Retas e planos no espaço: Geometria de Posição

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Retas e planos no espaço: Geometria de Posição

  1. 1. Geometria de Posição
  2. 2. 1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos; 2º) Por um ponto passam infinitas retas; 3º) Dois pontos distintos determinam uma única reta;
  3. 3. 4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em duas semirretas.
  4. 4. 1º) Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos;
  5. 5. 2º) Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela está contida nesse plano;
  6. 6. 3º) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles; A B C
  7. 7. 4º) Uma reta qualquer de um plano o divide em dois semiplanos;
  8. 8. 5º) Um plano qualquer divide o espaço em duas regiões que denominamos semi-espaços;
  9. 9. 6º) Por uma reta passam infinitos planos.
  10. 10.  Três pontos distintos não colineares;
  11. 11.  Uma reta e um ponto fora dela; AA B C
  12. 12.  Duas retas concorrentes; P A B
  13. 13.  Duas retas paralelas e distintas; A B C
  14. 14. 1) Classifique em V ou F conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta: ( ) Por um ponto passam infinitas retas; ( ) Três pontos distintos quaisquer determinam um plano; ( ) Por dois pontos A e B passa uma única reta; ( ) Por dois pontos A e B passam infinitos planos;
  15. 15.  Entre duas retas: 1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos os pontos em comum.
  16. 16. 2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas um ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s = {P}.
  17. 17. 3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto em comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }. Obs.: As duas retas devem estar no mesmo plano.
  18. 18. 4º) Reversas: Não possuem ponto em comum e estão em planos diferentes. Obs.: quando duas retas reversas formam ângulo de 90º são chamadas de ortogonais.
  19. 19.  Entre reta e plano: 1º) Reta contida no plano: Uma reta está contida num plano quando todos os seus pontos pertencem ao plano.
  20. 20. 2º) Reta e plano concorrentes: São concorrentes quando tem um único ponto em comum.
  21. 21. 3º) Reta e plano paralelos: São paralelos quando não tem ponto em comum. r
  22. 22.  Entre dois planos: 1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são comuns.
  23. 23. 2º) Planos concorrentes ou secantes: São distintos e tem intersecção não vazia. Essa intersecção é sempre determinada por uma reta.
  24. 24. 3º) Planos paralelos: Não tem pontos em comum.
  25. 25. 1) Classifique em verdadeiro ou falso as sentenças abaixo: ( ) Duas retas que possuem um único ponto em comum são coincidentes; ( ) Duas retas distintas sem ponto em comum são paralelas; ( ) Duas retas que determinam um plano ou são concorrentes ou são paralelas;
  26. 26. ( ) Três retas que passam por um único ponto P podem ser perpendiculares entre si. R: F – F – V – V 2) O que se pode afirmar sobre a posição entre a reta r e o plano α em cada caso? a) r ∩ α = r b) r ∩ α = ∅ c) r ∩ α = {P} a)r contida em α b)r paralela a α c)r concorrente a α
  27. 27.  Considerando um plano α e um ponto P fora do plano, podemos traçar por P infinitas retas que interceptam α. Dessas, uma única reta é perpendicular ao plano, e as demais são denominadas retas oblíquas ao plano.
  28. 28.  Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então r forma um ângulo de 90º com qualquer reta contida em α.
  29. 29.  Projeção de um ponto
  30. 30.  Projeção de uma reta 1º caso: Reta perpendicular ao plano
  31. 31. 2º caso: A reta oblíqua ao plano
  32. 32. 3º caso: A reta paralela ao plano
  33. 33.  Diedro  Triedro
  34. 34. 1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo: a) Se uma reta r for perpendicular a duas retas, s e t, concorrentes de um plano, então essa reta será perpendicular ao plano. b) Se uma reta r for perpendicular a um plano α, sua projeção será um segmento de reta. c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua projeção ortogonal poderá ser um segmento de reta.
  35. 35. R: V – F – V 2) Duas retas paralelas r e s são projetadas ortogonalmente sobre o plano α. Quais são as posições relativas das projeções? R: Duas retas, uma reta, dois pontos.
  36. 36. FIM

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