Calculo1 aula11

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Calculo1 aula11

  1. 1. Aula 11Fun»~es trigonom¶tricas e o co eprimeiro limite fundamental"Nesta aula estaremos fazendo uma pequena revis~o de fun»oes trigonom¶tricas e apre- a c~ esentando um limite que lhes determina suas derivadas.11.1 Pequena revis~o de trigonometria a11.1.1 Trigonometria geom¶trica eConsideremos os tri^ngulos ABC e A0 B 0 C 0 da ¯gura 11.1. Os dois tri^ngulos s~o a a asemelhantes, pois seus ^ngulos internos s~o iguais (congruentes). Assim, temos a a AB AB 0 BC B0C 0 BC B0C 0 = ; = ; = AC AC 0 AC AC 0 AB AB 0 AB Assim, sendo ABC um tri^ngulo ret^ngulo, como na ¯gura 11.1 as raz~es a a o AC ,BC BC ^ e AB dependem somente da abertura µ = A.AC C C θ A B B Figura 11.1. Chamamos 93
  2. 2. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 94 AB cateto adjacente ao ^ngulo µ a cosseno de µ = cos µ = = AC hipotenusa BC cateto oposto ao ^ngulo µ a seno de µ = sen µ = = AC hipotenusa BC cateto oposto ao ^ngulo µ a tangente de µ = tg µ = = AB cateto adjacente ao ^ngulo µ a sen µ Deduz-se imediatamente que tg µ = . cos µ Da trigonometria do ensino m¶dio, s~o bem conhecidos os valores e a µ cos µ sen µ tg µ 0 1 0 0 p p 30± 3=2 1=2 1= 3 p p 45± 2=2 2=2 1 p p 60± 1=2 3=2 3 90± 0 1 n~o se de¯ne a _ Se P Q ¶ um arco de um c¶ e ³rculo de raio r, correspondente a um ^ngulo central de a _abertura ®, o comprimento c de P Q ¶ dado por e c = r ¢ (medida de ® em radianos) Q c O α r P Figura 11.2. c = r ¢ ® (quando ® ¶ medido em radianos). e _ Assim, o comprimento c do arco P Q ¶ diretamente proporcional a r e a ®. Quando e ±® = 360 , temos c = comprimento da circunfer^ncia = 2¼ ¢ r e Assim sendo, 360± = 360 graus = 2¼ radianos, ou seja 180± = ¼
  3. 3. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 95 _ Se r = 1 = uma unidade de comprimento, o comprimento c do arco P Q ¶ esimplesmente a medida de ® em radianos. A ¶rea do setor circular de ^ngulo central ® tamb¶m ¶ proporcional a ®. Quando a a e e® = 2¼, temos a ¶rea de um c¶ a ³rculo de raio r: A = ¼r2 . Assim, um setor circular de ® 2abertura ®, tem ¶rea A® = ¢ r (® em radianos). a 211.1.2 Trigonometria anal¶ ³ticaPara de¯nir as fun»~es trigonom¶tricas de vari¶vel real, consideramos um sistema carte- co e asiano ortogonal de coordenadas no plano. Nele, consideramos a circunfer^ncia de e 2 2equa»~o x + y = 1 (de centro em (0; 0) e raio 1). Esta circunfer^ncia ¶ o que ca e echamaremos de c¶ ³rculo trigonom¶trico. e Dado um n¶mero real ®, tomamos A = (1; 0) e demarcamos, no c¶ u ³rculo trigo-nom¶trico, um ponto P® tal que a medida do percurso de A a P® , sobre o c¶ e ³rculotrigonom¶trico, ¶ igual a j®j (¯gura 11.3). Teremos o percurso AP® passando uma ou e ev¶rias vezes pelo ponto A, quando j®j > 2¼. a _A partir do ponto A, o percurso AP® ¶ feito no sentido anti-hor¶rio (contr¶rio ao e a asentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® > 0, e ¶ feito no sentido hor¶rio o e a(no mesmo sentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® < 0. Tal percurso ¶ o eum arco orientado. Dizemos que ® ¶ a medida alg¶brica do arco orientado AP® . e e Assim, por exemplo, P¼ = P¡¼ = (¡1; 0), P¼=2 = (0; 1), P¡¼=2 = (0; ¡1), p p pP¼=4 = ( 2=2; 2=2), P¼=3 = ( 3=2; 1=2), e P0 = (1; 0) = P2¼ = P2n¼ , para cadainteiro n. Sendo ® 2 R, consideremos P® = (x® ; y® ), de¯nido como acima. De¯nimos x® = cos ® = cosseno de ®; y® = sen ® = seno de ® Para estendermos a de¯ni»~o de tangente de ® a arcos orientados ®, tomamos caum eixo y 0 , paralelo ao eixo y, de origem O0 = A, orientado positivamente para cima,no qual usaremos a mesma escala de medidas do eixo y. Sendo ® 2 R, consideramosa reta OP® . Se ® 6¼ § n¼, para todo n 2 Z, esta reta intercepta o eixo y 0 em T® . = 2Sendo t® a abcissa de T® no eixo y 0 , de¯nimos t® = tg ® = tangente de ® sen ®Assim sendo, tg ® = . cos ® Se 0 < ® < ¼=2, os valores cos ®, sen ®, e tg ® coincidem com aqueles dasde¯ni»~es geom¶tricas de cosseno, seno e tangente, dadas na se»~o 11.1.1. co e ca Tamb¶m de¯nem-se as fun»~es trigonom¶tricas e co e
  4. 4. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 96 y P = (x α ,y α ) α α x O A=(1,0) Figura 11.3. y y P Tα α α x O O = A Figura 11.4. No sistema Oxy, T® = (1; t® ) = (1; tg ®). cos ® cotangente de ® = cotg ® = (® 6n¼; 8n 2 Z) = sen ® 1 ¼ secante de ® = sec ® = (® 6 + n¼; 8n 2 Z) = cos ® 2 1 cossecante de ® = cosec ® = (® 6n¼; 8n 2 Z) = sen ® Na ¯gura 11.5, ilustramos geom¶tricamente as seis fun»~es trigonom¶tricas de um e co earco ® no primeiro quadrante, isto ¶, satisfazendo 0 < ® < ¼=2. e Listamos abaixo algumas f¶rmulas uteis, envolvendo as fun»oes trigonom¶tricas. o ¶ c~ e 2 2 2 2 2 2Aqui e sempre, cos a = (cos a) , sen a = (sen a) , tg a = (tg a) , etc. 1. cos2 a + sen2 a = 1 (isto porque x2 + ya = 1) a 2 2. 1 + tg2 a = sec2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por cos2 a) ca 1+cotg a = cosec a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por sen2 a) 2 2 ca
  5. 5. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 97 y y cotg α x P tg α cosec α 1 α sen α α A x O cos α sec α Figura 11.5. Geometria das seis fun»~es trigonom¶tricas, no primeiro quadrante. co e y 1 y = sen x -π 3 π /2 0 π /2 π 2π x -1 y y = cos x 1 - π /2 3π /2 0 π /2 π 2π x -1 y y = tg x 1 - π /2 3π /2 0 π /4 π /2 π x -1 Figura 11.6. Gr¶¯cos das fun»~es seno, cosseno e tangente. a co 3. sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a sen(a ¡ b) = sen a cos b ¡ sen b cos a
  6. 6. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 98 cos(a + b) = cos a cos b ¡ sen a sen b cos(a ¡ b) = cos a cos b + sen a sen b 4. cos(¡a) = cos a, sen(¡a) = ¡ sen a sen(¡a) ¡ sen a tg(¡a) = = = ¡ tg a cos(¡a) cos a 5. sen 2a = sen(a + a) = 2 sen a cos a cos 2a = cos(a + a) = cos2 a ¡ sen2 a ¡ ¢ ¡ ¢ 6. cos a = sen ¼ ¡ a , sen a = cos ¼ ¡ a 2 211.2 O primeiro limite fundamentalVamos admitir que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶ co e a ³nuas nos pontos onde est~o ade¯nidas. Na pr¶xima aula estaremos de¯nindo as fun»~es trigonom¶tricas inversas e cal- o co eculando as derivadas de todas as fun»~es trigonom¶tricas. Para calcular a derivada de co esen x, e ent~o calcular as derivadas das demais fun»~es trigonom¶tricas, deduziremos a co eprimeiramente o seguinte resultado, chamado na literatura do c¶lculo de primeiro limite afundamental.Proposi»~o 11.1 (Primeiro limite fundamental) ca sen x lim =1 x!0 xDemonstra»~o. Seja ® um n¶mero real, 0 < ® < ¼=2, e consideremos, no c¶ ca u ³rculo _trigonom¶trico, o arco AP de comprimento ®, sendo A = (1; 0) e P = P® . e Sejam P 0 a proje»~o ortogonal do ponto P no eixo x (P P 0 ? Ox), e T a interse»~o ca ca 0da reta OP com o eixo y das tangentes. _ Temos ent~o P P 0 < AP , ou seja sen ® < ®. a Al¶m disso, a ¶rea do setor circular AOP ¶ dada por A® = ® r2 = ® . e a e 2 2 tg ® A ¶rea do tri^ngulo OAT ¶ dada por ¢ = 1 OA ¢ AT = a a e 2 2 . tg ® Obviamente A® < ¢, da¶ ® < ³ 2 2 , e portanto ® < tg ®. Sumarizando, sendo 0 < ® < ¼=2, sen ® < ® < tg ®
  7. 7. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 99 y y T P 1 α x O P A Figura 11.7. ® tg ® 1Como sen ® > 0, temos ent~o 1 < a < = . Comparando os inversos sen ® sen ® cos ®dos tr^s termos, obtemos e sen ® cos ® < <1 ®Para ¡¼=2 < ® < 0 tamb¶m valem as desigualdades acima, j¶ que, se 0 < ® < ¼=2, e a sen(¡®) ¡ sen ® sen ®cos(¡®) = cos ® e = = . ¡® ¡® ® Agora faremos uso de um teorema sobre limites (que s¶ pode ser demonstrado a opartir de um tratamento formal da teoria de limites), o teorema do confronto ou teoremado sandu¶ ³che:Teorema 11.1 (Teorema do confronto, ou teorema do sandu¶ ³che) Sendo I ½R um intervalo, sendo a 2 I, e f , g e h fun»oes de¯nidas para x 2 I, x 6a, se c~ =f (x) · g(x) · h(x) para todo x 2 I; x 6a, e se lim f(x) = lim h(x) = L, ent~o = a x!a x!alim g(x) = L. Vale o mesmo resultado para limites laterais (neste caso, a pode ser ox!a extremo inferior ou superior do intervalo I). Vale o mesmo resultado se a = +1 ou ¡1. sen ® No nosso caso, temos f (®) = cos ®, g(®) = e h(®) = 1, todas de¯nidas ®para ¡¼=2 < ® < ¼=2, ® 60, satifazendo f(®) < g(®) < h(®). = Temos lim f(®) = lim cos ® = 1, e lim h(®) = lim 1 = 1. ®!0 ®!0 ®!0 ®!0 Portanto lim g(®) = 1, ou seja, ®!0 sen ® lim =1 ®!0 ® sen x Veremos adiante que o resultado lim = 1, primeiro limite fundamental, ¶ e x!0 ximprescind¶ para a dedu»~o das derivadas das fun»~es trigonom¶tricas. Note que as ³vel ca co e
  8. 8. »~ ¶Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 100desigualdades sen x < x < tg x, empregadas no c¶lculo desse limite, s¶ fazem sentido a ose x 2 R, quando ent~o jxj ¶ a medida de um arco orientado (em radianos), em um a ec¶ ³rculo trigonom¶trico. e ¡ ¢ 1 n O segundo limite fundamental ¶ aquele j¶ visto na aula 9, lim 1 + n = e. e a n!+111.3 Problemas sen x 1. Calcule os seguintes limites, lembrando-se de que lim x = 1. x!0 sen(x=3) sen ax sen2 2t sen x (a) lim (b) lim (c) lim (d) lim x!0 x x!0 bx t!0 t2 x!¼ x ¡ ¼ sen2 t 1 ¡ cos ax sen 3x (e) lim (f) lim x cotg x (g) lim (h) lim t!0 1 ¡ cos t x!0 x!0 bx x!0 sen 5x 2 sen x (i) lim x sen (j) lim (k) lim x ¢ cos(1=x) x!+1 x x!+1 x x!0 sen(x=3) sen(x=3) Respostas. (a) 1=3. Sugest~o. Fa»a lim a c x = lim 3 ¢ x=3 (b) a=b (c) 4 x!0 x!0 (d) ¡1. Sugest~o. Fa»a primeiramente a mudan»a de vari¶vel x ¡ ¼ = y. a c c a (e) 1. sen2 t sen2 t(1+cos t) Sugest~o. lim 1¡cos t = lim (1¡cos t)(1+cos t) (f) 1 (g) 0 (h) 3=5 (i) 2 a (j) 0. t!0 t!0 1 sen x 1 Sugest~o. Se x > 0, ¡ x · a x · x (k) 0. Sugest~o. Mostre que lim jx cos(1=x)j = a x!0 0, considerando que jx cos(1=x)j · jxj, e use o teorema do confronto (teorema 11.1).

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