Aula sobre triângulos

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Aula sobre triângulos

  1. 1. Estudo dos triângulos<br />
  2. 2. Definição<br />Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região que eles determinam.<br />B<br />C<br />A<br />
  3. 3. Elementos principais<br />A figura mostra o triângulo ABC. Nele, destacamos<br />B<br /><ul><li> os vértices A, B e C</li></ul><br /><ul><li> os lados e suas medidas:</li></ul> AB = c, AC = b e BC = a<br />a<br />c<br /><ul><li> os ângulos internos</li></ul> A, B e C.<br />C<br />A<br />b<br /><ul><li>ângulo externo ()</li></li></ul><li>Classificação dos triângulos<br />
  4. 4. Quanto à medida de seus lados<br />Triângulo escaleno<br />B<br />a<br />c<br />C<br />A<br />b<br />As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c) <br /><ul><li> As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C. </li></li></ul><li>Quanto à medida de seus lados<br />Triângulo isósceles<br />A<br />x<br />x<br />B<br />C<br />Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x).<br /><ul><li> o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base.
  5. 5. os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o ângulo no vértice. </li></li></ul><li>Quanto à medida de seus lados<br />Triângulo eqüilátero<br />A<br />x<br />x<br />C<br />B<br />x<br />Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x).<br /><ul><li> os ângulos A, B e C, também, são todos iguais (60º).</li></li></ul><li>Quanto à medida de seus ângulos internos<br />Triângulo acutângulo<br />B<br />C<br />A<br />As medidas dos três ângulos internos são agudos<br />(A < 90º, B < 90º e C < 90º) <br />
  6. 6. Quanto à medida de seus ângulos internos<br />Triângulo retângulo<br />C<br />A<br />B<br />A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º) <br /><ul><li> O lado BC é chamado de hipotenusa; os outros dois são chamados catetos.</li></li></ul><li>Quanto à medida de seus ângulos internos<br />Triângulo obtusângulo<br />C<br />B<br />A<br />A medida de um de seus ângulos internos é obtuso. (A > 90º) <br />
  7. 7. Ângulos no triângulo<br />
  8. 8. Soma dos ângulos internos<br />A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante e igual a 180º.<br />C<br />r<br /> + C +  = 180º<br /><br /><br /> = A e  = B<br />⇒<br />A + B + C = 180º<br />B<br />A<br />r // AB<br />
  9. 9. Medida do ângulo externo<br />Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.<br /> + C = 180º<br />( I )<br />C<br /><br />( II )<br />A + B + C = 180º<br />⇒<br /> + C = A + B + C<br />⇒<br />B<br />A<br /> = A + B<br />
  10. 10. Medida do ângulo externo<br />Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.<br />C<br />e<br />e = A + B<br />g = B + C<br />f<br />A<br />f = A + C<br />B<br />g<br />
  11. 11. Exemplo<br />Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado.<br />A<br />⇒<br />y = 39º<br />76 + y = 115<br />y<br />y<br />115 + y = x<br />x<br />115 + 39 = x<br />115º<br />76º<br />B<br />C<br />D<br />⇒<br />x = 154º<br />
  12. 12. Segmentos notáveis no triângulo<br />
  13. 13. Mediana<br />Une o vértice ao ponto médio do lado oposto.<br />A<br />BM = CM<br />⇒<br />AM é mediana<br />C<br />B<br />M<br />M é o ponto médio do segmento BC.<br />
  14. 14. Altura<br />Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é perpendicular à reta suporte desse lado.<br />A<br />AH é perpendicular a BC<br />⇒<br />AH é altura<br />C<br />B<br />H<br />
  15. 15. Bissetriz interna<br />Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.<br />A<br />AS é bissetriz<br />C<br />B<br />S<br />
  16. 16. Mediatriz<br />Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.<br />m<br />AM = BM<br />⇒<br />B<br />A<br />M<br />A reta m é mediatriz<br />
  17. 17. Triângulo isósceles<br />A<br />x<br />x<br />B<br />C<br />M<br /><ul><li>a altura AM relativa à base é também mediana e bissetriz interna. </li></li></ul><li>Triângulo eqüilátero<br />A<br />N<br />P<br />C<br />B<br />M<br /><ul><li>Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).</li></li></ul><li>Trigonometria no Triângulo Retângulo<br />
  18. 18. Relacionando lados e ângulos<br />A trigonometria tem sua origem na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.<br />B<br /><ul><li> a hipotenusa BC = a
  19. 19. o cateto AC = b</li></ul>a<br /><ul><li> o cateto AB = c</li></ul>c<br /><ul><li> A = 90º</li></ul>C<br />A<br />b<br /><ul><li> B + C = 90º</li></li></ul><li>Relacionando lados e ângulos<br />B<br /><br />a<br />a2 = b2 + c2<br />c<br />⍺<br />C<br />A<br />b<br />cateto oposto a ⍺<br />c<br />=<br />sen ⍺ =<br />a<br />hipotenusa<br />cateto adjacente a ⍺<br />b<br />=<br />cos ⍺ =<br />a<br />hipotenusa<br />
  20. 20. Relacionando lados e ângulos<br />B<br /><br />a<br />a2 = b2 + c2<br />c<br />⍺<br />C<br />A<br />b<br />cateto oposto a ⍺<br />c<br />tg ⍺ =<br />=<br />b<br />cateto adjacente a ⍺<br /><ul><li> os números sen⍺,cos⍺etg⍺são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺. </li></li></ul><li>Exemplos<br />O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.<br />A<br />Teorema de Pitágoras<br />16<br />12<br />BC2 = AB2 + AC2<br />C<br />B<br />x2 = 162 + 122<br />20<br />x2 = 256 + 144<br />x2 = 400<br />x= 20<br />
  21. 21. Exemplos<br />O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.<br />A<br />16<br />12<br />C<br />B<br />20<br />cateto oposto a B<br />12<br />3<br />=<br />= 0,6<br />sen B =<br />=<br />20<br />5<br />hipotenusa<br />cateto adjac. a B<br />4<br />16<br />=<br />= 0,8<br />cos B =<br />=<br />20<br />5<br />hipotenusa<br />
  22. 22. Exemplos<br />O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.<br />A<br />16<br />12<br />C<br />B<br />20<br />cateto oposto a B<br />12<br />3<br />=<br />= 0,75<br />tg B =<br />=<br />4<br />cateto adjac. a B<br />16<br />
  23. 23. Exemplos<br />Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.<br />y<br />x + y = 90º<br />16<br />5 cm<br />x<br />⇒ x ≈ 40º<br />6 cm<br />6<br />= 1,2<br />⇒ y ≈ 50º<br />tg y =<br />5<br />
  24. 24. Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Complementares<br />
  25. 25. Ângulos complementares<br />B<br />⍺ +  = 90º<br /><br />5<br />⇒<br />3<br />Os ângulos ⍺ e  são complementares<br />⍺<br />C<br />A<br />4<br />3<br />3<br />4<br />tg ⍺ =<br />sen ⍺ =<br />cos ⍺ =<br />5<br />5<br />4<br />4<br />4<br />3<br />tg  =<br />sen  =<br />cos  =<br />5<br />5<br />3<br />
  26. 26. Ângulos complementares<br />B<br />⍺ +  = 90º<br /><br />a<br />⇒<br />c<br />Os ângulos ⍺ e  são complementares<br />⍺<br />C<br />A<br />b<br />1<br />tg ⍺ =<br />sen ⍺ = cos <br />cos ⍺ = sen <br />tg <br />
  27. 27. Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis<br />
  28. 28. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.<br />60º <br />45º <br />30º <br />½ <br />sen<br />√3/2<br />√2/2<br />½ <br />cos<br />√2/2<br />√3/2<br />1<br />tg<br />√3/3<br />√3<br />
  29. 29. Exemplos<br />A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.<br />12 cm<br />16<br />x<br />30º<br />y<br />x<br />⇒ x = 12 . 1/2<br />⇒ x = 6 cm<br />sen 30º =<br />12<br />y<br />⇒ x = 12 . √3/2<br />⇒ x = 6 √3 cm<br />cos 30º =<br />12<br />
  30. 30. Exemplos<br />Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.<br />C<br />y<br />x<br />60º<br />30º<br />A<br />B<br />z<br />D<br />2 cm<br />
  31. 31. Identidades trigonométricas<br />A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.<br />C<br /><br />sen x<br />a<br />tg x =<br />b<br />cos x<br />⍺<br />B<br />A<br />c<br />b/a<br />sen ⍺<br />b<br />a<br />b<br />.<br />=<br />=<br />= tg ⍺<br />=<br />c/a<br />cos ⍺<br />a<br />c<br />c<br />
  32. 32. Exemplos<br />Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno e a tangente desse ângulo. <br />sen2 x + cos2 x<br />2<br />3<br />⇒<br />cos2 x = 1<br />+<br />5<br />9<br />⇒<br />cos2 x = 1<br />+<br />25<br />25 – 9<br />9<br />16<br />⇒<br />cos2 x = 1<br />=<br />=<br />–<br />25<br />25<br />25<br />⇒<br />⇒<br />cos x =<br />± 4/5<br />cos x = 4/5<br />
  33. 33. Exemplos<br />Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. <br />3<br />sen x<br />3<br />5<br />tg x =<br />=<br />=<br />4<br />cos x<br />4<br />5<br />

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