Funções - Teoria sobre: paridade, translação de um gráfico de uma função; dilatação e contração de um gráfico de uma função; reflexão de um gráfico de uma função; monotonia de funções; extremos de um função

1. numerosnamente 1
Funções II – Teoria
. Função par
-Uma função é par, se o eixo OY é o eixo de simetria do gráfico dessa função.
-Simbolicamente:
( ) ( )
Por exemplo:
A função f tem a sua imagem gráfica representada na figura:
Vemos que ( ) ( ) , a função é uma função par.
Por exemplo:
Considere a função ( ) . Verifique se é par?
- O domínio da função é , pois a função é uma função polinomial de variável real.
- ( ) , então ( ) ( )
Temos então que: ( ) ( ) , a função é uma função par.

2. numerosnamente 2
. Função impar
-Uma função é impar quando os objetos simétricos têm imagens simétricas.
-Simbolicamente:
( ) ( )
Por exemplo:
Vemos que ( ) ( ) , a função é uma função impar.
Por exemplo: Considere a função ( ) . Verifique se é impar?
- O domínio da função é , pois a função é uma função polinomial de variável real.
- ( ) , então ( ) ( ) ( )
- ( ) ( ) ; conclui-se que ( ) ( ) , a função é uma
função impar.

3. numerosnamente 3
Translação do gráfico de uma função
. Translação vertical
-Quando a imagem, h de uma função f , é gerada pela translação do gráfico da função f,
através do vetor ⃗ ( ). O vetor da translação vertical só tem valores representativos no
eixo OY ou seja a imagem de f desloca-se na vertical (para cima ou baixo) segundo o eixo OY.
( ) ( )
Por exemplo:
Considere ao pontos A=(2,3) e B=(-1,0) e o vetor ⃗ ( ) . Calcule as imagens dos pontos
após sofrerem a translação do vetor ⃗
⃗ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Por exemplo:
Considere a função real de variável real ( ) . A função vai sofre uma translação
através dos vetores ⃗ ( ) e ( ).
O gráfico de foi obtido do gráfico de , pela translação de vetor ⃗ ( )
O gráfico de foi obtido do gráfico de , pela translação do vetor ( )
Os pontos ⃗ = (2,4)+(0,4)=(2,8) ; ( ) ( ) ( )

4. numerosnamente 4
. Translação horizontal
-Quando a imagem, h de uma função f , é gerada pela translação do gráfico da função f,
através do vetor ⃗ ( ). O vetor ⃗ é o responsável pela translação horizontal ou seja, a
imagem da função , desloca-se para a direita ou esquerda no eixo OX.
* + ( ) ( )
Por exemplo:
Considere ao pontos A=(2,3) e B=(-1,0) e o vetor ⃗ ( ) . Calcule as imagens dos pontos
após sofrerem a translação do vetor ⃗
⃗ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Por exemplo:
Considere a função real de variável real definida por ( ) . A função via sofrer uma
translação horizontal através dos vetores ⃗ ( ) e ( )
⃗ ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

5. numerosnamente 5
. Translação por um vetor ⃗⃗ ( )
-O gráfico da função g, obtém-se do gráfico da função f que sofre translação por um vetor
⃗ ( ). Assim primeiro faz-se a translação horizontal do gráfico de f pelo vetor ( )
seguida depois pela translação vertical do gráfico de f pelo vetor ( ).
{ } e ( ) ( )
No gráfico da figura temos:
( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) ( )
Dilatação e contração do gráfico de uma função
. Dilatação e contração vertical
Considere um ponto P = (x,y) e uma transformação do plano a que o ponto P pertence. A
transformação associa o ponto ( ) denomina-se por:
-contração vertical de coeficiente “a” se 0 < a < 1 ;
-dilatação vertical de coeficiente “a” se a >1
. Dilatação e contração vertical do gráfico de uma função
Considere as funções ( ) √ , ( ) √ e ( ) √ e os pontos A=(1,1) e
B=(4,2)

6. numerosnamente 6
A função é uma imagem da função , pela contração do coeficiente .
A função é uma imagem da função , pela dilatação do coeficiente 2.
Assim :
A=(1,1) ; A’=(1, ) ; A’’=(1,2)
B=(4,2) ; B’=(4,1) ; B’’=(4,4)
Conclui-se:
( ) √  contração vertical de coeficiente a = (0 < a < 1)
( ) √  dilatação vertical de coeficiente a = 2 (a > 1)
. Dilatação e contração horizontal
Considere um ponto P = (x,y) e uma transformação do plano a que o ponto P pertence. A
transformação associa o ponto ( ) denomina-se por:
-contração horizontal de coeficiente “a” se 0 < a < 1 ;
-dilatação horizontal de coeficiente “a” se a >1

7. numerosnamente 7
. Dilatação e contração horizontal de um gráfico de uma função
Considere as funções ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e o ponto A=(1,1).
A função é uma imagem da função pela contração horizontal de coeficiente a = .
A função é uma imagem da função pela dilatação horizontal de coeficiente 2 .
Assim:
A=(1,1) ; A’=( 1) ; A’’=(2,1)
Conclui-se:
( ) ( )  é uma contração horizontal de coeficiente (0 < a <1)
( ) ( )  é uma dilatação horizontal de coeficiente 2 (a >1)

8. numerosnamente 8
Reflexão do gráfico de uma função
. Reflexão de eixo 0X
Dada a função real de variável real f(x). A função g(x) é uma função real de variável real e
( ) ( ) é a imagem do gráfico de f pela reflexão de eixo 0x.
Considere a função ( ) e ( ) ( ) as imagens das duas funções estão
representadas na figura:
A=(-2,4) ; A’=(-2,-4)
Como se pode observar na reflexão de eixo 0x, a ordenada do ponto A passou a ser negativa
no ponto A’.
. Reflexão de eixo 0Y
Dada a função real de variável real f(x). A função g(x) é uma função real de variável real e
* + ( ) ( ) é a imagem do gráfico de f pela reflexão de eixo 0y.
Considere a função ( ) √ e ( ) ( ) √ . As imagens das duas funções estão
representadas na figura:
O ponto A=(4,2)  A’=(4,-2) ; Na reflexão de eixo 0y, a abcissa do ponto A, muda de sinal (tem
sinal simétrico) no ponto A’ .

9. numerosnamente 9
Monotonia de funções
. Função crescente
-uma função é crescente em A se A e ,  ( ) ( )
é crescente em A = a, b ou é estritamente crescente em A se:
 ( ) ( )
. Função decrescente
-uma função é decrescente em A se A e ,  ( ) ( )
é decrescente em A = a, b ou é estritamente decrescente em A se:
 ( ) ( )

10. numerosnamente 10
. Função crescente e decrescente em sentido lato
-Uma função é crescente, em sentido lato , em “A”, se:
 ( ) ( ) (Fig. 1)
-Uma função é decrescente, em sentido lato, em “A”, se:
 ( ) ( ) (Fig. 2)
-Diz-se em sentido lato por haver um troço do
gráfico da função = constante (linha horizontal).
Fig .1 Fig.2
. Monotonia de uma função afim
( ) 
declive (inclinação) da reta ; ordenada na origem
O domínio da função afim é .
Se , então ( ) e diz-se que é função constante.
- Se m > 0  a função f é crescente em todo o seu domínio ()
- Se m<0  a função f é decrescente em todo o seu domínio ()

11. numerosnamente 11
. Monotonia de uma função quadrática
-Tipo ( )
-Domínio =  , pois é uma função real de variável real
-Zeros: ( ) (só tem uma raíz)
-Vértice = V= (h, k) , com h = , neste caso h= 0 ; ( ) , neste caso ( )
-Contradomínio varia com o sentido da concavidade.
-Eixo de simetria: x=h
Para , temos a concavidade voltada para cima, logo o Contradomínio = k , 
Para , temos que a função é crescente h,  ; a função é decrescente - 
Para , temos a concavidade voltada para baixo, logo o Contradomínio = - k 
Para , temos que a função é crescente -  ; a função é decrescente h , + 

12. numerosnamente 12
Extremos de funções reais de variável real
. Majorante e minorante
-Uma função é majorada se tem um majorante.
-Uma função é minorada se tem um minorante.
- Se uma função admite majorante e minorante, a função é limitada.

13. numerosnamente 13
. Extremos absolutos
. Mínimo absoluto
-Uma função real de variável real de domínio e se ( ) , ( ) é mínimo absoluto
quando , ( ) ( )
Considere a figura, onde se pode ver os gráficos das funções e .
A função não tem mínimo absoluto.
A função tem mínimo absoluto ( ).

14. numerosnamente 14
.Máximo absoluto
-Uma função real de variável real de domínio e se ( ) , ( ) é mínimo absoluto
quando , ( ) ( )
Considere a figura onde estão representados os gráficos das funções e :
A função tem um máximo absoluto ( )
A função tem um máximo absoluto ( )
Exemplo de aplicação:
( ) ( )
( ) mínimo absolutos. não tem máximo absoluto

15. numerosnamente 15
. Extremos relativos
. Mínimo relativo
- Uma função tem um mínimo relativo ou local se:
( ) ( ) ( )
- Se ( ) é mínimo relativo de então “ ” é minimizante.
. Máximo relativo
- Uma função tem um máximo relativo ou local se:
( ) ( ) ( )
- Se ( ) é máximo relativo de então “ ” é maximizante.
. Vizinhança
- Considerando um número r pertencente aos números reais positivos e um número qualquer
real “ ”, a vizinhança =  
Exemplo:
Considere a representação da função f:
A função tem um máximo absoluto = 2 e tem um mínimo relativo =-1 ; O minimizante =-3

16. numerosnamente 16
Exemplo:
Considere o gráfico da função g:
-  
-  
-A=(3,-4);B=(1,4);C=(-1,3) e D=(-3,7)
-Mínimo Absoluto = -4
-Mínimo relativo = 3
-Minimizante = -1
-Máximo absoluto = 7
-Máximo relativo = 4
-Maximizante = 1