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Aula 19

Substitui»~es trigonom¶tricas e
         co           e
fun»~es racionais
   co

19.1         Substitui»~es trigonom¶tricas
                      co           e
As substitui»~es trigonom¶tricas s~o substitui»~es empregadas em integrais envolvendo
            co      p    e p a             p co
uma das express~es a2 ¡ x2 , a2 + x2 , e x2 ¡ a2 , nas quais a vari¶vel x ¶ substitu¶
                o                                                   a     e         ³da
(correspondentemente) por uma das fun»~es a sen µ, a tg µ, e a sec µ.
                                        co

   (a)                                       (b)

                   a                                                   x
                                         x
                                                                           √ x 2 - a2

         θ                                             θ
               √   a2   -   x2                                         a
                                                           p
                                                               2   2
Figura 19.1. Em (a) x = sen µ, p = a cos µ dµ, a a¡x = cos µ. Em (b), x = cos µ, ou
                      a
                                 dx                                      a
                                   2   2
x
a
   = sec µ, dx = a sec µ tg µ dµ, x a¡a = tg µ. Em ambos os casos, a raiz quadrada da
diferen»a de quadrados ¶ um cateto.
       c                 e


Os tr^s procedimentos de substitui»~es trigonom¶tricas, habitualmente usados, s~o
      e                           co            e                              a
ilustrados geom¶tricamente nas ¯guras 19.1 e 19.2.
               e

                                 Rp
Exemplo 19.1 Calcular              a2 ¡ x2 dx.

No exemplo 16.5, aula 16, ¯zemos o c¶lculo desta integral, usando integra»~o por partes.
                                    a                                    ca
Refaremos seu c¶lculo agora, usando uma substitui»~o trigonom¶trica, baseando-nos no
                a                                  ca           e
esquema geom¶trico da ¯gura 19.1 (a).
              e


                                                 170
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                171




                                       √ a2 + x 2
                                                             x


                                θ
                                            a

                              p
Figura 19.2. A raiz quadrada a2 + x2 ¶ interpretada geometricamente como sendo a
                                        e
hipotenusa do tri^ngulo ret^ngulo de catetos x e a. Agora, x = tg µ, dx = a sec2 µ dµ,
  p
                 a         a                               a
    2  2
e a a+x = sec µ.

     Observando as rela»~es trigonom¶tricas da ¯gura 19.1 (a), fazemos
                       co            e
                               p
                x                a2 ¡ x2
                   = sen µ;              = cos µ; dx = a cos µ dµ
                a                  a
Temos ent~o
         a                Z p             Z
                             a2 ¡ x2 dx =   a2 cos2 µ dµ

Usando a rela»~o cos2 µ = 1 (1 + cos 2µ), temos
             ca           2
         Z                    Z µ               ¶
             2    2       a2       1 1             a2 µ a2
            a cos µ dµ =             + cos 2µ dµ =     + sen 2µ + C
                            2      2 2              2   4

Agora substitu¶
              ³mos
                                                               p
                           x                                 2x a2 ¡ x2
                µ = arc sen ;       sen 2µ = 2 sen µ cos µ =
                           a                                     a2
e obtemos         Z p
                                  a2        x xp 2
                     a2 ¡ x2 dx =    arc sen +  a ¡ x2 + C
                                  2         a 2

     No caso de uma integral de¯nida, ao realizar a mudan»a de vari¶vel, podemos
                                                              c         a
tamb¶m trocar os limites de integra»~o, tal como ilustrado no seguinte exemplo.
    e                              ca
                        R3p
Exemplo 19.2 Calcular    0
                           9 + x2 dx.


Para desenvolver a estrat¶gia de substitui»~o
                         e                ca
trigonom¶trica, lan»amos m~o do diagrama ao
          e          c     a                                     √ 9 + x2
lado. Teremos                                                                    x
x
 3
   = tg µ, dx = 3 sec2 µ dµ, e
p 3    = cos µ, ou seja,
p9+x2                                                    θ
   9 + x2 = 3 sec µ.                                                 3
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                           172


      Sendo x = 3 tg µ, tomamos µ assumindo valores de 0 a ¼=4, e teremos x per-
correndo os valores de 0 a 3.
                     R3p           R ¼=4                     R ¼=4
      Teremos ent~o 0 9 + x2 dx = 0 3 sec µ ¢ 3 sec2 µ dµ = 9 0 sec3 µ dµ.
                  a
      Conforme vimos no exemplo 18.5, aula 18,
                  Z
                                sec µ tg µ 1
                    sec3 µ dµ =           + ln j sec µ + tg µj + C
                                    2      2
Assim,
 Z 3p              Z           ¼=4
       9+x2 dx = 9                   sec3 µ dµ
  0                        0
                       ·                                  ¸¼=4
                         sec µ tg µ 1
                    =9               + ln j sec µ + tg µj
                              2       2                    0
                       ·                                              ¸
                         sec(¼=4) tg(¼=4) 1
                    =9                      + ln j sec(¼=4) + tg(¼=4)j
                                   2           2
                          ·                                  ¸
                            sec 0 tg 0 1
                     ¡9               + ln j sec 0 + tg 0j
                                2       2
                       "p                     #      ·         ¸   p
                            2 1 p                           1     9 2 9 p
                    =9        + ln( 2 + 1) ¡ 9 0 + ln 1 =              + ln( 2 + 1)
                          2      2                          2      2    2


19.2      Integra»~o de fun»~es racionais
                 ca        co
                                               R
Nesta se»~o estudaremos o c¶lculo de integrais p(x) dx, em que p(x) e q(x) s~o
        ca                   a                   q(x)
                                                                            a
polin^mios em x. Tais fun»~es p(x)=q(x) s~o chamadas fun»oes racionais.
     o                   co              a              c~
     Quando o grau de p(x) ¶ maior que, ou igual ao grau de q(x), devemos primeira-
                             e
mente dividir p(x) por q(x),
                                   p(x) q(x)
                                  R(x) Q(x)
obtendo quociente Q(x) e resto R(x), de forma que
                                         p(x) = q(x)Q(x) + R(x)
sendo R(x) = 0 ou um polin^mio de grau menor que o grau do polin^mio divisor q(x).
                          o                                     o
      Neste caso,
                   p(x)   q(x)Q(x) + R(x)          R(x)
                        =                 = Q(x) +
                   q(x)         q(x)               q(x)
       R p(x)    R           R R(x)
e ent~o q(x) dx = Q(x) dx + q(x) dx.
     a
      Por exemplo, suponhamos que queremos calcular
                           Z
                              2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1
                        I=                            dx
                                    x3 ¡ 3x + 2
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                 173


Como o grau do numerador ¶ maior que o grau do denominador, devemos primeiramente
                            e
proceder µ divis~o de polin^mios abaixo, na qual obteremos Q(x) = 2x + 1 e R(x) =
         a      a          o
2x ¡ 1.

                        2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1          x3 ¡ 3x + 2
                        2x4 + ¡ 6x2 + 4x                 2x + 1
                               x3       ¡x+1
                              x3       ¡ 3x + 2
                                         2x ¡ 1

Teremos ent~o
           a
      Z                                     Z              Z
         (x3 ¡ 3x + 2)(2x + 1) + 2x ¡ 1                          2x ¡ 1
  I=               3 ¡ 3x + 2
                                        dx = (2x + 1) dx +     3 ¡ 3x + 2
                                                                          dx
                  x                                          x

      Assim sendo, precisamos apenas estudar integrais de fun»oes racionais pr¶prias, isto
                                                             c~               o
¶, fun»oes racionais em que o grau do numerador ¶ menor que o grau do denominador.
e     c~                                          e


19.2.1      Decompondo fun»~es racionais em fra»~es parciais
                          co                   co

Primeiro caso. O denominador tem ra¶
                                   ³zes reais, distintas entre si.

Suponhamos que na fun»~o racional pr¶pria p(x)=q(x) o denominador, sendo de grau
                        ca               o
n, fatora-se em produtos lineares distintos
                          q(x) = (x ¡ r1 )(x ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ rn )
ou ent~o
      a
                       q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn )
tendo, os n fatores lineares, ra¶ distintas entre si.
                                ³zes
      Ent~o aplicamos um resultado da ¶lgebra de fra»~es racionais que diz que, neste
          a                                  a           co
caso, existem constantes A1 ; A2 ; : : : ; An , tais que

 p(x)                     p(x)                          A1       A2                An
      =                                             =        +          + ¢¢¢ +
 q(x)   (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn )   ax + b1 a2 x + b2         an x + bn

sendo os coe¯cientes das fra»~es parciais, A1 ; A2 ; : : : ; An, determinados de maneira
                            co
unica.
¶
      Neste caso,
             Z            Z
                p(x)            A1                       An
                     dx =              dx + ¢ ¢ ¢ +              dx
                q(x)         a1 x + b1                an x + bn
                          A1                           An
                        =    ln ja1 x + b1 j + ¢ ¢ ¢ +     ln jan x + bn j + C
                          a1                           an
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                               174

                        Z
                                 x2 ¡ 3
Exemplo 19.3 Calcular                        dx.
                            (x2 ¡ 4)(2x + 1)

Solu»~o. Come»amos fazendo
    ca       c

            x2 ¡ 3                x2 ¡ 3             A     B     C
                        =                        =      +     +
       (x2 ¡ 4)(2x + 1)   (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1)   x ¡ 2 x + 2 2x + 1

Para calcular os coe¯cientes A, B e C, somamos as tr^s fra»oes parciais µ direita,
                                                    e     c~            a
igualando a soma µ fun»~o racional original.
                  a   ca

         x2 ¡ 3        A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2)
                     =
   (x 2 ¡ 4)(2x + 1)                   (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1)

Observando que os denominadores s~o iguais, devemos obter A, B e C de modo a
                                    a
termos a igualdade (identidade) de polin^mios
                                        o

         x2 ¡ 3 = A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2)

Desenvolvendo o produto µ direita e comparando os coe¯cientes dos termos de mesmo
                          a
grau, chegaremos a tr^s equa»~es lineares nas inc¶gnitas A, B e C. Mas podemos tomar
                     e       co                  o
um atalho. J¶ que os polin^mios µ esquerda e µ direita s~o iguais, eles tem o mesmo
             a              o      a             a         a
valor para cada x real.
     Tomando x = ¡2, obtemos B(¡2 ¡ 2)(¡4 + 1) = 1, e ent~o B = 1=12.
                                                         a
     Tomando x = 2, obtemos A ¢ 20 = 1, e ent~o A = 1=20.
                                             a
     Tomando x = ¡1=2, obtemos C(¡ 1 ¡ 2)(¡ 1 + 2) = ¡15=4, e ent~o C = 11=15.
                                   2        2
                                                                 a
     Repare que os valores de x, estrategicamente escolhidos, s~o as ra¶ de
                                                               a       ³zes
(x2 ¡ 4)(2x + 1).
     Assim,
     Z                          Z               Z               Z
             x2 ¡ 3                 1=40            1=12         11=15
                         dx =            dx +            dx +           dx
        (x2 ¡ 4)(2x + 1)            x¡2             x+2         2x + 1
                                1              1               11
                             =    ln jx ¡ 2j +    ln jx + 2j +    ln j2x + 1j + C
                               40              12              30

Segundo caso. O denominador tem somente ra¶
                                          ³zes reais, mas algumas ra¶
                                                                    ³zes
m¶ltiplas.
 u

No pr¶ximo exemplo ilustramos uma decomposi»~o, em fra»~es parciais, de uma fun»~o
      o                                        ca        co                    ca
racional pr¶pria, cujo denominador tem apenas ra¶ reais, tendo por¶m ra¶ m¶ltiplas.
           o                                    ³zes              e    ³zes u
                        Z
                                   x2
Exemplo 19.4 Calcular                        dx.
                            (2x ¡ 1)(x + 1)3
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                      175


Aqui, a raiz ¡1, do denominador, ¶ de multiplicidade 3. A decomposi»~o, em fra»~es
                                    e                              ca         co
parciais, que funciona neste caso, ¶ da forma
                                   e
                      x2            A       B        C       D
                                =       +        +        +
               (2x ¡ 1)(x + 1)3   2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1
na qual teremos A, B, C e D determinados de maneira unica.
                                                    ¶
      Como antes, primeiramente somamos as fra»~es parciais:
                                              co
         x2          A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2
                   =
  (2x ¡ 1)(x + 1)3                         (2x ¡ 1)(x + 1)3
Tendo µ esquerda e µ direita o mesmo denominador, teremos:
      a            a

          A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2

      Quando x = ¡1, temos ¡3B = 4, logo B = ¡4=3.
                                           27
      Quando x = 1=2, temos A ¢             8
                                                = 1 , logo A = 2=27.
                                                  4

      Tendo esgotado, para valores de x, as ra¶ de (2x ¡ 1)(x + 1)3 , tomamos agora
                                               ³zes
valores de x que n~o produzam, em nossos c¶lculos, valores num¶ricos muito grandes.
                  a                          a                e
      Tomando x = 0, temos A ¡ B ¡ C ¡ D = 0, e tomando x = 1, temos
      8A + B + 2C + 4D = 1. Logo,
                             (
                                                            38
                                              C +D =        27
                                                            52
                                            2C + 4D =       27

               31          7
e ent~o C =
     a         27
                  ,   D=   27
                              .
      Assim,
 Z                                Z                 Z           Z                 Z
            x2                         2=27        ¡4=3             31=27            7=27
                      dx =                   dx +          dx +             dx +           dx
     (2x ¡ 1)(x + 1)3                 2x ¡ 1      (x + 1)3         (x + 1)2          x+1
                                1                   2           31        7
                             =    ln j2x ¡ 1j +         2
                                                           ¡           +    ln jx + 1j + C
                               27               3(x + 1)     27(x + 1) 27


       Como um outro exemplo de decomposi»~o em fra»~es parciais, em um caso de
                                            ca         co
ra¶ reais m¶ltiplas no denominador, se tivermos que calcular
  ³zes       u
                         Z
                                  x3 ¡ 2x + 1
                                                        dx
                           (3x ¡ 2)2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x)
devemos primeiramente fazer
       x3 ¡ 2x + 1                  A        B        C         D       E      F
         2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x)
                              =           +      +         +         +      +
                                         2 3x ¡ 2 (5x + 1)3 (5x + 1)2 5x + 1 1 ¡ 7x
(3x ¡ 2)                        (3x ¡ 2)
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                              176


Terceiro caso. O denominador tem ra¶
                                   ³zes complexas n~o reais.
                                                   a

Um terceiro caso de decomposi»~o, em fra»~es parciais, ocorre quando o denominador
                                 ca           co
                 a             ³veis (fatores de grau 2 sem ra¶ reais), como no exemplo
tem fatores quadr¶ticos irredut¶                              ³zes

                        p(x)              3x2 ¡ x
                             =
                        q(x)   (x ¡ 2)3 (x2 + x + 4)(x2 + 1)

em que x2 + x + 4 e x2 + 1 n~o tem ra¶ reais.
                            a        ³zes
     Neste caso, devemos fazer
           3x2 ¡ x                 A          B        C   Dx + E  Fx + G
                              =          +          +    + 2      + 2
(x ¡ 2)2 (x2 + x + 4)(x2 + 1)   (x ¡ 2)3   (x ¡ 2)2   x¡2 x +x+4    x +1

e proceder tal como antes, na busca dos coe¯cientes A a G.
      Ou seja, na decomposi»~o em fra»~es parciais, para os fatores lineares no denomi-
                           ca         co
nador seguimos as regras anteriores, mas sobre cada fator quadr¶tico vai um polin^mio
                                                                a                  o
do primeiro grau M x + N .
     E se tivermos, no denominador, pot^ncias de fatores quadr¶ticos irredut¶
                 Z                       e                    a             ³veis, tal
                              x5 + 3x ¡ 5
como na integral                                      dx ?
                    (x2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5)
     Neste caso, notando que x2 + 3x ¡ 5 e x2 + 2 n~o tem ra¶ reais, fazemos
                                                   a        ³zes

             x5 + 3x ¡ 5                 Ax + B         Cx + D
                                     = 2            + 2
  (x 2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5)  (x ¡ 3x + 4)2   x ¡ 3x + 4
                                         Ex + F     Gx + H    Ix + J     K
                                      + 2       + 2         + 2      +
                                        (x + 2)3 (x + 2)2     x +2     3x ¡ 5

Este ¶ um c¶lculo deveras longo. Na pressa, devemos recorrer a uma boa t¶bua de
      e      a                                                          a
integrais ou um bom aplicativo computacional.

Observa»~o 19.1 Na verdade, esse tipo de decomposi»~o funciona mesmo se os fatores
         ca                                          ca
quadr¶ticos tem ra¶
      a           ³zes reais, desde que estas n~o sejam ra¶
                                                a          ³zes de outros fatores do
denominador.
                                    Z
                                           x3 ¡ 2
      Por exemplo, no c¶lculo de
                        a                              dx, podemos fazer a decom-
                                      (x2 ¡ 4)(2x + 1)
posi»~o
    ca
                             x2 ¡ 3        Ax + B        C
                                         = 2        +
                       (x 2 ¡ 4)(2x + 1)    x ¡4       2x + 1
e ir µ busca dos coe¯cientes A, B e C, como anteriormente.
     a
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                       177

             Z
                    Mx + N
A integral                       dx
                 (ax2 + bx + c)n
                                                             Z
                                                                    Mx + N
Ainda resta esclarecer como lidar com integrais do tipo                          dx (a > 0),
                                                                 (ax2 + bx + c)n
em que o trin^mio ax2 + bx + c n~o tem ra¶ reais.
             o                  a        ³zes
      Adotando o procedimento estudado na se»~o 18.1, aula 18, completamos o quadra-
                                               ca
do no trin^mio ax2 + bx + c, colocando-o na forma a(x + ®)2 + ¯, e pela mudan»a de
          o                                                                       c
vari¶vel u = x + ®, du = dx, chegaremos a
    a
    Z                        Z                      Z                 Z
           Mx + N                ¸u + °                  u du               du
                        dx =                 du = ¸                +°
       (ax 2 + bx + c)n        (u 2 + k 2 )n          (u2 + k 2 )n      (u2 + k 2 )n


para certos coe¯cientes ¸ e °.
                     R
      A integral I = (u2u du2 )n ¶ calculada mediante uma mudan»a de vari¶vel simples:
                          +k
                                 e                                c        a
                                                             R dt
      t = u2 + k 2 , dt = 2u du, u du = 1 dt, e ent~o I = 1 tn .
                                            2
                                                    a      2
                                    R
      J¶ o c¶lculo da integral J = (u2 +k2 )n requer uma substitui»~o trigonom¶trica.
       a    a                             du
                                                                   ca         e



                                         √ u2 + k 2
                                                             u


                                    θ
                                              k



        Fazemos u = k tg µ, du = k sec2 µ dµ. Teremos    p k
                                                          u2 +k2
                                                                   = cos µ, e ent~o
                                                                                 a
                          Z                              Z
                              cos2n µ              1
                     J=               sec2 µ dµ = 2n¡1       cos2n¡2 µ dµ
                                k 2n             a
e fazemos o uso da f¶rmula de recorr^ncia
                    o               e
                                                             Z
                           1                 m¡1
                 cos x dx = cosm¡1 x sen x +
                    m
                                                                 cosm¡2 x dx
                           m                  m

                                   Z
                                           Mx + N
F¶rmulas de recorr^ncia para
 o                e                                     dx
                                        (ax2 + bx + c)n

Uma boa t¶bua de integrais nos fornecer¶
         a                             a
    Z                                                              Z
             dx                  x                  2n ¡ 3                    dx
                      = 2                        + 2                                      (19.1)
         (x2 + k 2 )n  2k (n ¡ 1)(x 2 + k 2 )n¡1  2k (n ¡ 1)           (x2   + k 2 )n¡1
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                         178


bem como tamb¶m (aqui ¸ pode ser uma constante negativa)
             e
        Z                                                               Z
                 dx               x              2n ¡ 3                           dx
                       =                      +                                             (19.2)
             (x2 + ¸)n   2¸(n ¡ 1)(x2 + ¸)n¡1   2¸(n ¡ 1)                   (x2   + ¸)n¡1

     De um modo mais geral, encontramos tamb¶m, em uma boa t¶bua de integrais,
                                            e               a
o seguinte resultado.
Sendo a > 0, n ¸ 2, e ¢ = b2 ¡ 4ac 60,
                                    =
Z                                                                Z
         dx                    ¡(2ax + b)            ¡2a(2n ¡ 3)          dx
      2 + bx + c)n
                   =                2 + bx + c)n¡1
                                                   +                  2 + bx + c)n¡1
   (ax                ¢ ¢ (n ¡ 1)(ax                 ¢ ¢ (n ¡ 1)   (ax
                                                                               (19.3)


        Tamb¶m encontramos
            e


 Z                                  Z
                                        2a (2ax + b) + (N ¡ 2a )
                                        M                    b
        Mx + N
                     dx =                                          dx
     (ax2 + bx + c)n                         (ax2 + bx + c)n
                             Z                       µ         ¶Z
                         M         (2ax + b) dx              b            dx
                                =                  + N¡                            (19.4)
                         2a      (ax2 + bx + c)n            2a     (ax2 + bx + c)n
      Z                    Z
          (2ax + b) dx         du
sendo       2 + bx + c)n
                         =          pela substitui»~o u = ax2 + bx + c, du = (2ax + b) dx.
                                                  ca
        (ax                     u



19.3            Problemas

Substitui»~es trigonom¶tricas
         co           e

Calcule as seguintes integrais, atrav¶s de substitui»oes trigonom¶tricas.
                                     e              c~           e
        R   p
             a2 ¡x2
                                           p
                                            a2 ¡x2
   1.         x2
                      dx. Resposta. ¡        x
                                                     ¡ arc sen x + C.
                                                               a
        R                                p
                                          1+x2
   2.         pdx
            x2 1+x2
                    .   Resposta. ¡        x
                                                 + C.
        R   p
             x2 ¡a2
                                         p
   3.         x
                      dx. Resposta.       x2 ¡ a2 ¡ a arccos x + C.
                                                             a

        R
   4.       p   dx
                         .   Resposta.     px        + C.
              (a2 +x2 )3                 a2 a2 +x2



Integra»~o de fun»~es racionais
       ca        co

Calcule as seguintes integrais de fun»~es racionais. Trabalhe todos os c¶lculos, evitando
                                     co                                 a
usar as f¶rmulas de recorr^ncia do fechamento da aula.
         o                e
Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais
         »~           e            »~                                                                179

       R                                  ¯       ¯
                                          ¯      3¯
  1.          2x¡1
           (x¡1)(x¡2)
                         dx. Resposta. ln ¯ (x¡2) ¯ + C.
                                             x¡1

       R                                              ¯              ¯
                                               1      ¯ (x+3)6 ¯
  2.             x dx
           (x+1)(x+3)(x+5)
                           .    Resposta.      8
                                                   ln ¯ (x+5)5 (x+1) ¯ + C.
       R                                                ¯        ¯
               x4 dx                     x2             ¯ x¡1 ¯
                                                            1                 16
  3.       (x2 ¡1)(x+2)
                        .    Resposta.   2
                                              ¡ 2x + ln ¯ (x+1)3 ¯ +
                                                            6                  3
                                                                                   ln jx + 2j + C.
       R                                            ¯ ¯
  4.           dx
           (x¡1)2 (x¡2)
                        .    Resposta.    1
                                         x¡1
                                               + ln ¯ x¡2 ¯ + C.
                                                      x¡1
       R                                                          2
  5.           x¡8
           x3 ¡4x2 +4x
                         dx. Resposta.         3
                                              x¡8
                                                    + ln (x¡2) + C.
                                                           x2
       R                              jxj
  6.          dx
           x(x2 +1)
                    .   Resposta. ln px2 +1 + C.
       R                         1      (x+1)  2
                                                       1
  7.        dx
           x3 +1
                 .   Resposta.   6
                                     ln x2 ¡x+1 +      p
                                                        3
                                                            arc tg 2x¡1 + C.
                                                                    p
                                                                     3
       R                                                                   2
  8.          4x2 ¡8x
           (x¡1)2 (x2 +1)2
                             dx. Resposta.            3x2 ¡1
                                                   (x¡1)(x2 +1)
                                                                  + ln (x¡1) + arc tg x + C.
                                                                        x2 +1



Recorr^ncia em integrais de fun»~es racionais
      e                        co

Use as f¶rmulas de recorr^ncia 19.1 a 19.4 para mostrar que
        o                e
       Z
             2x ¡ 1         ¡2x ¡ 16       3x       3        x
  1.                  dx =            ¡           ¡    arc tg + C
            (x2 + 4)3      32(x2 + 4)2 128(x2 + 4) 256       2
       Z
               dx
  2.
            (x2
             ¡ 4x + 5)4
              2x ¡ 4         5(2x ¡ 4)        5(2x ¡ 4)    5
       =                 +                +               + arc tg(x¡2)+C
         12(x2 ¡ 4x + 5)3 48(x2 ¡ 4x + 5)2 32(x2 ¡ 4x + 5) 16

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  • 1. Aula 19 Substitui»~es trigonom¶tricas e co e fun»~es racionais co 19.1 Substitui»~es trigonom¶tricas co e As substitui»~es trigonom¶tricas s~o substitui»~es empregadas em integrais envolvendo co p e p a p co uma das express~es a2 ¡ x2 , a2 + x2 , e x2 ¡ a2 , nas quais a vari¶vel x ¶ substitu¶ o a e ³da (correspondentemente) por uma das fun»~es a sen µ, a tg µ, e a sec µ. co (a) (b) a x x √ x 2 - a2 θ θ √ a2 - x2 a p 2 2 Figura 19.1. Em (a) x = sen µ, p = a cos µ dµ, a a¡x = cos µ. Em (b), x = cos µ, ou a dx a 2 2 x a = sec µ, dx = a sec µ tg µ dµ, x a¡a = tg µ. Em ambos os casos, a raiz quadrada da diferen»a de quadrados ¶ um cateto. c e Os tr^s procedimentos de substitui»~es trigonom¶tricas, habitualmente usados, s~o e co e a ilustrados geom¶tricamente nas ¯guras 19.1 e 19.2. e Rp Exemplo 19.1 Calcular a2 ¡ x2 dx. No exemplo 16.5, aula 16, ¯zemos o c¶lculo desta integral, usando integra»~o por partes. a ca Refaremos seu c¶lculo agora, usando uma substitui»~o trigonom¶trica, baseando-nos no a ca e esquema geom¶trico da ¯gura 19.1 (a). e 170
  • 2. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 171 √ a2 + x 2 x θ a p Figura 19.2. A raiz quadrada a2 + x2 ¶ interpretada geometricamente como sendo a e hipotenusa do tri^ngulo ret^ngulo de catetos x e a. Agora, x = tg µ, dx = a sec2 µ dµ, p a a a 2 2 e a a+x = sec µ. Observando as rela»~es trigonom¶tricas da ¯gura 19.1 (a), fazemos co e p x a2 ¡ x2 = sen µ; = cos µ; dx = a cos µ dµ a a Temos ent~o a Z p Z a2 ¡ x2 dx = a2 cos2 µ dµ Usando a rela»~o cos2 µ = 1 (1 + cos 2µ), temos ca 2 Z Z µ ¶ 2 2 a2 1 1 a2 µ a2 a cos µ dµ = + cos 2µ dµ = + sen 2µ + C 2 2 2 2 4 Agora substitu¶ ³mos p x 2x a2 ¡ x2 µ = arc sen ; sen 2µ = 2 sen µ cos µ = a a2 e obtemos Z p a2 x xp 2 a2 ¡ x2 dx = arc sen + a ¡ x2 + C 2 a 2 No caso de uma integral de¯nida, ao realizar a mudan»a de vari¶vel, podemos c a tamb¶m trocar os limites de integra»~o, tal como ilustrado no seguinte exemplo. e ca R3p Exemplo 19.2 Calcular 0 9 + x2 dx. Para desenvolver a estrat¶gia de substitui»~o e ca trigonom¶trica, lan»amos m~o do diagrama ao e c a √ 9 + x2 lado. Teremos x x 3 = tg µ, dx = 3 sec2 µ dµ, e p 3 = cos µ, ou seja, p9+x2 θ 9 + x2 = 3 sec µ. 3
  • 3. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 172 Sendo x = 3 tg µ, tomamos µ assumindo valores de 0 a ¼=4, e teremos x per- correndo os valores de 0 a 3. R3p R ¼=4 R ¼=4 Teremos ent~o 0 9 + x2 dx = 0 3 sec µ ¢ 3 sec2 µ dµ = 9 0 sec3 µ dµ. a Conforme vimos no exemplo 18.5, aula 18, Z sec µ tg µ 1 sec3 µ dµ = + ln j sec µ + tg µj + C 2 2 Assim, Z 3p Z ¼=4 9+x2 dx = 9 sec3 µ dµ 0 0 · ¸¼=4 sec µ tg µ 1 =9 + ln j sec µ + tg µj 2 2 0 · ¸ sec(¼=4) tg(¼=4) 1 =9 + ln j sec(¼=4) + tg(¼=4)j 2 2 · ¸ sec 0 tg 0 1 ¡9 + ln j sec 0 + tg 0j 2 2 "p # · ¸ p 2 1 p 1 9 2 9 p =9 + ln( 2 + 1) ¡ 9 0 + ln 1 = + ln( 2 + 1) 2 2 2 2 2 19.2 Integra»~o de fun»~es racionais ca co R Nesta se»~o estudaremos o c¶lculo de integrais p(x) dx, em que p(x) e q(x) s~o ca a q(x) a polin^mios em x. Tais fun»~es p(x)=q(x) s~o chamadas fun»oes racionais. o co a c~ Quando o grau de p(x) ¶ maior que, ou igual ao grau de q(x), devemos primeira- e mente dividir p(x) por q(x), p(x) q(x) R(x) Q(x) obtendo quociente Q(x) e resto R(x), de forma que p(x) = q(x)Q(x) + R(x) sendo R(x) = 0 ou um polin^mio de grau menor que o grau do polin^mio divisor q(x). o o Neste caso, p(x) q(x)Q(x) + R(x) R(x) = = Q(x) + q(x) q(x) q(x) R p(x) R R R(x) e ent~o q(x) dx = Q(x) dx + q(x) dx. a Por exemplo, suponhamos que queremos calcular Z 2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1 I= dx x3 ¡ 3x + 2
  • 4. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 173 Como o grau do numerador ¶ maior que o grau do denominador, devemos primeiramente e proceder µ divis~o de polin^mios abaixo, na qual obteremos Q(x) = 2x + 1 e R(x) = a a o 2x ¡ 1. 2x4 + x3 ¡ 6x2 + 3x + 1 x3 ¡ 3x + 2 2x4 + ¡ 6x2 + 4x 2x + 1 x3 ¡x+1 x3 ¡ 3x + 2 2x ¡ 1 Teremos ent~o a Z Z Z (x3 ¡ 3x + 2)(2x + 1) + 2x ¡ 1 2x ¡ 1 I= 3 ¡ 3x + 2 dx = (2x + 1) dx + 3 ¡ 3x + 2 dx x x Assim sendo, precisamos apenas estudar integrais de fun»oes racionais pr¶prias, isto c~ o ¶, fun»oes racionais em que o grau do numerador ¶ menor que o grau do denominador. e c~ e 19.2.1 Decompondo fun»~es racionais em fra»~es parciais co co Primeiro caso. O denominador tem ra¶ ³zes reais, distintas entre si. Suponhamos que na fun»~o racional pr¶pria p(x)=q(x) o denominador, sendo de grau ca o n, fatora-se em produtos lineares distintos q(x) = (x ¡ r1 )(x ¡ r2 ) ¢ ¢ ¢ (x ¡ rn ) ou ent~o a q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn ) tendo, os n fatores lineares, ra¶ distintas entre si. ³zes Ent~o aplicamos um resultado da ¶lgebra de fra»~es racionais que diz que, neste a a co caso, existem constantes A1 ; A2 ; : : : ; An , tais que p(x) p(x) A1 A2 An = = + + ¢¢¢ + q(x) (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) ¢ ¢ ¢ (an x + bn ) ax + b1 a2 x + b2 an x + bn sendo os coe¯cientes das fra»~es parciais, A1 ; A2 ; : : : ; An, determinados de maneira co unica. ¶ Neste caso, Z Z p(x) A1 An dx = dx + ¢ ¢ ¢ + dx q(x) a1 x + b1 an x + bn A1 An = ln ja1 x + b1 j + ¢ ¢ ¢ + ln jan x + bn j + C a1 an
  • 5. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 174 Z x2 ¡ 3 Exemplo 19.3 Calcular dx. (x2 ¡ 4)(2x + 1) Solu»~o. Come»amos fazendo ca c x2 ¡ 3 x2 ¡ 3 A B C = = + + (x2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1) x ¡ 2 x + 2 2x + 1 Para calcular os coe¯cientes A, B e C, somamos as tr^s fra»oes parciais µ direita, e c~ a igualando a soma µ fun»~o racional original. a ca x2 ¡ 3 A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2) = (x 2 ¡ 4)(2x + 1) (x ¡ 2)(x + 2)(2x + 1) Observando que os denominadores s~o iguais, devemos obter A, B e C de modo a a termos a igualdade (identidade) de polin^mios o x2 ¡ 3 = A(x + 2)(2x + 1) + B(x ¡ 2)(2x + 1) + C(x ¡ 2)(x + 2) Desenvolvendo o produto µ direita e comparando os coe¯cientes dos termos de mesmo a grau, chegaremos a tr^s equa»~es lineares nas inc¶gnitas A, B e C. Mas podemos tomar e co o um atalho. J¶ que os polin^mios µ esquerda e µ direita s~o iguais, eles tem o mesmo a o a a a valor para cada x real. Tomando x = ¡2, obtemos B(¡2 ¡ 2)(¡4 + 1) = 1, e ent~o B = 1=12. a Tomando x = 2, obtemos A ¢ 20 = 1, e ent~o A = 1=20. a Tomando x = ¡1=2, obtemos C(¡ 1 ¡ 2)(¡ 1 + 2) = ¡15=4, e ent~o C = 11=15. 2 2 a Repare que os valores de x, estrategicamente escolhidos, s~o as ra¶ de a ³zes (x2 ¡ 4)(2x + 1). Assim, Z Z Z Z x2 ¡ 3 1=40 1=12 11=15 dx = dx + dx + dx (x2 ¡ 4)(2x + 1) x¡2 x+2 2x + 1 1 1 11 = ln jx ¡ 2j + ln jx + 2j + ln j2x + 1j + C 40 12 30 Segundo caso. O denominador tem somente ra¶ ³zes reais, mas algumas ra¶ ³zes m¶ltiplas. u No pr¶ximo exemplo ilustramos uma decomposi»~o, em fra»~es parciais, de uma fun»~o o ca co ca racional pr¶pria, cujo denominador tem apenas ra¶ reais, tendo por¶m ra¶ m¶ltiplas. o ³zes e ³zes u Z x2 Exemplo 19.4 Calcular dx. (2x ¡ 1)(x + 1)3
  • 6. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 175 Aqui, a raiz ¡1, do denominador, ¶ de multiplicidade 3. A decomposi»~o, em fra»~es e ca co parciais, que funciona neste caso, ¶ da forma e x2 A B C D = + + + (2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x + 1 na qual teremos A, B, C e D determinados de maneira unica. ¶ Como antes, primeiramente somamos as fra»~es parciais: co x2 A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2 = (2x ¡ 1)(x + 1)3 (2x ¡ 1)(x + 1)3 Tendo µ esquerda e µ direita o mesmo denominador, teremos: a a A(x + 1)3 + B(2x ¡ 1) + C(2x ¡ 1)(x + 1) + D(2x ¡ 1)(x + 1)2 Quando x = ¡1, temos ¡3B = 4, logo B = ¡4=3. 27 Quando x = 1=2, temos A ¢ 8 = 1 , logo A = 2=27. 4 Tendo esgotado, para valores de x, as ra¶ de (2x ¡ 1)(x + 1)3 , tomamos agora ³zes valores de x que n~o produzam, em nossos c¶lculos, valores num¶ricos muito grandes. a a e Tomando x = 0, temos A ¡ B ¡ C ¡ D = 0, e tomando x = 1, temos 8A + B + 2C + 4D = 1. Logo, ( 38 C +D = 27 52 2C + 4D = 27 31 7 e ent~o C = a 27 , D= 27 . Assim, Z Z Z Z Z x2 2=27 ¡4=3 31=27 7=27 dx = dx + dx + dx + dx (2x ¡ 1)(x + 1)3 2x ¡ 1 (x + 1)3 (x + 1)2 x+1 1 2 31 7 = ln j2x ¡ 1j + 2 ¡ + ln jx + 1j + C 27 3(x + 1) 27(x + 1) 27 Como um outro exemplo de decomposi»~o em fra»~es parciais, em um caso de ca co ra¶ reais m¶ltiplas no denominador, se tivermos que calcular ³zes u Z x3 ¡ 2x + 1 dx (3x ¡ 2)2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x) devemos primeiramente fazer x3 ¡ 2x + 1 A B C D E F 2 (5x + 1)3 (1 ¡ 7x) = + + + + + 2 3x ¡ 2 (5x + 1)3 (5x + 1)2 5x + 1 1 ¡ 7x (3x ¡ 2) (3x ¡ 2)
  • 7. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 176 Terceiro caso. O denominador tem ra¶ ³zes complexas n~o reais. a Um terceiro caso de decomposi»~o, em fra»~es parciais, ocorre quando o denominador ca co a ³veis (fatores de grau 2 sem ra¶ reais), como no exemplo tem fatores quadr¶ticos irredut¶ ³zes p(x) 3x2 ¡ x = q(x) (x ¡ 2)3 (x2 + x + 4)(x2 + 1) em que x2 + x + 4 e x2 + 1 n~o tem ra¶ reais. a ³zes Neste caso, devemos fazer 3x2 ¡ x A B C Dx + E Fx + G = + + + 2 + 2 (x ¡ 2)2 (x2 + x + 4)(x2 + 1) (x ¡ 2)3 (x ¡ 2)2 x¡2 x +x+4 x +1 e proceder tal como antes, na busca dos coe¯cientes A a G. Ou seja, na decomposi»~o em fra»~es parciais, para os fatores lineares no denomi- ca co nador seguimos as regras anteriores, mas sobre cada fator quadr¶tico vai um polin^mio a o do primeiro grau M x + N . E se tivermos, no denominador, pot^ncias de fatores quadr¶ticos irredut¶ Z e a ³veis, tal x5 + 3x ¡ 5 como na integral dx ? (x2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5) Neste caso, notando que x2 + 3x ¡ 5 e x2 + 2 n~o tem ra¶ reais, fazemos a ³zes x5 + 3x ¡ 5 Ax + B Cx + D = 2 + 2 (x 2 ¡ 3x + 4)2 (x2 + 2)3 (3x ¡ 5) (x ¡ 3x + 4)2 x ¡ 3x + 4 Ex + F Gx + H Ix + J K + 2 + 2 + 2 + (x + 2)3 (x + 2)2 x +2 3x ¡ 5 Este ¶ um c¶lculo deveras longo. Na pressa, devemos recorrer a uma boa t¶bua de e a a integrais ou um bom aplicativo computacional. Observa»~o 19.1 Na verdade, esse tipo de decomposi»~o funciona mesmo se os fatores ca ca quadr¶ticos tem ra¶ a ³zes reais, desde que estas n~o sejam ra¶ a ³zes de outros fatores do denominador. Z x3 ¡ 2 Por exemplo, no c¶lculo de a dx, podemos fazer a decom- (x2 ¡ 4)(2x + 1) posi»~o ca x2 ¡ 3 Ax + B C = 2 + (x 2 ¡ 4)(2x + 1) x ¡4 2x + 1 e ir µ busca dos coe¯cientes A, B e C, como anteriormente. a
  • 8. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 177 Z Mx + N A integral dx (ax2 + bx + c)n Z Mx + N Ainda resta esclarecer como lidar com integrais do tipo dx (a > 0), (ax2 + bx + c)n em que o trin^mio ax2 + bx + c n~o tem ra¶ reais. o a ³zes Adotando o procedimento estudado na se»~o 18.1, aula 18, completamos o quadra- ca do no trin^mio ax2 + bx + c, colocando-o na forma a(x + ®)2 + ¯, e pela mudan»a de o c vari¶vel u = x + ®, du = dx, chegaremos a a Z Z Z Z Mx + N ¸u + ° u du du dx = du = ¸ +° (ax 2 + bx + c)n (u 2 + k 2 )n (u2 + k 2 )n (u2 + k 2 )n para certos coe¯cientes ¸ e °. R A integral I = (u2u du2 )n ¶ calculada mediante uma mudan»a de vari¶vel simples: +k e c a R dt t = u2 + k 2 , dt = 2u du, u du = 1 dt, e ent~o I = 1 tn . 2 a 2 R J¶ o c¶lculo da integral J = (u2 +k2 )n requer uma substitui»~o trigonom¶trica. a a du ca e √ u2 + k 2 u θ k Fazemos u = k tg µ, du = k sec2 µ dµ. Teremos p k u2 +k2 = cos µ, e ent~o a Z Z cos2n µ 1 J= sec2 µ dµ = 2n¡1 cos2n¡2 µ dµ k 2n a e fazemos o uso da f¶rmula de recorr^ncia o e Z 1 m¡1 cos x dx = cosm¡1 x sen x + m cosm¡2 x dx m m Z Mx + N F¶rmulas de recorr^ncia para o e dx (ax2 + bx + c)n Uma boa t¶bua de integrais nos fornecer¶ a a Z Z dx x 2n ¡ 3 dx = 2 + 2 (19.1) (x2 + k 2 )n 2k (n ¡ 1)(x 2 + k 2 )n¡1 2k (n ¡ 1) (x2 + k 2 )n¡1
  • 9. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 178 bem como tamb¶m (aqui ¸ pode ser uma constante negativa) e Z Z dx x 2n ¡ 3 dx = + (19.2) (x2 + ¸)n 2¸(n ¡ 1)(x2 + ¸)n¡1 2¸(n ¡ 1) (x2 + ¸)n¡1 De um modo mais geral, encontramos tamb¶m, em uma boa t¶bua de integrais, e a o seguinte resultado. Sendo a > 0, n ¸ 2, e ¢ = b2 ¡ 4ac 60, = Z Z dx ¡(2ax + b) ¡2a(2n ¡ 3) dx 2 + bx + c)n = 2 + bx + c)n¡1 + 2 + bx + c)n¡1 (ax ¢ ¢ (n ¡ 1)(ax ¢ ¢ (n ¡ 1) (ax (19.3) Tamb¶m encontramos e Z Z 2a (2ax + b) + (N ¡ 2a ) M b Mx + N dx = dx (ax2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n Z µ ¶Z M (2ax + b) dx b dx = + N¡ (19.4) 2a (ax2 + bx + c)n 2a (ax2 + bx + c)n Z Z (2ax + b) dx du sendo 2 + bx + c)n = pela substitui»~o u = ax2 + bx + c, du = (2ax + b) dx. ca (ax u 19.3 Problemas Substitui»~es trigonom¶tricas co e Calcule as seguintes integrais, atrav¶s de substitui»oes trigonom¶tricas. e c~ e R p a2 ¡x2 p a2 ¡x2 1. x2 dx. Resposta. ¡ x ¡ arc sen x + C. a R p 1+x2 2. pdx x2 1+x2 . Resposta. ¡ x + C. R p x2 ¡a2 p 3. x dx. Resposta. x2 ¡ a2 ¡ a arccos x + C. a R 4. p dx . Resposta. px + C. (a2 +x2 )3 a2 a2 +x2 Integra»~o de fun»~es racionais ca co Calcule as seguintes integrais de fun»~es racionais. Trabalhe todos os c¶lculos, evitando co a usar as f¶rmulas de recorr^ncia do fechamento da aula. o e
  • 10. Substituicoes trigonom¶tricas e funcoes racionais »~ e »~ 179 R ¯ ¯ ¯ 3¯ 1. 2x¡1 (x¡1)(x¡2) dx. Resposta. ln ¯ (x¡2) ¯ + C. x¡1 R ¯ ¯ 1 ¯ (x+3)6 ¯ 2. x dx (x+1)(x+3)(x+5) . Resposta. 8 ln ¯ (x+5)5 (x+1) ¯ + C. R ¯ ¯ x4 dx x2 ¯ x¡1 ¯ 1 16 3. (x2 ¡1)(x+2) . Resposta. 2 ¡ 2x + ln ¯ (x+1)3 ¯ + 6 3 ln jx + 2j + C. R ¯ ¯ 4. dx (x¡1)2 (x¡2) . Resposta. 1 x¡1 + ln ¯ x¡2 ¯ + C. x¡1 R 2 5. x¡8 x3 ¡4x2 +4x dx. Resposta. 3 x¡8 + ln (x¡2) + C. x2 R jxj 6. dx x(x2 +1) . Resposta. ln px2 +1 + C. R 1 (x+1) 2 1 7. dx x3 +1 . Resposta. 6 ln x2 ¡x+1 + p 3 arc tg 2x¡1 + C. p 3 R 2 8. 4x2 ¡8x (x¡1)2 (x2 +1)2 dx. Resposta. 3x2 ¡1 (x¡1)(x2 +1) + ln (x¡1) + arc tg x + C. x2 +1 Recorr^ncia em integrais de fun»~es racionais e co Use as f¶rmulas de recorr^ncia 19.1 a 19.4 para mostrar que o e Z 2x ¡ 1 ¡2x ¡ 16 3x 3 x 1. dx = ¡ ¡ arc tg + C (x2 + 4)3 32(x2 + 4)2 128(x2 + 4) 256 2 Z dx 2. (x2 ¡ 4x + 5)4 2x ¡ 4 5(2x ¡ 4) 5(2x ¡ 4) 5 = + + + arc tg(x¡2)+C 12(x2 ¡ 4x + 5)3 48(x2 ¡ 4x + 5)2 32(x2 ¡ 4x + 5) 16