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Introdução Matemática Financeira: É o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Objetivos: 1. Quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money).  2. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo. Juros       Remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) preço do crédito.
A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:  1 - Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo. 2 - Risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento. 3 – Aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro!
Principais siglas da Matemática Financeira       Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.
Juros Simples       Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples).     Este sistema não é muito utilizado na prática das operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma bastante interessante.
Ilustração    A título introdutório, vejamos o seguinte exemplo:    Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante 3 meses; teríamos neste caso:    Juros produzidos ao final do primeiro mês:     J = 100.(1%).1 = 100.(1/100) . 1 = R$1,00    Juros produzidos ao final do segundo mês:     J = 100.(1%).2 = 100.(1/100) . 2 = R$2,00    Juros produzidos ao final do terceiro mês:     J = 100.(1%).3 = 100.(1/100) . 3 = R$3,00
Comparando com a fórmula de Juros Simples normalmente conhecida como: J = C *      i *     t    J = 100 * 0,01 * 3  = 3,00 sendo a taxa (i) dividida por 100 Ou J= P *       i *     n J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00 sendo a taxa (i) dividida por 100
Algumas fórmulas derivadas de Juros simples P = J / i*n   P = 3,00 / 0,01 * 3 = 100 i = J / P*n  i = 3,00/100*3 = 0,01*100    = 1 % n = J / P* i  n = 3,00 / 100*0,01 = 3 meses
Notas: (a) observe que os juros - neste caso de juros simples - são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00. (b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
Conclusão    Então, se um capital inicial P for aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos e lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial P, podemos escrever:J = P* i * n  onde J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período, igual a i.
   No final de n períodos, é claro que o total será igual ao capital inicial, adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M).    Logo, teremos:     M = P + J (Como J= P*i*n)    M = P + P*i*n (colocando P em evidência)    M = P(1 + i*n)  Portanto, M = P(1+ i*n)
Algumas fórmulas derivadas do Montante  P = M / 1 + i*n i = M – P/ P * n N = M – P/P * i
Exemplos práticos 1 - A quantia de R$3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução: Temos:  P = 3000; i = 5% = 5/100 = 0,05 e  n = 5 anos = 5.12 = 60 meses. Portanto: M = 3000(1 + 0,05.60) = 3000(1+3) = 12000 Resposta: R$12000,00
2 - Determine o montante produzido por um capital de R$3000,00 aplicado por 1 mês e dez dias, à taxa de 6% a.b.
Solução   Temos:    P = 3000;   i = 6% a.b(ao bimestre) e    n = 1 mês e dez dias.    Teremos que expressar n  e  i  na mesma unidade de tempo. Vamos referir tudo ao intervalo de tempo em dias, lembrando que nos cálculos comerciais, considera-se 1 mês = 30 dias:
   a) 1 bimestre = 2 meses = 2.30 = 60 dias.    b) 6% a.b = 6% em 60 dias = 6% / 60 = 0,06/60) a.d (ao dia).    c) 1 mês e 10 dias = 30 + 10 = 40 dias    Agora que está tudo expresso em relação ao mesmo intervalo de tempo, basta aplicar diretamente a fórmula M = P(1 + in), ou seja:    M = 3000(1 + (0,06/60).40)     M = 3000(1 + 0,04)     M = 3000.1,04 = 3120                                        Resposta: R$3120,00
3 – (Fiscal-MS-2000) Um banco oferece a seus clientes um tipo de aplicação financeira com as seguintes características: ,[object Object]
   Remuneração: juros simples à taxa de 1,5% ao mês;
   Imposto de renda: 20% do juro produzido, pago no final da aplicação.
   Um cliente pagou R$36,00 de imposto de renda. Seu montante líquido (após o pagamento do imposto de renda) foi:,[object Object]
   Portanto, os juros da aplicação foram de R$180,00.    Como   j  =  P*     i     * n,     substituindo:            180 = P.(1,5/100).4,     de onde tiramos     P = 3000
   Aplicando a fórmula do Montante, vem: M = P(1 + in) =     M = 3000(1 + (1,5/100).4)     M = 3000.1,06 = 3180Mas, deste montante, R$36,00 foram pagos de imposto de renda; logo, o montante procurado é igual a     3180 - 36 = 3144,     ou seja,     R$3144,00.
4 – (CEF - Técnico Bancário) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 do seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
Solução:    Seja P o capital aplicado durante 1 ano e 4 meses = 12 + 4 = 16 meses,     resultando no montante M = (7/5).P     Substituindo os valores conhecidos na fórmula de montante M = P(1 + i*n), vem:           (7/5)*P = P(1 + i*16) Simplificando P, fica: 1,4 = 1 + 16i ,
   de onde vem:     0,4 = 16i     e finalmente,     i = 0,4/16 = 0,025.     Para expressar em porcentagem, basta multiplicar por 100 ou seja:     i = 0,025.100 = 2,5% a.m.
Gráficos das funções envolvendo Montantes     As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas. As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade. No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente. Os gráficos representativos das funções citadas servem de análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período. Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida.
Situação  – Juros Simples     Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês no período de 4 meses, nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses. Juros simples M = C + j J = C * i * t    O Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00. 
Na calculadora financeira HP 12C Digite: 500 enter 2 enter 100 : Enter 4 X Enter 500 X +     $ 540,00
Gráficos – Juros Simples – Função do 1º grau
Juros Compostos    Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
Aplicando a mesma situação para juros compostos temos:    Juros compostos                          n                            M = P * (1 + i) Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22
NA HP 12 C PELO MÉTODO NORMAL                   2 enter 100 :                      enter 1 +                      enter 4                                                        X y enter                         500 x
Na calculadora Financeira HP 12C Digite: 500 PV 2 i 4 n FV   $541,22
Gráfico – Juros compostos – Função Exponencial
Comparando JS e JC
5 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução    Temos:     M = P(1 + in).     Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P.     Vem:2P = P(1 + 0,05n);     (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05).    Simplificando P, fica:2 = 1 + 0,05n (2 -1 = 0,05n), então    1 =       0,05n,     de onde conclui-se n = 1/0,05     n = 20 meses (1 ano e oito meses).
Respostas dos exercícios propostos 1 a 6    1 – Resposta $ 46.000,00    2 - Resposta: 12,5% a.a3 - Resposta: N = 100 dias    4 - Resposta: R$ 36.000,005- Resposta: 20 anos    6 - Resposta: R$6000,00
Preparem-se    Os exercícios a seguir estão de acordo com os apresentados na aula de hoje, no verso você encontrará as fórmulas para aplicá-las.    Tente fazer alguns e nos 10 minutos restantes serão mostrados seus resultados!!!    Boa SORTE
JUROS SIMPLES 1- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 3- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?
4- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? 5- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00.  Qual foi esse capital? 6- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00.  Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
7- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 8- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital? 9- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos. 10- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
11- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 12- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00.  Qual é o valor desse capital? 13- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.
RESPOSTAS ,[object Object]
2) 4.380,00
3) 40% aa
4) 0,75% am
5) 27.000,00

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Matemática Financeira Básica

  • 1. Introdução Matemática Financeira: É o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Objetivos: 1. Quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja o valor monetário no tempo (time value money). 2. As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira, são: a taxa de juros, o capital e o tempo. Juros Remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) preço do crédito.
  • 2. A existência de Juros, decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: 1 - Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo. 2 - Risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento. 3 – Aspectos intrínsecos da natureza humana : os seres humanos adoram ganhar dinheiro!
  • 3. Principais siglas da Matemática Financeira Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo.
  • 4. Juros Simples Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Este sistema não é muito utilizado na prática das operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma bastante interessante.
  • 5. Ilustração A título introdutório, vejamos o seguinte exemplo: Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante 3 meses; teríamos neste caso: Juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1 = 100.(1/100) . 1 = R$1,00 Juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2 = 100.(1/100) . 2 = R$2,00 Juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 = 100.(1/100) . 3 = R$3,00
  • 6. Comparando com a fórmula de Juros Simples normalmente conhecida como: J = C * i * t J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00 sendo a taxa (i) dividida por 100 Ou J= P * i * n J = 100 * 0,01 * 3 = 3,00 sendo a taxa (i) dividida por 100
  • 7. Algumas fórmulas derivadas de Juros simples P = J / i*n  P = 3,00 / 0,01 * 3 = 100 i = J / P*n  i = 3,00/100*3 = 0,01*100 = 1 % n = J / P* i  n = 3,00 / 100*0,01 = 3 meses
  • 8. Notas: (a) observe que os juros - neste caso de juros simples - são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00. (b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
  • 9. Conclusão Então, se um capital inicial P for aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos e lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial P, podemos escrever:J = P* i * n  onde J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período, igual a i.
  • 10. No final de n períodos, é claro que o total será igual ao capital inicial, adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teremos: M = P + J (Como J= P*i*n) M = P + P*i*n (colocando P em evidência) M = P(1 + i*n) Portanto, M = P(1+ i*n)
  • 11. Algumas fórmulas derivadas do Montante P = M / 1 + i*n i = M – P/ P * n N = M – P/P * i
  • 12. Exemplos práticos 1 - A quantia de R$3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
  • 13. Solução: Temos: P = 3000; i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses. Portanto: M = 3000(1 + 0,05.60) = 3000(1+3) = 12000 Resposta: R$12000,00
  • 14. 2 - Determine o montante produzido por um capital de R$3000,00 aplicado por 1 mês e dez dias, à taxa de 6% a.b.
  • 15. Solução Temos: P = 3000; i = 6% a.b(ao bimestre) e n = 1 mês e dez dias. Teremos que expressar n  e  i  na mesma unidade de tempo. Vamos referir tudo ao intervalo de tempo em dias, lembrando que nos cálculos comerciais, considera-se 1 mês = 30 dias:
  • 16. a) 1 bimestre = 2 meses = 2.30 = 60 dias. b) 6% a.b = 6% em 60 dias = 6% / 60 = 0,06/60) a.d (ao dia). c) 1 mês e 10 dias = 30 + 10 = 40 dias Agora que está tudo expresso em relação ao mesmo intervalo de tempo, basta aplicar diretamente a fórmula M = P(1 + in), ou seja: M = 3000(1 + (0,06/60).40) M = 3000(1 + 0,04) M = 3000.1,04 = 3120 Resposta: R$3120,00
  • 17.
  • 18. Remuneração: juros simples à taxa de 1,5% ao mês;
  • 19. Imposto de renda: 20% do juro produzido, pago no final da aplicação.
  • 20.
  • 21. Portanto, os juros da aplicação foram de R$180,00. Como j = P* i * n, substituindo: 180 = P.(1,5/100).4, de onde tiramos P = 3000
  • 22. Aplicando a fórmula do Montante, vem: M = P(1 + in) = M = 3000(1 + (1,5/100).4) M = 3000.1,06 = 3180Mas, deste montante, R$36,00 foram pagos de imposto de renda; logo, o montante procurado é igual a 3180 - 36 = 3144, ou seja, R$3144,00.
  • 23. 4 – (CEF - Técnico Bancário) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 do seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
  • 24. Solução: Seja P o capital aplicado durante 1 ano e 4 meses = 12 + 4 = 16 meses, resultando no montante M = (7/5).P Substituindo os valores conhecidos na fórmula de montante M = P(1 + i*n), vem: (7/5)*P = P(1 + i*16) Simplificando P, fica: 1,4 = 1 + 16i ,
  • 25. de onde vem: 0,4 = 16i e finalmente, i = 0,4/16 = 0,025. Para expressar em porcentagem, basta multiplicar por 100 ou seja: i = 0,025.100 = 2,5% a.m.
  • 26. Gráficos das funções envolvendo Montantes As relações envolvendo grandezas são analisadas do ponto de vista das funções matemáticas. As funções possuem inúmeras características e detalham desde cálculos cotidianos até situações de maior complexidade. No caso da Matemática Financeira, as funções são relacionadas às aplicações de capitais nos regimes de juros simples e compostos, os quais utilizamos as funções do 1º grau e exponencial respectivamente. Os gráficos representativos das funções citadas servem de análise sobre o andamento do montante formado mês a mês, observando qual aplicação é mais vantajosa dentro de um determinado período. Observe os gráficos das situações a seguir, eles representarão o andamento da aplicação de acordo com o tipo de capitalização escolhida.
  • 27. Situação – Juros Simples Suponhamos que o capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês no período de 4 meses, nos regimes de juros simples e compostos. Vamos representar a função de cada aplicação e os gráficos correspondentes aos primeiros meses. Juros simples M = C + j J = C * i * t O Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 540,00. 
  • 28. Na calculadora financeira HP 12C Digite: 500 enter 2 enter 100 : Enter 4 X Enter 500 X +  $ 540,00
  • 29. Gráficos – Juros Simples – Função do 1º grau
  • 30. Juros Compostos Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
  • 31. Aplicando a mesma situação para juros compostos temos: Juros compostos  n M = P * (1 + i) Montante ao final do quarto mês será igual a R$ 541,22
  • 32. NA HP 12 C PELO MÉTODO NORMAL 2 enter 100 : enter 1 + enter 4 X y enter 500 x
  • 33. Na calculadora Financeira HP 12C Digite: 500 PV 2 i 4 n FV  $541,22
  • 34. Gráfico – Juros compostos – Função Exponencial
  • 36. 5 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
  • 37. Solução Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Vem:2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). Simplificando P, fica:2 = 1 + 0,05n (2 -1 = 0,05n), então 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 1/0,05 n = 20 meses (1 ano e oito meses).
  • 38. Respostas dos exercícios propostos 1 a 6 1 – Resposta $ 46.000,00 2 - Resposta: 12,5% a.a3 - Resposta: N = 100 dias 4 - Resposta: R$ 36.000,005- Resposta: 20 anos 6 - Resposta: R$6000,00
  • 39. Preparem-se Os exercícios a seguir estão de acordo com os apresentados na aula de hoje, no verso você encontrará as fórmulas para aplicá-las. Tente fazer alguns e nos 10 minutos restantes serão mostrados seus resultados!!! Boa SORTE
  • 40. JUROS SIMPLES 1- Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 3.200,00, pelo prazo de 18 meses, sabendo que a taxa cobrada é de 3% ao mês? 2- Calcule o juro simples do capital de R$ 36.000,00, colocado à taxa de 30% ao ano, de 2 de janeiro de 1990 a 28 de maio do mesmo ano. 3- Qual a taxa de juro cobrada em um empréstimo de R$ 1.500,00 a ser resgatado por R$ 2.700,00 no final de 2 anos?
  • 41. 4- A que taxa o capital de R$ 24.000,00 rende R$ 1.080,00 em 6 meses? 5- Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, o juro de R$ 7.830,00.  Qual foi esse capital? 6- Uma aplicação de R$ 400.000,00, pelo prazo de 180 dias, obteve o rendimento de R$ 60.000,00.  Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
  • 42. 7- Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de 20% ao ano? 8- Por quanto tempo um capital deve ser empregado a 40% ao ano para que o juro obtido seja igual a 4/5 do capital? 9- Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 2 anos. 10- Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juro simples, a que taxa foi empregado esse capital?
  • 43. 11- É mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 a 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano? 12- Empregam-se 2/3 de um capital a 24% ao ano e o restante a 32% ao ano, obtendo-se, assim, um ganho anual de R$ 8.640,00.  Qual é o valor desse capital? 13- Determine a aplicação inicial que, à taxa de 27% ao ano, acumulou em 3 anos, 2 meses e 20 dias um montante de R$ 586.432,00.
  • 44.
  • 49.
  • 55.
  • 56. 2 - (fácil) Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?
  • 57. 3 - (fácil) Uma empresa pretende comprar um equipamento de R$ 100.000,00 daqui a 4 anos com o montante de uma aplicação financeira.  Calcular o valor da aplicação necessária se os juros efetivos ganhos forem de: a) 13% at       b) 18% aa        c) 14% as      d) 12% am
  • 58. RESPOSTAS 1) a) 4.428,62     b) 5.554,06     c) 4.148,54 2) 11 meses 3) a) 14.149,62     b) 51.578,89     c) 35.055,91