Matemática financeira básica

FACULDADE DO BICO DO PAPAGAIO
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
PROFESSOR: PAULO BATISTA FRANCA
ALUNO:__________________________________________________________________
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Nota sobre o autor
Paulo Batista Franca é Licenciado Pleno em Matemática pela UFPA (Universidade
Federal do Pará) e pós-graduado em Matemática e Estatística pela FACTED-DF (Faculdade
de Tecnologia Darwin).
É professor universitário das disciplinas: Matemática Financeira, Estatística e
Matemática Básica no Curso de Ciências Contábeis na FABIC (Faculdade do Bico do
Papagaio) e também é professor efetivo da Rede Estadual do Tocantins (SEDUC-TO),
atualmente lecionando as disciplinas de Matemática e Física no Ensino Médio.
2

MATEMÁTICA FINANCEIRA
Aula 1
NOÇÕES BÁSICAS
Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas
de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de
análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de
recursos financeiros.
Problemas Sobre Porcentagem
Os descontos concedidos nas compras e pagamentos, bem como o confronto entre
um conjunto de unidades e conjunto maior de unidades da mesma espécie, é comumente
feito em relação ao fator 100 sob o nome de tanto porcento. O valor calculado em cada grupo
de 100 unidades recebe o nome de taxa centesimal.
Elementos: i = taxa
C = capital
P = tanto porcento
P = c x i / 100
C = 100 x p / i
i = 100 x p / c
Exemplos:
1) Calcular 5% de R$720,00.
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2) Em um negócio de R$ 48.000,00 perdeu-se uma importância de R$2400,00.
Determinar a taxa percentual da perda.
3) Em um negócio de R$ 3.000,00 ganhou-se uma importância de R$ 300,00
Determinar a taxa percentual do ganho.
4) Dos 1.200 operários de uma fábrica “A”, 324 são mulheres. Quanto porcento são
homens?
5) Sobre uma compra de R$ 68.000,00 concede-se um abatimento de R$ 3.400,00.
Qual é a taxa de abatimento?
4

Aula 2
Abatimentos Sucessivos
Quando uma mercadoria sofre vários abatimentos cada um deles calculado sobre o
líquido anterior diz-se que ela sofreu abatimentos sucessivos.
Assim o líquido depois de cada abatimento passa a ser o principal do abatimento
posterior.
O líquido para um abatimento é igual ao principal menos a parte correspondente a
porcentagem.
C = capital, principal
i = taxa
L = líquido
Fórmula:
L1 = C – C . i1
L2 = L1 – L1 . i2
L2 = L1. (1-i2)
L2 = C . (1- i1) . (1- i2)
Ln = C .(1-i1).(1-i2)...(1-in)
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Exemplo:
1)Uma mercadoria de R$500,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%, 8% e 7%. Calcular o
líquido.
Taxa Única Abatimentos Sucessivos
L n = C.(1-i -)
i_= 1-[(1-i1).(1-i2)...(1-in)]
considerando o exemplo anterior, calcular a taxa única:
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Acréscimos Sucessivos
Quando uma mercadoria sofre diversos acréscimos, cada um deles calculado sobre o
bruto anterior, diz-se que ela sofreu acréscimos sucessivos.
Assim o bruto depois cada acréscimo passa a ser o principal do acréscimo seguinte.
O bruto de cada acréscimo é igual ao principal mais parte desse principal,
correspondente a porcentagem.
B1 = C + Ci
B1 = C + (1 + i1)
B2 = B1+ B1 . i2
B2 = B1.(1 + i2)
B2 = C.(1 + i1).(1 + i2)
Bn = C.(1+i1).(1+i2)...(1+in)
Exemplo:
1) Uma mercadoria com preço de custo igual a R$ 1.000,00 sofreu os acréscimos
sucessivos de 25%, 15% e 10%. Calcular o bruto final.
Taxa Única Acréscimos Sucessivos
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Bn = C.(1+ i + )
i+= -1+[(1+i1).(1+i2)...(1+in)]
considerando o exemplo anterior, calcular a taxa única:
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Aula 3
Operações sobre mercadorias
Custo como principal
Lucro
V = C.(1+ic) V>C
Prejuízo
V = C.(1- ic) V<C
Venda como principal
Prejuízo
C = V.(1+iv) V<C
Lucro
C = V.(1- iv) V>C
Onde:
C = preço de custo
V = preço de venda
ic = taxa sobre o preço de custo
iv = taxa sobre o preço de venda
Exemplos:
1) Vendi um objeto por R$ 642,00 lucrando 7% sobre o custo. Quanto custou o objeto?
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2) Vendi um carro por R$ 25.000,00 lucrando 3% sobre a venda. Quanto custou o carro?
3) Comprei uma coleção de livros de R$250,00. Por quanto devo vender para lucrar 50%
a) Sobre a venda
b) Sobre o custo
4) Vendi um carro por R$ 17.000,00 com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Por
quanto comprei?
5) Paguei R$3.000,00 pela compra de certos objetos que revendi com um lucro de 25%
sobre a venda. Quanto recebi?
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Aula 4
Juros Simples
Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um
determinado período de tempo, ao fim do prazo se transformará em um valor (montante) que
será igual ao capital aplicado acrescida da remuneração obtida durante o período de
aplicação.
Juros  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em
dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro,
proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo
período de tempo.
Taxa de Juros  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou
recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital
inicialmente emprestado.
Capital  é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis)
disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é
denominado de capital inicial ou principal.
Montante  denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação
financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros
pagos (ou recebidos).
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Remuneração do Capital
A diferença entre o montante “M” e a aplicação “C” denomina-se remuneração,
rendimento ou juros ganhos.
J = M – C
Os juros ganhos em uma aplicação financeira é dado por:
Taxa de juros vezes o principal vezes o tempo de aplicação.
J = C.i.n
M = montante
J = juros
C = capital
i = taxa
n = tempo
Portanto, M – C = C.i.n
M = C + C.i.n
M = C.(1+i.n)
Juro Bancário, Exato e Ordinário
Bancário
O juro simples bancário é calculado de acordo com a seguinte convenção:
O ano é considerado com 360 dias e a contagem dos dias é corrida.
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Exato
Neste caso, para o cálculo do juro, deve-se considerar o ano civil não bissexto com
365 dias ou o ano civil bissexto com 366 dias, e a contagem dos dias é corrida.
Ordinário ou Comercial
Para o cálculo deste juro a contagem do número de dias é feita considerando o ano
comercial que por convenção tem 360 dias e cada mês 30 dias.
Exemplos:
1) Qual rendimento de R$10.000,00 aplicado por um mês a taxa simples de 36% a.a.
2) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicado por 14 dias a taxa simples de 2,5%
a.m.
3) Em 7 meses R$18.000,00 renderam R$4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual simples
ganha?
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4) Um capital de R$5.000,00 rendeu R$1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples
anual ganha?
5) Mesmo enunciado (4). Em vez de taxa anual pede-se taxa mensal.
6) Um capital aplicado por 4 meses e 18 dias a juros simples de 12% a.m. transformou-
se em R$23.000,00. Calcular os juros ganhos na aplicação.
7) Um título foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de
180% a.a.e os juros ganhos totalizaram R$ 1.636,36. Quantos meses durou a
aplicação?
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AULA 5
Capitalização e Desconto a Juros Simples
Cálculo do Montante e do Principal
O montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital inicialmente investido
(principal) acrescido de sua remuneração no período (juros ganhos).
O cálculo do principal a partir do montante é simplesmente o processo inverso.
C = M / (1+ i.n) *obs: chamaremos mais tarde de valor atual
descontado racionalmente.
No cálculo financeiro o diagrama de fluxo de caixa serve para mostrar graficamente as
transações financeiras em um período de tempo.
M = C(1+i.n)
0 1 2 ................................. n
C = M / (1+i.n)
Equivalência de Capitais a Juros Simples
Dizemos que dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma
determinada data de avaliação (data focal).
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Exemplos:
1) O diagrama de fluxo a seguir que ilustra a equivalência (na data focal 2) a juro
simples de 10% de dois capitais, o primeiro no valor de R$ 3.636,35 que ocorre na
data 1 e outro de R$5.600,00 na data 6.
2) Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$2.000,00 daqui a 3
meses, R$2.500,00 daqui a 8 meses. Ela quer trocar esses débitos por dois
pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor
desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m. sendo a
renegociação hoje.
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AULA 6
Desconto Simples
Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória, letra de câmbio) é resgatado
antes do seu vencimento, ele sofre um abatimento que é denominado desconto.
Um título possui um valor, chamado valor nominal, que corresponde ao seu valor no
dia do seu vencimento. Antes disso, o título pode ser resgatado por um valor menor que o
nominal sendo denominado valor atual ou valor presente.
Chama-se desconto simples o calculado sobre um único valor do título (nominal ou
atual). Se for calculado sobre o valor nominal é chamado desconto comercial ou “por fora”
e se for calculado sobre o valor atual é chamado de desconto racional ou “por dentro”.
Desconto Comercial ou Por Fora
O desconto comercial equivale ao juro simples onde o capital corresponde ao valor
nominal do título
d = N.i.n
Exemplo:
Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$200,00 foi resgatada 3 meses antes do
vencimento a taxa de 9% a.a.. Qual o desconto?
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Valor Atual ou Valor Presente
o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago
(recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor
atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O
Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto
comercial aplicado.
A = N – d
A = N – N.i.n
A = N.(1 – i.n)
Exemplo:
Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75 a taxa de 6%
a.a. 4 meses antes do vencimento ?
Desconto Racional ou por Dentro
O desconto racional equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título.
Denominando por d’ o desconto racional temos:
d`= A.i.n A = N – d’
d` = ( N – d’).i.n
d` = N.i.n – d’.i.n
d` + d’.i.n = N.i.n
d`.(1 + i.n) = N.i.n
d` = N.i.n / (1 + i.n)
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Exemplo:
Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a R$135,00 pago
2 meses antes do vencimento a 1% a.m..
Valor Atual (Racional)
A = N – d’
A = N – N.i.n / (1 + i.n)
A = [N.(1 + i.n) – N.i.n] / (1+ i.n)
A = (N + N.i.n – N.i.n) / (1 + i.n)
A = N / (1 + i.n)
Exemplos:
1) Considerando o exemplo anterior, calcule o valor atual.
2) Um título de valor nominal equivalente a R$70,40 com vencimento para 5 meses
substituiu outro de valor nominal equivalente a R$66,00 vencível em 2 meses. Qual a
taxa mensal dessa transação sabendo-se que a negociação foi feita hoje?
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AULA 7
Juros compostos
Conceito: Juros compostos, acumulados ou capitalizados são os que no fim de cada
período são somados ao capital constituído no início para produzirem novos juros no período
seguinte.
Seja por exemplo um capital de R$100,00 colocado a 20% a.a. durante 4 anos.
Comparando os juros compostos com juros simples verifica-se que o primeiro cresce
em progressão geométrica enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos,
pois são calculados sempre sobre o capital inicial.
Anos 0 1 2 3 4
Montante a
juros
simples
100 120 140 160 180
Montante a
juros
compostos
100 120 144 172,80 207,36
Cálculo do Montante
Suponhamos que um capital C vai ser aplicado a juros compostos a uma taxa i. No fim
do 1º período o juro produzido será:
J1 = C.i.n sendo n = 1 e o montante : M1 = C + J1
M1 = C + C.i
M1 = C.(1 + i)
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No fim do segundo período o juro será:
J2 = M1.i.n sendo n = 1 e o montante: M2 = M1 + J2
M2 = M1 + M1.i
M2 = M1.(1 + i)
M2 = C.(1 +i).(1 + i)
M2 = C.(1 + i)2
No fim do terceiro período o juro será:
J3 = M2.i.n sendo n = 1 e o montante: M3 = M2 + J3
M3 = M2 + M2.i
M3 = M2.(1 + i)
M3 = C.(1 +i)2
.(1 + i)
M3 = C.(1 + i)3
Generalizando:
Mn = C.(1 +i)n
Exemplos:
1) Calcular o montante do capital de R$10.000,00 a juros compostos de 10% a.a. em 3
anos.
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2) Qual o capital que em 6 anos, a taxa de juros compostos de 15% a.a., monta
R$14.000,00?
3) Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um
único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos for de 15% a.m..
22

AULA 8
Capitalização e Desconto a Juros Compostos
Como vimos M = C (1+i)n
onde (1+i)n
é chama do fator de capitalização ou fator de
valor futuro para aplicação única.
O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o
inverso do cálculo do montante:
C = M (1+i) –n
onde (1+i) –n
é conhecido como fator presente, fator de desconto ou
ainda fator de descapitalização para pagamento único.
(1+i) –n
0 n
(1+i)n
Exemplos
1) Uma pessoa depositou R$2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois deposita
mais R$2.500,00 e 2 meses depois desse último depósito realiza uma retirada de
R$1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao fim do 5º mês. Considerando que a
taxa de juros compostos ganha é de 15% a.m.
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2) A que taxa de juros um capital de R$ 2.000,00 obtém um rendimento de R$280,00 em
2 meses.
3) Determinar o capital que aplicado por 7 meses a juros de 4% a.m. rende R$10.000,00.
4) A taxa de 5% a.m., em que prazo R$5.000,00 rende juros de R$17.000,48?
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AULA 9
TAXAS PROPORCIONAIS
 Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente,
trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando
se refere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:
• juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;
• juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;
• juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;
 Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n
é
feito com a TAXA PROPORCIONAL. Dessa forma:
• Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é
15% a.s.
1 ano = 2 semestres  30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.
• Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é
5 % a.t.
1 ano = 4 trimestres  20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.
• Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é
1 % a.m.
1 ano = 12 meses  12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.
25

TAXAS EQUIVALENTES
 São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que
levam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período
de tempo.
Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes,
fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de
tempo.
(1+i1)n1
= (1+i2)n2
exemplos:
1) 12% a .a é equivalente a quanto porcento a.sem. ?
2) 1% a .m é equivalente a quanto porcento a .sem. ?
26

AULA 10
TAXAS NOMINAL e EFETIVA
Quando uma taxa anual é paga em parcelas proporcionais os juros obtidos no fim
do primeiro ano são maiores do que a taxa oferecida.
Seja por exemplo, se um capital de R$ 100,00 for colocado a 20% a.a.
capitalizado semestralmente por 1 ano, temos:
100 110 121
0 1 ano i = 20% a.a. taxa nominal
i = 21% a.a. taxa efetiva
21% a.a. é equivalente a 10% a.sem.
proporcional
20% a.a. 10% a.sem.
nominal
equivalente
efetiva 21% a.a.
exemplo:
1) A caderneta de poupança paga juros de 6% a.a. com capitalização mensal. Qual a
taxa efetiva dos juros?
27

AULA 11
Desconto Composto
Desconto composto equivale à soma de descontos simples calculados isoladamente
em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Pode ser Real ou
Bancário.
Desconto Composto Real
A = N
( 1 + i )n
Onde: N é o valor nominal
A é o valor atual
Exemplo:
1) Um título de valor nominal igual a R$ 800,00 foi resgatado dois anos e meio antes
do vencimento a 22% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor atual do título ? Qual o
desconto concedido ?
28
A = N ( 1 + i ) -n

AULA 12
Desconto Composto Bancário
Considere um título de valor nominal de R$ 1000,00 que vai ser resgatado 4 anos
antes do vencimento à taxa de 10% a.a.. Calculando o desconto comercial em cada ano
temos:
656,10 729 810 900 1.000
0 1 2 3 4
d=72,9 d=81 d=90 d=100
Cálculo do Desconto Composto Bancário, dedução da fórmula
A1 = N – d1 ∴ d1 = N . i . n
A1 = N – N . i . n p/ n = 1
A1 = N (1 – i )
A1 = 1000 (1 – 0,1)
A1 = 900
A2 = A1 – d2 ∴ d2 = N . i . n
A2 = A1 – A1. i
A2 = N (1 – i ) . (1 – i)
A2 = N (1 –i)2
GENERALIZANDO
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A = N (1 – i )n

Exemplo:
Um título de valor nominal igual a R$ 800,00 foi resgatado dois anos e meio antes do
vencimento a 22% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor atua do título? Qual o
desconto concedido? ( desconto composto bancário)
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AULA 13
Séries de Pagamentos
Conceito: é um conjunto de dois ou mais pagamentos realizáveis em épocas distintas,
destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.
Elementos: os pagamentos que podem ser prestações ou depósitos, constituem os
termos (T) da série. Denomina-se (n) o número de termos (pagamentos) e (i) a taxa unitária
dos juros. Se o objetivo da série for constituir capital, esse capital será o montante da série,
se entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida o valor dessa dívida será o valor atual
( ou valor presente) da série.
Classificação: podem ser certas ou aleatórias. Séries de pagamentos certas são
aquelas em que o número de termos, os vencimentos dos termos e seus respectivos valores
podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser
determinado com antecedência a série é aleatória.
Não periódica
Certa Temporária Periódica Variáveis Imediatas
Série Perpétua Constantes Antecipadas
Aleatória Diferidas
As séries certas são subdivididas em série temporárias e perpétuas, as temporárias
em não periódicas e periódicas, as temporárias periódicas em variáveis e constantes e as
temporárias periódicas constantes em imediatas (postecipadas), antecipadas e diferidas.
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Séries temporárias são aquelas em que o número de termos é finito, isto é, a série tem
um termo final. Quando o número de termos é infinito a série é denominada perpétua.
Séries periódicas são aquelas em que o intervalo de tempo entre dois pagamentos
consecutivos é constante ( mensais, trimestrais, semestrais, etc...) caso contrário a série é
não periódica.
Série constantes são aquelas quando todos os pagamentos são de mesmo valor. Se
um dos pagamentos for de valor diferente dos demais a série é variável.
Quanto ao vencimento dos termos as séries são classificadas em: imediatas
(postecipadas), antecipadas e diferidas.
Uma série é imediata ou postecipada quando os pagamentos ocorrem no fim de cada
período.
0 1 2 3 n-1 n
T T T T T
Uma série é antecipada quando os pagamentos se realizam no início de cada período.
0 1 2 3 n-1 n
T T T T T
Uma série é diferida quando ocorre um período de carência. A série diferida equivale a
uma série imediata que tem um prazo de carência entre o valor atual e o início dos
pagamentos. 0 1
Carência
0 1 2 3 n-1 n
T T T
32

AULA 14
Série Imediata (Postecipada)
Valor Atual de uma Série Unitária Imediata
O valor atual ( ou valor presente) de uma série unitária imediata equivale ao valor de
uma dívida (empréstimo, valor à vista de uma mercadoria) que será paga com prestações
unitárias
O valor atual da série é igual à soma dos valores atuais de seus termos calculados
com desconto composto real a determinada taxa.
0 1 2 3 n-1 n
1 1 1 1 1
Σ (1+i)-1
, (1+i)-2
, (1+i)-3
,...., (1+i)-(n-1)
, (1+i)-n
O valor atual de uma série unitária imediata é representada pela expressão:
an┐i = (1+i)-n
+ (1+i)-(n-1)
+ ... + (1+i)-3
+ (1+i)-2
+ (1+i)-1
, chamando (1+i) = u
an┐i = u-n
+ u-(n-1)
+ ... + u-3
+ u-2
+ u-1
progressão geométrica de razão u
an┐i = u-1
. u – u-n
u -1
an┐i = 1 – u-n
. un
u – 1 un
an┐i = un
-1
(u-1) . un
an┐i = (1+i)n
-1
33

(1 + i -1) . (1+i)n
an┐i = (1+i)n
-1
i . (1+i)n
FVA (fator do valor atual)
Valor atual de uma série postecipada ou imediata:
An┐i = T . an┐I
An┐i = T . (1+i)n
-1
i . (1+i)n
Exemplos.
1) Qual o valor atual de uma série imediata de 10 termos mensais de R$ 1.000,00 à
taxa de 1% a.m.
2) Calcular o valor atual de uma série mensal de R$ 1.000,00 de 12 termos a 1% a.m.
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3)Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de R$ 5.000,00 com
juros de 20% a.a.?
4) Calcular o valor da prestação mensal para amortizar com 12 pagamentos um
empréstimo de R$ 60.000,00 com juros de 2% a.m.
5) Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados numa instituição financeira por 15
anos a 10% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular a prestação mensal para
resgatar a dívida
35

6. Calcular a taxa de uma série mensal de R$ 1.000,00 de 12 termos que amortizará
uma dívida de R$ 11.255,08.
# observação – a solução desta equação deve ser obtida por tentativa e erro. Mesmo
as calculadoras financeiras que solucionam problemas com esses de forma simples e rápida
utilizam esse processo. Ele consiste em atribuir valores sucessivos para a taxa i até que o
resultado da expressão seja equivalente.
7. Comprei um automóvel financiado em 24 prestações de R$ 2.100,00 mensais.
Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 40.000,00 qual a taxa mensal embutida
nesta transação ?
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AULA 15
Montante de uma Série Imediata (Postecipada)
- Série Unitária
O montante de uma série unitária imediata equivale a soma dos montantes dos
depósitos unitários durante n períodos a uma taxa i.
O montante de cada termo (depósitos) da série é calculado pela fórmula dos juros
compostos M = C. (1+i)n
. Como os termos são unitários, C = 1, concluímos que o montante
será M. (1+i)n
0 1 2 3 n-2 n-1 n
1 1 1 1 1 1
Σ 1+ (1+i) 1
+ (1+i)2
+ (1+i)3
+ ... + (1+i)(n-3)
+ (1+i)(n -2)
+(1+i)(n -1)
sn┐i = 1+ (1+i) 1
+ (1+i)2
+ (1+i)3
+ ... + (1+i)(n-3)
+ (1+i)(n -2)
+(1+i)(n -1)
progressão geométrica de razão (1+i)
sn┐i = (1+i)(n-1)
. (1+i) – 1
1+i -1
sn┐i = (1+i)n
-1  FAC ( Fator de Acumulação de Capital)
i
37

Montante de uma Série Imediata
Sn┐i = T . sn┐I
Sn┐i = T . (1+i)n
-1
i
Exemplos.
1) Uma pessoa deposita em um banco no fim de cada semestre a importância de
R$1.000,00 à 20% a.a.. Quanto terá no fim de 4 anos ?
2) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco no fim de cada trimestre a
20%a.a para no fim de 2 anos possuir R$ 10.000,00 ?
AULA 16
38

3) Quanto terá no final de 4 anos uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês durante
este prazo em um fundo de renda fixa à taxa de 3% a.m. ?
4) Quanto uma pessoa terá de aplicar mensalmente num fundo de renda fixa durante 5
anos para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o
fundo proporciona um rendimento de 2% a.m. ?
5)Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente à taxa de 7% a.tri.
para acumular um montante de R$ 100.516,08 no final de certo prazo. Qual será
este prazo ?
39

AULA 17
Séries Antecipadas
Valor Atual de uma série Unitária Antecipada
1
0 1 2 3 n-2 n-1 n
1 1 1 1 1 1
Σ (1+i)-(n-1)
, (1+i)-(n-2)
, ... , (1+i)-3
, (1+i)-2
, (1+i)-1
,1
progressão geométrica de razão (1+i)
A representação do valor atual de uma série unitária antecipada é:
_
an┐i = (1+i)-(n-1)
+ (1+i)-(n-2)
+ ... + (1+i)-3
+ (1+i)-2
+ (1+i)-1
+1
soma da PG : Sn = an . q - a1
q - 1
_
an┐i = 1. (1+i) - (1+i)-(n-1)
1 + i - 1
_
an┐i = (1+1) – (1+i)-(n-1)
(1+i)n-1
i (1+i)n-1
_
an┐i = (1+i)n
– 1 FVAa ( Fator de Valor Atual Antecipado)
i (1+i)n-1
Valor Atual de uma Série Antecipada
_ _
An┐i = T . an┐I
_
40

An┐i = T . (1+i)n
-1
i . (1+i)n-1
Exemplos.
1) Calcular o valor atual de uma série mensal antecipada de 10 termos de R$ 1.000,00
à taxa de 2%a.m.
2) Uma mercadoria é vendida à prazo por 6 prestações mensais antecipadas de
R$100,00 com juros de 1,5% a.m.. Qual o valor à vista desta mercadoria ?
3) Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar com 12
pagamentos um financiamento de R$ 10.000,00 com juros de 5% a.trim.
4) Uma dívida de R$ 1.000,00 deverá ser paga com 8 prestações mensais
antecipadas de R$ 133,00. Qual a taxa de juros ?
41

5) Qual o valor do empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais
antecipadas à taxa de 3,5% a.m. sendo as 4 primeiras prestações de R$ 3.000,00 e as 6
últimas de R$ 4.500,00 ?
6) Um cliente deseja liquidar um empréstimo bancário em 10 prestações mensais
antecipadas de valores alternados de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00. Sabendo-se que a taxa de
juros cobrada pelo banco é de 3,75% a.m. calcular o valor do empréstimo.
AULA 18
Montante de uma Série Unitária Antecipada
0 1 2 3 n-2 n-1 n
1 1 1 1 1 1
Σ (1+i) , (1+i)2
, ... , (1+i)(n-3)
, (1+i)(n -2)
, (1+i)(n -1)
, (1+i)n
sn┐i = (1+i) + (1+i)2
+ ... + (1+i)(n-3)
+ (1+i)(n -2)
+ (1+i)(n -1)
+ (1+i)n
sn┐i = (1+i) 1 + (1+i) + ... + (1+i)(n-4)
+ (1+i)(n -3)
+ (1+i)(n -2)
+ (1+i)(n-1)
42

Montante da Postecipada
sn┐i = (1+i)n
-1  Postecipada
i
_
sn┐i = ( 1+i) (1+i)n
-1  FACa ( Fator de Acumulação de Capital Antecipada)
i
Montante de uma Renda Antecipada
_ _
Sn┐i = T . sn┐I
_
Sn┐i = T . (1+i) . (1+i)n
-1
i
Exemplos
1) Calcular o montante de uma série antecipada de 18 termos mensais de R$ 1.000,00 à taxa
de 1% a.m.
2) Quanto se deve depositar no início de cada semestre numa instituição financeira que paga
18% a.a. para constituir um montante de R$ 5.000,00 no fim de 3 anos.
43

3) Uma pessoa realizou 12 depósitos trimestrais antecipados de R$ 500,00 e obteve o
montante de R$ 7.850,00. Qual foi a taxa de juros ?
4) Quantos depósitos trimestrais antecipados de R$ 1.000,00 serão necessários para constituir
um montante de R$ 10.000,00 à taxa de 5% a.trim. ?
AULA 19
Séries Diferidas
As séries diferidas envolvem apenas cálculos relativos ao valor atual pois o montante
de uma série diferida é igual ao montante de uma série imediata (ou postecipada), uma vez
que durante o prazo de carência não há pagamentos e capitalizações.
Valor Atual de uma Série Unitária Diferida
0 1 2 n-2 n-1 n
44

0 1 2 m-1 m
1 1 1 1 1
A representação do valor atual de uma série unitária de n termos com m períodos de
carência será: m/an┐i.
Como o valor atual de uma série é a soma dos valores atuais de seus termos, temos:
m/an┐i = (1+i)-(m+n)
+ (1+i)-(m+n-1)
+ (1+i)-(m+n-2)
+ ... + (1+i)-(m+2)
+ (1+i)-(m+1)
m/an┐i = (1+i)-m
(1+i)-n
+ (1+i)-(n-1)
+ (1+i)-(n-2)
+ ... + (1+i)-2
+ (1+i)-1
PG de razão (1+i)
Soma da PG : Sn = an .q – a1
q –1
m/an┐i = (1+i)-m
(1+i)-1
. (1+i) – (1+i)-n
(1+i) – 1
m/an┐i = 1 1- (1+i)-n
(1+i)n
(1+i)m
i (1+i)n
m/an┐i = (1+i)n
–1 FVAd ( Fator do Valor Atual da Diferida)
i (1+i)n+m
Valor Atual de uma Série Diferida
m/An┐i = T. (1+i)n
–1
45

AULA 20
Exemplos
1) Calcular o valor atual de uma série de 10 termos trimestrais de R$ 200,00 com 9 meses de
carência à taxa de 5% a.trim.
2) Um empréstimo de R$ 100.000,00 vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais mais
2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% a.trim.
3) Uma mercadoria cujo valor à vista é de R$ 500,00 é vendida à prazo por 8 prestações
mensais de R$ 66,50 com mais 2 meses de carência. Qual a taxa de juros ?
47

AULA 21
Sistemas de Amortização
Existem vários sistemas para fazer o resgate de um empréstimo. Os principais são;
1º) pagar periodicamente os juros sobre o saldo devedor e uma quota de amortização
do capital ( Sistema Francês ou Tabela Price).
2º) pagar periodicamente uma quota de amortização constante e os juros sobre o
saldo devedor ( Sistema de Amortização Constante ou SAC).
3º) Sistema de Amortização Misto ( SAM ou SACRE) cujos pagamentos constituem a
média aritmética dos pagamentos do Price e SAC.
Sistema Francês
O empréstimo é amortizado com pagamentos constantes no fim de cada período.
Esses pagamentos são constituídos dos juros sobre o saldo devedor e uma quota de
amortização. Como os pagamentos são todos do mesmo valor à medida em que eles vão
sendo realizados os juros tornam-se menores enquanto as quotas de amortização são
progressivamente maiores.
O pagamento periódico constante corresponde ao termo de uma renda imediata
( postecipada) em função do valor atual ( valor emprestado).
A = T (1+i)n
– 1
i .( 1+i)n
__ _ A_____
T= (1+i)n
– 1
i .( 1+i)n
Exemplo 1.
Um empréstimo de R$ 10.000,00 deve ser amortizado em 3 anos com juros de 20%
a.a.
PRICE
n Saldo devedor Quota de amortização Juros Prestações
0 10000 - - -
1 7252,75 2747,25 2000 4747,25
2 3956,05 3296,70 1450,55 4747,25
3 0 3956,05 791,21 4747,25
48

T = 10000_
(1+0,2)3
– 1
0,2 (1+0,2)3
T = 4747,25
Sistema de Amortização Constante ( SAC)
Pelo SAC as prestações são decrescentes pois a quota de amortização é constante
em todas elas e os juros decrescem em função do saldo devedor que diminui a cada
pagamento realizado.
Obtém-se a quota de amortização dividindo o valor do empréstimo pelo número de
pagamentos.
SAC
0 10000 - - -
1 6666,67 3333,33 2000 5333,33
2 3333,33 3333,33 1333,33 4666,66
3 0 3333,34 666,66 4000
10000 → 3333,33
3
Sistema de Amortização Misto ( SAM ou SACRE)
A prestação que amortiza o empréstimo eqüivale à média aritmética das prestações
calculadas pelo Sistema Francês e SAC.
SAM
0 10000 - - -
1 6959,71 3040,29 2000 5040,29
2 3644,69 3315,01 1391,94 4706,95
3 0 3644,69 728,93 4373,62
Exemplo 2.
Elaborar um plano de pagamentos com base no SAM correspondente a um
empréstimo de R$ 12.000,00 a uma taxa de 2% a.m. a ser liquidada em 12 prestações
mensais.
49

AULA 22
Com relação ao SAM do exemplo 2
1. Calcular o valor da 10ª prestação.
2. Determinar o valor da parcela de amortização correspondente à 4ª prestação.
3. Calcular o saldo devedor após o pagamento da 9ª prestação.
4. Determinar o valor da parcela de juros referente à 6ª prestação.
5. Calcular o valor acumulado das amortizações correspondentes às 4 primeiras
prestações.
6. Determinar o valor acumulado das amortizações compreendidas entre a 3ª
prestação exclusive e a 6ª inclusive.
7. Calcular a soma dos juros acumulados até o 5º mês.
8. Calcular a soma dos juros correspondentes à 9ª, 10ª e 11ª prestações.
9. Determinar a soma das 4 prestações compreendidas entre a 7ª exclusive e a 11ª
inclusive.
10. Calcular a soma do total das prestações do plano.
P.A.
Termo geral → an = a1 + (n – 1) . r
Soma → Sn = (a1+an) . n
2
P.G.
Termo geral → an = a1 . q n-1
Soma → Sn = an . q – a1
q – 1
50

AULA 23
Exercícios do Trabalho
116. Uma grande área foi adquirida para ser posteriormente vendida em lotes de R$
240.000,00 cada um à vista ou em 60 prestações mensais sem entrada. Sabendo-se que a
taxa de juros utilizada para determinação das prestações é de 2% a.m. e que a empresa
loteadora financia tanto pela tabela Price como pelo SAC (Sistema de Amortização
Constante). Calcular o valor da 1ª prestação para ambos os planos e a última prestação para
o SAC.
R. Price – R$ 6.904,31
SAC – R$ 8.800,00 e R$ 4.080,00
117. Uma pessoa adquiriu de uma construtora um apartamento no valor de R$
1.500.000,00 pagando R$ 300.000,00 de entrada. O restante foi financiado a 3% a.m. para
ser amortizado em 36 meses, segundo o Sistema Francês de Amortização ( Price) pergunta-
se:
a) qual o valor da parcela de juros referente à 18ª prestação ?
R. R$ 23.619,04
b) qual o saldo devedor após o pagamento da 24ª prestação ?
R. R$ 547.117,35
c) qual o total de juros correspondentes às prestações que vencem do 20º mês
exclusive ao 30º mês inclusive ?
R. R$ 156.983,67
118. Um banco concede um financiamento de R$ 864.000,00 para a compra de uma
casa. Esse financiamento deverá ser liquidado em 120 prestações mensais calculadas de
acordo com o SAC, sabendo-se que a taxa de juros é de 10/12 % a.m., calcular:
a) o valor da 1ª, 37ª e 103ª prestações
R. R$ 14.400,00, R$ 12.240,00 e R$ 8.280,00
b) o total dos juros correspondente a todo o plano
R. R$ 435.600,00
c) o total dos juros correspondentes às prestações 48 exclusive até 60 inclusive
R. R$ 47.880,00
51

AULA 24
119. Um empréstimo deverá ser amortizado de acordo com o Sistema Francês de
Amortização ( Price) em 24 parcelas mensais. Sabendo-se que :
1. o valor da amortização da 1ª prestação é de R$ 12.793,42 e da última é de
R$ 31.532,13;
2. o saldo devedor após o pagamento da 7ª prestação é de R$ 398.953,89
3. a soma das amortizações da 1ª até a 7ª prestação (ambas incluídas) é de
R$ 101.046,11
Pede-se:
a) a taxa de juros
b) o valor do empréstimo
c) o valor da prestação
120. Uma pessoa adquire uma casa no valor de R$ 1.800.000,00 pagando R$
360.000,00 de entrada. O saldo será financiado pela construtora para pagamento em 72
prestações mensais através do SAM cobrando uma taxa de juros de 2% a.m.. Pergunta-se:
a) o valor da 1ª prestação
R. R$ 43.355,32
b) o saldo devedor após o pagamento da 44ª prestação
R. R$ 683.393,33
c) o valor da parcela de juros correspondentes à 9ª prestação
R.. R$ 26.418,04
d) a soma das amortizações referentes às prestações compreendidas entre a 57ª
exclusive e a 66ª inclusive
R. R$ 227.384,92
e) o total dos juros a ser pago
R. R$ 1.170.383,40
52

AULA 25
121. Um terreno é colocado à venda por R$ 60.000,00 de entrada e mais 20
prestações trimestrais calculadas de acordo com o SAM. Sabendo-se que a taxa de juros é
de 10% a.trim. e que o valor da 1ª prestação é de R$ 80.237,89 calcular o valor base à vista
do terreno.
R. R$ 660.000,00
122. Adquire-se um imóvel por R$ 412.800,00 sem entrada para pagamento em 96
prestações mensais, calculadas de acordo com o SAM. Sabendo-se que a taxa de juros foi
fixada em 1% a.m. determinar:
a) o valor da última prestação
R. R$ 5.526,09
b) o saldo devedor após o pagamento da metade das prestações, mostrando quanto
esse saldo representa do valor inicial financiado
R. R$ 230.586,87 , 56%
c) o total dos juros da 1ª até a 48ª prestação inclusive
R. R$ 156.827,05
d) o total dos juros da prestação 48 exclusive até a prestação 96 inclusive
R. R$ 58.917,21
123. Sabendo-se que um valor pode ser financiado em 180 prestações mensais à taxa
de 0,8333333333% a.m. tanto pelo Sistema Francês (Price) como pelo SAC, determinar
algebricamente:
a) em que ponto o valor da prestação calculada com base no SAC torna-se igual ao
calculado pelo Price
R. por volta da 69ª prestação
b) idem com relação à parcela de amortização
R. entre a parcela 100 e 101
124. Consegue-se um financiamento para aquisição de uma casa para pagamento em
10 anos em prestações mensais calculadas de acordo com o SAM. Sabendo-se que a taxa
de juros contratual é de 10% a.a. ( taxa nominal ) ( que corresponde a uma taxa efetiva de
10,471% a.a.), que o valor da última prestação é de R$ 32.426,78 calcular:
a) o valor financiado
R. R$ 3.000.000,00
b) o valor da primeira prestação
R. R$ 44.822,61
c) o total de juros devidos entre as prestações de número 36 exclusive e 48 inclusive
53

R. R$ 211.946,38
AULA 26
Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa
Entre os métodos mais conhecidos destacam-se o de Valor Presente Liquido ( VPL ) e
o da Taxa Interna de Retorno ( TIR ) largamente utilizados nas análises de aplicações
financeiras e de projetos de investimentos. Esses métodos consistem basicamente em se
comparar a soma algébrica dos valores presentes de cada um dos fluxos futuros de caixa
( pagamentos ou recebimentos ), com o valor do fluxo de caixa inicial ( recebimento ou
pagamento) ocorrido hoje, onde esses valores presentes são calculados de acordo com o
regime de capitalização composta e com base em dada taxa de juros.
VPL – Valor Presente Líquido
O VPL é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor
presente de uma série de pagamentos ( ou recebimentos ) iguais ou diferentes a uma taxa
conhecida e deduzir deste o valor do fluxo inicial ( valor do empréstimo, do financiamento ou
do investimento ).
n
VLP = ∑ FCj - FCo = FC1 + FC2 + ... + FCn - FCo
j=1 (1+i)j
(1+i) (1+i)2
(1+i)n
FCo FC1 FC2 FC3 FCn
0 1 2 3 n-1 n
Exemplo
1. Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da compra de um
caminhão no valor de R$ 103.000,00, segundo os técnicos dessa empresa a utilização desse
veículo nos próximos 5 anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em R$ 30.000,00, R$
35.000,00, R$ 32.000,00, R$ 28.000,00 e R$ 20.000,00 respectivamente, sabendo-se que no
final do 5º ano espera-se vender esse caminhão por R$ 17.000,00. Verificar qual a decisão
da empresa para taxas de retorno fixadas em 15% a.a. e 18% a.a.
a) 15% a.a.
30000 35000 32000 28000 37000
0 1 2 3 4 5
VPL = 30 + 35 + 32 + 28 + 37 - 103
(1+0,15) (1+0,15)2
(1+0,15)3
(1+0,15)4
(1+0,15)5
VPL = 4,99
54

VPL > 0 = taxa efetiva de retorno é superior a taxa mínima fixada em 15% a.a..
Portanto o investimento será feito.
b) 18% a.a.
VPL = 30 + 35 + 32 + 28 + 37 - 103
(1+0,18) (1+0,18)2
(1+0,18)3
(1+0,18)4
(1+0,18)5
VPL = - 2,348
VPL < 0 = taxa efetiva de retorno é inferior a taxa mínima fixada em 18% a.a..
Portanto o investimento não será feito.
125. Um empréstimo de R$ 22.000,00 será liquidado em 3 prestações mensais e
sucessivas de R$ 12.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00. Considerando uma taxa de juros de
7% a.m. calcular o VPL
R. 112,53
126. Um veículo é financiado em 18 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$
325.000,00 e mais 3 prestações semestrais ( prestação reforço ou balão ) de R$ 775.000,00,
R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00. Calcular o valor financiado sabendo-se que a taxa cobrada
pela financeira é de 8,7% a.m.
R. R$ 3.911.995,93
55

AULA 27
Taxa Interna de Retorno ( TIR )
A Taxa Interna de Retorno ( TIR ) é a taxa que equaliza o valor presente de um ou
mais pagamentos ( saídas de caixa ) com o valor presente de um ou mais recebimentos
( entradas de caixa ). Como normalmente temos um fluxo de caixa inicial ( no momento
zero ) que representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do financiamento, e
diversos fluxos futuros de caixa representando os valores das receitas ou das prestações. A
equação que nos dá a TIR pode ser escrita como :
n
FCo = ∑ FCj = FC1 + FC2 + ... + FCn
j=1 (1+i)j
(1+i) (1+i)2
(1+i)n
n
Portanto : FCo - ∑ FCj = 0
j=1 (1+i)j
Exemplo
1. Determinar a TIR correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser liquidado
em 3 pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00. O fluxo de caixa
correspondente a essa operação tomando-se como referência o doador de recursos é
representada como:
1000 300 500 400
0 1 2 3
1000 = 300 + 500 + 400
(1+i) (1+i) (1+i)
para i = 5% → = 300 + 500 + 400 = 1084,75
(1+0,05) (1+0,05) (1+0,05)
para i = 10% → = 300 + 500 + 400 = 986,47
(1+0,1) (1+0,1) (1+0,1)
para i = 8% → = 300 + 500 + 400 = 1023,98
(1+0,08) (1+0,08) (1+0,08)
56

interpolação linear
1023,98 – 986,47 = 1000 - 986,47
8% - 10% i - 10%
37,51 = 13,53 → i – 0,1 = 13,53 ( - 0,02)
- 0,02 i – 0,1 37,51
i = 0,09278 → i = 9,278% a.m.
127. Um equipamento no valor de R$ 70.000,00 é integralmente financiado para
pagamento em 7 parcelas mensais: as 3 primeiras de R$ 10.000,00, as duas seguintes de
R$ 15.000,00, a 6ª de R$ 20.000,00 e a 7ª de R$ 30.000,00. Determinar a Taxa Interna de
Retorno ( TIR ) dessa operação.
128. Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para
pagamento em 6 prestações mensais de R$ 735,70. Sabendo-se que o valor financiado foi
de R$ 2.450,00 e que a primeira prestação será paga no final do 5º mês determinar a taxa de
juros cobrada pela loja.
129. Um banco credita R$ 180.530,00 na conta de um cliente referente ao desconto
de 3 duplicatas de valores: R$ 52.600,00, R$ 63.400,00 e R$ 93.570,00 com prazos de 42,
57 e 85 dias respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada nessa operação.
130. Um apartamento foi colocado à venda pelo valor de R$ 3.000.000,00 à vista ou
em 2 anos de prazo com R$ 800.000,00 de entrada mais 12 prestações mensais de R$
180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja interessado em
adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo à vista. Qual seria a sua decisão
se você tivesse também a opção de aplicar seus recursos em um fundo de renda fixa a uma
taxa de 6% a.m. ?
131. Com relação ao exercício 66 verifique também a sua decisão para uma taxa de
8% a.m.
132. idem ao 67 para uma taxa de 10% a.m.
57

AULA 28
133. Uma pequena indústria pretende adquirir equipamentos no valor de R$ 55.000,00
que deverão proporcionar receitas líquidas de R$ 15.500,00 no 1º ano, R$ 18.800,00 no 2º
ano, R$ 17.200,00 nos 3º, 4º e 5º anos e R$ 13.500,00 no 6º ano. Sabendo-se que o valor de
revenda dos equipamentos no final do 6º ano é estimado em R$ 9.000,00 e que a empresa
somente fará tal aquisição se a taxa efetiva de retorno for superior a uma taxa mínima
estabelecida, verificar qual a decisão da empresa para as taxas de retorno:
a) 21% a.a.
b) 25% a.a.
134. Um empréstimo de R$ 1.180.000,00 deverá ser liquidado em 5 prestações
mensais e consecutivas de R$ 220.000,00 , R$ 250.000,00 , R$ 290.000,00 , R$ 315.000,00
e R$ 350.000,00 respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros (TIR) cobrada nessa
operação.
58

Atividades Auto-Instrutivas
AULAS 1 e 2
1.Sobre uma fatura foram feitos descontos de 30% e posteriormente 5%. Calcular o valor
líquido da fatura cujo valor era de R$200,00.
(a) R$ 123,00
(b) R$ 130,00
(c) R$ 133,00
(d) R$ 140,00
2.Sobre uma fatura de R$400,00 foram feitos os descontos sucessivos de 20%, 10% e 5%.
Qual o valor líquido da fatura?
(b) R$ 273,60
(c) R$ 283,60
(d) R$ 373,60
(e) R$ 383,60
3.Sobre uma compra de R$500,00 concederam os descontos de 20% e 10%. Qual o valor a
ser pago?
(a) R$ 160,00
(b) R$ 260,00
(c) R$ 360,00
(d) R$ 255,50
4.Sobre uma fatura de R$400,00 foi obtido um desconto de 10% em seguida outro que a
reduziu a um líquido de R$288,00. De quanto porcento foi o segundo desconto?
(a) 10%
(b) 15%
(c) 18%
(d) 20%
59

5.Qual a taxa única que deverá substituir a de 8%, 10% e 20%:
a) Nos abatimentos sucessivos sobre uma fatura.
(a) 33,76%
(b) 23,67%
(c) 13,76%
(d) 33,67%
b)Nos acréscimos sucessivos sobre uma fatura.
(a) 24,56%
(b) 33,76%
(c) 42,56%
(d) 24,76%
60

AULAS 3 e 4
6) Quanto custou uma casa que vendida a R$124.800,00 deixou o lucro de 4% sobre o
custo?
(a) R$ 120.000,00
(b) R$ 110.000,00
(c) R$ 105.250,50
(d) R$ 125.534,34
7) Comprei uma bicicleta por R$210,00. Quero vender com 30% de lucro sobre a venda.
Por quanto devo vendê-la?
(a) R$ 250,00
(b) R$ 300,00
(c) R$ 350,00
(d) R$ 255,30
8) Ao vender um terreno ganhei 20% sobre o preço dessa venda. Quanto recebi se
paguei R$160.000,00?
(a) R$ 300.000,00
(b) R$ 250.000,00
(c) R$ 200.000,00
(d) R$ 180.550,00
9) Comprei alguns aparelhos de informática no total de R$9.100,00 e vendi com um lucro
de 35% sobre venda. Por quanto vendi?
(a) R$ 11.000,00
(b) R$ 12.000,00
(c) R$ 13.500,00
(d) R$ 14.000,00
61

10)Certa mercadoria foi vendida por R$1.200,00 com um prejuízo de 40%de custo.
Quanto custou?
(a) R$ 1.500,00
(b) R$ 1.550,00
(c) R$ 1.800,00
(d) R$ 2.000,00
11)Vendi uma moto por R$10.800,00 com um lucro de R$800,00. De quanto porcento foi
o meu lucro sobre o preço de custo?
(a) 10%
(b) 11%
(c) 9%
(d) 8%
12)Comprei um carro por R$45.000,00 e o vendi por R$54.000,00. De quanto porcento
sobre o custo foi o meu lucro?
(a) 9%
(b) 10%
(c) 20%
(d) 30%
13)De quanto porcento foi meu prejuízo sobre a venda de um objeto que custou
R$150,00 e foi vendido por R$105,00?
(a) 44,86%
(b) 43,68%
(c) 42,86%
(d) 41,68%
14)Comprei certa mercadoria por R$4.800,00 e tornei a vender com um lucro de
20%sobre a venda. Por quanto vendi?
(a) R$ 6.000,00
(b) R$ 5.500,00
(c) R$ 6.500,00
(d) R$ 7.000,00
62

15)Comprei certa mercadoria por R$200,00 e a vendi por R$250,00. De quanto por cento
foi o lucro:
- Sobre a venda e o sobre o custo respectivamente
(a) 20% e 22%
(b) 20% e 25%
(c) 25% e 22%
(d) 25% e 20%
63

AULAS 5 e 6
16)Uma pessoa deve pagar R$200,00 daqui a 2 meses e R$400,00 daqui a 5 meses a
juros simples de 5% a.m.. Determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado
daqui a 3 meses que liquide a dívida (data focal mês 3).
(a) R$ 573,64
(b) R$ 673,64
(c) R$ 753,46
(d) R$ 637,46
17)Qual o valor do resgate de R$500,00 aplicados por 16 meses a taxa simples de 12%
ao trimestre.
(a) R$ 720,00
(b) R$ 820,00
(c) R$ 850,00
(d) R$ 770,50
18)Em 2 meses R$5.050,00 transformaram-se em R$5.600,00. Qual a taxa anual de juros
simples ganha?
(a) 66,35%
(b) 76,53%
(c) 65,35%
(d) 77,77%
19)Qual o capital que aplicado a taxa simples de 20% a.m. em 3 meses monta
R$8.000,00.
(a) R$ 4.000,00
(b) R$ 4.500,00
(c) R$ 4.850,00
(d) R$ 5.000,00
64

20)Aplicado por 105 dias um capital de R$100.000,00 transformou-se em R$145.000,00.
Calcular a taxa mensal de juro simples ganha.
(a) 11,56%
(b) 12,56%
(c) 12,86%
(d) 13,00%
21)Em quantos meses um capital dobra, a juros simples de 200% a.a.?
(a) 5 meses
(b) 5,5 meses
(c) 6 meses
(d) 6,5 meses
22)Determinar quanto renderá um capital de R$60.000,00 aplicado a taxa de 24% a.a.
durante 7 meses.
(a) R$ 8.400,00
(b) R$ 8.500,00
(c) R$ 9.000,00
(d) R$ 9.450,00
23)Um capital de R$28.000,00 aplicado durante 8 meses rendeu juros de R$11.200,00.
Determinar a taxa anual.
(a) 50%
(b) 55%
(c) 60%
(d) 65%
24)Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$64.200,00. Sabemos que a
taxa de juros é de 4% a.m.. Determinar o valor do capital aplicado.
(a) R$ 50.005,36
(b) R$ 52.304,50
(c) R$ 55.403,55
(d) R$ 53.204,42
65

25)Qual o valor dos juros contidos no montante de R$100.000,00 resultante da aplicação
de certo capital a taxa de 42% a.a. durante 13 meses?
(a) R$ 30.282,50
(b) R$ 31.271,48
(c) R$ 33.333,33
(d) R$ 32.285,33
26)Qual o valor a ser pago no final de 5 meses e 18 dias correspondente a um
empréstimo de R$125.000,00? Sabendo-se que a taxa de juros é de 27% a.sem..
(a) R$ 155.050,00
(b) R$ 156.050,00
(c) R$ 156.500,00
(d) R$ 155.500,00
27)Em quantos dias um capital de R$800,00 aplicado à taxa de 0,1% a.d. gera um
montante de R$1.000,00?
(a) 240 dias
(b) 245 dias
(c) 250 dias
(d) 255 dias
28)Calcular o valor do capital que aplicado à taxa de 50,4% a.a. durante 2 anos e 3
meses produz um montante de R$600.000,00.
(a) R$ 271.261,41
(b) R$ 281.162,14
(c) R$ 271.162,14
(d) R$ 281.261,41
29) Ao fim de quantos dias um capital de R$ 40.000,00 aplicados à taxa de 5% a.m.
produz R$18.600,00 de juros.
(a) 275 dias
(b) 300 dias
(c) 279 dias
(d) 303 dias
66

30) Obteve-se um empréstimo de R$10.000,00para ser liquidado por R$14.675,00 no
final de 8,5 meses. Qual a taxa anual de juros?
(a) 60%
(b) 63%
(c) 66%
(d) 70%
31) Em quantos meses um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor?
(a) 20 meses
(b) 25 meses
(c) 30 meses
(d) 33 meses
67

AULAS 7 e 8
32) Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a
R$220,00 resgatada 3 meses antes do vencimento à taxa de 18% a.a.
(a) R$ 9,00
(b) R$ 9,20
(c) R$ 9,50
(d) R$ 9,90
33) Um título de valor nominal igual a R$ 315,00, para 90 dias deverá ser substituído por
outro para 150 dias. Calcular o valor nominal do novo título à taxa de 2,5% a.m..
(a) R$ 333,00
(b) R$ 355,00
(c) R$ 350,00
(d) R$ 366,66
34) Uma pessoa deve pagar um título de R$ 150,00 em 3 meses e outro de R$100,00 em
6 meses. Se a pessoa deseja saldar os dois títulos com um único pagamento de
R$250,00 qual será o prazo de seu vencimento se a taxa é de 2% a.m..
(a) 3 meses e 20dias
(b) 4 meses e 6 dias
(c) 3 meses e 26 dias
(d) 4 meses e 26 dias
35) Uma dívida no valor de R$1.000,00 para 2 meses foi substituída por 2 pagamentos
iguais para 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos
empregando à taxa de 2% a.m..
(a) R$ 525,47
(b) R$ 520,00
(c) R$ 527,47
(d) R$ 550,00
68

36) Uma empresa devedora de dois títulos de R$3.000,00 vencíveis em 3 e 4 meses
respectivamente, deseja resgatar a dívida com um único pagamento no fim de 5
meses. Calcular o valor desse pagamento empregando a taxa de 1,5% a.m..
(a) R$ 6.000,00
(b) R$ 6.154,59
(c) R$ 6.541,95
(d) R$ 6.145,95
37) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do
seu valor.
(a) 2 % a.m.
(b) 2,5% a.m.
(c) 3,2% a.m.
(d) 3% a.m.
38) Um capital emprestado gerou R$96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da
aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% a.m.. Calcular o valor do montante.
(a) R$ 200.720,00
(b) R$ 220.720,00
(c) R$ 250.720,00
(d) R$ 270.720,00
39) Em quantos dias um capital de R$270.420,00 produzirá juros de R$62.304,77 a uma
taxa de 5,4% a.m..
(a) 120 dias
(b) 125 dias
(c) 128 dias
(d) 130 dias
40) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$798.000,00 no final
de 1 ano e meio, aplicado à uma taxa de 15% a.trim..
(a) R$ 400.000,00
(b) R$ 420.000,00
(c) R$ 450.000,00
(d) R$ 455.000,00
69

41) A aplicação de R$35600,00 gerou um montante de R$58.028,00 no final de 9 meses.
Calcular a taxa anual
(a) 84% a.a.
(b) 85% a.a.
(c) 89% a.a.
(d) 90% a.a.
42) Certo capital aplicado, gerou um montante de R$1000,00 sabendo-se que a taxa de
juros é de 5% a.m. e o prazo de 8 meses. Calcule o valor dos juros.
(a) R$ 255,17
(b) R$ 265,17
(c) R$ 275,71
(d) R$ 285,71
43) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$450.000,00 por 225
dias a taxa de 5,6% a.m..
(a) R$ 635.000,00
(b) R$ 639.000,00
(c) R$ 643.500,00
(d) R$ 634.500,00
44) Calcular o valor do capital que aplicado a uma taxa de 6,2% a.m. por 174 dias
produziu um montante de R$543.840,00.
(a) R$ 400.000,00
(b) R$ 410.000,00
(c) R$ 420.000,00
(d) R$ 430.000,00
45) Um título de renda pré-fixada foi adquirido por R$80.000,00 e resgatado por
R$117.760,00 no final de 8 meses. Calcular a taxa mensal de juros.
(a) 4,9% a.m.
(b) 5% a.m.
(c) 5,7% a.m.
(d) 5,9 % a.m.
70

46) Em que prazo uma aplicação de R$500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00
à taxa de 7,2% a.m..
(a) 90 dias
(b) 95 dias
(c) 100 dias
(d) 105 dias
47) A que taxa anual, devo aplicar um capital de R$275.000,00 para obter juros de
R$177.320,00 no final de 186 dias.
(a) 120,5% a.a.
(b) 122,3% a.a.
(c) 124,8% a.a.
(d) 125,5% a.a.
48) Uma duplicata no valor de R$6.800,00 é descontada por um banco gerando um
crédito de R$6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco
é de 3,2% a.m., determinar o prazo em dias , do vencimento da duplicata.
(a) 100dias
(b) 105 dias
(c) 110 dias
(d) 115 dias
49) Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente correspondente ao desconto
de uma duplicata no valor de R$34.000,00 com prazo de 41 dias. Sabendo-se que o
banco está cobrando uma taxa de desconto de 4,7% a.m..
(a) R$ 30.618,70
(b) R$ 31.816,07
(c) R$ 38.116,07
(d) R$ 36.811,70
50) Considerando o exercício anterior resolver pelo desconto racional.
(a) R$ 30.618,77
(b) R$ 31.816,88
(c) R$ 38.116,77
(d) R$ 31.947,88
71

51) Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a., 45 dias depois pagou
a dívida e contraiu um novo empréstimo, duas vezes maior do que o 1º, pelo prazo de 10
meses a juros de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo R$111.250,00 de juros.
Calcule o valor do 1º empréstimo.
(a) R$ 980.000,00
(b) R$ 990.000,00
(c) R$1.000.000,00
(d) R$1.200.000,00
52) Dois capitais, um de R$2.400,00 e outro de R$1.800,00 foram aplicados a uma
mesma taxa anual de juros simples. Calcular a taxa considerando que o 1º capital em 48
dias rendeu R$17,00 a mais do que o 2º em 30 dias.
(a) 8% a.a.
(b) 10% a.a.
(c) 12% a.a.
(d) 15% a.a.
53) Há 13 meses e 10 dias um capital de R$10.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples
de 6% a.a.. Se hoje fosse aplicada a importância de R$8.000,00 a juros simples de 12%
a.a. e o primeiro capital continuasse aplicado à mesma taxa, em que prazo em dias , os
montantes respectivos seriam iguais?
(a) 3.000 dias
(b) 2.800 dias
(c) 3.500 dias
(d) 4.000 dias
72

AULAS 9 e 10
54) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital
de R$100.000,00 à taxa de 3,75% a.m..
(a) R$ 144.504,39
(b) R$ 145.000,00
(c) R$ 154.405,39
(d) R$ 134.505,93
55) Uma pessoa empresta R$80.000,00 hoje para receber R$507.294,46 no final de 2
anos. Calcular a taxa anual deste empréstimo.
(a) 150,187% a.a.
(b) 160,718% a.a.
(c) 151,817% a.a.
(d) 161,781% a.a.
56) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de
12,486%. Determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$20.000,00 será resgatado
por R$36.018,23.
(a) 4,5 trimestres
(b) 4,7 trimestres
(c) 5,0 trimestres
(d) 5,2 trimestres
57) Quanto devo aplicar hoje à taxa de 51,107% a.a. para ter R$1.000.000,00 no final de 19
meses?
(a) R$ 500.000,00
(b) R$ 510.451,69
(c) R$ 520.000,00
(d) R$ 520.154,96
73

58) Uma empresa obtém um empréstimo de R$700.000,00 que será liquidado de uma só vez
no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% a.sem., calcular o valor pelo
qual esse empréstimo deverá ser quitado.
(a) R$ 1.708.984,38
(b) R$ 1.700.000,00
(c) R$ 1.699.995,50
(d) R$ 1.650.000,00
59) Em que prazo uma aplicação de R$374.938,00 à taxa de 3,25% a.m. gera um resgate de
R$500.000,00?
(a) 7 meses
(b) 9 meses
(c) 11 meses
(d) 15 meses
60) Um terreno está sendo oferecido por R$450.000,00 à vista ou R$150.000,00 de entrada
e mais uma parcela de R$350.000,00 no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a
taxa média para aplicação em títulos de renda pré-fixada gira em torno de 3,5% a.m. ( taxa
líquida, isto é, com imposto de renda já computado). Determinar a melhor opção para um
interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo.
(a) à vista
(b) a prazo
74

AULAS 11 e 12
61. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais de R$ 3.500,00 cada, sendo a primeira
para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três
meses qual seria o valor deste pagamento considerando uma taxa de juros efetiva de 5%
a.m. ?
(a) R$ 10.933,57
(b) R$ 11.000,00
(c) R$ 11.033,75
(d) R$ 12.533,57
62. Dispõe-se de duas formas de pagamento:
a) pagamento à vista de R$ 1.400,00
b) dois cheques pré-datados de R$ 763,61 cada para 30 e 60 dias respectivamente
Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações, qual será a melhor opção de
compra. À vista ou a prazo ?
(a) à vista
(b) a prazo
63. Na compra de um bem cujo valor à vista é de R$ 140,00 deve-se pagar uma entrada
mais duas prestações de R$ 80,00 no fim dos próximos dois meses. Considerando uma taxa
de juros de 20% a.m., qual o valor da entrada ?
(a) R$ 15,87
(b) R$ 16,78
(c) R$ 17,78
(d) R$ 18,87
64. Uma casa é vendida por R$ 261.324,40 à vista. Se o comprador se propuser a pagar
R$ 638.000,00 daqui a 4 meses calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na
proposta.
(a) 25% a.m.
(b) 30% a.m.
(c) 35% a.m.
(d) 40% a.m.
75

65. Nas vendas à credito uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Deste valor
majorado 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais
de R$ 1.058,00 cada, sendo a primeira para daqui a 1 mês. Se o valor à vista é de R$
2.000,00 determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento.
(a) 25% a.m.
(b) 30% a.m.
(c) 35% a.m.
(d) 40% a.m.
66. Um produto cujo preço à vista é de R$ 450,00 será pago em duas prestações mensais e
consecutivas de R$ 280,00 e R$ 300,00. A primeira para 30 dias. Se a taxa de juros
embutida na primeira prestação for de 10% a.m. determinar a taxa embutida na segunda.
(a) 20,35% a.m.
(b) 22,53% a.m.
(c) 23,89% a.m.
(d) 24,59% a.m.
67. Um apartamento pode ser comprado à vista por R$ 320.000,00 ou pagando 20% de
entrada mais duas prestações de R$ 170.000,00 cada, a primeira para 3 meses e a segunda
para 7 meses. Se a taxa de juros vigente é de 2% a.m. qual será a melhor opção de compra?
(a) à vista
(b) a prazo
68. Certa loja tem como política de vendas à credito exigir 20% do valor à vista como entrada
e o restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais. A primeira para 30 dias, se a
taxa de juros efetiva cobrada for de 15% a.m. determinar a porcentagem do valor à vista a
ser pago como prestação a cada mês.
(a) 25,01%
(b) 30,02%
(c) 33,03%
(d) 35,04%
76

69. O valor à vista de um bem é de R$ 6.000,00. À prazo paga-se uma entrada mais três
parcelas mensais de R$ 2.000,00 cada sendo a primeira daqui a 1 mês. Calcular o valor da
entrada se a taxa de juros aplicada for de 7% a.m.
(a) R$ 751,37
(b) R$ 615,73
(c) R$ 571,73
(d) R$ 651,37
70. Por um equipamento de R$ 360.000,00 paga-se uma entrada de 20% mais dois
pagamentos mensais consecutivos. Se o primeiro pagamento for de R$ 180.000,00 e a taxa
de juros efetiva aplicada de 10% a.m. calcular o valor do segundo pagamento.
(a) R$ 150.000,00
(b) R$ 150.350,00
(c) R$ 150.480,00
(d) R$ 150.550,00
71. Pretende-se daqui a 6 meses comprar um automóvel de R$ 25.000,00. Calcular a
aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que renda juros efetivos de
13% a.m. de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação.
(a) R$ 22.905,04
(b) R$ 23.000,00
(c) R$ 23.106,40
(d) R$ 24.609,04
72. Um capital de R$ 50.000,00 rendeu R$ 1.000,00 em um determinado prazo. Se o prazo
fosse 2 meses maior, o rendimento aumentaria em R$ 2.060,40. Calcular a taxa de juros
efetiva a.m. ganha pela aplicação e o prazo em meses.
(a) 2% a.m. e 1 mês
(b) 1,5% a.m. e 1,5 mês
(c) 2% a.m. e 2 meses
(d) 1,5% a.m. e 1 mês
73. Dois capitais foram aplicados durante 2 anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o
segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é R$ 10.000,00 maior que o segundo e o seu
rendimento excedeu em R$ 6.700,00 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de
cada um dos capitais.
(a) R$ 12.540,25
(b) R$ 13.000,00
(c) R$ 13.440,52
(d) R$ 14.540,25
77

74. Dois capitais, o primeiro de R$ 2.400,00 e o segundo de R$ 1.800,00 foram aplicados
respectivamente por 40 e 32 dias. Considerando uma taxa efetiva ganha pelo primeiro capital
de 5% a.m. e sabendo-se que este capital rendeu R$ 100,00 a mais que o segundo
determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital.
(a) 2,55% a.m.
(b) 3,19% a.m.
(c) 3,99% a.m.
(d) 4,55% a.m.
75. Um proprietário ao vender um imóvel recebeu as seguintes proposta em unidades
monetárias:
A: 1.000 à vista, 300 em 6 meses e 500 em 1 ano
B: 500 à vista, 800 em 6 meses e 700 em 1 ano
Qual a proposta mais vantajosa para o proprietário, admitindo-se que os títulos podem
ser descontados à taxa de 2% a.m.
(a) proposta A
(b) proposta B
76. Um título de valor nominal igual a R$ 800,00 com vencimento para 3 anos deverá ser
substituído por três títulos de mesmo valor nominal para 1, 2 e 3 anos respectivamente.
Considerando o desconto de 18% a.a. capitalizados semestralmente determinar o valor
nominal dos novos títulos.
(a) R$ 200,00
(b) R$ 210,42
(c) R$ 222,24
(d) R$ 244,44
77. Um empréstimo no valor de R$ 1.500,00 deve ser pago no fim de 3 anos e meio com
juros de 16% a.a. capitalizados trimestralmente. Entretanto passado 1 ano o devedor propõe
resgatar a dívida com um pagamento imediato de R$ 1.000,00 e saldo em 1 ano. Calcular o
valor deste saldo sabendo-se que o desconto concedido é de 16% a.a. capitalizados
semestralmente.
(a) R$ 895,59
(b) R$ 859,95
(c) R$ 985,59
(d) R$ 959,95
78

78. Um título de valor nominal de R$ 800,00 com vencimento para 3 anos vai ser substituído
por dois títulos de mesmo valor nominal cada, vencíveis em 2 e 5 anos respectivamente.
Calcular o valor nominal dos novos títulos, sabendo-se que os juros são de 12% a.sem. e o
desconto é de 10% a.sem.
(a) R$ 400,00
(b) R$ 422,28
(c) R$ 433,48
(d) R$ 444,58
79. Qual o valor atual de um título de valor nominal de R$ 200,00 que sofreu o desconto real
de 18% a.a. capitalizados semestralmente 2 anos antes do vencimento.
(a) R$ 141,69
(b) R$ 152,89
(c) R$ 163,59
(d) R$ 177,79
80. Um título de valor nominal de R$ 1.000,00 com vencimento para 2 anos será substituído
por outro título para 3 anos. Calcular o valor nominal do novo título empregando a taxa de
16% a.a. com capitalizações semestrais.
(a) R$ 1.100,00
(b) R$ 1.166,40
(c) R$ 1.222,32
(d) R$ 1.322,32
81. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 por 3 anos com juros de 18% a.a.
capitalizados trimestralmente. Após algum tempo o devedor propõe saldar a dívida com três
pagamentos anuais e iguais realizáveis no fim do segundo, terceiro e quarto anos
respectivamente. Calcular o valor destes pagamentos sabendo-se que a taxa de desconto
real é de 16% a.a. com capitalizações semestrais.
(a) R$ 1.981,49
(b) R$ 2.300,00
(c) R$ 2.531,70
(d) R$ 2.821,80
79

82. Uma empresa toma R$ 2.000,00 emprestado por 3 anos com juros de 20% a.a.
capitalizados trimestralmente. Um ano após a empresa propõe pagar R$ 1.000,00
imediatamente e liquidar o saldo no fim de 4 anos a partir desta data. Sabendo-se que a taxa
de desconto real é de 20% a.a. capitalizados semestralmente calcular o valor do resgate.
(a) R$ 3.000,00
(b) R$ 3.143,45
(c) R$ 3.275,34
(d) R$ 3.575,43
83. O desconto real de um título pagável em 2 anos e 3 meses é igual a R$ 187,20. Calcular
o valor nominal do título sabendo-se que a taxa é de 20% a.a. capitalizados trimestralmente.
(a) R$ 495,74
(b) R$ 500,00
(c) R$ 526,74
(d) R$ 577,47
84. Um empréstimo obtido com juros de 20% a.a. capitalizados trimestralmente deverá ser
resgatado com dois pagamentos de R$ 200,00 realizáveis no fim de 2 e 4 anos
respectivamente. Entretanto após 1 ano o devedor propõe pagar R$ 200,00 imediatamente e
saldar o débito com um único pagamento a realizar-se no fim de 4 anos a partir desta data.
Calcular o valor deste pagamento sabendo-se que a taxa de desconto real é de 20% a.a.
capitalizados semestralmente.
(a) R$ 155,63
(b) R$ 160,36
(c) R$ 168,36
(d) R$ 199,63
85. Qual o desconto bancário de um título de R$ 500,00 exigível em 3 anos à 20% a.a.
capitalizados semestralmente ?
(a) R$ 222,27
(b) R$ 234,28
(c) R$ 246,29
(d) R$ 258,30
86. Uma empresa deve pagar três títulos de R$ 1.000,00 exigíveis em 1, 2 e 3 anos
respectivamente. Entretanto a empresa pretende substituir os três títulos por um único de
R$ 2.500,00. Calcular o prazo deste título empregando a taxa de 20% a.a. capitalizados
semestralmente para esta transação.
(a) 10 meses e 15 dias
(b) 11 meses e 23 dias
(c) 1 ano e 2 meses
(d) 1 ano e 4 meses
80

87. Um empréstimo de R$ 5.000,00 deve ser pago no fim de 3 anos com juros de 12% a.a.
capitalizados semestralmente. Entretanto o devedor propõe resgatar a dívida com três
pagamentos anuais e iguais, realizáveis no fim do segundo, terceiro e quarto ano
respectivamente. Calcular o valor destes pagamentos sabendo-se que a taxa de desconto
real é de 10% a.a. capitalizados trimestralmente.
(a) R$ 2.369,09
(b) R$ 2.489,10
(c) R$ 2.500,11
(d) R$ 2.699,12
88. Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 2.000,00 para 2 e 4 anos respectivamente
propõe resgatar a dívida com 3 pagamentos anuais i iguais realizáveis no fim do segundo,
terceiro e quarto anos respectivamente. Calcular o valor destes pagamentos sendo o
desconto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmente.
(a) R$ 1.000,00
(b) R$ 1.241,27
(c) R$ 1.341,72
(d) R$ 1.451,00
89. Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00 com 4 meses
a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto bancário é de 3,25% a.m.
(a) R$ 76.638,12
(b) R$ 77.748,12
(c) R$ 78.858,12
(d) R$ 79.968,12
90. Sabendo-se que o valor líquido creditado na conta de um cliente foi de R$ 57.170,24
correspondente ao desconto bancário de um título de R$ 66.000,00 à taxa de 5% a.m.
determinar o prazo em dias a decorrer até o vencimento deste título.
(a) 83 dias
(b) 84 dias
(c) 85 dias
(d) 86 dias
91. Calcular a que taxa mensal um título de R$ 100.000,00 com 75 dias a vencer gera um
desconto bancário no valor de R$ 11.106,31.
(a) 4,6% a.m.
(b) 4,8% a.m
(c) 5,0% a.m
(d) 5,2% a.m
81

AULAS 13 , 14, 15 e 16
92. Um empréstimo de R$ 30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser
liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros
é de 3,5% a.m. calcular o valor da prestação.
(a) R$ 3.104,52
(b) R$ 3.206,55
(c) R$ 3.308,58
(d) R$ 3.410,61
93. Calcule o número de prestações semestrais, de R$ 15.000,00 cada uma, capaz de
liquidar um financiamento de R$ 49.882,65 à taxa de 20% a.sem.
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 7
94. Quanto deverá ser aplicado a cada 2 meses em um fundo de renda fixa à taxa de 5%
a.bim. durante 3 anos e meio para que se obtenha no final deste prazo um valor de R$
175.000,00 ?
(a) R$ 4.299,23
(b) R$ 4.499,23
(c) R$ 4.699,32
(d) R$ 4.899,32
95. Uma pessoa depositou anualmente R$ 500,00 em uma conta de poupança, em nome de
seu filho, a juros de 6% a.a.. O primeiro depósito foi feito no dia em que o filho completou 1
ano e o último por ocasião do 18º aniversário. O dinheiro ficou depositado até o dia em que o
filho completou 21 anos, ocasião em que o total foi sacado. Quanto recebeu o filho?
(a) R$ 17.304,63
(b) R$ 18.404,63
(c) R$ 19.504,63
(d) R$ 20.604,63
82

96. Aplicou-se mensalmente a quantia de R$ 800,00 durante 5 anos a uma taxa de 42,576%
a.a.. Além das aplicações mensais faremos aplicação extra de R$ 3.000,00 no final de cada
ano, isto é, no final do mês de dezembro aproveitando o 13º salário. Qual o valor do
montante no final do sexagésimo mês sabendo-se que a data base é final de dezembro e
que a 1º parcela será aplicada no final do mês seguinte.
(a) R$ 160.089,89
(b) R$ 162.505,59
(c) R$ 164.909,95
(d) R$ 166.076,76
97. Pretendemos fazer 10 aplicações mensais como seguem:
a) 5 prestações iniciais de R$ 1.000,00 cada uma
b) 5 prestações restantes de R$ 2.000,00 cada uma
Sabendo-se que essa aplicação proporcionará um rendimento de 2,75% a.m. calcular
o saldo acumulado de capital mais juros à disposição no final do 10º mês.
(a) R$ 16.000,00
(b) R$ 16.615,43
(c) R$ 17.000,00
(d) R$ 17.555,33
98. Márcio e Daniela ficaram noivos e pretendem se casar dentro de 20 meses. Como
entendem ser mais aconselhável adquirir à vista todos os móveis necessários pretendem
fazer aplicações mensais cujo montante deverá ser sacado 3 meses antes do casamento,
para a devida compra. Sabendo-se que:
a) essa aplicação deverá render 2,25% a.m.
b) o montante desejado é de R$ 80.000,00
c) o casal aplicou hoje R$ 12.000,00
Pergunta-se qual o valor de cada uma das aplicações mensais, iguais e consecutivas
necessárias para totalizar o montante de R$ 80.000,00 no final dos 17 meses?
(a) R$ 3.057,92
(b) R$ 3.557,92
(c) R$ 4.132,92
(d) R$ 4.500,00
99. Parte do valor de um veículo é financiado por uma companhia de crédito para ser paga
em 20 prestações iguais de R$ 15.000,00 cada uma. Sabendo-se que esta financeira cobra
uma taxa de 4% a.m. calcular o valor financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na data
do contrato.
(a) R$ 200.000,00
(b) R$ 201.845,09
(c) R$ 203.854,90
(d) R$ 205.584,09
83

100. Um banco empresta R$ 62.946,76 para ser liquidado em prestações anuais de R$
20.000,00 cada uma. Sabendo-se que a taxa de juros é de 14,01754% a. sem. calcular o
número de prestações.
(a) 9 prestações anuais
(b) 10 prestações anuais
(c) 11 prestações anuais
(d) 12 prestações anuais
101. Qual o valor do empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais à taxa de
3,5% a.m. sendo as 4 primeiras prestações de R$ 3.000,00 e as 6 últimas de R$ 4.500,00 ?
(a) R$ 29.500,00
(b) R$ 30.519,40
(c) R$ 30.419,50
(d) R$ 31.915,04
102. Um cliente deseja liquidar um empréstimo bancário em 10 prestações mensais de
valores alternados de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de
3,75% a.m. calcular o valor do empréstimo.
(a) R$ 12.243,49
(b) R$ 13.423,50
(c) R$ 13.342,51
(d) R$ 14.234,52
103. No dia em que o filho foi aprovado no vestibular seu pai depositou R$ 90.000,00 numa
conta especial com o objetivo de garantir os estudos do seu filho durante os 4 anos de
duração do curso.
Sabendo-se que essa aplicação rende 2,25% a.m., que as retiradas serão mensais e
iguais e que o 1º saque será efetuado pelo filho logo no final do 1º mês da data do contrato e
o último no final do 48º mês a partir daquela data, calcular o valor de cada saque de modo
que após o último o saldo seja zero.
(a) R$ 2.500,50
(b) R$ 3.100,40
(c) R$ 3.085,20
(d) R$ 2.890,30
104. Quanto terei no final de 20 meses se aplicar alternadamente R$ 200,00 e R$ 400,00 por
mês respectivamente a uma taxa de 2,5% a.m. ?
(a) R$ 7.631,86
(b) R$ 7.500,00
(c) R$ 7.361,68
(d) R$ 7.000,00
84

105. Quanto devo aplicar hoje para ter no final de 15 meses um valor igual ao montante
obtido nessa mesma data, com a aplicação de 15 parcelas iguais, mensais e consecutiva de
R$ 1.000,00 à taxa de 3,5% a.m. ?
(a) R$ 10.217,21
(b) R$ 10.317,31
(c) R$ 11.417,11
(d) R$ 11.517,41
106. Uma pessoa adquire uma lancha para ser paga em 20 prestações mensais e iguais à
taxa de 3,5% a.m.. Sabendo-se que a primeira prestação vence no final do quinto mês e a
última no final do vigésimo quarto mês e que o valor financiado foi de R$ 150.000,00 pede-se
calcular o valor da prestação.
(a) R$ 12.000,00
(b) R$ 12.111,14
(c) R$ 12.222,24
(d) R$ 12.333,34
85

AULAS 17 e 18
107. Uma pessoa resolve aplicar R$ 1.000,00 por mês em um fundo de renda fixa à taxa de
3% a.m. durante 18 meses. Como essa pessoa recebe gratificações semestrais, deverá no
final do sexto e do décimo segundo mês fazer aplicações extras de R$ 5.000,00 cada uma.
Qual o valor do montante global no final do décimo oitavo mês de acordo com o conceito de
termos antecipados?
(a) R$ 35.512,39
(b) R$ 36.115,39
(c) R$ 37.215,93
(d) R$ 38.521,93
108. Qual o montante no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais,
mensais e consecutivas de R$ 1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de
3,5% a.m. e que a primeira aplicação é feita hoje?
(a) R$ 40.000,00
(b) R$ 40.482,26
(c) R$ 40.842,62
(d) R$ 40.950,00
109. Um veículo é financiado para pagamento em 36 prestações mensais à taxa de 4,5%
a.m.. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 245.000,00 calcular o valor das
prestações de acordo com o conceito de termos antecipados.
(a) R$ 12.517,12
(b) R$ 12.715,21
(c) R$ 13.000,00
(d) R$ 13.271,21
110. A aplicação de 15 parcelas mensais, iguais e consecutivas gerou um montante de R$
400.000,00 no final de 30 meses. Sabendo-se que a taxa de juros da operação foi de 3%
a.m. e que a primeira parcela é aplicada hoje calcular o valor de cada aplicação.
(a) R$ 13.402,20
(b) R$ 13.500,00
(c) R$ 13.505,30
(d) R$ 13.707,40
86

AULAS 19 e 20
111. Qual o valor da prestação bimestral referente a um financiamento de R$ 25.000,00 a ser
liquidado em 2 anos à taxa de 9% a.bim. sendo que a primeira prestação vence a 180 dias
da data de entrada ?
(a) R$ 3.590,21
(b) R$ 3.997,22
(c) R$ 4.500,23
(d) R$ 4.628,25
112. O financiamento de um veículo deverá ser amortizado em 20 parcelas mensais e iguais.
Sabendo-se que o valor de cada parcela é de R$ 3.500,00 e que a taxa cobrada pela
instituição financeira é de 4% a.m. calcular o valor da prestação única com vencimento no
décimo mês que poderia substituir o plano inicial.
(a) R$ 70.409,51
(b) R$ 69.308,61
(c) R$ 68.207,71
(d) R$ 67.106,81
113. Uma pessoa aplica R$ 2.000,00 no final de cada mês durante 30 meses. Além destas
parcelas mensais essa pessoa ainda aplica 3 parcelas extras no valor de R$ 12.000,00 cada
uma, a primeira no final do décimo mês, a segunda no final do vigésimo mês e a terceira no
final do trigésimo mês. Calcular o montante no final do trigésimo mês sabendo-se que a taxa
de juros é de 2,5% a.m..
(a) R$ 133.730,81
(b) R$ 134.829,82
(c) R$ 135.928,83
(d) R$ 136.030,84
87

114. Uma pessoa obtém um financiamento para a compra de um veículo a ser liquidado em
18 meses com carência de 4 meses. Sabendo-se que o valor das sete primeiras prestações
é de R$ 14.000,00 cada uma e das sete últimas de R$ 20.000,00 cada uma e que a taxa
cobrada pela financeira é de 4,25% a.m. calcular o valor financiado.
(a) R$ 143.516,21
(b) R$ 144.626,22
(c) R$ 145.736,23
(d) R$ 146.846,24
115. Rodrigo tem R$ 300.000,00 emprestados a uma taxa de 56,25% a.a. para serem
liquidados em 10 prestações iguais vencíveis no final de cada semestre. No fim do terceiro
ano (logo após ter pago a sexta prestação) Rodrigo resolve liquidar de uma sé vez no ato o
valor atual da dívida remanescente. Calcular esse valor.
(a) R$ 198.425,81
(b) R$ 197.535,80
(c) R$ 196.645,79
(d) R$ 195.755,78
88

GABARITO MAT. FIN. AUTO-INSTRUTIVA
1) R = R$133,00
2) R = R$273,60
3) R = R$ 360,00
4) R = 20%
5) R = 33,76% R = 42,56%
6) R = R$120.000,00
7) R = R$300,00
8) R = R$200.000,00
9) R = R$14.000,00
10) R = R$2.000,00
11) R= 8%
12) R = 20%
13) R = 42.86%
14) R = R$6.000,00
15) R = 20% R= 25%
16) R: R$573,64
17) R: R$820,00
18) R: 65,35%a.a.
19 R: R$5.000,00
20) R: 12,86% a.m
21) R: 6 meses
22) R: R$8.400,00
23) R: 60% a.a.
24) R: R$53.204,42
25) R: R$31.271,48
26) R: R$156.500,00
27) R: 250 dias
28) R$281.162,14
29) R: 279 dias
30) R: 66%a.a.
31) R: 25 meses
32) R: R$ 9,90
33) R: R$333,00
34) R: 4 meses e 6 dias
35) R: R$527,47
36) R: R$6.145,95
37) R: 2,5% a.m.
38) R: R$220.720,00
39) R: 128 dias
40) R: R$420.000,00
41) R: 84% a.a.
42) R: R$ 285,71
43) R: R$639.000,00
89

44) R: R$400.000,00
45) R: 5,9% a.m.
46) R: 95 dias
47) R: 124,8% a.a.
48) R: 110 dias
49) R: R$31.816,07
50) R$ 31.947,88
51) R: R$ 1.000.000,00
52) R: 10% a.a
53) R: 3.000 dias
54) R: R$144.504,39
55) R: 151,817% a.a.
56) R: 5 trimestres
57) R: R$520.154,96
58) R: R$1.708.984,38
59) R: 9 meses
60)
61) R. R$ 11.033,75
62)
63) R. R$ 17,78
64) R. 25% a.m.
65) R. 30% a.m.
66) R. 23,89% a.m.
67) R. A melhor opção é a compra à vista.
68) R R. R$ 751,37
70) R. R$ 150.480,00
71) R. R$ 23.106,40
72) R. taxa de juros 2% a.m. e prazo 1 mês
73) R. R$ 13.440,52
74) R. 3,19% a.m.
75) R. É mais vantajosa para o proprietário a proposta b ( 1.762,32 u.m.)
76) R. R$ 222,24
77) R. R$ 895,59
78) R. R$ 433,48
79) R. R$ 141,69
80) R. R$ 1.166,40
81) R. R$ 2.821,80
82) R. R$ 3.143,45
83) R. R$ 526,74
84) R. R$ 168,36
85) R. R$ 234,28
86) R. 11 meses e 23 dias
87) R. R$ 2.369,09
88) R. R$ 1.341,72
90

89) R. R$ 78.858,12
90) R. 86 dias
91) R. 4,6% a.m.
92) R. R$ 3.104,52
93) R. 6 prestações semestrais
94) R. R$ 4.899,32
95) R. R$ 18.404,63
96) R. R$ 164.909,95
97) R. R$ 16.615,43
98) R. R$ 3.057,92
99) R. R$ 203.854,90
100) R. 11 prestações anuais
101) R. R$ 31.915,04
102) R. R$ 12.243,49
103) R. R$ 3.085,20
104) R. R$ 7.631,86
105) R. R$11.517,41
106) R. R$ 12.111,14
107) R. R$ 37.215,93
108) R. R$ 40.482,26
109) R. R$ 13.271,21
110) R. R$ 13.402,20
111) R. R$ 4.628,25
112) R. R$ 70.409,51
113) R. R$ 134.829,82
114) R. R$ 145.736,23
115) R. R$ 198.425,81
91

Referências Bibliográficas:
1. ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações. Ed. Atlas,2002.
2. COELHO, Silvio T. Matemática Financeira e Análise de Investimentos. Cia. Editora
Nacional.
3. COSTA, Paulo Henrique Soto & ATTIE, Eduardo Vieira. Análise de Projetos de
Investimentos. editora da Fundação Getúlio Vargas.
4. DE FRANCISCO, Walter. Matemática Financeira. Editora Atlas.
5. FERREIRA, Roberto Gomes. Matemática Financeira Aplicada ao Mercado de Capitais. Vol.
2. Editora Universitária-Universidade Federal de Pernambuco.
6. MATHIAS, Washington Franco & GOMES, José Maria. Matemática Financeira. Editora
Atlas.
7. NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos-Projetos Industriais e engenharia Econômica.
Editora Guanabara.
8. OLIVEIRA, Heladio de. Tópicos de Matemática Financeira-aplicações. Livraria Nobel S.A.
9. VERAS, Lilia L. Matemática Aplica a Economia. Editora Atlas.
10. VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. Editora Atlas.
11. SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos.
Prentice Hall, 2001. São Paulo.
92

Matemática financeira básica

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