Descontos simples e compostos--Matemática Financeira_un2.pdf

1ª edição
2017
Matemática
Financeira

2
3
Unidade de Estudo 2
Descontos simples e compostos
Para iniciar seus estudos
No dia a dia, a todo o momento lidamos com a palavra desconto. Pro-
moções geralmente dão um desconto com uma determinada queda no
preço de tantos por cento. Nesta unidade você aprenderá os conceitos de
descontos simples e compostos e entenderá as diferenças entre taxa de
juros e taxa de desconto comercial.
Objetivos de Aprendizagem
• Definir descontos simples e compostos;
• Apresentar diferenças entre os tipos de descontos;
• Mostrara relação entre taxa de juros e taxa de desconto comercial.

4
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 2 – Descontos simples e compostos
2.1 Conceitos Iniciais
Quando estamos interessados em comprarum tênis cujo valora prazo é de R$ 100,00 e a vendedora nos garante
que teremos um desconto de 10% caso a compra seja efetuada à vista, é importante sabermos o conceito de
desconto. Nos tópicos a seguir você conhecerá o que são descontos simples, descontos compostos, taxa de
juros e taxa de desconto comercial. Fique atento aos conceitos passados, pois eles têm grande aplicabilidade
no dia a dia.
2.2 Descontos e Perdas
Para resolvermos problemas de porcentagem que envolvam descontos ou perdas, basta multiplicarmos o valor
inicial por (i – 1). Assim, podemos escrever a seguinte expressão matemática para o cálculo do desconto.
D = P(1 – i)
Em que:
D: valor com desconto.
P: preço em análise (sem desconto).
i: taxa de desconto.
Para melhor ilustrar a aplicação da expressão supracitada, analise o exemplo 2.1.
Exemplo 2.1
O preço de etiqueta de uma calça jeans na loja “Compre Mais” é de R$ 150,00. Para o pagamento à vista, a loja dá
um desconto de 8% sobre o preço da etiqueta. Qual o preço à vista da etiqueta?
O valor da calça sem desconto do exemplo acima é de R$ 150,00. A taxa de desconto é dada por:
8
8% 0,08
100
i
= = =
Vamos utilizar a expressão que calcula o valor da calça com desconto. Temos que:
D = P(1 – i)
D = 150 (1 – 0,08)
D = 150 (0,92)
D = R$ 138,00
Assim, temos que o preço da calça com desconto é de R$ 138,00.
Vamos à explicação de um outro exercício para fixar o conteúdo de desconto.

5
Exemplo 2.2
O preço de uma camisa, à vista, com 10% de desconto em uma loja é de R$ 80,00. Qual o preço a prazo (sem
desconto) dessa camisa?
Note que agora já foi fornecido o preço com desconto e temos o interesse em calcular o preço sem desconto.
Assim, também podemos utilizar a expressão matemática deste tópico, que é:
( )
1
D P i
= −
( )
80 1 0,1
P
= −
80 0,9P
=
$88,89
P R
=
Portanto, o preço da camisa a prazo (sem desconto) é de R$ 88,89. Compreenda que essa expressão nos permite
calcular tanto o valor à vista quanto o valor a prazo de uma determinada mercadoria.
2.3 Descontos Sucessivos
Caso estejam presentesvários descontos sucessivos, devemos utilizara seguinte expressão matemática para cal-
cular o desconto final.
Em que:
n
D : valor total de todos os descontos.
P : preço em análise (sem desconto).
1 2
, ,..., n
i i i : taxas do 1º, 2º, ...., nº desconto.

6
Exemplo 2.3
Um cliente de uma determinada loja recebeu uma oferta de três descontos sucessivos sobre o preço de um tele-
visor de R$ 500,00. As taxas dos descontos são, respectivamente, 2%, 5%, 10%. Qual o valor final que o cliente
irá pagar pelo televisor?
Vamos utilizar a expressão matemática do item 2.3 para calcularmos o valor total após todos os descontos.
( )( ) ( )
1 2
1 1 ... 1
n n
D P i i i
= − − −
( )( )( )
3 1 2 3
1 1 1
D P i i i
= − − −
( )( )( )
3 500 1 0,02 1 0,05 1 0,1
D = − − −
( )( )( )
3 500 0,98 0,95 0,9
D =
3 $418,95
D R
=
O valor final da televisão após todos os descontos fornecidos pelo vendedor é de R$ 418,95.
Observe agora o próximo exemplo.
Exemplo 2.4
Ovalorfinal de uma mercadoria após cinco descontos sucessivos de 1%, 2%, 4%, 8% e 13% é de R$ 100,00. Qual
é o valor dessa mercadoria sem desconto?
Novamente vamos utilizar a expressão citada neste tópico.
( )( ) ( )
1 2
1 1 ... 1
n n
D P i i i
= − − −
( )( )( )( )( )
5 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
D P i i i i i
= − − − − −
( )( )( )( )( )
100 1 0,01 1 0,02 1 0,04 1 0,08 1 0,13
P
= − − − − −
( )( )( )( )( )
100 0,99 0,98 0,96 0,92 0,87
P
=
$134,14
P R
=
Assim, no exemplo 2.4 o valor dessa mercadoria sem desconto é de R$134,14.
Já no exemplo 2.3 o valor final da televisão após todos os descontos fornecidos pelo vendedor é de R$ 418,95.
Note que poderíamos ter apenas um desconto que equivalha a todos os descontos sucessivos. No exemplo 2.3,
tal desconto seria de
418,95
1 0,1621 16,21%
500
D =
− = = . Para o exemplo 2.4, o valor de um único desconto equiva-
lente é de
100
1 0,2545 25,45%
134,14
D =
− = = .

7
2.4 Aumentos
De maneira análoga àquela que descrevemos para o cálculo do desconto, podemos ter a seguinte expressão
matemática que calcula o aumento de preço.
A = P(1 + i)
Em que:
A: preço com aumento.
P: preço em análise (sem aumento).
i: taxa de aumento.
Para melhor ilustrar a aplicação da expressão supracitada, analise o exemplo 2.5.
Exemplo 2.5
Uma determinada loja de roupas estava em liquidação. O preço de uma jaqueta era de R$300,00. Quando a pro-
moção terminou, a jaqueta sofreu um aumento de 15%. Qual é o novo valor após o aumento de preço?
A taxa de aumento foi citada no enunciado e possui o seguinte valor.
i = 15% =
15
= 0,15
100
Agora vamos calcular o novo preço da jaqueta após o aumento sofrido na loja em questão.
A = P(1 + i)
A = 300 (1 + 0,15)
A = 300 (1,15)
A = R$ 345,00
Assim, temos que o preço da jaqueta após o aumento é de R$ 345,00.

8
2.5 Aumentos Sucessivos
Caso estejam presentes vários aumentos sucessivos, devemos utilizara seguinte expressão matemática para cal-
cular o aumento final.
( )( ) ( )
1 2
1 1 ... 1
n n
A P i i i
= + + +
Em que:
n
A : valor total de todos os aumentos.
P : preço em análise (sem aumento).
1 2
, ,..., n
i i i : taxas do 1º, 2º, ...., nº aumento.
A única diferença do desconto para o aumento, em termos matemáticos, é a troca de 1 sinal
de – para +. Cuidado para não confundir.
Exemplo 2.6
Um computador notebook da marca Dell de uma loja apresentou 3 aumentos sucessivos de 2%, 3% e 5% em seu
preço. Sabendo que seu preço inicial era de R$1.500,00, qual é o preço após todos os aumentos?
Vamos utilizar a expressão matemática deste tópico para calcularmos o preço final após todos os aumentos.
( )( ) ( )
1 2
1 1 ... 1
n n
A P i i i
= + + +
( )( )( )
3 1 2 3
1 1 1
A P i i i
= + + +
( )( )( )
3 1500 1 0,02 1 0,03 1 0,05
A = + + +
( )( )( )
3 1500 1,02 1,03 1,05
A =
3 $1.654,70
A R
=
O valor final do computador após todos os aumentos fornecidos é de R$ 1.654,70.
Note que poderíamos ter apenas um aumento que equivalha a todos os aumentos sucessivos. No exemplo 2.6,
tal aumento seria de
1654,70
1 1 1,1031 0,1031 10,31%
1500
A =
− =
− = = .

9
Oliveira (2014) apresenta na página 29 de seu artigo os conceitos de aumentos e descon-
tos sucessivos. Acesse o link abaixo para ver como o autor esclarece os conceitos <http://
www.impa.br/opencms/pt/ensino/downloads/PROFMAT/trabalho_conclusao_curso/2014/
aimore_oliveira.pdf>.
2.6 Desconto Simples
O desconto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes do seu vencimento. O desconto pode
serfeito considerando-se como capital ovalornominal (FV) ou ovaloratual (PV). No primeiro caso, é denominado
de desconto comercial; no segundo caso, desconto racional.
Figura 2.1 - Fluxo de Caixa de Desconto
Legenda: O fluxo de caixa indica o valor atual e o nominal.
Fonte: Acervo Delinea (2016).
Fluxo de Caixa é uma representação esquemática de todas as entradas e saídas de caixa. As
entradas são representadas por setas para cima, e as saídas por setas para baixo.
Glossário

10
Diante da expressão representada na Figura 2.1, você precisa ter em mente o significado dos símbolos indicados,
que são:
FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um determi-
nado compromisso, que é o valor indicado no título.
PV : valor atual (valor descontado) do título, ou seja, o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento.
D : desconto.
n : número de períodos antes do vencimento do título.
d : taxa de desconto.
Exemplo 2.7
Um ventilador custa R$ 100,00 em uma determinada loja. Um cliente recebeu uma proposta de um desconto de
10% se adquirir o produto à vista. Qual o valor do desconto?
Note que o desconto é calculado de maneira trivial. 10% de 100 representa 10. Logo, o desconto é de R$10,00.
2.7 Desconto Racional Simples (Por Dentro)
O desconto racional simples ou desconto por dentro é o equivalente ao juro simples calculado sobre o valor atual
do título no período de tempo correspondente.
Devemos utilizar as seguintes expressões para o desconto racional simples:
( )
. . ...... 1
R
D PV d n
=
( ) ( )
1 . ...... 2
FV PV d n
= +
Em que:
R
D : valor do desconto racional.
PV : valor presente ou valor atual.
d : taxas de desconto.
n : número de períodos antes do vencimento.
Caso estejamos interessados em calcular o valor atual PV, basta isolarmos esse termo na expressão citada acima.
Logo, temos:
( )
...... 3
1 .
FV
PV
d n
=
+
Utilizando a expressão (1) e substituindo em (3), temos:
. .
1
R
FV d n
D
dn
=
+

11
Para encontrarmos uma expressão matemática para o número de períodos, o procedimento é semelhante.
Assim, temos:
. .
FV PV D
n
PV d PV d
−
= =
Exemplo 2.8
Camilavai descontarum título de R$ 3.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Faltando 30 dias para ovencimento, deter-
mine:
a. O valor atual, utilizando a ideia de desconto racional.
Temos os seguintes dados no enunciado:
$3.000,00
FV R
=
0,015
1,5% . . 0,015 . . 0,0005 . .
30
d a m a m a d
= = = =
30
n dias
=
Vamos encontrar o PV através da seguinte expressão:
1 .
FV
PV
d n
=
+
3000
$2.955,67
1 0,0005.30
PV R
= =
+
Assim, o valor atual é R$2.955,67.
b. O valor do desconto racional simples.
Temos a seguinte expressão para o cálculo do desconto.
R
D FV PV
= −
3000 2955,67 $44,33
R
D R
= − =
Assim, o valor do desconto racional simples é de R$44,33.
2.8 Desconto Comercial Simples (Por Fora)
Desconto comercial, bancário ou por fora é o equivalente ao juro simples calculado sobre o valor nominal do
título no período de tempo correspondente. Ele é o único desconto usado na prática comercial e bancária.

12
É importante observarque o desconto comercial simples só pode serempregado para perío-
dos curtos, pois para longos prazos o valor do desconto poderá até ultrapassar o valor nomi-
nal do título.
As expressões matemáticas utilizadas para calcular todas as incógnitas que podem envolver o desconto comer-
cial simples são dadas por:
1 .
PV
FV
d n
=
−
. .
C
D FV d n
=
. .
C
D
FV PV
n
FV d FV d
−
= =
.n .n
C
D
FV PV
d
FV FV
−
= =
Em que:
FV : valor nominal.
PV : valor presente ou valor atual.
n : número de períodos antes do vencimento.
C
D : valor do desconto comercial.
O desconto racional é sempre menor do que o desconto comercial. Tome um exemplo que
você poderá chegar a essa conclusão.

13
Exemplo 2.9
Camila vai descontar um título de R$3.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Faltando 30 dias para o vencimento, deter-
mine:
a. O valor do desconto comercial simples.
Temos a seguinte expressão para o cálculo do desconto.
. .
C
D FV d n
=
3000.0,0005.30
C
D =
$45,00
C
D R
=
Assim, o valor do desconto comercial simples é de R$45,00.
b. O valor atual, utilizando a ideia de desconto comercial.
Temos os seguintes dados no enunciado:
$3.000,00
FV R
=
0,015
1,5% . . 0,015 . . 0,0005 . .
30
d a m a m a d
= = = =
30
n dias
=
Vamos encontrar o PV através da seguinte expressão:
C
PV FV D
= −
3000 45
PV
= −
$2.955,00
PV R
=
Assim, o valor atual é R$ 2.955,00.
Note, através dos Exemplos 2.8 e 2.9 que o valor do desconto comercial simples é maior que o valor do desconto
racional simples.
Em geral, sempre que o desconto não for explicado deve-se subentender desconto comer-
cial. Note que o desconto racional é menor que o desconto comercial.

14
2.9 Relação entre a taxa de juros e a taxa de desconto
A taxa de juro, que no período n torna o capital PV igual ao montante FV, é a taxa que realmente está sendo
cobrada na operação de desconto. Essa taxa é denominada de taxa de juro efetiva.
Para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual do título, é necessário que a taxa de juro seja
maior que a taxa de desconto.
Aqui, é importante que você se lembre de que no desconto racional simples temos i d
= , mas no desconto
comercial simples temos i d
≠ .
Para determinarmos a relação entre i e d no Desconto Comercial Simples, fazemos:
C
J D
=
. . . .
PV i n FV d c
=
( )
. .
1 . 1 .
FV d FV d d
i
PV FV d n d n
= = =
− −
Caso tenhamos interesse em encontrar d , temos:
1 .
i
d
i n
=
+
Exemplo 2.10
Qual a taxa de juros simples mensal correspondente à taxa de desconto de 20% a.m.?
Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
20% . . 0,2 . .
d a m a m
= =
1
n mês
=
Vamos utilizar a expressão matemática fornecida anteriormente para encontrar a taxa de juro simples.
1 .
d
i
d n
=
−
0,2
1 0,2.1
i =
−
0,25
i =
25%
i =
Dessa forma, podemos concluir que a taxa de juro mensal correspondente à taxa de desconto de 20% a.m. é de
25% a.m.

15
Exemplo 2.11
Qual a taxa de desconto (em 1 mês) correspondente à taxa de juro simples mensal de 10%?
10% . . 0,1 . .
i a m a m
= =
1
n mês
=
Vamos utilizar a expressão matemática fornecida acima para encontrar a taxa de desconto.
1 .
i
d
i n
=
+
0,1
1 0,1.1
d =
+
0,0909
d =
9,09%
d =
Dessa forma, podemos concluir que a taxa de desconto correspondente a uma taxa de juro simples mensal de
10% é de 9,09%.
Em problemas nos quais necessitamos determinar a taxa de juro efetiva (i ) sem termos o valor da taxa de des-
conto ( d ), podemos lembrar que ( )
1 .
FV PV i n
= + , fazer as devidas multiplicações e isolar a taxa de juro efetiva,
conforme mostrado abaixo:
( )
1 .
PV i n FV
+ =
. .
PV PV i n FV
+ =
. .
PV i n FV PV
= −
.
FV PV
i
PV n
−
=
Também podemos reescrever a expressão acima como:
.
D
i
PV n
=

16
Exemplo 2.12
Uma duplicata de R$ 25.000,00 foi resgatada 100 dias antes de seu vencimento por R$ 23.150,00. Determine a
taxa de desconto e a taxa efetiva.
Vamos anotar todos os dados que foram fornecidos no enunciado do exemplo:
25.000
FV =
100
n dias
=
23.150
PV =
Fique atento, pois o período foi dado em dias. Logo, as taxas também serão a.d. (ao dia).
Vamos utilizar a expressão matemática para encontrar a taxa de desconto:
.
FV PV
d
FV n
−
=
25000 23150
25000.100
d
−
=
1850
2500000
d =
0,00074 0,074% . .
d a d
= =
Assim, encontramos que a taxa de desconto é de 0,074% a.d.
Vamos utilizar a expressão matemática para encontrar a taxa de juro simples:
.
FV PV
i
PV n
−
=
25000 23150
23150.100
i
−
=
1850
2315000
i =
0,0007991 0,08% . .
i a d
= =
Assim, encontramos que a taxa de juro simples é de 0,08% a.d. Note que o valor encontrado para a taxa de juro
simples é maior que o valor encontrado para a taxa de desconto.
Não deixe de participar do Fórum Desafio e discutir com os seus colegas como resolver a
situação-problema proposta pelo professor!

17
2.10 Desconto Composto
O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples. No caso de des-
conto composto também há a divisão em desconto racional composto e desconto comercial composto.
Geralmente, o desconto composto é utilizado para operações de longo prazo, visto que a aplicação por meio de
desconto comercial simples pode gerar resultados sem significados reais.
2.11 Desconto Racional Composto (Por Dentro)
O desconto racional composto consiste em uma aplicação sucessiva do desconto racional simples, ou seja, ele
coincide com o juro composto calculado sobre o valor atual (PV) do título.
DeacordocomAssafNeto(2010),odescontocomposto“pordentro”(ouracional)éaqueleestabelecidosegundo
as relações que regem o sistema de juros compostos.
Nas aplicações em que se utiliza juro composto, utilizamos esse conceito de desconto racional composto.
Como no juro composto temos ( )
1
n
FV PV i
= + , no desconto racional composto temos a expressão ( )
1
n
FV PV d
= + .
As expressões matemáticas que você deve memorizar para esse caso são:
( )
1
n
FV PV d
= +
( )
( )
1
1
n
n
FV
PV FV d
d
−
= = +
+
R
D FV PV
= −
( )
ln
ln 1
FV
PV
n
d
 
 
 
=
+
1
n
FV
d
PV
= −

18
Em que:
FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um
determinado compromisso, que é o valor indicado no título.
R
D : desconto racional.
Assaf Neto (2010) apresenta uma expressão que pode serutilizada para calculardiretamente o valordo desconto
racional composto, que é:
( )
1 1
n
R
D FV i
−
 
= + +
 
Vale ressaltar que o i utilizado na expressão de Assaf Neto (2010) é o d na expressão que citamos acima.
Exemplo 2.13
O desconto racional composto de um título de R$100.000,00 foi de R$21.647,38. Sabendo-se que a taxa de
desconto foi de 5% a.m., qual foi o prazo de antecipação?
Note que queremos encontrar o valor de n.
21.647,38
R
D =
100.000
FV =
5% . . 0,05 . .
d a m a m
= =
Primeiramente precisamos encontrar o valor atual através da seguinte expressão:
R
PV FV D
= −
100.000 21.647,38
PV
= −
$78.352,62
PV R
=

19
Agoravamosencontraroquefoipedidonoenunciadoutilizandoumaexpressãoquejáfoifornecidanestetópico:
( )
ln
ln 1
FV
PV
n
d
 
 
 
=
+
( )
100.000
ln
78.352,62
ln 1 0,05
n
 
 
 
=
+
5
n meses
≈
2.12 Desconto Comercial Composto (Por Fora)
O desconto comercial composto é uma aplicação sucessiva do desconto comercial simples. Assim, temos que ele
coincide com o juro composto calculado sobre o valor nominal (FV) do título.
As expressões matemáticas que você deve compreender para esse caso são:
( )
1
n
PV FV d
= −
( )
( )
1
1
n
n
PV
FV PV d
d
−
= = −
−
C
D FV PV
= −
( )
ln
ln 1
PV
FV
n
d
 
 
 
=
−
1 n
PV
d
FV
= −
Em que:
FV : valor nominal (valor de face) do título, ou seja, a importância paga no dia do vencimento de um
determinado compromisso, que é o valor indicado no título.
R
D : desconto racional.

20
Exemplo 2.14
Beatriz possui um título de valor nominal igual a R$5.000,00, vencível em 3 anos. Ela o resgatou à taxa de des-
conto comercial composto de 12% ao ano, capitalizados semestralmente. Qual o valor atual do título de Beatriz?
Note que queremos encontrar o valor de PV.
Devemos converter o prazo e a taxa de desconto para semestre, visto que a capitalização ocorre de maneira
semestral.
5.000
FV =
3 6
n anos semestres
= =
12% . . 0,12a.a. 0,06 . .
d a a a s
= = =
Agoravamosencontraroquefoipedidonoenunciadoutilizandoumaexpressãoquejáfoifornecidanestetópico:
( )
1
n
PV FV d
= −
( )
6
5000 1 0,06
PV
= −
$3.449,35
PV R
=
Assim, temos que o valor atual é de R$3.449,35.
2.13 Relação entre a Taxa de Juro e a Taxa de Desconto
Composto
A expressão que fornece o valor nominal para juro compostos é:
( )
1
n
FV PV i
= +
No desconto comercial composto, temos a seguinte expressão:
( )
1
n
PV FV d
= −
Assim, substituindo a segunda expressão na primeira, temos:
( ) ( )
1 1
n n
FV FV d i
= − +

21
Fazendo todas as devidas álgebras, encontramos a seguinte expressão:
1
d
i
d
=
−
De maneira análoga, temos:
1
i
d
i
=
−
Exemplo 2.15
Calcule a taxa de juros compostos mensal correspondente à taxa de desconto comercial de 20% a.m.
20% . . 0,2 . .
d a m a m
= =
Utilizando a expressão que encontramos neste tópico, temos que:
1
d
i
d
=
−
0,2
1 0,2
i =
−
0,25 25% . .
i a m
= =
Assim, temos a taxa de juros compostos mensal correspondente à taxa de desconto comercial de 20% a.m. é
de 25% a.m.

22
Considerações finais
Nesta unidade você aprendeu os conceitos principais que abordam os
descontos simples e compostos. No nosso cotidiano, ouvimos falar em
desconto em várias compras que fazemos. Devido a isso, surge a impor-
tância de sabermos quais são os tipos de desconto e quais as diferenças
entre eles.
• Descontos simples e compostos: é o abatimento que obtemos
ao saldar um compromisso antes do seu vencimento. O desconto
pode ser feito considerando-se como capital valor nominal (FV)
ou o valor atual (PV). O conceito de desconto no regime de capi-
talização composta é o mesmo do desconto simples. No caso do
desconto composto também há a divisão em desconto racional
composto e desconto comercial composto.
• Tipos de descontos: O desconto é dito comercial quando é calcu-
lado sobre ovalornominal (FV); O desconto é dito racional quando
é calculado sobre o valor atual (PV).
• Taxa de juros e taxa de desconto comercial: Você deve saber
que o composto trata-se da aplicação sucessiva do conceito abor-
dado em simples. Dessa forma, as expressões matemáticas utili-
zadas para calcular os descontos compostos são semelhantes às
dos simples, com as devidas adaptações.

Referências bibliográficas
23
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 2. ed. São Paulo: Atlas,
2010.
HAZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6. ed.
São Paulo: Atlas, 2007. E-book.
OLIVEIRA, A. A. Matemática Financeira: Análise de Livros Didáticos.
2014. 76p. Trabalho de Conclusão de Curso. Rio de Janeiro: Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, 2014. Disponível em: <http://www.impa.
br/opencms/pt/ensino/downloads/PROFMAT/trabalho_conclusao_
curso/2014/aimore_oliveira.pdf>. Acesso: 28 jan. 2017.

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