Aula sobre triângulos

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Aula sobre triângulos

  1. 2. Definição <ul><li>Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região que eles determinam. </li></ul>A B C
  2. 3. Elementos principais <ul><li>A figura mostra o triângulo ABC. Nele, destacamos </li></ul>A B C a b c <ul><li>os vértices A, B e C </li></ul><ul><li>os lados e suas medidas: </li></ul><ul><li>AB = c, AC = b e BC = a </li></ul><ul><li>os ângulos internos </li></ul><ul><li>A, B e C. </li></ul> <ul><li>ângulo externo (  ) </li></ul>
  3. 5. Quanto à medida de seus lados <ul><li>Triângulo escaleno </li></ul>A B C a b c As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c) <ul><li>As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C. </li></ul>
  4. 6. Quanto à medida de seus lados <ul><li>Triângulo isósceles </li></ul>A B C x x Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x). <ul><li>o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base . </li></ul><ul><li>os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o ângulo no vértice . </li></ul>
  5. 7. Quanto à medida de seus lados <ul><li>Triângulo eqüilátero </li></ul>A B C x x Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x). <ul><li>os ângulos A, B e C , também, são todos iguais (60º). </li></ul>x
  6. 8. Quanto à medida de seus ângulos internos <ul><li>Triângulo acutângulo </li></ul>A B C As medidas dos três ângulos internos são agudos (A < 90º, B < 90º e C < 90º)
  7. 9. Quanto à medida de seus ângulos internos <ul><li>Triângulo retângulo </li></ul>A B C A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º) <ul><li>O lado BC é chamado de hipotenusa ; os outros dois são chamados catetos . </li></ul>
  8. 10. Quanto à medida de seus ângulos internos <ul><li>Triângulo obtusângulo </li></ul>A B C A medida de um de seus ângulos internos é obtuso . (A > 90º)
  9. 12. Soma dos ângulos internos <ul><li>A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante e igual a 180º. </li></ul>A C B  r  A + B + C = 180º  + C +  = 180º  = A e  = B ⇒ r // AB
  10. 13. Medida do ângulo externo <ul><li>Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes. </li></ul> A C B  + C = 180º A + B + C = 180º ( I ) ( II ) ⇒  + C = A + B + C ⇒  = A + B
  11. 14. Medida do ângulo externo <ul><li>Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes. </li></ul>f A C B e = A + B g e f = A + C g = B + C
  12. 15. Exemplo <ul><li>Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado. </li></ul>B A D 76º 115º C x y y 76 + y = 115 y = 39º ⇒ 115 + y = x 115 + 39 = x x = 154º ⇒
  13. 17. Mediana <ul><li>Une o vértice ao ponto médio do lado oposto. </li></ul>B A C M AM é mediana BM = CM ⇒ M é o ponto médio do segmento BC.
  14. 18. Altura <ul><li>Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é perpendicular à reta suporte desse lado. </li></ul>B A C H AH é altura AH é perpendicular a BC ⇒
  15. 19. Bissetriz interna <ul><li>Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes . </li></ul>B A C S AS é bissetriz
  16. 20. Mediatriz <ul><li>Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio. </li></ul>A m B M A reta m é mediatriz AM = BM ⇒
  17. 21. Triângulo isósceles A B C x x <ul><li>a altura AM relativa à base é também mediana e bissetriz interna. </li></ul>M
  18. 22. Triângulo eqüilátero A B C N P <ul><li>Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP). </li></ul>M
  19. 24. Relacionando lados e ângulos <ul><li>A trigonometria tem sua origem na necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo. </li></ul><ul><li>a hipotenusa BC = a </li></ul>A B C a b c <ul><li>o cateto AC = b </li></ul><ul><li>o cateto AB = c </li></ul><ul><li>A = 90º </li></ul><ul><li>B + C = 90º </li></ul>
  20. 25. Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ cateto oposto a ⍺ hipotenusa = sen ⍺ = c a cateto adjacente a ⍺ hipotenusa = cos ⍺ = b a 
  21. 26. Relacionando lados e ângulos A B C a b c a 2 = b 2 + c 2 ⍺ cateto oposto a ⍺ = tg ⍺ = c b cateto adjacente a ⍺  <ul><li>os números sen ⍺ , cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺ . </li></ul>
  22. 27. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B. </li></ul>12 16 A B C Teorema de Pitágoras BC 2 = AB 2 + AC 2 x 2 = 16 2 + 12 2 x 2 = 256 + 144 x 2 = 400 x = 20 20
  23. 28. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. </li></ul>cateto oposto a B hipotenusa sen B = = 12 20 = 3 5 = 0,6 cateto adjac. a B hipotenusa cos B = = 16 20 = 4 5 = 0,8 12 16 A B C 20
  24. 29. Exemplos <ul><li>O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B. </li></ul>cateto oposto a B cateto adjac. a B tg B = = 12 16 = 3 4 = 0,75 12 16 A B C 20
  25. 30. Exemplos <ul><li>Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm. </li></ul>5 cm 16 6 cm x y tg y = 6 5 = 1,2 ⇒ y ≈ 50º x + y = 90º ⇒ x ≈ 40º
  26. 32. Ângulos complementares  A B C 5 4 3 ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 3 4 ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = 3 5 cos ⍺ = 4 5 tg  = 4 3 sen  = 4 5 cos  = 3 5
  27. 33. Ângulos complementares  A B C a b c ⍺ +  = 90º ⍺ tg ⍺ = 1 tg  ⇒ Os ângulos ⍺ e  são complementares sen ⍺ = cos  cos ⍺ = sen 
  28. 35. Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º. 1 tg ½ cos ½ sen 60º 45º 30º √ 2/2 √ 2/2 √ 3/2 √ 3/2 √ 3/3 √ 3
  29. 36. Exemplos <ul><li>A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y. </li></ul>x 16 y 30º sen 30º = x 12 12 cm ⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm cos 30º = y 12 ⇒ x = 12 . √ 3 /2 ⇒ x = 6 √ 3 cm
  30. 37. Exemplos <ul><li>Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z. </li></ul>30º A B C D x y z 2 cm 60º
  31. 38. Identidades trigonométricas <ul><li>A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações. </li></ul>b/a c/a  A C B a c b ⍺ sen ⍺ cos ⍺ = = b a . a c = b c = tg ⍺ tg x = sen x cos x
  32. 39. Exemplos <ul><li>Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno e a tangente desse ângulo. </li></ul>sen 2 x + cos 2 x ⇒ 3 5 + 2 cos 2 x = 1 ⇒ 9 25 + cos 2 x = 1 ⇒ 9 25 – cos 2 x = 1 = 25 – 9 25 ⇒ cos x = = 16 25 ± 4/5 ⇒ cos x = 4/5
  33. 40. Exemplos <ul><li>Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo. </li></ul>tg x = sen x cos x = 3 5 4 5 = 3 4

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