Relações métricas no triângulo retângulo

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Relações métricas no triângulo retângulo

  1. 1. 1Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo.Observe que o triângulo ABC éretângulo em Â, isto é a medida de é 90º, e como a soma dos ângulosinternos de qualquer triângulo é180º, concluímos que a soma dosângulos B e Ĉ é 90º.ˆÂngulo de 90º
  2. 2. 2Ao dividirmos o triânguloABC, pela altura relativa a suahipotenusa, formamos os triângulosABH e ACH, veja que sãoretângulos em Ĥ. E assim, destaforma verificamos que acabamospor dividir o ângulo  nos doisângulos já conhecidos do triânguloABC que são Ĉ e B.ˆQuando doistriângulos, possuírem aomenos dois ângulos demesma medida, significaque são semelhantes.
  3. 3. 3Observem agora os lados deste triângulo.Lado ABLado BCLado ACO lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”.O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”.O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado devermelho”.Ângulo de 90º
  4. 4. 4Observe que dividimos o triângulo ABC em doisnovos triângulos ABH e ACH, que são semelhantesentre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” eseus lados são proporcionais.
  5. 5. 5Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH.Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temosas seguintes relações:Lados do ΔABCLados do ΔABHmchbca
  6. 6. 6mchbcaDeduzimos as seguintes relações:2ª) bm = ch3ª) cc = am1ª) ah = cbNão se esqueça que: “para passar o número que estadividindo para o outro lado do sinal de igual ofazemos passar, multiplicando do outro lado”.Das proporções obtidas dos lados dosΔs semelhantes que são:ABC e ABH.
  7. 7. 7Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH.bahcnbComo são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temosas seguintes relações:Lados do ΔABCLados do ΔACH
  8. 8. 8Das proporções obtidas dos lados dosΔs semelhantes que são:ABC e ACH.Deduzimos as seguintes relações:bahcnb1ª) bh = cn2ª) bb = an3ª) bc = ah
  9. 9. 9Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH.hmnhbc Lados do ΔABHLados do ΔACHComo são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temosas seguintes relações:
  10. 10. 10Das proporções obtidas dos lados dosΔs semelhantes que são:ABH e ACH.Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn2ª) ch = bm3ª) hh = mnhmnhbc
  11. 11. 11Outra relação métrica é: a = m + n, ou sejam (segmento BH) é a projeção do cateto csobre a hipotenusa e n (segmento CH) é aprojeção do cateto b sobre a hipotenusa, logoa soma de m (BH) + n (CH) é igual ahipotenusa a (segmento BC).Imagine estasprojeções sendocomo o sol“batendo”numaripa de madeirainclinada numaparede, istoproduz umasombra, a qualchamaremos deprojeção.
  12. 12. 12Teorema de PitágorasHipotenusaCatetoCatetoÂngulo de 90ºOs lados AB e AC do ΔABC são chamados de Catetos.O lado BC do ΔABC é contrário (está de frente) com o ângulo de90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa.
  13. 13. 13Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual asoma dos quadrados dos catetos.Hip2 = cat2 + cat2a2 = b2 + c2Teorema de Pitágoras.
  14. 14. 14Resumo das fórmulas das relaçõesmétricas no Δ retângulo.1ª) ah = bc2ª) c2 = am3ª) bm = ch4ª) bh = cn5ª) b2 = an6ª) h2 = mn7ª) a = m + n8ª) a2 = b2 + c2
  15. 15. 15Espero que tenham gostado da aula em slides:Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger.E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073Data: 22/02/2004. Amparo-SP.

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