Calculo1 aula17

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  1. 1. Aula 17Integrais de¯nidas e oTeorema Fundamental do C¶lculo a17.1 A integral de¯nidaSeja y = f (x) uma fun»~o cont¶ ca ³nua em um intervalo fechado [a; b]. Subdividamos o intervalo [a; b] atrav¶s de n + 1 pontos x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn , etais que a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = bO conjunto de pontos } = fx0 = a; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bg constitui uma subdivis~o aou parti»~o do intervalo [a; b]. ca Tomemos ainda pontos c1 ; c2 ; c3 ; : : : ; cn¡1 ; cn em [a; b], tais que c1 2 [x0 ; x1 ] = [a; x1 ]; c2 2 [x1 ; x2 ]; . . . ci 2 [xi¡1 ; xi ]; . . . cn 2 [xn¡1 ; xn ]:Sejam ¢x1 = x1 ¡ x0 ¢x2 = x2 ¡ x1 . . . ¢xi = xi ¡ xi¡1 . . . ¢xn = xn ¡ xn¡1 146
  2. 2. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 147 E formemos a soma P n S = f (c1 )¢x1 + f(c2 )¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f (cn )¢xn = f(ci )¢xi . i=1 Esta ¶ uma soma integral de f , no intervalo [a; b], correspondente µ parti»~o }, e e a caµ escolha de pontos intermedi¶rios c1 ; : : : ; cn .a a Pn Note que, quando f (x) > 0 em [a; b], a soma integral de f , S = f (ci )¢xi , ¶ e i=1a soma das ¶reas de n ret^ngulos, sendo o i-¶simo ret^ngulo, para 1 · i · n, de base a a e a¢xi e altura f(ci ). Isto ¶ ilustrado na ¯gura 17.1. e y y = f(x) f(cn) ..... f(c3 ) f(c2 ) f(c1 ) x a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3 xn-1 c n xn = b ∆ x1 ∆ x2 ∆ x3 ∆ xn Figura 17.1. Seja ¢ o maior dos n¶meros ¢x1 , ¢x2 , : : : , ¢xn . Escrevemos u ¢ = maxf¢x1 ; ¢x2 ; : : : ; ¢xn g = max ¢xiTal ¢ ¶ tamb¶m chamado de norma da parti»~o }. e e ca ¶ E poss¶ demonstrar que, quando consideramos uma sucess~o de subdivis~es ³vel a oa = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, do intervalo [a; b], fazendo com que ¢ = max ¢xi torne-se mais e mais pr¶ximo de zero (e o n¶mero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez o umaior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~es, v~o tornando-se cada o avez mais pr¶ximas deRum n¶mero R °, chamado integral de¯nida de f , no intervalo o u real b b[a; b] e denotado por a f , ou por a f (x) dx. Em outras palavras, quando formamos uma seqÄ^ncia de parti»~es }1 , }2 , : : : , ue co}k , : : : , do intervalo [a; b], de normas respetivamente iguais a ¢1 , ¢2 , : : : , ¢k , : : : ,associando a cada parti»~o um conjunto de pontos intermedi¶rios (os ci s), e forman- ca a
  3. 3. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 148do ent~o uma seqÄ^ncia de somas integrais S1 ; S2 ; : : : ; Sk ; : : : , sendo lim ¢k = 0, a ue Rb k!+1teremos lim Sk = ° = a f, para algum n¶mero real °. u k!+1De modo mais simpli¯cado, a integral de¯nida de f, de a at¶ b (ou no intervalo [a; b]) e¶ o n¶mero reale u Z b X n °= f (x) dx = lim S = lim f (ci )¢xi a ¢!0 max ¢xi !0 i=1Observa»~o 17.1 Se f(x) > 0 no intervalo [a; b], quando max ¢xi ! 0, o n¶mero k, ca ude sub-intervalos tende a 1. Os ret^ngulos ilustrados na ¯gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e nu- amerosos µ medida em que max ¢xi torna-se mais e mais pr¶ximo de 0. a o Pn Neste caso, lim i=1 f (ci )¢xi de¯nir¶ a ¶rea compreendida entre a curva a a max ¢xi !0y = f (x), o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b. Sumarizando,Se f (x) > 0 em [a; b], temos Z b f(x) dx = (¶rea sob o gr¶¯co de f , de x = a at¶ x = b) a a e a RbObserva»~o 17.2 Por outro lado, se f (x) < 0 para todo x 2 [a; b], teremos a f(x) dx ca= ¡A, sendo A a ¶rea (positiva) da regi~o plana compreendida entre o eixo x, o gr¶¯co a a ade f , e as retas x = a e x = b. Note que, neste caso, feita uma subdivis~o a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, e aescolhidos os pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, teremos X n f (ci )¢xi < 0 i=1pois f (ci ) < 0 para cada i, e ¢xi > 0 para cada i.Observa»~o 17.3 Se o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b], ¶ como o gr¶¯co esbo»ado ca a e a cna ¯gura 17.2, ent~o, sendo A1 , A2 , A3 e A4 as ¶reas (positivas) indicadas na ¯gura, a ateremos Z b f (x) dx = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 aObserva»~o 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ cont¶ ca e ³nua em [a; b], o limite Pn Rb lim i=1 f(ci )¢xi = a f n~o depende das sucessivas subdivis~es a = x0 < x1 < a omax ¢xi !0¢ ¢ ¢ < xn = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ]para cada i.
  4. 4. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 149 y y = f(x) A1 A3 b x a A2 A4 Rb Figura 17.2. a f = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 .Observa»~o 17.5 Se, para uma P c~o g, de¯nida em [a; b], n~o necessariamente ca fun»a acont¶ ³nua, existir o limite lim i=1 g(ci )¢xi (xi s e ci s tal como antes), dizemos n max ¢xi !0que g ¶ integr¶vel em [a; b], e de¯nimos, tal como antes, e a Z b X n g(x) dx = lim g(ci )¢xi a max ¢xi !0 i=1 R1Exemplo 17.1 Sendo f(x) = x2 , calcular 0 f (x) dx, ou seja, determinar a ¶rea com- apreendida entre a par¶bola y = x2 e o eixo x, no intervalo 0 · x · 1. aPara calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0; 1] em nsub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x = 1=n, ou seja, tomaremos x0 = 0, x1 = 1=n, x2 = 2=n, : : : , xn¡1 = (n ¡ 1)=n e xn = n=n = 1. Neste caso, ¢x1 = ¢x2 = ¢ ¢ ¢ = ¢xn = 1=n. Tomaremos ainda ci = xi = i=n, para i = 1; 2; : : : ; n. Teremos a soma integral X n X n 1 S= f (ci )¢xi = f (i=n) ¢ i=1 i=1 n X µ i ¶2 1 X i 2 n n = ¢ = i=1 n n i=1 n3 1 X 2 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 n = 3 i = n i=1 n3Pode ser demonstrado que 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), fato que usaremos 6aqui. Assim, como ¢x ! 0 se e somente se n ! 1, temos
  5. 5. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 150 Z 1 Z 1 X n f (x) dx = x2 dx = lim f (ci )¢xi 0 0 max ¢xi !0 i=1 2 2 2 1 + 2 + ¢¢¢n = lim n3 n!1 n(n + 1)(2n + 1) 2 1 = lim = = n!1 6n 3 6 3A ¶rea procurada ¶ igual a 1=3 (de unidade de ¶rea). a e aProposi»~o 17.1 Se f ¶ cont¶ ca e ³nua no intervalo [a; b], sendo m e M os valores m¶ximo a ³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a; b], ent~oe m¶ a Z b m(b ¡ a) · f(x) dx · M (b ¡ a) a y M A" B" m A B A B a b x Rb Figura 17.3. m(b ¡ a) · a f · M (b ¡ a). Abaixo, faremos uma demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Antes por¶m, daremos ca ca euma interpreta»~o geom¶trica dessa proposi»~o, no caso em que f > 0 em [a; b]. Da ca e ca a ³nimo e m¶ximo de f (x)¯gura 17.3, em que m e M s~o, respectivamente, os valores m¶ apara x 2 [a; b], temos¶rea ABB 0 A0 · (¶rea sob o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b]) · ¶rea ABB 00 A00 .a a a a Da¶ ³, Z b m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a) aDemonstra»~o da proposi»~o 17.1. Tomando-se uma subdivis~o qualquer de [a; b], ca ca a a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = be tomando-se pontos ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, temos X n Xn f(ci )¢xi · M¢xi i=1 i=1
  6. 6. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 151pois f (ci ) · M , e ¢xi > 0, para cada i. Da¶ ³, X n X n X n f(ci )¢xi · M¢xi = M ¢xi = M (b ¡ a) i=1 i=1 i=1pois X n ¢xi = ¢x1 + ¢x2 + ¢ ¢ ¢ + ¢xn = b ¡ a i=1Logo, X n lim f (ci )¢xi · M (b ¡ a) max ¢xi !0 i=1e portanto Z b f(x) dx · M (b ¡ a) a RbAnalogamente, deduzimos que a f (x) dx ¸ m(b ¡ a). Assumiremos sem demonstra»~o as seguintes propriedades. caProposi»~o 17.2 Se f e g s~o cont¶ ca a ³nuas em [a; b], ent~o, sendo k uma constante e aa < c < b, Rb Rb Rb 1. a (f (x) + g(x)) dx = a f (x) dx + a g(x) dx Rb Rb 2. a k ¢ f(x) dx = k ¢ a f (x) dx Rc Rb Rb 3. a f (x) dx + c f (x) dx = a f(x) dx Rb Rb 4. se f (x) · g(x), para todo x 2 [a; b], ent~o a f (x) dx · a g(x) dx aObserva»~o 17.6 Sendo f cont¶ ca ³nua em [a; b], s~o adotadas as seguintes conven»~es a co(de¯ni»~es). co Ra (i) a f (x) dx = 0 Ra Rb (ii) b f (x) dx = ¡ a f (x) dx Adotadas essas conven»~es, a proposi»~o 17.2, acima enunciada, continua ver- co cadadeira qualquer que seja a ordem dos limites de integra»~o a, b e c, podendo ainda dois cadeles (ou os tr^s) coincidirem. eTeorema 17.1 (Teorema do valor m¶dio para integrais) Se f ¶ cont¶ e e ³nua no in-tervalo [a; b], existe c 2 [a; b] tal que Z b f (x) dx = f (c) ¢ (b ¡ a) a
  7. 7. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 152 Adiante faremos a demonstra»~o deste teorema. Uma interpreta»~o geom¶trica ca ca edo teorema do valor m¶dio para integrais, no caso em que f (x) > 0 em [a; b], ¶ feita na e e¯gura 17.4. y A B f(c) A B a c b x RbFigura 17.4. Teorema do valor m¶dio para integrais: e a f = (¶rea sob o gr¶¯co de f) a a 0 0= (¶rea ABB A ) = f (c)(b ¡ a). a Para demonstrarmos o teorema do valor m¶dio para integrais, usaremos o Teorema edo valor intermedi¶rio. a y f(b) y 0 f(a) a x b x 0Figura 17.5. Para cada y0 , tal que f (a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal quef (x0 ) = y0 .Teorema 17.2 (Teorema do valor intermedi¶rio) Seja f uma fun»~o cont¶ a ca ³nua nointervalo [a; b]. Para cada y0 , tal que f(a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal quef (x0 ) = y0 . Ilustramos geometricamente o teorema do valor intermedi¶rio na ¯gura 17.5. a Como conseqÄ^ncia do teorema do valor intermedi¶rio, temos o teorema do anu- ue alamento, j¶ explorado na aula 7, µ p¶gina 66: a a a
  8. 8. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 153(Teorema do anulamento) Sendo a < b, e f cont¶ ³nua em [a; b], se f(a) < 0 ef (b) > 0 (ou se f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~o a fun»~o f possui uma raiz no intervalo a ca[a; b].Demonstra»~o. Como f(a) < 0 < f(b), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe ca ax0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = 0.Demonstra»~o do teorema 17.1. Sendo f cont¶ ca ³nua no intervalo [a; b], pelo teorema deWeierstrass, p¶gina 69, aula 8, existem m; M 2 R tais que m = minff(x) j x 2 [a; b]g ae M = maxff (x) j x 2 [a; b]g. Al¶m disso, existem pontos x1 ; x2 2 [a; b] tais que ef (x1 ) = m e f(x2 ) = M . Pela proposi»~o 17.1, ca Z b m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a) aDa¶ ³, Z 1 b m· f (x) dx · M b¡a a 1 RbSendo ® = b¡a a f(x) dx, como f(x1 ) = m · ® · M = f (x2 ), pelo teorema do valorintermedi¶rio, existe c 2 [a; b] (c entre x1 e x2 ) tal que f(c) = ®. Logo, a Z b 1 f(c) = f (x) dx b¡a ae portanto Z b f(x) dx = f(c)(b ¡ a) a17.2 O teorema fundamental do c¶lculo aTeorema 17.3 (Teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o) Seja a a f ³nua no intervalo [a; b]. Para cada x 2 [a; b], sejauma fun»~o cont¶ ca Z x (x) = f(t) dt aEnt~o a 0 (x) = f (x); 8x 2 [a; b] Uma das conseqÄ^ncias imediatas do teorema fundamental do c¶lculo ¶ que ue a eToda fun»~o cont¶ ca ³nua f, em um intervalo [a; b], possuiRuma primitiva (ou anti-derivada) xem [a; b], sendo ela a fun»~o , de¯nida por (x) = a f(t) dt, para cada x 2 [a; b]. ca
  9. 9. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 154Demonstra»~o do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o. ca a a Para x em [a; b], e ¢x 60, com x + ¢x em [a; b], temos = Z x+¢x Z x ¢ = (x + ¢x) ¡ (x) = f(t) dt ¡ f (t) dt a a Z x+¢x Z a Z x+¢x = f (t) dt + f(t) dt = f(t) dt a x x(Veja ¯guras 17.6a e 17.6b.)(a) (b) y y y = f(x) y = f(x) ϕ (x) ∆ϕ a x b x a x x +∆x b xFigura 17.6. (a) Interpreta»~o geom¶trica de (x), x 2 [a; b]. (b) Interpreta»~o ge- ca e caom¶trica de ¢, para ¢x > 0. e Pelo teorema do valor m¶dio para integrais, existe w entre x e x + ¢x tal que e Z x+¢x f (t) dt = f (w) ¢ [(x + ¢x) ¡ x] xAssim sendo, ¢ = (x + ¢x) ¡ (x) = f (w)¢xo que implica ¢ = f (w); para algum w entre x e x + ¢x ¢xTemos w ! x quando ¢x ! 0. Como f ¶ cont¶ e ³nua, ¢ 0 (x) = lim = lim f (w) = lim f (w) = f(x) ¢x!0 ¢x ¢x!0 w!x Como conseqÄ^ncia do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos a ue a asua segunda vers~o, tamb¶m chamada f¶rmula de Newton-Leibniz. Ele estabelece uma a e oconex~o surpreendente entre as integrais inde¯nidas e as integrais de¯nidas. a
  10. 10. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 155Teorema 17.4 (Teorema fundamental do c¶lculo, segunda vers~o) Sendo f a a ³nua no intervalo [a; b],uma fun»~o cont¶ ca Z Z b se f(x) dx = F (x) + C ent~o a f (x) dx = F (b) ¡ F (a) a Demonstra»R o. Pelo teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos que c~ a a a xa fun»~o (x) = a f (t) dt, a · x · b, ¶ uma primitiva de f (x) no intervalo [a; b], ou ca eseja, 0 (x) = f(x). R Se f(x) dx = F (x) + C, temos tamb¶m F 0 (x) = f(x). Logo, pela proposi»~o e ca15.1 existe uma constante k tal que (x) = F (x) + k; para todo x em [a; b] RaAgora, (a) = a f(t) dt = 0. Logo, F (a) + k = 0, de onde ent~o k = ¡F (a). a Assim sendo, Z x f (t) dt = (x) = F (x) ¡ F (a) aQuando x = b, temos Z b f (x) dx = F (b) ¡ F (a) a E costume denotar [F (x)]b = F (x)jb = F (b) ¡ F (a). ¶ R a a RbOu seja, sendo f (x) dx = F (x) + C, temos a f (x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a). aExemplo 17.2 Calcular a ¶rea compreendida entre a curva y = sen x e o eixo x, para a0 · x · ¼.Solu»~o. caComo sen x ¸ 0 quando 0 · x · ¼, y y = sen xtemos que a ¶rea procurada ¶ dada pela a R¼ eintegral A = 0 sen x dx. RTemos sen x dx = ¡ cos x + C. 2 unidades de área 0 π x R¼ Logo, A = 0 sen x dx = [¡ cos x]¼ = (¡ cos ¼)¡(¡ cos 0) = 1+1 = 2 (unidades 0de ¶rea). a
  11. 11. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 15617.2.1 Integra»~o de¯nida, com mudan»a de vari¶vel ca c aVeremos agora que, quando fazemos mudan»a de vari¶vel (integra»~o por substitui»~o), c a ca cano caso de uma integral de¯nida, podemos ¯nalizar os c¶lculos com a nova vari¶vel a aintroduzida, sem necessidade de retornar µ vari¶vel original. Para tal, ao realizarmos a a amudan»a de vari¶vel, trocamos adequadamente os limites de integra»~o. c a ca Suponhamos que y = f (x) de¯ne uma fun»~o cont¶ ca ³nua em um intervalo I, coma; b 2 I, e que x = (t) ¶ uma fun»~o de t deriv¶vel em um certo intervalo J ½ R, e ca asatisfazendo 1. f ((t)) 2 I quando t 2 J. 2. (®) = a, (¯) = b, para certos ®; ¯ 2 J; 3. 0 (t) ¶ cont¶ e ³nua em J; R Sendo F (x) uma primitiva de f (x) em I, temos f(x) dx = F (x) + C, e comovimos, tomando x = (t), teremos dx = 0 (t) dt, e R f ((t))0 (t) dt = F ((t)) + C. Ent~o, Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a a Z b f(x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a) = F ((¯)) ¡ F ((®)) a a Z ¯ ¯ = F ((t))j® = f ((t)) ¢ 0 (t) dt ® R1 pExemplo 17.3 Calcular ¡1 x 1 + x2 dx. R p p Fazendo u = 1 + x2 , calculamos x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 + C. 3 Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a R1 p p ¯1 p p ¡1 x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 ¯¡1 = 38 ¡ 3 3 8 = 0. Por outro lado, poder¶ ³amos ter trocado os limites de integra»~o, ao realizar a camudan»a de vari¶vel. O resultado seria: c a para x = ¡1, u = 2; e para x = 1, u = 2 (!). Ent~o a R1 p R2p ¡1 x 1 + x2 dx = 2 u ¢ 1 du = 0. 2Exemplo 17.4 Calcular a ¶rea delimitada pela circunfer^ncia de equa»~o x2 + y 2 = a2 . a e ca
  12. 12. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 157 calcular a ¶rea A desse c¶Parap a ³rculo, basta calcular a ¶rea sob o semi-c¶ a ³rculoy = a2 ¡ x2 , acima do eixo x, entre os pontos x = ¡a e x = a, ou seja, calcular Z ap A=2 = a2 ¡ x2 dx ¡a Faremos a substitui»~o x = a sen t, ¡¼=2 · t · ¼=2. ca Para t = ¡¼=2, x = ¡a; para t = ¼=2, x = a. Teremos ent~o dx = a cos t dt, a2 ¡ x2 = a2 cos2 t e, como cos t ¸ 0 no intervalo p a[¡¼=2; ¼=2], a2 ¡ x2 = a cos t. Ra p R ¼=2 Logo, ¡a a2 ¡ x2 dx = ¡¼=2 a2 cos2 t dt. Temos cos2 t + sen2 t = 1 e cos2 t ¡ sen2 t = cos 2t, logocos2 t = 1 (1 + cos 2t). 2 Assim, Z ap Z ¼=2 a 2 ¡ x2 dx = a2 cos2 t dt ¡a ¡¼=2 Z a2 ¼=2 = (1 + cos 2t) dt 2 ¡¼=2 · ¸¼=2 a2 1 = t + sen 2t 2 2 ¡¼=2 2 · ¸ · ¸ a ¼ 1 a2 ¼ 1 ¼a2 = + sen ¼ ¡ ¡ + sen(¡¼) = 2 2 2 2 2 2 2 a ³rculo ¶ A = ¼a2 .E portanto a ¶rea do c¶ e17.2.2 Integra»~o de¯nida, por partes caSuponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o fun»~es deriv¶veis no intervalo [a; b], com as a co aderivadas u0 (x) e v 0 (x) cont¶ ³nuas em [a; b]. Temos (u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = uv 0 + vu0 , e ent~o a Rb Rb Rb a [u(x)v(x)]0 dx = a u(x)v0 (x) dx + a v(x)u0 (x) dx. Rb Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a [u(x)v(x)]0 dx = u(x)v(x)jb . Portanto a a Rb Rb a u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x)jb ¡ a v(x)u0 (x) dx. a Em nota»~o abreviada, ca Z b Z b u dv = uvjb a ¡ v du a a
  13. 13. ¶Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 15817.3 ProblemasCalcule as integrais de¯nidas listadas abaixo. R1 dx 1. ¡1 1+x2 . Resposta. ¼=2. R p2=2 2. p dx . Resposta. ¼=4. 0 1¡x2 R ¼=3 3. 0 tg x dx. Resposta. ln 2. Rx 4. 1 dt t . Resposta. ln x. Rx 5. 0 sen t dt. Resposta. 1 ¡ cos x. R ¼=2 6. 0 sen x cos2 x dx. Resposta. 1=3. R ¼=2 1¡tg2 x 7. 0 Resposta. 2p5 . Sugest~o. Use a identidade cos x = dx 3+2 cos x . ¼ a 1+tg2 2 x , fa»a c 2 u= tg 2 , e 2 = arc tg u. x x R4 p 8. 1 px dx . Resposta. 3 2=2. 2+4x R1 9. dx ¡1 (1+x2 )2 . Resposta. ¼ 4 + 1 . Sugest~o. Fa»a x = tg u. 2 a c R5 p 10. 1 x¡1 x dx. Resposta. 4 ¡ 2 arc tg 2. R ¼=2 cos x dx 11. 0 Resposta. ln 4 . 6¡5 sen x+sen2 x . 3 Rtp 12. Calcule a integral 0 a2 ¡ x2 dx (0 · t · a), sem usar antiderivadas, interpre- p tando-a como ¶rea sob a curva (semi-c¶ a ³rculo) y = a2 ¡ x2 , e acima do eixo x, no intervalo [0; t] (¯gura 17.7). y a x 0 t Figura 17.7. p 2 Resposta. 2 a2 ¡ t2 + a2 arc sen a . Sugest~o. Subdivida a ¶rea a ser calculada t t a a em duas regi~es, como sugere a ¯gura. o

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