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  1. 1. Aula 14Taxas relacionadas. Diferenciais14.1 Taxas relacionadasNa linguagem do c¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa a a e ca a dude varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada ca a ca e . dv Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o rela- a a a acionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ), ca catemos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si. a Se temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o, a capodemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶ e co ¶ a ca ³cita,ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e a ca a ds dsdw du dv ds , ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezasvari¶veis est~o inter-relacionadas, e nos quais s~o levadas em conta as taxas de varia»~es a a a coinstant^neas, de algumas grandezas em rela»~o a outras, s~o chamados, na literatura a ca ado c¶lculo, de problemas de taxas relacionadas. aExemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio dotopo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»a a encher-se cde ¶gua, a uma vaz~o constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que a asobe o n¶ da ¶gua (dh=dt), em fun»~o da profundidade h. Com que velocidade a ³vel a ca¶gua sobe no instante em que h = 0 ?a 1Solu»~o. O volume da ¶gua quando esta tem profundidade h ¶ dado por V = 3 ¼r2 h, ca a esendo r o raio da superf¶ (circular) da ¶gua. Veja ¯gura 14.1. ³cie a Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~es de semelhan»a de o ctri^ngulos, temos r=R = h=H, da¶ r = Rh=H. a ³ 117
  2. 2. Taxas relacionadas. Diferenciais 118 R R r H r H h h Figura 14.1. Assim sendo, obtemos µ ¶2 1 Rh ¼R2 3 V = ¼ h= h 3 H 3H 2A taxa de varia»~o do volume de ¶gua no tempo, isto ¶, sua vaz~o, ¶ constante, ou seja ca a e a edV = k (litros por minuto).dt dV dV dh dV Por deriva»~o em cadeia, temos ca = ¢ . Como = k, temos ent~o a dt dh dt dt ¼R2 2 dh dh kH 2 1 k= h ¢ , ou seja, = ¢ H2 dt dt ¼R2 h2 Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶ da ¶gua ¶ inversamente ³vel a eproporcional ao quadrado de sua profundidade. Quando h = 0, temos, dh = +1. Na pr¶tica, este resultado nos diz que nossa dt amodelagem matem¶tica n~o nos permite determinar a velocidade de subida da ¶gua no a a ainstante em que o tanque come»a a encher-se. cExemplo 14.2 Uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma parede. A abase da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg.Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶ aa 3 m da parede ?Solu»~o. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama geom¶trico para o problema, em que deno- ca etamos por x e y as dist^ncias da base e do topo da escada µ base da parede, respecti- a avamente. dx Temos = 2 (cm/seg). dt
  3. 3. Taxas relacionadas. Diferenciais 119 escada vista de perfil y 5 x Figura 14.2. Pelo teorema de Pit¶goras, x2 +y 2 = 25, da¶ derivando implicitamente em rela»~o a ³, ca dx dya t, temos 2x ¢ + 2y ¢ = 0, ou seja, dt dt dy dx y¢ = ¡x ¢ dt dt dy Quando x = 3 m = 300 cm, temos y = 4 m = 400 cm, e ent~o a = ¡1;5 cm/seg. dt Nesse instante, a velocidade com que o topo da escada cai ¶ 1;5 cm/seg. e14.2 DiferenciaisQuando uma fun»~o f (x) ¶ deriv¶vel em um ponto x0 , temos ca e a f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) lim = f 0 (x0 ) ¢x!0 ¢xAssim, se chamamos f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) ¡ f 0 (x0 ) = " ¢xteremos lim " = 0. ¢x!0 Assim, sendo ¢f = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ), temos ¢f = f 0 (x0 )¢x + " ¢ ¢x. Como " ¼ 0 quando j¢xj ¶ su¯cientemente pequeno, temos, para um tal ¢x, a eaproxima»~o ca ¢f ¼ f 0 (x0 ) ¢ ¢x
  4. 4. Taxas relacionadas. Diferenciais 120Chama-se diferencial de f em x0 a express~o simb¶lica a o df(x0 ) = f 0 (x0 ) dxO produto f 0 (x0 ) ¢ ¢x ¶ o valor da diferencial de f no ponto x0 , df (x0 ), quando edx = ¢x.A express~o dx, diferencial da vari¶vel x, pode assumir qualquer valor real. A im- a aport^ncia da diferencial ¶ que quando dx = ¢x e este ¶ su¯cientemente pequeno, a e etemos ¢f ¼ dfou, mais explicitamente, f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) ¼ f 0 (x0 )¢xe em geral, ¶ mais f¶cil calcular f 0 (x0 ) ¢ ¢x do que f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ). e a Nos prim¶rdios do c¶lculo, matem¶ticos diziam que dx seria uma varia»~o in- o a a ca¯nitesimal" de x, atribu¶ a x0 , e que df (x0 ) seria a varia»~o in¯nitesimal, sofrida por ³da caf (x0 ), correspondente µ varia»~o dx atribu¶ a x0 . Esses matem¶ticos chegavam a a ca ³da aescrever f (x + dx) ¡ f (x) = f 0 (x) dx". Ainda hoje, muitos textos de c¶lculo para ci^ncias f¶ a e ³sicas, referem-se a um ele-mento de comprimento dx," um elemento de carga el¶trica dq," um elemento de emassa dm," um elemento de ¶rea dA," etc., quando querem referir-se a quantidades ain¯nitesimais" dessas grandezas. Na ¯gura 14.3 temos uma interpreta»~o geom¶trica da diferencial de uma fun»~o ca e caf em um ponto x0 , quando dx assume um certo valor ¢x. y P f( x 0 + ∆ x) t Q ∆y P0 dy f( x 0) x0 x0 + ∆ x x dx = ∆xFigura 14.3. Note que, quanto menor ¢x, melhor a aproxima»~o dy ¼ ¢y. Na ¯gura, cat ¶ a reta tangente ao gr¶¯co de f no ponto (x0 ; f (x0 )). As coordenadas do ponto Q, e asobre a reta t, s~o x0 + ¢x e f (x0 ) + f 0 (x0 )¢x (veri¯que). a
  5. 5. Taxas relacionadas. Diferenciais 121Sumarizando, quando x sofre uma varia»~o ¢x, ca 1. ¢y = f (x + ¢x) ¡ f(x) ¶ a varia»~o sofrida por f (x); e ca 2. dy = f 0 (x)¢x ¶ a diferencial de f, em x, para dx = ¢x; e 3. ¢y ¼ dy, se ¢x ¶ su¯cientemente pequeno. eConvenciona-se dizer ainda que ¢x 4. ¶ a varia»~o relativa de x, correspondente µ varia»~o ¢x; e ca a ca x ¢y dy 5. ¼ ¶ a varia»~o relativa de y = f(x), correspondente µ varia»~o ¢x, e ca a ca y y sofrida por x.Exemplo 14.3 Mostre que se h ¶ su¯cientemente pequeno, vale a aproxima»~o e ca p h a2 + h ¼ a + (a > 0) 2a p pCom tal f¶rmula, calcule valores aproximados de o 24 e 104. Compare com resultadosobtidos em uma calculadora. pSolu»~o. Sendo y = f (x) = ca x, usamos a aproxima»~o ¢y ¼ dy. ca 1 Temos ¢y = f(x + ¢x) ¡ f (x) e dy = f 0 (x) dx = p dx. 2 x Tomando x = a2 e dx = ¢x = h, teremos p p a2 + h ¡ a2 ¼ 2a , e portanto h p h a2 + h ¼ a + 2aTemos ent~o a p p ¡1 24 = 52 + (¡1) ¼ 5 + = 4;9, e 2¢5 p p 4 104 = 102 + 4 ¼ 10 + = 10;2. 2 ¢ 10 p p ³amos 24 ¼ 4;898979 e 104 ¼ 10;198039. Por uma calculadora, obter¶ Dizemos que um n¶mero real x est¶ representado em nota»~o cient¶ u a ca ³¯ca quandoescrevemos x na forma x = a ¢ 10 , com 1 · jaj < 10 e n inteiro (positivo ou negativo). nAssim, por exemplo, em nota»~o cient¶ ca ³¯ca temos os n¶meros 2; 46 ¢ 10¡5 e 4; 584 ¢ 1011 , uenquanto que, convertendo µ nota»~o cient¶ a ca ³¯ca os n¶meros ¡0; 023 ¢ 108 e 452; 36 ¢ 103 , uteremos ¡0;023 ¢ 108 = ¡2;3 ¢ 106 , e 452;36 ¢ 103 = 4;5236 ¢ 105 .
  6. 6. Taxas relacionadas. Diferenciais 122 1 1Exemplo 14.4 Estimar, em nota»~o cient¶ ca ³¯ca, uma aproxima»~o de ca ¡ 2, (n + 1)2 nquando n = 1028 .Solu»~o. (uma calculadora pode n~o dar conta desta tarefa) ca a 1 2 Sendo f (x) = 2 , temos df = ¡ 3 dx. x x 1 1 ¡ 2 = f (n + 1) ¡ f (n) = ¢f , para x = n e ¢x = 1. (n + 1)2 n Pela aproxima»~o ¢f ¼ df , teremos, quando n = 1028 , ca 2 ¡2 ¢f ¼ f 0 (n)¢x = ¡ 3 = 84 = ¡2 ¢ 10¡84 . n 10Exemplo 14.5 Quando estima-se que a medida de uma grandeza ¶ M unidades, com eposs¶ erro de E unidades, o erro relativo dessa medi»~o ¶ E=M. O erro relativo da ³vel ca emedi»~o indica o erro m¶dio (cometido na medi»~o) por unidade da grandeza. ca e ca O raio r de uma bolinha de a»o ¶ medido, com a medi»~o sujeita a at¶ 1% de c e ca eerro. Determine o maior erro relativo que pode ocorre na aferi»~o de seu volume. caSolu»~o. O volume de uma bola de raio r ¶ dado por V = 4 ¼r3 . ca e 3 Sendo V = 4 ¼r3 , temos dV = 4¼r2 dr. 3 O erro ¢V , na aferi»~o do volume, correspondente ao erro ¢r na medi»~o do ca caraio, quando ¢r ¶ bem pequeno, ¶ aproximadamente dV . Temos ent~o e e a ¢V dV 4¼r2 (¢r) 3¢r ¼ = = V V (4=3)¼r 3 rPara ¢r = §0;01 (erro m¶ximo relativo na medi»~o do raio), temos r a ca ¢V V ¼ §0;03, eportanto 3% ¶ o maior erro poss¶ na medi»~o do volume. e ³vel caObserva»~o 14.1 Se o gr¶¯co de f afasta-se muito rapidamente da reta tangente ao ca aponto (x0 ; f (x0 )), quando x afasta-se de x0 , a aproxima»~o ¢y ¼ dy pode falhar, quan- cado tomamos um valor de ¢x que julgamos su¯cientemente pequeno, por n~o sabermos aqu~o su¯cientemente pequeno" devemos tom¶-lo. Isto pode ocorrer quando a derivada a af 0 (x0 ) tem valor absoluto muito grande. Como um exemplo, seja f (x) = x100 . Temos f (1;08) = (1;08)100 ¼ 2199;76, por uma calculadora con¯¶vel (con¯ra). a No entanto, o uso de diferenciais nos d¶ f (1+¢x) ¼ f (1)+f 0 (1)¢x = 1+100¢x, ae portanto, para ¢x = 0;08, f (1;08) ¼ 1 + 100 ¢ 0;08 = 9. A raz~o dessa discrep^ncia ¶ que f 0 (1) = 100, o que torna o gr¶¯co de f com a a e aalta inclina»~o no ponto x0 = 1. Nesse caso, somente um valor muito pequeno de ¢x ca
  7. 7. Taxas relacionadas. Diferenciais 123torna v¶lida a aproxima»~o ¢f ¼ df . Por exemplo, (1;0005)100 ¼ 1;0513, por uma a cacalculadora, enquanto que, (1;0005)100 ¼ 1; 05, pela aproxima»~o ¢f ¼ df . ca14.3 Problemas14.3.1 Problemas sobre taxas relacionadas 1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 5 m e raio da base (isto ¶, do topo) de 1 m. O tanque se enche da ¶gua µ taxa de 2 m3 /min. Com que e a a velocidade sobe o n¶ da ¶gua no instante em que ela tem 3 m de profundidade ? ³vel a 50 Resposta. 9¼ m/min ¼ 1; 77 m/min. 2. O g¶s de um bal~o esf¶rico escapa µ raz~o de 2 dm3 /min. Mostre que a taxa de a a e a a varia»~o da superf¶ S do bal~o, em rela»~o ao tempo, ¶ inversamente propor- ca ³cie a ca e cional ao raio. Dado. A superf¶ de um bal~o de raio r tem ¶rea S = 4¼r2 . ³cie a a 3. Considere um avi~o em v^o horizontal, a uma a o altura h em rela»~o ao solo, com velocidade ca constante v, afastando-se de um observador A que se encontra em terra ¯rme. Seja µ a ele- h va»~o angular do avi~o, em rela»~o ao solo, a ca a ca A θ partir do observador. Determine, como fun»~o ca de µ, a taxa de varia»~o de µ em rela»~o ao ca ca tempo. Resposta. dµ = ¡ h sen µ. dt v 4. Um ponto m¶vel desloca-se, em um sistema de coordenadas cartesianas, ao longo o da circunfer^ncia x2 +y 2 = r2 (r constante) com uma velocidade cuja componente e em x ¶ dada por dx = y (cm/seg). Calcule a componente da velocidade em y, e dt dy dt . Seja µ o deslocamento angular desse ponto m¶vel, medido a partir do ponto o (1; 0) no sentido anti-hor¶rio. Calcule a velocidade angular dµ . Em que sentido a dt o ponto se desloca sobre a circunfer^ncia, no sentido hor¶rio ou no anti-hor¶rio ? e a a Respostas. dt = ¡x, dt = ¡1 (rad/seg), portanto o ponto se desloca no sentido dy dµ anti-hor¶rio. a 5. Prende-se a extremidade A de uma haste de 3 m de comprimento a y A uma roda de raio 1 m, que gira no sentido anti-hor¶rio µ taxa de 0; 3 a a 1m 3m radianos por segundo. A outra ex- θ B tremidade da haste est¶ presa a um a 0 x anel que desliza livremente ao longo x de um outra haste que passa pelo contro da roda. Qual ¶ a velocidade e do anel quando A atinge a altura m¶xima ? Resposta. ¡0; 3 m/seg. a
  8. 8. Taxas relacionadas. Diferenciais 124 6. No exemplo 14.2, uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma a parede. Mostre que ¶ ¯sicamente imposs¶ manter a base da escada escorregan- e ³vel do-se, afastando-se da parede a uma velocidade constante, at¶ o momento em que e o topo da escada toque o ch~o. Sugest~o. Avalie a velocidade com que o topo da a a escada toca o ch~o. a14.3.2 Problemas sobre diferenciais 1. Se w = z 3 ¡ 3z 2 + 2z ¡ 7, use a diferencial dw para obter uma aproxima»~o da ca varia»~o de w quando z varia de 4 a 3; 95. Resposta. ¢w ¼ ¡1; 30. ca 2. Estima-se em 8 polegadas o raio de um disco plano circular, com margem de erro de §0; 06 polegadas. Ulizando diferenciais, estime a margem de erro no c¶lculo da a ¶rea do disco (uma face). Qual ¶ o erro relativo no c¶lculo dessa ¶rea ? Resposta. a e a a ¢A ¼ dA = 3; 84¼ polegadas quadradas, com erro relativo de 1; 5%. p 3. Usando diferenciais, deduza a f¶rmula aproximada 3 a3 + h ¼ a + 3a2 . Utilize-a o h p p para calcular aproxima»~es de 3 63 e 3 65. (Compare com os resultados obtidos co em uma calculadora eletr^nica.) Respostas. 3; 98 e 4; 02. o 4. Mostre que aplicando-se uma ¯na camada de tinta de espessura h, µ superf¶ de a ³cie uma bola esf¶rica de ¶rea externa S, o volume da esfera sofre um acr¶scimo de e a e aproximadamente S ¢ h. 5. A ¶rea A de um quadrado de lado s ¶ dada por s2 . Para um acr¶scimo ¢s de s, a e e ilustre geometricamente dA e ¢A ¡ dA. Resposta. dA ¶ a ¶rea da regi~o sombreada. e a a ¢A ¡ dA ¶ a ¶rea do quadrado menor, que e a ∆s aparece no canto superior direito. s

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