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Probabilidade e suas propriedades: Número real     a) 0 P(E) 1     b) P(S) = 1     c) P(Ø) = 0     d) Se E, F, ..., K mutu...
Teorema da Probabilidade TotalE1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquerdo S entãoP(F) =Teorema de BayesP(Ej/F)...
4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acasoe substituídas por três bol...
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Variáveis aleatórias contínuasMesmo exemplo das alturasFunção densidade de Probabilidade (o equivalenteàs funções de proba...
Parâmetros de posição A. Média, ou expectância, ou esperança   matemática. Será denotada por μ ou E, e   definida por     ...
C. Moda (mo)   Ponto(s) de maior probabilidade, no caso   discreto, ou maior densidade de probabilidade,   no caso contínu...
C. Coeficiente de variação ( D. Amplitude (R)    Diferença entre o maior e o menor valores    possíveis da variávelDesigua...
2. Calcular a média, mediana, moda e desvio   padrão da variável aleatória discreta definida   pela seguinte função probab...
5.Seja a variável aleatória definida pela seguintefunção densidade de probabilidade              para       ;             ...
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  1. 1. Curso Probabilidade e Estatística Introdução Probabilidade: Conceitos de: Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp: Jogar dois dados Eventos (subconjuntos definindo um resultado bem determinado) Exemplos: E: dar 1 nos dois dados; F: soma dos pontos igual a 4 G: soma dos pontos menor ou igual a 5 H: dar dois no 1o dado Evento Intersecção : G H Evento União :F H Eventos mutuamente excludentes (exclusivos) I J=Ø
  2. 2. Probabilidade e suas propriedades: Número real a) 0 P(E) 1 b) P(S) = 1 c) P(Ø) = 0 d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K) e) P( ) = 1 – P(E) f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F) g) P(E F) = P(E) + P( F) h) Etc...Atribuição frequencialista de Probabilidade P(E) = m/n Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E n = # de resultados possíveis (equiprováveis)Probabilidade CondicionadaP(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0P(F/E) = P(E F)/P(E) →P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E)P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)
  3. 3. Teorema da Probabilidade TotalE1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquerdo S entãoP(F) =Teorema de BayesP(Ej/F) =Exemplo1)Suponha-se que um grande número de caixas debombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém70% de bombons doces e 30% de bombonsamargos, enquanto no tipo B estas percentagenssão inversas. Sabe-se que 60% das caixas são dotipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar umbombom de amostra de uma determinada caixa eatravés do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipoA ou B.2)Faça o mesmo exercício para a retirada de doisbombons.3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas.Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna,calcular a probabilidade de que a) pelo menos duassejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.
  4. 4. 4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acasoe substituídas por três bolas azuis. Em seguida,duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.a)Calcular a prob. destas duas últimas serem damesma cor.b)Se as duas últimas bolas retiradas forem umabranca e uma preta, calcular a probabilidade deque, na primeira extração, tenham saído duasbrancas.5)Em uma universidade, 40% dos estudantespraticam futebol e 30% natação. Dentre os quepraticam futebol, 20% praticam também natação.Qual a porcentagem de estudantes que não praticanenhum dos dois esportes?6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em quechove e 90% dos dias em que faz bom tempo.Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão dechuva, qual a probabilidade de chover?7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 eP(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, Ae B serão mutuamente excludentes ou independ.?8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais comduas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas
  5. 5. vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. deser a moeda com duas caras? Variáveis Aleatórias UnidimensionaisExemplo: altura da população (noções sobrevariável e distribuição de probabilidade)Variável aleatória: função que associa númerosreais aos eventos, nem sempre quantitativos, de umespaço amostralExemplos: variáveis aleatórias discretas.a)jogar um dado, X=número de face para cima ouX= o dobro do número de face superior menos um.b)jogar 4 moedas e definir Y=número de carasobtidasA distribuição de probabilidade destas variáveis écaracterizada por uma função probabilidade queassocia probabilidades não-nulas aos possíveisvalores da variável aleatória, e zero aos demaisvalores. P( ou P
  6. 6. Variáveis aleatórias contínuasMesmo exemplo das alturasFunção densidade de Probabilidade (o equivalenteàs funções de probabilidade nas variáveis discretas)Obedece às seguintes propriedades: a) b) c)Exemplo: para ; para ; para .Função de repartição ou de distribuiçãoacumulada →p/ Variáveis discretas: ep/ Variáveis contínuas: .
  7. 7. Parâmetros de posição A. Média, ou expectância, ou esperança matemática. Será denotada por μ ou E, e definida por = , para as variáveis discretas e por , para as variáveis contínuas As propriedades da média: a) b) c) d) e) B. Mediana ( : , Generalizando esta idéia pode-se dividir a distribuição em várias partes equiprováveis: os quartis (4 partes), decis(10 partes), percentis(100 partes), etc.
  8. 8. C. Moda (mo) Ponto(s) de maior probabilidade, no caso discreto, ou maior densidade de probabilidade, no caso contínuoParâmetros de dispersão A. Variância ( ou, simplesmente, → no caso discreto e no caso contínuo Outra forma de escrever a definição da é: onde no caso discreto e no caso contínuo Principais propriedades da variância são: a) b) c) d) B. Desvio-padrão ( )
  9. 9. C. Coeficiente de variação ( D. Amplitude (R) Diferença entre o maior e o menor valores possíveis da variávelDesigualdade de tchebycheffPode-se demonstrar que, para qualquer distribuiçãode probabilidade com média e desvio-padrão,Exemplos 1. Dois dados são lançados. Determinar a função probabilidade e a função de repartição da variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos. Determinar a média, mediana, moda, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação, e amplitude desta distribuição.
  10. 10. 2. Calcular a média, mediana, moda e desvio padrão da variável aleatória discreta definida pela seguinte função probabilidade. 250 0,10 253 0,35 256 0,30 259 0,15 262 0,05 265 0,053.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganhoesperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certapessoa nasceu em determinado dia da semana,de quanto deve ser a contra proposta para que setorne um jogo equitativo?4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolaspretas. Três bolas são retiradas desta urna. Quala distribuição de probabilidade do número debolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00por bola branca retirada e perdemos R$1 por bolapreta retirada, até quanto vale a pena pagar paraentrar neste jogo?
  11. 11. 5.Seja a variável aleatória definida pela seguintefunção densidade de probabilidade para ; para ; para .Determinar sua função de repartição e calcular amédia, mediana, moda, variância e desvio-padrão.6.Uma variável continua tem a seguinte funçãodensidade de probabilidade para ; para ; para ; para . Determinar a constante , a função de repartição, a probabilidade de se obter um valor superior a 1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio- padrão.

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