Análise de fluxo de caixa e métodos de avaliação de investimentos

1ª edição
2017
Matemática
Financeira

5
3
Unidade de Estudo 5
Método de Avaliação de
Fluxo de Caixa
Para iniciar seus estudos
Nesta unidade você aprenderá um pouco sobre análise de investimentos,
sob a ótica da análise do fluxo de caixa. Você conseguirá analisar dois ou
mais investimentos e verqual deles é mais rentável e que, portanto, tende
a ser escolhido.
Objetivos de Aprendizagem
• Apresentar as diferenças entre juros simples e compostos;
• Conceituar TIR, VPL, Payback;
• Demonstrarcomo fazemos para analisarqual investimento é mais
viável em detrimento de outro, utilizando algumas ferramentas
de decisão.

4
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 5 – Método de Avaliação de Fluxo de Caixa
5.1 Conceitos Iniciais
É comum precisarmos fazer análise de investimentos em algumas situações. Para tanto você precisa saber pri-
meiramente interpretarum fluxo de caixa. Feito isso, há necessidade de quevocê utilize algumas das ferramentas
de decisão que serão apresentadas nesta aula para julgar qual investimento é mais rentável, e, portanto, deve ser
escolhido.
As ferramentas de decisão que vão ser apresentadas nesta unidade são: taxa interna de retorno (TIR), valor
presente líquido (VPL) e Payback (tempo de retorno de investimento). Todas elas podem lhe ajudar na hora
de tomar uma decisão quanto à escolha de um projeto.
5.2 Fluxo de Caixa
Definimos fluxo de caixa como o conjunto de entradas (receitas) e saídas (despesas) do capital no caixa de uma
empresa (ou indivíduo) ao longo do tempo.
A elaboração do fluxo de caixa é fundamental na análise de rentabilidades e custos de operações financeiras, e
também no estudo da viabilidade econômica de projetos e investimentos.
Para construir um fluxo de caixa, primeiramente você deve ter a relação entre todas as despesas e receitas para
todos os períodos que você quer analisar. Feito isso, você deve adotar a seguinte convenção:
Quadro 5.1 - Convenções em um fluxo de caixa.
Símbolo Significado
ou + Entradas (crédito)
ou - Saídas (débito)
Legenda: Convenções em um fluxo de caixa.
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
Feita essa convenção, você deve representar de maneira gráfica todas as entradas e saídas de caixa ao longo dos
períodos em análise.
Exemplo 5.1
Mariana aplicou R$50.000,00 em um banco e recebeu R$6.500,00 de juros após 12 meses.
Podemos notar que o fluxo de caixa da Figura 5.1 a seguir ilustra uma saída de R$50.000,00 e uma entrada de
R$56.500,00. Isso porque primeiramente Mariana aplicou o dinheiro, ou seja, é uma saída, depois disso ela rece-
beu, logo aumenta o caixa dessa pessoa.

5
Figura 5.1 – Fluxo de caixa do Exemplo 5.1
Legenda: Fluxo de caixa de uma aplicação de R$50.000,00 e recebimento de R$56.500,00.
Fonte: Hazan e Pompeo (2007, p.7)
No exemplo 5.1 tivemos uma situação com apenas uma entrada e uma saída de caixa. No entanto, em situações
do cotidiano, é muito comum que haja várias entradas e saídas ao longo do período temporal que estamos inte-
ressados em analisar. O raciocínio de construção do fluxo de caixa para esses casos é o mesmo. Cuidado para não
esquecer a convenção feita no Quadro 1.1.
Exemplo 5.2
Eduardo comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 12 parcelas de R$1.680,00 a partir de
hoje. Desenhe o fluxo de caixa para esse caso.
Note que primeiramente teve uma “entrada” de R$16.000,00 no período inicial. Depois aconteceram 12 saídas,
começando no período inicial, de R$1.680,00 cada. Assim, o fluxo de caixa da Figura 5.2 a seguirilustra a situação
do exercício.
Legenda: Fluxo de caixa de compra de R$ 16.000,00 e parcelas de R$ 1.680,00.
Fonte: Elaborada pelo autor (2017).
No exemplo 5.2 tivemos a primeira parcela sendo paga no período zero. Isso acontece porque o próprio enun-
ciado nos forneceu esse dado. Portanto, fique atento quando for ler o exercício.

6
Quando você for desenhar o fluxo de caixa para representar as entradas e saídas de caixa,
tome cuidado com o tamanho das setas que você utilizar. Os valores maiores devem possuir
setas maiores do que os menores valores.
Exemplo 5.3
Juliana recebeu um empréstimo de R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais de R$6.000,00 daqui um
mês. Desenhe o fluxo de caixa para essa situação.
Note que inicialmente Juliana teve um aumento em seu “caixa”, por isso esse valor é uma entrada, e, consequen-
temente, é representado poruma seta para cima. Depois, nos dois períodos subsequentes, ela fez dois pagamen-
tos (saídas de caixa), logo são representados por setas para baixo.
Legenda: Fluxo de caixa de entrada de R$ 10.000,00 e saídas de R$ 6.000,00.
Até o momento, mostramos situações em que há apenas uma entrada ou saída em cada período. No entanto,
podem existir entradas e saídas em um mesmo período. Veja o Exemplo 5.4.
Exemplo 5.4
Igor fez um empréstimo de R$10.000,00 em um determinado banco para pagar em três prestações mensais de
R$ 4.000,00, começando no próximo período. Ele aplicou esse dinheiro e tem rendimentos de R$100,00 nos três
períodos em questão. Desenhe o fluxo de caixa.
Primeiramente há uma entrada (seta para cima) de R$ 10.000,00 no período 0. Depois existem três saídas (setas
para baixo) nos períodos 1, 2 e 3 de R$4.000,00. Além disso, há entradas (setas para cima) de R$100,00 nos perí-
odos 1, 2 e 3. A Figura 5.4 a seguir ilustra o fluxo de caixa para o exemplo 5.4. Veja como foi a construção.

7
Legenda: Fluxo de caixa de um empréstimo de R$10.000,00, parcelas de R$4.000,00 e entradas de R$100,00
Nos exemplos anteriores mostramos apenas casos em que as parcelas pagas são constantes. No entanto, sem
problema algum, elas podem servariáveis.
Caso um exercício tenhavárias entradas e saídas em um mesmo período, comvalores distin-
tos, e tenha vários períodos, pode ser mais viável recorrer ao Excel para resolver o exercício e
pouparvários cálculos.
Exemplo 5.5
Sabrina comprou um carro porR$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelasvariáveis que começam com R$500,00
e vão aumentando em R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte. Desenhe
o fluxo de caixa
Note que primeiramente houve um aumento no caixa, representado pela compra do veículo, de R$12.000,00,
logo é uma seta para cima no período 0. Depois existem 20 despesas ou pagamentos crescentes, logo precisam
ser geradas 20 setas para baixo com tamanhos crescentes (variando de R$500,00 até R$2.400,00, que é o valor
para o último período ou período 20), começando no período subsequente ao período da compra, ou seja, perí-
odo 1. O fluxo de caixa está representado na Figura 5.5 a seguir. Nessa Figura estão sintetizados todos os concei-
tos que foram passados no enunciado e neste parágrafo.

8
Legenda: Fluxo de caixa de uma compra de R$12.000,00, parcelas que começam em R$500,00 e vão até R$2.400,00.
Diante disso, finalizamos os conceitos de fluxo de caixa que você precisa saber. Releia os exemplos para afixar o
conteúdo, pois é indispensável, nos próximos tópicos, que você saiba desenhar o fluxo de caixa para quaisquer
situações.
5.3 Valor do dinheiro no tempo
Nos exercícios que envolvem fluxo de caixa, em alguns casos é necessário que façamos a conversão entre valor
presente, pagamento e valor futuro.
Quando o exercício nos fornece o valor dos pagamentos e pede que encontremos o valor presente relativo àque-
les pagamentos, devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
( )
( )
1 1
1 .
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
=  
+
 
 
Quando o exercício nos fornece o vlor futuro e pede que encontremos o valor presente relativo ao valor futuro,
devemos utilizar a seguinte expressão matemática:
( )
1
n
FV
PV
i
=
+
Em que:
PV : valor presente.
FV : valor futuro.
PMT : valor dos pagamentos.
i : taxa de juros.

9
Exemplo 5.6
Adriana pagou um notebook por três parcelas mensais de R$500,00, com juros de 1% ao mês. Desenhe o fluxo de
caixa e encontre o valor presente relativo a essas parcelas.
Como só existem saídas, teremos apenas setas para baixo. Logo o fluxo de caixa está representado na Figura 5.6
Legenda: Fluxo de três pagamentos mensais de R$ 500,00.
Diante disso, já mostramos qual é o fluxo de caixa para o caso em questão. Agora vamos calcular o valor presente
através da seguinte expressão:
( )
( )
1 1
1 .
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
=  
+
 
 
( )
( )
3
3
1 0,01 1
500
1 0,01 .0,01
PV
 
+ −
=  
+
 
 
$1.470,49
PV R
=
Assim,temosqueovalorpresenterelativoatrêsprestaçõesmensaisdeR$500,00comjurosde1%édeR$1.470,49.
O procedimento que você deve utilizar para resolver exercícios que forneçam o valor futuro e peça o valor pre-
sente é similar ao do exemplo 5.6, mudando apenas a expressão matemática.
5.4 Valor Presente Líquido (VPL)
No tópico 5.3 você aprendeu como fazemos para encontrar o valor presente relativo a um determinado fluxo de
entradas ou saídas.
O método dovalorpresente líquido (VPL) calcula ovalorpresente líquido de um projeto através da diferença entre
o valorpresente das entradas líquidas de caixa do projeto e o investimento inicial requerido para iniciaro mesmo.
Para entender melhor o conceito passado, veja o Exemplo 5.7.

10
Exemplo 5.7
Paula fez um empréstimo de R$2.000,00 para pagarem 5 parcelas de R$500,00. Considerando uma taxa de juros
de 2% ao mês, qual o valor presente líquido desse investimento?
Vamos calcular o valor presente dos pagamentos feitos:
( )
( )
1 1
1 .
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
=  
+
 
 
( )
( )
5
5
1 0,02 1
500
1 0,02 .0,02
PV
 
+ −
=  
+
 
 
$2.356,73
PV R
=
Assim, temos que o valor presente dos pagamentos é de R$ 2.356,73.
Agora, para encontrarmos o valorpresente líquido, precisamos subtraira entrada no valorpresente (R$ 2.000,00)
da saída do valor presente (R$ 2.356,73). Assim, temos que:
2000 2356,73
VPL
= −
$356,73
VPL R
= −
O valor presente líquido para o investimento feito é de R$ -356,73.
Quando estamos analisando a viabilidade de projetos, dizemos que se o VPL for negativo, é um indício de que o
retorno do projeto está sendo menor do que o investimento inicialmente feito.
Quando um determinado investimento apresenta uma grande quantidade de entradas e saídas, é bastante
rápido e prático utilizarmos o Excel para encontrarmos o valor presente líquido (VPL).
Observe a Figura 5.7 a seguir que mostra qual o valor presente líquido para o Exemplo 5.7. Na coluna B descre-
vemos todos os períodos. Na coluna C colocamos o fluxo de caixa para os períodos. Na coluna D colocamos a
expressão que calcula o valor presente líquido (VPL). O primeiro argumento dessa função é a taxa de juros. O
segundo argumento é o intervalo de valores que queremos “trazer” para o valor presente. Note que colocamos
2000 + VPL, isso porque não há necessidade de alterar os 2000, visto que ele já está no valor presente, apenas os
demais valores que não estão no valor presente.
Figura 5.7 – VPL do Exemplo 5.7 no Excel
Legenda: VPL para um empréstimo de R$2.000,00 e 5 pagamentos mensais de R$500,00.

11
Note que o resultado encontrado na Figura 5.7 foi, obviamente, o mesmo que encontramos no Exemplo 5.7. A
praticidade e a rapidez de utilização do Excel para resolver problemas como esse, podem nos ajudar muito em
problemas com muitos dados.
Exemplo 5.8
Eduardo fez um empréstimo de R$3.000,00 para pagardaqui a cinco meses ovalorde R$3.050,00. Considerando
uma taxa de juros de 2% ao mês, qual o valor presente líquido deste investimento?
A equação que nos fornece o valor presente dado, um determinado valor futuro é:
( )
1
n
FV
PV
i
=
+
( )
5
3050
1 0,02
PV =
+
$2.762,48
PV R
=
Assim, temos que o valor presente do valor futuro fornecido é de R$2.762,48.
Agora, para encontrarmos o valor presente líquido, precisamos subtrair a entrada no valor presente (R$3.000,00)
da saída do valor presente (R$2.762,48). Assim, temos que:
3000 2762,48
VPL
= −
$237,52
VPL R
=
Ou seja, o valor presente líquido para o investimento feito é de R$237,52. Como foi maior que zero, temos que o
investimento é viável.
Vamos resolver esse exemplo com o auxílio do Excel.
Note que no período 0 temos uma entrada de R$3.000,00. Já no período 5 temos uma saída de R$3.050,00. Não
há outras entradas ou saídas para o caso. A taxa de juros é de 2% ao mês. Observe a Figura 5.8.
Figura 5.8 – VPL do Exemplo 5.8 no Excel
Legenda: VPL para um empréstimo de R$2.000,00 e 5 pagamentos mensais de R$500,00.

12
Note que encontramos o mesmo resultado de R$237,52 do que aquele do Exemplo 5.8. Isso mostra que a opção
por utilizar o Excel é realmente muito bem-vinda na maioria dos casos.
5.5 Taxa Interna de Retorno (TIR)
A taxa interna de retorno é umvalorde taxa de juros que zera ovalorpresente líquido de um determinado empre-
endimento. Dito de outra maneira é uma taxa que faz com que o projeto pague o investimento inicialmente feito,
mas sem gerar lucro.
É muito importante falarmos um pouco sobre a taxa de mínima atratividade (TMA) ela é um valormínimo de taxa
que faz com que um determinado empreendimento seja viável. Assim, é um valor mínimo que um determinado
empreendedor espera ganhar quando faz um investimento.
De acordo com Ross et al. (2010), a TIR é a alternativa mais importante associada ao VPL. Os autores relatam que
todos os projetos que apresentarem TIR superior à TMA devem ser aceitos como viáveis, e os que possuem TIR
inferior à TMA devem ser rejeitados.
Sob a ótica da taxa interna de retorno, um determinado empreendimento é considerado viável quando a taxa
interna de retorno (TIR) for maior do que a taxa de mínima atratividade (TMA).
A taxa de mínima atratividade é o menorvalornecessário para que um empreendimento seja
considerado adequado ou viável para se investir.
Glossário
Observe o Exemplo 5.9 para você aprender como que é feito o cálculo da taxa interna de retorno (TIR)
Exemplo 5.9
Sabrina fez um empréstimo de R$1.400,00 para pagar com três parcelas mensais de R$500,00. Qual a taxa
interna de retorno desse empreendimento? Considerando uma taxa de mínima atratividade de 3%, diga se o
empreendimento é viável ou não.

13
Vamos igualar o valor presente líquido a zero para encontrarmos a taxa interna de retorno (TIR).
( )
( )
1 1
1 .
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
=  
+
 
 
( )
( )
1 1
1400
1 .
n
n
i
VPL PMT
i i
 
+ −
= −  
+
 
 
( )
( )
1 1
1400 0
1 .
n
n
i
PMT
i i
 
+ −
− =
 
+
 
 
( )
( )
3
3
1 1
500 1400
1 .
i
i i
 
+ −
=
 
+
 
 
3,531%
i ≈
A taxa interna de retorno para o empreendimento do Exemplo 5.9 é de aproximadamente 3,531%. O empreen-
dimento é viável, porque a taxa interna de retorno (TIR) foi superior à taxa de mínima atratividade (TMA).
No dia a dia e em situações que envolvam cálculos complexos, é bastante rápido e prático utilizarmos o Excel para
calcularmos a taxa interna de retorno. Observe a Figura 5.9 a seguir para poder ver como foi montada a planilha
necessária para o cálculo da TIR.
Na coluna B estão os períodos em análise. Na coluna C o fluxo de caixa para cada período em análise. Na coluna
D foi colocada a fórmula para a TIR no Excel, que pode servista na parte superior direita da Figura 5.9.
Figura 5.9 – Cálculo da TIR do Exemplo 5.9
Legenda: Cálculo da TIR do Exemplo 5.9 pelo Excel
Você vai observar que a taxa interna de retorno apresenta cálculos complexos e que em muitos casos precisamos
recorrer ao Excel para encontrá-la de maneira rápida.

14
Exemplo 5.10
Fernando fez um empréstimo de R$1.500,00 para pagar daqui a cinco meses o valor de R$1.600,00. Qual a taxa
interna de retorno desse empreendimento? Considerando uma taxa de mínima atratividade de 1,5%, diga se o
empreendimento é viável ou não.
A equação do valor presente dado um determinado valor futuro é:
( )
1
n
FV
PV
i
=
+
Assim, o valor presente líquido é dado por:
( )
5
1600
1500
1
VPL
i
= −
+
( )
5
1600
1500 0
1 i
− =
+
A taxa interna de retorno (TIR) é de 1,299%. Como a taxa interna de retorno foi menor do que a taxa de mínima
atratividade, o projeto é viável.
Vamos resolver o Exemplo 5.10 através do Excel.
Figura 5.10 – Cálculo da TIR do Exemplo 5.10
Legenda: Cálculo da TIR de um empréstimo de R$1.500,00, em que é pago daqui a cinco meses o valor de R$1.600,00
Exemplo 5.11
Júlia fez um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar com 10 parcelas mensais de R$ 1.400,00. Sabendo que
ela aplicou esse dinheiro e obtém um rendimento de R$ 100,00 por mês, qual a taxa interna de retorno desse
empreendimento? Considerando uma taxa de mínima atratividade de 5%, diga se o empreendimento é viável.

15
Vamos igualar o valor presente líquido a zero para encontrarmos a taxa interna de retorno (TIR).
( )
( )
1 1
1 .
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
=  
+
 
 
( )
( )
( )
10
10
1 1
10000 1400 100
1 .
i
VPL
i i
 
+ −
= − −  
+
 
 
( )
( )
( )
10
10
1 1
10000 1400 100 0
1 .
i
i i
 
+ −
− − =
 
+
 
 
5,087%
i ≈
A taxa interna de retorno para o empreendimento do Exemplo 5.11 é de aproximadamente 5,087%. O empreen-
dimento é viável, porque a taxa interna de retorno (TIR) foi superior à taxa de mínima atratividade (TMA).
5.6. Payback
Payback ou momento do retorno é o tempo necessário para que os retornos paguem o investimento inicialmente
feito. Dito de outra maneira é o tempo necessário para que o lucro líquido acumulado no período seja zero.
Imagine que você compre uma máquina de R$100.000,00 e tenha retornos mensais de R$1.000,00. É natural
você pensar em qual seria o número de períodos necessários para que os retornos que você tenha supere todo o
investimento inicialmente feito. O payback é uma ferramenta que lhe proporciona esse resultado.
a. O payback simples é o número de períodos para que possamos recuperar um investimento inicialmente
feito. Para você calcular o payback simples, basta calcular o fluxo de caixa acumulado líquido em todos os
períodos. Vamos a um exemplo para você entender esse conceito.
Exemplo 5.12
Sabrina fez um empréstimo de R$1.400,00 para pagar a compra de uma máquina. A máquina lhe proporciona
rendimentos mensais de R$150,00. Desconsiderando o custo de manutenção da máquina, qual o tempo de
retorno (payback simples) do investimento?
O primeiro método de resolução é o manual:
• Primeiramente temos uma saída de R$1.400,00.
• Depois temos várias entradas de R$150,00.
• No período 1 temos um fluxo de caixa líquido de R$-1.250,00.
• No período 2 temos um fluxo de caixa líquido de R$-1.100,00.
• Assim por diante até o período 10, em que o fluxo de caixa líquido é de R$50,00.
• Portanto, o payback simples é entre 9 e 10 meses.

16
Para sabermos o valor exato, precisamos somar 9 com a divisão entre o fluxo de caixa acumulado do período 9
com o fluxo de caixa não acumulado do período 10. A Figura 5.11 ilustra melhor o que foi passado.
O segundo método é através do Excel. Observe a Figura 5.11 para entender o conceito.
Figura 5.11 – Cálculo da Payback do Exemplo 5.12
Legenda: Cálculo do Payback para o Exemplo 5.12.
Dessa forma, o tempo exato de retorno (Payback) do investimento é de 9,33 meses.
O grande problema do payback simples é não levar em consideração o custo do dinheiro no tempo (taxa de
juro). Isso é resolvido pelo payback descontado.
b. O payback descontado é semelhante ao simples. No entanto, precisamos utilizar a taxa de desconto
fornecida para fazermos as devidas somas dos fluxos de caixa. É comum chamarmos essa taxa de TMA.
De maneira sucinta, devemos “trazer” para o valor presente todas as parcelas e valores futuros, para então fazer
o fluxo de caixa.
Exemplo 5.13
Beatriz fez um empréstimo de R$1.400,00 para pagar a compra de uma máquina. A máquina lhe proporciona
rendimentos mensais de R$150,00. Considere uma taxa de desconto de 5%. Desconsiderando o custo de manu-
tenção da máquina, qual o tempo de retorno (payback descontado) do investimento?
Como o exercício envolve muitos cálculos, vamos fazê-lo apenas pelo Excel. A Figura 5.12 ilustra o payback
descontado.

17
Figura 5.12 – Cálculo da Payback do Exemplo 5.12
Legenda: Cálculo da Payback para o Exemplo 5.12.
Assim, concluímos que o payback descontado para o caso do exemplo 5.13 é de 12,89 períodos. Podemos arre-
dondar esse valor e dizer que o payback descontado é de 13 períodos.
5.7 Análise de investimentos
Quando for necessário escolher um projeto dentre vários disponíveis, no que tange ao valor presente líquido
(VPL), recomenda-se escolher aquele que apresentar o maior valor presente líquido, pois apresenta a maior
rentabilidade.
Caso a escolha dos projetos seja pautada na taxa interna de retorno (TIR), devemos escolheraqueles projetos que
possuam uma taxa interna de retorno maior do que a taxa de mínima atratividade (TMA), para garantir a renta-
bilidade do investimento.
A escolha também pode serfeita pelo payback (período de retorno do investimento). Suponha quevários projetos
tenham prazos estipulados para que o investimento seja retornado. Todos aqueles projetos que apresentarem
payback inferiores aos respectivos prazos estipulados devem ser escolhidos.
O link <http://bertolo.pro.br/MetodosQuantitativos/Simulacao/c6-Art7.pdf>apresenta
vários conceitos que foram discutidos na aula. Recomendamos a leitura.

18
Considerações finais
Nesta unidade você aprendeu os conceitos de fluxo de caixa, de valor pre-
sente líquido, de taxa interna de retorno e de payback. É muito importante
que você realmente entenda esses conceitos para poder saber se um
determinado empreendimento é viável ou não. Vale a pena dar ênfase e
uma dedicação grande ao conceito de fluxo de caixa, pois inúmeras áreas
de matemática financeira necessitam que haja construção do fluxo de
caixa para resolver exercícios.
• Definimos como fluxo de caixa o conjunto de entradas (receitas)
e saídas (despesas) ao longo do tempo. Para elaborar o fluxo de
caixa você viu que precisamos ter a relação entre todas as receitas
e despesas durante todos os períodos.
• Você constantemente vai precisar transformar valores de paga-
mento para valor presente e valor futuro para valor presente.
• O valor presente líquido (VPL) é a diferença entre o valor presente
das entradas líquidas e o investimento inicial feito.
• Se o VPL de um projeto for maior do que zero, temos que ele é
viável, pois as entradas superam os investimentos e saídas feitos.
• A taxa interna de retorno é uma taxa de juros que zera o VPL. Ou
seja, é uma taxa que faz com que o projeto pague o investimento
inicialmente feito.
• A taxa de mínima atratividade é um valor mínimo para que um
empreendimento dê retornos financeiros viáveis.
• Devemos aceitar apenas projetos que apresentem TIR > TMA.
• Payback é o período de retorno de um investimento. É o tempo
que demora para cobrirmos todos os gastos feitos. Payback pode
ser simples ou descontado.

Referências
19
BRUNI, A.L.; FAMÁ, R.; SIQUEIRA, J.O. Análise de Risco na Avaliação de
Projetos de Investimento: Uma Aplicação do Método de Monte Carlo.
Caderno de Pesquisa em Administração, São Paulo, v. 1, n. 6, p. 62-75,
1998.
HAZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2007. [E-book].
ROSS, S. A.; WESTERFIELD, R. W.; JAFFE, J. F. Administração financeira.
São Paulo: Atlas, 2010.
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book].

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