Introdução à Matemática Financeira_un1.pdf

1ª edição
2017
Matemática
Financeira

6
Palavras do professor
A matemática financeira é uma disciplina necessária e está presente no
nosso dia a dia em várias situações. Estudá-la é uma tarefa que permite
compreender os fundamentos da matemática, tão presentes na vida de
todos nós. Quando vamos compraralgum bem de consumo, é imprescin-
dível que conheçamos os conceitos principais de matemática financeira,
que nos proporcionam verificar se aquilo que está sendo dito a nós é o
que realmente está sendo cobrado.
Nossas discussões iniciam com a introdução de conceitos iniciais e ele-
mentos básicos da matemática financeira, com o propósito de alcan-
çarmos a definição de desconto simples e composto e a diferença entre
ambos.
Os aspectos relacionados ao perfil profissional e também ao domínio dos
fundamentos que cercam a disciplina possuem uma relação com o nosso
cotidiano. Nós somos compelidos sistematicamente a tomardecisões que
requerem conhecimentos elementares. Quando estudamos pagamentos,
por exemplo, temos duas opções: pagamento com ou sem entrada. Com
o estudo da matemática financeira podemos calcular o valor da parcela
para cada tipo de pagamento, considerando as parcelas, ovalora serpago
e a taxa de juros cobrada.
Uma área extremamente importante e a cada dia mais comentada dentro
da matemática financeira é a análise de investimento. Precisamos saber
qual investimento é mais rentável, utilizando alguma ferramenta de deci-
são. As ferramentas mais utilizadas dentro da matemática financeira são:
valor presente líquido (VPL), taxa interna de retorno (TIR) e payback. Essas
ferramentas são capazes de apontar qual investimento possui maior ren-
tabilidade para um caso específico.
Imagine que você faça um empréstimo bancário, com número de presta-
ções e taxa de juros definidos. É importante quevocê conheça qual sistema
de amortização da dívida está sendo utilizado no empréstimo em questão.
A abordagem da disciplina, nesse contexto, faz-se no sentido de formar
profissionais que ao longo dos estudos procurem seu próprio caminho
entre os temas estudados e as experiências cotidianas. São fundamentais
a dedicação e o comprometimento com os estudos, para que você possa
buscarelementos que lhe permitam elaboraras conexões entre a teoria e a
prática.E,comisso,concluirqueadisciplina,alémdeimportanteparaafor-
mação profissional, está intrinsecamente ligada a outras áreas de sua vida.

1
7
Unidade de Estudo 1
Introdução à Matemática
Financeira
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade você aprenderá os conceitos iniciais de matemática finan-
ceira, que abordam razão, proporção, porcentagem, juros simples, juros
compostos, valor presente, prestação, valor futuro, taxas, entre outros.
Todos esses conceitos são extremamente importantes para que você
consiga entender todas as demais aulas de matemática financeira.
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar os conceitos dos elementos básicos da matemática
financeira (razão, proporção, porcentagem, juros simples e com-
postos).
• Mostrar como são feitos os cálculos dos elementos básicos atra-
vés de expressões matemáticas, com exemplos práticos.

8
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 1 – Introdução à Matemática Financeira
1.1 Conceitos Iniciais
Nósutilizamososconceitosdematemáticafinanceiraatodoomomentoemnossodiaadia.Porexemplo,quando
fazemos um empréstimo em um determinado banco, é necessário sabermos o que são taxa de juros, prestação,
amortização, porcentagem, etc.
Imagine a compra de um tênis que custa R$150,00. Dependendo do tipo de pagamento, à vista ou a prazo, você
precisa entender os conceitos de matemática financeira para poder calcular o valor da prestação que vai pagar.
Os elementos básicos da matemática financeira dos quais você deve tomar conhecimento são: razão, proporção,
porcentagem, juros simples e juros compostos.
Quando estamos interessados em resolver problemas de juros simples e compostos, é importante conhecermos
a calculadora HP 12C. Ela é simples de se utilizar e nos fornece resultados rápidos, que nos poupam de uma série
de cálculos vindos de expressões matemáticas.
Figura 1.1 - HP 12C.
Legenda: Calculadora HP 12C.
Fonte: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/HP-12C_programmable_calculator.jpg?uselang=pt-br>.
Nas próximas seções trataremos dessas concepções, inclusive dos elementos básicos que compõem a matemá-
tica financeira.

9
1.2 Elementos Básicos da Matemática Financeira
Os elementos básicos da matemática financeira são razão, proporção, porcentagem, juros simples e juros com-
postos. No entanto, para que você consiga compreender esses elementos é muito importante definirmos os
conceitos de capital ou valor presente (valor inicialmente aplicado), prazo (tempo de duração do investimento),
juros e taxa de juros (representados em porcentagem), montante ou valor futuro (valor acumulado ao final de
um investimento), fluxo de caixa (descrição das entradas e saídas do caixa), regimes de capitalização (juros sim-
ples ou compostos), taxa proporcional, taxa equivalente e taxa nominal. Esses conceitos precisam estar claros na
mente do estudante, pois a maioria dos problemas de matemática financeira aborda quase todos esses elemen-
tos. Assim, é fundamental que saibamos definir cada um deles.
1.2.1 Razão
A razão consiste no quociente entre dois números. Para encontrarmos a razão entre dois números basta efetuar-
mos a divisão entre eles. A expressão utilizada para o cálculo da razão é:
1
2
n
R
n
=
Em que:
R : Razão.
1
n : primeiro número.
2
n : segundo número (deve ser diferente de zero).
Exemplo 1.1
Em uma escola pública de uma cidade, uma sala do 5o ano tem 50 alunos, dos quais 30 são meninas. Queremos
encontrar a razão do número de meninas em relação ao total.
A razão em questão é dada pela seguinte expressão matemática:
1
2
n
R
n
=
Utilizando os dados fornecidos no enunciado, temos que:
30
50
R =
0,6
R =
Assim, de acordo com dados do exemplo supracitado, a razão entre o número de meninas e o total é dada por0,6.

10
Vamos deixar claros alguns pontos a respeito da razão:
• A razão entre dois números é igual a 1 quando ambos os valores são iguais.
• Quando o numerador for maior que o denominador, a razão será maior que 1.
• O valor assumido pela razão será entre 0 e 1 quando o numerador for menor que o denominador.
• A razão será positiva quando ambos os números forem positivos ou ambos negativos.
• O valor da razão será negativo quando os números possuírem sinais distintos.
• A razão poderá ser zero. Isso acontecerá apenas se o numerador for igual a zero.
Exemplo 1.2
Uma determinada concessionária tem 10 veículos em sua loja. Todos os veículos são brancos. Queremos encon-
trar a razão entre o número de veículos brancos em relação ao total.
1
2
n
R
n
=
10
10
R =
1
R =
A razão entre o número de veículos brancos e o número total de veículos é 1.
Exemplo 1.3
Imagine que em uma determinada prova as notas de 5 estudantes foram 5, 6, 7, 8, 9. Queremos encontrara razão
entre o número de estudantes que conseguiram pontuações menores que 5 em relação ao total de alunos.
1
2
n
R
n
=
0
5
R =
0
R =
Assim, temos que a razão entre o número de estudantes que obtiveram notas inferiores que 5 e o número total
de alunos é dada por zero, pois não existem estudantes que conseguiram pontuações menores que 5.

11
1.2.2 Proporção
Denominamos proporção a igualdade entre duas razões. Devemos utilizara seguinte expressão matemática para
o cálculo da proporção:
3
1
2 4
n
n
k
n n
= =
Em que:
k : proporção.
1
n : primeiro número.
2
n : segundo número (deve ser diferente de zero).
3
n : terceiro número
4
n : quarto número (deve ser diferente de zero).
Na expressão supracitada, chamamos 1
n e 4
n de extremos e 2
n e 3
n de meios.
Propriedade Fundamental da Proporção: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim, basta
efetuarmos a multiplicação cruzada na expressão supracitada. Logo, temos:
1 4 2 3
n n n n
=
Exemplo 1.4
Uma pessoa gasta em média 100 litros de água por dia para suprir suas necessidades. Qual é o gasto médio para
uma família de 3 pessoas em 1 dia?
Devemos utilizar a propriedade fundamental da proporção para resolver o exercício. Assim, temos que:
3
1
2 4
n
n
n n
=
4
1 3
100 n
=
4 300
n l
=
Diante dos cálculos apresentados, concluímos que uma residência de três pessoas apresenta o gasto de 300 litros
de água por dia.

12
1.2.3 Porcentagem
Em matemática, a notação r% (r por cento) é utilizada para representar a fração
100
r
(fração centesimal).
É muito comum, em problemas, termos de calcular a porcentagem de um total. Para tanto, basta efetuarmos a
multiplicação entre a fração centesimal correspondente pelo total, de acordo com o exemplo 1.5.
Exemplo 1.5
Calcule 20% de 500.
Para encontrar essa porcentagem, precisamos calcular .
100
r
Total . Note que 20%
r = e 500
Total = . Logo,
20
.500 0,2.500 100
100
= = .
Assim, podemos dizer que 20% de 500 são 100.
Exemplo 1.6
A prestação do apartamento de João é de R$1000,00 e representa 30% do valor do salário bruto dele. Qual é o
valor do salário bruto de João?
Resolvendo o problema pela aplicação dos conceitos de porcentagem e proporção, temos:
1000
30
x
= %
1000 30
100
x
=
30 100000
x =
x =
100000
30
x = 3 333 33
. ,

13
Podemos também solucionar este exercício através da aplicação da regra de três.
x − − − − −
− − −
100
1000 30
%
%
x
x
1000
100
30
30 100000
=
=
x =
100000
30
x = 3 333
. ,33
Assim, concluímos que o salário bruto de João é de R$ 3.333,33.
Os conceitos de razão, proporção e porcentagem são extremamente importantes para o entendimento dos pró-
ximos tópicos que vão ser abordados em matemática financeira.
1.2.4 Capital ou Valor Presente
É o valor sobre o qual vão incidir os encargos e os juros. Também pode ser denominado por valor à vista. Caso
estivermos falando de investimento, o capital é o investimento inicial realizado. Costuma-se denominar capital
ou valor presente pelas letras PV.
A sigla PV vem do inglês Present Value, que significa Valor Presente.
Glossário
Exemplo 1.7
Comprei um veículo que custa R$100.000,00 em 20 prestações com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o valor
presente em questão?
O valor presente é o valor do investimento feito, que já foi dito no enunciado do exercício (é o valor pelo qual
compramos o veículo em questão). Logo, o valor presente é de R$100.000,00.

14
1.2.5 Prazo
O prazo está semprevinculado a uma unidade temporal (exemplos: dia, mês, semestre, ano etc.). Esse tempo será
utilizado para calcular os juros que vão ser incorporados ao capital. Podemos denominar o prazo tanto pela letra
n quanto pela letra t.
Quando estamos analisando um determinado investimento, o prazo é aquele período de tempo do investimento.
Exemplo 1.8
Fiz um empréstimo de R$100.000,00 para pagar em 100 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês.
Qual é o prazo do investimento?
Para o exemplo supracitado o prazo é o tempo em que se demorou para pagar o investimento, no caso 100
meses.
1.2.6 Juros e Taxas de Juros
O juro é a remuneração atribuída ao capital. É o aumento de valor sofrido por um determinado capital.
Sempre que falamos em juro relativo a um capital, estamos nos referindo à remuneração desse capital durante
um intervalo de tempo. Esse tempo é denominado período financeiro ou período de capitalização.
O juro depende do capital e do tempo. O valor do juro em determinado tempo é expresso como uma porcenta-
gem do capital, através de uma taxa. Costuma-se adotar a letra i para representar a taxa de juros.
Exemplo 1.9
Fiz um empréstimo de R$10.000,00 para pagar em 10 prestações mensais com taxa de juros de 1% ao mês. Qual
é a taxa de juros do investimento?
O juro é o valor adicional que pagamos para quitar o empréstimo realizado. Assim, temos que a taxa de juro para
o exemplo em questão é de 1% ao mês.
1.2.7 Montante ou Valor Futuro
É ovalorfinal, somando-se todos os juros acumulados ao capital inicial. Geralmente denominamos ovalorfuturo
por FV.
O montante ou valor futuro é igual à soma do valor presente com o valor do juro.
Existem duas expressões utilizadas para o cálculo do montante ou valorfuturo: uma para juro simples e uma para
juro composto.

15
1.2.8 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa consiste no conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) do capital no caixa ao longo
do tempo.
É uma ferramenta extremamente útil para a análise da rentabilidade e viabilidade de um determinado investi-
mento. Através da análise do fluxo de caixa, conseguimos verificar como é a relação entre as entradas e saídas de
caixa, e isso pode nos ajudar a saber se determinado investimento é viável ou não.
O quadro 1.1 apresenta as convenções utilizadas para a representação do fluxo de caixa. Todas as setas que
apontam para cima indicam entradas no caixa (aumento de valor do caixa), e todas as setas para baixo indicam
diminuição no caixa (saídas).
Quadro 1.1 - Convenções em um fluxo de caixa
Símbolo Significado
ou + Entradas (crédito)
ou - Saídas (débito)
Legenda: Convenções em um fluxo de caixa.
Fonte: Elaborado pelo autor (2017).
Exemplo 1.10
Imagine que vou comprar uma camisa de R$300,00 através de três prestações mensais de R$100,00, sem juros.
Qual é o fluxo de caixa para essa situação?
O fluxo de caixa nos mostra a relação entre as entradas e saídas de caixa. Assim, temos:
Note que nesse exemplo não há juros. No entanto, caso haja, é necessário que calculemos os valores de cada
prestação, para que depois façamos a construção do fluxo de caixa.

16
1.2.9 Regimes de Capitalização
Chamamos de regime de capitalização o processo de formação de juro. Há duas maneiras de capitalizarmos um
capital: utilizando juros simples ou compostos.
Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o alu-
guel pago pelo uso do dinheiro (VIEIRA SOBRINHO, 2010). Juro é o preço pago pelo aluguel do dinheiro, ou seja,
o valor que deve ser pago pelo empréstimo de um capital (ASSAFNETO, 2010).
1.2.10 Juros Simples
O juro pago em cada período é sempre constante. Nesse regime, apenas o capital inicial rende juro. Assim, o juro
formado no fim de cada período não é incorporado ao capital para render juro no período seguinte. Consequen-
temente, dizemos que os juros não são capitalizados.
Quando trabalhamos com juros simples, os juros são capitalizados ao final da negociação e são calculados unica-
mente sobre o capital inicial, ou seja, são fixos e iguais em todos os períodos. Dessa forma, podemos concluirque
o crescimento do capital ocorre de maneira linear. Assim, a expressão para o cálculo dos juros simples é dada por:
. .
J PV i n
=
Em que:
J : juros simples.
PV : valor do capital inicial ou principal.
i : taxa de juros.
n : prazo ou número de períodos ou tempo de capitalização.
O montante ouvalorfuturo (FV) é igual à soma do capital inicial com o juro relativo ao período de aplicação. Logo:
. .
FV PV PV i n
= +
( )
1 .
FV PV i n
= +
Em que:
FV : valor futuro.
i : taxa de juros.
Caso queiramos calcular os juros simples, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
. .
J PV i n
=

17
Exemplo 1.11
João investiu R$100.000,00 durante 12 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juros simples. Qual montante
ele receberá e qual o valor do juro?
No problema supracitado, temos os seguintes dados:
$100.000,00
PV R
=
12
n =
0,03
i =
Utilizando a expressão para calcularmos o montante ou valor futuro, temos que:
( )
1 .
FV PV i n
= +
( )
100000 1 0,03.12
FV
= +
$136.000,00
FV R
=
O valor do juro é dado por:
. .
J PV i n
=
100000.0,03.12
J =
$36.000,00
J R
=
Assim, temos que o montante que ele vai receber é de R$136.000,00 e o valor de juro é de R$36.000,00.
Exemplo 1.12
Qual o capital necessário para Maurício investir se ele quer ter um montante de R$15.000,00 daqui a 18 meses,
com uma aplicação à taxa de 24% a.a., no regime de juros simples?
Esse exercício tem uma “pegadinha”. Note que o período de rendimento do capital está em uma unidade tempo-
ral diferente do período da taxa de juros. Assim, é necessário que façamos a devida conversão do período da taxa
de juros para a unidade temporal do período de capitalização. Assim, temos:
$15.000,00
FV R
=
18
n =
0,24
0,02 . .
12
i a m
= =

18
Note que agora a taxa de juros é mensal (igual ao período de capitalização).
Utilizando a expressão para calcularmos o valor presente, temos que:
( )
1 .
FV PV i n
= +
( )
1 .
FV
PV
i n
=
+
( )
15000
1 0,02.18
PV =
+
$11.029,41
PV R
=
Assim, o capital inicial que ele deverá investir é de R$11.029,41.
Para resolver esse exercício utilizando a calculadora HP 12C, você deve utilizar os seguintes comandos:
fREG 18 ENTER 2 X 100 + 15000 %T
Observação: o comando f REG é utilizado para limpar a memória.
Utilizando esses comandos, você encontra o valor presente que foi calculado acima.
1.2.11 Taxas
Quando formos analisar problemas que contenham taxas de juros, é extremamente importante que saibamos
diferenciar todos os tipos de taxas, pois a utilização de uma taxa inadequada durante a solução de um exercício
vai comprometer a resposta.
Taxa Proporcional: duas taxas são consideradas proporcionais quando seus valores formam uma proporção.
Podemos utilizar a seguinte expressão matemática:
k
i
i
k
=
Em que:
k
i : taxa proporcional.
i : taxa em análise.
k : período (unidade temporal).

19
Exemplo 1.13
Qual a taxa mensal proporcional a 36% ao ano?
Basta fazermos a conversão pela utilização da expressão supracitada. Logo:
k
i
i
k
=
0,36
12
k
i =
0,03 . .
k
i a m
=
Assim, temos que a taxa mensal proporcional a 36% ao ano é de 3% ao mês.
0.36 ENTER 12 ÷
Os comandos fornecem a taxa que foi encontrada acima.
Taxas Equivalentes: duas taxas são consideradas equivalentes quando, aplicadas ao mesmo capital durante o
mesmo período de tempo, produzem o mesmo total de juros.
Exemplo 1.14
Vamos analisar o juro produzido pelo capital de R$15.000,00 nas taxas e prazos a seguir.
a. Taxa de 4% a.m. durante 6 meses.
$15.000,00
PV R
=
0,04
i =
6
n =
Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
. .
J PV i n
=
15000.0,04.6
J =
$3.600,00
J R
=
15000 ENTER 0,04 x 6 x

20
Os comandos fornecem o valor do juro em questão.
b. Taxa de 12% a.t. durante 2 trimestres.
$15.000,00
PV R
=
0,12 . .
i a t
=
2
n =
Utilizando a expressão que nos fornece o juro, temos:
. .
J PV i n
=
15000.0,12.2
J =
$3.600,00
J R
=
Como o valor do juro é igual para ambas as taxas, elas são consideradas proporcionais.
15000 ENTER 0,12 x 2 x
Os comandos fornecem o valor do juro em questão.
Taxa Nominal e Taxa Efetiva: taxa nominal é a taxa de juros contratada em uma operação financeira. Taxa efe-
tiva é a taxa de rendimento que a operação financeira efetivamente proporciona.
Quando estamos interessados em calcular os juros, devemos ficar atentos a qual taxa foi fornecida (nominal ou
efetiva). A taxa efetiva pode serutilizada diretamente para se calcularovalordos juros. Já a taxa nominal necessita
que façamos uma conversão.
Ataxaefetivaéaquelacujoperíodoéigualaoperíododecapitalização.Jáataxanominalapresentavaloresdistintos.
Para fazermos os cálculos dos juros ou do montante precisamos sempre utilizar a taxa efetiva. Logo, se foi forne-
cida a taxa nominal, precisamos fazer a conversão apropriada.

21
Puccini (2007) apresenta os conceitos de taxa efetiva, taxa nominal e taxa equivalente nas
páginas 87, 88 e 89 de sua obra disponível em <http://s3.amazonaws.com/academia.edu.
documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSAccessKeyId=AKIAJ
56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signature=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2Br
DHs%3D&response-content-disposition=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEMA-
TICA_FINANCEIRA.pdf>..
Exemplo 1.15
Fiz uma aplicação de R$1000,00 com a taxa de juros de 30% a.a. com capitalização mensal. Quais são as taxas
efetiva e nominal?
Note que a taxa de juros foi fornecida ao ano e que o período de capitalização é mensal. Assim, a taxa de 30%
a.a. é a taxa nominal.
Para calcularmos a taxa efetiva é necessário converter a taxa de juros fornecida para o respectivo período de
capitalização. Assim, temos:
k
i
i
k
=
iE
= =
30
12
2 5
, %a.m.
Assim, temos que a taxa nominal é de 30% a.a. e a taxa efetiva é de 2,5% a.m.
Exemplo 1.16
Fiz uma aplicação de R$2000,00 com a taxa de juros de 9% a.t., com capitalização mensal, por 9 meses. Qual o
valor do montante?
Primeiramente observe que a taxa fornecida é a taxa nominal. Logo, precisamos convertê-la em taxa efetiva.
Assim, temos:
9
3%a.m.
3
E
i = =
Agora vamos calcular o montante através da seguinte expressão:
( )
1 .
FV PV i n
= +
( )
2000 1 0,03.9
FV
= +
$2.540,00
FV R
=

22
Assim, temos que o montante ou valor futuro para a aplicação feita é de R$2.540,00.
2000 ENTER 1 ENTER 0,03 ENTER 9 X + X
Os comandos fornecem o valor futuro.
1.2.12 Juros Compostos
No dia a dia, é muito comum ouvirmos falar que determinada aplicação financeira tem “juro sobre juro”. Esse é
o juro composto.
O juro composto é aquele em que o valor rendido nos períodos anteriores são levados em consideração para
calcular o valor do juro do período em análise.
O sistema que em cada período financeiro, a partirdo segundo, é calculado sobre o montante relativo ao período
anterior é compreendido como juro composto.
Nesse regime de capitalização, o crescimento do capital ocorre de maneira exponencial. Isso ocorre porque os
juros incidem sobre o capital inicial mais os juros acumulados até a data em questão.
Para calcularmos o valor do montante, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
( )
1
n
FV PV i
= +
Em que:
FV : valor futuro.
i : taxa de juros.
Observe a diferença da expressão utilizada para se calcular o valor futuro, utilizando juro
composto, comparada com aquela utilizada no cálculo do valor futuro, considerando o sis-
tema de juro simples. No primeiro caso o “n” é o expoente de 1 + i. No segundo, ele apenas
multiplica o i.

23
Exemplo 1.17
Fiz uma aplicação de R$1000,00 com taxa de juros compostos de 2% a.m., com capitalização mensal, por 10
meses. Qual o valor do montante?
Vamosutilizaraexpressãomatemáticaqueforneceovalordomontanteparaocasodojurocomposto.Logo,temos:
( )
1
n
FV PV i
= +
( )
10
1000 1 0,02
FV
= +
$1218,99
FV R
=
Assim, temos que o valor do montante da aplicação financeira durante o período em questão é de R$ 1.218,99.
Você pode utilizar quaisquer dos métodos a seguir para encontrar o valor futuro pela calculadora HP 12C. O pri-
meiro é:
1000 ENTER 1 ENTER 0,02 + 10 y^x x
O segundo método é:
f REG 5000 CHS PV 5 i 2 n FV
Quando estamos interessados em calcular o valor dos juros, para o caso dos juros compostos, devemos nos lem-
brar da seguinte expressão:
FV PV J
= +
J FV PV
= −
Fazendo a substituição para a expressão do montante, temos:
( )
1
n
J PV i PV
= + −
( )
1 1
n
J PV i
 
= + −
 
Em que:
FV : valor futuro.
J : valor do juro.

24
Se você fosse aplicar seu dinheiro e tivesse duas opções disponíveis, utilizar juros simples ou
compostos, qualvocê utilizaria?Você precisa calcularovalordo juro rendido ou do montante
para cada tipo de aplicação para chegar a um resultado.
Exemplo 1.18
Fiz uma aplicação de R$3000,00 com taxa de juros compostos de 1% a.m., com capitalização mensal, por 14
meses. Qual o valor do juro?
Vamos utilizar a expressão que calcula diretamente o valor de juro composto, que é:
( )
1 1
n
J PV i
 
= + −
 
( )
14
3000 1 0,01 1
J  
= + −
 
$448,42
J R
=
O valor do juro rendido nessa aplicação durante o tempo transcorrido foi de R$448,42.
Vamos resolver o exemplo 1.18 de outra maneira.
O valor do montante para o caso em questão é dado por:
( )
1
n
FV PV i
= +
( )
14
3000 1 0,01
FV
= +
( )
14
3000 1 0,01
FV
= +
Encontramos o valor de R$3.448,42 para o montante. Agora, devemos nos lembrar de que o valor do capital
acrescido ao valor do juro é igual ao valor futuro (montante). Logo:
FV PV J
= +
J FV PV
= −
3448,42 3000
J
= −
$448,42
J R
=

25
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor do juro composto pela calculadora HP 12C:
30000 ENTER 1 ENTER 0,1 + 14 y^x 1 - x
Note que encontramos, obviamente, o mesmo resultado para o juro composto. Os dois métodos fornecem os
mesmos resultados sempre. Talvez seja mais interessante você seguir o segundo método, visto que precisará
memorizar apenas uma expressão, já que a segunda (valor futuro = valor presente + juro) é bastante fácil de se
entender na prática.
Exemplo 1.19
Qual taxa de juros ao mês faz com que uma quantia de R$2.500,00 se transforme em R$3.500,00 durante 4 meses?
A expressão para o regime de capitalização composta que é utilizada para calcular o valor futuro é:
( )
1
n
FV PV i
= +
Vamos isolar i:
( )
1
n FV
i
PV
+ =
( )
1 n
FV
i
PV
+ =
1
n
FV
i
PV
= −
Substituindo os valores fornecidos, temos:
4
3500
1
2500
i
= −
0,087757
i =
8,78% . .
i a m
=
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor da taxa de juro pela calculadora HP 12C:
3500 ENTER 1 ENTER 0,02 + 3 CHS y^x x

26
Exemplo 1.20
Quantos períodos são necessários para que um capital de R$10.000,00 se torne R$20.000,00, a uma taxa de
juros de 2% ao mês?
A expressão para o regime de capitalização composta que é utilizada para calcular o valor futuro é:
( )
1
n
FV PV i
= +
Vamos isolar a parcela entre parênteses.
( )
1
n FV
i
PV
+ =
Aplicando o logaritmo, temos:
( )
ln 1 ln
FV
n i
PV
+ =
Substituindo os valores, temos:
( )
20000
2ln 1 0,02 ln
10000
+ =
35
n meses
=
Você pode utilizar os comandos a seguir para encontrar o valor da taxa de juro pela calculadora HP 12C:
20000 ENTER 10000 + g ln 1.02 ENTER g ln +

27
Considerações finais
Nesta unidade você aprendeu os conceitos iniciais de matemática finan-
ceira. Estude com bastante atenção tudo que lhe foi passado, pois você
sempre precisará se lembrar desses conceitos para entender as próximas
aulas de matemática financeira. Esta aula pode ser muito útil para você
entender os pagamentos a prazo realizados cotidianamente.

Referências
28
ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. 2. ed. São Paulo: Atlas,
2010.
HAZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 6. ed.
São Paulo: Atlas, 2007. [E-book].
PUCCINI, E. C. Matemática Financeira. Sistema Universidade Aberta do
Brasil, 2007. Disponível em: <http://s3.amazonaws.com/academia.edu.
documents/38944767/Livro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.pdf?AWSA
ccessKeyId=AKIAJ56TQJRTWSMTNPEA&Expires=1482778576&Signatur
e=Xf1egf6G10i3OMtvQep5Jv%2BrDHs%3D&response-content-disposi
tion=inline%3B%20filename%3DLivro_de_MATEMATICA_FINANCEIRA.
pdf>. Acesso em: 2016.
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book]. Dis-
ponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/
HP-12C_programmable_calculator.jpg?uselang=pt-br>. Acesso em: 26
dez. 2016.

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