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1
Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo.
Observe que o triângulo ABC é
retângulo em Â, isto é a medida de
 é 90º, e como a soma dos ângulos
internos de qualquer triângulo é
180º, concluímos que a soma dos
ângulos B e Ĉ é 90º.ˆ
Ângulo de 90º
2
Ao dividirmos o triângulo
ABC, pela altura relativa a sua
hipotenusa, formamos os triângulos
ABH e ACH, veja que são
retângulos em Ĥ. E assim, desta
forma verificamos que acabamos
por dividir o ângulo  nos dois
ângulos já conhecidos do triângulo
ABC que são Ĉ e B.
ˆ
Quando dois
triângulos, possuírem ao
menos dois ângulos de
mesma medida, significa
que são semelhantes.
3
Observem agora os lados deste triângulo.
Lado AB
Lado BC
Lado AC
O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”.
O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”.
O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de
vermelho”.
Ângulo de 90º
4
Observe que dividimos o triângulo ABC em dois
novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes
entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e
seus lados são proporcionais.
5
Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH.
Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:
Lados do ΔABC
Lados do ΔABHm
c
h
b
c
a
6
m
c
h
b
c
a
Deduzimos as seguintes relações:
2ª) bm = ch
3ª) cc = am
1ª) ah = cb
Não se esqueça que: “para passar o número que esta
dividindo para o outro lado do sinal de igual o
fazemos passar, multiplicando do outro lado”.
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABC e ABH.
7
Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH.
b
a
h
c
n
b
Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:
Lados do ΔABC
Lados do ΔACH
8
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABC e ACH.
Deduzimos as seguintes relações:
b
a
h
c
n
b
1ª) bh = cn
2ª) bb = an
3ª) bc = ah
9
Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH.
h
m
n
h
b
c Lados do ΔABH
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Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:
10
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABH e ACH.
Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn
2ª) ch = bm
3ª) hh = mn
h
m
n
h
b
c
11
Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja
m (segmento BH) é a projeção do cateto c
sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a
projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo
a soma de m (BH) + n (CH) é igual a
hipotenusa a (segmento BC).
Imagine estas
projeções sendo
como o sol
“batendo”numa
ripa de madeira
inclinada numa
parede, isto
produz uma
sombra, a qual
chamaremos de
projeção.
12
Teorema de Pitágoras
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Ângulo de 90º
Os lados AB e AC do ΔABC são chamados de Catetos.
O lado BC do ΔABC é contrário (está de frente) com o ângulo de
90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa.
13
Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a
soma dos quadrados dos catetos.
Hip2 = cat2 + cat2
a2 = b2 + c2
Teorema de Pitágoras.
14
Resumo das fórmulas das relações
métricas no Δ retângulo.
1ª) ah = bc
2ª) c2 = am
3ª) bm = ch
4ª) bh = cn
5ª) b2 = an
6ª) h2 = mn
7ª) a = m + n
8ª) a2 = b2 + c2
15
Espero que tenham gostado da aula em slides:
Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger.
E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073
Data: 22/02/2004. Amparo-SP.

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Relações métricas triângulo retângulo

  • 1. 1 Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo. Observe que o triângulo ABC é retângulo em Â, isto é a medida de  é 90º, e como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, concluímos que a soma dos ângulos B e Ĉ é 90º.ˆ Ângulo de 90º
  • 2. 2 Ao dividirmos o triângulo ABC, pela altura relativa a sua hipotenusa, formamos os triângulos ABH e ACH, veja que são retângulos em Ĥ. E assim, desta forma verificamos que acabamos por dividir o ângulo  nos dois ângulos já conhecidos do triângulo ABC que são Ĉ e B. ˆ Quando dois triângulos, possuírem ao menos dois ângulos de mesma medida, significa que são semelhantes.
  • 3. 3 Observem agora os lados deste triângulo. Lado AB Lado BC Lado AC O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”. O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”. O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho”. Ângulo de 90º
  • 4. 4 Observe que dividimos o triângulo ABC em dois novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e seus lados são proporcionais.
  • 5. 5 Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do ΔABC Lados do ΔABHm c h b c a
  • 6. 6 m c h b c a Deduzimos as seguintes relações: 2ª) bm = ch 3ª) cc = am 1ª) ah = cb Não se esqueça que: “para passar o número que esta dividindo para o outro lado do sinal de igual o fazemos passar, multiplicando do outro lado”. Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ABH.
  • 7. 7 Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH. b a h c n b Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do ΔABC Lados do ΔACH
  • 8. 8 Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABC e ACH. Deduzimos as seguintes relações: b a h c n b 1ª) bh = cn 2ª) bb = an 3ª) bc = ah
  • 9. 9 Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH. h m n h b c Lados do ΔABH Lados do ΔACH Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações:
  • 10. 10 Das proporções obtidas dos lados dos Δs semelhantes que são:ABH e ACH. Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn 2ª) ch = bm 3ª) hh = mn h m n h b c
  • 11. 11 Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja m (segmento BH) é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo a soma de m (BH) + n (CH) é igual a hipotenusa a (segmento BC). Imagine estas projeções sendo como o sol “batendo”numa ripa de madeira inclinada numa parede, isto produz uma sombra, a qual chamaremos de projeção.
  • 12. 12 Teorema de Pitágoras Hipotenusa Cateto Cateto Ângulo de 90º Os lados AB e AC do ΔABC são chamados de Catetos. O lado BC do ΔABC é contrário (está de frente) com o ângulo de 90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa.
  • 13. 13 Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos. Hip2 = cat2 + cat2 a2 = b2 + c2 Teorema de Pitágoras.
  • 14. 14 Resumo das fórmulas das relações métricas no Δ retângulo. 1ª) ah = bc 2ª) c2 = am 3ª) bm = ch 4ª) bh = cn 5ª) b2 = an 6ª) h2 = mn 7ª) a = m + n 8ª) a2 = b2 + c2
  • 15. 15 Espero que tenham gostado da aula em slides: Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger. E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073 Data: 22/02/2004. Amparo-SP.