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Matemática Comercial e Financeira
5ª Lista de Exercícios – Desconto Simples
1) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Resposta: R$ 1.190,48
2) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? Resposta: R$ 1.250,00
3) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90
dias, à taxa de 2,5% ao mês? Resposta: R$ 225,00
4) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é
de R$ 1.000,00 e o valor líquido de R$ 880,00? Resposta: 3% am
5) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à
taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa?
Prazo
Borderô de Cobrança Valor (R$) (vencimento)
A 2.500 25 dias
B 3.500 25 dias
C 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.770,00
6) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o
borderô a seguir:
A) 6.000 15 dias
B) 3.500 25 dias
C) 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.768,00
7) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um
banco à taxa 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.
Resposta: R$ 29.408,00
8) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00,
que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. Resposta: 92 dias
9) Se você depositar hoje R$ 2.000,00 numa aplicação que rende 1,5% ao mês no regime de juros
simples, qual será o saldo da sua aplicação ao final de 2 anos.
10) Um investidor aplicou uma determinada quantia numa instituição financeira pelo prazo de 180
dias e recebeu o montante de R$ 5.896,00. Sabendo-se que a instituição remunera suas
aplicações numa taxa mensal simples de 1,2% a.m., determine o valor da quantia inicial
aplicada.
11) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.700,00 no
prazo de 36 meses. Determine qual a taxa mensal de juros simples relativa à operação.
12) Um investidor deseja aplicar uma quantia de R$ 12.000,00 a uma taxa mensal simples de 1,8%
a.m. Depois de quanto tempo o investidor terá acumulado um montante de R$ 13.944,00?
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13) Qual é o valor de face de um título comprado por R$ 15.000,00, com prazo de 5 meses à taxa de
4% ao mês?
14) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 180.000,00 com valor de face de R$
360.000,00 e prazo de 4 anos, determinar a taxa de juros mensal simples desse título.
15) Determine o valor de compra de um título que possui um valor de face de R$ 292.800,00 com 2
anos de prazo à uma taxa de 6% a.m.
16) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 700.000,00 com valor de face de R$
896.000,00 e taxa simples de 8% ao ano, determinar o prazo desse título.
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Revisão de Descontos Simples – Exercícios Resolvidos
01) (Analista de Comércio Exterior - ESAF/1998) O desconto simples racional de um título
descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor
do desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial.
a) R$ 43,20 b) R$ 676,80 c) R$ 720,00 d) R$ 763,20 e) R$ 12.000,00
Todos já sabemos que o desconto comercial representa o montante quando tomado como capital o
desconto racional.
Assim, a fórmula a ser empregada, para o cálculo direto, é a seguinte:
Dc = Dr(1+in)
Dc = 720,00 x (1 + 0,02 x 3)
Dc = 720,00 x 1,06
Dc = 763,20
Assim, a resposta correta é a representada pela letra “d”.
Preste muita atenção nesta questão, pois algo parecido poderá aparecer no próximo concurso!!!
02) (AFTN ESAF/1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a. m.). O
valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições
contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento, será efetuado em duas parcelas. A primeira
parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a
Segunda parcela no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-
primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é:
a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00
Perceba que o total dos pagamentos a ser efetuado é de $ 1.400,00. O pagamento do final do 4º
mês é de 70% desse valor, logo esse pagamento será de $ 980,00. O pagamento do mês 11 será de
30% do total, isto é $ 420,00. Considerando, ainda, que o financiamento está sujeito a uma taxa de
juros de 10% ao mês, teremos o seguinte esquema:
Para obter o Va, devemos calcular o Va dos dois títulos, considerando o desconto racional, visto que
se está afirmando que a taxa envolvida é de juros simples. Assim, teremos:
Va = [980,00 / (1 + 0,1 x 4)] + [420 / (1 + 0,1 x 11)]
Va = [980 / 1,4] + [420 / 2,2]
Va = 700,00 + 200,00
Va = $ 900,00
Logo a alternativa correta está representado pela letra “b”.
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03) (BB/CENTRO-OESTE/99) Uma LTN, cujo prazo a decorrer até o seu vencimento é de 36 dias, está
sendo negociada com uma rentabilidade efetiva linear de 24% ao ano. A taxa de desconto anual
embutida é de:
a) 23,44% b) 23,46% c) 23,48% d) 23,50% e) 23,52%
A taxa de 24% ao ano é a própria taxa efetiva. O detalhe dessa questão é que o “n” é 0,1 ano e com
isso é só aplicar a fórmula do cálculo da taxa efetiva e obteremos a taxa de desconto comercial
embutida na operação. Assim:
ief =
idc
1 - idc x n
0,24 =
idc
1 - idc x 0,1
0,24 x (1 – idc x 0,1) = idc
0,24 – 0,024 idc = idc
0,24 = 1,024 idc
idc = 0,24 / 1,024
idc = 0,234375, isto é, aproximadamente 23,44% ao ano.
Logo, a alternativa correta é da letra “a”.
04) (AFTN/ESAF/1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence
em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal
(simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo
médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do
vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, você receberá líquidos, hoje, $
105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é:
a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d)4,8% e) 5,4%
O valor nominal da duplicata é de R$ 150,00.
Perceba que foi informado haver uma retenção de 15% desse valor, o que representa R$ 22,50.
Como o líquido recebido, que não é o valor atual, é de R$ 105,00, por diferença chegamos a
conclusão que o valor do desconto foi de R$ 22,50.
Agora é só aplicar a fórmula do desconto comercial e acharemos a taxa de desconto implicada na
operação.
Dc = Nin
22,50 = 150 x i x 3
22,50 = 450 I
i = 22,50 / 450
i = 0,05, isto é 5% ao período!
Logo a alternativa correta é a letra “a”.
05) (AFTN/ESAF/1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu
vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no
caso de um desconto racional simples.
a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00
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Novamente, considerando o desconto comercial sendo o montante quando o desconto racional for
considerado o capital, teremos:
Dc = Dr (1 + i n)
600,00 = Dr ( 1 + 0,05 x 4)
600,00 = 1,2 Dr
Dr = 600 / 1,2
Dr = R$ 500,00
Logo a alternativa correta é a letra “c”.
06) (AF-CE/ESAF/1998) Qual o valor hoje de um título de valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao
fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial?
a) R$ 19.200,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 20.400,00 d) R$ 21.000,00 e) R$ 21.600,00
O exercício versa sobre valor atual comercial. Estamos nos lembrando da fórmula?
O valor atual comercial é calculado pela fórmula:
Vac = N (1 – in)
Como a taxa é de 40% ao ano e o período de antecipação é de 6 meses, isto é, 0,5 ano e, ainda,
considerando que o valor nominal é de R$ 24.000,00, teremos:
Vac = 24.000 x (1 – 0,2 x 0,5)
Vac = 24.000 x 0,9
Vac = 21.600,00
Logo, a resposta correta é a letra “e”.
07) (FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às diferentes maneiras com que
uma nota promissória pode ser descontada.
 Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre
menor que o valor atual segundo o desconto racional.
 O desconto bancário nada mais é do que o desconto comercial acrescido de uma taxa a titulo
de despesas bancárias.
 No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.
 A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida
que a data de desconto aproxima-se da data do vencimento.
 Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos — é
descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto
bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga
pelo cliente é superior a 24% a.a.
Item 1:
Vocês já devem Ter visto por aí que a fórmula do desconto comercial é algo parecido como:
Dc = Nin
Onde: Dc = Desconto Comercial
N = Valor Nominal
i = taxa de desconto comercial (unitária)
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n = número de períodos de antecipação.
Também não deve ser novidade que o desconto racional pode ser calculado pela aplicação da
seguinte fórmula:
Dr =
Nin
(1 + in)
Dessas duas fórmulas podemos extrair diversas conclusões:
1ª) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional;
2ª) O desconto comercial representa o montante, tomado como capital o desconto racional. Faço
essa afirmativa tendo em mente que Nin é o desconto comercial e se substituirmos Nin por Dc
na fórmula do Dr, teremos:
Dr =
Dc
Dc = Dr (1 + in)
(1 + in)
3ª) Qualquer desconto (comercial ou racional) é sempre o valor nominal menos o valor atual:
D = N – Va Va = N - D
Conforme afirmamos, o desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional. Então, o
valor atual comercial (Vac) é sempre menor do que o valor atual racional (Var);
4ª) No desconto racional as fórmulas a serem empregadas são semelhantes às fórmulas do juro e
do montante, tomando-se, para tanto, no lugar do capital o valor atual e no lugar do montante
o valor nominal.
Por isso o desconto racional é, também, chamado de desconto “Por Dentro”, pois com a aplicação da
mesma taxa, por igual período do desconto sobre o valor atual, tornaremos a obter o valor
nominal (montante);
5ª) O desconto comercial representa os “juros” sobre o valor nominal (montante), isto é, o seu
cálculo é feito por fora, sobre o valor nominal
De tudo o que aqui se disse, a relação existente entre o desconto comercial e o desconto racional,
seja talvez a de maior importância, pois costuma ser freqüentemente questionada em concursos,
principalmente nos elaborados pela ESAF e pelo CESPE. Por isso, repito a relação:
Dc = Dr x (1 + in)
O item está CERTO.
Item 2:
O desconto bancário é o próprio desconto comercial, acrescido de taxas. A razão é
óbvia, pois nessa modalidade de desconto o valor do desconto é maior do que no
desconto racional.
O item está CERTO.
Item 3:.
A taxa implícita é aquela taxa necessária para elevar o Valor Atual ao Valor Nominal em igual
período adotado para o desconto, ou seja, é a taxa efetiva da operação.
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Exemplificando:
Se atribuirmos ao valor nominal o correspondente a R$ 1.000,00, com taxa de desconto comercial
de 10% ao período e quisermos saber o desconto comercial que esse título sofrerá três meses antes
do vencimento, teremos:
N = 1.000,00
i = 10% ou 0,10
n = 3 períodos
Dc = ?
Dc = Nin
Dc = 1.000,00 x 0,10 x 3
Dc = R$ 300,00
Vac = 1.000,00 – 300,00 = R$ 700,00
Para elevar R$ 700,00 (Va) a R$ 1.000,00 (N), qual a taxa que deve ser aplicada?
N = Va x (1 + in)
1.000,00 = 700,00 (1 + 3i)
1.000,00 = 700,00 + 2.100,00 i
1.000,00 – 700,00 = 2.100,00 i
2.100,00 i = 300,00
i = 300,00 ÷ 2.100,00
i = 0,1428, isto é, 14,28% ao período.
É de se notar que a taxa implícita (efetiva) supera largamente a taxa da operação.
O cálculo da taxa efetiva ou implícita pode ser obtida, também, pela aplicação da
seguinte fórmula:
ief
=
idc
(1 – idc x n)
Onde: ief = taxa efetiva
idc = taxa de desconto comercial
n = número de períodos de antecipação
Salienta-se, ainda, que quanto maior for o número de períodos de antecipação (n),
maior será a diferença entre a taxa da operação e a taxa efetiva.
Se usarmos o exemplo anterior e trocarmos o período de antecipação para somente um
período (n = 1), obteremos a seguinte taxa efetiva:
ief =
0,10
=
0,1
0
= 0,1111 ou 11,11%
(1 – 0,10 x
3)
0,9
Comparando os dois resultados, comprova-se o antes afirmado: A taxa efetiva é tanto
maior quanto maior for o período de antecipação do desconto.
O item está ERRADO.
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Item 4:
Podemos aplicar o raciocínio desenvolvido no item anterior, relativamente à taxa
efetiva.
Também podemos utilizar a relação existente entre o desconto comercial e o desconto
racional, pois mudando apenas o “n”, a diferença entre as duas modalidades de
desconto aumenta à medida que nos afastamos do prazo de vencimento.
Ressalte-se que o “n” diminui à medida que nos aproximamos da data do vencimento.
O item está ERRADO.
Item 5:
Dc = Nin
Dc = 1.000,00 x 0,18 x 2
Dc – 360,00
Va = N – D
Va = 1.000,00 – 360,00
Va = R$ 640,00
Para elevar o valor de R$ 640,00 a R$ 1.000,00, em dois anos, é necessário que se
utilize uma taxa de 25% ao ano no regime de juros compostos.
M = 1.000
C = 640
n = 2
i = ?
1.000 = 640 (1 + i)2
(1 + i)2
= 1.000 ÷ 640
(1 + i) = (1,5625)1/2
1 + i = 1,25
i = 0,25, isto é, 25%
O item está CERTO.
08) (FISCAL-SC/1998) O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes
de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no
valor de R$ 225,00, vale:
a) R$ 100.000,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 30.000,00
O desconto simples por fora é o próprio desconto comercial.
A taxa de desconto é de 6% ao ano, o que eqüivale a 0,5% ao mês. O prazo de antecipação é de
4,5 meses.
A fórmula para calcular o desconto comercial é:
Dc = Nin
Assim, substituindo as variáveis na fórmula teremos:
225,00 = N x 0,005 x 4,5
0,0225 N = 225
N = 225 / 0,0225
N = R$ 10.00,00
Logo a resposta correta é a letra “B”.
8
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09) (AFRF-2000/2001 – ESAF) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses
antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples
correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00
Alguém duvida que uma questão do tipo desta pode ser cobrada no próximo concurso?!!
Vocês já estão devidamente instruídos para resolver esta e outras questões deste tipo. O gabarito
esta representado pela letra “a”.
10) (Bacen-2001) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes
do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto
racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês.
a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00
Não posso subestimar a inteligência de vocês, por isso nessa só forneço o gabarito que é a letra “a”.
11) (AFRF-2002-A/Esaf) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do
seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma
taxa se o desconto fosse simples e racional.
a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00
Da mesma forma como na questão anterior, não é justo que eu resolva esta. Mas tomem cuidado,
isto poderá aparecer na próxima prova!!! Gabarito letra “e”.
Já que estamos nessa, aí vão mais uma de “sobremesa”!!!
1 - Uma operação com LTN, que tem 39 dias para o seu vencimento, está sendo negociada a uma taxa de
rentabilidade de 1,20% ao mês. A taxa de desconto anual correspondente será de:
a) 13,58% b) 13,78% c) 13,98% d) 14,18% e) 14,48%
Já resolvemos um exercício semelhante a este, porém aqui o detalhe é em relação ao “n” para o
qual devemos adotar o valor de 39/360, se quisermos trabalhar com a taxa anual, ou então o “n”
terá de ser 1,3 se quisermos trabalhar com a taxa em meses.
Adotando o “n” em anos, devemos adotar também a taxa em anos, que para o caso será de 14,40%
ao ano ( 12 x 1,2%).
Assim, teremos:
ief =
idc
1 - idc x n
0,144 =
idc
1 - idc x 39/360
0,144 x (1 – idc x 39/360) = idc
0,144 – 0,0156 idc = idc
0,144 = 1,0156 idc
idc = 0,144 / 1,0156
idc = 0,141788, isto é, aproximadamente 14,18% ao ano.
Logo, a alternativa correta é da letra “d”.
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Por hoje é isso. Em breve trarei a resolução das questões faltantes do concurso de AFPS-2002.
Um forte abraço a todos e bons estudos!!!
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  • 1. www.matematiques.com.br Matemática Comercial e Financeira 5ª Lista de Exercícios – Desconto Simples 1) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Resposta: R$ 1.190,48 2) Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? Resposta: R$ 1.250,00 3) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês? Resposta: R$ 225,00 4) Qual a taxa mensal simples de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor líquido de R$ 880,00? Resposta: 3% am 5) Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? Prazo Borderô de Cobrança Valor (R$) (vencimento) A 2.500 25 dias B 3.500 25 dias C 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.770,00 6) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme o borderô a seguir: A) 6.000 15 dias B) 3.500 25 dias C) 2.500 45 dias Resposta: R$ 11.768,00 7) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por um banco à taxa 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. Resposta: R$ 29.408,00 8) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu um desconto de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. Resposta: 92 dias 9) Se você depositar hoje R$ 2.000,00 numa aplicação que rende 1,5% ao mês no regime de juros simples, qual será o saldo da sua aplicação ao final de 2 anos. 10) Um investidor aplicou uma determinada quantia numa instituição financeira pelo prazo de 180 dias e recebeu o montante de R$ 5.896,00. Sabendo-se que a instituição remunera suas aplicações numa taxa mensal simples de 1,2% a.m., determine o valor da quantia inicial aplicada. 11) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.700,00 no prazo de 36 meses. Determine qual a taxa mensal de juros simples relativa à operação. 12) Um investidor deseja aplicar uma quantia de R$ 12.000,00 a uma taxa mensal simples de 1,8% a.m. Depois de quanto tempo o investidor terá acumulado um montante de R$ 13.944,00? 1
  • 2. www.matematiques.com.br 13) Qual é o valor de face de um título comprado por R$ 15.000,00, com prazo de 5 meses à taxa de 4% ao mês? 14) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 180.000,00 com valor de face de R$ 360.000,00 e prazo de 4 anos, determinar a taxa de juros mensal simples desse título. 15) Determine o valor de compra de um título que possui um valor de face de R$ 292.800,00 com 2 anos de prazo à uma taxa de 6% a.m. 16) Um investidor adquiriu um título pelo valor de R$ 700.000,00 com valor de face de R$ 896.000,00 e taxa simples de 8% ao ano, determinar o prazo desse título. 2
  • 3. www.matematiques.com.br Revisão de Descontos Simples – Exercícios Resolvidos 01) (Analista de Comércio Exterior - ESAF/1998) O desconto simples racional de um título descontado à taxa de 24% ao ano, três meses antes de seu vencimento, é de R$ 720,00. Calcular o valor do desconto correspondente caso fosse um desconto simples comercial. a) R$ 43,20 b) R$ 676,80 c) R$ 720,00 d) R$ 763,20 e) R$ 12.000,00 Todos já sabemos que o desconto comercial representa o montante quando tomado como capital o desconto racional. Assim, a fórmula a ser empregada, para o cálculo direto, é a seguinte: Dc = Dr(1+in) Dc = 720,00 x (1 + 0,02 x 3) Dc = 720,00 x 1,06 Dc = 763,20 Assim, a resposta correta é a representada pela letra “d”. Preste muita atenção nesta questão, pois algo parecido poderá aparecer no próximo concurso!!! 02) (AFTN ESAF/1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a. m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento, será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a Segunda parcela no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo- primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00 Perceba que o total dos pagamentos a ser efetuado é de $ 1.400,00. O pagamento do final do 4º mês é de 70% desse valor, logo esse pagamento será de $ 980,00. O pagamento do mês 11 será de 30% do total, isto é $ 420,00. Considerando, ainda, que o financiamento está sujeito a uma taxa de juros de 10% ao mês, teremos o seguinte esquema: Para obter o Va, devemos calcular o Va dos dois títulos, considerando o desconto racional, visto que se está afirmando que a taxa envolvida é de juros simples. Assim, teremos: Va = [980,00 / (1 + 0,1 x 4)] + [420 / (1 + 0,1 x 11)] Va = [980 / 1,4] + [420 / 2,2] Va = 700,00 + 200,00 Va = $ 900,00 Logo a alternativa correta está representado pela letra “b”. 3
  • 4. www.matematiques.com.br 03) (BB/CENTRO-OESTE/99) Uma LTN, cujo prazo a decorrer até o seu vencimento é de 36 dias, está sendo negociada com uma rentabilidade efetiva linear de 24% ao ano. A taxa de desconto anual embutida é de: a) 23,44% b) 23,46% c) 23,48% d) 23,50% e) 23,52% A taxa de 24% ao ano é a própria taxa efetiva. O detalhe dessa questão é que o “n” é 0,1 ano e com isso é só aplicar a fórmula do cálculo da taxa efetiva e obteremos a taxa de desconto comercial embutida na operação. Assim: ief = idc 1 - idc x n 0,24 = idc 1 - idc x 0,1 0,24 x (1 – idc x 0,1) = idc 0,24 – 0,024 idc = idc 0,24 = 1,024 idc idc = 0,24 / 1,024 idc = 0,234375, isto é, aproximadamente 23,44% ao ano. Logo, a alternativa correta é da letra “a”. 04) (AFTN/ESAF/1996) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco, você receberá líquidos, hoje, $ 105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é: a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d)4,8% e) 5,4% O valor nominal da duplicata é de R$ 150,00. Perceba que foi informado haver uma retenção de 15% desse valor, o que representa R$ 22,50. Como o líquido recebido, que não é o valor atual, é de R$ 105,00, por diferença chegamos a conclusão que o valor do desconto foi de R$ 22,50. Agora é só aplicar a fórmula do desconto comercial e acharemos a taxa de desconto implicada na operação. Dc = Nin 22,50 = 150 x i x 3 22,50 = 450 I i = 22,50 / 450 i = 0,05, isto é 5% ao período! Logo a alternativa correta é a letra “a”. 05) (AFTN/ESAF/1998) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600,00 4
  • 5. www.matematiques.com.br Novamente, considerando o desconto comercial sendo o montante quando o desconto racional for considerado o capital, teremos: Dc = Dr (1 + i n) 600,00 = Dr ( 1 + 0,05 x 4) 600,00 = 1,2 Dr Dr = 600 / 1,2 Dr = R$ 500,00 Logo a alternativa correta é a letra “c”. 06) (AF-CE/ESAF/1998) Qual o valor hoje de um título de valor nominal de R$ 24.000,00, vencível ao fim de 6 meses, a uma taxa de 40% ao ano, considerando um desconto simples comercial? a) R$ 19.200,00 b) R$ 20.000,00 c) R$ 20.400,00 d) R$ 21.000,00 e) R$ 21.600,00 O exercício versa sobre valor atual comercial. Estamos nos lembrando da fórmula? O valor atual comercial é calculado pela fórmula: Vac = N (1 – in) Como a taxa é de 40% ao ano e o período de antecipação é de 6 meses, isto é, 0,5 ano e, ainda, considerando que o valor nominal é de R$ 24.000,00, teremos: Vac = 24.000 x (1 – 0,2 x 0,5) Vac = 24.000 x 0,9 Vac = 21.600,00 Logo, a resposta correta é a letra “e”. 07) (FCP-INSS/97-CESPE/UNB) Julgue os itens a seguir, relativos às diferentes maneiras com que uma nota promissória pode ser descontada.  Se forem calculados a uma mesma taxa, o valor atual segundo o desconto comercial será sempre menor que o valor atual segundo o desconto racional.  O desconto bancário nada mais é do que o desconto comercial acrescido de uma taxa a titulo de despesas bancárias.  No desconto comercial, a taxa implícita na operação é sempre menor que a taxa estabelecida.  A diferença entre os descontos racional e comercial, a uma mesma taxa, aumenta à medida que a data de desconto aproxima-se da data do vencimento.  Se uma nota promissória — com valor de R$ 1.000,00 na data de vencimento, em 2 anos — é descontada 2 anos antes do vencimento, em um banco que pratica uma taxa de desconto bancário simples de 18% a.a., então a taxa anual de juros compostos que está sendo paga pelo cliente é superior a 24% a.a. Item 1: Vocês já devem Ter visto por aí que a fórmula do desconto comercial é algo parecido como: Dc = Nin Onde: Dc = Desconto Comercial N = Valor Nominal i = taxa de desconto comercial (unitária) 5
  • 6. www.matematiques.com.br n = número de períodos de antecipação. Também não deve ser novidade que o desconto racional pode ser calculado pela aplicação da seguinte fórmula: Dr = Nin (1 + in) Dessas duas fórmulas podemos extrair diversas conclusões: 1ª) O desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional; 2ª) O desconto comercial representa o montante, tomado como capital o desconto racional. Faço essa afirmativa tendo em mente que Nin é o desconto comercial e se substituirmos Nin por Dc na fórmula do Dr, teremos: Dr = Dc Dc = Dr (1 + in) (1 + in) 3ª) Qualquer desconto (comercial ou racional) é sempre o valor nominal menos o valor atual: D = N – Va Va = N - D Conforme afirmamos, o desconto comercial é sempre maior do que o desconto racional. Então, o valor atual comercial (Vac) é sempre menor do que o valor atual racional (Var); 4ª) No desconto racional as fórmulas a serem empregadas são semelhantes às fórmulas do juro e do montante, tomando-se, para tanto, no lugar do capital o valor atual e no lugar do montante o valor nominal. Por isso o desconto racional é, também, chamado de desconto “Por Dentro”, pois com a aplicação da mesma taxa, por igual período do desconto sobre o valor atual, tornaremos a obter o valor nominal (montante); 5ª) O desconto comercial representa os “juros” sobre o valor nominal (montante), isto é, o seu cálculo é feito por fora, sobre o valor nominal De tudo o que aqui se disse, a relação existente entre o desconto comercial e o desconto racional, seja talvez a de maior importância, pois costuma ser freqüentemente questionada em concursos, principalmente nos elaborados pela ESAF e pelo CESPE. Por isso, repito a relação: Dc = Dr x (1 + in) O item está CERTO. Item 2: O desconto bancário é o próprio desconto comercial, acrescido de taxas. A razão é óbvia, pois nessa modalidade de desconto o valor do desconto é maior do que no desconto racional. O item está CERTO. Item 3:. A taxa implícita é aquela taxa necessária para elevar o Valor Atual ao Valor Nominal em igual período adotado para o desconto, ou seja, é a taxa efetiva da operação. 6
  • 7. www.matematiques.com.br Exemplificando: Se atribuirmos ao valor nominal o correspondente a R$ 1.000,00, com taxa de desconto comercial de 10% ao período e quisermos saber o desconto comercial que esse título sofrerá três meses antes do vencimento, teremos: N = 1.000,00 i = 10% ou 0,10 n = 3 períodos Dc = ? Dc = Nin Dc = 1.000,00 x 0,10 x 3 Dc = R$ 300,00 Vac = 1.000,00 – 300,00 = R$ 700,00 Para elevar R$ 700,00 (Va) a R$ 1.000,00 (N), qual a taxa que deve ser aplicada? N = Va x (1 + in) 1.000,00 = 700,00 (1 + 3i) 1.000,00 = 700,00 + 2.100,00 i 1.000,00 – 700,00 = 2.100,00 i 2.100,00 i = 300,00 i = 300,00 ÷ 2.100,00 i = 0,1428, isto é, 14,28% ao período. É de se notar que a taxa implícita (efetiva) supera largamente a taxa da operação. O cálculo da taxa efetiva ou implícita pode ser obtida, também, pela aplicação da seguinte fórmula: ief = idc (1 – idc x n) Onde: ief = taxa efetiva idc = taxa de desconto comercial n = número de períodos de antecipação Salienta-se, ainda, que quanto maior for o número de períodos de antecipação (n), maior será a diferença entre a taxa da operação e a taxa efetiva. Se usarmos o exemplo anterior e trocarmos o período de antecipação para somente um período (n = 1), obteremos a seguinte taxa efetiva: ief = 0,10 = 0,1 0 = 0,1111 ou 11,11% (1 – 0,10 x 3) 0,9 Comparando os dois resultados, comprova-se o antes afirmado: A taxa efetiva é tanto maior quanto maior for o período de antecipação do desconto. O item está ERRADO. 7
  • 8. www.matematiques.com.br Item 4: Podemos aplicar o raciocínio desenvolvido no item anterior, relativamente à taxa efetiva. Também podemos utilizar a relação existente entre o desconto comercial e o desconto racional, pois mudando apenas o “n”, a diferença entre as duas modalidades de desconto aumenta à medida que nos afastamos do prazo de vencimento. Ressalte-se que o “n” diminui à medida que nos aproximamos da data do vencimento. O item está ERRADO. Item 5: Dc = Nin Dc = 1.000,00 x 0,18 x 2 Dc – 360,00 Va = N – D Va = 1.000,00 – 360,00 Va = R$ 640,00 Para elevar o valor de R$ 640,00 a R$ 1.000,00, em dois anos, é necessário que se utilize uma taxa de 25% ao ano no regime de juros compostos. M = 1.000 C = 640 n = 2 i = ? 1.000 = 640 (1 + i)2 (1 + i)2 = 1.000 ÷ 640 (1 + i) = (1,5625)1/2 1 + i = 1,25 i = 0,25, isto é, 25% O item está CERTO. 08) (FISCAL-SC/1998) O valor nominal de um título de crédito descontado quatro meses e meio antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% ao ano que sofreu um desconto simples por fora no valor de R$ 225,00, vale: a) R$ 100.000,00 b) R$ 10.000,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 40.000,00 e) R$ 30.000,00 O desconto simples por fora é o próprio desconto comercial. A taxa de desconto é de 6% ao ano, o que eqüivale a 0,5% ao mês. O prazo de antecipação é de 4,5 meses. A fórmula para calcular o desconto comercial é: Dc = Nin Assim, substituindo as variáveis na fórmula teremos: 225,00 = N x 0,005 x 4,5 0,0225 N = 225 N = 225 / 0,0225 N = R$ 10.00,00 Logo a resposta correta é a letra “B”. 8
  • 9. www.matematiques.com.br 09) (AFRF-2000/2001 – ESAF) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00 Alguém duvida que uma questão do tipo desta pode ser cobrada no próximo concurso?!! Vocês já estão devidamente instruídos para resolver esta e outras questões deste tipo. O gabarito esta representado pela letra “a”. 10) (Bacen-2001) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620,00 Não posso subestimar a inteligência de vocês, por isso nessa só forneço o gabarito que é a letra “a”. 11) (AFRF-2002-A/Esaf) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 Da mesma forma como na questão anterior, não é justo que eu resolva esta. Mas tomem cuidado, isto poderá aparecer na próxima prova!!! Gabarito letra “e”. Já que estamos nessa, aí vão mais uma de “sobremesa”!!! 1 - Uma operação com LTN, que tem 39 dias para o seu vencimento, está sendo negociada a uma taxa de rentabilidade de 1,20% ao mês. A taxa de desconto anual correspondente será de: a) 13,58% b) 13,78% c) 13,98% d) 14,18% e) 14,48% Já resolvemos um exercício semelhante a este, porém aqui o detalhe é em relação ao “n” para o qual devemos adotar o valor de 39/360, se quisermos trabalhar com a taxa anual, ou então o “n” terá de ser 1,3 se quisermos trabalhar com a taxa em meses. Adotando o “n” em anos, devemos adotar também a taxa em anos, que para o caso será de 14,40% ao ano ( 12 x 1,2%). Assim, teremos: ief = idc 1 - idc x n 0,144 = idc 1 - idc x 39/360 0,144 x (1 – idc x 39/360) = idc 0,144 – 0,0156 idc = idc 0,144 = 1,0156 idc idc = 0,144 / 1,0156 idc = 0,141788, isto é, aproximadamente 14,18% ao ano. Logo, a alternativa correta é da letra “d”. 9
  • 10. www.matematiques.com.br Por hoje é isso. Em breve trarei a resolução das questões faltantes do concurso de AFPS-2002. Um forte abraço a todos e bons estudos!!! 10