Atiidade com régua e compasso do site da secretaria de educação do estado de Minas Gerais.

1. 1
Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática − Ensino Fundamental
Título: Construções geométricas
16. Construções
geométricas
16.1. Construir perpendiculares, paralelas e
mediatriz de um segmento usando régua e
compasso.
16.2. Construir um triângulo a partir de seus
lados, com régua e compasso.
Introdução
O conteúdo deste módulo nos permitirá fazer uma revisão de alguns tópicos de
geometria plana.
Para resolver os problemas que surgiram aqui, podemos utilizar resultados de
geometria plana e seguir a seguinte:
Regra
Os problemas aqui só poderão ser resolvidos com o uso do compasso e da
régua. Isto é, traçando-se circunferências com o compasso e “retas” ou
segmentos, com o uso da régua, mas não utilizando a sua escala.
Apresentaremos alguns resultados e definições que serão utilizados ao longo
deste módulo.
Resultado. Para que segmentos de medidas cba ,, sejam lados de um triângulo
deve-se ter bacba +<<− || .
Definição. O ponto médio de um segmento é o ponto interior a ele e que o
divide em dois outros segmentos de mesma medida.

2. 2
Definição. Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não se
cortam.
Definição. Duas retas são perpendiculares se têm um ponto em comum e
formam um ângulo de 90o
.
Definição. A mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do
segmento e lhe é perpendicular.
Definição. A altura de um triângulo ABC, relativa ao lado BC, é o segmento
contido na perpendicular traçada a reta BC pelo ponto A, cujos extremos são: o
vértice A e a interseção da reta BC com a reta perpendicular a BC.
O segmento AH é a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC.
• Na primeira figura o ponto H, pé da perpendicular, é interior a BC.
• Na segunda figura o ponto H, pé da perpendicular, é igual a B.
• Na terceira figura o ponto H, pé da perpendicular, é exterior a BC.

3. 3
Definição. Em um plano considere um ponto um ponto fixo C e um número real
positivo r. Chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os
pontos do plano cujas distâncias a C seja r.
• Se um ponto P pertence à circunferência de centro C e raio r, então a
distância de C a P é igual a r.
• Se a distância de um ponto Q ao ponto C é igual a r, então Q pertence à
circunferência de centro C e raio r.
Ferramenta compasso.
A ponta com a agulha é denominada a ponta seca do compasso.
O centro e o raio de uma circunferência desenhada com um compasso
correspondem, respectivamente, a ponta seca e a abertura do compasso.

4. 4
Observação. Toda vez que você
Ferramenta régua.
Observação: A partir de agora, o termo “construir uma figura” significará que a
figura deverá ser construída utilizando-se somente o compasso para fazer
circunferências e a régua para fazer “retas” ou segmentos, sem utilizar sua
escala da régua.
Exercício 1.
Desenhe um segmento AB. Construa duas circunferências: uma com o centro
em A e outra com o centro em B de forma que as duas
a) não tenham ponto em comum;
b) tenham somente um ponto comum;
c) tenham exatamente dois pontos em comum.
Para resolver os problemas a seguir teremos que encontrar um ou mais pontos
que estarão sobre (pelo menos) duas figuras. Assim para obtê-los deveremos
intersectar as duas figuras.
Exemplo 1. Abaixo está desenhado um segmento AB e uma semi-reta de
origem e O.

5. 5
Construir sobre a semi-reta um segmento OP de comprimento igual a AB.
Solução. Duas figuras que contêm o ponto P são a semi-reta, de origem O, e a
circunferência de centro O e raio AB.
A semi-reta foi dada, então, agora vamos construir a circunferência de centro O
e raio AB e, em seguida, intersectá-las.
Procedimento:
• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.
Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB. Com
esta abertura estamos prontos para construir circunferências de raios
iguais a AB.
• Mantendo a abertura do compasso igual a AB, coloque a ponta seca em O
e gire-o para obter a circunferência de centro em O e raio igual a AB.
A interseção da semi-reta de origem O com a circunferência de centro O e raio
igual a AB é o ponto P tal que OP = AB.
Exemplo 2. Abaixo estão representados os pontos A e B.

6. 6
Encontrar um ponto que equidista de A e B.
Observação. Um ponto equidista de A e B, se a distância dele até A é igual a
distância dele até B.
Solução. Basta construir duas circunferências de raios iguais e que se
intersectam: uma com o centro em A e outra com o centro em B.
Assim a interseção das duas fornecerá pontos que serão equidistantes de A e B.
Procedimento:
• Coloque a ponta seca do compasso no ponto A e a outra ponta em B.
Assim a abertura do compasso será igual ao comprimento de AB.
• Trace a circunferência de centro em A e raio AB.
• Agora, trace a circunferência de centro em B e raio igual a AB.
Qualquer um dos pontos da interseção das duas circunferências será
equidistante de A e B, pois AP e BP são raios das circunferências que têm o
mesmo raio AB.
Observação. O procedimento acima vale se as circunferências de centros em
A e em B tiverem raios iguais e maiores que a metade do segmento AB.
Portanto, basta garantir que a abertura do compasso seja maior que a metade
do segmento AB.

7. 7
Exemplo 3. Desenhe um segmento. Agora construa um triângulo equilátero de
lados iguais ao segmento que você desenhou.
Solução. Suponha que o segmento desenhado seja o que está representado
abaixo:
Já temos dois vértices do triângulo, devemos obter o terceiro, que
representaremos por C.
Lembrando que para o ponto C ser vértice de um triângulo equilátero, a distância
dele aos pontos A e B devem ser iguais a AB.
Portanto, basta repetir o procedimento utilizado no exemplo 2, com a abertura do
compasso igual a AB.
No triângulo ABC tem-se AB = BC = CA.
Exemplo 4. Abaixo estão representados segmentos que são lados de um
triângulo.
Construir o triângulo.

8. 8
Solução. Para construir um triângulo basta obter os seus vértices.
Vamos construir o triângulo sobre um dos segmentos este já será um de seus
lados.
Por exemplo, vamos fixar o segmento a. Dessa forma, os dois extremos do
segmento a serão vértices do triângulo a ser construído.
Vamos representar os extremos do segmento a por B e C.
O terceiro vértice do triângulo está a uma distância b de um dos vértices e a
uma distância c do outro.
Vamos considerar que o terceiro vértice está a uma distância b do vértice C e a
uma distância c do vértice B.
Representemos o terceiro vértice por A. Como não sabemos onde ele está,
vamos obter duas figuras que o contém e, em seguida, intersectá-las.
O conjunto de todos os pontos que têm distância b de C é uma circunferência de
centro em C e raio b. Esta circunferência contém A.
O conjunto de todos os pontos que têm distância c de B é uma circunferência de
centro em B e raio c. Esta circunferência também contém A.

9. 9
O terceiro vértice é o ponto A interseção das duas circunferências. Assim o
triângulo ABC é a solução.
Observação. Se tivéssemos ligado o ponto abaixo de BC aos vértices B e C,
também teríamos um triângulo de lados a, b e c. Ele seria congruente ao
primeiro. Neste caso dizemos que eles representam a mesma solução.
Exercícios
2. Abaixo está desenhado um segmento AB.
Construir um segmento de comprimento igual a ao dobro de AB.
3. Abaixo estão os pontos A e B.
Encontrar quatro pontos que equidistam de A e B.
4. Desenhe um segmento. Agora tomando este segmento como base construa
um triângulo isósceles.

10. 10
5. Desenhe três segmentos de forma que não seja possível construir um
triângulo que os tenha como lado.
Utilize a régua e o compasso para mostrar que não é possível construir um
triângulo que tenha esses segmentos como lados.
Atividade 1. Construir a mediatriz do segmento AB com dobraduras
1. Desenhe um segmento em uma folha branca, destacando seus extremos A e
B (figura 1).
2. Em seguida, dobrar a folha de forma que o ponto A coincida com o ponto B
(figura 2), formando um vinco (pontilhado na figura 3) e marcar o ponto M.
3. Concluir que o vinco é a mediatriz do segmento AB, observando que como A
e B se sobrepõem ao dobrar a folha, os segmentos MA e MB também se
sobrepõem, e logo:
a) MA = MB, donde M é o ponto médio de AB;
b) os quatro ângulos formados pelo vinco e o segmento AB são retos (isto é,
cada um mede 90o
).
Atividade 2. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB
equidista dos extremos A e B
Aproveite a mediatriz construída na atividade 1 e marque
um ponto X sobre a mediatriz de AB e observe que ao
dobrar a folha que os segmentos XA e XB se sobrepõem,
donde XA = XB. Repita este procedimento marcando outros
pontos na mediatriz e observe que este resultado continua
válido.
Daí, podemos concluir que todo ponto da mediatriz de AB
equidista de A e B.
Essa mesma conclusão pode ser obtida utilizando o
procedimento a seguir:

11. 11
Após marcar um ponto X sobre a mediatriz de AB, trace a circunferência de
centro em X e raio XA, utilizando um compasso (figura 4). Observe que essa
circunferência passa também por B, isto é, XA = XB, como visto acima.
Repetir agora o procedimento marcando outros pontos sobre a mediatriz.
Atividade 3. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a
mediatriz de AB
Marcar, agora, um ponto Y fora da mediatriz e traçar a circunferência de
centro em Y e raio YA. Observe que essa circunferência não passa por B,
indicando que YBYA ≠ . Repita este procedimento marcando outros pontos
fora da mediatriz e observe que este resultado continua válido.
Daí, podemos concluir que todo ponto que não pertence a mediatriz de AB
não equidista de A e B.
Conclusão 1: Das atividades 2 e 3, concluí-se que todo ponto pertencente à
mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo ponto que
equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.
As atividades 4 e 5 a seguir têm o objetivo de justificar os resultados obtidos nas
atividades 1, 2 e 3, utilizando congruência de triângulos, sem o uso do
compasso, régua ou papel.
Atividade 4. Mostrar que todo ponto na mediatriz de um segmento AB
equidista dos extremos A e B
Marque um ponto qualquer X sobre a mediatriz de AB.
O ponto X marcado sobre a mediatriz de AB ou coincide com o ponto médio M ou
não.
1. Se o ponto coincide com M, então X = M, então AM = MB.
2. Se o ponto X não coincide com M, trace XA e XB. Os triângulos AMX e
MAB são congruentes, pelo caso LAL.

12. 12
Dessa congruência concluímos que XA = XB. Isto é, todo ponto da
mediatriz de AB equidista dos extremos A e B.
Atividade 5. Mostrar que todo ponto que equidista de A e B pertence a
mediatriz de AB
Marque um ponto qualquer Y tal que YA = YB. Marque também o ponto médio M
de AB.
O ponto Y marcado ou coincide com M ou não.
1. Se Y = M, então AY = YB.
2. Se Y não coincide com M, trace YA, YB e MY.
Os triângulos AMY e MYB são congruentes, pelo caso LLL.
Dessa congruência concluímos que os ângulos AMY e são BMY são iguais.
Como a soma deles é 180o
, concluímos que cada um deles mede 90o
. O que
significa que a reta MY é perpendicular ao segmento AB e passa pelo seu ponto
médio, isto é, MY é a mediatriz de AB.
Conclusão 2: As atividades 4 e 5 nos levam a concluir que todo ponto
pertencente à mediatriz de AB equidista de A e B e, reciprocamente, que todo
ponto que equidista de A e B pertence à mediatriz de AB.

13. 13
Observação. Da conclusão 1 ou da 2 temos que o conjunto de todos os pontos
que equidistam dos extremos de um segmento está na mediatriz desse
segmento.
Conclusão 3: Sabendo que o conjunto de todos os pontos que equidistam dos
extremos de um segmento é a mediatriz do segmento e a mediatriz de um
segmento é uma reta, basta encontrar dois pontos eqüidistantes dos extremos
do segmento para construí-la.
Exemplo 5. Desenhe um segmento. Construa a mediatriz desse segmento.
Solução. Desenhei o segmento AB abaixo.
Para construir a mediatriz deste segmento basta encontrar dois pontos que
equidistam de A e B. Para isso, vamos repetir o procedimento do exemplo 2.
Isto é, traçar duas circunferências de raios iguais: uma de centro em A e outra de
centro em B. A interseção delas nos fornecerá dois pontos equidistantes dos
extremos A e B do segmento desenhado.
A reta que passa por esses dos pontos de interseção é a mediatriz de AB, pela
conclusão 3.

14. 14
Utilizaremos a construção da mediatriz de um segmento para traçar
perpendiculares a uma reta dada.
Exemplo 5. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P pertencente a ela.
Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.
Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja
o ponto médio dele. Em seguida, construiremos a mediatriz de AB, que
obrigatoriamente passará pelo por P.
Para isso, abra o compasso com uma abertura qualquer. Com o centro em P
trace a circunferência. Represente por A e B as interseções desta circunferência
com a reta r.
Da maneira como foi construído o segmento AB, o ponto P é o seu ponto médio.
Agora trace a mediatriz de AB (ver exemplo 5).
A mediatriz de AB será a reta perpendicular à reta r pelo ponto P.
Exemplo 6. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente
a ela.

15. 15
Traçar pelo ponto P a reta perpendicular à r.
Solução. Vamos construir um segmento AB, sobre a reta, de tal forma que P seja
equidistante de A e B, consequentemente o ponto P pertencerá a mediatriz de
AB. Coloque a ponta seca do compasso em P e abra-o de forma que a outra
ponta passe para o lado oposto ao de P, em relação à reta r.
Trace a circunferência de centro em P e raio igual a abertura anterior. Esta
circunferência cortará r em dois pontos. Vamos representá-los por A e B.
Agora, encontre outro ponto Q que equidiste de A e B.
A reta que passa pelos pontos P e Q é a mediatriz de AB. Portanto ela será
perpendicular à reta r.
Exemplo 7. Abaixo estão representados dois segmentos.
Construir um triângulo retângulo com um cateto e a hipotenusa iguais aos
segmentos dados.
Solução. Um procedimento que auxilia muito obter os passos para a resolução
desse problema é o de fazer um desenho, mesmo que a mão livre e sem
exatidão. Isso nos permitirá ter uma idéia de como relacionar os dados para obter
uma solução.
Vamos utilizar esta estratégia. Considere a figura abaixo:

16. 16
Os extremos B e C do cateto n são dois dos vértices do triângulo retângulo.
Temos, então, que encontrar o terceiro vértice, A.
O vértice A está na perpendicular ao cateto n e está a uma distância m do vértice
B, isto é, A pertence a uma circunferência de centro em B e raio m.
Portanto, o vértice A pertence a perpendicular ao cateto n com a circunferência
de centro B e raio m.
Exemplo 8. Abaixo está representada uma reta r e um ponto P, não pertencente
a ela.
Traçar pelo ponto P uma reta paralela à r.
Solução. Trace por P a reta t, perpendicular à r (ver exemplo 6). Depois trace por
P a reta s, perpendicular à t (ver exemplo 5).
As retas s e r são paralelas.

17. 17
Exercícios
6. Por que as retas s e r, no exemplo 6 são paralelas?
(Sugestão: A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o
).
7. Abaixo estão representados: a reta d; o ponto F, não pertencente à d; o ponto
X, pertencente à d; e a reta t perpendicular à d pelo ponto X.
Encontre um ponto P pertencente à t que equidiste de F e X.
8. Abaixo estão representados uma circunferência C e um segmento AB.
Determine todos os pontos da circunferência C que equidistam de A e B.

18. 18
9. Desenhe um segmento. Agora construa um quadrado de lados iguais ao
segmento que você construiu.
10. Desenhe dois segmentos. Construa um triângulo retângulo de catetos iguais
a esses segmentos.
11. Desenhe um triângulo e represente seus vértices por A, B e C. Trace as
mediatrizes dos lados AB e BC e represente por G a interseção dessas
mediatrizes.
12. Utilize a figura exercício 11 para executar as seguintes atividades:
a) Com a ponta seca do compasso em O e abertura AO, construa uma
circunferência. O que você observou?
b) Construa a mediatriz CA. O ponto G pertence a esta mediatriz?
13. Como justificar os resultados encontrados nas atividades 11 a e 11 b,
utilizando congruência de triângulos.
14. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.
a) Construa as três alturas do triângulo ABC.
b) Após as construções o que pode concluir?
15. Abaixo está desenhado um triângulo ABC.
a) Construa as três alturas do triângulo ABC.

19. 19
b) Após as construções o que pode concluir?
Bibliografia
1. [G] Giongo, Affonso Rocha, Construções Geométricas, Editora Nobel.
2. [W] Wagner,Eduardo: Construções Geométricas, Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM)
3. Software livre de geometria dinâmica Z.u.L. (ou equivalentemente C.a.R.),
http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothman/java/zirkel/