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  1. 1. i. ›i; _fzí. ›ízi'^“iñf -< Matemática é Fácil! 'É Estude; Dicas Quentes > 'z/ estwbuares > Bancc : ie Questões > Varendc PcMc r ' >Besahcs 'Dicas Quentes “amarra “qr > Links Comentários ñ*daUnnaH(a >Hwsicrwa >Bwcgrahas > Lmhcades I I > Iiurwcswdades GC' “ 3d'. 'Í n" "ic I 'Í , . Ú: Jau. .. *absurccs ›Fraees >Humcr > Jogos OHHFÊ Unidade 5 - Estudo de Funções Piofessoz Amnnds : ::f&: faaÊ° Amintas Paiva Afonso › ; mas Pamculares
  2. 2. ““'*"r“““', “r'_ñr *cr* ívókAu_ .2lv'l_Í'». .t. Jtz- a e Matemática é Fácil! V O oo r1oet'iío de 'íittw íii'l't do: : rivais; i errt "láctea. a
  3. 3. g MATEMATIOUÊS Matemática é fácí! ! A idéia de função. .. ° Toda vez que temos 9o dois conjuntos e algum 30 . . . .. 0 tIpo de assoclaçao : O entre eles. .. 50 que faça corresponder a 40 todo elemento do : O primeiro conjunto um 13 único elemento do 0 segundo, ocorre uma 1° 3° fu n çã o _ Trim. Trim. I Ã n QÍ . .~
  4. 4. Eóñ; rvTr. ";-rúrñr vela í vl. . -|vi, . .k-s' , -e Matemática é Fácil! h Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções: O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
  5. 5. g MATEMATIOUÊS n a ' Matemátíca é Fácil! RW . e O conceito de função na história. .. ° René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações. ° Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.
  6. 6. *ÉÉTTFÉÊITFAF AQ , EVÓLFM_ . :I. 'l, /-». .í. .. uy ; L e Matemática é Fácil! A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que: - x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. - a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B. -os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
  7. 7. u 17:4» »r c. .. › as. , N. ,ç- . .x c .41 -' _if * v. -: A A ~ l ,4 . pg . .tg 1 . a ¡- , t”, .-. . 1,: s A* '_ , ,.». _V, ,,A w r, - É ? Êta l" lllwll ll lillliãilllll Il I'll Sl lil ll @il Cl : :lgllmll : l oil: :a : :z ! llãlllillã n» oil: !um : letal i» Em ll i» s, :l l' : :Em ll m»
  8. 8. MATEMATIOUÊS Matemática é Fácfl! Representação g ráfi ca _ lllllllllllll utilizamos esse tIpo | ||| ||| ||| ||| de re resenta ão lllllllllll! ! É”. Ç llllllllllhxil. em varios setores. “nnyynr IIVYIIALVK VAIKVUIILI AÍÍÍLÍÍÍÍÍ IIIIIIIIII III III III II' Á I I I I I I lllkl IIIII IIIII IIIII IIIII
  9. 9. l 'áw' . ñ - urt-wr. ~ 'e úf* a ~ -wqng ív. .F. . . :lvi, ;u. . . .xwnfjí Matemática é Fâcíl! Algumas funções especiais: Funções luncãodoprimeireqlau luneãodosequndoqlau _Q_ __ ográlieoeumarela oqrálieoéumaparábola _I_ . . que pode ser em coneavidade para cima om eoneavidade para baixo ? É ereseenle eerescenle
  10. 10. A , <SÃ_. íí” _Ígr-r ~ Hqrr . aç- -u4a __ j_ . el_ , . j v. . . -Ívl . ..-1 . -o Matemática é Fâcíl! h A = [1, 2); B = [2, 3, 4) A X B = [(1, 2), (1,3), (1,4), (2, 2), (2,3), (2,4))
  11. 11. lliftííl ílltlfntg: ríigl (i ! roll = .IçtI: ¡Íiç': =.u; -:íi! >ç) 5/ ã: llÍlÍllíl lei¡ ? iàljl ! limite ! l ! ml êííliii. l ; :l; :¡f¡1;: ftrl:9> já = ,:: ::/ -u; -:Íi= .lil gl il : .:›. a:, «;¡1'r›; :;¡; l:anta : xml ; el-gefnjtlçaftrto. , ç'içi, li. li, 'l, líli_i! l 5/ C14), ; em tnju çulilçl lliliii! )
  12. 12. A '<>“*-' íf- --ra-r ~ ñqír* o§~ -una __ j_ . lo l_ , . '_ v. . . - Vl, xÀl. .. t1 . -p Matemática é Fácil! H l? effrlfção de 'Função através. rtle CQÍÍÍÍÂVHFÃÚC Não é função de A em B l É função de A em B
  13. 13. A '<>“*-' íf- --ra-r ~ ñqír* o§~ -una __ j_ . lo l_ , . '_ v. . . - Vl, xÀl. .. t1 . -p Matemática é Fácil! H fsfoção de 'função através de cor'l _frLr*l 'í: o: Não é função de A em B l É função de A em B
  14. 14. A '<>”-' íf- --ra-r ~ ñqír* o§~ -una __ j_ . lo l_ , . '_ v. . . - Vl, xÀl. .. t1 . -. p Matemática é Fácil! H , 1'” l? ornírflio, I: or'l 'trra*. r:lorn ír'l io e l? emiurrto-Irnagerní
  15. 15. '<S: *-' - --ra-r ~ ñíúr* 4§~ Aa , _ í¡ l_ . . el_ ' _ J . l j v. . . -Ívl . .ç-y . -o Matemática é Fácil! Teste da refza vertfcal Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.
  16. 16. ,<SÃ. _. íí” _fir-r ~ -eujtr . aç- -uja __ j_ . el_ , . j v. . . -Ívl . ..-1 . -o Matemática é Fâcíl! »A l? orrlfrrfc e frrlagerírl &ÊFEVÉS do gráffcc D= fxe IR| -3sxs4ex; t11 e Im= íye IR| -2<ys31
  17. 17. -<S; *-' ~ ~urw-b. ~ ñujúr-oç" -uja = ¡ . :¡. r/-. ... . z- 1- mãtxca é Fácil! Interpretação geométrica das raízes de uma função Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função [todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.
  18. 18. ¡. ›:¡: n"“-r. ›í; .rr: f:UF: - Matemática é Fácil! 'A @essreneç e eumeees
  19. 19. '<>”-' ñ Hurt-wre Arc; _ Ó -¡ Í. . ziüÍl-ífíl: 1:- Matemática é Fácil! FWÊTlQACÍlJ rnL/727-"«J/ .r, .4- É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. u seja, “X” diferente tem “y” diferente ! !.
  20. 20. A írzâwp_ ~. j_, ~.. §_ . ..já __ j_ . lo l_ , . j v. . . - vl, . ..-1 . -o Matemática é Fácil! j) rificar se Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.
  21. 21. _ A - íf- . ra-tw ~ Hrj-r- a" -wjag __ F . lo l_ , . j v. . . - vl, . ..71 . -o Matemática é Fácil! FÚÃWQÃJ] CrJ/ JT/ .Ã/ EJ ÍÊÍÍKJJJÍA. É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) Se M é o conjunto das mulheres e H e' o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro l! !
  22. 22. l 'áw' . ñ - urt-wr. ~ 'e ujtr* a ~ -wjng Matemática é Fácil! h Frjntgíl] / .U-: JE7-“lJ/ .r, .4. É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. Injetora: "x" diferente Ou SÕja, hOmÕHS tem "y" diferente M H e mulheres com os esmos direitos . . Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.
  23. 23. A í¡ z _ñw_ ~ ~. j¡, - a_ . ..já __ j_ . lo l_ , . j v. . . - vl, . ..-1 . -o Matemática é Fácil! j) Injeção, sclsrejeçãc e lsfjeçãc Não é injetora. _ É, ¡“Íet°['a- E Sobral-ator¡ Nao e sohrejetora
  24. 24. A , <SÃ. _. íí” _fir-r ~ -eujtr . aç- -ujps _ j_ . o. l_ , . j v. . . _lvl, . ..-1 . -o Matemática é Fácil! j) Injeção, sclsrejeçãc e lsfjeçãc c) É injetora É sobrejetora E hijetora
  25. 25. j A *'“'Ú“C"'CPF'ÉCÍPQF' *na , Hi4.. . . :|. °l/ -.. í. ~ . f. Matemática é Fácil! 7.73321 trair : Neco: co*fez/ he@Hmfruemzzir. o 1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) à Í É > é injetora é sobrejetora
  26. 26. 'éW' H -uw-ur ~ ñtír* . - É. .. ía l_ . . el_ ' a . l j n. . -ivl '1 . -e Matemática é Fácil! j) 2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: c) d) í V” í não é sobrejetora, e bl] @mm nem inj etora
  27. 27. '_"“ÉT"CFF"“CÍPQF' Aa j EVÓLAx. . . ..aew Matemática é Fácil! 3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] -› B, tal que f(x) = x2 - 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem. DU) = [2:33] | m(f) = [-9;7]
  28. 28. ,-7 . A , <>a_ r. _. ~.__¡ ~ ññrñr r-4g ía l_ . ol_ _ . , n. . -Ívf . .cy . -o Matemática é Fâcí! ! Hrjzíwgã] (ÉRELLWÍEÃTTE: f(b) K8) A função f e' A função g e' A função f e' A função g e' crescente decrescente crescente decrescente Diz-se que f e' crescente, se para a < b, então f(a) < f(b). Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).
  29. 29. “tj í. 'Í/ -Í. '.'Êí: íF_'L'ÍtII“JÊC ' « Matemãticaéfâcii! 6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: K ea -2 'o 2 4 6 X a) Decrescente: ]0, 4[ b) Crescente: ]-°° ; 0[ e ]4-; +°<›[
  30. 30. 'Çke' ñ ~ura-ur H *ÍÍPGF* QA E¡ l_ . ol_ i _ . * , vi. R. . R4». A <'# . -% Matemática é Fâcii! M Função cr*e: cer'ii: e e Função [ÉÍECFESCEHÍÍZE M“< f(x) : x3 -âf
  31. 31. w --n--ur ñ “WÍPQW A13 E¡ A . o l_ . w, vi. -l i 'w' . -o . Y , .. a_ Matemática é Fâcíi! Função cr*e: cer'ii: e e Função [ÍECFESCEFÍÍÍJE f(x) = |x* -4|
  32. 32. ñ ~ura~ur H *ÉÍPQW Ap. E¡ A . o l_ i _ _ . * í vi. R. . -l l ' <'# . -% . v , .u. .. _V Matemática é Fâcíi! Função CFESCEFTÍJE e Função [ÍECFESCEFÍÍÍJE V f(x) : x3 -af 3x
  33. 33. _ A â". f'“UrT'-F"'*-r_1r*4§” 'Uçâ É' ívhÊu. .: lv. l,; u›. .. Éjjb ' « Matemática é Fácil! Função F f(x) = X4 - X2 f(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 - x2 = f(x) É u f(x) = x*-x^° GRÁFICO PARA X 2 O GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
  34. 34. A t_ _ú___ _ _____~_ _na É' ívhÊu. .: lv. l,; u›. .. Éjjb ' « Matemática é Fácil! I Função iiííiíãi” I) Gráfico para x 2 0
  35. 35. A íxÍ/ ÃIIÍÉIÍIÍFIÍÍIZIJÉC ' 3 Matemãticaéfâcíl! Função íIrI: f(x) = x3 + x5 fl-x) = (-x)3+(-x)5= -(x3+x5)= -flxl GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.
  36. 36. V¡ ""'-'í. °íí""°' "^= '^ í vi. . - , I . Cry . -o Matemática é Fácil! O FÚÃFÇÃII 1714.17,. - f(x) = f(-x) Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y. Exemplo: f(x) = x2 é par pois 2 = (-2)2 = 4 FUzwgAãIr TÉMÍJÍAÍR: f(a) = - f(-a) y f(x) : X3 Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. Exemplo: f(x) = x3 é ímpar pois 23 = - (-2)3
  37. 37. A O_ _____ _ _______ _f_ 5, Í. »_/ -.. . . :I. 'I/ -.. .. Jrz- “ Matemática é Fácil! 4) a) Verifique se f(x) = 2x3 + 5x é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f(1) = 2.13 + 5.1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)3 + 5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x3 + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x) ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f(x) = 3x2 é par: Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)2 = 3 Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)2 = 3 Logo f(x) = x2 é PAR, pois f(x) = f(-x) ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3
  38. 38. ›<? “V*-' r'“ú*U*Cr*"*à'Cr*G-” vga p, ÍVÓLFK. . . :I. °I/ -.. .. . f. « Matemática é Fácil! 5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(- x) será: I IC) z Lembre-se: Se l' ' f(x) = f(-x) 7 l' . Então a função "f" é par e ela é simétrica l' : (Ai (B) ao eixo "y". (E) Resposta: E
  39. 39. , ÊEmQWK-. A › › . ? TM-un É¡ "Zini l" I §n'= :i= .IfIfII ; f : sã maes; ifuíiigíiçx; g1IIIn. ITi.121II.1-, II' _I J¡'sl, iOl! IoiÍ1lÍÍI, l?. F-7í'sI Ífloloilgíylü : :9niIiIIjgIsr$-: I:: .I, :: ly : :gliflj ; f : I Íflolilgíll! ) _II IÍCHFIIÍÍIJÍIIIÍIÊI ; rsrsr , Ilálíj : z ; ç-. «_gtjçoz<g, _í>_loi
  40. 40. w --n--ur ñ “WÍPQW A13 E¡ A . o l_ . w, vi. -l I . 'rs' . -o Matemaftícãé Fácil! O FUVIQÃxJ / ÍÃTTF/ ÍLÍÃ. A idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento: 1) Isola "x"; 2) Troca "x" por "y" e vice versa. D
  41. 41. I›CFII'“-I. ~IFII"°°I *v* L. n.1'Í. u-% Matemática é Fácil! 'O FMVQÃIJ / jíu/ JERCA. O símbolo para a 'função inversa de f Í Ir e f -1 e lê-se "função inversa def". O símbolo "-'i" em f" não é um expoente; 'f'1(x) não significa 'i/ f(x).
  42. 42. A “í” íxÍ/ JIIÍÊÍJMÍÍÍIÇÍOJÉC “ ' Matemática é Fácil! FÚVçÍÃx] INrF/ IísAí TESTE DA RETA HORIZONTAL Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa? y ou f(x) Y = X2 ou f(x) = x2 reta horizontal Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.
  43. 43. _ _ _ _ _ A *Õ ¡. ¡_“1". ¡_“~ 5'* JT” '_ v. . . _lvI, xÀl. .. wnjjt . -. p Matemática é Fácil! § l : ÍíirIíIeIEriã da: 'funçoes Inversão Os gráficos de f e f* são simétricos em relação à hissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
  44. 44. Matemática é Fácil! ® MATEMATIOQÊS Estude Valendo Ponto Dicas Quentes Banco de Questões > UestIbuIares > Banco de Questões > Valendo Ponto > DesatIcs > DICBS Quentes > ErIsInc Superior > LInks o , ( . A ; QQ x A Matemática Comentários > HIstórIa > BIcgrafIas > UtIIIaades > IiurIcsIdades > : absurdos > Frases > Humor > Jcgcs OnIIrIe › Videos Pmfesso_ wwvx/ .matematiquescombr Amintas > Conheça c Professor > Palestras > Consultorias > : aulas Parttculare m 41

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