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CICLO TRIGONOMÉTRICO

  P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LV A
Medidas de Arcos

As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad).

Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360
partes congruentes, sendo cada uma dessas partes
correspondentes a um arco de um grau (1o).
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco
cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência
que o contém.
                                              Comprimento do arco
                                  r           igual à medida do raio
                          1 rad
                                      •
                      •     r             ≅ 0,28 rad


    6,28 rad ou
      2π rad



Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr
onde r é o raio.
Transformação de graus para radianos

                360°        2π rad

                180°        π rad

                90°        π/2 rad

Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°?



 540°         x rad
Circunferência Trigonométrica - Preliminares

Consideremos uma circunferência de raio unitário (r =
1), cujo centro coincide com a origem de um sistema
cartesiano ortogonal.

                             1
                            •

                   –1•
                            •0     •1


                            •
                          –1
1
                            •
                                 ⊕
                   –1•
                            •0       •1
                                      A
                                 ⊖
                                           O ponto A (1 , 0) é a
                            •               origem de todos os
                          –1
                                          arcos a serem medidos
                                             na circunferência.
• Se um arco for medido no sentido horário, então a essa
medida será atribuído o sinal negativo (-).

• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a
essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
1
                                •
                         2° Q        1° Q
                   –1•
                                •0          •1
                                             A
                         3° Q        4° Q
                              •
                            –1

 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em
quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes
são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A.

Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um
desses arcos medem 90° ou π/2 rad.
Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode
assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas
no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–).
    Sentido POSITIVO ou              Sentido NEGATIVO ou
        anti-horário                        horário
                   B
           π/2 rad                         –3π/2 rad
              •                                 •
                           A
 π rad                           –π rad
      •       •0       •0 rad          •        •0       •–2π rad
                        2π rad                            0 rad
                                                             A

              •                                 •
          3π/2 rad                          –π/2 rad
                                                     B
5π/2 rad = 450°
                     π/2 rad = 90°
                            •


3ππ rad =540°
   rad = 180°                            0 rad = 0°
                •           •           •
                             0           2π rad = 360°
                                          4π rad = 720°


                            •
                    3π/2 rad ==270°
                     7π/2 rad 630°


                    Infinitos valores
Exercícios

ARCOS E ÂNGULOS
1. Expresse em graus:
   10
a)     rad
    9
   11
b)     rad
    8
     
c)       rad
     9
     
d)        rad
   20
   4
e)    rad
    3
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela
regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu
correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
                       20

a)
                   1   45
b)                                                clicar

                   2
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela
regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu
correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
                                20

a)
                           1    45
b)
                  20       2                      9

c)                                   d)
              1                60             1

e)
                       1
2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
                           Solução: Os ponteiros de um
                           relógio estão ambos na direção
                           dos números somente na hora
                           exata. Após esse momento, o
                           único a ficar na direção é o
                           ponteiro dos minutos (grande).
                           O relógio representa uma
                           circunferência dividida em 12
                           partes iguais. Logo, cada número
                           dista um arco que mede 30°.
                           Às 4h o menor ângulo central
                           formado       pelos     ponteiros
                           corresponde a
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco
de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?
 Solução:

Em graus a medida percorrida pelo menor
corresponde a 15°.
Esse valor corresponde à metade da distância entre
dois números consecutivos.
O tempo para percorrer essa distância pelo menor é
de meia hora.
Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta
completa, isto é, 180°.

Logo, o ponteiro maior percorre π rad.
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco
de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?

  Esta questão também pode ser resolvida através se
  uma regra-de-três simples:

   Ponteiro    Ponteiro
   Pequeno     Grande
   (π/6) rad    2π rad                    2

  (π/12) rad     x rad


                             Resposta: π rad
4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia.
Determine as horas e os minutos que estará marcando
esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um
ângulo de 42°.

 Ponteiro
 Pequeno      Tempo                        2

    30°       60 min
   42°           x


Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que
corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é
vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central
formado pelos ponteiros de um relógio que está
marcando 9h 30min?




                                  x


                                 α



        09:00 h                       09:30 h
Solução: Ao marcar 9h em
                    ponto, os ponteiros estavam na
                    direção dos números como
                    indicado na primeira figura.
                    Às 9h30min o ponteiro pequeno
                    deslocou-se de um ângulo “x”.
                    Aplicando       a      regra-de-rês
                                   x
                    descobrimos quantos graus ele se
                    afastou da direção do número 9
                                  α
                    em 30 minutos.
Ponteiro
Pequeno    Tempo           60 x = 900 ⇒ x = 15°
  30°      60 min          α = 90° + x e xh 15°
                                     09:30 =

  x        30 min                ⇒ α = 105°
6. Determine:
a) o comprimento de um arco de circunferência (em
cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central
correspondente mede 20°.
b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um
arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio
de 20cm.
c) a medida do raio de uma circunferência (em
cm), sabendo que nela um ângulo central de 15°
corresponde a um arco de 30cm.
a) o comprimento de um arco de circunferência (em
cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo
central correspondente mede 20°.




                                   ⇒
b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um
arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio
de 20cm.




                                ⇒
c) a medida do raio de uma circunferência (em
cm), sabendo que nela um ângulo central de 15°
corresponde a um arco de 30cm.




                     ⇒
7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio.
Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas?
Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?

 40 cm = 0,4 m   ⇒ C = 2π × 0,4 m ∴ C ≅ 2,5 m
1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m
       1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = 9.420 m
8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro.
Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas
quando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14.

 d = 70 cm ∴ r = 35 cm
 1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 m
 Percurso = 9.891 km = 9.891.000 m
  x voltas = 2,198 . x
  2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas
9. Obtenha as menores determinações não negativas dos
arcos.
              Solução:
a) 1300°
              Encontra-se o número de voltas completas
b) 1440°
              que é múltiplo de 360° ou de 2π.
c) 170°
    11       As menores determinações não negativas
d)      rad
     2        serão os arcos encontrados nos restos
   43
e)      rad   percorridos no sentido positivo.
     5
f) –1200°     São chamadas 1ªs determinações.
a) 1300°    360°             1300°= 3 × 360° + 220°
    22 0°
            3 voltas   3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida

              Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°.
b) 1440°    360°             1440°= 4 × 360° + 0°
    00 0°
            4 voltas   4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida

                   Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°.

c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª
   determinação é o próprio 170°.
d)
            Vamos dividir o arco por 2π rad



 Sabemos que:                          ou seja, 2 voltas
mais ¾ de volta.

 ¾ de uma volta, em radianos, serão:
                       1


                   2
e)
             Vamos dividir o arco por 2π rad



Sabemos que:                         ou seja, 4 voltas
mais 3/10 de volta.

 3/10 de uma volta, em radianos, serão:
                        1


                 5
f)
     –1200°     360°              –1300°= –3 × 360° – 120°
      –1 2 0°
                –3 voltas   3 voltas completas no sentido horário (negativo)
                                       ∴ volta ao ponto de partida


 –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.
 Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos
 somar 360° a –120°.
 –120° + 360° = 240°
 Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240°
 (sentido positivo).
Visualização de determinações positiva e negativa:


                         90°
                        •



          180° •                  • 0°

     +240° ≡ –120° •

                        •
                        270°
10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:

a) 1700°
                    Solução: A expressão geral será
b) –700°            dada pela 1ª determinação dos
   49              ângulos adicionadas a múltiplos de
c)     rad
    4
                    360° ou 2π, positivos ou negativos.
d) 11 rad
     33
e)      rad
      8
a) 1700°    360°               1700°= 4 × 360° + 260°
    26 0°
            4 voltas   4 voltas completas no sentido horário (negativo)
                                  ∴ volta ao ponto de partida


       260° é a 1ª determinação positiva de 1700°.

   Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos
   côngruos a 1700° é dada por:
a) 1700°    360°
    26 0°
            4 voltas


Sendo k um número inteiro, ao escrevermos
360°k, queremos expressar um número qualquer de
voltas completas em qualquer sentido – positivo ou
negativo.

Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao
ponto de partida – não importando quantas voltas foram
dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos
sempre ao mesmo ponto.
90°
                •



180° •                 • 0°
                         ≡ 360°

           •    •
         260°
                270°
90°
                •



180° •                 • 0°     1 volta
                         ≡ 360°
                                + 260°

           •    •
         620°
                270°
90°
                •



180° •                 • 0°     1 volta
                                2 voltas
                         ≡ 360°
                                 + 260°

           •    •
         980°
                270°
90°
                 •



180° •                  • 0°     –1 volta
                          ≡ 360°
                                  + 260°

            •    •
         –100°
                 270°
Todos os arcos
têm extremidade
no mesmo ponto!
b)  700º 360º  2(voltas)  resto(340º )

⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°

   Logo a expressão geral é 20º 360k , k  Z


c) 49 rad  48 rad   rad  12 (6voltas)   rad
    4         4        4                       4
                              
   Logo a expressão geral é        2k rad , k  Z
                              4
d) 11 rad  10 rad   rad  (5voltas)   rad
   Logo a expressão geral é  rad  2k , k  Z

     33         32                             
e)      rad       rad  rad  4 (2 voltas)  rad
      8           8       8                       8
            – 2 voltas significa duas
           voltas no sentido horário
                   (negativo)

                                                 15
A 1ª determinação positiva será 2 rad  rad         rad
                                         8         8
                            15
   Logo a expressão geral é     rad  2k , k  Z
                             8
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.
                          Solução:
( ) 740° e 1460°          Para que representem arcos

( ) 400° e 940°           côngruos, suas extremidades
                          deverão ser as mesmas.
( )
                          Isto   pode   ser    verificado
( )                       comparando      as   primeiras
                          determinações de cada par.
1º) 740º 360º  2(voltas)  resto(20º )
     
⊠    1460º 360º  4(voltas)  resto(20º )

     400º 360º  1(voltas)  resto(40º )
 2º) 
     940º 360º  2(voltas)  resto(220º )
     38 rad  36 rad  2 rad  12rad  2 rad  6(voltas)  2 rad
      3          3         3                 3                    3
 3º) 
      26 rad  24 rad  2 rad  8rad  2 rad  4(voltas)  2 rad
⊠     3          3         3                3                    3
    74 rad  70 rad  4 rad  14rad  4 rad  7(voltas)  4 rad
     5          5        5                  5                     5
4º) 19       10       9               9                   9
        rad      rad     rad  2rad      rad  1(volta)     rad
     5         5         5                5                    5
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos
côngruos.


⊠ 740° e 1460°
( )

( ) 400° e 940°

⊠
( )

( )
12. Os arcos da forma , k.180º 30.(1)k , k ∈ ℤ , têm
extremidades em que quadrantes?
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a
regularidade dos quadrantes:
   k    2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  330º  30º  (1º Q)
   
   k    1  (1).180º  (1) 1.30º  180º 30º  210º  150º  (2º Q)
   
   k    0  (0).180º  (1)0 .30º  30º  (1º Q)
   k    1  (1).180º  (1)1.30º  180º 30º  150º  (2º Q)
   
   k
        2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  390º  30º  (1º Q)

Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a
extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para
valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e
2º quadrantes.
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se
de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a
ordenada do ponto M.

                           •    M
                                •
                       sen α
                              α      A
                   •       •cos α   •


                           •
sen

                            •       M
                                    •
                      sen α
                                α        A
                  •         •cos α      •    cos


                            •




Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen
α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos
Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
90° ou π/2 rad            sen
                                  (0,1)
                                 •

                                             •

                                                         0° ou 0 rad

        (–1 , 0 )                                  ( 1 , 0 ) cos
                    •            •                •

180° ou π rad                                       360° ou 2π rad



                                  •
                        ( 0 , –1 )
                                            270° ou 3π/2 rad
Ponto      Arco   Cosseno   Seno
         (1,0)         0       1        0
         (0,1)       π/2       0        1
        (–1 , 0 )      π      –1        0
        ( 0 , –1 )   3π/2      0       –1
         (1,0)        2π       1        0

Complete:

            1               1                0

            0               0                0
Exercício
Converta de graus para radianos:

a) 30° = _____

  180°        π rad
   30°        x rad




 b) 45° = _____                    c) 60° = _____
sen




          • 30° ou π/6

                         cos
•
sen



          • 45° ou π/4



                         cos
•
sen


          • 60° ou π/3




                         cos
•
sen




                          • 30° ou π/6

                                         cos
                •


210° ou 7π/6•
sen




150° ou 5π/6 •             • 30° ou π/6

                                          cos
                 •


210° ou 7π/6 •
sen




150° ou 5π/6 •             • 30° ou π/6

                                          cos
                 •


210° ou 7π/6 •             • 330° ou 11π/6
0      π/2      π     3π/2    2π
sen
cos


      1º Q     2º Q       3º Q     4º Q
      π/6     π – π/6 π + π/6 2π – π/6
              = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6
sen
cos
Agora vamos fazer o mesmo para todos
   os arcos associados a π/4 e π /6


         1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
         π/4    π – π/4 π + π/4 2π – π/4
                = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4
  sen
  cos
sen

180° – 45° = 135°ou
π – π/4 = (3π /4) rad
                   •              • 45° ou (π/4) rad



 180° ou π rad                            0° ou 0 rad cos
                        •
                                          360° ou 2π rad



                   •              •
180° + 45° = 225°ou                   360° – 45° = 315°ou
π + π/4 = (5π /4) rad                 2π – π/4 = (7π /4) rad
sen



•             •



                  cos
    •



•             •
sen


(3π /4) rad                     (π/4) rad
              •             •



                                              cos
                  •



              •             •
(5π /4) rad                     (7π /4) rad
1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/4    π – π/4 π + π/4 2π – π/4
             = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4
sen
cos

      1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/3    π – π/3 π + π/3 2π – π/3
             = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3
sen
cos
sen
180° – 60° = 120°ou
π – π/3 = (2π /3) rad
                        •             • 60° ou (π/3) rad




180° ou π rad                                    0° ou 0 rad cos
                            •
                                                 360° ou 2π rad




                        •             •
180° + 60° = 240°ou                       360° – 60° = 300°ou
π + π/3 = (4π /3) rad                     2π – π/3 = (5π /3) rad
sen


•             •




                  cos
    •




•             •
sen

120°                     60°
       •             •




                                cos
           •




       •             •
240°                     300°
1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/3    π – π/3 π + π/3 2π – π/3
             = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3
sen
cos
Tangente na Circunferência Trigonométrica

 Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo
 ponto A.                          t
                                  •      T
                           B
                            •       M
                                    •

                    A’          α        A
                     •     0•           •


                            •
                             B’


O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
t
                                       •T
                          B
                           •       M
                                   •        tg α
                   A’          α        A
                    •     0•           •


                           •B’


Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:
Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de
medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do
ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio
0M com o eixo das tangentes.
t
                                       •T
                          B
                           •       M
                                   •        tg α
                   A’          α        A
                    •     0•           •


                           •B’


OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois
os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o
eixo das tangentes.
Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com
extremidade em B ou B’.
Tabela das principais razões trigonométricas



               30º ou    45º ou    60º ou
              (π/6) rad (π/4) rad (π/3) rad
                  1         2         3
       sen
                  2        2         2
                   3        2        1
        cos
                  2        2         2
                   3       1
        tg                            3
                  3
sen                tg




                       T
                 •

          30° ou π/6        cos
•
sen                tg

                       T

                •
                            1

          45° ou π/4            cos
•
tg T
    sen




          •




      60° ou π/3          cos
•
Variação do sinal da tangente

    Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos:
        b              c          b
sen           cos      tg  
                                       C

        a              a          c
Vamos calcular o seguinte quociente:               a
                                       b
            b
 sen     a  b  a  b  tg 
                                                      α
 cos   c     a c     c
          a                                A   c           B
sen


     ⊕ ⊕                     ⊖ ⊕
                                   cos
     ⊖ ⊖                     ⊖ ⊕

                            tg
  Lembre-se que
⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕,
 ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖      ⊖ ⊕
                    ⊕   ⊖
1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/6    π – π/6 π + π/6 2π – π/6
             = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6
sen
cos

 tg
1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/4    π – π/4 π + π/4 2π – π/4
             = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4
sen
cos

tg    1        –1       1      –1
1º Q    2º Q    3º Q     4º Q
      π/3    π – π/3 π + π/3 2π – π/3
             = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3
sen
cos

 tg
Agora, muita atenção!

               0      π/2     π     3π/2     2π
       sen
       cos

       tg      0      ∞       0       ∞      0

A divisão por zero não é definida em Matemática, mas
podemos considerar aqui que os prolongamentos dos
raios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas ao
eixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retas
paralelas se “encontram” no infinito.
Exemplos:       sen                tg




                                   T
                             •

                      30° ou π/6        cos
            •         330° ou
                      11π/6
                             •
                                   T’
sen                tg

                                      T

                               •
                                           1

                         45° ou π/4            cos
               •
135° ou 5π/4



    •
tg T
                   sen



       •                 •



120° ou 2π/3         60° ou π/3
               •                    cos
Exercícios

 CONTINUAÇÃO
13. Determine os valores de:
a) y  3 cos 540º 2sen90º tg180º
b) y  4sen900º 2 cos 630º  cos 720º


 Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo
 ao 1° quadrante para determinações dos valores das
 funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo
 com os quadrantes.
cos 540º  cos 180º  1
   
a) sen 90º  1               y  3(1)  2(1)  0  3  2  5
   tg 180º  0
   

   sen 900º  sen180º  0
   
b) cos 630º  cos 270º  0           y  4 ( 0)  2( 0 )  1  0  0  1  1
   cos 720º  cos 360º  cos 0º  1
   
14. Determine os valores máximos e mínimos das
expressões:
       4 cos x  1
a) y 
           3
b) y  2  5senx
            5
c) y  3sen 2 x  2

Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo
[ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo.
No caso das funções estarem ao quadrado, o valor
mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao
quadrado pode ser negativo.
ATENÇÃO!




                                  4(1)  1 5
                      máximo : y          
        4 cos x  1 
                                     3      3
a)   y            
            3       mínimo : y  4(1)  1   3  1
                    
                                     3        3
             2  5(1) _ 7
        2  5senx  máximo : y 
                                      5
                                              
                                                5
b)   y           
            5      mínimo : y  2  5(1) _   3
                   
                                    5         5




                     máximo : y  3(0)  2  2
c) y  3sen x  2  
            2

                     mínimo : y  3(1)  2  1
15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições:



Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando
senos e cossenos, temos:




                      ou
3
16. Sendo x um arco do 2° quadrante e senx  ,
                                            5
determine:

a) cos x

b) tg x

Solução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e a
tangente também é negativa. Aplicando as relações
fundamentais, temos:
a)




b)
17. Relacione as colunas:




Solução:
Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o
sinal da função.
a)    5240° 360°
      1640
       200° 14
                               sen
                               90°
     cos 200° = –cos 20°
                                •



                        –cos 20°           20°
              180° •               •             • 0°   cos
                        20°            cos 20°
               200° •

                               •
                              270°
b) 1200° 360°
    120°
         3
                                 sen 60° = cos 30°
                          sen
                          90°
                           •
           120° •

                    60°          60°
        180° •             •           • 0°    cos



                           •
                          270°
c) –210° + 360° = 150°

                                 sen 150° = sen 30°
                          sen
                          90°
                           •

           150° •
                    30°          30°
          180° •           •           • 0°    cos



                           •
                          270°
d)


                     sen          tg

                     90°
                      •

      150° •
               30°          30°
     180° •           •           • 0°   cos



                      •
                     270°
d)


                       sen
                       90°
                        •
        120° •

                 60°          60°
     180° •             •           • 0°   cos



                        •
                       270°
d)


              sen
                                    cos 330° = cos 30°
              90°
               •



                     30°
     180° •    •            • 0°    cos
                     30°

                           • 330°

               •
              270°
d)
17. Relacione as colunas:
1  sen300º
18. A expressão                        é igual a:
                tg 540º  cos( 120º )

                         sen
                         90°
                          •


                                60°
           180° •         •           • 0°    cos
                                60°    ≡ 360°


                                 • 300°
                          •
                         270°
540° 360°
180° 1
              sen    tg

              90°
               •



     180° •    •     • 0°   cos



               •
              270°
–120° + 360° = 240°


                      sen
                      90°
                       •


                             60°
       180° •          •           • 0°   cos
                60°


            240° •
                       •
                      270°
1  sen300º
    tg 540º  cos( 120º )

      0



             ⇒



∴
ISERJ – 2011




Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/

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  • 1. CICLO TRIGONOMÉTRICO P R O F E S S O R A T E L M A C A S T R O S I LV A
  • 2. Medidas de Arcos As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad). Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).
  • 3. Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. Comprimento do arco r igual à medida do raio 1 rad • • r ≅ 0,28 rad 6,28 rad ou 2π rad Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.
  • 4. Transformação de graus para radianos 360° 2π rad 180° π rad 90° π/2 rad Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°? 540° x rad
  • 5. Circunferência Trigonométrica - Preliminares Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. 1 • –1• •0 •1 • –1
  • 6. 1 • ⊕ –1• •0 •1 A ⊖ O ponto A (1 , 0) é a • origem de todos os –1 arcos a serem medidos na circunferência. • Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-). • Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
  • 7. 1 • 2° Q 1° Q –1• •0 •1 A 3° Q 4° Q • –1 Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.
  • 8. Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–). Sentido POSITIVO ou Sentido NEGATIVO ou anti-horário horário B π/2 rad –3π/2 rad • • A π rad –π rad • •0 •0 rad • •0 •–2π rad 2π rad 0 rad A • • 3π/2 rad –π/2 rad B
  • 9. 5π/2 rad = 450° π/2 rad = 90° • 3ππ rad =540° rad = 180° 0 rad = 0° • • • 0 2π rad = 360° 4π rad = 720° • 3π/2 rad ==270° 7π/2 rad 630° Infinitos valores
  • 11. 1. Expresse em graus: 10 a) rad 9 11 b) rad 8  c) rad 9  d) rad 20 4 e) rad 3
  • 12. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20 a) 1 45 b) clicar 2
  • 13. Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração. 20 a) 1 45 b) 20 2 9 c) d) 1 60 1 e) 1
  • 14. 2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande). O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°. Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a
  • 15. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Solução: Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15°. Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos. O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora. Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180°. Logo, o ponteiro maior percorre π rad.
  • 16. 3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre? Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples: Ponteiro Ponteiro Pequeno Grande (π/6) rad 2π rad 2 (π/12) rad x rad Resposta: π rad
  • 17. 4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°. Ponteiro Pequeno Tempo 2 30° 60 min 42° x Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
  • 18. 5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min? x α 09:00 h 09:30 h
  • 19. Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura. Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”. Aplicando a regra-de-rês x descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 α em 30 minutos. Ponteiro Pequeno Tempo 60 x = 900 ⇒ x = 15° 30° 60 min α = 90° + x e xh 15° 09:30 = x 30 min ⇒ α = 105°
  • 20. 6. Determine: a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°. b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm. c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm.
  • 21. a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central correspondente mede 20°. ⇒
  • 22. b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio de 20cm. ⇒
  • 23. c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a um arco de 30cm. ⇒
  • 24. 7. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m? 40 cm = 0,4 m ⇒ C = 2π × 0,4 m ∴ C ≅ 2,5 m 1 volta = 2,5 m ⇒ 5000 voltas = 5000 × 2,5 m = 12.500 m 1 volta = 2,5 m ⇒ x voltas = 2,5 x = 9.420 m
  • 25. 8. As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 9.891km. Adote π = 3,14. d = 70 cm ∴ r = 35 cm 1 volta = C = 2π × 35 = 70π cm = 219,8 cm = 2,198 m Percurso = 9.891 km = 9.891.000 m x voltas = 2,198 . x 2,198 . x = 9891000 ∴ x = 4.500.000 voltas
  • 26. 9. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos. Solução: a) 1300° Encontra-se o número de voltas completas b) 1440° que é múltiplo de 360° ou de 2π. c) 170° 11 As menores determinações não negativas d) rad 2 serão os arcos encontrados nos restos 43 e) rad percorridos no sentido positivo. 5 f) –1200° São chamadas 1ªs determinações.
  • 27. a) 1300° 360° 1300°= 3 × 360° + 220° 22 0° 3 voltas 3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°. b) 1440° 360° 1440°= 4 × 360° + 0° 00 0° 4 voltas 4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°. c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.
  • 28. d) Vamos dividir o arco por 2π rad Sabemos que: ou seja, 2 voltas mais ¾ de volta. ¾ de uma volta, em radianos, serão: 1 2
  • 29. e) Vamos dividir o arco por 2π rad Sabemos que: ou seja, 4 voltas mais 3/10 de volta. 3/10 de uma volta, em radianos, serão: 1 5
  • 30. f) –1200° 360° –1300°= –3 × 360° – 120° –1 2 0° –3 voltas 3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida –120° é a 1ª determinação negativa de –1200°. Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°. –120° + 360° = 240° Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240° (sentido positivo).
  • 31. Visualização de determinações positiva e negativa: 90° • 180° • • 0° +240° ≡ –120° • • 270°
  • 32. 10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a: a) 1700° Solução: A expressão geral será b) –700° dada pela 1ª determinação dos 49 ângulos adicionadas a múltiplos de c) rad 4 360° ou 2π, positivos ou negativos. d) 11 rad 33 e)  rad 8
  • 33. a) 1700° 360° 1700°= 4 × 360° + 260° 26 0° 4 voltas 4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida 260° é a 1ª determinação positiva de 1700°. Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:
  • 34. a) 1700° 360° 26 0° 4 voltas Sendo k um número inteiro, ao escrevermos 360°k, queremos expressar um número qualquer de voltas completas em qualquer sentido – positivo ou negativo. Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao ponto de partida – não importando quantas voltas foram dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.
  • 35. 90° • 180° • • 0° ≡ 360° • • 260° 270°
  • 36. 90° • 180° • • 0° 1 volta ≡ 360° + 260° • • 620° 270°
  • 37. 90° • 180° • • 0° 1 volta 2 voltas ≡ 360° + 260° • • 980° 270°
  • 38. 90° • 180° • • 0° –1 volta ≡ 360° + 260° • • –100° 270°
  • 39. Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto!
  • 40. b)  700º 360º  2(voltas)  resto(340º ) ⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20° Logo a expressão geral é 20º 360k , k  Z c) 49 rad  48 rad   rad  12 (6voltas)   rad 4 4 4 4  Logo a expressão geral é  2k rad , k  Z 4
  • 41. d) 11 rad  10 rad   rad  (5voltas)   rad Logo a expressão geral é  rad  2k , k  Z 33 32   e)  rad   rad  rad  4 (2 voltas)  rad 8 8 8 8 – 2 voltas significa duas voltas no sentido horário (negativo)  15 A 1ª determinação positiva será 2 rad  rad  rad 8 8 15 Logo a expressão geral é rad  2k , k  Z 8
  • 42. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. Solução: ( ) 740° e 1460° Para que representem arcos ( ) 400° e 940° côngruos, suas extremidades deverão ser as mesmas. ( ) Isto pode ser verificado ( ) comparando as primeiras determinações de cada par.
  • 43. 1º) 740º 360º  2(voltas)  resto(20º )  ⊠ 1460º 360º  4(voltas)  resto(20º ) 400º 360º  1(voltas)  resto(40º ) 2º)  940º 360º  2(voltas)  resto(220º ) 38 rad  36 rad  2 rad  12rad  2 rad  6(voltas)  2 rad  3 3 3 3 3 3º)   26 rad  24 rad  2 rad  8rad  2 rad  4(voltas)  2 rad ⊠  3 3 3 3 3 74 rad  70 rad  4 rad  14rad  4 rad  7(voltas)  4 rad  5 5 5 5 5 4º) 19 10 9 9 9  rad  rad  rad  2rad  rad  1(volta)  rad  5 5 5 5 5
  • 44. 11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. ⊠ 740° e 1460° ( ) ( ) 400° e 940° ⊠ ( ) ( )
  • 45. 12. Os arcos da forma , k.180º 30.(1)k , k ∈ ℤ , têm extremidades em que quadrantes? Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes: k  2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  330º  30º  (1º Q)  k  1  (1).180º  (1) 1.30º  180º 30º  210º  150º  (2º Q)  k  0  (0).180º  (1)0 .30º  30º  (1º Q) k  1  (1).180º  (1)1.30º  180º 30º  150º  (2º Q)  k   2  (2).180º  (1) 2 .30º  360º 30º  390º  30º  (1º Q) Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e 2º quadrantes.
  • 46. Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M. • M • sen α α A • •cos α • •
  • 47. sen • M • sen α α A • •cos α • cos • Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
  • 48. 90° ou π/2 rad sen (0,1) • • 0° ou 0 rad (–1 , 0 ) ( 1 , 0 ) cos • • • 180° ou π rad 360° ou 2π rad • ( 0 , –1 ) 270° ou 3π/2 rad
  • 49. Ponto Arco Cosseno Seno (1,0) 0 1 0 (0,1) π/2 0 1 (–1 , 0 ) π –1 0 ( 0 , –1 ) 3π/2 0 –1 (1,0) 2π 1 0 Complete: 1 1 0 0 0 0
  • 50. Exercício Converta de graus para radianos: a) 30° = _____ 180° π rad 30° x rad b) 45° = _____ c) 60° = _____
  • 51. sen • 30° ou π/6 cos •
  • 52. sen • 45° ou π/4 cos •
  • 53. sen • 60° ou π/3 cos •
  • 54. sen • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6•
  • 55. sen 150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6 •
  • 56. sen 150° ou 5π/6 • • 30° ou π/6 cos • 210° ou 7π/6 • • 330° ou 11π/6
  • 57. 0 π/2 π 3π/2 2π sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6 sen cos
  • 58. Agora vamos fazer o mesmo para todos os arcos associados a π/4 e π /6 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4 sen cos
  • 59. sen 180° – 45° = 135°ou π – π/4 = (3π /4) rad • • 45° ou (π/4) rad 180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • • 180° + 45° = 225°ou 360° – 45° = 315°ou π + π/4 = (5π /4) rad 2π – π/4 = (7π /4) rad
  • 60. sen • • cos • • •
  • 61. sen (3π /4) rad (π/4) rad • • cos • • • (5π /4) rad (7π /4) rad
  • 62. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3 sen cos
  • 63. sen 180° – 60° = 120°ou π – π/3 = (2π /3) rad • • 60° ou (π/3) rad 180° ou π rad 0° ou 0 rad cos • 360° ou 2π rad • • 180° + 60° = 240°ou 360° – 60° = 300°ou π + π/3 = (4π /3) rad 2π – π/3 = (5π /3) rad
  • 64. sen • • cos • • •
  • 65. sen 120° 60° • • cos • • • 240° 300°
  • 66. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3 sen cos
  • 67. Tangente na Circunferência Trigonométrica Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. t • T B • M • A’ α A • 0• • • B’ O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T.
  • 68. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • •B’ Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim: Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.
  • 69. t •T B • M • tg α A’ α A • 0• • •B’ OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’.
  • 70. Tabela das principais razões trigonométricas 30º ou 45º ou 60º ou (π/6) rad (π/4) rad (π/3) rad 1 2 3 sen 2 2 2 3 2 1 cos 2 2 2 3 1 tg 3 3
  • 71. sen tg T • 30° ou π/6 cos •
  • 72. sen tg T • 1 45° ou π/4 cos •
  • 73. tg T sen • 60° ou π/3 cos •
  • 74. Variação do sinal da tangente Sabemos que no triângulo retângulo ABC, temos: b c b sen   cos  tg   C a a c Vamos calcular o seguinte quociente: a b b sen a  b  a  b  tg   α cos c a c c a A c B
  • 75. sen ⊕ ⊕ ⊖ ⊕ cos ⊖ ⊖ ⊖ ⊕ tg Lembre-se que ⊕/⊕ = ⊕, ⊖/⊖ = ⊕, ⊕/⊖ = ⊖/⊕ = ⊖ ⊖ ⊕ ⊕ ⊖
  • 76. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/6 π – π/6 π + π/6 2π – π/6 = 5π/6 = 7π/6 = 11π/6 sen cos tg
  • 77. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/4 π – π/4 π + π/4 2π – π/4 = 3π/4 = 5π/4 = 7π/4 sen cos tg 1 –1 1 –1
  • 78. 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π/3 π – π/3 π + π/3 2π – π/3 = 2π/3 = 4π/3 = 5π/3 sen cos tg
  • 79. Agora, muita atenção! 0 π/2 π 3π/2 2π sen cos tg 0 ∞ 0 ∞ 0 A divisão por zero não é definida em Matemática, mas podemos considerar aqui que os prolongamentos dos raios nos arcos π/2 e 3π/2 resultariam em paralelas ao eixo das tangentes e, como sabemos, define-se que retas paralelas se “encontram” no infinito.
  • 80. Exemplos: sen tg T • 30° ou π/6 cos • 330° ou 11π/6 • T’
  • 81. sen tg T • 1 45° ou π/4 cos • 135° ou 5π/4 •
  • 82. tg T sen • • 120° ou 2π/3 60° ou π/3 • cos
  • 84. 13. Determine os valores de: a) y  3 cos 540º 2sen90º tg180º b) y  4sen900º 2 cos 630º  cos 720º Solução: Encontram-se os arcos côngruos, reduzindo ao 1° quadrante para determinações dos valores das funções e atribuindo seus respectivos sinais de acordo com os quadrantes.
  • 85. cos 540º  cos 180º  1  a) sen 90º  1  y  3(1)  2(1)  0  3  2  5 tg 180º  0  sen 900º  sen180º  0  b) cos 630º  cos 270º  0  y  4 ( 0)  2( 0 )  1  0  0  1  1 cos 720º  cos 360º  cos 0º  1 
  • 86. 14. Determine os valores máximos e mínimos das expressões: 4 cos x  1 a) y  3 b) y  2  5senx 5 c) y  3sen 2 x  2 Solução: As funções seno e cosseno variam no intervalo [ – 1 , 1] onde (–1) é mínimo e (1) é máximo. No caso das funções estarem ao quadrado, o valor mínimo passa a ser (0), pois nenhum número ao quadrado pode ser negativo.
  • 87. ATENÇÃO!  4(1)  1 5 máximo : y   4 cos x  1   3 3 a) y  3 mínimo : y  4(1)  1   3  1   3 3
  • 88. 2  5(1) _ 7 2  5senx máximo : y   5  5 b) y  5 mínimo : y  2  5(1) _   3   5 5 máximo : y  3(0)  2  2 c) y  3sen x  2   2 mínimo : y  3(1)  2  1
  • 89. 15. Que valores de m satisfarão a ambas as condições: Solução: Aplicando a relação fundamental relacionando senos e cossenos, temos: ou
  • 90. 3 16. Sendo x um arco do 2° quadrante e senx  , 5 determine: a) cos x b) tg x Solução: No 2° quadrante o cosseno é negativo e a tangente também é negativa. Aplicando as relações fundamentais, temos:
  • 91. a) b)
  • 92. 17. Relacione as colunas: Solução: Encontrando o arco côngruo correspondente, avalia-se o sinal da função.
  • 93. a) 5240° 360° 1640 200° 14 sen 90° cos 200° = –cos 20° • –cos 20° 20° 180° • • • 0° cos 20° cos 20° 200° • • 270°
  • 94. b) 1200° 360° 120° 3 sen 60° = cos 30° sen 90° • 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 95. c) –210° + 360° = 150° sen 150° = sen 30° sen 90° • 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 96. d) sen tg 90° • 150° • 30° 30° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 97. d) sen 90° • 120° • 60° 60° 180° • • • 0° cos • 270°
  • 98. d) sen cos 330° = cos 30° 90° • 30° 180° • • • 0° cos 30° • 330° • 270°
  • 99. d)
  • 100. 17. Relacione as colunas:
  • 101. 1  sen300º 18. A expressão é igual a: tg 540º  cos( 120º ) sen 90° • 60° 180° • • • 0° cos 60° ≡ 360° • 300° • 270°
  • 102. 540° 360° 180° 1 sen tg 90° • 180° • • • 0° cos • 270°
  • 103. –120° + 360° = 240° sen 90° • 60° 180° • • • 0° cos 60° 240° • • 270°
  • 104. 1  sen300º tg 540º  cos( 120º ) 0 ⇒ ∴
  • 105. ISERJ – 2011 Fontes: Trabalho da Professora Gertrudes, PUC-RS e http://professorwaltertadeu.mat.br/