triângulo

1. Relações métricas no triângulo
retângulo

2. Hipotenusa e catetos do
triângulo retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto cateto
cateto
hipotenusa

3. Outros segmentos do triângulo
retângulo
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
m
n
h
b
c

4. A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
h

5. Os triângulos ABC, ABH e ACH são
semelhantes. Veja:
h


 
(I)
 +  = 90º
A
B H C

6. 

 
(II)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .
(I)
 +  = 90º

7. 

 
(III)
 +  + 90º = 180º
 +  = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se:
 +  =  +    = .
Portanto,  = .
(I)
 +  = 90º

8. Conclusão


 
Como  =  e  = ,
os triângulos ABC,
ABH e ACH são
semelhantes pelo
caso (AA).
h
A
B H C
A
B C
B H H C
A A

 




9. 1ª relação métrica
n
m
h
h
m
n
h
2



h
b
m
A
H C
h
c
n
A
H
B

10. 2ª relação métrica
a
m
b
b
m
a
b
2



h
b
m
A
H C
b
c
A
B C
a

11. 3ª relação métrica
c
h n
h
c
n
A
H
B
a
b c
b
c
A
B C
a
a
n
c
a
c
c
n
2




12. 4ª relação métrica
c
h n
h
c
n
A
H
B
a
b c
b
c
A
B C
a
c
b
h
a
a
b
c
h





13. Teorema de Pitágoras
(5ª relação métrica)
a
m
n
h
b
c
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
Somando, membro
a membro, as duas
igualdades, tem-se:
a
n
c
a
m
b
2
2




 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
c
b
a
a
c
b
n
m
a
c
b
a
n
a
m
c
b














14. Teorema de Pitágoras
A
B C
a
b
c
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²

15. Resumo
a
m
n
h
b
c
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²