Casa bb-matemática-financeira

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Curso de Matematica Financeira para Banco do Brasil 2012/2013

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  1. 1. MATEMÁTICA FINANCEIRA AUTOR: Prof Edgar Abreuwww.acasadoconcurseiro.com.br
  2. 2. CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA EDITAL JANEIRO 2012 1. Porcentagem; 2. Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 3. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 4. Rendas uniformes e variáveis. 5. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. 6. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento. 7. Avaliação de alternativas de investimento. 8. Taxas de retorno A CASA DO CONCURSEIROEstude com o curso que mais aprovou primeiro colocado no ultimo concurso doBanco do Brasil.Aprovamos o primeiro colocado nas seguintes cidades:Irecê – Vitória da Conquista; Jundiaí – São Paulo; Jequié – BA; Anápolis – GO ;Sete Lagoas – MS; Pouso Alegre – MG; Lins – SP; Paraíso do Tocantins – TORio de Janeiro – RJ; Cabo Frio – RJ; Pelotas – RS; Novo Hamburgo – RS;Santo Amaro – SP; Varginha – BA; Bonito – MS; Juiz de Fora – MG (PNE);Disparado o curso que mais aprova em todo o país. Mais de 52% dos nossosalunos fora, aprovados nos últimos concursos do Banco do Brasil. A CASA DO CONCURSEIRO, UM ANO BRINCANDO DE APROVAR PRIMEIROS COLOCADOS!
  3. 3. SumárioMÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................. 01 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 10 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 11MÓDULO 2. TAXAS ............................................................................................ 13 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 27 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 30MÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS ... 39 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ................................................................. 62 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1...................................... 75MÓDULO 4. RENDAS UNIFORMES ................................................................... 103 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 115 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 119MÓDULO 5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC .......................... 128 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 133 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 136MÓDULO 6. ANÁLISE DE INVESTIMENTO ......................................................... 142 QUESTÕES FCC MÓDULO 1 ............................................................... 147 RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES FCC MÓDULO 1.................................... 152
  4. 4. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br MÓDULO 1. INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 TERMOLOGIA E CONCEITOS INICIAISAlguns termos e definições utilizadas no estudo da Matemática Financeira. Capital: Qualquer quantidade de dinheiro que esteja disponível em certa data para ser aplicado numa operação financeira. Juros: Custo do capital durante determinado período de tempo. Taxa de Juros: Unidade de medida dos juros que corresponde à remuneração paga pelo uso do capital durante um determinado período de tempo. Indica a periodicidade dos juros. o Observação: Em nosso curso, usaremos a taxa unitária para que o cálculo fique simplificado, quando estivermos utilizando fórmulas para realizar os cálculos. Montante: Capital empregado mais o valor acumulado dos juros. o Observação: MONTANTE = CAPITAL + JUROS (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta). Capitalização: Operação de adição dos juros ao capital. Regime de Capitalização Simples: Os juros são calculados periodicamente sobre o capital inicial, e o montante será a soma do capital inicial com as várias parcelas de juros, o que equivale a uma única capitalização. Regime de Capitalização Composta: Incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior. Desconto: Desconto é o abatimento que se faz sobre um valor ou um título de crédito quando este é resgatado antes de seu vencimento. Todo título tem um valor nominal ou valor de face, que é aquele correspondente à data de seu vencimento. A operação de desconto permite que se obtenha o valor atual ou o valor presente do título em questão. o Observação: VALOR ATUAL (VALOR PRESENTE) = VALOR NOMINAL (VALOR DE FACE) – DESCONTO (independente de estarmos falando em capitalização simples ou em capitalização composta).www.acasadoconcurseiro.com.br Página 1
  5. 5. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 1.2 TAXA UNITÁRIADEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100,encontramos a taxa unitáriaA taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemáticafinanceira.Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por umafração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100.COMO FAZER 1.2.1 AGORA É A SUA VEZ: 1010%   0,10 15% 100 20 20%20%   0, 20 100 5 4,5%5%   0, 05 100 254% 3838%   0,38 100 0% 1,51,5%   0, 015 63% 100 230 24,5%230%   2,3 100 6% 1.3 FATOR DE CAPITALIZAÇÃOVamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qualnovo valor deste produto?Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, maspodemos fazer a afirmação abaixo:O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valorinicial.Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemosutilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 2
  6. 6. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 120Fator de Capitalização =  1, 2 100O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto paraobter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejoutilizar.Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meufator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00.CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-seque 1 = 100/100 = 100%COMO CALCULAR: o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2ENTENDENDO O RESULTADO:Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2.Exemplo 1.3.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passaráa custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00COMO FAZER: 130Acréscimo de 30% = 100% + 30% = 130% =  1,3 100 115Acréscimo de 15% = 100% + 15% = 115% =  1,15 100 103Acréscimo de 3% = 100% + 3% = 103% =  1, 03 100 300Acréscimo de 200% = 100% + 200% = 300% = 3 1001.3.1 AGORA É A SUA VEZ: Acréscimo Calculo Fator 15% 20%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 3
  7. 7. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% 1.4 FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃOVamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qualnovo valor deste produto?Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, maspodemos fazer a afirmação abaixo:O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial.Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemosutilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 80Fator de Descapitalização =  0,8 100O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto paraobter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejoutilizar.Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meufator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00.CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do descontoexpresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100%COMO CALCULAR: o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8ENTENDENDO O RESULTADO:Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valordesse produto por 0,80.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 4
  8. 8. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brExemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passaráa custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00COMO FAZER: 70Desconto de 30% = 100%  30% = 70% =  0, 7 100 85Desconto de 15% = 100%  15% = 85% =  0,85 100 97Desconto de 3% = 100%  3% = 97% =  0,97 100 50Desconto de 50% = 100%  50% = 50% =  0,5 1001.4.1 AGORA É A SUA VEZ: Desconto Calculo Fator 15% 20% 4,5% 254% 0% 63% 24,5% 6% 1.5 ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVOUm tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Issoacontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão dessetipo.O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendoque na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 5
  9. 9. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brVejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bemdefinidos:Exemplo 1.5.1:Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudosmostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20%no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suastarifas aumentadas em:a) 50%b) 30%c) 150%d) 56%e) 20%Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulsomarcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”).Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal demanutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos:Após receber um acréscimo de 30%:10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009:13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano.Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%,e não de 50% como parecia inicialmente. COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA:Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3: o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3 o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,21,3 x 1,2 = 1,56Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2),logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 6
  10. 10. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br COMO FAZERExemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor,em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemosafirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é:a) 10% maiorb) 10 % menorc) Acréscimo superior a 5%d) Desconto de 84%e) Desconto de 16%Resolução:Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto)Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos:1 – 0,84 = 0,16Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial.(Alternativa E)Exemplo 1.5.3 O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera daprova do concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabouaumentando em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupadocom o excesso de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20%do seu peso. Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é:a) 8% maiorb) 10% maiorc) 12% maiord) 10% menore) Exatamente igualResolução:Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E)www.acasadoconcurseiro.com.br Página 7
  11. 11. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br AGORA É SUA VEZQUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número deunidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa Dteve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pelaempresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%.Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003,(A) 24 %.(B) 28 %.(C) 30 %.(D) 32 %.(E) 60 %.QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elastiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20%suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindosuperar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendasde Lúcia teve um crescimento de:(A) 35%.(B) 45%.(C) 50%.(D) 60%.(E) 65%.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 8
  12. 12. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brResolução questão 1.5.1Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmentedividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%): 2003 2004 Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96 Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28 TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve umaumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa AResolução questão 1.5.2Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% paracada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando omercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cadavendedora. Maio Junho Ana 1 Aumento de 20% = 1 * 1,2 = 1,2 Lúcia 1 Aumento de 25% sobre as vendas de Ana em junho = 1,2 * 1,25 = 1,5Como as vendas de Lúcia passaram de 100% em maio para 150% em Junho (de 1 para 1,5),houve um aumento de 50%. Resposta: alternativa Cwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 9
  13. 13. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES FCC MÓDULO 11. (TRF 1ª REGIÃO 2011 - MED) - Denis investiu uma certa quantia no mercado deações. Ao final do primeiro mês ele lucrou 20% do capital investido. Ao final dosegundo mês, perdeu 15% do que havia lucrado e retirou o montante de R$ 5 265,00.A quantia que Denis investiu foi:(A) R$ 3 200,00(B) R$ 3 600,00(C) R$ 4 000,00(D) R$ 4 200,00(E) R$ 4 500,002. (SEFAZ PB 2006 - SUP) A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalizaçãomensal, corresponde a uma taxa efetiva de(A) 9% ao trimestre.(B) [(1,03)² - 1] ao bimestre.(C) 12 . [(1,36)1/12 ? 1] ao ano.(D) ao semestre.(E) .3. (TRT 22ª REGIÃO/PI - 2004) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário deR$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucrode 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é(A) R$ 78,00(B) R$ 80,00(C) R$ 84,00(D) R$ 86,00(E) R$ 90,00www.acasadoconcurseiro.com.br Página 10
  14. 14. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 1Questão 1Fator para o lucro de 20%: 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1 + 0,2 = 1,2Fator para a perda de 15%: 100% - 15% = 100/100 – 15/100 = 1 – 0,15 = 0,85O detalhe é que Denis perdeu 15% apenas do que havia lucrado, e não do montante total. Ouseja: o fator de 0,85 será aplicado apenas ao lucro de 20%. Para saber o valor obtido ao final doperíodo, multiplicamos os fatores: 0,2 * 0,85 = 0,17Logo, ao final do período, Denis possuía 1,17 do valor investido inicialmente, que são R$5.265,00. Para saber o valor investido inicialmente, podemos chamar o capital investido de “C”, eestabelecer a seguinte relação:1,17 de C é igual a 5.265. Matematicamente:1,17C = 5.265Calculando o capital inicial:C = 5.265/1,17C = 4.500RESPOSTA: Alternativa EQuestão 2Primeiro passo: converter a taxa nominal para uma taxa efetiva. Como a taxa foi dada ao ano comcapitalização mensal, e 1 ano possui 12 meses:36% / 12 = 3% ao mêsCom essa informação, podemos analisar as alternativas:a) Essa alternativa estaria correta se fossem juros simples, pois 3% * 3 = 9%. No regime de juroscompostos, essa taxa seria um pouco maior, pois o cálculo seria 1,03³ = 1,092727, então a taxaseria de 9,2727%b) Para converter a taxa mensal de 3% para uma taxa bimestral, utilizamos o fator100% + 3% = 100/100 + 3/100 = 1 + 0,03 = 1,03. Como 1 bimestre possui 2 meses,elevamos esse fator ao quadrado, e depois subtraímos 1 do resultado, que é o mesmo1 adicionado anteriormente para o caçulo da potência. Matematicamente, teríamos:1,03² - 1, que é exatamente o sugerido pela alternativa.c) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para umataxa efetiva ao ano seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado (1,03)à potência 12 e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 11
  15. 15. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br[(0,36/12)+1]¹² - 1d) O cálculo correto para converter a taxa de 36% ao ano com capitalização mensal para umataxa efetiva ao semestre seria: primeiro, dividir 36% por 12. Depois, elevar o fator do resultado(1,03) à potência 6 (1 semestre = 6 meses) e subtrair 1 ao final. Matematicamente, teríamos:[(0,36/12)+1]^6 – 1e) Esse cálculo seria correto caso estivéssemos convertendo uma taxa efetiva de 36% ao ano parauma taxa mensal. Como 36% é uma taxa nominal, esse não é o cálculo correto.RESPOSTA: Alternativa BQuestão 3O problema informa que há um lucro de 40% sobre o preço de venda, e que descontado esselucro, o valor do produto é de R$ 48,00. Precisamos fazer o raciocínio inverso do que fizemos atéo momento, pois se antes pensávamos em um fator de aumento e aplicávamos sobre um valorpara descobrir o novo valor, agora aplicaremos um fator de decréscimo sobre um certo valor X,sabendo que o resultado será R$ 48,00. Organizando matematicamente:Para descontar os 40%, o fator será:100% - 40% = 60%, ou em valor unitário, 0,60.Esse fator deverá ser aplicado sobre o preço com o lucro para termos o resultado 48. Assim:0,60X = 48X = 48/0,60X = 80RESPOSTA: Alternativa Bwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 12
  16. 16. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br MÓDULO 2. TAXAS 2.1 TAXA PROPORCIONALCalculada em regime de capitalização SIMPLES: Resolve-se apenas multiplicando ou dividindoa taxa de juros:Exemplo 2.1: Qual a taxa de juros anual proporcional à taxa de 2% ao mês?Resposta: Se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, basta multiplicarmos essataxa por 12, já que um ano possuir 12 meses.Logo a taxa proporcional é de 2% x 12 = 24% ao ano.Exemplo 2.2: Qual a taxa de juros bimestral proporcional à taxa de 15% ao semestre?Resposta: Nesse caso, temos uma taxa ao semestre e queremos transformá-la em taxabimestral. Note que agora essa taxa vai diminuir e não aumentar, o que faz com que tenhamosque dividir essa taxa ao invés de multiplicá-la, dividir por 3, já que um semestre possui 3bimestres. 15%Assim a taxa procurada é de  5% ao bimestre. 3 COMO FAZER TAXA TAXA PROPORCIONAL 25% a.m (ao mês) 300% a.a (ao ano) 15% a.tri (ao trimestre) 5% a.m 60% a. sem (ao semestre) 40% ao. Quad. (quadrimestre) 25% a.bim (ao bimestre) 150% (ao ano) AGORA É A SUA VEZ QUESTÕES TAXA TAXA PROPORCIONAL 2.1.1 50% a.bim ___________a.ano 2.1.2 6% a.mês _________a.quad. 2.1.3 12% a.ano _________ a.Trim. 2.1.4 20% a. quadri __________a.Trimwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 13
  17. 17. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.1.1 300% 2.1.2 24% 2.1.3 3% 2.1.4 15% 2.2 TAXA EQUIVALENTECalculada em regime de capitalização COMPOSTA. Para efetuar o calculo de taxasequivalentes, é necessário utilizar uma fórmula.Para facilitar o nosso estudo, iremos utilizar a ideia de capitalização de taxas de juros de umaforma simplificada e mais direta.Exemplo 2.2.1: Qual a taxa de juros ao bimestre equivalente a taxa de 10% ao mês?1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:1 + 0,10 = 1,102º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 2, pois um bimestre possuidois meses.(1,10)2 = 1,213º passo: Identificar a taxa correspondente.1,21 = 21%Exemplo 2.2.2: Qual a taxa de juros ao semestre equivalente a taxa de 20% ao bimestre?1º passo: Transformar a taxa de juros em unitária e somar 1 (100%). Assim:1 + 0,20 = 1,202º passo: elevar esta taxa ao período de capitalização. Neste caso 3, pois um semestre possuitrês bimestres.(1,20)3 = 1,7283º passo: Identificar a taxa correspondente.1,728 = 72,8%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 14
  18. 18. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br COMO FAZER 10% a.m equivale a: Ao Bimestre (1,1)2 = 1,21 = 21% Ao Trimestre (1,1)3 = 1,331 = 33,10% 20% a.bim equivale a: Ao Quadrimestre (1,2)2 = 1,44 = 44% Ao Semestre (1,2)3 = 1,728 = 72,8% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.2.1 QUESTÃO 2.2.2 21% a.sem. equivale a: 30% a.mês. equivale a: Ao Ano Ao Bimestre Ao Trimestre Ao Trimestre GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.2.1 46,41% ao ano e 10% ao trimestre 2.2.2 69% ao bimestre e 119,7% ao trimestre 2.3 TAXA BRUTA X TAXA LIQUIDAEssas taxas são muito especuladas em aplicações financeiras. A grande diferença entre as duas éque na taxa bruta estão inclusos tributações e encargos, e a líquida está livre dessesdescontos. Por este motivo, muitas vezes necessitamos da taxa líquida para podermos compararaplicações financeiras distintas.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 15
  19. 19. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brExemplo 2.3.1:Supondo uma aplicação em um fundo de investimento que lhe proporcionou um retorno de 0,90%em um mês. Qual foi o seu ganho líquido se considerarmos que lhe foi cobrado 20% sobre oganho a título de imposto de renda?Taxa Bruta: 0,90%Imposto de renda: 20%Taxa Liquida: Taxa Bruta - ImpostoOBS: Muito cuidado: descontar o imposto não é subtrair.Calculando a taxa liquida:0,90 x 0,80 (fator de descapitalização, ver tópico 1.4) = 0,72%Logo a taxa liquida do investidor foi de 0,72% COMO FAZER CALCULAR A TAXA LIQUIDA CALCULAR A TAXA LIQUIDATAXA BRUTA 2% TAXA BRUTA 5%IMPOSTO 30% IMPOSTO 20%TAXA LIQUIDA 2% x 0,70 = 1,4% TAXA LIQUIDA 5% x 0,80 = 4% AGORA É A SUA VEZ QUESTÃO 2.3.1 QUESTÃO 2.3.2TAXA BRUTA 10% TAXA BRUTA 15%IMPOSTO 25% IMPOSTO 20%TAXA LIQUIDA TAXA LIQUIDA QUESTÃO 2.3.3 QUESTÃO 2.3.4TAXA BRUTA 20% TAXA BRUTA 8%IMPOSTO 15% IMPOSTO 30%TAXA LIQUIDA TAXA LIQUIDAwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 16
  20. 20. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br GABARITO QUESTÃO RESPOSTA 2.3.1 7,5% 2.3.2 12% 2.3.3 17% 2.3.4 5,6% 2.4 TAXA REAL X TAXA APARENTEQuando temos um aumento em nosso salário, esse aumento é apenas um aumento aparente. Doque adianta você ganhar 5% a mais de salário se os preços dos alimentos, vestuário, educação,transporte tudo aumentou? Será que na realidade você está recebendo 5% a mais?O calculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação deste ganho aparente.Em uma aplicação financeira, percebemos apenas o aumento aparente. Para calcular averdadeira rentabilidade, é necessário calcularmos a taxa real.Exemplo 2.4.1: Um Fundo de Investimento teve no ano de 2009 um rendimento aparente de20%. Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflaçãoacumulada foi de 10%?O candidato apressadinho irá responder, sem pensar muito, 10% de ganho real. Porém, paradescobrirmos o ganho real, devemos descontar a inflação do ganho aparente, e não subtrair. Paraisso, devemos utilizar o conceito da fórmula de Fisher.Abaixo vamos ver uma maneira simplificada de resolver essa questão sem a utilização de fórmula.Apenas sabendo que devemos dividir a taxa aparente pela inflação para encontrar a taxareal.1º Passo: Identificar os dados:Taxa aparente (rentabilidade observada): 20%Inflação: 10%2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela Inflação. Para efetuar essadivisão, é necessário somar 1 (100%) em ambas as taxas. Ao final, iremos descontar este valor:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 17
  21. 21. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br (1  taxa aparente) (1  0, 2) 1, 2    1, 0909  (1  inflação) (1  0,10) 1,1 1, 0909  1(representa 100%)  0, 0909  9, 09% COMO FAZERExemplo 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 80%.Qual será o seu ganho real se considerarmos que nesse mesmo período a inflação acumulada foide 20%?1º Passo: Identificar os dados:Taxa aparente (rentabilidade observada): 80%Inflação: 20%2º Passo: Calcular a taxa real, apenas dividindo a taxa aparente pela correção: (1  taxa aparente) (1  0,8) 1,8    1,5  (1  inflação) (1  0, 20) 1, 2 1,5  1(representa100%)  0,5  50% AGORA É A SUA VEZ:QUESTÃO 2.4.1: Uma ação teve no ano de 2005 um rendimento aparente acumulado de 50%.Qual será o seu ganho real se considerarmos que neste mesmo período a Inflação acumulada foide 20%?QUESTÃO 2.4.2: Uma ação teve no ano de 2006 um rendimento aparente acumulado de 40%.Qual será o seu ganho real se considerarmos que em 2006 a inflação do periodo foi de 60%?www.acasadoconcurseiro.com.br Página 18
  22. 22. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brResolução questão 2.4.1Para calcularmos a taxa real, precisamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator dedesconto, somando ou subtraindo 100% à taxa. Nesse caso, devemos somar 100% a ambas astaxas:Rendimento de 50% = 1,5Inflação de 20% = 1,2Dividindo, teremos: 1,5/1,2 = 1,25.Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos como resultado 0,25. Logo, temosuma taxa real de 25%.Resolução questão 2.4.2Fator para aumento de 40%: 1,4Fator para inflação de 60%: 1,6Dividindo, teremos: 1,4/1,6 = 0,875Subtraindo os 100% somados anteriormente às taxas, temos: 0,874 - 1 = -0,125. Logo, houverendimento negativo de 12,5%. 2.5 TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVA TAXA NOMINALSempre que lhe for fornecida uma taxa cujo prazo difere da capitalização, estamos diante deuma taxa nominal. A taxa nominal é uma prática utilizada pelas instituições financeira,comércios, a fim de tornar os juros mais atraentes, mas fique atento: ela não representa a taxarealmente cobrada.Exemplos de taxas nominais:  24% ao ano/mês (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização mensal)  3% ao mês/bimestrais;  1,5% ao dia/semestral;www.acasadoconcurseiro.com.br Página 19
  23. 23. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br TAXA EFETIVARepresenta a verdadeira taxa cobrada. É quando o prazo é igual a capitalização.Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano/ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano com capitalização anual)  3% ao mês/mensal;  1,5% ao dia/diáriaPodemos abreviar as taxas efetivas omitindo a sua capitalização, já que, por definição, uma taxaefetiva possui a capitalização igual ao prazo.Exemplos de taxas efetivas:  24% ao ano (lê-se vinte e quatro por cento ao ano)  3% ao mês  1,5% ao dia TAXA NOMINAL X TAXA EFETIVAA única utilidade da taxa nominal é fornecer a taxa efetiva através de um calculo de taxaproporcional (ver tópico 2.1).Exemplo 2.5.1 30%OBS: Taxas cuja capitalização e o prazo são iguais são chamadas de taxas efetivas e podem serabreviadas da seguinte maneira:2% ao mês/mês = 2% ao mês15% ao ano/ano = 15% ao anowww.acasadoconcurseiro.com.br Página 20
  24. 24. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brRetomando a situação mencionada anteriormente onde o vendedor afirma que cobra uma taxa dejuros de 24% ao ano/mês, vamos tentar descobrir qual é a taxa efetiva anual.Encontramos a taxa efetiva mensal que é de 2% ao mês. Agora para transformar uma taxa efetiva mensal em uma taxa efetiva anual devemosfazer o calculo de taxas equivalente (ver tópico 2.2 ), uma vez que a capitalização utilizada écomposta.Exemplo 2.5.2 : Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 20% aomês com capitalização bimestral?1º passo: Identificar a taxa Nominal:20% a.m / a.bim2º passo: Transformar a taxa nominal em uma taxa efetiva, alterando APENAS o PRAZO,mantendo a mesma capitalização. Para essa transformação, utilizar o conceito de TAXAPROPORCIONAL.20% a.m / a.bim = 40% a.bim / a. bim OBS: podemos chamar esta taxa de juros de apenas 40% a.bim.3º Passo: Transformar a taxa efetiva obtida na taxa efetiva solicitada pelo exercício, nesse casoao quadrimestre, utilizando-se dos conceitos de TAXA EQUIVALENTE.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 21
  25. 25. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br40 % a. bim = (1,4)² = 1,964º Passo: identificar a taxa de juros:1,96 = 1,96 – 1 = 0,96 = 96% ao Quadrimestre COMO FAZERExemplo 2.5.3: Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 10% ao trimestrecom capitalização semestral?10% a.tri/a.sem = 20% a.sem/a.sem (Taxa Proporcional)20% a.sem = (1,2)2 = 1,44 = 44% a.a (Taxa equivalente)OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um ano possuir dois semestres.Exemplo 2.5.4: Qual a taxa efetiva ao quadrimestre correspondente a taxa nominal de 180% aosemestre com capitalização bimestral?180% a.sem/a.bim = 60% a.bim/a.bim (Taxa Proporcional)30% a.bim = (1,6)2 = 2,56 = 156% a.quad (Taxa equivalente)OBS: O expoente é igual a dois pelo fato de um quadrimestre possuir dois bimestres. AGORA É A SUA VEZ:QUESTÃO 2.5.1 Qual a taxa efetiva ao ano correspondente a taxa nominal de 5% ao mês comcapitalização semestral?QUESTÃO 2.5.2 Qual a taxa efetiva ao trimestre correspondente a taxa nominal de 240% aotrimestre com capitalização mensal?www.acasadoconcurseiro.com.br Página 22
  26. 26. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brQUESTÃO 2.5.3 Qual a taxa efetiva ao semestre correspondente a taxa nominal de 20% ao mêscom capitalização bimestral?Resolução questão 2.5.1Primeiro passo: transformar a taxa de 5% ao mês/semestral em uma taxa semestral. Para esseprimeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxasde juros simples. Como 1 semestre possui 6 meses, multiplicamos 5% por 6.0,05 x 6 = 0,3Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 30% ao semestre, podemos convertê-la parauma taxa efetiva ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo dejuros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1ano possui 2 semestres:1,30² = 1,69Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 1,69 = 0,69. Logo, a taxaefetiva ao ano é de 69%.Resolução questão 2.5.2Primeiro passo: transformar a taxa de 240% ao trimestre/mensal em uma taxa mensal. Para esseprimeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxasde juros simples. Como 1 trimestre possui 3 meses, dividimos 240% por 3.2,4 / 3 = 0,8Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 80% ao mês, podemos convertê-la para umataxa efetiva ao trimestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculo dejuros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1trimestre possui 3 meses:1,80³ = 5,832Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 5,832 = 4,832. Logo, a taxaefetiva ao trimestre é de 483,20%.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 23
  27. 27. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brResolução questão 2.5.3Primeiro passo: transformar a taxa de 20% ao mês/bimestral em uma taxa bimestral. Para esseprimeiro passo, utilizamos o conceito de taxas proporcionais, como se fosse um cálculo de taxasde juros simples. Como 1 bimestre possui 2 meses, multiplicamos 20% por 2.0,2 x 2 = 0,4Segundo passo: agora que temos a taxa efetiva de 40% ao bimestre, podemos convertê-la parauma taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas equivalente, utilizado para o cálculode juros compostos. Primeiro, somamos 100% à taxa antes de aplicar a potência. Depois, como 1semestre possui 3 bimestres:1,40³ = 2,744Subtraindo os 100% adicionados anteriormente à taxa, temos: 1 – 2,744 = 1,744. Logo, a taxaefetiva ao semestre é de 174,4%.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 24
  28. 28. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES DE NIVELAMENTOUtilize, se necessário, os dados abaixo para responder as questões de 1 a 111,053 = 1,1571,055 = 1,2761,057 = 1,4071,103 = 1,3311,105 = 1,6101,109 = 2,3581,203 = 1,7281,204 = 2,0731,205 = 2,4881,302 = 1,6901,303 = 2,1971,304 = 2,8561,305 = 3,7121. A taxa anual proporcional a 30% ao semestre é de:(A) 15%(B) 60%(C) 69%(D) 79,53%(E) 169%2. A taxa anual equivalente a 30% ao semestre é de:(A) 15%(B) 60%(C) 69%(D) 79,53%(E) 169%3. A taxa anual proporcional a 5% ao mês é de:(A) 15%(B) 60%(C) 69%(D) 79,53%(E) 169%4. A taxa anual equivalente a 5% ao mês é de:(A) 15%(B) 60%(C) 69%(D) 79,53%(E) 169%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 25
  29. 29. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br5. A taxa ao quadrimestre proporcional 15,7% ao ano é de aproximado:(A) 3,92%(B) 5%(C) 5,23%(D) 7%(E) 47,106. A taxa ao quadrimestre equivalente a 15,7% ao ano é de aproximado:(A) 3,92%(B) 5%(C) 5,23%(D) 7%(E) 47,107. A taxa de 107,3% ao ano equivale aproximadamente a(A) 20% ao quadrimestre(B) 20% ao trimestre(C) 15% ao trimestre(D) 15% ao quadrimestre(E) 25% ao trimestre8. A taxa de 180% ao ano equivale aproximadamente a uma taxa(A) Igual a 20% ao trimestre(B) Um pouco inferior a 20% ao trimestre(C) Igual a 30% ao trimestre(D) Igual a 30% ao quadrimestre(E) Um pouco inferior a 30% ao trimestre9. A taxa efetiva anual correspondente a 30% ao trimestre com capitalização mensal é aproximadamente de:(A) 120%(B) 155,40%(C) 185,6%(D) 213,8%(E) 285,6%10. A taxa efetiva ao trimestre correspondente a 53,65% ao semestre com capitalização ao ano é aproximadamente de:(A) 5%(B) 15%(C) 19%(D) 20%(E) 22%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 26
  30. 30. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br QUESTÕES FCC MÓDULO 2 1. (BB 2006 – MED) A taxa de inflação em um determinado país no ano de 2005 foi de 10%. Um investimento realizado neste mesmo período, neste país, que apresentou uma taxa real de juros negativa igual a –5%, foi efetuado a uma taxa de juros nominal igual a (A) 4% (B) 4,5% (C) 5% (D) 5,5% (E) 6% 2. (BB 2006 – MED) Um empréstimo foi liquidado através de pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de (A) 14,4% (B) 15,2% (C) 18,4% (D) 19% (E) 20% 3. (BB-DF 2006 – MED) A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: (A) i = 4 ⋅ [(1,12 )1/3 − 1] (B) i = 12 ⋅ [(1,12)1/4 − 1] (C) i = 12 ⋅ [(1,12)1/3 − 1] (D) i = (1,04 )12 − 1 (E) i = 12 ⋅ [(0,04) ÷ 3]www.acasadoconcurseiro.com.br Página 27
  31. 31. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 4. (BB-DF 2006 – MED) Um financiamento foi contratado, em uma determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem- se, então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de (A) 16% (B) 20% (C) 24% (D) 28% (E) 30% 5. (MPU 2007 - SUP) A taxa de um empréstimo tomado por 2 (dois) anos no Banco Esperança S.A. é de 36% a.a.. Considerando que o banco capitalizará a taxa bimestralmente, a taxa efetiva do contrato será de Dado: Considere somente até a quarta casa decimal (A) 51,2196% (B) 101,2196% (C) 151,5456% (D) 201,2196% (E) 251,5456% 6. (MPU 2007 – SUP) A taxa efetiva anual de uma aplicação financeira com taxa de juros de 36% a.a. capitalizada semestralmente e capitalizada mensalmente são, respectivamente, de Dado: Considere até a quarta casa decimal (A) 42,5760% e 39,2400% (B) 31,1458% e 33,2118% (C) 36,0000% e 26,2477% (D) 39,2400% e 42,5760% (E) 33,2118% e 31,1458% 7. (MPU 2007 – SUP) Antônio Tomador vai fazer empréstimo por 2 (dois) anos, tendo a opção de pagar juros mensais ou juros semestrais equivalentes. Considerando que o juro mensal é de 2%, o juro semestral equivalente é (A) 12,0000000%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 28
  32. 32. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br (B) 12,1626149% (C) 12,2616639% (D) 12,3966612% (E) 12,6162419% 8. (MPU 2007 – SUP) A taxa equivalente trimestral, para uma taxa de empréstimo mensal de 6,5%, é de (A) 20,794963% (B) 19,500000% (C) 2,166667% (D) 2,121347% (E) 1,166667% 9. (DNOCS 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: (A) (B) (C) (D) (E) 10. (COPERGÁS - 2011) Uma pessoa aplicou um capital no valor de R$ 15.000,00 a juros simples, por 6 meses, a uma taxa de 12% ao ano. O montante obtido nessa aplicação ela aplicou a juros compostos, durante 2 meses, à taxa de 1% ao mês. A soma dos juros correspondentes das duas aplicações é igual a (A) R$ 1.600,00. (B) R$ 1.538,23. (C) R$ 1.339,18. (D) R$ 1.219,59. (E) R$ 1.200,00.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 29
  33. 33. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES DE NIVELAMENTOQuestão 130% a.sem. = ? ao ano2 semestres em 1 anoTaxa proporcional: 30% x 2 = 60% ao anoRESPOSTA: Alternativa BQuestão 230% a.sem = ? ao ano2 semestres em 1 anoTaxa equivalente: 100% + 30%  100/100 + 30/100  1 + 0,3  1,3Como são 2 períodos, pelo conceito de taxas equivalentes, elevamos o fator ao número deperíodos. Assim:1,3² = 1,69Subtraindo o 100% adicionado no início do cálculo:100% = 100/100 = 1. Assim:1 – 1,69 = 0,690,69 = 69% ao anoRESPOSTA: Alternativa CQuestão 35% a.m. = ? ao ano12 meses em 1 anoTaxa proporcional: 5% x 12 = 60% ao anoRESPOSTA: Alternativa BQuestão 45% a.m. = ? ao ano12 meses em 1 anoTaxa equivalente:Calculando o fator: 100% + 5%  100/100 + 5/100  1 + 0,05  1,05Como são 12 períodos:1,05¹² =www.acasadoconcurseiro.com.br Página 30
  34. 34. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brConsultando a tabela, percebemos que não foi informado o valor da potência 12. Mas, pelapropriedade das potências:1,057 x 1,055 (na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamosos expoentes. 7+5 = 12). Substituindo os valores informados:1,407 x 1,276 = 1,7953Subtraindo 100% que foi somado no início dos cálculos:1 ,7953 – 1 = 0,7953= 79,53% ao anoRESPOSTA: Alternativa DQuestão 515,7% a.a. = ? ao quadrimestre3 quadrimestres em 1 anoTaxa proporcional: 15,7% / 3 = 5,233% ao quadrimestreRESPOSTA: Alternativa CQuestão 615,7% a.a. = ? ao quadrimestre3 quadrimestres em 1 anoTaxa equivalente: 100% + 15,7%  100/100 + 15,7/100  1 + 0,157  1,157Agora estamos fazendo o caminho inverso ao de costume, convertendo uma taxa de um períodomaior para um período menor. Ou seja:1,157¹/³ = ?Trabalhando a potência, temos que:1,157 = (1+i)³Ou seja, o fator de uma certa taxa aplicada por 3 períodos resultará no fator 1,157.Consultando a tabela, devemos procurar 1,157 do lado direito (qual é o valor que, elevado a 3, dácomo resposta 1,157).Valor encontrado: 1,05³ = 1,157Se1,157 = (1+i)³3 e1,157 = 1,05³,i = 5% ao quadrimestre, pois 1,05 – 1 = 0,05, ou 5%RESPOSTA: Alternativa BQuestão 7107,3% ao ano = ? ao trimestrewww.acasadoconcurseiro.com.br Página 31
  35. 35. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br4 trimestre em 1 anoTaxa equivalente: 100% + 107,3  100/100 + 107,3/100  1 + 1,073  2,073Precisamos consultar na tabela o valor que elevado a 4 dará como resposta 2,073 = 2,073Logo, i = 20% ao trimestre, pois 1,204 – 1 = 0,204, ou 20,4%.Apenas para comprovação, tentaremos encontrar uma taxa quadrimestral:107,3% ao ano = ? ao quadrimestre3 quadrimestres em 1 anoTaxa equivalente: 2,073¹/³Consultar na tabela o valor que elevado a 3 dará como resposta 2,073Não existe na tabela nenhum valor elevado a 3 que dará 2,073RESPOSTA: Alternativa BQuestão 8180% ao ano = ? ao trimestre ou quadrimestreTaxa equivalenteFator: 2,8Localizar na tabela 2,8O valor mais próximo de 2,8 na tabela é 2,856: = 2,8562,856 – 1 = 1,856, ou 185,6%Assim, interpretando a tabela: se 30% em um período é equivalente a 185,6% em 4 períodosmenores, a taxa que procuramos deverá ser um pouco inferior a 30% para ser equivalente a180% em 4 períodos menores. 1 ano possu 4 períodos de trimestre (1 ano = 4 trimestres)RESPOSTA: Alternativa EQuestão 9Taxa nominal x taxa efetiva30% ao trimestre / capitalização mensalPrimeiro passo: passar para taxa proporcional no período da capitalização3 meses em 1 trimestre30% / 3 = 10% ao mêsSegundo passo: passar para taxa equivalente ao ano12 meses em 1 ano1,1¹² =www.acasadoconcurseiro.com.br Página 32
  36. 36. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brA tabela não informa nenhum valor para potência 12, mas pela propriedade das potências que dizque, em multiplicações de potências de mesma base, conservamos a base e somamos osexpoentes, podemos chegar ao valor:1,331 x 2,358 = 3,1383,138 – 1 = 2,138, ou 213,8%Taxa ao ano: 213,8%RESPOSTA: Alternativa DQuestão 1053,65% ao semestre / ano2 semestres em 1 ano53,65% x 2 = 107,30% ao anoTaxa efetiva ao trimestre: (4 trimestres em 1 ano)Consultar a tabela. Qual é o valor elevado a 4 que dará 2,0731,20 – 1 = 0,20Ou seja, 20% ao trimestreRESPOSTA: Alternativa Dwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 33
  37. 37. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÕES QUESTÕES FCC MÓDULO 2Questão 1Coletando os dados do problema, temos:Inflação = 10%, ou seja: 0,10Taxa real de juros = -0,5%, ou seja: -0,05Taxa de juros nominal (taxa aparente): ?Utilizando a fórmula:1 + taxa aparente = 1+ taxa real1 + inflação1 + taxa aparente = 1- 0,051 + 0,11 + taxa aparente = 0,95 x 1,11 + taxa aparente = 1,045Taxa aparente = 1,045 – 1Taxa aparente = 0,045, ou seja: 4,5%RESPOSTA: Alternativa BQuestão 2Coletando os dados:Taxa aparente: 44%, ou 0,44Taxa de inflação: 25%, ou 0,25Taxa real: ?Utilizando a fórmula:1 + taxa aparente = 1+ taxa real1 + inflação1 + 0,44 = 1+ taxa real1 + 0,251,44/1,25 = 1 + taxa real1,152 = 1 + taxa real1,152 – 1 = taxa realTaxa real = 0,152, ou 15,2%www.acasadoconcurseiro.com.br Página 34
  38. 38. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brRESPOSTA: Alternativa BQuestão 3Foi informada a taxa efetiva de 12% ao trimestre. Como foi pedida a taxa nominal ao ano comcapitalização mensal:Primeiro passo: converter a taxa de 12% ao trimestre para uma taxa equivalente mensal (juroscompostos). Para isso, transformamos 12% em fator unitário: 100% + 12% = 100/100 + 12/100= 1 + 0,12 = 1,12.Como 1 trimestre = 3 meses, e estamos partindo de uma taxa em um período maior para umperíodo menor, aplicando a fórmula “Fator elevado à razão entre a quantidade de períodos quequeremos calcular e a quantidade de períodos que temos”, o cálculo a ser feito é: 1,12 1/3, pois 1 éo período que queremos (1 mês), e 3 é o período que temos (3 meses, ou 1 trimestre).Após realizar esse cálculo, encontraríamos um fator, que deveria ser subtraído de 1 paraencontrarmos a taxa ao mês. Além disso, para calcular a taxa nominal ao ano (taxa proporcional –juros simples), multiplicaríamos essa taxa por 12. Matematicamente, faríamos:(1,121/3 – 1) x 12 = taxa nominal ao ano com capitalização mensal.Organizando essa expressão conforme as alternativas, teríamos:i = 12 . [(1,12)1/3 - 1]RESPOSTA: Alternativa CQuestão 4Coletando os dados:Taxa aparente: 44%, ou 0,44Taxa real: 12,5%, ou 0,125Taxa de inflação = ?Utilizando a fórmula:1 + taxa aparente = 1+ taxa real1 + inflação1 + 0,44 = 1+ 0,1251 + inflação1,44 = 1,125 * 1+inflaçãowww.acasadoconcurseiro.com.br Página 35
  39. 39. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br1+inflação = 1,44/1,1251+inflação = 1,28Inflação = 1,28 – 1Inflação = 0,28, ou 28%RESPOSTA: ALTERNATIVA DQuestão 5Coletando os dados:Taxa nominal, pois foi dada em um período diferente da capitalização: 36% ao ano / bimestral.Primeiro passo: converter para taxa efetiva ao bimestre, utilizando o conceito de taxasproporcionais (juros simples). Como 1 ano possui 6 bimestres:36% / 6 = 6% ao bimestre.Segundo passo: converter a taxa de 6% ao bimestre para uma taxa bianual. Como 2 anospossuem 12 bimestres:Fator para um aumento de 6% = 1+0,06 = 1,06Aplicando a potência: 1,06¹² = 2,012196Subtraindo o 1 que foi adicionado à taxa de 6% para cálculo: 2,012196 – 1 = 1,012196, ou seja:101,2196%.RESPOSTA: ALTERNATIVA BQuestão 6Coletando os dados:Taxa nominal 1: 36% ao ano / semestralTaxa nominal 2: 36% ao ano / mensalCalculando a taxa efetiva para a primeira taxa:Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao semestre, utilizando o conceito de taxas proporcionais(juros simples). Como 1 ano possui 2 semestres:36% / 2 = 18% ao semestreSegundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes(juros compostos). Fator para 18% = 1+0,18=1,18. Como 1 ano possui 2 semestres:1,18² = 1,3924. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo:1,3924 – 1 = 0,3924, ou 39,24% ao anoNesse ponto, já poderíamos marcar a resposta certa, mas segue o cálculo da taxa efetiva para asegunda taxa:Primeiro passo: calcular a taxa efetiva ao mês, utilizando o conceito de taxas proporcionais (jurossimples). Como 1 ano possui 12 meses:36% / 12 = 3% ao mêsSegundo passo: calcular a taxa equivalente ao ano, utilizando o conceito de taxas equivalentes(juros compostos). Fator para 3% = 1+0,03=1,03. Como 1 ano possui 12 meses:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 36
  40. 40. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br1,03¹² = 1,42576. Subtraindo o 1 que foi adicionado anteriormente para o cálculo:1,42576 – 1 = 0,42576, ou 42,576% ao mês.RESPOSTA: ALTERNATIVA DQuestão 7Se os juros mensais são 2%, e 1 semestre possui 6 meses, precisamos elevar o fator de aumentopara 2% à potência 6.Fator: 100% + 2% = 100/100 + 2/100 = 1 + 0,02 = 1,021,02^6 = 1,126162419Subtraindo os 100% somados anteriormente à taxa de 2% para cálculo:1,126162419 – 1 = 0,126162419. Logo, a taxa de juros semestral é 12,6162419%RESPOSTA: Alternativa EQuestão 8Resolução 1: como calcularPara converter a taxa de 6,5% ao mês para uma taxa equivalente (juros compostos) trimestral,primeiro temos que transformar 6,5% em fator unitário:100% + 6,5% = 100/100 + 6,5/100 = 1 + 0,065 = 1,065Como 1 trimestre possui 3 meses, devemos elevar esse fator a 3:1,065³ = 1,207949625Subtraindo 1 desse fator (que é o 1 somado no início do cálculo):1,207949625 – 1 = 0,207949625. Logo, a taxa de juros trimestral é 20,7949625, sendo maispróxima da taxa informada na alternativa A (a diferença se dá por conta de arredondamentos).Resolução 2: como ganhar tempoO problema pede a taxa equivalente (juros compostos). Como os juros compostos são um poucomaiores que os juros simples, podemos calcular a taxa proporcional (juros simples), e com oraciocínio de que os juros compostos são um pouco maiores, chegamos à alternativa correta.6,5% x 3 = 19,5%Apenas a alternativa A traz uma taxa maior que 19,5%, sendo a única alternativa que satisfaz aoraciocínio exposto.RESPOSTA: Alternativa AQuestão 9Para esse problema, precisamos saber como transformar a taxa de 24% ao ano com capitalizaçãomensal em uma taxa para 18 meses.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 37
  41. 41. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brPrimeiro passo: como o problema informou uma taxa nominal, precisamos convertê-la para taxaefetiva. 1 ano = 12 meses. Assim: 24% / 12 = 2% ao mês.Segundo passo: transformar a taxa de 2% em fator unitário. 100% + 2% = 100/100 + 2/100 =1+0,02 = 1,02.Terceiro passo: como queremos a taxa de juros para toda a operação (18 meses), precisamoselevar o fator 1,02 à 18, e depois subtrair 1 do fator encontrado, que é o 1 somado no início docálculo. Matematicamente:[(1,02^18) – 1]RESPOSTA: Alternativa AQuestão 10Coletando os dados:Capital (C) = 15.000Prazo (t) = 6 mesesTaxa (i) = 12% a.a.Taxa 2 (i) = 1% a.m.Prato 2 (t) = 2 mesesPrecisamos “somar” as duas taxas.Primeira taxa (juros simples = taxas proporcionais): 12% / 2 (pois 6 meses = meio ano) = 6%Fator: 100% + 6% = 1,06Segunda taxa (juros compostos = taxas equivalentes): 100% + 1% = 1,01Fator para 2 meses: 1,01² = 1,0201Trabalhando com a taxa para acréscimos sucessivos:1,06 x 1,0201= 1,081306Taxa de juros total: 1,081306 – 1 = 0,081306.Calculando esses juros sobre 15.000:15.000 x 0,081306 = 1.219,59RESPOSTA: Alternativa Dwww.acasadoconcurseiro.com.br Página 38
  42. 42. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brMÓDULO 3. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO E DESCONTOS 3.1 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES X CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAComo vimos no tópico 1.1, a definição de capitalização é uma operação de adição dos juros aocapital.Bom, vamos adicionar estes juros ao capital de duas maneira, uma maneira simples e outracomposta e depois compararmos.Vamos analisar o exemplo abaixo:Exemplo 3.1.1 José realizou um empréstimo de antecipação de seu 13° salário no Banco doBrasil no valor de R$ 100,00 reais, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o valor pago porJosé se ele quitou o empréstimo após 5 meses, quando recebeu seu 13°?Valor dos juros que este empréstimo de José gerou em cada mês. Em juros simples, os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAMÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 110,00 + R$ 10,00 = R$ 120,00 3º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 120,00 + R$ 10,00 = R$ 130,00 4º 10% de R$ 100,10 = R$ 10,00 R$ 130,00 + R$ 10,00 = R$ 140,00 5º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 140,00 + R$ 10,00 = R$ 150,00 Em juros composto, os juros são cobrados sobre o saldo devedor (capital+ juros do período anterior) CAPITALIZAÇÃO COMPOSTAMÊS JUROS COBRADO SALDO DEVEDOR 1º 10% de R$ 100,00 = R$ 10,00 R$ 100,00 + R$ 10,00 = R$ 110,00 2º 10% de R$ 110,00 = R$ 11,00 R$ 110,00 + R$ 11,00 = R$ 121,00 3º 10% de R$ 121,00 = R$ 12,10 R$ 121,00 + R$ 12,10 = R$ 133,10 4º 10% de R$ 133,10 = R$ 13,31 R$ 133,10 + R$ 13,31 = R$ 146,41 5º 10% de R$ 146,41 = R$ 14,64 R$ 146,41 + R$ 14,64 = R$ 161,05www.acasadoconcurseiro.com.br Página 39
  43. 43. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brAssim notamos que o Sr. josé terá que pagar após 5 meses R$ 150,00 se o banco cobrar jurossimples ou R$ 161,05 se o banco cobrar juros compostos. GARÁFICO DO EXEMPLO 3.1.1 Note que o crescimento dos juros composto é mais rápido que os juros simples. 3.2 JUROS SIMPLESFÓRMULAS: CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J  C i t M  C  (1  i  t )OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + JurosOnde:J = JurosM = MontanteC = Capital (Valor Presente)i = Taxa de juros;t = Prazo.A maioria das questões relacionadas a juros simples podem ser resolvidas sem a necessidade deutilizar fórmula matemática.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 40
  44. 44. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br APLICANDO A FÓRMULAVamos ver um exemplo bem simples aplicando a fórmula para encontrarmos a soluçãoExemplo 3.2.1 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3meses e taxa de 2% ao mês. Qual o valor dos juros?Dados do problema:C = 100.000,00t = 3 mesesi = 2% ao mêsOBS: Cuide para ver se a taxa e o mês estão no mesmo período. Nesse exemplo, não temproblema para resolver, já que tanto a taxa quanto o prazo foram expressos em meses.J=CxixtJ = 100.000 x 0,02 (taxa unitária) x 3J = 6.000,00Resposta: Os juros cobrado serão de R$ 6.000,00 RESOLVENDO SEM A UTILIZAÇÃO DE FÓRMULAS:Vamos resolver o mesmo exemplo 3.2.1, mas agora sem utilizar fórmula, apenas o conceito detaxa de juros proporcional.Resolução:Sabemos que 6% ao trimestre é proporcional a 2% ao mês (ver tópico 2.1)Logo, os juros pagos serão de 6% de 100.000,00 = 6.000,00 PROBLEMAS COM A RELAÇÃO PRAZO X TAXAAgora veremos um exemplo em que a taxa e o prazo não são dados em uma mesma unidade,necessitando assim transformar um deles para dar continuidade à resolução da questão.Sempre que houver uma divergência de unidade entre taxa e prazo, é melhor alterar o prazo doque mudar a taxa de juros. Para uma questão de juros simples, esta escolha é indiferente, porémcaso o candidato se acostume a alterar a taxa de juros, irá encontrar dificuldades para responderas questões de juros compostos, pois estas as alterações de taxa de juros não são simples,proporcional, e sim equivalentes.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 41
  45. 45. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brExemplo 3.2.2 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, prazo de 3meses e taxa de 12% ao ano. Qual o valor dos juros?Dados:C = 100.000,00t = 3 mesesi = 12% ao anoVamos adaptar o prazo em relação a taxa. Como a taxa está expressa ao ano, vamos transformaro prazo em ano. Assim teremos:C = 100.000,00 3t = 3 meses = 12i = 12% ao anoAgora sim podemos aplicar a fórmulaJ=Cxixt 3J = 100.000 x 0,12 x 12J = 3.000,00 ENCONTRANDO A TAXA DE JUROSVamos ver como encontrar a taxa de juros de uma maneira mais prática. Primeiramente, vamosresolver pelo método tradicional, depois faremos mais direto.Exemplo 3.2.3 Considere um empréstimo, a juros simples, no valor de R$ 100 mil, sabendo queo valor do montante acumulado em após 1 semestre foi de 118.000,00. Qual a taxa de jurosmensal cobrada pelo banco.Como o exemplo pede a taxa de juros ao mês, é necessário transformar o prazo em mês. Nestecaso 1 semestre corresponde a 6 meses, assim:Dados:C = 100.000,00t = 6 mesesM = 118.000,00J = 18.000,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)Aplicando a fórmula teremos:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 42
  46. 46. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br18.000  100.000  6  i 18.000 18.000i   0, 03 100.000  6 600.000i  3% ao mêsAgora vamos resolver esta questão sem a utilização de fórmula, de uma maneira bem simples.Para saber o valor dos juros acumulados no período, basta dividirmos o montante pelo capital: 118.000juros acumulado =  1,18 100.000Agora subtrairmos o valor do capital da taxa de juros (1 = 100%) e encontramos:1,18 – 1 = 0,18 = 18%18% é os juros do período, um semestre, para encontrar os juros mensal, basta calcular a taxaproporcional e assim encontrar 3 % ao mês. ESTÁ FALTANDO DADOS?Alguns exercícios parecem não informar dados suficientes para resolução do problema. Coisas dotipo: O capital dobrou, triplicou, o dobro do tempo a metade do tempo, o triplo da taxa e etc.Vamos ver como resolver esse tipo de problemas, mas em geral é bem simples: basta atribuirmosum valor para o dado que está faltando.Exemplo 3.2.4 Um cliente aplicou uma certa quantia em um fundo de investimento em ações.Após 8 meses, resgatou todo o valor investido e percebeu que a sua aplicação inicial dobrou. Quala rentabilidade média ao mês que este fundo rendeu?Para quem vai resolver com fórmula, a sugestão é dar um valor para o capital e assim teremosum montante, que será o dobro desse valor. Para facilitar o cálculo, vamos utilizar um capital iguala R$ 100,00, mas poderia ser utilizado qualquer outro valor.Dados:C = 100,00t = 8 mesesM = 200,00 (o dobro)J = 100,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)Substituindo na fórmula teremoswww.acasadoconcurseiro.com.br Página 43
  47. 47. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br100  100  8  i 100 100i   0,125 100  8 800i  12,5% ao mês COMO RESOLVERExemplo 3.2.5 A que taxa de juros simples, em porcento ao ano, deve-se emprestar R$ 2 mil,para que no fim de cinco anos esse duplique de valor?Dados:C = 2.000,00t = 5 anosM = 4.00,00 (o dobro)J = 2.00,00 (Lembre-se que os juros é a diferença entre o Montante e o Capital)i = ?? a.aSubstituindo na fórmula teremos2.000  2.000  5  i 2.000 2.000i   0, 2 2.000  5 10.000i  20% ao anoExemplo 3.2.5 Considere o empréstimo de R$ 5 mil, no regime de juros simples, taxa de 2% aomês e prazo de 1 ano e meio. Qual o total de juros pagos nesta operação?Dados:C = 5.000,00i = 2 % ao mêst = 1,5 anos = 18 mesesJ = ???Substituindo na fórmula teremosJ  5.000 18  0, 02J  1.800,00www.acasadoconcurseiro.com.br Página 44
  48. 48. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br AGORA É A SUA VEZ:QUESTÃO 3.2.1 Que juros a importância de R$ 5.700,00 produzirá, aplicada durante novemeses, à taxa de juros simples de 24% ao semestre?QUESTÃO 3.2.2 Determine a taxa mensal de juros simples que faz com que um capital aumente40 % ao fim de três anos.Resolução questão 3.2.1Coletando os dados do problema, temos:Capital (C) = 5.700Tempo (t) = 9 mesesJuros simples (i) = 24% ao semestreComo o problema informou a taxa ao semestre e precisamos de uma taxa para 9 meses,precisamos primeiramente trabalhar com essa taxa. Como são juros simples:1 semestre = 6 meses. Assim, basta dividir a taxa de 24% por 6, e teremos a taxa mensal.24% / 6 = 4% ao mês, ou 0,04.A partir daqui, teremos duas formas de resolver o problema.Resolução 1: utilizando a fórmula de juros simplesPodemos aplicar a fórmula: J = C x i x t. Substituindo os valores, teremos:J = 5.700 x 0,04 x 9J = 2.052,00www.acasadoconcurseiro.com.br Página 45
  49. 49. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brResolução 2: raciocinando sem o uso de fórmulasJá sabemos que a taxa de juros ao mês será de 4%, e que no regime de juros simples, nos 9meses teremos uma taxa de 0,04 x 9 = 0,36, ou 36%. Como os juros serão de 36% sobre o valoraplicado, multiplicamos esse valor pelo capital:5.700 x 0,36 = 2.052Observe que nos dois problemas, procedemos exatamente ao mesmo cálculo, mas no segundocaso, usamos o entendimento de taxas, dispensando assim a “decoreba” de fórmulas.Resolução questão 3.2.2O problema informou uma taxa de juros de 40% para um período de 3 anos. Assim, para saber ataxa mensal de juros no regime de juros simples, só precisamos dividir esses 40% (ou 0,40) pelaquantidade de meses existentes no período de 3 anos, que são 36 meses. Assim:40% / 36 = 0,40 / 36 = 0,01111...Assim, temos a taxa de juros mensais de 1,11% 3.3 JUROS COMPOSTOSFÓRMULAS: CALCULO DOS JUROS CALCULO DO MONTANTE J  M C M  C  (1  i)tOBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Montante é igual ao Capital + JurosOnde:J = JurosM = MontanteC = Capital (Valor Presente)i = Taxa de juros;t = Prazo.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 46
  50. 50. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE JUROS COMPOSTOSComo notamos na fórmula de juros composto, a grande diferença para juros simples é que oprazo (variável t ) é uma potência da taxa de juros, e não um fator multiplicativo.Assim, poderemos encontrar algumas dificuldades para resolver questões de juros compostos emprovas de concurso público, onde não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos quepoderiam facilitarem estes cálculos.Por esse motivo, juros compostos pode ser cobrado de 3 maneiras nas provas de concursopúblico. 1. Questões que necessitam da utilização de tabela. 2. Questões que são resolvidas com substituição de dados fornecidos na própria questão. 3. Questões que possibilitam a resolução sem a necessidade de substituição de valores.Vamos ver um exemplo de cada um dos modelos. JUROS COMPOSTOS COM A UTILIZAÇÃO DE TABELAEsse método de cobrança de questões de matemática financeira já foi muito utilizado emconcurso público. Porém, hoje são raras as provas que fornecem tabela para cálculo de juroscompostos Vamos ver um exemplo.Exemplo 3.3.1 Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?Dados do problema:C = 100.000,00t = 8 mesesi = 10% ao mêsM  C  (1  i )tM  100.000  (1  0,10)8M  100.000  (1,10)8O problema está em calcular 1,10 elevado a 8. Sem a utilização de calculadora fica complicado. Asolução é olhar em uma tabela fornecida na prova em anexo, algo semelhante à tabela abaixo.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 47
  51. 51. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brVamos localizar o fator de capitalização para uma taxa de 10% e um prazo igual a 8. (1+i)t TAXA 5% 10% 15% 20% 1 1,050 1,100 1,150 1,200 2 1,103 1,210 1,323 1,440 3 1,158 1,331 1,521 1,728 PRAZO 4 1,216 1,464 1,749 2,074 5 1,276 1,611 2,011 2,488 6 1,340 1,772 2,313 2,986 7 1,407 1,949 2,660 3,583 8 1,477 2,144 3,059 4,300 9 1,551 2,358 3,518 5,160 10 1,629 2,594 4,046 6,192Consultando a tabela encontramos que (1,10)8 = 2,144Substituindo na nossa fórmula temos:M  100.000  (1,10)8M  100.000  2,144M  214.400, 00O valor do montante nesse caso será de R$ 214.400,00 JUROS COMPOSTOS COM A SUBSTITUIÇÃO DE VALORESMais simples que substituir tabela, algumas questões disponibilizam o resultado da potência nopróprio texto da questão, conforme abaixo.Exemplo 3.3.2 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? Considere (1,10)8 = 2,144Assim fica até mais fácil, pois basta substituir na fórmula e encontrar o resultado, conforme oexemplo anterior. JUROS COMPOSTOS SEM SUBSTITUIÇÃO A maioria das provas de matemática financeira para concurso público busca avaliar a habilidadedo candidato em entender matemática financeira, e não se ele sabe fazer contas de multiplicação.Assim, as questões de matemática financeira poderão ser resolvidas sem a necessidade de efetuarcontas muito complexas, conforme abaixo.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 48
  52. 52. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brExemplo 3.3.3 Considere um empréstimo, a juros composto, no valor de R$ 100 mil, prazo de 2meses e taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante?Dados do problema:C = 100.000,00t = 2 mesesi = 10% ao mêsM  C  (1  i )tM  100.000  (1  0,10) 2M  100.000  (1,10) 2M  100.000 1, 21M  121.000, 00Resposta: O valor do montante será de R$ 121.000,00 COMO RESOLVERExemplo 3.3.4 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 2.000,00 feita por 2 anos a umataxa de juros compostos de 20 % ao ano?Dados do problema:C = 2.000,00t = 2 anosi = 10% ao anoM = ???M  C  (1  i )tM  2.000  (1  0, 20) 2M  2.000  (1, 20) 2M  2.000 1, 44M  2.880, 00Exemplo 3.3.5 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000,00 feita por 1 anos a umataxa de juros compostos de 10 % ao semestre?Dados:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 49
  53. 53. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brC = 5.000,00t = 1 ano ou 2 semestresi = 10% ao anoM  C  (1  i )tM  5.000  (1  0,10) 2M  5.000  (1,10) 2M  5.000 1, 21M  6.050, 00Como a questão quer saber qual os juros, temos:J  M CJ  6.050  5.000J  1.050, 00Assim, os juros serão de R$ 1.050,00Exemplo 3.3.6 Uma aplicação de R$ 10.000,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2meses em R$ 11.025,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos). Qual foi a taxa dejuros mensais que este fundo remunerou ao investidor?Dados:C = 10.000,00t = 2 mesesM = 11.025,00i = ??? ao mêsM  C  (1  i )t11.025  10.000  (1  i) 2 11.025(1  i ) 2  10.000www.acasadoconcurseiro.com.br Página 50
  54. 54. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br 11.025 (1  i ) 2  10.000 105(1  i )  100i  1, 05  1  0, 05i  5% ao mês AGORA É A SUA VEZQUESTÃO 3.3.1 Qual o montante obtido de uma aplicação de R$ 10.000,00 feita por 1 anos auma taxa de juros compostos de 20 % ao ano com capitalização semestral?QUESTÃO 3.3.2 Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 20.000,00 feita por 2 meses a umataxa de juros compostos de 20 % ao mês?Questão 3.3.3 Uma aplicação de R$ 100,00 em um Fundo de ações, foi resgatada após 2 mesesem R$ 144,00 (desconsiderando despesas com encargos e tributos), qual foi a taxa de jurosmensal que este fundo remunerou o investidor?www.acasadoconcurseiro.com.br Página 51
  55. 55. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brResolução questão 3.3.1Coletando os dados, temos:Montante (M) = ?Capital (C) = 10.000Tempo (t) = 1 ano (ou 2 semestres)Juros compostos (i) = 20% ao ano / semestralAntes de resolver o problema, observe que a taxa de juros informada é uma taxa nominal, pois operíodo de capitalização está diferente do período da taxa. Assim, precisamos converter essa taxapara taxa efetiva. Para esse cálculo, usamos o conceito de taxas proporcionais (juros simples):20% / 2 = 10% ao semestre (dividimos por 2 porque 1 ano = 2 semestres).Agora que temos a taxa efetiva, observe que o período informado no problema foi de 1 ano. Mas,devido à taxa semestral, será melhor trabalhar com 2 semestres como prazo ao invés de 1 ano.Nesse ponto, podemos escolher entre duas formas de cálculo:Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostosPodemos aplicar a fórmula M = C (1+i)^t. Substituindo na fórmula, teríamos:M = 10.000 (1+0,1)²M = 10.000 (1,01)²M = 10.000 x 1,21M = 12.100Resolução 2: utilizando o raciocínio de cálculo de taxas equivalentesApós descobrir a taxa de 10% ao semestre, como o período total do problema é de 1 ano (quepossui 2 semestres), precisaríamos calcular a taxa anual, utilizando o conceito de taxasequivalentes (juros compostos):Primeiro, somamos 100% à taxa, para depois aplicar a potência.100% + 10% = 100/100 + 10/100 = 1+0,1 = 1,10.Como queremos calcular a taxa para 2 semestres:1,10² = 1,21.Agora que temos o fator de aumento para a taxa de 21% ao ano (que é equivalente à taxa de10% ao semestre), basta multiplicar o capital por ela, e teremos o montante. Isso porque:M=CxFM = 10.000 x 1,21M = 12.100www.acasadoconcurseiro.com.br Página 52
  56. 56. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brObserve que em ambos os casos, procedemos exatamente aos mesmos cálculos. A diferença éque, se no primeiro caso temos que lembrar a parte da fórmula (1+i)^t, no segundo caso,usamos o raciocínio para esse cálculo, encontrando o fator de aumento. Note que, quandocalculamos o fator, fizemos exatamente o mesmo cálculo (1+i)^t, com a vantagem de nãoprecisarmos decorar fórmulas, mas sim entender o processo.Resolução questão 3.3.2.Coletando os dados do problema:Juros (j) = ?Capital (C) = 20.000Tempo (t) = 2 mesesTaxa de juros = 20% ao mês, ou 0,20Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostos.Dada a fórmula J = C x [(1+i)^t] - 1, substituímos os valores:J = 20.000 x [(1 + 0,20)²] - 1J = 20.000 x [(1,20)²] – 1J = 20.000 x (1,44 – 1)J = 20.000 x 0,44J = 8.800Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentes.Se trabalharmos a taxa, podemos calcular os juros sem o uso de fórmulas.Foi dada a taxa de 20% ao mês e o período de 2 meses. Precisamos calcular a taxa de jurosbimestral. Para isso, utilizamos o conceito de taxas equivalentes (juros compostos). Somaremos 1(100%) à taxa de 20% (0,20) e depois aplicaremos a potência 2 (pois a taxa é mensal e o períodoé de 2 meses). Observe que é exatamente isso que fazemos com a fórmula, pois a fórmula resultaem [(1+0,20)²] – 1. Assim:1,2 ² - 1 = 1,44 – 1 = 0,44.Agora que sabemos que os juros são de 0,44 (ou 44% ao bimestre), basta multiplicar o capitalpor essa taxa para sabermos os juros da aplicação. Observe que é exatamente isso que fazemosquando utilizamos a fórmula, com a vantagem de que, nesse segundo caso, não precisamosdecorar fórmulas, e sim entender o processo.20.000 x 0,44 = 8.800.Resolução questão 3.3.3Coletando os dados:www.acasadoconcurseiro.com.br Página 53
  57. 57. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brCapital (C) = 100Tempo (t) = 2 mesesMontante (M) = 144Resolução 1: utilizando a fórmula de juros compostosUsando a fórmula M = C (1+i)^t, temos:144 = 100 (1+i)²144/100 = (1+i)²1,44 = (1+i)² = 1+i1,2 = 1+i1,2 – 1 = ii = 0,2, ou 20% ao mês.Resolução 2: utilizando o raciocínio de taxas equivalentesPodemos trabalhar a relação M = C x F para F = M/C. Assim, para saber o fator de aumento deuma aplicação, basta dividir o montante pelo capital, como fizemos no primeiro caso com o uso dafórmula de juros compostos.F = 144/100F = 1,44De posse desse valor, sabemos que a taxa de juros para o período completo (2 meses) é de 1,44– 1 = 0,44, ou 44%. Para descobrir a taxa de juros ao mês, utilizamos o conceito de taxasequivalentes, mas agora estaremos convertendo uma taxa de um período maior para um períodomenor. Portanto, ao invés de elevar ao quadrado 1,44, teremos que extrair sua raiz. Isso porque aforma de calcular esse tipo de taxa é: (essa fração pode ser transformada em uma raiz)1,2.Subtraindo o 1 (equivalente aos 100% somados à taxa para cálculo), chegamos à taxa de 20% aomês. 3.4 DESCONTO SIMPLESSe em Juros simples a ideia era incorporar juros, em desconto simples o objetivo é tirar juros,conceder desconto nada mais é do que trazer para valor presente um pagamento futuro.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 54
  58. 58. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brComparando juros simples com desconto simples, teremos algumas alterações nas nomenclaturasdas nossas variáveis.O capital em juros simples (valor presente) é chamado de valor atual ou valor líquido emdesconto simples.O montante em juros simples (valor futuro) é chamado de valor nominal ou valor de face emdesconto simples. DESCONTO RACIONAL X DESCONTO COMERCIALExistem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o descontocomercial e o desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, naprática, usa-se sempre o desconto comercial, mas algumas provas de concurso público costumamexigir os dois tipos de descontos. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Mais comum e mais utilizado Também conhecido como desconto bancário Outra termologia adotada é a de “desconto por fora” O desconto é calculado sobre o valor nominal do titulo (valor de face ou valor futuro)FÓRMULAS: CALCULO DO VALOR DO CALCULO DO VALOR ATUAL DESCONTO Dc  N  id  t A  N  (1  id  t )OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor AtualOnde:DC = Desconto ComercialA = Valor Atual ou Valor LiquidoN = Valor Nominal ou Valor de Faceid = Taxa de desconto;t = Prazo.www.acasadoconcurseiro.com.br Página 55
  59. 59. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.brDica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que, como o descontocomercial é calculado sobre o Valor Nominal (valor futuro) do título, a fórmula é muito parecidacom a fórmula de juros simples, apenas substituindo Juros por Dc e Capital por N. Comparando asduas fórmulas:Dc = N x i x t  J = C x i x tSó precisamos tomar o cuidado de que, no desconto comercial, o desconto é calculado sobre ovalor Nominal (valor futuro), então na fórmula, ao invés do valor atual (que seria equivalente aocapital), teríamos o valor futuro (que seria equivalente ao montante).Já para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que noregime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depoisadicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos ofator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos afórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, trocaríamos de lugar ovalor futuro (montante) e o valor atual (capital) de lugar, e mudaríamos o sinal da soma parasubtração, chegando à fórmula C = M (1 – i x t), e finalmente a fórmula exata A = M (1 – i x t).Exemplo 3.4.1 Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o descontocomercial simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da datade vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.mDados:N = 10.000,00t = 3 mesesid = 5% ao mêsDc  N  id  tDc  10.000  0, 05  3J  1.500,00Agora vamos calcular o Valor Atual, que é o Valor Nominal subtraído dos descontos.A  10.000  1.500A  8.500,00 DESCONTO RACIONAL SIMPLES Pouco utilizado no dia a dia, porém é cobrado em provas de concurso públicowww.acasadoconcurseiro.com.br Página 56
  60. 60. MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Edgar Abreu edgarabreu@edgarabreu.com.br Também conhecido como desconto verdadeiro Outra termologia adotada é a de “desconto por dentro” O desconto é calculado sobre o valor atual do titulo (valor de líquido ou valor presente) Como o desconto racional é cobrado sobre o valor atual, este valor será sempre menor que o valor do desconto comercial, que é cobrado sobre o valor nominal do título.FÓRMULAS: CALCULO DO VALOR DO CALCULO DO VALOR ATUAL DESCONTO Dr  A  id  t N A (1  id  t )OBSERVAÇÃO: Lembre-se que o Desconto é igual ao Valor Nominal – Valor AtualOnde:Dr = Desconto RacionalA = Valor Atual ou Valor LiquidoN = Valor Nominal ou Valor de Faceid = Taxa de desconto;t = Prazo.Dica para memorizar a fórmula: para facilitar a memorização, observe que o desconto racionalé calculado sobre o valor atual. Assim, a fórmula se comporta exatamente como a fórmula dejuros simples. Só precisamos substituir a nomenclatura, substituindo Capital por Valor Atual,Montante por Valor Nominal e juros por Desconto Racional. Comparando as duas fórmulas:Dr = A x i x t  J = C x i x tJá para a segunda fórmula, podemos associá-la com a relação M = C x F, lembrando que noregime de juros simples, o fator será calculado multiplicando a taxa pelo prazo, e depoisadicionando 1. Exemplificando, para uma taxa de 20% ao mês, aplicada em 2 meses, teríamos ofator 0,2 x 2 = 0,4. Somando 1, o fator seria 1,4. Matematicamente, o que fizemos foi 1+i x t(lembrando da ordem de resolução, pois efetua-se a multiplicação primeiro). Assim, teríamos afórmula M = C x (1+i x t). Para a fórmula utilizada no desconto comercial, precisamos apenassubstituir a nomenclatura. Comparando as duas fórmulas:M = C (1+i x t) N = A (1+i x t)Passando os dados entre parênteses para o outro lado da igualdade, temos então: NA (1  id  t )www.acasadoconcurseiro.com.br Página 57

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