Calculo1 aula19

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Calculo1 aula19

  1. 1. Aula 19Substitui»~es trigonom¶tricas e co efun»~es racionais co19.1 Substitui»~es trigonom¶tricas co eAs substitui»~es trigonom¶tricas s~o substitui»~es empregadas em integrais envolvendo co p e p a p couma das express~es a2 ¡ x2 , a2 + x2 , e x2 ¡ a2 , nas quais a vari¶vel x ¶ substitu¶ o a e ³da(correspondentemente) por uma das fun»~es a sen µ, a tg µ, e a sec µ. co (a) (b) a x x √ x 2 - a2 θ θ √ a2 - x2 a p 2 2Figura 19.1. Em (a) x = sen µ, p = a cos µ dµ, a a¡x = cos µ. Em (b), x = cos µ, ou a dx a 2 2xa = sec µ, dx = a sec µ tg µ dµ, x a¡a = tg µ. Em ambos os casos, a raiz quadrada dadiferen»a de quadrados ¶ um cateto. c eOs tr^s procedimentos de substitui»~es trigonom¶tricas, habitualmente usados, s~o e co e ailustrados geom¶tricamente nas ¯guras 19.1 e 19.2. e RpExemplo 19.1 Calcular a2 ¡ x2 dx.No exemplo 16.5, aula 16, ¯zemos o c¶lculo desta integral, usando integra»~o por partes. a caRefaremos seu c¶lculo agora, usando uma substitui»~o trigonom¶trica, baseando-nos no a ca eesquema geom¶trico da ¯gura 19.1 (a). e 170
  2. 2. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 171 √ a2 + x 2 x θ a pFigura 19.2. A raiz quadrada a2 + x2 ¶ interpretada geometricamente como sendo a ehipotenusa do tri^ngulo ret^ngulo de catetos x e a. Agora, x = tg µ, dx = a sec2 µ dµ, p a a a 2 2e a a+x = sec µ. Observando as rela»~es trigonom¶tricas da ¯gura 19.1 (a), fazemos co e p x a2 ¡ x2 = sen µ; = cos µ; dx = a cos µ dµ a aTemos ent~o a Z p Z a2 ¡ x2 dx = a2 cos2 µ dµUsando a rela»~o cos2 µ = 1 (1 + cos 2µ), temos ca 2 Z Z µ ¶ 2 2 a2 1 1 a2 µ a2 a cos µ dµ = + cos 2µ dµ = + sen 2µ + C 2 2 2 2 4Agora substitu¶ ³mos p x 2x a2 ¡ x2 µ = arc sen ; sen 2µ = 2 sen µ cos µ = a a2e obtemos Z p a2 x xp 2 a2 ¡ x2 dx = arc sen + a ¡ x2 + C 2 a 2 No caso de uma integral de¯nida, ao realizar a mudan»a de vari¶vel, podemos c atamb¶m trocar os limites de integra»~o, tal como ilustrado no seguinte exemplo. e ca R3pExemplo 19.2 Calcular 0 9 + x2 dx.Para desenvolver a estrat¶gia de substitui»~o e catrigonom¶trica, lan»amos m~o do diagrama ao e c a √ 9 + x2lado. Teremos xx 3 = tg µ, dx = 3 sec2 µ dµ, ep 3 = cos µ, ou seja,p9+x2 θ 9 + x2 = 3 sec µ. 3
  3. 3. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 172 Sendo x = 3 tg µ, tomamos µ assumindo valores de 0 a ¼=4, e teremos x per-correndo os valores de 0 a 3. R3p R ¼=4 R ¼=4 Teremos ent~o 0 9 + x2 dx = 0 3 sec µ ¢ 3 sec2 µ dµ = 9 0 sec3 µ dµ. a Conforme vimos no exemplo 18.5, aula 18, Z sec µ tg µ 1 sec3 µ dµ = + ln j sec µ + tg µj + C 2 2Assim, Z 3p Z ¼=4 9+x2 dx = 9 sec3 µ dµ 0 0 · ¸¼=4 sec µ tg µ 1 =9 + ln j sec µ + tg µj 2 2 0 · ¸ sec(¼=4) tg(¼=4) 1 =9 + ln j sec(¼=4) + tg(¼=4)j 2 2 · ¸ sec 0 tg 0 1 ¡9 + ln j sec 0 + tg 0j 2 2 "p # · ¸ p 2 1 p 1 9 2 9 p =9 + ln( 2 + 1) ¡ 9 0 + ln 1 = + ln( 2 + 1) 2 2 2 2 219.2 Integra»~o de fun»~es racionais ca co RNesta se»~o estudaremos o c¶lculo de integrais p(x) dx, em que p(x) e q(x) s~o ca a q(x) apolin^mios em x. Tais fun»~es p(x)=q(x) s~o chamadas fun»oes racionais. o co a c~ Quando o grau de p(x) ¶ maior que, ou igual ao grau de q(x), devemos primeira- emente dividir p(x) por q(x), p(x) q(x) R(x) Q(x)obtendo quociente Q(x) e resto R(x), de forma que p(x) = q(x)Q(x) + R(x)sendo R(x) = 0 ou um polin^mio de grau menor que o grau do polin^mio divisor q(x). o o Neste caso, p(x) q(x)Q(x) + R(x) R(x) = = Q(x) + q(x) q(x) q(x) R p(x) R R R(x)e ent~o q(x) dx = Q(x) dx + q(x) dx. a Por exemplo, suponhamos que queremos calcular Z 2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1 I= dx x3 ¡ 3x + 2
  4. 4. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 173Como o grau do numerador ¶ maior que o grau do denominador, devemos primeiramente eproceder µ divis~o de polin^mios abaixo, na qual obteremos Q(x) = 2x + 1 e R(x) = a a o2x ¡ 1. 2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1 x3 ¡ 3x + 2 2x4 + ¡ 6x2 + 4x 2x + 1 x3 ¡x+1 x3 ¡ 3x + 2 2x ¡ 1Teremos ent~o a Z Z Z (x3 ¡ 3x + 2)(2x + 1) + 2x ¡ 1 2x ¡ 1 I= 3 ¡ 3x + 2 dx = (2x + 1) dx + 3 ¡ 3x + 2 dx x x Assim sendo, precisamos apenas estudar integrais de fun»oes racionais pr¶prias, isto c~ o¶, fun»oes racionais em que o grau do numerador ¶ menor que o grau do denominador.e c~ e19.2.1 Decompondo fun»~es racionais em fra»~es parciais co coPrimeiro caso. O denominador tem ra¶ ³zes reais, distintas entre si.Suponhamos que na fun»~o racional pr¶pria p(x)=q(x) o denominador, sendo de grau ca on, fatora-se em produtos lineares distintos q(x) = (x ¡ r1 )(x ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ rn )ou ent~o a q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn )tendo, os n fatores lineares, ra¶ distintas entre si. ³zes Ent~o aplicamos um resultado da ¶lgebra de fra»~es racionais que diz que, neste a a cocaso, existem constantes A1 ; A2 ; : : : ; An , tais que p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ¢¢¢ + q(x) (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn ) ax + b1 a2 x + b2 an x + bnsendo os coe¯cientes das fra»~es parciais, A1 ; A2 ; : : : ; An, determinados de maneira counica.¶ Neste caso, Z Z p(x) A1 An dx = dx + ¢ ¢ ¢ + dx q(x) a1 x + b1 an x + bn A1 An = ln ja1 x + b1 j + ¢ ¢ ¢ + ln jan x + bn j + C a1 an
  5. 5. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 174 Z x2 ¡ 3Exemplo 19.3 Calcular dx. (x2 ¡ 4)(2x + 1)Solu»~o. Come»amos fazendo ca c x2 ¡ 3 x2 ¡ 3 A B C = = + + (x2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1) x ¡ 2 x + 2 2x + 1Para calcular os coe¯cientes A, B e C, somamos as tr^s fra»oes parciais µ direita, e c~ aigualando a soma µ fun»~o racional original. a ca x2 ¡ 3 A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2) = (x 2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1)Observando que os denominadores s~o iguais, devemos obter A, B e C de modo a atermos a igualdade (identidade) de polin^mios o x2 ¡ 3 = A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2)Desenvolvendo o produto µ direita e comparando os coe¯cientes dos termos de mesmo agrau, chegaremos a tr^s equa»~es lineares nas inc¶gnitas A, B e C. Mas podemos tomar e co oum atalho. J¶ que os polin^mios µ esquerda e µ direita s~o iguais, eles tem o mesmo a o a a avalor para cada x real. Tomando x = ¡2, obtemos B(¡2 ¡ 2)(¡4 + 1) = 1, e ent~o B = 1=12. a Tomando x = 2, obtemos A ¢ 20 = 1, e ent~o A = 1=20. a Tomando x = ¡1=2, obtemos C(¡ 1 ¡ 2)(¡ 1 + 2) = ¡15=4, e ent~o C = 11=15. 2 2 a Repare que os valores de x, estrategicamente escolhidos, s~o as ra¶ de a ³zes(x2 ¡ 4)(2x + 1). Assim, Z Z Z Z x2 ¡ 3 1=40 1=12 11=15 dx = dx + dx + dx (x2 ¡ 4)(2x + 1) x¡2 x+2 2x + 1 1 1 11 = ln jx ¡ 2j + ln jx + 2j + ln j2x + 1j + C 40 12 30Segundo caso. O denominador tem somente ra¶ ³zes reais, mas algumas ra¶ ³zesm¶ltiplas. uNo pr¶ximo exemplo ilustramos uma decomposi»~o, em fra»~es parciais, de uma fun»~o o ca co caracional pr¶pria, cujo denominador tem apenas ra¶ reais, tendo por¶m ra¶ m¶ltiplas. o ³zes e ³zes u Z x2Exemplo 19.4 Calcular dx. (2x ¡ 1)(x + 1)3
  6. 6. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 175Aqui, a raiz ¡1, do denominador, ¶ de multiplicidade 3. A decomposi»~o, em fra»~es e ca coparciais, que funciona neste caso, ¶ da forma e x2 A B C D = + + + (2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1na qual teremos A, B, C e D determinados de maneira unica. ¶ Como antes, primeiramente somamos as fra»~es parciais: co x2 A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2 = (2x ¡ 1)(x + 1)3 (2x ¡ 1)(x + 1)3Tendo µ esquerda e µ direita o mesmo denominador, teremos: a a A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2 Quando x = ¡1, temos ¡3B = 4, logo B = ¡4=3. 27 Quando x = 1=2, temos A ¢ 8 = 1 , logo A = 2=27. 4 Tendo esgotado, para valores de x, as ra¶ de (2x ¡ 1)(x + 1)3 , tomamos agora ³zesvalores de x que n~o produzam, em nossos c¶lculos, valores num¶ricos muito grandes. a a e Tomando x = 0, temos A ¡ B ¡ C ¡ D = 0, e tomando x = 1, temos 8A + B + 2C + 4D = 1. Logo, ( 38 C +D = 27 52 2C + 4D = 27 31 7e ent~o C = a 27 , D= 27 . Assim, Z Z Z Z Z x2 2=27 ¡4=3 31=27 7=27 dx = dx + dx + dx + dx (2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x+1 1 2 31 7 = ln j2x ¡ 1j + 2 ¡ + ln jx + 1j + C 27 3(x + 1) 27(x + 1) 27 Como um outro exemplo de decomposi»~o em fra»~es parciais, em um caso de ca cora¶ reais m¶ltiplas no denominador, se tivermos que calcular ³zes u Z x3 ¡ 2x + 1 dx (3x ¡ 2)2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x)devemos primeiramente fazer x3 ¡ 2x + 1 A B C D E F 2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x) = + + + + + 2 3x ¡ 2 (5x + 1)3 (5x + 1)2 5x + 1 1 ¡ 7x(3x ¡ 2) (3x ¡ 2)
  7. 7. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 176Terceiro caso. O denominador tem ra¶ ³zes complexas n~o reais. aUm terceiro caso de decomposi»~o, em fra»~es parciais, ocorre quando o denominador ca co a ³veis (fatores de grau 2 sem ra¶ reais), como no exemplotem fatores quadr¶ticos irredut¶ ³zes p(x) 3x2 ¡ x = q(x) (x ¡ 2)3 (x2 + x + 4)(x2 + 1)em que x2 + x + 4 e x2 + 1 n~o tem ra¶ reais. a ³zes Neste caso, devemos fazer 3x2 ¡ x A B C Dx + E Fx + G = + + + 2 + 2(x ¡ 2)2 (x2 + x + 4)(x2 + 1) (x ¡ 2)3 (x ¡ 2)2 x¡2 x +x+4 x +1e proceder tal como antes, na busca dos coe¯cientes A a G. Ou seja, na decomposi»~o em fra»~es parciais, para os fatores lineares no denomi- ca conador seguimos as regras anteriores, mas sobre cada fator quadr¶tico vai um polin^mio a odo primeiro grau M x + N . E se tivermos, no denominador, pot^ncias de fatores quadr¶ticos irredut¶ Z e a ³veis, tal x5 + 3x ¡ 5como na integral dx ? (x2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5) Neste caso, notando que x2 + 3x ¡ 5 e x2 + 2 n~o tem ra¶ reais, fazemos a ³zes x5 + 3x ¡ 5 Ax + B Cx + D = 2 + 2 (x 2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5) (x ¡ 3x + 4)2 x ¡ 3x + 4 Ex + F Gx + H Ix + J K + 2 + 2 + 2 + (x + 2)3 (x + 2)2 x +2 3x ¡ 5Este ¶ um c¶lculo deveras longo. Na pressa, devemos recorrer a uma boa t¶bua de e a aintegrais ou um bom aplicativo computacional.Observa»~o 19.1 Na verdade, esse tipo de decomposi»~o funciona mesmo se os fatores ca caquadr¶ticos tem ra¶ a ³zes reais, desde que estas n~o sejam ra¶ a ³zes de outros fatores dodenominador. Z x3 ¡ 2 Por exemplo, no c¶lculo de a dx, podemos fazer a decom- (x2 ¡ 4)(2x + 1)posi»~o ca x2 ¡ 3 Ax + B C = 2 + (x 2 ¡ 4)(2x + 1) x ¡4 2x + 1e ir µ busca dos coe¯cientes A, B e C, como anteriormente. a
  8. 8. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 177 Z Mx + NA integral dx (ax2 + bx + c)n Z Mx + NAinda resta esclarecer como lidar com integrais do tipo dx (a > 0), (ax2 + bx + c)nem que o trin^mio ax2 + bx + c n~o tem ra¶ reais. o a ³zes Adotando o procedimento estudado na se»~o 18.1, aula 18, completamos o quadra- cado no trin^mio ax2 + bx + c, colocando-o na forma a(x + ®)2 + ¯, e pela mudan»a de o cvari¶vel u = x + ®, du = dx, chegaremos a a Z Z Z Z Mx + N ¸u + ° u du du dx = du = ¸ +° (ax 2 + bx + c)n (u 2 + k 2 )n (u2 + k 2 )n (u2 + k 2 )npara certos coe¯cientes ¸ e °. R A integral I = (u2u du2 )n ¶ calculada mediante uma mudan»a de vari¶vel simples: +k e c a R dt t = u2 + k 2 , dt = 2u du, u du = 1 dt, e ent~o I = 1 tn . 2 a 2 R J¶ o c¶lculo da integral J = (u2 +k2 )n requer uma substitui»~o trigonom¶trica. a a du ca e √ u2 + k 2 u θ k Fazemos u = k tg µ, du = k sec2 µ dµ. Teremos p k u2 +k2 = cos µ, e ent~o a Z Z cos2n µ 1 J= sec2 µ dµ = 2n¡1 cos2n¡2 µ dµ k 2n ae fazemos o uso da f¶rmula de recorr^ncia o e Z 1 m¡1 cos x dx = cosm¡1 x sen x + m cosm¡2 x dx m m Z Mx + NF¶rmulas de recorr^ncia para o e dx (ax2 + bx + c)nUma boa t¶bua de integrais nos fornecer¶ a a Z Z dx x 2n ¡ 3 dx = 2 + 2 (19.1) (x2 + k 2 )n 2k (n ¡ 1)(x 2 + k 2 )n¡1 2k (n ¡ 1) (x2 + k 2 )n¡1
  9. 9. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 178bem como tamb¶m (aqui ¸ pode ser uma constante negativa) e Z Z dx x 2n ¡ 3 dx = + (19.2) (x2 + ¸)n 2¸(n ¡ 1)(x2 + ¸)n¡1 2¸(n ¡ 1) (x2 + ¸)n¡1 De um modo mais geral, encontramos tamb¶m, em uma boa t¶bua de integrais, e ao seguinte resultado.Sendo a > 0, n ¸ 2, e ¢ = b2 ¡ 4ac 60, =Z Z dx ¡(2ax + b) ¡2a(2n ¡ 3) dx 2 + bx + c)n = 2 + bx + c)n¡1 + 2 + bx + c)n¡1 (ax ¢ ¢ (n ¡ 1)(ax ¢ ¢ (n ¡ 1) (ax (19.3) Tamb¶m encontramos e Z Z 2a (2ax + b) + (N ¡ 2a ) M b Mx + N dx = dx (ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n Z µ ¶Z M (2ax + b) dx b dx = + N¡ (19.4) 2a (ax2 + bx + c)n 2a (ax2 + bx + c)n Z Z (2ax + b) dx dusendo 2 + bx + c)n = pela substitui»~o u = ax2 + bx + c, du = (2ax + b) dx. ca (ax u19.3 ProblemasSubstitui»~es trigonom¶tricas co eCalcule as seguintes integrais, atrav¶s de substitui»oes trigonom¶tricas. e c~ e R p a2 ¡x2 p a2 ¡x2 1. x2 dx. Resposta. ¡ x ¡ arc sen x + C. a R p 1+x2 2. pdx x2 1+x2 . Resposta. ¡ x + C. R p x2 ¡a2 p 3. x dx. Resposta. x2 ¡ a2 ¡ a arccos x + C. a R 4. p dx . Resposta. px + C. (a2 +x2 )3 a2 a2 +x2Integra»~o de fun»~es racionais ca coCalcule as seguintes integrais de fun»~es racionais. Trabalhe todos os c¶lculos, evitando co ausar as f¶rmulas de recorr^ncia do fechamento da aula. o e
  10. 10. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 179 R ¯ ¯ ¯ 3¯ 1. 2x¡1 (x¡1)(x¡2) dx. Resposta. ln ¯ (x¡2) ¯ + C. x¡1 R ¯ ¯ 1 ¯ (x+3)6 ¯ 2. x dx (x+1)(x+3)(x+5) . Resposta. 8 ln ¯ (x+5)5 (x+1) ¯ + C. R ¯ ¯ x4 dx x2 ¯ x¡1 ¯ 1 16 3. (x2 ¡1)(x+2) . Resposta. 2 ¡ 2x + ln ¯ (x+1)3 ¯ + 6 3 ln jx + 2j + C. R ¯ ¯ 4. dx (x¡1)2 (x¡2) . Resposta. 1 x¡1 + ln ¯ x¡2 ¯ + C. x¡1 R 2 5. x¡8 x3 ¡4x2 +4x dx. Resposta. 3 x¡8 + ln (x¡2) + C. x2 R jxj 6. dx x(x2 +1) . Resposta. ln px2 +1 + C. R 1 (x+1) 2 1 7. dx x3 +1 . Resposta. 6 ln x2 ¡x+1 + p 3 arc tg 2x¡1 + C. p 3 R 2 8. 4x2 ¡8x (x¡1)2 (x2 +1)2 dx. Resposta. 3x2 ¡1 (x¡1)(x2 +1) + ln (x¡1) + arc tg x + C. x2 +1Recorr^ncia em integrais de fun»~es racionais e coUse as f¶rmulas de recorr^ncia 19.1 a 19.4 para mostrar que o e Z 2x ¡ 1 ¡2x ¡ 16 3x 3 x 1. dx = ¡ ¡ arc tg + C (x2 + 4)3 32(x2 + 4)2 128(x2 + 4) 256 2 Z dx 2. (x2 ¡ 4x + 5)4 2x ¡ 4 5(2x ¡ 4) 5(2x ¡ 4) 5 = + + + arc tg(x¡2)+C 12(x2 ¡ 4x + 5)3 48(x2 ¡ 4x + 5)2 32(x2 ¡ 4x + 5) 16

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