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Vários assuntos ligados a Matemática financeira requerem o uso de porcentagem. Por exemplo:
cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos,
empréstimo bancários entre outras situações.
Exemplo 1 - O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de
20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?
Exemplo 2 - Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%.
Qual é o preço da calça dentro dessa condição?
Exemplo 3 - Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um
desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00?
Exemplo 4 - O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais
iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros
uma pessoa que decidir comprar a prazo?
Exemplo 5 - Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De
quantos por cento foi redução?
* Noção de compra e venda de mercadoria
Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de
preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo
do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor.
Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os
seguintes casos distintos: » porcentagem (%) sobre venda » porcentagem (%) sobre custo
3º ANO
Instituto Santos Dumont
Aluno: Nº.
Professor (a) : Jomoaldo Disciplina: Matemática II Data:
E porque ter noção desta distinção? Ela se torna muito importante na resolução de problemas
envolvendo dinheiro.
* Porcentagem sobre o preço de custo
Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em
cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o
custo.
Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial.
Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um
determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de
custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer
dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de
R$ 30,00 (lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do
custo. Acompanhe o raciocínio, ao lado.
Através de um cálculo da regra de três temos:
𝑅$ 200,00
𝑋
=
100%
30%
 𝑋 =
200 . 30
100
 𝑋 =
6000
100
 X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação)
Em toda operação, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do
produto, as partes obrigatórias de cálculos na operação são:
» Venda » Custo » Lucro (ou prejuízo, conforme operação)
Para que haja uma memorização melhor sobre estes elementos fundamentais de cálculo sobre
porcentagem de custo, observe:
C = CUSTO V = VENDA L = LUCRO P = PREJUÍZO
* Exercícios para fixar conteúdo sobre Custo, Venda, Lucro e Prejuízo
Para poder resolver os problemas citados com facilidade, basta saber as seguintes questões:
- o preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 100% (cem por cento)
- a venda do produto (com prejuízo na operação) é sempre igual ao preço de custo menos o
prejuízo, da seguinte forma: C – P = V ou V = C – P
- a venda do produto (com lucro na operação) é sempre igual à soma do custo mais o lucro, da
seguinte forma:
C + L = V ou V = C + L 100% + 30% = 130% 130% = 100% + 30%
Custo Lucro
R$ 100,00 R$ 30,00
R$ 100,00 R$ 30,00
Custo total =
R$ 200,00
Lucro Total =
R$ 60,00
Exemplos
a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter
um lucro final de 15%?
b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter
um lucro final de 50%?
c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte
por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação?
c) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o
lucro na operação foi de R$ 250,00.
d) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida em sucessivos negócios com lucros
seqüentes de 15%, 25% e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da casa?
e) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o
custo. Qual foi o prejuízo desta operação?
Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso
no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente,
o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples
eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no
regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros
simples.
No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da
aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da
dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é
a seguinte:
J = C * i * t, onde J = juros; C = capital; i = taxa de juros; t = tempo de aplicação (mês, bimestre,
trimestre, semestre, ano...)
M = C + J, onde M = montante final; C = capital; J = juros
Exemplo 1 - Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no
regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?
Exemplo 2- Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital
durante o período estabelecido inicialmente. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa
de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do
montante final da aplicação.
Exemplo 3 - Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%,
rendeu juros de R$ 2.688,00.
Exemplo 4 - Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de
juros em 45 dias?
Exemplo 5 - Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$
90,00 em um trimestre?
Exemplo 6 - Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa
mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior
rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna
fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do
capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de
investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois
ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.
Exemplo 1 - Considere que uma
pessoa aplique R$ 500,00 durante 8
meses em um banco que paga 1% de
juro ao mês. Qual será o valor ao final
da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a
movimentação financeira na aplicação
do regime de juros compostos. No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C * (1 + i)t
, onde: M: montante; C: capital; i: taxa de juros; t: tempo de aplicação
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma
calculadora científica.
Exemplo 2 - Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de
juros mensais de 1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 3 - Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa
de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00. Calculando a taxa de juros da aplicação.
Exemplo 4 - Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que
gerou o montante de R$ 10.145,93?
C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?
A taxa de juros da aplicação foi de 2%.
Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)
Exemplo 5 - Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao
mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?
C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?
1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t
1.444,89 = 800 * 1,03t
1.444,89/800 = 1,03t
1,03t
= 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03t
= log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20
O capital deverá ficar aplicado por 20 meses.

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Matematica Financeira

  • 1. Vários assuntos ligados a Matemática financeira requerem o uso de porcentagem. Por exemplo: cálculo de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimo bancários entre outras situações. Exemplo 1 - O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la? Exemplo 2 - Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição? Exemplo 3 - Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00? Exemplo 4 - O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo? Exemplo 5 - Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução? * Noção de compra e venda de mercadoria Todo comerciante compra uma certa mercadoria por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos: » porcentagem (%) sobre venda » porcentagem (%) sobre custo 3º ANO Instituto Santos Dumont Aluno: Nº. Professor (a) : Jomoaldo Disciplina: Matemática II Data:
  • 2. E porque ter noção desta distinção? Ela se torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro. * Porcentagem sobre o preço de custo Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e que é usado e adotado no mercado comercial. Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor de R$ 100,00 do preço do custo. Acompanhe o raciocínio, ao lado. Através de um cálculo da regra de três temos: 𝑅$ 200,00 𝑋 = 100% 30%  𝑋 = 200 . 30 100  𝑋 = 6000 100  X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação) Em toda operação, envolvendo problemas relacionados com porcentagem sobre o custo do produto, as partes obrigatórias de cálculos na operação são: » Venda » Custo » Lucro (ou prejuízo, conforme operação) Para que haja uma memorização melhor sobre estes elementos fundamentais de cálculo sobre porcentagem de custo, observe: C = CUSTO V = VENDA L = LUCRO P = PREJUÍZO * Exercícios para fixar conteúdo sobre Custo, Venda, Lucro e Prejuízo Para poder resolver os problemas citados com facilidade, basta saber as seguintes questões: - o preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 100% (cem por cento) - a venda do produto (com prejuízo na operação) é sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da seguinte forma: C – P = V ou V = C – P - a venda do produto (com lucro na operação) é sempre igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: C + L = V ou V = C + L 100% + 30% = 130% 130% = 100% + 30% Custo Lucro R$ 100,00 R$ 30,00 R$ 100,00 R$ 30,00 Custo total = R$ 200,00 Lucro Total = R$ 60,00
  • 3. Exemplos a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%? b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação? c) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação foi de R$ 250,00. d) Uma casa foi comprada por R$ 20.000,00, e revendida em sucessivos negócios com lucros seqüentes de 15%, 25% e 30%. Nesta operação, qual foi o último preço de venda da casa? e) Uma pessoa vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o custo. Qual foi o prejuízo desta operação?
  • 4. Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples. No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte: J = C * i * t, onde J = juros; C = capital; i = taxa de juros; t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) M = C + J, onde M = montante final; C = capital; J = juros Exemplo 1 - Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Exemplo 2- Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação. Exemplo 3 - Determine o valor do capital que aplicado durante 14 meses, a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.
  • 5. Exemplo 4 - Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias? Exemplo 5 - Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? Exemplo 6 - Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples? O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro. Exemplo 1 - Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação? A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos. No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
  • 6. Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte: M = C * (1 + i)t , onde: M: montante; C: capital; i: taxa de juros; t: tempo de aplicação Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica. Exemplo 2 - Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano? C: R$ 7.000,00 i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015 t: 1 ano = 12 meses M = C * (1 + i)t M = 7000 * (1 + 0,015)12 M = 7000 * (1,015)12 M = 7000 * 1,195618 M = 8369,33 O montante será de R$ 8.369,33. Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante. Exemplo 3 - Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43? M: R$ 15.237,43 t: 10 i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02 M = C * (1 + i)t 15237,43 = C * (1 + 0,02)10 15237,43 = C * (1,02)10 15237,43 = C * 1,218994 C = 15237,43 / 1,218994 C = 12500,00 O capital é de R$ 12.500,00. Calculando a taxa de juros da aplicação.
  • 7. Exemplo 4 - Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93? C: R$ 8.000,00 M: R$ 10.145,93 t: 12 i: ? A taxa de juros da aplicação foi de 2%. Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo) Exemplo 5 - Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89? C: R$ 800,00 M: R$ 1.444,89 i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03 t: ? 1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t 1.444,89 = 800 * 1,03t 1.444,89/800 = 1,03t 1,03t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos) log1,03t = log1,806 t * log1,03 = log1,806 t * 0,013 = 0,257 t = 0,257/0,013 t = 20 O capital deverá ficar aplicado por 20 meses.