estatística aplicada derivada integral

1. ACH2053 – Introdução à Estatı́stica
Aula 05: Derivada e Integral
Valdinei Freire
valdinei.freire@usp.br
http://www.each.usp.br/valdinei
Escola de Artes, Ciências e Humanidades - USP
2023
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2. Inclinação da Reta
Seja m a inclinação da reta, então:
m = tan θ =
∆y
∆x
Então, para uma reta y(x) = ax + b, temos:
m =
∆y
∆x
=
y(x1) − y(x2)
x1 − x2
=
ax1 + b − ax2 − b
x1 − x2
= a
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3. Derivada
A derivada f0(x) calcula a inclinação m(x) de uma curva f(x) em
qualquer ponto x, isto é,:
f0
(x) = m(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
Por exemplo, se f(x) = x2, então:
f0(x) = lim∆x→0
f(x+∆x)−f(x)
∆x = lim∆x→0
x2+2x∆x+(∆x)2−x2
∆x
= lim∆x→0
∆x(2x+∆x)
∆x = lim∆x→0 2x + ∆x = 2x
Notação de Leibniz para derivada:
f0
=
df
dx
e f0
(x) =
d
dx
f(x)
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4. Derivadas Frequentes
Função f(x) Derivada Função f0(x)
c (constante) 0
xn nxn−1
sin(x) cos(x)
cos(x) − sin(x)
ex = exp(x) ex = exp(x)
ln x 1/x
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5. Regras de derivação
Regra da soma:
d
dx
(αf + βg) = αf0
+ βg0
Regra do produto:
d
dx
(fg) = f0
g + fg0
Regra do Cociente:
d
dx
f
g
=
f0g − fg0
g2
Regra da Cadeia:
d
dx
(f(g(x))) = f0
(g(x))g0
(x)
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6. Exercı́cios
Calcule as derivadas das seguintes funções:
1. f(x) = x3 + 2x
2. f(x) =
√
x
3. f(x) = x3e2x
4. f(x) = ln x
x2
5. f(x) = ln(2x2 + 3)
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7. Derivadas de Ordem Superior
Pode-se também definir derivadas de ordem superior, como a derivada
segunda de f(x) no ponto x, representada por f00(x) = (f0(x))0, ou, na
notação de Leibniz:
d
dx
df
dx
=
d2f
dx2
Da mesma forma que a primeira deriva de f(x) indica a taxa de
crescimento em x, a segunda derivada indica a taxa de crescimento em
f0(x).
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8. Exercı́cios
1. Calcule a terceira derivada para: f(x) = x3 + 2x
2. Calcule a segunda derivada para: f(x) =
√
x
3. Calcule a segunda derivada para: f(x) = x3e2x
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9. Pontos Crı́ticos
Valores de x nos quais f0(x) = 0 são pontos crı́ticos.
Seja xc um ponto crı́tico, então:
I se f00(xc) 0, f(xc) é um mı́nimo local;
I se f00(xc) 0, f(xc) é um máximo local; e
I se f00(xc) = 0, f(xc) nada se pode concluir.
Para encontrar o máximo ou mı́nimo global, deve-se analisar f(x) em
todos os pontos crı́ticos, mas também nos pontos de descontinuidade de
f(x) e f0(x).
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10. Exercı́cios
Encontre os máximos e mı́nimos locais das funções abaixo:
1. f(x) = x3 + 3x2
2. f(x) =
√
x
3. f(x) = x3e2x
4. f(x) = ln x
x2
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11. Integral Indefinida
Considere a tarefa de, dada uma função (derivada) f(x), encontrar uma
função (primitiva) F(x) tal que F0(x) = f(x). F(x) é a primitiva (ou
anti-derivada) de f(x). A operação de inverter a derivação é a integração
(indefinida) e é denotada da seguinte forma:
F(x) =
Z
f(x)dx
Exemplos:
I
R
x2dx = 1
3x3 + c
I
R 1
xdx = ln x + c
I
R
e2xdx = 1
2e2x + c
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12. Integral Definida
Uma motivação para o uso de integral é o cálculo da área limitada entre
uma curva y = f(x), o eixo-x e as retas verticais que passam pelos pontos
x = a e x = b.
Essa área é denotada pela integral definida da função f(x) em [a, b]:
Z b
a
f(x)dx
onde f(x) é o integrando e [a, b] é o limite de integração.
Teorema Fundamental do Cálculo integral:
Z b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)
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13. Propriedades de Integração
Seja f(x) e g(x) duas funções integráveis em [a, b], então:
I
R b
a [f(x) + g(x)]dx =
R b
a f(x)dx +
R b
a g(x)dx
I
R b
a [cf(x)]dx = c
R b
a f(x)dx
I
R b
a f(x)dx =
R c
a f(x)dx +
R b
c f(x)dx
I
R b
a f(x)dx = −
R a
b f(x)dx
I
R a
a f(x)dx = 0
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14. Métodos de Integração
Integração por Substituição:
Z
f[g(x)]g0
(x)dx = F[g(x)] + C
Calcule:
I
R
x cos(x2)dx
I
R
xex2
dx
I
R x2
x3+1
dx
I
R
sin(x
2 )dx
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15. Métodos de Integração
Integração por Partes:
Z
f(x)g0
(x)dx = f(x)g(x) −
Z
f0
(x)g(x)dx
Calcule:
I
R
x cos(x)dx
I
R
x ln(x)dx
I
R
(2x − 1)exdx
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16. Integral Imprópria
Uma integral definida é chamada de Imprópria em dois casos:
I quando o intervalo [a, b] é infinito
Z ∞
a
f(x)dx ou
Z b
−∞
f(x)dx ou
Z ∞
−∞
f(x)dx
I quando a função f(x) tem uma descontinuidade infinita em [a, b].
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17. Integral Imprópria
As integrais imprópria são definidas como limites de integrais em intervalos
finitos
I considere o intervalo [a, ∞)
Z ∞
a
f(x)dx = lim
b→∞
Z b
a
f(x)dx
I considere o intervalo [a, b] e f(x) descontı́nua em b
Z b
a
f(x)dx = lim
c→b−
Z c
a
f(x)dx
Se os limites existem, as integrais imprópria são chamadas de
convergentes; caso contrário, são divergentes.
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18. Exercı́cios
Calcule:
I
R 1
0
1
x2 dx e
R ∞
1
1
x2 dx
I
R 1
0
1
xdx e
R ∞
1
1
x dx
I
R 1
0
1
√
x
dx e
R ∞
1
1
√
x
dx
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