Relações métricas no triângulo retângulo

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Relações métricas no triângulo retângulo

  1. 1. 1 Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo. Observe que o triângulo ABC é retângulo em Â, isto é a medida de  é 90º, e como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, concluímos que a soma dos ângulos B e Ĉ é 90º.ˆ Ângulo de 90º
  2. 2. 2 Ao dividirmos o triângulo ABC, pela altura relativa a sua hipotenusa, formamos os triângulos ABH e ACH, veja que são retângulos em Ĥ. E assim, desta forma verificamos que acabamos por dividir o ângulo  nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC que são Ĉ e B.ˆ Quando dois triângulos, possuírem ao menos dois ângulos de mesma medida, significa que são semelhantes.
  3. 3. 3 Observem agora os lados deste triângulo. Lado AB Lado BC Lado AC O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”. O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”. O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho”. Ângulo de 90º
  4. 4. 4 Observe que dividimos o triângulo ABC em dois novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e seus lados são proporcionais.
  5. 5. 5 Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ABHm c h b c a ==
  6. 6. 6 m c h b c a == Deduzimos as seguintes relações: 2ª) bm = ch 3ª) cc = am 1ª) ah = cb Não se esqueça que: “para passar o número que esta dividindo para o outro lado do sinal de igual o fazemos passar, multiplicando do outro lado”. Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ABH.
  7. 7. 7 Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH. b a == h c n b Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH
  8. 8. 8 Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ACH. Deduzimos as seguintes relações: b a == h c n b 1ª) bh = cn 2ª) bb = an 3ª) bc = ah
  9. 9. 9 Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH. h m n h == b c Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações:
  10. 10. 10 Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABH e ACH. Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn 2ª) ch = bm 3ª) hh = mn h m n h == b c
  11. 11. 11 Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja m (segmento BH) é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo a soma de m (BH) + n (CH) é igual a hipotenusa a (segmento BC). Imagine estas projeções sendo como o sol “batendo”numa ripa de madeira inclinada numa parede, isto produz uma sombra, a qual chamaremos de projeção.
  12. 12. 12 Teorema de Pitágoras Hipotenusa Cateto Cateto Ângulo de 90º Os lados AB e AC do Δ ABC são chamados de Catetos. O lado BC do Δ ABC é contrário (está de frente) com o ângulo de 90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa.
  13. 13. 13 Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos. Hip2 = cat2 + cat2 a2 = b2 + c2 Teorema de Pitágoras.
  14. 14. 14 Resumo das fórmulas das relações métricas no Δ retângulo. 1ª) ah = bc 2ª) c2 = am 3ª) bm = ch 4ª) bh = cn 5ª) b2 = an 6ª) h2 = mn 7ª) a = m + n 8ª) a2 = b2 + c2
  15. 15. 15 Espero que tenham gostado da aula em slides: Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger. E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073 Data: 22/02/2004. Amparo-SP.

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