Matemática Financeira: Equivalência de Capitais e Planos de Pagamento

1ª edição
2017
Matemática
Financeira

4
3
Unidade de Estudo 4
Equivalência de Capitais e
Planos de Pagamento
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade de estudo você aprenderá um pouco sobre o conceito de
equivalência de capitais, que é muito importante para podermos diferen-
ciarentre dois ou mais planos de pagamentos. Você entenderá o que pre-
cisa fazer para saber se dois ou mais planos de pagamentos são ou não
equivalentes.
Objetivos de Aprendizagem
• Definir o que é equivalência de capitais.
• Conceituar planos de pagamento equivalentes.
• Apresentar equações matemáticas que auxiliem na interpretação
dos conceitos de equivalência de capitais e de planos de paga-
mentos.

4
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 4 – Equivalência de Capitais e Planos de Pagamento
4.1 Conceitos Iniciais
Em algumas situações do cotidiano pode haver um desequilíbrio entre as entradas e saídas de caixa. Nesse sen-
tido, pode existir um excesso ou uma falta de recursos. Um dos meios para tentar buscar a redução desse dese-
quilíbrio é através da antecipação ou postergação das dívidas. Devido a isso, é extremamente importante que
você estude o conceito de equivalência de capitais. Para analisarmos os diferentes planos de equivalência de
capitais, você precisa saber os conceitos e os procedimentos necessários para analisar se há ou não equivalência
de capitais entre os planos.
4.2 Equivalência de Capitais
Quando há um desequilíbrio entre as entradas e saídas de caixa ou quando precisamos substituir um título por
outro com vencimento distinto, é extremamente importante que saibamos o conceito de equivalência de capi-
tais. Ambos os casos estão relacionados à equivalência de capitais diferidos.
Capitais diferidos são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes.
Glossário
Dois ou mais capitais são considerados equivalentes, quando, com datas de vencimento determinadas, são leva-
dos para a data focal, com a mesma taxa de juros, e apresentam os mesmos valores presente ( A ).
Quando estamos trabalhando com juros simples, dois capitais são chamados equivalentes (em data e taxa) se os
valores calculados nessa data e taxa forem iguais. A data em questão é denominada de data focal ou data de
equivalência.
Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores que se referem a
datas diferentes. Dito de outra maneira, podemos definir a data focal como um período que
utilizamos para efetuar a comparação entre dois capitais.
Glossário
Vamos supor que temos o interesse de comparar R$1.000,00 hoje e R$1.000,00 daqui a 1 (um) ano. Para poder-
mos dizerse há ou não uma equivalência de capitais, devemos trazeras opções para o mesmo período, chamado
de data focal. No entanto, quando dois capitais são equivalentes, além da data e da taxa, temos que o tipo de
equivalência precisa ser levado em consideração. Os tipos são:

5
• Capitais equivalentes com desconto comercial simples;
• Capitais equivalentes com desconto racional simples.
Diante disso, caso a data focal seja anterior às datas das disponibilidades, seus valores, na data focal, são valores
atuais. No entanto, caso a data focal seja posterior às datas das disponibilidades, seus valores, na data focal, são
valores futuros.
O artigo de Faria (2010), na página 34, disponível em <http://www.uﬀ.br/mbaeconomia/
sites/default/files/A%20MATEM%C3%81TICA%20FINACEIRA%20B%C3%81SICA%20
DO%20MERCADO.pdf> relata todos os conceitos de equivalência de capitais que são trata-
dos nesta aula. Recomendamos a leitura.
4.2.1 Data focal anterior às datas de disponibilidade de capitais
Primeiramente considere que 1
A e 2
A são valores presentes dos capitais (valores atuais dos títulos, valores no
período inicial). Já osvalores futuros (valores nominais) são 1
N e 2
N . Na Figura 4.1você pode observarque a data
focal é anterior às datas de vencimento dos títulos (1 e 2). A data focal está representada pelo momento em 0.
Figura 4.1 – Diagrama de equivalência de capitais com data focal anterior à disponibilidade dos capitais.
Legenda: O diagrama mostra a equivalência de capitais e seus prazos.
Fonte: Veras (2012, p.84)
Caso 1
N e 2
N sejam equivalentes, temos 1 2
A A
= . Assim, cada tipo de modalidade de desconto possui uma
equação de equivalência distinta.

6
Para o caso do desconto comercial simples na data 0, temos a seguinte expressão matemática:
( ) ( )
1 1 2 2
1 . 1 .
N i n N i n
− = −
Para o caso do desconto racional simples na data 0, temos:
1 2
1 2
1 . 1 .
N N
i n i n
=
+ +
Exemplo 4.1
Andréia possuía um título de R$ 60.000,00 para 60 dias, mas o trocou por outro de R$ 40.000,00 para 15 dias.
a. Calcule a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada nessa troca.
Os dados fornecidos no enunciado do problema são:
1 60000
N =
1 2
n =
2 40000
N =
2 0,5
n =
Vamos trabalharcom uma taxa mensal de desconto. Porisso é que adotamos que o primeiro período vale
2 e o segundo 0,5.
A expressão de equivalência de capitais que devemos utilizar é:
( ) ( )
1 1 2 2
1 . 1 .
N i n N i n
− = −
( ) ( )
6000 1 .2 40000 1 .0,5
i i
− = −
60000 120000 40000 20000
i i
− = −
0,2 20% . .
i a m
= =
Assim, utilizando o conceito de desconto comercial simples, temos que a taxa é de 20% ao mês.

7
b. Calcule a taxa mensal de desconto racional simples utilizada nessa troca.
Nesse caso, a expressão que devemos utilizar é dada por:
1 2
1 2
1 . 1 .
N N
i n i n
=
+ +
60000 40000
1 .2 1 .0,5
i i
=
+ +
60000 30000 40000 80000
i i
+ = +
0,4 40% . .
i a m
= =
Utilizando o conceito de desconto racional simples, a taxa de desconto foi de 40% ao mês.
Exemplo 4.2
Mariana possuía um título de R$50.000,00 para 45 dias, mas o trocou por outro de R$40.000,00 para 30 dias.
Calcule a taxa de desconto racional simples para esse caso.
1 50000
N =
1 1,5
n mês
=
2 40000
N =
2 1
n mês
=
Vamos utilizar a taxa por mês, por isso fizemos a transformação dos períodos de dias para meses.
Devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
1 2
1 2
1 . 1 .
N N
i n i n
=
+ +
50000 40000
1 .1,5 1 .1
i i
=
+ +
50000 50000 40000 60000
i i
+ = +
10000 10000
i =
1% . . 0,1
i a m
= =
A taxa de desconto racional simples para esse caso é de 1% ao mês.

8
Observe o Exemplo 4.3 para ver uma nova situação de equivalência de capitais.
Exemplo 4.3
Dados os capitais R$15.208,13 e R$17.107,13, vencíveis de hoje a 5 e 8 meses, respectivamente. Verifique se são
equivalentes, na data de hoje, considerando uma taxa de juros de 4% ao mês.
Para sabermos se os capitais são equivalentes, precisamos fazer com que os dois estejam na mesma data, cha-
mada de data focal (geralmente período inicial ou data 0).
Assim, temos que os valores presentes devem ser iguais para haver equivalência de capitais. Desse modo, temos:
( ) ( )
1 2
1 2
1 1
n n
FV FV
i i
=
+ +
( ) ( )
5 8
15.208,13 17.107,13
1 0,04 1 0,04
=
+ +
12.500,00 12.500,00
=
Como os valores foram iguais, temos que há equivalência entre os capitais analisados.
4.2.2 Data focal posterior às datas de disponibilidade de capitais
Pelo menos um dos valores que serão calculados serão valores futuros. Assim como no tópico anterior, podemos
fazer a equivalência de capitais tanto utilizando o conceito de desconto racional simples quanto desconto
comercial simples.
Inicialmente considere que 1
A e 2
A são os capitais disponíveis em 1
n e 2
n períodos antes da data focal n , em
que são equivalentes com a taxa i , e 1
N e 2
N são valores nominais dos capitais na data n .
A Figura 4.2 ilustra o conceito que foi passado neste tópico.
Figura 4.2 – Diagrama de equivalência de capitais com data focal posterior à disponibilidade dos capitais.
Legenda: Odiagrama mostra a equivalência de capitais e seus prazos.

9
Observe, pela Figura 4.2 que a data focal n é posterior às datas 1
n e 2
n de vencimento dos títulos 1
N e 2
N ,
respectivamente. Além disso, podemos ver que os capitais são equivalentes, assim, temos: 1 2
N N
= .
Dessa forma, para o caso do desconto comercial simples, temos a seguinte expressão:
1 2
1 2
1 . 1 .
A A
i n i n
=
− −
Para o caso do desconto racional simples, temos a seguinte expressão a ser utilizada:
( ) ( )
1 1 2 2
1 . 1 .
A i n A i n
+ = +
O Exemplo 4.4 irá lhe ajudar a entender o conceito passado neste tópico.
Exemplo 4.4
Joana tinha dois títulos com o mesmo valor nominal e mesma data de vencimento. Como precisou de dinheiro,
descontou um deles 25 dias antes do vencimento e recebeu R$220.150,00. Ela está precisando de dinheiro
novamente e quer descontar o outro título, hoje faltando 10 dias para o vencimento. Diante disso, resolva as
alternativas a seguir:
a. Quanto Joana receberá por ele se em ambos foi utilizado desconto comercial simples com a mesma
taxa de 0,5% a.d.?
Note que o enunciado lhe forneceu o capital disponível e não o valor nominal. Cuidado para não fazer
confusão.
1 220150
A =
1 25
n dias
=
0,5% . . 0,005 . .
i a d a d
= =
2 10
n dias
=
Diante disso, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
1 2
1 2
1 . 1 .
A A
i n i n
=
− −
2
220150
1 0,005.25 1 0,005.10
A
=
− −
2 239020
A =
Assim, temos que Joana vai receber o valor de R$239.020,00 pelo seu título descontado por desconto
comercial simples.

10
b. Quanto ela vai receber caso utilize a mesma taxa, mas pelo desconto racional simples?
Vamos utilizar a expressão a seguir:
( ) ( )
1 1 2 2
1 . 1 .
A i n A i n
+ = +
( ) ( )
2
220150 1 0,005.25 1 0,005.10
A
+ =+
2 235875
A =
Joana vai receber o valor de R$235.875,00.
4.3 Equivalência entre conjunto de capitais
No regime de capitalização simples, dois conjuntos de capitais são equivalentes, em certa data, com uma taxa
dada, se as somas dos valores dos capitais de cada um desses conjuntos calculados nessa data (data focal), com
essa taxa, forem iguais.
Vamos consideraraqui dois conjuntos 1 2
, ,..., n
N N N e 1 2
' , ' ,..., 'm
N N N de capitais disponíveis em datas poste-
riores à data focal 0 de 1 2
, ,..., n
n n n e 1 2
' , ' ,..., 'n
n n n períodos, cujos valores atuais, calculados na data focal, com
taxa i , são 1 2
, ,..., n
A A A e 1 2
' , ' ,..., 'n
A A A .
Figura 4.3 – Diagrama de equivalência de um conjunto de capitais
Legenda: O esquema mostra a equivalência de um conjunto de capitais.

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Caso haja equivalência entre esses conjuntos de dados, temos:
• Para desconto comercial simples:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 . ... 1 . ' 1 . ' ... ' 1 . '
n n n n
N i n N i n N i n N i n
− + + − = − + + −
• Para desconto racional simples:
1 1
1 1
'
'
... ...
1 . 1 . 1 . ' 1 . '
n n
n n
N N
N N
i n i n i n i n
+ + = + +
+ + + +
Observe o Exemplo 4.5 para entender os conceitos que foram passados neste tópico.
Exemplo 4.5
Carlos possui três títulos com vencimento para 30, 60 e 90 dias, cada um deles possui valor nominal de
R$100.000,00. Ele deseja trocá-los utilizando o regime de desconto comercial simples, com taxa de 8% a.m.,
por dois títulos que terão valores nominais iguais, mas com vencimento para 150 e 180 dias, respectivamente.
Qual será o valor nominal desses novos títulos?
8% . .
i a m
=
1 1
n =
2 2
n =
3 3
n =
1 2 3 100000
N N N
= = =
1 2
' ' '
N N N
= =
Tivemos de fazer a conversão dos períodos de dias para mês, visto que a taxa de juros foi dada por mês. Assim,
pelo desconto comercial simples, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 . ... 1 . ' 1 . ' ... ' 1 . '
n n n n
N i n N i n N i n N i n
− + + − = − + + −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
100000 1 0,08.1 100000 1 0,08.2 100000 1 0,08.3
' 1 0,08.5 ' 1 0,08.6
N N
− + − + − =
− + −
100000.0,92 100000.0,84 100000.0,76 '.0,6 '.0,52
N N
+ + = +
252000 1,12 '
N
=
' 225000
N =

12
Assim, temos que o valor nominal de cada título vai ser de R$ 225.000,00 se for utilizada a equivalência de capi-
tais com desconto comercial composto.
Exemplo 4.6
Marianapossuidoistítuloscomvencimentopara30,60dias,cadaumdelespossuivalornominaldeR$50.000,00.
Ela deseja trocá-los utilizando o regime de desconto racional simples, com taxa de 3% a.m., por um título que
tem valor nominal tal, com vencimento para 150 dias. Qual será o valor nominal desse novo título?
3% . .
i a m
=
1 1
n =
2 2
n =
1
' 5
n =
1 2 50000
N N
= =
1
' '
N N
=
Tivemos de fazer a conversão dos períodos de dias para mês, visto que a taxa de juros foi dada por mês. Assim,
pelo desconto racional simples, temos:
1 1
1 1
'
'
... ...
1 . 1 . 1 . ' 1 . '
n n
n n
N N
N N
i n i n i n i n
+ + = + +
+ + + +
50000 50000 '
1 0,03.1 1 0,03.2 1 0,03.5
N
+ =
+ + +
'
48543,69 47169,81
1,15
N
+ =
' 110070,53
N =
Assim, temos que o valor nominal do título vai ser de R$ 110.070,53 utilizando o conceito de desconto racional
simples.

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4.4 Juros pela Regra dos Bancos
Na prática financeira mundial, o método de cobrança de juros é misto. Isso ocorre porque os bancos se baseiam
na contagem exata dos dias, mas utiliza o mês e ano comerciais.
Observe o Exemplo 4.7 para entender o conceito que foi passado neste tópico.
Exemplo 4.7
Um capital de R$ 1.200,00 foi aplicado a juros simples a uma taxa de 15% a.a. de 18/05/2016 a 12/06/2016.
Calcule os juros bancários dessa operação.
Entre as datas em questão, temos exatamente 25 dias. Os dados fornecidos foram:
$1.200,00
PV R
=
15% . . 0,15 . .
i a a a a
= =
25
n =
O valor do juro é dado por:
. .
J PV i n
=
0,15
1200. .25
360
J =
$12,50
J R
=
Note que fizemos a transformação para o juro de anual para diário. Para tanto, fizemos apenas a divisão pelo
número aproximado de dias.
Assim, pela regra dos bancos, temos R$12,50 de juros no período de 15 dias.
4.5 Equivalência de planos de pagamento
Dois planos de pagamento são considerados equivalentes se os valores atuais (valores presentes) dos termos de
ambos os planos, numa data de referência (chamada de data focal), forem iguais, considerando uma determi-
nada taxa de juros.
Assim, caso tenhamos os valores futuros, devemos utilizar:
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
...
1 1 1 n
n
n n n
FV
FV FV
i i i
= = =
+ + +

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No entanto, caso tenhamos os valores dos pagamentos, devemos utilizar:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
...
1 1 1
n
n
n n n
n n n
A i A i A i
i i i i i i
+ − + − + −
= = =
+ + +
Em alguns problemas é necessário convertermos uma taxa de mensal para anual, ou de mensal para semestral,
ou de mensal para bimestral ou mensal para anual. Observe a seguir algumas expressões que podem ser utiliza-
das para fazer essas conversões.
( )
2
1 1
b m
i i
+ = + (mensal para bimestral)
( )
3
1 1
t m
i i
+ = + (mensal para trimestral)
( )
6
1 1
s m
i i
+ = + (mensal para semestral)
( )
12
1 1
a m
i i
+ = + (mensal para anual)
( )
1,5
1 1
t b
i i
+ = + (bimestral para trimestral)
( )
3
1 1
s b
i i
+ = + (bimestral para semestral)
( )
6
1 1
a b
i i
+ = + (bimestral para anual)
( )
2
1 1
s t
i i
+ = + (trimestral para semestral)
( )
4
1 1
a t
i i
+ = + (trimestral para anual)
( )
2
1 1
a s
i i
+ = + (semestral para anual)
Pelas expressões acima, percebemos que precisamos saber a relação entre as duas unidades temporais para
fazermos a construção da equação de conversão. Leia com atenção todas as expressões que foram passadas e
tente entender a lógica de construção de cada uma delas. Feito isso, você não precisará decorar as expressões,
pois a construção será natural e simples.
Analise os exercícios com atenção para ver se é realmente preciso fazer a conversão entre as
taxas. Se for fornecida a taxa em um determinado período menor que aquele que queremos
analisar (Exemplo: foi fornecida uma taxa mensal e estamos analisando um plano de paga-
mento anual), você deve utilizar uma das expressões que foram listadas acima.

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Observe o Exemplo 4.8 para ilustrar os conceitos de equivalência de planos de pagamento.
Exemplo 4.8
Um cliente pode escolher um dos planos a seguir para liquidar um empréstimo de R$100.000,00 sendo que a
taxa de juros cobrada em qualquer dos planos é de 4% a.m.
Plano A: 18 parcelas vencidas mensais e iguais a R$7.899,33.
Plano B: 6 parcelas trimestrais de R$24.658,56.
a. Há equivalência entre os planos?
Primeiramente devemos achar a taxa equivalente ao trimestre. Devemos utilizar a seguinte expressão
matemática:
( )
3
1 1
t m
i i
+ = +
( )
3
1 1 0,04
t
i
+ = +
0,124864
t
i =
Assim, temos que a taxa trimestral equivalente a 4% ao mês é de 12,4864% (aproximadamente 12,49%)
ao trimestre.
Vamos utilizar a expressão que utiliza os pagamentos. Assim, temos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
...
1 1 1
n
n
n n n
n n n
A i A i A i
i i i i i i
+ − + − + −
= = =
+ + +
( )
( )
( )
( )
18 6
18 6
7899,33 1 0,04 1 24658,56 1 0,1249 1
0,04 1 0,04 0,1249 1 0,1249
+ − + −
=
+ +
100000 100000
=
Note que tivemos que fazer a conversão da taxa mensal para trimestral.
Como os valores foram iguais, os planos de pagamento são equivalentes.
b. Se a taxa de juros for de 3%, esses planos serão equivalentes?
Primeiramente devemos encontrar a taxa equivalente ao trimestre. Assim, temos:
( )
3
1 1
t m
i i
+ = +
( )
3
1 1 0,03
t
i
+ = +
0,092727
t
i =

16
Dessa maneira, temos que a taxa trimestral equivalente a 3% ao mês é de 9,2727% ao trimestre.
Vamos utilizar a expressão que utiliza os pagamentos. Assim, temos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
...
1 1 1
n
n
n n n
n n n
A i A i A i
i i i i i i
+ − + − + −
= = =
+ + +
( )
( )
( )
( )
18 6
18 6
7899,33 1 0,03 1 24658,56 1 0,092727 1
0,03 1 0,03 0,092727 1 0,092727
+ − + −
=
+ +
108643,54 109722,68
≠
Como os valores não foram iguais, os planos de pagamento não serão equivalentes.
Exemplo 4.9
Um cliente pode escolher um dos planos a seguir para liquidar um empréstimo de R$100.000,00 sendo que a
taxa de juros cobrada em qualquer dos planos é de 2% a.m.
Plano A: 18 parcelas vencidas mensais e iguais a R$7.899,33.
Plano B: 6 parcelas trimestrais de R$24.658,56.
Plano C: 10 parcelas bimestrais de R$15.110,20
Queremos saber se há equivalência entre os planos de pagamento.
Primeiramente devemos encontrar a taxa equivalente ao trimestre e ao bimestre. Assim, temos:
( )
3
1 1
t m
i i
+ = +
( )
3
1 1 0,02
t
i
+ = +
0,061208
t
i =
Temos que a taxa trimestral equivalente a 2% ao mês é de 6,1208% ao trimestre.
( )
2
1 1
b m
i i
+ = +
( )
2
1 1 0,02
b
i
+ = +
0,0404
b
i =
Agora, temos que a taxa bimestral equivalente a 2% ao mês é de 4,04% ao bimestre.

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Vamos utilizar a expressão que utiliza os pagamentos e calcula a equivalência de planos de pagamentos, pelo
valor presente. Desse modo, temos a expressão:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
...
1 1 1
n
n
n n n
n n n
A i A i A i
i i i i i i
+ − + − + −
= = =
+ + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
18 6 10
18 6 10
7899,33 1 0,02 1 24658,56 1 0,061208 1 15110,20 1 0,0404 1
0,02 1 0,02 0,061208 1 0,061208 0,0404 1 0,0404
+ − + − + −
= =
+ + +
394931,49 402853,55 373998,19
≠ ≠
Como os valores presentes encontrados foram diferentes, não há equivalência entre os planos de pagamento.
Você pode analisar a equivalência entre quaisquer planos de pagamento utilizando os con-
ceitos que foram passados acima. Você saberia dizer o motivo de haver uma equação para
verificara equivalência? Porque cada parcela da equação representa ovalorpresente daquele
plano de pagamento. É indispensável que façamos a análise dos planos em uma mesma uni-
dade temporal, que no caso é o período inicial ou valor presente.
Diante disso, todos os conceitos de planos de pagamento e equivalência de planos de pagamento foram passa-
dos. Tenha sempre em mente que precisamos calcular sempre os respectivos valores presentes para sabermos se
um conjunto de planos de pagamento é equivalente entre si ou não.

18
Considerações finais
Nesta unidade de estudo definimos equivalência de capitais e planos
de pagamento por meio das equações matemáticas que auxiliam na
interpretação dos conceitos de equivalência de capitais e de planos de
pagamentos.
Capitais equivalentes são aqueles que apresentam um mesmo valor
presente, considerados os valores futuro, a taxa de juro e os períodos.
Quando você precisa decidir se um determinado plano de pagamento é
equivalente a outro, você precisa aplicar todos esses conceitos que foram
desenvolvidos ao longo da aula, acerca de equivalência de capitais. Por-
tanto, estude com muita atenção tudo o que foi passado, pois é uma aula
que tem grande aplicabilidade no nosso dia a dia.

Referências
19
FARIA, R. G. de. A Matemática Financeira do Mercado: Usando a HP-
-12C e o Excel nos exercícios. 2010. Disponível em: <http://www.uﬀ.
br/mbaeconomia/sites/default/files/A%20MATEM%C3%81TICA%20
FINACEIRA%20B%C3%81SICA%20DO%20MERCADO.pdf>. Acesso em:
2017.
HAZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2007. [E-book].
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book].
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática ﬁnanceira. 7. ed. São Paulo: Atlas,
2000. [E-book].

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