O documento discute os conceitos de descontos simples e compostos, apresentando: 1) As definições e fórmulas para calcular descontos simples por fora e por dentro; 2) Exemplos numéricos de cálculos de descontos simples; 3) As definições e fórmulas para calcular descontos compostos por fora e por dentro; 4) Exemplos numéricos de cálculos de descontos compostos.

1. http://miltonborba.org/MAT/Mat_Fin.html
http://www.96147.com/no/taxa%20de%20descontos%20exercicios.html EXERCICIOS GERAIS – OTIMO
DESCONTOS
São juros recebidos (devolvidos) ou concedidos quando o pagamento de um título é antecipado.
O desconto é a diferença entre o valor nominal (S) de um título na data do seu vencimento e o seu valor atual (C) na
data em que é efetuado o pagamento, ou seja: D = S - C
Os descontos são nomeados simples ou compostos em função do cálculo dos mesmos terem sido no regime de juros
simples ou compostos, respectivamente.
Os descontos (simples ou compostos) podem ser divididos em:
• Desconto comercial, bancário ou por fora;
• Desconto racional ou por dentro.
DESCONTOS SIMPLES
Por Fora (Comercial ou Bancário)
O desconto é calculado sobre o valor nominal (S) do título, utilizando-se taxa de juros simples Df = S.i.t
É o desconto mais utilizado no sistema financeiro, para operações de curto prazo, com pequenas taxas.
O valor a ser pago (ou recebido) será o valor atual C = S - Df = S - S.i.t , ou seja C = S.(1- i.t)
Por Dentro (Racional)
O desconto é calculado sobre o valor atual (C) do título, utilizando-se taxa de juros simples Dd = C.i.t
Como C não é conhecido (mas sim, S) fazemos o seguinte cálculo: C = S - Dd ==> C = S - C.i.t ==> C + C.i.t = S ==>
C(1 + i.t) = S
C = S/(1 + i.t)
Este desconto é utilizado para operações de longo prazo. Note que (1 - i.t) pode ser nulo, mas (1 + i.t) nunca vale zero.
DESCONTOS COMPOSTOS
O desconto (Dc) é calculado com taxa de juros compostos, considerando n período(s) antecipado(s): Dc = S - C
onde, de S = C.(1 + i)n
, tiramos que C = S/(1 + i)n
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Notações comuns na área de descontos: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/curso/curso.htm
D Desconto realizado sobre o título
A Valor Atual de um título
N Valor Nominal de um título
i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto

2. DESCONTO SIMPLES http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/descontos-simples.html
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o desconto racional.
O desconto comercial é também conhecido como desconto por fora e o desconto racional é também conhecido como
desconto por dentro. Na prática, os bancos utilizam sempre o desconto comercial.
Vamos considerar os dois tipos de descontos, iniciando pelo desconto racional ou desconto por dentro.
Neste tipo de desconto, o percentual de desconto incide sobre o valor líquido do título a ser descontado.
Título = Um certificado de endividamento
Na linguagem financeira, TÍTULO significa um papel (ou documento) negociável, representativo de valor.
Ex.: título de crédito: é o documento que representa valor em dinheiro ou operação de crédito, passível de
circulação. São títulos de crédito: o cheque, a nota promissória, a letra de câmbio e a duplicata.
Por sua vez, título bancário é o título de crédito que, por ser de prazo curto, está em condições de ser negociado
por um banco.
Ex:
Título de capitalização - Modalidade de investimento com características de um jogo no qual se pode recuperar
parte do valor gasto na aposta. Sem ajuda da sorte, o rendimento será provavelmente inferior ao da tradicional
caderneta de poupança. Do valor aplicado pelo investidor, a instituição financeira separa um percentual para
poupança, outro para os sorteios e um terceiro para cobrir suas despesas. Esses títulos são interessantes para
quem gosta de jogar, com a vantagem de que caso não ganhe, uma parte do investimento será recuperada.
Título de Transferência - Documento legal para provar que a propriedade de valores em títulos deve ser
transferida do vendedor para o comprador.
Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sempre o desconto comercial, este será o
tipo de desconto a ser abordado a seguir.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título.
V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial.
d = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título. Logo:
Dc = Ndn
Substituindo, vem:
V = N(1 - dn)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para
um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
Desconto bancário

3. Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas
(um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.
É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento, através desta técnica,
faz com que o valor descontado seja maior, resultando num resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de
5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de
IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250
Logo, V = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao
banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e
representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento
por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco
para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber
negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo
que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às
despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50

4. Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios propostos:
1 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m.
, pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00
2 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de
1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um
saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai
ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
Resp: 6,06% a.m.
http://www.algosobre.com.br/matematica-financeira/desconto-composto.html
DESCONTO COMPOSTO
Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o
desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto composto “por fora”,
não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida. Quanto ao desconto “por dentro” ou racional,
ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime
de capitalização composta; portanto de aplicação generalizada.
Desconto Composto "Por Fora"
No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes,
quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S - D, deduz-se que P = S.(1 - d x n).
Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o
valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto correspondente ao primeiro
período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao
segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período, de forma que:
P1 = S - D ou P = S(1 - d)
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)2
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)3
. .
. .
Pn = S (1-d)n
Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um desconto composto “por fora”, é
dado pela expressão:
P = S(1-d)n
Exemplos:

5. 1 - Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto.
Dados:
S = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?
Solução:
P = S(1-d)n
P = 28.800,00(1-0,025)4
= 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21
D = S - P = 28.800,00 - 26.026,21 = 2.773,79
HP12C = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 – 4 YX
X 28.800,00 - = 2,773,79
2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$
1.379,77. Calcular o valor nominal do título.
Dados:
D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias ou 3 meses
S = ?
Solução:
D = S - P = S - S(1-d)n
= S [1-(1-d)n
]
D = S [1-(1-d)n
]
1.379,77 = S [ 1 - (1 - 0,03)3]
1.379,77 = S [ 1 - 0,912673]
1.379,77 = S x 0,087327
S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00
HP12C = 1E 0,03-3 YX
1- CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00
Desconto “Por Dentro ” ou Racional
Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado
com base no regime de capitalização composta, como segue:
Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de desconto por d
. Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue:
Exemplo:

6. 1 - Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu
prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.
Dados:
S = 50.000,00
n = 5 meses
d = 3,5% ao mês
D = ?
Solução:
D = S x (1 + d)n
- 1/(1+d)n
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)5
-1/(1 + 0,035)5
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X 0,15803
D = 7.901,50
HP12C = 1,035E5YX 1-E 1,035E5YX : 50.000,00 X = 7.901,50
HP12C = 50.000,00 CHS FV 3,5 i 5 n PV 50.000,00 - = 7.901,34
Lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
Um título com valor nominal de $ 7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo, por isso, c
Um título com valor nominal de $ 7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo, por isso,
concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês.
Nesse caso, qual o valor atual do título?
Sendo :
N --> Valor nominal = R$ 7420,00
V --> valor atual
n --> Nº de períodos antes do vencimento = 2 meses
i --> Taxa de desconto racional ( ou por dentro ) = 20%a.m = 0,2 a.m
Temos a seguinte fórmula resolutiva :
V = N / ( 1 + i.n )
V = 7420 / ( 1 + 0,2 . 2 )
V = 7420 / ( 1 + 0,4 )
V = 7420 / 1,4
V = R$ 5300,00
Portanto , o valor atual do título é de R$ 5300,00

7. Qual o valor nominal de um titulo cujo valor atual é de R$ 3.000,00 tendo sido descontado 2 meses antes do
seu?
Qual o valor nominal de um titulo cujo valor atual é de R$ 3.000,00 tendo sido descontado 2 meses antes do seu
vencimento. A taxa de 5% ao mês.
Desconto por fora ou por dentro? (Faltou esclarecer...)
Vou fazer pelos dois tipos de desconto.
Desconto por fora (D):
D = N.i.t
A = N - N.i.t = N.(1-it)
N = A/(1-it)
N = 3000/(1 - 0,05.2) = 3000/(1 - 0,1) = 3000/0,9 = R$ 3.333,33
Desconto por dentro (d):
d = A.i.t
N = A + A.i.t = A.(1+it)
N = 3000.(1 + 0,05.2) = 3000.(1 + 0,1) = 3000.(1,1) = R$ 3.300,00
O valor nominal de um título é 20 vezes o desconto comercial simples concedido Considerando-se 5% a.m?
a taxa de desconto comercial simples, qual sera o prazo de antecipação?
N=20
D=1
i= 5%am=60%aa
t=?
t=1200.D/ Ni
t=1200.1/20.60= 1m
I - DESCONTO RACIONAL ou desconto por dentro.
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal do título menos o desconto (L = N - Dr).
Dr = desconto racional.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto racional incide sobre o valor líquido do título, teremos por definição: Dr = L. i . n; como L = N - Dr ,
vem, substituindo:
Dr = (N - Dr).i.n. Desenvolvendo, fica:
Dr = N.i.n - Dr.i.n e daí, Dr + Dr.i.n = N.i.n, de onde tiramos Dr(1 + i.n) =N.i.n e, finalmente:
Dr = N.i.n / (1 + i.n)
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto racional a ser concedido para um
resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução:
Temos: n = 3, i = 5% = 5/100 = 0,05 a. m. , N = 10000. Logo:
Dr = (10000.0,05.3) / (1 + 0,05.3) = 1500 / 1,15 = R$1304,35
Assim, o valor líquido a ser recebido pelo título após o desconto nas condições especificadas no problema seria igual a:
L = 10000 - 1304,35 = R$8695,65
II - DESCONTO COMERCIAL ou desconto por fora
Vamos considerar a seguinte simbologia:

8. N = valor nominal de um título (é o valor de face ou seja, o valor que está impresso no título a ser descontado).
L = valor líquido ou seja, o valor nominal do título menos o desconto (L = N - Dc).
Dc = desconto comercial.
i = taxa de descontos simples.
n = número de períodos.
Como o desconto comercial incide sobre o valor nominal do título a ser descontado, teremos por definição: Dc = N. i . n
Exemplo: Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser concedido para
um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
Solução: Dc = 10000.0,05.3 = R$1500,00
Nota: Em resumo, temos:
a) desconto racional: Dr = N.i.n / (1 + i.n)
b) desconto comercial: Dc = N. i . n
Observe que para valores coincidentes da taxa de desconto i e do período n, o desconto comercial é maior do que o
desconto racional . Isto explica o motivo dos bancos adotarem o desconto comercial ao invés do desconto racional pois,
a adoção do desconto racional resultará num valor líquido maior a ser recebido pelo portador do título a ser descontado
antes do prazo de vencimento (pessoa física ou empresa).
III - Desconto bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas administrativas
(um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre operações financeiras.
Exemplo:
Um título de $100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de
5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesas administrativas e 1,5% a.a. de
IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva mensal da operação.
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: L = 100000 - 32750 = 67250
Logo, L = $67250,00
A taxa efetiva de juros da operação será:
i = (32750) / (67250) = 0,4870 nos 6 meses = 48,70% em 6 meses = 48,70/6 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é amplamente favorável ao
banco.
IV - Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e
representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento
por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.
Notas:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco
para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber
negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.
Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo
que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às
despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva mensal da
operação.

9. Solução:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90 = 187,50
Logo, o desconto total foi igual a d = 6000 + 1000 + 187,50 = 7187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = (7187,50)/(42812,50) = 0,001679 = 16,79% nos 3 meses = 16,79% a.t. = 16,79/3 = 5,60% a.
m.
Resposta: L = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios resolvidos e propostos:
1 - Fiscal - MS-2000) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2000,00 dois meses e meio antes do
seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4% a. m. A taxa efetiva de juros dessa operação foi igual a:
a) 10%
b) 10,44%
c) 10,77%
d) 11,11%
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n = 2000.0,04.2,5 = 200
O valor líquido recebido será igual a L = 2000 - 200 = 1800.
Portanto, a taxa efetiva de juros da operação foi igual a 200/1800 = 0,1111 = 11,11% ou seja, alternativa (d).
2 - AFRF - 2003) Um título sofre um desconto comercial de R$9810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa
de desconto simples de 3% ao mês.Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9810,00
b) R$ 9521,34
c) R$ 9500,00
d) R$ 9200,00
e) R$ 9000,00
Solução:
Teremos: Dc = N.i.n , onde Dc = 9810, i = 3% = 0,03 e n = 3. Substituindo os valores conhecidos fica:
9810 = N.0,03.3 = 0,09.N, de onde tiramos N = 9810 / 0,09 = 109000
Como vimos no item II acima, o desconto racional é dado por: Dr = N.i.n / (1 + i.n). Substituindo os valores conhecidos,
vem:
Dr = (109000.0,03.3) / (1 + 0,03.3) = 9810 / 1,09 = 9000
Portanto, a alternativa correta é a de letra (e).
3 - Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m.
, pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resposta: desconto = $300,00 e valor descontado ou valor líquido = $4700,00
4 - Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de
1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um
saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai
ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.
Resposta: 6,06% a.m.
Qual o valor nominal do titulo?
Desejamos resgatar um título por R$4.500,00 com 4 meses antes do seu vencimento. Qual o valor nominal do título,
sendo a taxa de 30% ao ano com capitalização mensal, no regime de desconto racional composto
Desconto Racional Composto
VA = N*(1 + i)^-n
VA = valor atual
N = valor nominal
VA = 4.500
i = 30% a.a.
n = 4 meses
N = ?

10. VA = N*(1 + i)^-n <==>
N = VA*(1 + i)^n
N = 4.500*(1 + 0,3)^(4/12)
N = 4.500 * 1,091393
N = 4.911,27
O valor atual de um título no valor nominal de R$ 1200,00 com vencimento para 1 ano e 6 meses à taxa de 17%?
ao semestre com capitalização semestralmente é?
M = C.(1 + i.t)
M: Valor do título daqui a três semestres (M = 1200)
C: Valor atual do título (a ser calculado)
i: Taxa semestral (i = 17%)
t: Tempo em semestres (t = 3)
1200 = C.(1 + 0,17.3)
1200 = 1,51.C
C = R$ 749,72
Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal (valor de resgate) de 13450 com vencimento?
Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal (valor de resgate) de 13450 com vencimento para daqui
a um semestre? Sabe-se que o investidor está disposto a realizar a aplicação somente ao auferir uma rentabilidade
efetiva de 20% ao ano. (juros compostos)
Primeiro vamos transformar a taxa ao ano para 6 meses.
1,20 ^ ( 6/12 ) = 1,0954 ( 1,20 elevado a 6 sobre 12 )
(1,0954 - 1) x100 = 9,54%
--------------------------------------…
9,54% = 0,0954
X + 0,0954X = 13450
1,0954X = 13450
X = 12278
Resposta: O investidor pagaria R$ 12.278,00
Qual o valor atual de um titulo de valor nominal R$ 2.800,00?
Qual o valor atual de um titulo de valor nominal R$ 2.800,00, vencivel ao fim de seis meses, a uma taxa de 12% ao ano,
considerando-se um desconto simples comercial?
D = FV*i*n
PV = FV – D
PV = FV – FV*i*n
PV = FV*(1 – i*n)
Lembrando que n = 6 m = meio ano = 0,5 ano, fica:
PV = 2800*(1 – 0,12*0,5)
PV = 2800*(1 – 0,06)
PV = 2800*(0,94)
PV = R$ 2.632,00
Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com vencimento para 180 dias...?
...descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto de 40% aa.
Obs: Exercício baseado em Desconto Simples (por fora ou comercial)
1) desconto "por fora": COMERCIAL - BANCÁRIO

11. Fórmula:
, d = N i n
L = N (1 – i n)
L = 120.000 (1 - 0,40 x 6/12) ---- n= 6/ 12 nunca mexa na taxa
L = 96.000,oo
DESCONTO: É a quantia abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
[Valor Nominal também chamado de Valor Futuro ou Valor de Face ou Valor de Resgate]
Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a juros simples, produzido pelo valor nominal [N]
do título no período de tempo correspondente e a taxa fixada.
Dc = Nin  onde: Dc: Desconto comercial; i: Taxa de desconto [i ÷ 100], n: prazo.
Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples, produzido pelo valor atual do título numa taxa
fixada e durante o tempo correspondente.
in 1Nin Dr
+=
Valor Atual [VA], é a diferente entre o Valor Nominal [N] menos o [VA]  d = N – VA
1. Um título no valor de $ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto
comercial de 3,5% a.m..
a) calcule o desconto;
b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA]
Dc = Nin VA = N - d
Solução: Dc = 14000 x [(3,5/100) x 3] VAc = N - dc
N: 14000 Dc = 14000 x [0,035 x 3] VAc = 14000 - 1470
i: 3,5% a.m. Dc = 14000 x 0,105 VAc = 12.530,00
n: 3 meses. Dc = 1.470,00
2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a
uma taxa de desconto comercial de 30% a.a..
a) qual o desconto comercial;
b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA]
Dc = Nin VA = N - d
Solução: Dc = 90000 x {[(30/100)/360] x 40} VAc = N - dc
N: 90000 Dc = 90000 x {[0,30/360] x 40} VAc = 90000 - 3000
i: 30% a.a. Dc = 90000 x 0,000833333 x 40 VAc = 87.000,00
n: 40 dias. Dc = 90000 x 0,033333333
Dc = 3.000,00

12. 3. Uma duplicata de valor nominal igual a $8.000,00, foi descontada num banco dois meses antes do vencimento, a uma
taxa de desconto comercial de 2,50% a.m..
a) qual o desconto comercial;
b) calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA]
Dc = Nin VA = N - d
Solução: Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] VAc = N - dc
N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} VAc = 8000 - 400
i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 VAc = 7.600,00
n: 2 meses. Dc = 400,00
4. Uma dívida de $ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se
a taxa de juros que reza no contrato é de 30% a.a.?