                                                                                                           -1

                             (0,-1)

                                                                                                              y = -x



7.                                                           8.
                   y                                                                                      y

                                        _                                                            0                          x
                                      3
                                  (4,2√4 )

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                                                                             3
                                                                               __
                                                                               __     3
                                                                                        __
                                                                                        __
                                                                          ( -√1/2 , -4√1/2 )


                              y = -x + 2                                                       p
                                                                  Dado num¶rico:
                                                                          e                    3
                                                                                                  1=2 ¼ 0;8

                             p
                             3
     Dado num¶rico:
             e                   4 ¼ 1;6

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  • 1. Aula 7 Esbo»ando gr¶¯cos: zeros no c a denominador e retas ass¶ ³ntotas ³nuas em R, com derivadas Na aula 6, estivemos concentrados no estudo de fun»~es cont¶ co primeira e segunda tamb¶m cont¶ e ³nuas. Nesta aula, estaremos voltando nossa aten»~o para fun»~es alg¶bricas. Uma fun»~o ca co e ca ¶ alg¶brica quando sua f¶rmula f (x) envolve todas ou algumas das quatro opera»oes e e o p c~ racionais +, ¡, £ e ¥, e eventualmente extra»~es de ra¶ n-¶simas ( co ³zes e n ). Na verdade, as fun»~es da aula 6 s~o tamb¶m fun»oes alg¶bricas. co a e c~ e As fun»~es alg¶bricas que estaremos estudando agora, por¶m, tem uma ou v¶rias das co e e a seguintes peculiaridades: (i) o denominador na f¶rmula de f (x) se anula para um ou mais valores de x; o e ³nua em x, mas f 0 n~o o ¶; (ii) para alguns valores de x, f ¶ cont¶ a e (iii) para alguns valores de x, f e f 0 s~o cont¶ a ³nuas em x, mas f 00 n~o o ¶; a e (iv) quando x ! +1 (ou quando x ! ¡1), a curva y = f(x) aproxima-se inde¯nidamente de uma reta (chamada reta ass¶ ³ntota da curva y = f(x)). (Os gr¶¯cos das fun»oes dos problemas 4 e 6, p¶gina 55, tem ass¶ a c~ a ³ntotas horizontais). A apresenta»~o desses novos aspectos no esbo»o de gr¶¯cos de fun»~es ser¶ feita ca c a co a atrav¶s de exemplos. Vamos a eles. e 2x + 1 Exemplo 7.1 Esbo»ar o gr¶¯co de f , sendo f (x) = c a , ou seja, esbo»ar a curva c x¡2 2x + 1 y= . x¡2 Detectando ass¶ ³ntotas verticais Repare que D(f ) = R ¡ f2g. 57
  • 2. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 58 5 5 Agora, lim f (x) = lim = = +1, e lim f (x) = lim = ¡ = ¡1 + x!2 x!2 x>2 0+ x!2 ¡ x!2 x<2 0 Esses limites laterais, sendo in¯nitos, detectam que a reta vertical de equa»~o ca x = 2 ¶ uma ass¶ e ³ntota vertical do gr¶¯co de f. Mais precisamente, esses limites laterais a detectam que quando x ! 2+ , os pontos correspondentes, no gr¶¯co, sobem" no plano xy, aproxi- a mando-se inde¯nidamente dessa reta. Quando x ! 2¡ , os pontos do gr¶¯co descem" a no plano xy, tamb¶m aproximando-se inde¯nidamente da reta ass¶ e ³ntota. Crescimento e decrescimento Temos (2x + 1)0 (x ¡ 2) ¡ (x ¡ 2)0 (2x + 1) 2(x ¡ 2) ¡ (2x + 1) f 0 (x) = = (x ¡ 2) 2 (x ¡ 2)2 Portanto ¡5 f 0 (x) = (x ¡ 2)2 Assim sendo f 0 (x) < 0 para todo x em D(f ) = R ¡ f2g. Esta fun»~o f n~o pode ter ca a m¶ximos nem m¶ a ³nimos locais. Temos o seguinte diagrama de sinais de f 0 e intervalos de crescimento e decresci- mento de f : f' _ 2 _ x f ∃ f(2) Concavidades do gr¶¯co a Temos · ¸0 00 ¡5 f (x) = = [¡5(x ¡ 2)¡2 ]0 = 10(x ¡ 2)¡3 (x ¡ 2)2 Temos o seguinte diagrama de sinais de f 00 e dire»~es de concavidades do gr¶¯co de f : co a f '' _ 2 + y = f(x) x Como 2 6 2 D(f ), o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o. a a a Comportamento no in¯nito (outras ass¶ ³ntotas) 2x + 1 lim f(x) = lim =2 x!+1 x!+1 x ¡ 2
  • 3. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 59 Tamb¶m lim f (x) = 2 e x!¡1 Assim, a reta y = 2 ¶ uma ass¶ e ³ntota horizontal µ direita e µ esquerda do gr¶¯co a a a de f . Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos aspectos estudados acima: ¯gura 7.1 c a 8 6 4 y=2 2 0 2 4 6 8 -4 -2 -2 x=2 -4 Figura 7.1. x2 ¡ 2x + 2 Exemplo 7.2 Esbo»ar o gr¶¯co de y = c a . x¡1 Detectando ass¶ ³ntotas verticais Repare que D(f ) = R ¡ f1g. x2 ¡ 2x + 2 1 x2 ¡ 2x + 2 1 Agora, lim = + = +1, e lim = ¡ = ¡1 x!1 + x¡1 0 x!1¡ x¡1 0 A reta vertical de equa»~o x = 1 ¶ uma ass¶ ca e ³ntota vertical do gr¶¯co da curva a 2 y = x ¡2x+2 . x¡1 Quando x est¶ pr¶ximo de 1, pontos da curva sobem" no plano xy, aproximando- a o se da ass¶ ³ntota, µ direita, e descem", aproximando-se da ass¶ a ³ntota, µ esquerda. a Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶ a ³nimos locais Temos (x2 + 2x + 2)0 (x ¡ 1) ¡ (x ¡ 1)0 (x2 + 2x + 2) y0 = (x ¡ 1)2 (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ (x2 ¡ 2x + 2) x2 ¡ 2x = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)2
  • 4. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 60 Portanto x2 ¡ 2x x(x ¡ 2) y0 = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)2 Assim, y 0 = 0 para x = 0 e para x = 2. As ra¶ do numerador de y 0 s~o 0 e 2, enquanto que 1 ¶ raiz do denominador. ³zes a e Al¶m disso, em cada um dos intervalos ]¡ 1; 0[, ]0; 1[, ]1; 2[ e ]2; +1[, a derivada y 0 e mant¶m-se positiva ou negativa. e Este fato nos ¶ garantido por um teorema da An¶lise Matem¶tica, chamado teo- e a a rema do anulamento, ou teorema de Bolzano, que enuncia Teorema de Bolzano Se uma fun»~o cont¶ ca ³nua f n~o tem ra¶ em um intervalo, a ³zes ent~o f (x) mant¶m-se positiva ou negativa em todos os pontos x do intervalo. a e Com base nessas observa»~es, para analisar a varia»~o de sinais de y 0 podemos co ca recorrer ao seguinte argumento: Quando x ¶ muito grande, y 0 > 0. Assim, y 0 > 0 no intervalo x > 2. Quando x passa e por 2, y 0 troca de sinal. Portanto, y 0 < 0 para 1 < x < 2. Quando x passa por 1, y 0 n~o muda de sinal porque o termo x¡ 1 aparece elevado ao quadrado no denominador. a Assim sendo, temos ainda y 0 < 0 no intervalo 0 < x < 1. Ao passar por 0, y 0 troca de sinal novamente e temos ent~o y 0 > 0 quando x < 0. a Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 e intervalos de crescimento e a decrescimento de y: y' + 0 _ 1 _ 2 + x y pto de ∃ y(1) pto de max min local local y' = 0 y' = 0 Temos ent~o que y cresce em ]¡ 1; 0], decresce em [0; 1[ e em ]1; 2], e cresce em a [2; +1[. Concavidades e in°ex~es do gr¶¯co o a Temos · ¸0 00x2 ¡ 2x (x2 ¡ 2x)0 (x ¡ 1)2 ¡ [(x ¡ 1)2 ]0 (x2 ¡ 2x) y = = (x ¡ 1)2 (x ¡ 1)4 (2x ¡ 2)(x ¡ 1)2 ¡ 2(x ¡ 1)(x2 ¡ 2x) = (x ¡ 1)4 (2x ¡ 2)(x ¡ 1) ¡ 2(x2 ¡ 2x) 2 = = (x ¡ 1)3 (x ¡ 1)3
  • 5. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 61 y'' _ 1 + y = y(x) x Temos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades da curva y = y(x): c~ Como n~o h¶ y para x = 1, o gr¶¯co n~o tem ponto de in°ex~o. a a a a a Comportamento no in¯nito (outras ass¶ ³ntotas) x2 ¡ 2x + 2 x2 lim y(x) = lim = lim = lim x = +1 x!+1 x!+1 x¡1 x!+1 x x!+1 x2 Temos ainda lim y(x) = lim = lim x = ¡1 x!¡1 x!¡1 x x!¡1 Assim, a curva n~o tem ass¶ a ³ntota horizontal. Esbo»o do gr¶¯co de f , com base nos elementos coletados acima: ¯gura 7.2 c a y 4 3 2 1 0 1 2 3 x -4 -2 -1 x=1 -2 -3 Figura 7.2. Ass¶ ³ntotas inclinadas! H¶ algo mais que pode ser destacado no gr¶¯co esbo»ado na ¯gura 7.2: a exis- a a c t^ncia, at¶ aqui insuspeita, de uma ass¶ e e ³ntota inclinada (tamb¶m chamada ass¶ e ³ntota obl¶ ³qua). Se lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0, para certos n¶meros reais a e b, temos que a reta u x!+1 y = ax + b ¶ uma ass¶ e ³ntota do gr¶¯co de f µ direita, uma ass¶ a a ³ntota inclinada se a 60. =
  • 6. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 62 Neste caso, µ medida em que x cresce, tornando-se muito grande, com valores a positivos, f(x) torna-se cada vez mais pr¶ximo de ax + b. o Por raz~es an¶logas, a reta y = ax+b ¶ uma ass¶ o a e ³ntota do gr¶¯co de f , µ esquerda, a a quando lim [f (x) ¡ (ax + b)] = 0. x!¡1 Como determinar os coe¯cientes a e b ? Para determinar a, note que se lim [f(x) ¡ (ax + b)] = 0, ent~o a x!§1 f (x) [f (x) ¡ (ax + b)] + (ax + b) lim = lim x!§1 x x!§1 x f (x) ¡ (ax + b) ax + b = lim + lim x!§1 x x!§1 x 0 = +a=a +1 Assim, se a reta y = ax + b ¶ uma ass¶ e ³ntota do gr¶¯co de f ent~o a a f (x) f(x) lim = a ou lim =a x!+1 x x!¡1 x Para determinar b, basta agora calcularmos lim (f (x) ¡ ax) = b x!§1 No caso da curva que estamos estudando, f (x) y x2 ¡ 2x + 2 lim = lim = lim x!§1 x x!§1 x x!§1 x(x ¡ 1) 2 x ¡ 2x + 2 x2 = lim = lim 2 = 1 x!§1 x2 ¡ x x!§1 x e assim obtemos a = 1. Al¶m disso, e µ ¶ µ ¶ x2 ¡ 2x + 2 x2 ¡ 2x + 2 lim ¡ ax = lim ¡x x!§1 x¡1 x!§1 x¡1 x2 ¡ 2x + 2 ¡ x(x ¡ 1) = lim x!§1 x¡1 ¡x + 2 = lim = ¡1 x!§1 x ¡ 1 e assim obtemos b = ¡1. Portanto, a reta y = x ¡ 1 ¶ ass¶ e ³ntota inclinada da curva. Com base nos elementos coletados acima, incluindo a informa»~o adicional sobre ca a ass¶ ³ntota inclinada, temos um novo esbo»o, mais preciso, da curva da ¯gura 7.2, na c ¯gura 7.3.
  • 7. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 63 y 4 3 2 y= x-1 1 0 1 2 3 x -4 -2 -1 x=1 -2 -3 Figura 7.3. p Exemplo 7.3 Esbo»ar o gr¶¯co de y = f(x) = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 . c a O gr¶¯co desta fun»~o f n~o apresenta ass¶ a ca a ³ntotas verticais, visto que a fun»~o f ca e ³nua em todo o conjunto R, isto ¶, em todos os pontos de R. ¶ cont¶ e Crescimento e decrescimento. M¶ximos e m¶ a ³nimos locais p Temos y = (x + 2) 3 (x ¡ 3)2 . Para calcular y 0 , primeiro faremos y = (x + 2)(x ¡ 3)2=3 Desse modo, pela regra da derivada de um produto, 2 y 0 = (x ¡ 3)2=3 + (x + 2) ¢ (x ¡ 3)¡1=3 3 Agora, para facilitar os c¶lculos, colocamos em evid^ncia a fra»~o 1=3, e tamb¶m a a e ca e pot^ncia de x ¡ 3 de menor expoente: e 1 y 0 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ [3(x ¡ 3)1 + 2(x + 2)] 3 1 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (5x ¡ 5) 3 5 = (x ¡ 3)¡1=3 ¢ (x ¡ 1) 3 Para termos clareza quanto aos sinais de y 0 , reescrevemos y 0 usando radicais: 5(x ¡ 1) y0 = p 3 3x¡3
  • 8. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 64 ca e ³nua em todos os pontos de R, mas f 0 (x) n~o se de¯ne Note que a fun»~o f ¶ cont¶ a quando x = 3. ³zes do numerador e do denominador de y 0 s~o 1 e 3, sendo y 0 = 0 para As ra¶ a x = 1. Temos ent~o o seguinte diagrama de sinais de y 0 , e correspondentes intervalos de a crescimento e decrescimento de f: y' + 1 _ 3 + x y pto de ∃ y'(3) max local pto de min y' = 0 local Temos ent~o que f cresce em ] ¡ 1; 1], decresce em [1; 3] e cresce novamente a em [1; +1[. Aqui temos algo novo: f n~o tem derivada em x0 = 3, mas x0 = 3 ¶ um a e ponto de m¶³nimo local de f ! Como ¶ a geometria do gr¶¯co de f nas proximidades e a do ponto x0 = 3 ? A resposta a esta quest~o vir¶ com o estudo das concavidades do a a gr¶¯co. a Concavidades e in°ex~es da curva o Temos · ¸0 00 5 ¡1=3 y = (x ¡ 3) ¢ (x ¡ 1) 3 ¡5 5 = (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 1) + (x ¡ 3)¡1=3 9 3 5 ¡4=3 = (x ¡ 3) [¡(x ¡ 1) + 3(x ¡ 3)1 ] 9 5 = (x ¡ 3)¡4=3 (2x ¡ 8) 9 10 = (x ¡ 3)¡4=3 (x ¡ 4) 9 Assim, 10(x ¡ 4) f 00 (x) = p 9 3 (x ¡ 3)4 Temos o seguinte diagrama de sinais de y 00 e dire»oes de concavidades do gr¶¯co p c~ a de f (resista µ tenta»~o de simpli¯car o radical ( ) a ca 3 4) : y'' _ 3 _ 4 + y = f(x) x
  • 9. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 65 O ponto (4; f (4)) = (4; 6) ¶ ponto de in°ex~o do gr¶¯co. e a a Deixamos ao leitor a veri¯ca»~o de que o gr¶¯co de f n~o tem retas ass¶ ca a a ³ntotas no f (x) in¯nito, pois lim x = +1. x!§1 Com base nos elementos coletados acima, temos um esbo»o da curva y = f (x) c na ¯gura 7.4. y 6 4 2 0 1 2 3 4 x -2 -3 -2 Figura 7.4. p Neste esbo»o levamos em conta as aproxima»~es f(1) = 3 3 4 ¼ 3 ¢ (1; 6) = 4; 8, p c co f (0) = 2 3 9 ¼ 2 ¢ (2; 1) = 4; 2. Levamos em conta tamb¶m que ¡2 e 3 s~o ra¶ de f e a ³zes (isto ¶, solu»~es de f (x) = 0). e co Note que, antes e pouco depois de x0 = 3, o gr¶¯co tem concavidade voltada a para baixo. Como f decresce em [1; 3] e cresce em [3; +1[, temos, no gr¶¯co de f, a a forma»~o de um bico" agudo no ponto (3; 0). Isto explica a inexist^ncia de derivada ca e em x0 . N~o h¶ reta tangente ao gr¶¯co no ponto (3; 0). a a a Observa»~o 7.1 (O gr¶¯co de f em pontos com derivadas in¯nitas) ca a Quando f ¶ cont¶ e ³nua em um intervalo contendo um ponto x0 no seu interior, e f 0 ¶ e ³nua em todos os pontos desse intervalo, exceto em x0 e, al¶m disso, lim f 0 (x) = cont¶ e x!x0 +1 ou ¡1, temos uma reta vertical tangente ao gr¶¯co de f em P = (x0 ; f (x0 )). a Estes dois casos s~o ilustrados na ¯gura 7.5. a Quando lim+ f 0 (x) = +1 e lim¡ f 0 (x) = ¡1, o gr¶¯co forma um bico em P = a x!x0 x!x0 (x0 ; f(x0 )), tal como no ponto (3; 0) da ¯gura 7.4 ou no ponto P do gr¶¯co µ esquerda a a 0 0 na ¯gura 7.6. Quando lim+ f (x) = ¡1 e lim¡ f (x) = +1, temos novamente um x!x0 x!x0 bico em P , s¶ que agora apontando para cima, tal como no gr¶¯co µ direita na ¯gura o a a 7.6.
  • 10. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 66 P P x0 x x0 x Figura 7.5. A esquerda, limx!x0 f 0 (x) = ¡1. A direita, limx!x0 f 0 (x) = +1 µ µ P P x0 x x0 x Figura 7.6. A esquerda, limx!x+ f 0 (x) = +1, e limx!x¡ f 0 (x) = ¡1. A direita, µ 0 0 µ limx!x+ f 0 (x) = ¡1, e limx!x¡ f 0 (x) = +1 0 0 7.1 Problemas ³nuas, chamado teorema de Bolzano ou teo- Um importante teorema sobre fun»~es cont¶ co rema do anulamento, enuncia o seguinte: Teorema de Bolzano Se f ¶ uma fun»~o cont¶ e ca ³nua no intervalo [a; b], com f (a) < 0 e f(b) > 0 (ou com f (a) > 0 e f (b) < 0), ent~o f tem uma raiz no intervalo ]a; b[, a isto ¶, existe x0 , a < x0 < b, tal que f (x0 ) = 0. e Na p¶gina 60, desta aula, temos uma vers~o equivalente desse teorema. a a Este teorema est¶ ilustrado nos gr¶¯cos das fun»~es (cont¶ a a co ³nuas) dos problemas 3 e 5, p¶gina 56, da aula 6. A fun»~o do problema 3 satisfaz f(0) > 0 e f (1) < 0, e a ca tamb¶m f(2) < 0 e f (3) > 0, o que lhe garante a exist^ncia de uma raiz entre 0 e 1, e e e de uma outra entre 2 e 3. J¶ a fun»~o do problema 5 possui uma raiz no intervalo ]2; 3[. a ca 1. Usando o teorema do anulamento, enunciado acima, mostre que (a) f(x) = x5 + x + 1 possui uma raiz no intervalo ]¡ 1; 0[. (b) A equa»~o x3 ¡ 4x + 2 = 0 tem tr^s ra¶ reais distintas entre si. ca e ³zes 2. Mostre que todo polin^mio p(x), de grau ¶ o ³mpar, com coe¯cientes reais, tem ao menos uma raiz real. Sugest~o. Considere os limites lim p(x) e lim p(x). a x!+1 x!¡1 Para cada uma das fun»~es dadas abaixo, co
  • 11. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 67 (a) Determine o dom¶ da fun»~o e, com base nisto, veri¯que se a curva y = f (x) ³nio ca tem retas ass¶ ³ntotas verticais. (b) Calcule f 0 (x) e determine os intervalos em que f ¶ crescente e aqueles em que f e ¶ decrescente; e ³nimo locais de f , bem (c) Determine os pontos de m¶ximo locais e os pontos de m¶ a como os valores de f (x) nesses pontos; (d) Calcule f 00 (x) e determine os intervalos em que a curva y = f (x) ¶ c^ncava para e o cima e aqueles em que ela ¶ c^ncava para baixo; e o (e) Determine os pontos de in°ex~o da curva y = f (x); a (f) Calcule as ra¶ de f (solu»~es da equa»~o f (x) = 0), quando isto n~o for dif¶ ³zes co ca a ³cil; (g) Veri¯que se a curva y = f(x) tem retas ass¶ ³ntotas horizontais ou inclinadas. (h) A partir dos dados coletados acima, fa»a um esbo»o bonito do gr¶¯co de f . c c a (i) Indique os pontos do gr¶¯co onde a reta tangente ¶ vertical e os pontos onde inexiste a e tal reta tangente (procure por pontos onde f ¶ cont¶ e ³nua, mas f 0 n~o ¶ de¯nida). a e x 3. f (x) = x2 ¡ 2 x2 4. f (x) = 1+x p3 5. f (x) = x2 ¡ 1 p 6. f (x) = 3 1 ¡ x3 p 7. f (x) = 3 6x2 ¡ x3 p 8. f (x) = 2x ¡ 2 3 x3 + 1 7.1.1 Respostas e sugest~es o Para os problemas de 3 a 8, daremos como resposta apenas as derivadas primeira e segunda, e o esbo»o do gr¶¯co. c a x2 + 2 2x3 + 12x 3. f 0 (x) = ¡ , f 00 (x) = ¡ 2 (x2 ¡ 2)2 (x ¡ 2)3 2x + x2 00 2 4. f 0 (x) = 2 , f (x) = (1 + x) (1 + x)3 2 ¡2 5. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 x 3 3 9 x4
  • 12. Esbocando graficos: zeros no denominador e retas ass¶ » ¶ ³ntotas 68 ¡x2 ¡2x 6. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 (1 ¡ x3 )2 3 (1 ¡ x3 )5 4x ¡ x2 ¡8x2 7. f 0 (x) = p , f 00 (x) = p 3 (6x2 ¡ x3 )2 3 (6x2 ¡ x3 )5 2x2 ¡4x 8. f 0 (x) = 2 ¡ p , f 00 (x) = p 3 (x3 + 1)2 3 (x3 + 1)5 Esbo»os dos gr¶¯cos: c a 3. 4. y y x=-1 y= x-1 -1 0 x − √− − − − x 2 0 √2 (-2,-4) 5. 6. y y (0,1) (1,0) x -1 1 x -1 (0,-1) y = -x 7. 8. y y _ 0 x 3 (4,2√4 ) 2 (-1,2) (0,-2) 0 2 (6,0) x 3 __ __ 3 __ __ ( -√1/2 , -4√1/2 ) y = -x + 2 p Dado num¶rico: e 3 1=2 ¼ 0;8 p 3 Dado num¶rico: e 4 ¼ 1;6