SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 17
Baixar para ler offline
25/10/2016
1
Distribuição Normal de
Probabilidades
1Profa.M.a Ecila Alves de Oliveira Migliori
3 12 1 0 2 3
z
Área = 1
2
Distribuição de Probabilidades
A distribuição de probabilidades indica a porcentagem de vezes
que, em grande quantidade de observações, podemos
esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável
aleatória.
 Em uma distribuição de probabilidades é necessário:
  P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis
 0  P(x)  1 para todo o x.
Distribuições de
probabilidade
Distribuições
descontínuas ou
discretas
Distribuições
contínuas
25/10/2016
2
3
Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias
relativas a dados que podem ser contados, isto é, é aquela para
a qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito
enumerável.
Exemplos:
 Ao lançarmos um dado ele sempre nos dará um "valor" inteiro. Não existe a
possibilidade que ele caia de "lado" nos dando um valor surpreendente como
2,5555.
 Número de chamadas na central do Corpo de Bombeiros no período da manhã
 Número de alunos aprovados numa disciplina com 80 alunos matriculados
 Número de acessos a um determinado site, das 0h às 6h
 Número de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num
banco no último ano
 Número de consultas ao médico num determinado ano
 Número de domicílios com crianças menores de 6 anos
 Número de clientes que visitaram uma loja num determinado período Número
de ocorrências por unidade num intervalo de tempo
 Número de fumantes presentes em eventos esportivos
Distribuições Discretas
4
Distribuições Discretas
Uniforme ou Retangular
Binomial
Binomial Negativa ou de Pascal
Geométrica
Poisson
Multinomial ou Polinomial
Hipergeométrica
Formas da
distribuição
discretas
(Formas)
25/10/2016
3
5
Quando se usa as distribuições contínuas?
Distribuições Contínuas
 A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;
A variável aleatória em questão é contínua.
Exemplos:
 altura de um adulto
 custo do sinistro de um carro
 temperatura mínima diária
 saldo em aplicações financeiras
 ganho de peso após dieta
 distância percorrida
6
Distribuições Contínuas
 Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em
um intervalo P(a < x < b);
 Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida
no intervalo considerado.
25/10/2016
4
7
Distribuições Contínuas
DISTRIBUIÇÕES
CONTÍNUAS
UNIFORME OU RETANGULAR
NORMAL
BIVARIADA NORMAL
EXPONENCIAL
LOGNORMAL
WEIBULL
QUI-QUADRADO 2
t DE STUDENT
F DE SNEDECOR
GAMA
BETA
ERLANG
( formas)
8
Distribuições Contínuas
UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL LOG-NORMAL
EXPONENCIAL QUI-QUADRADO GUMBEL
25/10/2016
5
9
Distribuição Normal
Um pouco de história
No século XVIII, astrônomos e outros
cientistas observaram que medidas
repetidas de mensurações como a
distância à lua variavam como na figura,
quando coletadas em grande número.
Esta forma gráfica era associada aos
erros de mensuração, daí o nome de
“Distribuição normal dos erros” e depois
“Distribuição normal”.
Também é conhecida por “Distribuição
Gaussiana”, em função do modelo
matemático desenvolvido por Karl F.
Gauss para este comportamento.
10
Distribuição Normal
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
25
40
55
70
85
100
115
Peso da população adulta
n = 5000 µ = 75 kg σ = 12 kg
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
133
137
141
145
149
153
157
161
165
169
Altura de universitários
n = 3000 µ = 152 cm σ = 5 cm
0,00
0,05
0,10
0,15
29,5
29,6
29,7
29,8
29,9
30
30,1
30,2
30,3
30,4
30,5
Comprimento de uma régua
n = 1000 µ = 30cm σ = 0,15cm
0
0,05
0,1
0,15
0,2
197
215
233
251
269
287
305
Pessoas num restaurante
µ = 250 por dia σ = 20 por dia
25/10/2016
6
11
Distribuição Normal - Características
1. A curva normal tem a forma de sino.
2. É simétrica em relação a média.
3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica).
4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio
padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e
desvio padrão).
5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1.
6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma
variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses
pontos.
7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente
distribuída tomar exatamente determinado valor é zero
(característica da distribuição contínua).
8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função
do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto.
12
A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor
entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva
normal entre aqueles pontos.
Distribuição Normal
µ a b
P (a < x < b) = área hachurada sob a curva
Para desenhar a curva normal (curva de Gauss) usamos:
• média (µ ou ẍ)
• desvio padrão (σ ou S).
25/10/2016
7
13
Denotamos N(µ,σ) à curva Normal com média e desvio
padrão.
A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão
ao espalhamento (ou achatamento) da curva.
A distribuição normal é simétrica em torno da média o que
implica que a média, a mediana e a moda são todas
coincidentes.
Distribuição Normal de Probabilidades
14
O importante é que você entenda como a curva é afetada
pelos valores numéricos de µ e σ => N(µ,σ).
Distribuição Normal
25/10/2016
8
15
Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo
dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são:
Distribuição Normal
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
68,3%
95,5%
99,7%
16
Exemplo: Suponhamos que os pesos de recém-nascidos
tenham µ = 2800g e σ = 500g.
Então:
Distribuição Normal
25/10/2016
9
17
Exemplo:
Usando este modelo podemos dizer que cerca de 68% dos
recém-nascidos pesam entre 2300g e 3300g.
O peso de aproximadamente 95% dos recém-nascidos está
entre 1800g e 3800g.
Praticamente todos os bebês desta população nascem com
peso no intervalo (1300,4300).
Distribuição Normal
18
Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes
valores de µ e σ.
Para isso, a variável X, cuja distribuição é N(µ,σ) é
transformada numa forma padronizada Z com
distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão) pois tal
distribuição é tabelada.
A quantidade de Z é dada por:
Distribuição Normal
25/10/2016
10
OBSERVAÇÃO:
x - µ = distância do ponto considerado à média
x - µ

z =
número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5
desvios padrões
z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores
de x inferiores à média.
ef(x) =
x – ponto considerado da distrib.
µ - média da distribuição
 - desvio padrão da distribuição
-1
2
( )x - µ
2

2 
1
Distribuição Normal
19
A distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios
padrões (z)
Normal
padronizada
Normal não
padronizada
z =
x - µ

µ x 0 z
PP
Distribuição Normal
20
25/10/2016
11
70 80 90 100 110 120 130
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
µ = 100,0
 = 10,0
escala efetiva
escala padronizada
Escala efetiva X Escala padronizada
Distribuição Normal
21
Distribuição Normal
Calculando Z (relembrando: É a distância entre a média e um ponto
qualquer é dado em número de desvios padrões (z)) =>
Consultar a Tabela de Áreas para a Distribuição Normal
Padronizada
22
25/10/2016
12
Distribuição Normal
0 z
23
Distribuição Normal
Exemplo: Z = 1,25
Para buscar na Tabela , z será separado em dois valores:
1. Parte inteira e a primeira casa decimal = 1,2 (Valor 1)
2. A segunda casa decimal = 5 (Valor 2)
3. O Valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o Valor 2 será
buscado nos valores de coluna da tabela normal.
O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada
para o valor Z.
Neste exemplo o resultado será 0,3944.
Obs.: Para valores de Z com mais de 2 casas decimais, bastará arredondar.
24
25/10/2016
13
Distribuição Normal
25
Probabilidade de uma
variável aleatória normal
tomar um valor z entre a
média e o ponto situado a
z desvios padrões
z área entre a média e z
1,00 0,3413
1,50 0,4332
2,13 0,4834
2,77 0,4972
área tabelada = área desejada
0 z
Distribuição Normal
26
z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)
0 z
25/10/2016
14
Determinando a área entre dois
pontos quaisquer.
Exemplos
Determinando a área (probabilidade)
sob a curva entre dois pontos
entorno da média.
0,1359=0,4772-0,3413
0 +1 +2
0,3413
0,4772
-1 0 +1
0,3413 0,3413
Distribuição Normal – Cálculo da Probabilidade
1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência
compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal
com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de
cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?
N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi
%56,101056,0)25,1( ZP
3850 4000
-1,25
Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944
Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%
25,1
120
40003850






X
z
P(z ≤ -1,25)
Distribuição Normal – Exemplos
25/10/2016
15
N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias
2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem
acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma
variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias.
Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente
quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?
27,1
15
5031






X
z
%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1(  oZP
Consultando tabela:
Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas
X
Z
f(x)
50
0
31
-1,27
3520
Distribuição Normal – Exemplos
3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo
comprimento pode ser considerado uma variável normalmente
distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a
 = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o
comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a
10,20 m?
N(,) = N(10;0,09) metros
X = 10,20m
22,2
09,0
1020,10






X
z
%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2(  ZPZP
f(x)
10
X10,20
0 2,22 Z
Consultando tabela
temos:
Distribuição Normal – Exemplos
25/10/2016
16
4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG
de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-
padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente
distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4
minutos.
ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS
%18,90918,04082,05,0)33,1()4(  ZPxP
Consultando
a tabela:
33,1
3
84






X
z
N(,) = N(8;3) minutos
X < 4 minutos
f(x)
X8
0
4
Z-1,33
Distribuição Normal – Exemplos
5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão
de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas
defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?
ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL
)3()3()97,1()03,2(  ZPZPxouPxP
3
01,0
203,2
1 





X
z
f(x)
2
X2
0 3 Z
2,031,97
-3
N(,) = N(2,00;0,01)
X1 = 2,03 e X2=1,97
3
01,0
297,1
2 





X
z
Consultando
tabela: %28,00014,00014,0)3()3(  ZPZP
Distribuição Normal – Exemplos
25/10/2016
17
6) A vida média de uma marca de compuador é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8
anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito
dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de
produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo
5% de trocas.
ESTATÍSTICA E AASSISTÊNCIA TÉCNICA
05,0049471,0
)(65,1
050503,0049471,0
)64,1(65,1




 Zx
6449,105,0 Z



X
z
8,1
8
6449,1


X
N(,) = N(8;1,8) anos
X=?
z
-1,65 0,049471
? 0,05
-1,64 0,050503
)( oZ
anosX 04,5
Distribuição Normal – Exemplos
34Obrigada.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Decomposição de figuras em triângulos e quadriláteros
Decomposição de figuras em triângulos e quadriláterosDecomposição de figuras em triângulos e quadriláteros
Decomposição de figuras em triângulos e quadriláterosaldaalves
 
Variaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasVariaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasFagner Talles
 
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialDiego Oliveira
 
Doc estatistica _687118434
Doc estatistica _687118434Doc estatistica _687118434
Doc estatistica _687118434Eliabe Denes
 
Probabilidade. 3º ano
Probabilidade. 3º anoProbabilidade. 3º ano
Probabilidade. 3º anowelixon
 
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...wilkerfilipel
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficosmarmorei
 
Estatística 8.º ano
Estatística 8.º anoEstatística 8.º ano
Estatística 8.º anoaldaalves
 
Volumes
VolumesVolumes
Volumesrukka
 
Equações do 2.º grau
Equações do 2.º grauEquações do 2.º grau
Equações do 2.º graualdaalves
 
Funcoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.pptFuncoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.pptRodrigo Carvalho
 
Aula 6 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasAula 6 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasTurma1NC
 
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)Edimar Santos
 
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grauleilamaluf
 
Aula de Estatística Básica -Aula 4
Aula de Estatística Básica -Aula  4Aula de Estatística Básica -Aula  4
Aula de Estatística Básica -Aula 4Luiz Martins Souza
 

Mais procurados (20)

Decomposição de figuras em triângulos e quadriláteros
Decomposição de figuras em triângulos e quadriláterosDecomposição de figuras em triângulos e quadriláteros
Decomposição de figuras em triângulos e quadriláteros
 
Variaveis+aleatorias
Variaveis+aleatoriasVariaveis+aleatorias
Variaveis+aleatorias
 
Estatística
EstatísticaEstatística
Estatística
 
Função exponencial
Função exponencialFunção exponencial
Função exponencial
 
Estatistica exercicios resolvidos
Estatistica exercicios resolvidosEstatistica exercicios resolvidos
Estatistica exercicios resolvidos
 
Funcão Afim
Funcão AfimFuncão Afim
Funcão Afim
 
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição BinomialExercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial
 
Doc estatistica _687118434
Doc estatistica _687118434Doc estatistica _687118434
Doc estatistica _687118434
 
Noções de probabilidade
Noções de probabilidadeNoções de probabilidade
Noções de probabilidade
 
Probabilidade. 3º ano
Probabilidade. 3º anoProbabilidade. 3º ano
Probabilidade. 3º ano
 
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
Estatística (exercícios resolvidos - Gráficos, amplitude, médio, desvio padrã...
 
Função afim-linear-constante-gráficos
Função  afim-linear-constante-gráficosFunção  afim-linear-constante-gráficos
Função afim-linear-constante-gráficos
 
Estatística 8.º ano
Estatística 8.º anoEstatística 8.º ano
Estatística 8.º ano
 
Volumes
VolumesVolumes
Volumes
 
Equações do 2.º grau
Equações do 2.º grauEquações do 2.º grau
Equações do 2.º grau
 
Funcoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.pptFuncoes trigonometricas.ppt
Funcoes trigonometricas.ppt
 
Aula 6 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Aula 6 - Funções Exponenciais e LogarítmicasAula 6 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
Aula 6 - Funções Exponenciais e Logarítmicas
 
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)
Gincana:Matemática-Ensino Fundamental(6º ao 9º ano)
 
Função do 2º grau
Função do 2º grauFunção do 2º grau
Função do 2º grau
 
Aula de Estatística Básica -Aula 4
Aula de Estatística Básica -Aula  4Aula de Estatística Básica -Aula  4
Aula de Estatística Básica -Aula 4
 

Semelhante a Distribuição Normal

Distribuicao de probabilidades
Distribuicao de probabilidadesDistribuicao de probabilidades
Distribuicao de probabilidadesvagnergeovani
 
Função de densidade normal bom
Função de densidade normal   bomFunção de densidade normal   bom
Função de densidade normal bomjon024
 
Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]Tuane Paixão
 
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópia
Aula de distribuição de probabilidade[1]   cópiaAula de distribuição de probabilidade[1]   cópia
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópiaTuane Paixão
 
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.ppt
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.pptdistribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.ppt
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.pptElizeuNetto2
 
5 variáveis aleatórias contínuas
5   variáveis aleatórias contínuas5   variáveis aleatórias contínuas
5 variáveis aleatórias contínuasMeireles01
 
A distribuição normal
A distribuição normalA distribuição normal
A distribuição normalLiliane Ennes
 
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxAMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxNunoSilva599593
 
Estatística - Manoel Fonseca Costa.ppt
Estatística - Manoel Fonseca Costa.pptEstatística - Manoel Fonseca Costa.ppt
Estatística - Manoel Fonseca Costa.pptAngeloRicardo16
 
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdfElisângela Rodrigues
 
Apostila regressao linear
Apostila regressao linearApostila regressao linear
Apostila regressao linearcoelhojmm
 

Semelhante a Distribuição Normal (20)

Distribuicao de probabilidades
Distribuicao de probabilidadesDistribuicao de probabilidades
Distribuicao de probabilidades
 
Função de densidade normal bom
Função de densidade normal   bomFunção de densidade normal   bom
Função de densidade normal bom
 
Atps estatistica
Atps estatisticaAtps estatistica
Atps estatistica
 
Aula02pdf
Aula02pdfAula02pdf
Aula02pdf
 
Distribuição normal
Distribuição normalDistribuição normal
Distribuição normal
 
Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]Aula de distribuição de probabilidade[1]
Aula de distribuição de probabilidade[1]
 
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópia
Aula de distribuição de probabilidade[1]   cópiaAula de distribuição de probabilidade[1]   cópia
Aula de distribuição de probabilidade[1] cópia
 
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.ppt
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.pptdistribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.ppt
distribuicao-probEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE.ppt
 
1 normal u
1 normal u1 normal u
1 normal u
 
Distribuicao continua
Distribuicao continuaDistribuicao continua
Distribuicao continua
 
5 variáveis aleatórias contínuas
5   variáveis aleatórias contínuas5   variáveis aleatórias contínuas
5 variáveis aleatórias contínuas
 
A distribuição normal
A distribuição normalA distribuição normal
A distribuição normal
 
Estatística básica
Estatística básicaEstatística básica
Estatística básica
 
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptxAMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
AMD - Aula n.º 8 - regressão linear simples.pptx
 
Princípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - IPrincípios de Estatística Inferencial - I
Princípios de Estatística Inferencial - I
 
Estatística - Manoel Fonseca Costa.ppt
Estatística - Manoel Fonseca Costa.pptEstatística - Manoel Fonseca Costa.ppt
Estatística - Manoel Fonseca Costa.ppt
 
Lista exercícios3bi
Lista exercícios3biLista exercícios3bi
Lista exercícios3bi
 
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
2-1_Var aleatorias discretas e distribuicoes.pdf
 
Apostila regressao linear
Apostila regressao linearApostila regressao linear
Apostila regressao linear
 
Aula 08 de estatística
Aula 08 de estatísticaAula 08 de estatística
Aula 08 de estatística
 

Distribuição Normal

  • 1. 25/10/2016 1 Distribuição Normal de Probabilidades 1Profa.M.a Ecila Alves de Oliveira Migliori 3 12 1 0 2 3 z Área = 1 2 Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades indica a porcentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória.  Em uma distribuição de probabilidades é necessário:   P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis  0  P(x)  1 para todo o x. Distribuições de probabilidade Distribuições descontínuas ou discretas Distribuições contínuas
  • 2. 25/10/2016 2 3 Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados, isto é, é aquela para a qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito enumerável. Exemplos:  Ao lançarmos um dado ele sempre nos dará um "valor" inteiro. Não existe a possibilidade que ele caia de "lado" nos dando um valor surpreendente como 2,5555.  Número de chamadas na central do Corpo de Bombeiros no período da manhã  Número de alunos aprovados numa disciplina com 80 alunos matriculados  Número de acessos a um determinado site, das 0h às 6h  Número de inadimplentes dentre 500 pessoas que pegaram empréstimo num banco no último ano  Número de consultas ao médico num determinado ano  Número de domicílios com crianças menores de 6 anos  Número de clientes que visitaram uma loja num determinado período Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo  Número de fumantes presentes em eventos esportivos Distribuições Discretas 4 Distribuições Discretas Uniforme ou Retangular Binomial Binomial Negativa ou de Pascal Geométrica Poisson Multinomial ou Polinomial Hipergeométrica Formas da distribuição discretas (Formas)
  • 3. 25/10/2016 3 5 Quando se usa as distribuições contínuas? Distribuições Contínuas  A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados; A variável aleatória em questão é contínua. Exemplos:  altura de um adulto  custo do sinistro de um carro  temperatura mínima diária  saldo em aplicações financeiras  ganho de peso após dieta  distância percorrida 6 Distribuições Contínuas  Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b);  Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.
  • 4. 25/10/2016 4 7 Distribuições Contínuas DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL BIVARIADA NORMAL EXPONENCIAL LOGNORMAL WEIBULL QUI-QUADRADO 2 t DE STUDENT F DE SNEDECOR GAMA BETA ERLANG ( formas) 8 Distribuições Contínuas UNIFORME OU RETANGULAR NORMAL LOG-NORMAL EXPONENCIAL QUI-QUADRADO GUMBEL
  • 5. 25/10/2016 5 9 Distribuição Normal Um pouco de história No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número. Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal”. Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento. 10 Distribuição Normal 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 25 40 55 70 85 100 115 Peso da população adulta n = 5000 µ = 75 kg σ = 12 kg 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 133 137 141 145 149 153 157 161 165 169 Altura de universitários n = 3000 µ = 152 cm σ = 5 cm 0,00 0,05 0,10 0,15 29,5 29,6 29,7 29,8 29,9 30 30,1 30,2 30,3 30,4 30,5 Comprimento de uma régua n = 1000 µ = 30cm σ = 0,15cm 0 0,05 0,1 0,15 0,2 197 215 233 251 269 287 305 Pessoas num restaurante µ = 250 por dia σ = 20 por dia
  • 6. 25/10/2016 6 11 Distribuição Normal - Características 1. A curva normal tem a forma de sino. 2. É simétrica em relação a média. 3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica). 4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão). 5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1. 6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos. 7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor é zero (característica da distribuição contínua). 8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto. 12 A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos. Distribuição Normal µ a b P (a < x < b) = área hachurada sob a curva Para desenhar a curva normal (curva de Gauss) usamos: • média (µ ou ẍ) • desvio padrão (σ ou S).
  • 7. 25/10/2016 7 13 Denotamos N(µ,σ) à curva Normal com média e desvio padrão. A média refere-se ao centro da distribuição e o desvio padrão ao espalhamento (ou achatamento) da curva. A distribuição normal é simétrica em torno da média o que implica que a média, a mediana e a moda são todas coincidentes. Distribuição Normal de Probabilidades 14 O importante é que você entenda como a curva é afetada pelos valores numéricos de µ e σ => N(µ,σ). Distribuição Normal
  • 8. 25/10/2016 8 15 Para a distribuição Normal, a proporção de valores caindo dentro de um, dois, ou três desvios padrão da média são: Distribuição Normal -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 68,3% 95,5% 99,7% 16 Exemplo: Suponhamos que os pesos de recém-nascidos tenham µ = 2800g e σ = 500g. Então: Distribuição Normal
  • 9. 25/10/2016 9 17 Exemplo: Usando este modelo podemos dizer que cerca de 68% dos recém-nascidos pesam entre 2300g e 3300g. O peso de aproximadamente 95% dos recém-nascidos está entre 1800g e 3800g. Praticamente todos os bebês desta população nascem com peso no intervalo (1300,4300). Distribuição Normal 18 Na prática desejamos calcular probabilidades para diferentes valores de µ e σ. Para isso, a variável X, cuja distribuição é N(µ,σ) é transformada numa forma padronizada Z com distribuição N(0,1) (distribuição normal padrão) pois tal distribuição é tabelada. A quantidade de Z é dada por: Distribuição Normal
  • 10. 25/10/2016 10 OBSERVAÇÃO: x - µ = distância do ponto considerado à média x - µ  z = número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média. ef(x) = x – ponto considerado da distrib. µ - média da distribuição  - desvio padrão da distribuição -1 2 ( )x - µ 2  2  1 Distribuição Normal 19 A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z) Normal padronizada Normal não padronizada z = x - µ  µ x 0 z PP Distribuição Normal 20
  • 11. 25/10/2016 11 70 80 90 100 110 120 130 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 µ = 100,0  = 10,0 escala efetiva escala padronizada Escala efetiva X Escala padronizada Distribuição Normal 21 Distribuição Normal Calculando Z (relembrando: É a distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z)) => Consultar a Tabela de Áreas para a Distribuição Normal Padronizada 22
  • 12. 25/10/2016 12 Distribuição Normal 0 z 23 Distribuição Normal Exemplo: Z = 1,25 Para buscar na Tabela , z será separado em dois valores: 1. Parte inteira e a primeira casa decimal = 1,2 (Valor 1) 2. A segunda casa decimal = 5 (Valor 2) 3. O Valor 1 será buscado nos valores de linha da tabela e o Valor 2 será buscado nos valores de coluna da tabela normal. O cruzamento de linha e coluna fornece a probabilidade desejada para o valor Z. Neste exemplo o resultado será 0,3944. Obs.: Para valores de Z com mais de 2 casas decimais, bastará arredondar. 24
  • 13. 25/10/2016 13 Distribuição Normal 25 Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões z área entre a média e z 1,00 0,3413 1,50 0,4332 2,13 0,4834 2,77 0,4972 área tabelada = área desejada 0 z Distribuição Normal 26 z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z) 0 z
  • 14. 25/10/2016 14 Determinando a área entre dois pontos quaisquer. Exemplos Determinando a área (probabilidade) sob a curva entre dois pontos entorno da média. 0,1359=0,4772-0,3413 0 +1 +2 0,3413 0,4772 -1 0 +1 0,3413 0,3413 Distribuição Normal – Cálculo da Probabilidade 1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi? N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi %56,101056,0)25,1( ZP 3850 4000 -1,25 Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944 Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56% 25,1 120 40003850       X z P(z ≤ -1,25) Distribuição Normal – Exemplos
  • 15. 25/10/2016 15 N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias 2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias. Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro? 27,1 15 5031       X z %20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1(  oZP Consultando tabela: Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas X Z f(x) 50 0 31 -1,27 3520 Distribuição Normal – Exemplos 3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a  = 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a 10,20 m? N(,) = N(10;0,09) metros X = 10,20m 22,2 09,0 1020,10       X z %32,10132,04868,05,0)22,2()22,2(  ZPZP f(x) 10 X10,20 0 2,22 Z Consultando tabela temos: Distribuição Normal – Exemplos
  • 16. 25/10/2016 16 4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio- padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos. ESTATÍSTICA NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS %18,90918,04082,05,0)33,1()4(  ZPxP Consultando a tabela: 33,1 3 84       X z N(,) = N(8;3) minutos X < 4 minutos f(x) X8 0 4 Z-1,33 Distribuição Normal – Exemplos 5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa? ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL )3()3()97,1()03,2(  ZPZPxouPxP 3 01,0 203,2 1       X z f(x) 2 X2 0 3 Z 2,031,97 -3 N(,) = N(2,00;0,01) X1 = 2,03 e X2=1,97 3 01,0 297,1 2       X z Consultando tabela: %28,00014,00014,0)3()3(  ZPZP Distribuição Normal – Exemplos
  • 17. 25/10/2016 17 6) A vida média de uma marca de compuador é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8 anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 5% de trocas. ESTATÍSTICA E AASSISTÊNCIA TÉCNICA 05,0049471,0 )(65,1 050503,0049471,0 )64,1(65,1      Zx 6449,105,0 Z    X z 8,1 8 6449,1   X N(,) = N(8;1,8) anos X=? z -1,65 0,049471 ? 0,05 -1,64 0,050503 )( oZ anosX 04,5 Distribuição Normal – Exemplos 34Obrigada.