Apostila matematica financeira

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Apostila matematica financeira

  1. 1. Matemática Financeira PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  2. 2. Matemática Financeira O que é melhor juros simples ou juros compostos? Pagar a vista ou comprar a prazo? Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano? Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do tempo. O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o competitivo mercado de trabalho. Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez. Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  3. 3. Matemática Financeira tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito de porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim, serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de Investimentos. Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos apresentados em novas situações. A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça o desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para ver se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema. Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas. Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros. Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender novamente. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  4. 4. Matemática Financeira ÍNDICE INTRODUÇÃO............................................................................................06 OPERAÇÕES ELEMENTARES DA MATEMÁTICA FINANCEIRA.......................08 RAZÃO.........................................................................................................09 PROPORÇÃO...................................................................................................10 DIVISÃO PROPORCIONAL....................................................................................11 DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAL....................................................13 DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL.................................................................15 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA......................................................................17 REGRAS DE SOCIEDADE............................................................................20 REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES..........................................................................21 REGRAS DE SOCIEDADE COMPOSTA.......................................................................22 REGRA DE TRÊS SIMPLES...................................................................................23 REGRA DE TRÊS COMPOSTA................................................................................26 OPERAÇÕES COMERCIAIS.........................................................................32 PORCENTAGEM................................................................................................33 ACRÉSCIMOS SIMPLES......................................................................................35 ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS................................................................................35 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS.................................................................................36 DESCONTOS SIMPLES.......................................................................................37 DESCONTOS SIMULTÂNEOS.................................................................................37 DESCONTOS SUCESSIVOS..................................................................................38 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO........................................................................39 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA........................................................................40 PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO....................................................................41 PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA....................................................................41 CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA SIMPLES....................................................45 NOMENCLATURA..............................................................................................46 TAXA NOMINAL...............................................................................................47 TAXAS PROPORCIONAIS.....................................................................................47 OUTROS TIPOS DE TAXAS..................................................................................48 JUROS.........................................................................................................49 JUROS SIMPLES..............................................................................................51 MONTANTE SIMPLES.........................................................................................52 TAXA EFETIVA SIMPLES.....................................................................................56 DESCONTO SIMPLES.........................................................................................59 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  5. 5. Matemática Financeira DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO....................................................60 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA......................................................61 DESCONTO BANCÁRIO.......................................................................................62 CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA.................................................65 JUROS COMPOSTOS..........................................................................................66 MONTANTE COMPOSTO......................................................................................66 TAXAS EQUIVALENTES.......................................................................................72 TAXA EFETIVA COMPOSTA..................................................................................74 DESCONTO COMPOSTO......................................................................................75 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO.........................................................................75 DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO.......................................................................76 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO............................................................80 ANUIDADES OU RENDAS CERTAS..........................................................................81 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA....................................................83 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA.....................................................87 ANUIDADES DIFERIDAS OU COM CARÊNCIA..............................................................90 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE POSTECIPADA......................................................92 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ANTECIPADA........................................................95 COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO.........................................................................97 ANUIDADES PERPÉTUAS.....................................................................................99 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL........................................................100 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VARIÁVEL...........................................................101 ANUIDADE EM QUE O PERÍODO DE TEMPO NÃO COINCIDE COM AQUELE QUE SE REFERE À TAXA.103 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO....................................................................105 SISTEMA DO MONTANTE....................................................................................107 SISTEMA DE JUROS ANTECIPADOS........................................................................108 SISTEMA AMERICANO........................................................................................111 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU PRICE – SPC................................................112 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC.........................................................113 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO – SAM...............................................................115 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES VARIÁVEIS.................................................................116 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS...................................................................120 VALOR PRESENTE LIQUIDO – NPV.........................................................................121 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR........................................................................125 QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA CONCURSOS PÚBLICOS..............................131 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................158 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  6. 6. Matemática Financeira Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão. Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes emprestadas mais uma determinada parte da colheita. As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus lucros e comissões pelos serviços prestados. A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos, Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários. Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao ganho de capital, pagamentos antecipados e postecipados, porcentagem, financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro. Qual o objetivo principal da matemática financeira? PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  7. 7. Matemática Financeira A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo. A Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando algumas das características do mercado. O conhecimento da Matemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser tomada. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  8. 8. Matemática Financeira Para uma melhor compreensão e uso das ferramentas da Matemática Financeira, faz-se necessário uma breve apresentação de algumas operações elementares da Matemática. Estas operações são: > RAZÃO > PROPORÇÃO > DIVISÃO PROPORCIONAL > REGRA DE SOCIEDADE PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  9. 9. Matemática Financeira  RAZÃO Você já deve ter ouvido expressões como: “de cada 20 habitantes, 5 são analfabetos”, “de cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática”, “um dia de sol, para cada dois de chuva”. Em cada uma dessas frases há sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois que: A Razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente b a ou a : b. Exemplos:  De cada 10 alunos, 6 gostam de matemática: Razão = 10 6  De cada 100 parafusos, 1 sai com defeito: razão = 100 1  A razão entre 2 + 2 1 e 3 – 2 1 : razão = 1 2 2 1 3 2 + − → Razão = 1  Carlos acertou 15 exercícios em 30 e Mário acertou 20 em 45 exercícios. Quem apresentou o melhor resultado? Resposta: Carlos  De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 10 2 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 1. No vestibular de 2008 na Faculdade de Ciências de Wenceslau Brás concorreram, para 50 vagas da opção Administração, 650 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção? Resposta: 13 2. Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1.116 litros de água. A segunda contém 1.155 litros de álcool e 5.775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico? Resposta: A primeira 3. A massa de João é de 86 kg e a de Márcio é de 43.000 gramas. Qual a razão entre as massas de João e Márcio? Resposta: 2 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  10. 10. meios Matemática Financeira 4. Numa prova de 45 questões uma pessoa acertou 15. Calcule a razão entre o número de acertos e o número de questões. Resposta: 3 1 5. Numa turma de alunos, a razão do número de moças para o número de rapazes é de 2 3 . Se na turma existem 14 rapazes, qual é o número de moças? Resposta: 21 6. Uma garrafa de cerveja tem capacidade para 600 ml e uma garrafa de refrigerante tem capacidade para 300 ml. A razão entre as capacidades da garrafa maior para a menor é: Resposta: 2 7. A altura de Beatriz é 1,50 m e a altura de Clovis é de 120 cm. A razão entre a altura de Beatriz e a altura de Clovis é: Resposta: 1,25 8. Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num tempo de 2 horas. Resposta: 50 km/h. 9. Hamilton possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a altura do cachorro e a de Hamilton? Resposta: 9 2  PROPORÇÃO Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões de antecedentes e conseqüentes diferentes, porém com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando um pesquisa escolar revelar que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80. A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Dadas duas razões d c e b a , com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a c = b d ou a : b = c : d Propriedades: PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  11. 11. Matemática Financeira 1ª) Propriedade fundamental: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 6 24 = 24 96 ∴ 6 x 96 = 24 x 24 = 576 2ª) Em toda proporção existe uma constante ‘k’ 3ª) Somando-se ou subtraindo-se os antecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera (desde que o denominador não seja nulo): a c = b d → a c a c = b d b d ± = ± EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: 10. Determine o valor de x nas proporções: a) 8 10 = 7 x (x=8,75) b) x+4 2 = 125 25 (x=6) 11. Calcular x e y na proporção 217 yx = , sendo x + y = 24 (Resposta: x=6; y=18) 12. Na série de razões 7105 zyx == , calcular x, y e z, sabendo que x + y + z = 44 (Resposta: x=10; y=20; z=14). 13. Calcular x, y e z, na série de razões 6102 zyx == , sabendo que 3x + y + 2z = 140 (Resposta: x=10; y=50; z=30). 14. A importância de $ 21,70 foi dividida entre três pessoas. Sabendo que a parte do 1º está para a parte do 2º como 7 para 9, e que a do 2º está para o 3º como 3 para 5, determine as três partes. (Resposta: 1º: R$ 4,90; 2º R$ 6,30; 3º: R$ 10,50). 15. Dois números têm por soma 30 e estão para si como 1 pra 5. Calcule esses números. Resposta: 25 e 5 16. Determine os valores desconhecidos na sentença 342 zyx == , sabendo que x + y + z = 72. Resposta: x = 6; y = 32; z = 24 17. Calcule o valor de x na proporção 1 1 3 1 + − = x x . Resposta: 2 18. Uma secretária recebe R$ 200,00 pela construção de 16 relatórios. Se ela construiu no fim do mês 42 relatórios, quanto recebeu? Resposta: R$ 525,00  DIVISÃO PROPORCIONAL PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  12. 12. Matemática Financeira GRANDEZA é todo valor que ao ser relacionado a um outro certo valor de tal forma que, quando um varia, como conseqüência direta o outro valor também varia. Por grandezas variáveis entende-se aquelas que, uma ao sofrer um incremento, acarretará em um mesmo incremento na segunda variável. À variação da proporção, dá-se o nome de razão ‘r’. A relação entre as grandezas variáveis pode ser direta ou inversamente proporcional. Vários aspectos do dia-a-dia podem ser analisados através da proporção: consumo de gasolina x quilometragem rodada, velocidade x tempo do percurso. Vê-se aqui, que uma variável depende da outra. O consumo de gasolina depende da quilometragem rodada, e o tempo de percurso depende da velocidade. Diga se o problema é diretamente ou inversamente proporcional a) Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um poderá consumir. Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o número de pessoas da festa, conseqüentemente diminuirá o número de salgados para cada um. b) Número de erros em um questionário e a nota obtida neste. Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra uma menor quantidade de questões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma maior quantidade de questões, conseqüentemente ela tira uma nota menor. c) Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não passar fome. Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento a pessoa tiver mais dias ela passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver comida, mais rápido a pessoa sentirá fome. Desta forma, podemos definir uma DIVISÃO PROPORCIONAL, como uma forma de divisão no qual determinam-se valores que, divididos por quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação. A divisão proporcional pode ser: Direta, Inversa e Direta e Inversa ao mesmo tempo. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  13. 13. Matemática Financeira  DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim como o número proporcional está para a parte que a representa. Exemplo 1: Para decompor o número 120 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que a + b = 120, cuja solução segue de: 7224 3 4824 2 24 5 120 3232 =→= =→= =→ + + →= b b a a baba Exemplo 2: Dividir o número 60 em duas partes a e b diretamente proporcionais a 4 e 2. Desta forma, será montado o sistema de modo que a + b = 60, cuja solução segue no cálculo abaixo: 2010 2 4010 4 10 6 60 2424 =→= =→= =→ + + →= b b a a baba Exemplo 3: Uma pessoa divide o valor de R$ 12.000,00 proporcionalmente as idades de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá? Resolução: O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 2.000,00 + R$ 4.000,00 + R$ 6.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 12.000,00. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES 000.6000.1 6 000.4000.1 4 000.2000.1 2 000.1 12 000.12 624642 =→= =→= =→= =→ ++ ++ →== c c b b a a cbacba
  14. 14. Matemática Financeira Exemplo 4: Dividir o número 2.400, em partes diretamente proporcional a 3, 5 e 4. Resolução: 000.1200 5 800200 4 600200 3 200 12 400.2 534543 =→= =→= =→= =→ ++ ++ →== c c b b a a cbacba EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 19. Dividir o número 360, em partes diretamente proporcional a 4, 5 e 6. Resposta: 96, 120, 144 20. Dividir o número 169 em partes diretamente proporcionais a 4 1 , 3 1 , 2 1 . Resposta: 78, 52, 39 21. Dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Resposta: 100, 60 ,50 22. Dividir o número 200 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3. Resposta: 80 e 120. 23. Carlos, Daniel e João resolveram aplicar em um fundo de investimento, que exigia um capital inicial de R$100 mil. Carlos deu R$50 mil, Daniel R$30 mil e João R$20 mil. Ao final do período de carência do plano, eles resolveram sacar o dinheiro. O valor era R$120 mil. Quanto cada um retirou? Resposta: 60 mil, 36 mil, 24 mil. 24. Uma herança de R$ 240.000,00 deve ser dividida em partes diretamente proporcionais as idades dos herdeiros que são 36, 40 e 44 anos. Quanto receberá cada herdeiro? Respostas: R$ 72.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 88.000,00 25. Em certa empresa de informática, a produção dos quatro técnicos de montagem de microcomputadores é de 3, 5, 8 e 4 unidades semanais, respectivamente. Num lote de 80 computadores, quanto cada técnico montará? Respostas: 12; 20; 32 e 16 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  15. 15. Matemática Financeira 26. .Determinado prêmio foi dividido entre José, Pedro e Antônio, em partes diretamente proporcionais a seus tempos de serviço: 2, 3 e 5 anos. Sabendo que a parte de Pedro foi R$ 3.600,00, qual o valor do prêmio? Respostas: R$ 720,00; R$ 1.080,00 e R$ 1.800,00  DIVISÃO INVERSAMENTE PROPORCIONAL Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em duas partes X e Y diretamente proporcionais a y e x 11 , que formam, desta forma, os números inversos. Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. Assim, por exemplo, para dividir em partes inversamente proporcionais a 3 2 4 1 e equivale a dividir em partes diretamente proporcionais a 4 e 2 3 Exemplo 5: Dividir o número 441 em partes inversamente proporcionais a 3, 5 e 6. Solução: 10521 5 12621 6 21021 10 21 21 441 30 5610 6 1 5 1 3 1 =→= =→= =→= =→ ++ ++ →== c c b b a a cbacba Exemplo 6: Dividir o número 676 em partes inversamente proporcionais a 5, 0,5 e 3 1 . Solução: PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  16. 16. Matemática Financeira 39026 15 26026 10 2626 1 26 26 676 5 1510132 5 1 =→= =→= =→= =→ ++ ++ →== c c b b a a cbacba Exemplo 7: Duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por $ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? a: parte inversamente proporcional à 3 (a) → a/1/3 b: parte inversamente proporcional à 5 (b) → b/1/5 160 1/3 1/5 a b a b + =   = → 300 15/8 160 5/13/15/13/1 == + + == baba → 1/3 1/5 1/3 1/5 a b a b+ = = + 300 3/1 = a → a = 100 300 5/1 = b → b = 60 R: (a) receberá $ 100,00 e (b), $ 60,00. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 27. Dividir 1.600 em partes inversamente proporcionais a 5 2 4 1 , 3 2 e . (Resposta: 300; 800; 500) 28. Dividir o número 24 em partes inversamente proporcionais aos números 1 e 5. Resposta: 20; 4 29. Divida o número 224 em partes inversamente proporcionais a 5 1 3 1 e . Respostas: 84; 140 30. Dividir o número 90 em partes inversamente proporcionais aos números 4 e 5. Resposta: 50 e 40 31. Dividir o número 1.225 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Resposta: 500; 225; 166,6; 125; 100; 83,4 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  17. 17. Matemática Financeira  DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Divisão proporcional composta ocorre quando se divide proporcionalmente a mais de um grupo de números. Vejamos a situação seguinte: Exemplo 8: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a empreiteira tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia entre as duas turmas de trabalho? Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias trabalhados. Analisando veremos que: - Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em um dia (10 . 5). - Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num único dia (12.4) Neste caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos produtos dos números da proporcionalidade. Então, resolvendo o problema, temos: 98 400.29 485048504.125.10 ⇒ + + ⇒=⇒= yxyxyx 000.15 98 000.470.1 000.470.1.98 5098 400.29 =⇒=⇒=⇒= xxx x Como x + y = 29.400 → y = 19.400 – 15.000 → y = 14.400 Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empreiteira e a segunda R$ 14.400,00. Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes diretamente proporcionais a um grupo de números e inversamente a outro. Parece ser mais complexo; no entanto, basta dividir o número em partes diretamente ao produto de cada elemento do primeiro grupo da proporcionalidade pelo inverso de seu correspondente no segundo grupo. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  18. 18. Matemática Financeira Exemplo 9: Dividir o prêmio de R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço de João e Pedro e inversamente às suas idades, sabendo que os tempos de serviço são, respectivamente, 5 e 9 anos e as idades, 25 e 30 anos. Basta multiplicar o primeiro grupo (5 e 9) pelo inverso do segundo grupo (25 e 30) e após, dividir a importância em partes diretamente proporcionais ao produto obtido. Fazendo x+ y = 7.200,00 2 1 200.7 10 5 10 32 10 3 5 1 10 3 5 1 30 1 .9 25 1 .5 ⇒ + ⇒ + + ⇒ + + ⇒=⇒= yxyxyxyxyx 880.2 5,0 440.1 400.1. 2 1 5 1 .200.7. 2 1 5 1 2 1 200.7 =⇒=⇒=⇒=⇒= xxxx x Como x + y = 7.200 → y = 7.200 – 2.880 → y = 4.320 João deverá receber R$ 2.800,00 e Pedro R$ 4.320,00 Exemplo 10: Uma fábrica pretende premiar três operários, de modo que o prêmio seja DP ao número de peças perfeitas produzidas por cada um num único dia e IP a cada peça defeituosa que cada um produziu no mesmo dia. Os operários produziram 250, 300 e 150 peças perfeitas cada um e, respectivamente 1, 3 e 3 peças defeituosas. A quantia estipulada como prêmio foi de $ 500,00. Quanto recebeu cada operário? A (1º op): parte DP a 250 e IP a 1 = 250 . 1 = 250 → 250 x B (2º op): parte DP a 300 e IP a 3 = 300 . 1/3 = 100 → 100 y C (3º op): parte DP a 150 e IP a 3 = 150 . 1/3 = 50 → 50 z 500 250 100 50 A B C A B C + + =   = = → 4 5 400 500 5010025050100250 == ++ ++ === CBACBA 2504 5 A = → A = 312,50 1004 5 B = → B = 125,00 504 5 C = → C = 62,50 R: O 1º operário receberá R$ 312,50; o 2º, R$ 125,00; e o 3º, R$ 62,50. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  19. 19. Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 32. Dividir 860 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5 e inversamente proporcionais a 2 1 7 1 , 6 1 e . Respostas: 240; 420; 200 33. A importância de R$ 43.500,00 deve ser dividida entre 3 pessoas, em partes ao mesmo tempo diretamente proporcionais às idades e inversamente proporcionais ao tempo de serviço na empresa. Considerando que suas idades são 35, 30 e 36 anos e que estão no trabalho, respectivamente, há 10, 6, e 6 anos, calcular quanto receberá cada um. Respostas: R$ 10.500,00, R$ 15.000,00 e R$ 18.000,00 34. Divida o número 981 em partes diretamente proporcionais a 2, 6 e 3 e inversamente proporcionais a 5, 9 e 4, respectivamente. Respostas: 260; 360; 405 35. Divida o número 1228 em partes diretamente proporcionais a 1, 2, 3 e 4 e inversamente proporcionais a 5, 6, 7 e 8, respectivamente. Respostas: 168; 280; 360 e 420 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  20. 20. Matemática Financeira São aplicações dos casos de divisão em partes proporcionais. Sociedade: um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com um determinado capital, que deverá ser aplicado por um certo tempo numa atividade qualquer e com o objetivo de obter lucro. Neste tópico iremos estudar: > REGRAS DE SOCIEDADE SIMPLES > REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA > REGRA DE TRÊS SIMPLES > REGRA DE TRÊS COMPOSTA PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  21. 21. Matemática Financeira  REGRA DE SOCIEDADE SIMPLES 1º caso: capitais diferentes e tempos iguais. Exemplo 11: Cris e Joana se associaram para jogar na loto. Cris deu R$ 1,80 e Joana $ 1,20. Tendo acertado um terno, elas ganharam R$ 1.600,00. Quanto cada uma receberá? x: parte proporcional à R$ 1,80 (Cris) → 80,1 x y: parte proporcional à R$ 1,20 (Joana) → 20,1 y 1600 1,80 1,20 x y x y + =   =  → 1,80 1,20 1,80 1,20 x y x y+ = = + 1600 3 1,80 x = → x = 960 1600 3 1,20 y = → y = 640 R: Cris receberá R$ 960,00 e Joana, $ 640,00. 2º caso: capitais iguais e tempos diferentes. Exemplo 12: Três sócios formaram uma sociedade com capitais iguais. O primeiro permaneceu durante 2 anos, o segundo, 3 anos e o terceiro durante 4 anos. A sociedade deu o lucro de R$ 900,00, como dividir essa quantia entre os três? x: lucro do 1º → 2 x y: lucro do 2º → 3 y z: lucro do 3º → 4 z 900 2 3 4 x y z x y z + + =   = = → 2 3 4 2 3 4 x y z x y z+ + = = = + + 900 9 2 x = → x = 200 900 9 3 y = → y = 300 900 9 4 z = → z = 400 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  22. 22. Matemática Financeira R: O 1º receberá $ 200,00; o 2º, $ 300,00; e o 3º, $ 400,00.  REGRA DE SOCIEDADE COMPOSTA Tanto os capitais quanto as períodos de investimentos são diferentes para cada sócio. Exemplo 13: Uma loja com duas sócias lucrou $ 7.200,00. A 1ª sócia empregou R$ 1.000,00 durante um ano e oito meses; a 2ª, $ 2.000,00 durante oito meses. Quanto recebeu cada sócia? A: lucro da 1ª ∴ 1 000 x 20m → 000.20 A B: lucro da 2ª ∴ 2 000 x 8m → 000.16 B 7200 20000 16000 A B A B + =   = → 20000 16000 20000 16000 A B A B+ = = + 7200 36000 20000 A = → A = 4 000 7200 36000 16000 B = → B = 3 200 R: A 1ª sócia receberá $ 4.000,00 e a 2ª, $ 3.200,00. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 36. Três sócios formaram uma sociedade. O primeiro entrou com 3 1 do capital, o segundo com 4 1 e o terceiro com 12 5 . A sociedade deu um lucro de $ 1.440,00. Calcular o lucro de cada um. (Resposta: $ 480,00: $ 360,00; $ 600,00) 37. Dois sócios formam uma sociedade entrando com capitais iguais. O primeiro permaneceu durante 2 meses e o segundo, durante 8 meses. A sociedade deu $ 2 000,00 de prejuízo. Calcular o prejuízo de cada sócio. (Resposta: $ 400,00; 1.600,00). 38. Três sócios formaram uma sociedade com o capital de $ 3 000,00. Sabe-se que o primeiro recebeu $ 150,00 de lucro; o segundo, $ 200,00; e o terceiro, $ 250,00. Calcular o capital de cada um. (Resposta: $ 750,00: $ 1 000,00; $ 1.250,00) PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  23. 23. Matemática Financeira 39. Certa sociedade constituída por três sócios, com o capital de $ 180.000,00 obteve em determinado período $ 25 200,00 de lucro. Sabendo que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, determine o lucro de cada sócio. (Resposta: A. 8.400,00; B. 10.080,00; C. 6.720,00) 40. Ao constituírem uma sociedade, dois sócios entraram com os capitais de $ 56 500,00 e R$ 42 500,00, respectivamente. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu $ 518,00 a mais que o segundo. Quando recebeu cada sócio? (Resposta: $ 2. 090,50; $ 1.572,50). 41. Marcos e Francisco montaram uma locadora de vídeo empregando respectivamente capitais de R$ 50.000,00 e R$ 30.000,00. Em determinado mês, a loja obteve um lucro de R$ 3.200,00. Quanto coube a cada um? Resposta: R$ 2.000,00 e R$ 1.200,00 42. Dois sócios lucraram, em um determinado período, R$ 28.200,00. O primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade, durante 9 meses, e o segundo R$ 20.000,00, durante 11 meses. Qual foi o lucro de cada um? Resposta: R$ 21.600,00 e R$ 6.600,00 43. Três amigas Alessandra, Gabriela e Juliana resolveram montar uma butique. No final de um determinado mês, o negócio apresentou um lucro de R$ 6.300,00. Ficou acertado que a divisão do lucro seria proporcional ao tempo que cada uma dedicava à loja diariamente. Alessandra trabalha das 8 às 12, Gabriela trabalha das 10 às 13 e Juliana das 13 às 18 horas. Dessa forma, quanto coube a cada uma? Resposta: A = 12.100,00; G = 1.575,00, J = 2.625,00  REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.  Passos utilizados numa regra de três simples 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  24. 24. Matemática Financeira 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplo 14: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2 , uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2 , qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m2 ) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. Exemplo 15: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  25. 25. Matemática Financeira Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. Exemplo 16:0 Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  26. 26. Matemática Financeira Exemplo 17: Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:  REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplo 18: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3 ? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  27. 27. Matemática Financeira A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, serão necessários 25 caminhões. Exemplo 19: Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  28. 28. Matemática Financeira Logo, serão montados 32 carrinhos. Exemplo 20: Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 44. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir? Resposta: 3 horas e 20 minutos 45. Um trem com a velocidade de 45km/h, percorre certa distância em três horas e meia. Nas mesmas condições e com a velocidade de 60km/h, quanto tempo PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  29. 29. Matemática Financeira gastará para percorrer a mesma distância? Resposta: 2 horas, 37 minutos e 30 segundos 46. Um relógio atrasa 1 min e 15 seg a cada hora. No final de um dia ele atrasará: Resposta: 30 minutos 47. Paulo trabalhou 30 dias e recebeu 15 000 reais. Quantos dias terá que trabalhar para receber 20 000 reais? Resposta: 40 dias 48. Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias 49. Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 330 segundos? Resposta: 5.500 50. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário? Resposta: 32 horas 51. Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia? Resposta: 5 dias 52. Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? Resposta: 60 minutos 53. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 54. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 55. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 56. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  30. 30. Matemática Financeira entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 57. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 58. Um operário recebe R$ 16.800,00 por 30 dias de trabalho. Quanto receberá por 55 dias de trabalho? Resposta: R$ 30.800,00 59. De cada lote de 90 kg de café cru obtemos 78 kg de café torrado. Quantos kg de café cru serão necessários para obtermos 624 kg de café torrado? Resposta: 720 kg 60. Numa indústria metalúrgica, a produção diária de um certo componente de motor é de 16.000 unidades. Foram admitidos mais 100 operários e a produção diária passou a ser de 20.000 unidades. Qual era o número de operários que trabalhavam na produção da indústria antes dessa admissão? Resposta: 400 operários. 61. Um avião comercial, com velocidade de 400 km/h, efetua a viagem entre Salvador e Brasília em 3 horas. Em quanto tempo um avião a jato, com velocidade de 1.200 km/h, faria essa mesma viagem? Resposta: 1 hora. 62. Uma torneira despeja 4,25 litros de água por minuto e, assim, enche uma caixa em três horas e meia. Quanto tempo gastará uma outra torneira para encher a mesma caixa, se ela despeja 3,5 litros de água por minuto? Resposta: 4 horas e 15 minutos. 63. Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600km. Determine o consumo desse mesmo carro, em condições equivalentes, para que ele percorra 840km Resposta: 70 litros. 64. O preço de um artigo varia de modo inversamente proporcional à demanda. O artigo custa R$ 450,00 quando são fabricadas 200.000 unidades. Qual o novo preço para a fabricação de 450.000 unidades? Resposta: R$ 200,00. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  31. 31. Matemática Financeira 65. Uma fábrica de refrigerantes utiliza uma máquina que rotula 2.000 garrafas em 5 dias, funcionando 8 horas por dia. Em quantos dias essa mesma máquina rotulará 6.000 garrafas, funcionando 12 horas por dia? Resposta: 10 dias. 66. Se 8 homens recebem um total de R$ 11.000,00 por 5 dias de trabalho de 9 horas diárias, quantas horas diárias deverão trabalhar 5 homens para ganhar um total de R$ 13.750,00 em 9 dias? Resposta: 10 horas diárias. 67. Um certo serviço pode ser realizado por um grupo de 12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias. Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por dia eles deveriam trabalhar? Resposta: 7 horas e 30 minutos por dia. 68. Um contratorpedeiro, com guarnição de 300 homens, necessita de 120.000 litros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, qual deverá ser a duração da viagem? Resposta: 18 dias. 69. Em um tangue há duas torneiras. A primeira enche o tangue em 4 horas e a segunda o esvazia em 12 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo e estando o tanque vazio, em quantas horas ficará cheio? Resposta: 6 horas PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  32. 32. Matemática Financeira Embora esses cálculos não sejam objeto da Matemática Financeira, mas da Matemática Comercial, alguns deles serão analisados neste capítulo a título de pré- requisito, pois sua compreensão poderá facilitar o estudo dos cálculos necessários à realização das operações financeiras. > PORCENTAGEM > ACRÉSCIMOS SIMPLES > ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS > ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS > DESCONTOS SIMPLES > DESCONTOS SIMULTÂNEOS > DESCONTOS SUCESSIVOS > LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO > LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA > PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO > PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  33. 33. Matemática Financeira  PORCENTAGEM A expressão por cento que costuma ser usada na linguagem comum, e é indicada pelo símbolo %, pode sempre se entendida com o mesmo significado de centésimo. Assim, quando se diz que dos 80 milhões de habitantes adultos de um país, 30% são analfabetos, isto significa que os analfabetos representam uma fração igual a 100 30 , em outras palavras, para cada 100 habitantes 30 são analfabetos. Use uma regra de três simples para calcular quantos habitantes são analfabetos neste país. O valor, 80 milhões, que corresponde ao total de habitantes adultos do país, sobre o qual foram calculados os 30%, é chamado de principal. Os 24 milhões, que correspondem aos 30% desse total, chama-se porcentagem. A fração 0,30, razão entre a porcentagem e o principal, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente taxa. Quando a taxa é escrita na forma de fração (centésimos), é chamada taxa unitária; quando é multiplicada por 100 e seguida do símbolo %, é chamada taxa centesimal ou taxa percentual. A taxa unitária é mais cômoda quando se efetuarem cálculos e, por essa razão, será sempre empregada nas formulas que serão deduzidas e utilizadas. O cálculo percentual é usado quando se quer comparar partes de dois totais diferentes ou quando se quer estuda a variação de valor de uma grandeza, de ordem financeira ou não. O cálculo de porcentagem é feito de forma mais rápida e mais prática pelo método direto. Por isso vamos procurar generalizá-lo. P = i . p1 ► Fórmula para o cálculo da Porcentagem onde: P = Porcentagem P1 = principal i = taxa Embora esta fórmula seja muito eficiente o mais correto é utilizar a calculadora e realizar a operação mais rapidamente. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  34. 34. Matemática Financeira EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 70. Calcular 20% de R$ 1.700,00. Resposta: 340 71. Uma mercadoria foi comprada por R$ 50,00 e vendida por R$ 80,00. Determinar a taxa de lucro sobre o preço de compra e a taxa de lucro sobre o preço de venda. (Resposta: sobre o preço de compra: 60%; sobre o preço de venda: 37,5%). 72. Um funcionário recebe um salário base de R$ 850,00. Recebe também um adicional por tempo de serviço de 5% sobre o salário base. Além disso, está respondendo pela chefia da seção, recebendo por isso 8% sobre o salário base. O empregador desconta 8,5% sobre seu salário total para a contribuição previdenciária. Quanto recebe esse funcionário? (Resposta: R$ 878,86). 73. Um vendedor é contratado na condição de ganhar 4% sobre a venda de cada dia. Quanto receberá num dia em que vendeu R$ 2.500,00? Resposta: 100,00 74. Ao pagar uma dívida no valor de R$ 3.500,00, tive que pagar R$ 700,00 de multa. De quanto por cento foi a multa? Resposta: 20% 75. O preço de um veículo passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o percentual de aumento? Resposta: 40% 76. Uma turma de 40 alunos. Destes 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, compareceram às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às aulas nesse dia? Resposta: 26 alunos correspondem a 65% 77. No mês de janeiro, Carlos ganhava de salário R$ 560,00. Nos mês de fevereiro, março e abril seu salário foi aumentado em 10%, 12% e 18% respectivamente. Qual o salário de Carlos referente ao mês de abril? Resposta: R$ 814,10 78. Determine 3,5% de 800 (Resposta: 28) 79. A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num concurso público com 6 500 inscritos? (Resposta: 1.170) 80. Determine 35% de 8.000 (Resposta: 2.800) PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  35. 35. Matemática Financeira  ACRÉSCIMOS SIMPLES São calculados acréscimos sempre que se quer atualizar preços de bens ou de serviços, calcular preços de vendas a partir dos preços de custos das mercadorias de moda a garantir ao comerciante certa taxa de lucro, enfim, numa série de ocasiões. Chamamos de Po o preço inicial que deve ser acrescido e de i a taxa (unitária), o acréscimo será a fração calculada sobre Po (preço inicial). V = P + i . PC ⇒ V = P (1+i) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo V = Valor ou Preço final P = preço inicial ou preço de custo i = taxa (unitária) Exemplo 21: Em julho de 2002, o salário mínimo de um empregado estava fixado em R$ 4.904,76. Em agosto desse mesmo ano, teve um acréscimo de 6,09%. Qual foi o acréscimo e qual o valor do novo salário desse empregado? V = P (1 + i) V = 4.904,76 (1 + 0,0609) V = 4.904,76 . 1,0609 V = 5.203,45 Exemplo 22: Um comerciante vende suas mercadorias com acréscimos de 20% sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo de uma mercadoria que vendeu por R$ 300,00? V = P (1 + i) 300 = P (1 + 0,2) 300 = P . 1,2 P = 250,00  ACRÉSCIMOS SIMULTÂNEOS Às vezes ocorre que um mesmo valor P0 está sujeito a dois ou mais acréscimos, que incidem sobre ele ao mesmo tempo, com taxas diferenciadas. Neste caso o valor final P será calculado como: PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  36. 36. Matemática Financeira V = P (1 + i1 + i2 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimo Simultâneos onde: V = Preço final P = Preço inicial i1= 1ª taxa i2 = 2ª taxa in = enésima taxa Exemplo 23: Um funcionário recebe um salário –base de R$ 350,00. Tem um adicional de 20% de acréscimo para responder pela chefia da seção e outro adicional de tempo de serviço correspondente a 5% de acréscimo, ambos calculados sobre o salário base. Quanto recebe ao todo? Qual a taxa total de acréscimos que tem sobre o salário-base pela incidência dos adicionais? V = P (1 + i1 + i2) V = 350 (1 + 0,2 + 0,05) V = 350 ( 1 + 0,25) V = 350 . 1,25 V = 437,50  ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS Suponha-se, agora, um valor inicial P0 que sofreu vários acréscimos sucessivos, de diferentes taxas, de tal modo que cada acréscimo, a partir do segundo, incide sobre o valor já acrescido dos acréscimos anteriores. Nesse caso, tem-se, a cada acréscimo, novos valores P, que podem ser calculados com a seguinte relação: V = P (1 + i1) (1 + i2) (1 + i3) (1 + in) ► Fórmula para o cálculo de Acréscimos Sucessivos Exemplo 24: O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3.500,00, mas, ao comprá-la na fábrica, o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço de fábrica. V = P (1 + i1) (1 + i2) V = 3.500 (1 + 0,1) (1 + 0,2) V = 3.500 . 1,1 . 1,2 V = 4.620,00 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  37. 37. Matemática Financeira  DESCONTOS SIMPLES As operações envolvendo descontos ou abatimentos sobre preço de mercadorias, ou sobre quaisquer valores, são comuns em nosso dia a dia. A antecipação de um pagamento, muitas vezes, recebe um desconto; nas liquidações promovidas pelo comercio, há o desconto; em nosso salário há o desconto de várias taxas, entre elas o imposto de renda, etc. O estudo do desconto é, portanto, muito útil é será objeto de estudo durante todo o curso. O desconto é proporcional ao valor inicial, onde a constante de proporcionalidade é a taxa percentual de desconto, isto é: d = i.p O valor final, ou valor descontado, é o resultado da diferença entre o valor final e o desconto, ou seja: V = P (i – 1) ► Fórmula para o cálculo de Desconto onde: V = valor final ou descontado P = preço ou valor inicial i = taxa de desconto Exemplo 25: Quanto de deve pagar por uma mercadoria de R$ 350,00, se houver um desconto de 3%? Qual o valor do desconto? V = P (i – 1) V = 350 (1 – 0,03) V = 350 . 0,97 V = 339,50  DESCONTOS SIMULTÂNEOS Se o valor inicial P, sofrer vários descontos simultâneos de taxas diferentes, tem-se vários descontos, e o valor final V será dado pela relação: V = P (1 - i1 - i2 - i3 - in) ► Fórmula para o cálculo de Desconto Simultâneos Exemplo 26: Um funcionário público do Estado do Paraná tem um salário-base de R$ 825,00 com desconto de 6% para o ACA e 2% para o IPB, ambos calculados sobre o salário-base. Qual o líquido a receber por esse funcionário? V = P (1 - i1 - i2) PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  38. 38. Matemática Financeira V = 825 (1 – 0,06 – 0,02) V = 825 (0,94 – 0,02) V = 825 . 0,92 V = 759,00  DESCONTOS SUCESSIVOS Se um valor inicial P for aplicado um desconto i1, obteremos V1. Se a este valor V1 for aplicada uma taxa i2, obteremos V2, formando assim um desconto sucessivo. Calculado pela relação”. V = P (1 - i1) (1 - i2) (1 - i3) (1 - in) ► Fórmula para o cálculo de Descontos Sucessivos Exemplo 27: Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000 unidades, em 5%. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria? V = P (1 - i1) (1 - i2) V = 50.000 (1 – 0,05) (1 – 0,07) V = 50.000 . 0,95 . 0,93 V = 44.175,00  Porcentagem sobre o preço de custo Operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias, feitas com objetivo de obter lucro, são chamadas operações comerciais, sendo o lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Convém ressaltar que o custo de uma mercadoria não se limita ao seu preço de aquisição. No custo também entram alguns fatores como: gasto com armazenagem, transporte, comercialização etc. O levantamento sistemático do custo de uma mercadoria é feito, nas empresas mais estruturadas, através de uma planilha. No entanto, é muito comum o empresário simplesmente arbitrarem uma determinada taxa de lucro a qual imaginam cobrir suas despesas e permitir um lucro liquido razoável. Em diversas situações envolvendo operações comerciais, é comum ouvirmos frases como: “Vendi uma mercadoria com 20% de lucro” “Vendi uma mercadoria com 32,5% de prejuízo” PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  39. 39. Matemática Financeira Frases como essas são motivos de dúvidas e confusão: 20% de lucro sobre o quê? Trinta e dois e meio por cento de prejuízo sobre o quê? É claro que, na maioria das vezes, a taxa de lucro (ou prejuízo) refere-se ao preço de compra da mercadoria, pois este é o capital empregado pelo comerciante. No entanto algumas vezes, é mais prático trabalhar com taxas sobre o preço de venda, pois esse, em geral, é o que está escrito nas tabelas, cartazes, etiquetas, etc. Quando o cálculo de lucro ou prejuízo é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo. Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos: » porcentagem (%) sobre venda » porcentagem (%) sobre custo Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial. E porque ter noção desta distinção? Ela se torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro.  LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO O lucro sobre o custo é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto de uma taxa percentual (i) e o preço de custo (PC). Então podemos escrever a seguinte equação: PV = PC (1 + i) ► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de custo Exemplo 28: Um comerciante fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de suas mercadorias. Uma delas custou R$ 1.200,00. Por quanto deverá vendê-la? V = P (1 + i) V = 1.200 (1 + 0,2) V = 1.200 . 1,2 P = 1.440,00 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  40. 40. Matemática Financeira Exemplo 29: Um objeto que custou R$ 285,00 foi vendido por R$ 319,20. Qual foi a taxa de lucro sobre o perco de custo? V = P (1 + i) 319,20 = 285 (1 + i) 285 20,319 = 1 + i 1,12 = 1 + i 1,12 – 1 = i i = 0,12 (x 100) i = 12%  LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA O lucro sobre a venda é dado pela soma do preço de custo (PC) com o produto de uma taxa percentual (i) e o preço de venda (PV). Então podemos escrever a seguinte equação. i PC PV − = 1 ► Fórmula para calcular o Lucro sobre o preço de venda Exemplo 30: Uma mercadoria custou R$ 22,50. Pretendo vendê-la com 25% de lucro sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la? 00,30 75,0 50,22 25,01 50,22 1 = = − = − = PV PV PV i PC PV  Operações com Prejuízo O prejuízo é caracterizado por uma taxa de lucro negativa. Significa dizer que o produto foi vendido por um preço menor que o de aquisição. Neste caso provoca mudança nos sinais dos números que exprimem as fórmulas acima:  PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  41. 41. Matemática Financeira PV = PC (1 - i) ► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de custo Exemplo 31: Comprei um aparelho de som por R$ 450,00. Precisando de dinheiro fui obrigado a vendê-lo, com 22% de prejuízo. Qual foi o meu prejuízo? Por quanto vendi o aparelho? PV = PC (1 - i) PV = 450 (1 -0,22) PV = 450 . 0,88 PV = 396  PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA i Pc PV + = 1 ► Fórmula para calcular o Prejuízo sobre o preço de venda Exemplo 32: Um objeto foi vendido com um percentual de prejuízo de 30% sobre o preço de venda. Sabendo que o preço de custo foi de R$ 2.300,00, por quanto foi vendido este objeto? Qual foi o prejuízo? 23,1769 3,1 300.2 3,01 300.2 1 = = + = + = PV PV PV i Pc PV EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 81. Escreva as taxas centesimais correspondentes a: a) 25% b) 5% c) 1% d) 0,5% e) 12,5% f) 100% g) 300% h) 1000% PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  42. 42. Matemática Financeira 82. No mês passado recebi R$ 2.600,00. Quanto deve receber neste mês se tive um aumento de 7,2% no meu salário? Resposta: R$ 187,20 83. Escreva as taxas centesimais correspondentes a: a) 0,4 b) 0,8 c) 0,07 d) 0,67 e) 1,2 f) 4.7 g) 0,725 h) 6,8 84. Recebi R$ 2.787,20 de salário após ter tido um aumento de 7,2%. Quanto recebia antes do aumento? Resposta: R$ 2.600,00 85. No mês passado recebi R$ 2.600,00 de salário e neste mês, após um aumento, recebi R$ 2.782,20. Qual foi a taxa de aumento? Resposta: 7% 86. Um atacadista, quando vende no varejo, cobra 25% a mais sobre os preços marcados em suas mercadorias: a) Quanto cobra para vender no varejo uma mercadoria cujo preço marcado é R$ 45,20? Resposta: R$ 56,50 b) Qual o preço marcado em uma mercadoria que é vendida no varejo por R$ 18,45? Resposta: R$ 14,76 87. Um comerciante desconta 5% dos preços marcados nas suas mercadorias quando os compradores pagam a vista: a) Qual o preço a vista de uma mercadoria cujo preço marcado é de R$ 105,00? Resposta: R$ 99,75 b) Qual o preço marcado em uma mercadoria vendida a vista por R$ 11,40? Resposta: R$ 12,00 88. Uma loja distribuidora de certo produto oferece um desconto de 10% nos preços das mercadorias quando as compras são feitas no atacado. Desconta ainda 5% do preço final para pagamento a vista. Que desconto teve um revendedor que comprou nesta loja por atacado e pagou a vista? Resposta: R$ 85,50 89. Um comprador pagou por uma mercadoria a quantia de R$ 6.720,00, resultante da inclusão de uma taxa de imposto de 5% sobre o preço de venda, Qual o preço PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  43. 43. Matemática Financeira de custo dessa mercadoria, para o vendedor, se seu lucro é de 25% sobre o custo? Resposta: R$ 5.107,20 90. No mês passado, uma loja remarcou os preços de suas mercadorias com acréscimos de 12% e neste mês acrescentou mais 15% sobre os preços remarcados: a) Quanto custa hoje uma mercadoria que antes dessas duas remarcações custava R$ 2.500,00? Resposta: R$ 3.220,00 b) Uma mercadoria que hoje custa R$ 1.030,40, quanto custava antes das remarcações? Resposta: R$ 799,50 c) Qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os preços nestes dois meses? Resposta: 28,88% 91. Um objeto foi comprado por R$ 2.800,00 e vendido por R$ 3.500,00. a) Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo? Resposta: 25% b) Qual a taxa de lucro sobre o preço de venda? Resposta: 20% 92. O que é mais vantajoso: um lucro de 25% sobre o preço de venda ou de 30% sobre o preço de custo? Resposta: 25% sobre o preço de venda 93. Um comerciante comprou 40kg de feijão e quer vendê-los no varejo de modo a poder comprar, com o dinheiro da venda, 50 kg do mesmo feijão. Qual deve ser a taxa de lucro sobre a compra? Resposta: 25% 94. Um objeto cujo preço normal é de R$ 80,00 foi vendido a R$ 50,00. Qual foi a taxa de desconto? Resposta: 37,5% 95. Qual o percentual de prejuízo que tive sobre a venda de um objeto que custou R$ 300,00 e foi vendido por R$ 1.200,00? Resposta: 300% 96. Uma loja pretende fazer uma promoção, oferecendo a seus clientes 40% de desconto. No entanto, a fim de minimizar seus prejuízos, aumentou primeiro seus preços. Que taxa de aumento deve aplicar a um artigo que custava R$ 100,00 de modo que, quando anunciado com 40% de desconto, seja vendido por R$ 72,00? Resposta: R$ 120,00 ou 20% 97. Um lote de livros foi impresso em duas tipografias, A e B. A imprimiu 70% e B imprimiu 30% do total. Abe-se que 3% dos livros impressos em A e 2% dos livros PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  44. 44. Matemática Financeira impressos em B são defeituosos. Qual a porcentagem dos livros defeituosos do lote? Resposta: 2,7% 98. Um objeto foi vendido por R$ 450,00 com 30% de prejuízo sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo? Resposta: 642,85 99. O preço de venda de um eletrodoméstico é de $6.500,00. o dono da loja Paga ao vendedor uma comissão de 10% sobre o preço de venda e ainda ganha 30% sobre o preço de custo. O preço de custo desse eletrodoméstico é: Resposta: R$ 4.500,00 100. Certa mercadoria foi comprada e revendida, sucessivamente, por dois negociantes. O primeiro teve um lucro de 10% sobre o preço de compra e o segundo, um prejuízo de 10%. Se o último revendeu a mercadoria por $ 3.960,00, o primeiro, ao adquiri-la, pagou: Resposta: R$ 4.000,00 101. Comprei uma casa por R$ 200 000,00. Tendo gasto 5% desse valor em impostos e 3% de comissão para o corretor, quanto efetivamente tive que desembolsar? Resposta: 216 000,00 102. O preço de uma mercadoria foi remarcado três vezes neste mês, passando a custar R$ 27.716,00. Quanto custava no mês passado se a primeira remarcação correspondeu a um acréscimo de 2,5% e as duas seguintes de 4% cada uma? Resposta: R$ 25.082,35 103. Sobre uma compra de R$ 400,00 foi-me concedido um desconto de 12%. Como ainda achei o preço muito alto, solicitei e consegui, sobre o novo valor, outro desconto de 5%. Quanto paguei. Teria sido melhor conseguir 17% sobre o primeiro valor ou não? Resposta: R$ 334,40, sim teria pago R$ 332,00 104. Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; Resposta: 33,33% b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resposta: 25% 105. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode concede ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? Resposta: 20% sobre o preço de venda PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  45. 45. Matemática Financeira O estudo de matemática financeira concentra-se na análise do crescimento do capital em função dos juros a ele acrescidos através de regimes de capitalização. Os regimes de capitalização normalmente utilizados são simples (ou linear) e composto (ou exponencial). Capitalização simples é o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período têm sempre o capital inicial como base de cálculo. Sua aplicação está mais relacionada com períodos de capitalização inferiores a um mês (taxa de juros do cheque especial cobrada dentro de um mês) e a desconto de títulos junto a agentes financeiros (desconto de cheques pré-datados nos bancos) Neste tópico iremos estudar: > TAXA NOMINAL > TAXA PROPORCIONAL > OUTROS TIPOS DE TAXA > JUROS SIMPLES > MONTANTE SIMPLES > TAXA EFETIVA SIMPLES > DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO > DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA > DESCONTO BANCÁRIO PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  46. 46. Matemática Financeira A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.  Nomenclatura  Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).  Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.  Tempo: Refere-se ao período de tempo, prazo, que o dinheiro deverá ficar emprestado. Exemplo: 5 meses, 8 anos, 58 dias, 4 bimestres, etc..  Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:  Forma de resgate ou amortização: é a forma como o capital é resgatado (pelo aplicador) ou amortizado (pelo tomador do empréstimo). Pode ser de uma única vez no vencimento final da operação ou em parcelas intermediárias.  Forma de pagamento de juro: determina as condições de periodicidade de pagamento de juro. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  47. 47. Matemática Financeira  Spread: é a taxa de determinação cobrada pelo intermediário financeiro.  O Fluxo de Caixa: é o gráfico da matemática financeira. Serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo.  TAXA NOMINAL É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: • 12% ao ano, capitalizados mensalmente; • 24% ao ano, capitalizados semestralmente; • 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; • 18% ao ano, capitalizados diariamente. A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.  TAXAS PROPORCIONAIS São aquelas que aplicadas sobre um mesmo capital inicial, durante um mesmo período de tempo, geram montantes iguais, embora seus períodos de incidência sejam diferentes. É utilizada nos contratos de crédito quando expressa a taxa nominal, porém não possuímos nenhuma operação de crédito que seja atualizada por taxa nominal. As taxas proporcionais incidem sempre sobre o capital inicial, pois se baseiam em Juros Simples. São calculadas através de uma proporção (regra de três). PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  48. 48. Matemática Financeira Exemplo 33: A taxa de 24% ao semestre é proporcional a: 12% ao trimestre, pois (24 :2) = 12 4% ao mês, pois (24 : 6) = 4 48% ao ano, pois (24 x 2) = 48  OUTROS TIPOS DE TAXAS A Taxa Acumulada de juros com taxas variáveis é, normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral. A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas. A Taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros. A Taxa Aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação. Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais. A Taxa Over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento. Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários. A Taxa Média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica. Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  49. 49. Matemática Financeira A Taxa Efetiva: É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. A taxa efetiva pode ser utilizada no regime de juros simples e no regime de juros composto EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 106. Calcule a taxa proporcional nas hipóteses seguintes: a) 96% ao ano é proporcional à taxa de................... % ao mês. b) 4,2% ao semestre é proporcional à taxa de...........% ao ano. c) 6% ao mês é proporcional à taxa de.....................% ao ano. d) 0,20% ao dia é proporcional à taxa de..................% ao ano. e) 16,3% ao bimestre é proporcional à taxa de .........% ao quadrimestre. f) 45% ao trimestre é proporcional à taxa de............% na quinzena.  OS JUROS O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: O juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: O juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.  Quando usamos juros simples e juros compostos? PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  50. 50. Matemática Financeira A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.  Juro Comercial e Juro Exato Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe uma denominação especial dependendo do tipo de prazo que se considera. Juros Comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério comercial, isto é, consideram-se todos os meses com 30 dias e por conseqüente o ano com 360 dias. Juros Exato: é aquele que se obtém contando-se o número exato de dias pelo critério do prazo exato, isto é, considera-se os dias dos meses conforme concebidos no calendário.  Conversão de Datas Suponha que você faça um crediário no dia 10 e, claro, precisa calcular quantos dias restam até o final do mês . "Ora (Pensa você) é só verificar qual dia termina o mês (se dia 28, 30 ou 31) e subtrair a diferença. Você estará, na verdade, 50% certo. Na verdade, existem 2 métodos para calcular um intervalo entre duas datas: • Tempo exato : é o referido acima . Você verifica em que dia, exato, termina o prazo que você tem e calcula a diferença. Por exemplo, entre 25 de abril e 27 de setembro você tem 155 dias. • Tempo aproximado ou comercial : é aquele no qual assumimos que cada mês possui 30 dias. Assim, Seguindo o intervalo de datas acima temos decorridos 5 meses de 25 de abril a 25 de setembro ( ou seja 150 dias ) mais 2 dias até 27 de setembro e temos como total 152 dias. A diferença, é claro, acaba sendo mínima mas quando altas quantias estão envolvidas, um dia faz muita diferença. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  51. 51. Matemática Financeira  OS JUROS SIMPLES Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em função do tempo.  Cálculo dos Juros Valor dos juros é obtido da expressão: J = PV . i . n ► Fórmula para o cálculo dos Juros Simples onde: j = valor dos juros PV = valor do capital inicial ou principal i = taxa n = prazo Exemplo 34: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m.? Dados: Solução: PV = 10.000,00 n = 15 meses i = 3% a m. j = ? j = PV . i . n j = 10.000,00 x 0,03 x 15 j= 4.500,00 Exemplo 35: Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente? Dados: Solução: PV = 25.000,00 j = 5.000,00 n = 10 meses i = ? j = PV . i . n 5.000 = 25.000,0 x i x10 i = 0,02 ou 2% a. m. Exemplo 36: Calcule o tempo que um capital de $ 2.500,00, fica aplicado a uma taxa simples de 9% ao mês e rende de juros R$ 2.250,00. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  52. 52. Matemática Financeira Dados: Solução: PV = 2.500,00 n = ? i = 9% a m. j = 2.025,00 j = PV x i x n 2.025 = 2.500,00 x 0,09 x n 2.025= 225 x n n = 9 meses Exemplo 37: Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa diária correspondente a essa aplicação? Dados: Solução: PV = 50.000,00 j = 8.250,00 n = 180 dias i = ? j = Pv . i . n 8.250 = 50.000,00 x i x 180 8.250 = 9.000.000 x i i = 000.000.9 250.8 i = 0,00091667 (x 100). i = 0,091667% ao dia.  Observação: Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente.  MONTANTE SIMPLES Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado pela fórmula: FV = PV (1 + i . n) ► Fórmula para o cálculo do Montante Simples onde: FV = Valor Futuro ou Montante PV = Valor Presente ou Capital i = Taxa unitária n = Tempo ou prazo Exemplo 38: Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  53. 53. Matemática Financeira ( ) 42,960.72$ ) 360 145 100 5,10 1(70000 .1 RFV FV niPVFv = ×+= += Exemplo 39: Seu chefe, num ato de generosidade desmedida e pressionado pelo Sindicato, informou que, no mês que vem, dará um aumento de 3% no salário de todos os funcionários . Supondo-se que você ganhe $ 1.100,00, para quanto vai o seu salário? Dados: Solução: PV = 1.100,00 n = 1 i = 3% a m. FV = ? FV = PV (1 +i . n) FV = 1.100 (1 + 0,03 x 1) FV = 1.100 (1 + 0,03) FV = 1.100 . 1,03 FV = 1.133,00 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 107. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: R$ 21.333,33 108. Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: R$ 1.070,00 109. Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m. 110. Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos. 111. Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00 112. Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  54. 54. Matemática Financeira 113. Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m. 114. Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m. 115. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos 116. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses 117. Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses 118. Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses 119. Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.m. 120. Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a. 121. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  55. 55. Matemática Financeira 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: R$ 1.050.000,00 122. Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de R$ 102.000,00 123. Uma aplicação financeira de R$ 1.000,00 tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado pelo investidor. Resposta: R$ 1.043,20 124. Uma aplicação financeira de R$ 6.500,00 tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 24% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 23% do valor do juro auferido. Qual o valor resgatado pelo investidor. Resposta: R$ 6.900,40 125. Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: R$ 782,61 e $417,39 126. Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: R$ 1.800,00 e $1.200,00 127. Certo comerciante poderia ter vendido uma mercadoria, a vista, por R$ 1.000,00 e aplicado a taxa de juros simples de 3,4% ao mês no Banco Quebrado S.A. No entanto preferiu aumentar seu preço para R$ 1.153,00 e conceder um prazo de 120 dias para seu pagamento. Ele fez um bom negócio? Justifique resolvendo o exercício. 128. Um banco cobra uma taxa de 10% de juros simples ao mês para os excessos em conta corrente e um cliente utilizou R$ 1.540,00 durante 15 dias. Qual deverá ser o valor dos juros a serem pagos? Resposta: R$ 77,00 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  56. 56. Matemática Financeira 129. Uma pessoa vai fazer uma compra no valor de R$ 4.000,00, usando o que tem depositado em uma aplicação que rende 1% de juros simples ao mês. Do ponto de vista financeiro, qual plano é mais vantajoso: pagar à vista ou pagar em duas prestações iguais de R$ 2.010,00 sendo uma na entrada. Resposta: melhor comprar a vista.  TAXA EFETIVA SIMPLES É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência. Para calcular a taxa efetiva simples usamos as fórmulas derivada do Montante Simples. n PV FV ie 1− = ► Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples Exemplo 40: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% ao mês de juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador pagou por um empréstimo de R$ 50.000,00 por três meses? * Primeiramente temos que calcular os juros pagos antecipadamente. J = PV . i . n J = 50.000 . 0,08 . 3 J = 12.000,00 Como ele pagou R$ 12.000,00 de juros acabou levando R$ 38.000,00. Para entendermos o que significa a taxa efetiva, devemos pensar a seguinte situação. Imagine que o negócio que o tomador do empréstimo iria fazer não se concretizou. Ele não pode ficar com o dinheiro parado, pois terá que devolver á instituição financeira o valor emprestado. Então, qual a taxa que deverá ser aplicado PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  57. 57. Matemática Financeira os R$ 38.000,00 para que no final do período o tomador do empréstimo tenha o valor de R$ 50.000,00 para pagar a dívida? 3 1 000.38 000.50 1 − = − = ie n PV FV ie ⇒ ( ) %52,10 100105263,0 3 315789,0 3 1315789,1 = = = − = ie xie ie ie Portanto ele terá que aplicar o dinheiro em uma instituição que remunere a uma taxa de 10,52% ao mês. Logo a taxa efetiva corresponde a 10,52% ao mês. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 130. Foi feito um empréstimo no valor de r$ 2.500,00, pagando-se no final R$ 2.640,00, porém o cliente pagou no ato da operação um total de despesas de R$ 31,25, determine as taxas: Resposta: Efetiva para o cliente = 6,94% Nominal oferecida pelo banco.= 5,60% 131. Um cliente fez uma aplicação no valor de R$ 2.000,00, para resgatar bruto no final R$ 2.055,20, porém pagou R$ 5,52% de IR no final da operação. Calcule: a)Taxa Nominal, Resposta: Resposta: 2,76% b)Taxa Efetiva; Resposta: Resposta: 2,48% 132. Foi feito um empréstimo no valor de R$ 3.200,00, e os juros pagos no final da operação foram de R$ 358,40. Sabendo-se que o banco, cobrou no ato da operação R$ 13,00 referente a despesas e mais R$ 25,00 de cadastramento, pergunta-se: a) Qual a taxa nominal oferecida pelo banco? Resposta: 11,20% b) Qual a taxa efetivamente paga pelo cliente? Resposta: 12,54% 133. No financiamento de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, o cliente recebeu o valor liquido de R$ 12.525,00. Se a taxa de juros for fixada em 27% ao ano, existirá taxa de serviço cobrada no desconto bancário? Resposta: Sim, 3% 134. Calcular o desconto comercial de uma duplicata cujo valor nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8 % ao ano e o prazo de antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo adotada? Resposta: Dc = R$ 300,00; Te = 0,0833% a. d. ou 30% a.a. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  58. 58. Matemática Financeira 135. As lojas Enairam oferecem um produto pelo preço de R$ 1.800,00 a vista. Esclarece que o comprador poderá pagar em duas vezes com um pequeno aumento de 5% a mais sobre o preço total, isto é, poderá pagar R$ 945,00 no ato da compra e R$ 945,00 após 30 dias. Qual a taxa efetiva que essa loja esta cobrando? Resposta: 10,52% 136. Um capitalista depositou R$ 200.000,00 num banco, a prazo fixo por dois meses, à taxa de 1.2% ao mês. Sabendo que sobre os juros incide uma taxa de 30% de Imposto de Renda, determine: a) Imposto de Renda retido; Resposta: R$ 1.440,00. b) O valor líquido de resgate; Resposta: R$ 203.360,00. c) A taxa efetiva mensal do rendimento. Resposta: R$ 1,8% PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  59. 59. Matemática Financeira  DESCONTOS SIMPLES Entende-se por desconto o abatimento que se faz sobre um título de crédito quando resgatado antes da data do vencimento. Os títulos que sofrem operações de desconto, geralmente são: nota promissória1 , a duplicata2 e a letra de câmbio3 . O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro. Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto. Diz-se: Dia do vencimento - é o dia fixado no título para pagamento (ou recebimento) da aplicação; Valor nominal - (ou valor futuro ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título(importância a ser paga no dia do vencimento); Valor atual - é o líquido pago (ou recebido) antes do vencimento; Desconto - é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual, isto é : D = VN - VA. Todo título tem um valor nominal (ou valor de face) que é o valor declarado no mesmo e corresponde à data de seu vencimento. O valor pelo qual o título é resgatado antes da data de seu vencimento é denominado de valor atual (ou valor presente ou valor descontado ou valor líquido). Independentemente do tipo de desconto utilizado na operação (comercial ou racional), defini-se o valor atual (VA) como a diferença entre o valor nominal (VN) do título e o desconto concedido (D), isto é, VA = VN - D As operações de desconto podem ocorrer tanto no regime de capitalização simples – Desconto Simples – quanto no regime de capitalização composta – Desconto Composto. Em qualquer dos regimes, existem dois tipos de descontos: 1 A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira. 2 A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. 3 A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira. PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES
  60. 60. Matemática Financeira  Desconto Comercial (ou bancário ou por fora) – aquele cuja base de cálculo é o valor nominal do título;  Desconto Racional (ou por dentro) – aquele cuja base de cálculo é o valor atual do título.  DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso saldado n período antes do vencimento O Desconto Racional, possui a mesma operação que a do Juros, sendo que no Desconto Simples, o rD é o produto do valor atual VA do título pela taxa de desconto i contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate, isto é, Dr = VA . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional ni VN VA .1+ = ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual ni niVN Dr .1 .. + = ► Fórmula para o cálculo do Desconto Racional Exemplo 41: Uma pessoa pretende saldar um título de $ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto obtido e quanto vai obter ? PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES VA VN D VN V N 3 meses 00,500 10,1 550 10,01 10,0.500.5 3 12 40,0 1 3 12 40,0 500.5 1 = = + = + = + = Dr Dr Dr x xx D in Nin D r r 00,000.5 500500.5 = −= −= VA VA DrVNVA
  61. 61. Matemática Financeira Exemplo 42: Um título de valor nominal R$ 600.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2% a.m.. Qual o desconto racional concedido? ?De0,02a.m.2%i,meses2n,000.600 r =====VN 23.076,92D 2.0,021 2.0,02.600.000 D .1 n.i. rr =⇒ + =⇒ + = ni VN Dr  DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA” É o valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o valor nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento. Desconto Comercial Simples cD é o produto do valor nominal VN do título pela taxa de desconto i contratada na operação e pelo prazo de antecipação n do resgate, isto é, Dc = VN . i . n ► Fórmula para o cálculo do Desconto VA = VN ( 1 – i. n) ► Fórmula para o cálculo do Valor Atual Exemplo 43: Uma duplicata de valor nominal R$ 600.000,00, foi resgatada 2 meses antes do vencimento através de desconto comercial à taxa de 2% a.m.. Qual o desconto Comercial concedido e o valor atual comercial? ?De0,02a.m.2%i,meses2n,000.600 c =====VN 24.000,00D 2.0,02.600.000D n.i.VN c c = = =cD 576.000,00VA 24.000600.000VA DVN c c c = −= −=cVA Exemplo 44: Um título de R$ 6.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine: a) O valor do desconto comercial; PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES VN VN D FV 2 meses
  62. 62. Matemática Financeira b) O valor atual comercial. 189,00D 1,5.0,021.6.000D n.i.VN c c = = =cD 5.811,00VA 1896.000VA DVN c c c = −= −=cVA  DESCONTO BANCÁRIO Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa administrativa prefixada, cobrada sobre o valor nominal. Taxa Administrativa: Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de abertura, concessão e controle do crédito. É calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na liberação dos recursos. Esses encargos financeiros de desconto bancário são referenciados, para o cálculo de seus valores monetários, pelo critério de juros simples. Evidentemente, para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas operações é adotado o regime composto, conforme amplamente discutido. Para o cálculo do Desconto Bancário utilizamos a fórmula do Desconto Comercial acrescida da taxa administrativa do banco, isto é: Db = VN (i . n + h) ► Para calcular o Valor do Desconto Bancário VA = VN [1 – (i . n + h)] ► Para calcular o Valor Atual Bancário Exemplo 45: Um título de $ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 48% a.a., qual o desconto bancário ? Quanto recebeu o proprietário do título? Cálculo do Desconto Bancário Cálculo do Valor Atual Db = VN (i . n + h) Db = 5.500 (0,04 . 3 + 0,02) Db = 5.500 (0,12 + 0,02) Db = 5.500 . 0,14 Db = 770,00 VA = VN [1 – (i . n + h)] VA = 5.500 [1 – (0,04 . 3 + 0,02)] VA = 5.500 [1 – 0,14] VA = 5.500 . 0,86 VA = 4.730,00 PROFESSOR ANTONIO ROBERTO GONÇALVES

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