Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra

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Testes de hipóteses para uma amostra.
- Introdução ao teste de hipótese
- Testes de hipóteses para a média (amostras grandes)
- Testes de hipóteses para a média (amostras pequenas)
- Testes de hipóteses para variância e desvio padrão

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Tópico 3 testes de hípoteses - 1 amostra

  1. 1. Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS FACULDADE DE ECONOMIA Prof. Dr. Ricardo Bruno Nascimento dos Santos”
  2. 2. TESTES DE HIPÓTESES
  3. 3. TESTES DE HIPÓTESES Todos os conceitos vistos até agora serão abordados nesse tópico da estatística. Aqui deveremos ter fixada as ideias de probabilidade, distribuições de funções de densidade probabilidade e (principalmente) do intervalo de confiança.
  4. 4. TESTES DE HIPÓTESES TESTE DE HIPÓTESE NÚMERO DE AMOSTRAS UMA TAMANHO DA AMOSTRA GRANDE PEQUENA ENTRE AMOSTRAS TAMANHO DA AMOSTRA GRANDE PEQUENA INDEPENDENTES ?
  5. 5. TESTES DE HIPÓTESES Suponhamos que duas espécies botânicas A e B, de um mesmo gênero, têm folhas muito semelhantes, mas com tamanhos diferentes. Assim, as folhas da espécie A tem largura média 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚, e as folhas da espécie B tem largura média 𝜇 𝐵 = 35𝑚𝑚. Sabe-se que, nas duas espécies, a largura das folhas apresenta distribuição aproximadamente normal com desvio padrão =10mm. Suponhamos que um pesquisador recebe uma amostra de 25 folhas para decidir, com base na largura dessas folhas, se elas pertencem à espécie A ou a B.
  6. 6. TESTES DE HIPÓTESES Vamos supor ainda que o pesquisador tende a acreditar que as folhas são da espécie A, devido ao local de origem da amostra, onde, sabe-se, a espécie A é muito mais comum. Então, todo o problema consiste em decidir, com base nos dados da amostra, se esta provém de uma população de plantas cujas folhas têm largura média =29mm ou de uma população de plantas cujas folhas tem largura média de =35mm. Em outras palavras, é necessário verificar se as larguras das folhas da amostra levam ou não a rejeitar a hipótese da nulidade 𝐻0: 𝜇 = 29𝑚𝑚 𝐻 𝑎: 𝜇 = 35𝑚𝑚
  7. 7. TESTES DE HIPÓTESES Seja 𝑋 a média das larguras das folhas da amostra. Se admitirmos que a população de folhas é infinita e se foi tomada uma amostra aleatória, então 𝑋 terá distribuição normal com média E( 𝑋)=𝜇 𝐴 , se H0 for verdadeira, ou E( 𝑋)=𝜇 𝐵, se H1 for verdadeira, e desvio padrão igual a 𝜎 𝑋 = 𝜎 𝑛 = 10 25 = 2𝑚𝑚
  8. 8. TESTES DE HIPÓTESES Com base no valor de 𝑋 obtido, pretende-se que informemos de qual espécie é a folha. A resposta para essa questão exige um TESTE DE HIPÓTESES Então, com a finalidade de introduzir a terminologia usual em estatística, vamos estabelecer a “hipótese de nulidade”, indicada por 𝐻0 (H0), que corresponde à afirmativa de que a folha é da espécie A. Como “hipótese alternativa”, indicada por 𝐻𝐴 ou 𝐻1(H1), de que a folha seja da espécie B.
  9. 9. TESTES DE HIPÓTESES Mas antes vejamos um conceito importante sobre as hipóteses, vamos definir nossa regra de decisão. Aceitaremos 𝐻0 se o número X de resultados favoráveis for igual a 29mm e rejeitaremos 𝐻0, em favor de 𝐻 𝑎, caso contrário. Então, denominamos o conjunto 𝐴 = {𝑋 = 29𝑚𝑚} de região de aceitação e o conjunto 𝑅 = {𝑋 ≠ 29𝑚𝑚} de região de rejeição. Região da Hipótese Nula 𝐻0 Região da Hipótese Alternativa 𝐻 𝑎
  10. 10. TESTES DE HIPÓTESES Para realizarmos o teste de hipóteses para o tipo de espécie é necessário, antes de calcularmos a média, estabelecer uma regra de decisão, isto é, fixar um valor crítico C tal que a) Se 𝑋 ≥ C, rejeita-se H0; b) Se 𝑋 < C, não se rejeita H0. Vamos estabelecer, inicialmente, a média aritmética das médias das duas distribuições como o valor crítico, isto é, 𝐶 = 29+35 2 = 32𝑚𝑚 conforme observado no gráfico Então, o nível de significância do teste é 𝛼 = 𝑃 𝑋 ≥ 32 𝜇 = 29 = 𝑃 𝑍 > 32−29 2 = 𝑃(𝑍 > 1,5) = 0,0668 𝑜𝑢 6,68%
  11. 11. TESTES DE HIPÓTESES A distribuição normal é simétrica. Então, lembrando que as duas possíveis distribuições de 𝑋 são aproximadamente normais com a mesma variância e lembrando que foi fixado como ponto crítico o valor médio de 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚 e 𝜇 𝐵 = 35𝑚𝑚, podemos concluir que 𝛽 = 𝛼, isto é, =0,0668 ou 6,68%. O valor de  também pode ser obtido na seguinte expressão: 𝛽 = 𝑃 𝑋 < 32 𝜇 = 35 = 𝑃 𝑍 < 32 − 35 2 = 𝑃 𝑍 = −1,5 = 𝑃 𝑍 > 1,5 = 0,0668 𝑜𝑢 6,68% Verificamos que, para a regra de decisão adotada (rejeitar H0 quando 𝑋 ≥ 32), a probabilidade de cometer o erro tipo I é igual a probabilidade de cometer o erro tipo II. Entretanto, devemos lembrar que a priori, ou seja, antes de calcular 𝑋, o pesquisador havia considerado que a hipótese H0 era, mais provavelmente, a verdadeira. Então, parece razoável rejeitar essa hipótese somente se a média 𝑋 for um valor relativamente afastado de 𝜇 𝐴 = 29𝑚𝑚 e próximo de 𝜇 𝐴 = 35𝑚𝑚 , ou seja, somente se 𝑋 tornar bastante evidente que H0 deve ser rejeitada.
  12. 12. TESTES DE HIPÓTESES Possíveis resultados de um TESTE DE HIPÓTESES
  13. 13. TESTES DE HIPÓTESES 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Espécie A Espécie B αβ
  14. 14. TESTES DE HIPÓTESES Porém será que a decisão anterior conduz a decisão correta? Com uma quantidade maior de folhas teríamos várias possibilidades e probabilidades associadas a essas amostras, diante da grandeza de possibilidades teríamos que tomar tais decisões (𝐻0 ou 𝐻 𝑎) em condições de incerteza e, portanto, estamos sujeitos a cometer erros. Com base nos resultados obtidos a partir de uma amostra, não é possível tomar decisões que estejam definitivamente corretas. Entretanto, podemos calcular a probabilidade de a decisão tomada estar ERRADA.
  15. 15. TESTES DE HIPÓTESES Então voltando ao gráfico da Espécie A, ao estabelecermos H0 e rejeitá-lo caso o valor ocorrido seja igual ou maior que 32, podemos estar cometendo erro, com probabilidade igual à probabilidade de ocorrência desses valores sob H0, essa área corresponde a área em azul do gráfico. Denominamos o erro tipo I o erro que acabamos de exemplificar, que consiste em rejeitar H0, dado que H0 é verdadeiro. Denominamos de nível de significância do teste, indicado por , como a probabilidade de cometer o erro tipo I. Então na soma anterior teríamos:  = 0,0668 ou 6,68% Devemos lembrar, no entanto, que rejeitar H0 é apenas uma de duas soluções possíveis quando se realiza um teste de hipóteses.
  16. 16. TESTES DE HIPÓTESES Já em relação ao conjunto de valores menores que 32, seria nosso resultado para aceitação de H0, porém pode ser que na verdade valores menores que 32 correspondam a resultados desfavoráveis, que pertencem na verdade a hipótese H1, ou seja, que a folha seja da espécie B, conforme área em vermelho. Denominamos de erro tipo II esse erro exemplificado, que consiste em aceitar H0, dado que H0 é falsa. A probabilidade de cometer o erro tipo II é indicada por . O valor 1 - , que é a probabilidade de rejeitar H0, dado que H0 é falsa, é denominado Poder do Teste. Para o exemplo, =0,0668 ou 6,68% e o poder do teste é 93,32% Os testes de hipóteses (em sua grande maioria) procuram verificar se um determinado valor gira em torno de uma determinada média.
  17. 17. TESTES DE HIPÓTESES Isto significa que deveremos estabelecer um valor crítico maior que 32mm, diminuindo a probabilidade de cometer o erro tipo I, isto é, diminuindo o nível de significância do teste. Vamos admitir que o pesquisador resolveu adotar o nível de significância em 5% ou 1%. Voltaremos a discutir a questão de como estabelecer o nível de significância; no momento, como foi fixado =0,05, vamos obter a abscissa do ponto crítico C, tal que 𝑃 𝑋 > C μ = 29 = 0,05 Ou 𝑃 𝑍 > 𝐶−29 2 = 0,05 Assim 𝐶−29 2 = 1,645 e C=32,29
  18. 18. TESTES DE HIPÓTESES A probabilidade de ocorrer o erro tipo II é 𝛽 = 𝑃 𝑋 < 32,29 𝜇 = 35 = 𝑃 𝑍 < 32,29 − 35 2 = 𝑃 𝑍 < −1,355 = 0,0877 A próxima figura nos mostra as distribuições de 𝑋 sob H0: =29 e sob H1:=35, bem como as áreas correspondentes a  e , para a regra de decisão estabelecida, que é rejeitar H0, quando 𝑋 ≥32,29.
  19. 19. TESTES DE HIPÓTESES A medida que aumentamos o valor de C, o valor de  diminui, mas o valor de  aumenta. A próxima tabela mostra como os valores de  e  variam em função da abscissa do ponto crítico C, no caso do exemplo numérico que estamos analisando. 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Espécie A Espécie B αβ
  20. 20. TESTES DE HIPÓTESES C α β - 1 0 29 0,5 0,0013 31 0,1587 0,0228 32 0,0668 0,0668 32,29 0,05 0,0877 33 0,0228 0,1587 35 0,0013 0,5  0 1
  21. 21. TESTES DE HIPÓTESES Vamos supor que o pesquisador calculou a média das larguras das folhas da amostra obtendo 𝑋=32,80mm. Como 32,8 > C=32,29, o pesquisador deve rejeitar, ao nível de significância de 5% a hipótese H0:=29mm em favor da hipótese H1:35mm. Vejamos agora, resumidamente, a generalização do problema proposto e do procedimento adotado. Seja X uma v.a. com distribuição normal e média  e variância 𝜎2. Para testar a hipótese de que a média  da distribuição tem um valor específico 𝜇0, isto é, 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0, contra a hipótese alternativa de que tem outro valor específico 𝜇1, ou seja, 𝐻1: 𝜇 = 𝜇1, com 𝜇1 > 𝜇0 adotamos o procedimento que passamos a descrever. 1º - Estabelecemos um nível de significância do teste, que, em problemas práticos, geralmente é 5%. 2º - Obtemos um amostra de n observações da variável X e calculamos a sua média 𝑋
  22. 22. TESTES DE HIPÓTESES 3º - Calculamos valor crítico de C pela seguinte expressão: 𝑃(X ̅≥C│μ=𝜇0)= 𝛼 Ou 𝑃 𝑍 > 𝐶 − 𝜇0 𝜎 𝑋 = 𝛼 Se 𝑍0 é o valor da variável normal reduzida, obtido pela tabela z, tal que 𝑃 𝑍 > 𝑍0 = 𝛼, podemos escrever: 𝐶 − 𝜇0 𝜎 𝑋 = 𝑍0 Ou 𝐶 = 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋 (fórmula do intervalo de confiança)
  23. 23. TESTES DE HIPÓTESES 4º - Comparamos a média da amostra ( 𝑋) com o valor C obtido e rejeitamos H0, ao nível de significância , se 𝑋 ≥ 𝐶. Considerando que 𝐶 = 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋 logo verifica-se que 𝑋 > 𝜇0 + 𝑍0 𝜎 𝑋 ou 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑋 ≥ 𝑍0 Dessa forma, o procedimento usual para testar H0 contra H1 consiste em, depois de obtido o valor de 𝑋, calcular 𝑍 = 𝑋 − 𝜇0 𝜎 𝑋 Para o exemplo anterior esse valor seria de 𝑍 = 32,8−29 2 = 1,9
  24. 24. TESTES DE HIPÓTESES O valor crítico de Z, para o nível de significância de 5%, é 𝑍0 = 1,645 , uma vez que P(Z>1,645)=0,05. Como Z=1,9 > 𝑍0 =1,645, rejeitamos H0:=29mm, em favor de H1: =35mm. Se tivermos 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 e 𝐻1: 𝜇 = 𝜇1, com 𝜇1 < 𝜇0 ( em vez de 𝜇1 > 𝜇0), a região de rejeição é 𝑋 ≤ 𝐶. O procedimento usual é calcular Z por meio de 𝑍 = 𝑋−𝜇0 𝜎 𝑋 e rejeitar H0 se Z≤ −𝑍0 . Sendo  o nível de significância adotado, 𝑍0 é o valor da variável normal reduzida, tal que 𝑃 𝑍 < −𝑍0 = 𝑃 𝑍 > 𝑍0 = 𝛼
  25. 25. TESTES DE HIPÓTESES Lembrando que
  26. 26. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Grandes e  conhecido) Usando o valor da probabilidade para grandes amostras. Praticamente quando trata-se de grandes amostras, temos que avaliar a hipótese sobre o valor da probabilidade encontrada, caso a mesma seja maior que o valor estabelecido em α, não rejeitamos a hipótese nula (aceita-se 𝐻0), caso o valor de P seja menor, rejeitamos a hipótese nula (ou seja, falhamos em rejeitar 𝐻0). A grande questão é: como encontrar o valor de P? Na verdade isso já foi verificado já que P obtém-se a partir de z (normal padronizada). Isso significa que o valor de z será encontrado usando-se as médias amostrais e média hipotéticas. 𝑧 = 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 − 𝑀é𝑑𝑖𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑃𝑎𝑑𝑟ã𝑜
  27. 27. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Grandes e  conhecido) 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 𝑛 E quando a amostra é maior que 30 podemos usar o próprio erro padrão do conjunto de dados da respectiva amostra. Exemplo: De acordo com um estudo o custo médio de uma cirurgia bariátrica é de R$ 21.500. Você desconfia desse valor. Dessa forma você escolhe 25 pacientes que realizaram a cirurgia e pergunta quanto em média eles gastaram, na média eles lhe informaram que o custo fora de R$ 20.695. Estudos anteriores indicaram que o erro padrão amostral é de R$ 2.250. Considerando que a amostra colhida é normalmente distribuída, poderíamos afirmar que a 5% de probabilidade de cometer o erro tipo I, á pesquisa está errada?
  28. 28. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Grandes e  conhecido) Solução: 𝑧 = 𝑥 − 𝜇 𝜎 𝑛 𝑧 = 20.695 − 21.500 2.250 25 𝑧 ≅ −1,79 Nos interessa apenas a área de 0 a z Como temos uma distribuição Bi-Caudal temos que multiplicar o valor encontrado por 2, Dessa forma temos 𝑷 = 𝟐 𝟎, 𝟎𝟑𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟑𝟒
  29. 29. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Grandes e  conhecido) Como 𝑃 > 𝛼, não rejeitamos a hipótese nula. Logo podemos concluir que não existem evidências (a um nível de significância de 5%) e o custo médio da cirurgia bariátrica seja de R$ 21.500. Nesse caso sempre lembre que:
  30. 30. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Grandes e  conhecido) Empregados da Vale reclamam que a média salarial de um engenheiro é inferior que das demais empresas do ramo no mundo, atualmente seus salários anuais são de $ 68.000. Uma amostra aleatória de 20 empresas do ramo indicou que a média salarial das mesmas é de $ 66.900. Assumindo que o desvio padrão da população seja de $ 5.500 e que a população é normalmente distribuída, a α=5% teste se os empregados estão corretos.
  31. 31. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Pequenas e  desconhecido) Nesse caso como temos n < 30, devemos utilizar a tabela t. Nesse caso a mesma só será passível de uso caso a amostra tenham o comportamento de uma normal padrão. Aqui não avaliaremos a probabilidade, mas sim o próprio valor calculado, dessa forma faremos a comparação entre o valor calculado de t e o valor tabelado do mesmo. Vamos ao exemplo: Uma concessionária informou que o preço de um sedã de dois anos (em boas condições) custa R$ 20.500. Você suspeita que tal valor esteja incorreto e, fazendo uma pesquisa em 14 jornais diferentes para o mesmo sedã o preço médio encontrado foi de R$ 19.850. O desvio padrão desse amostra era de R$ 1.084. Existe evidência para rejeitarmos o valor fornecido pela concessionária a 5% de probabilidade de cometermos o erro tipo I? (Então o verdadeiro preço é menor que R$ 20.500?)
  32. 32. Solução: 𝐻0: 𝜇 ≥ 𝑅$20.500 𝐻 𝑎: 𝜇 < 𝑅$20.500 𝑡 = 𝑥 − 𝜇 𝑠 𝑛 𝑡 = 19.850 − 20.500 1.084 14 𝑡 ≅ −2,224 Como temo o valor Calculado maior que o valor tabelado então rejeitamos a hipótese nula. Concluímos portanto que o preço do sedã é inferior a R$ 20.500 a 5% de probabilidade de cometer o erro tipo I. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Pequenas e  desconhecido)
  33. 33. TESTES DE HIPÓTESES para a Média (Amostras Pequenas e  desconhecido) O setor de caixas do Lider reclamou que a média de descanso é menor que 14 minutos. Uma amostra de 10 pessoas tem como média de descanso de 13 minutos com desvio padrão de 3,5 minutos. A α=10%, teste a reclamação dos caixas. Assuma que a população é normalmente distribuída.
  34. 34. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções TESTES DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES Uma situação citada por Larson et al é que os testes de hipóteses para proporções podem ser usados quando os políticos querem saber a proporção de seus eleitores que são a favor de um determinado projeto de lei ou quando os engenheiros de qualidade testa a proporção de peças que estão com defeito. Nesse caso se 𝑛𝑝 ≥ 5 e 𝑛𝑞 ≥ 5 para uma distribuição binomial, então uma distribuição amostral para 𝑝 é normal com 𝜇 𝑝 = 𝑝 e 𝜎 𝑝 = 𝑝𝑞 𝑛. O teste z para uma proporção será dado por: 𝑧 = 𝑝 − 𝜇 𝑝 𝜎 𝑝 = 𝑝 − 𝑝 𝑝𝑞 𝑛
  35. 35. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções A pesquisadora afirma que menos de 40% dos proprietários de telefone celular no Brasil usam seu telefone para a navegar na internet. Em uma amostra aleatória de 100 adultos, 31% dizem que usam seu telefone para acessar internet. Com α=1%, há evidências suficientes para apoiar a afirmação da pesquisadora? Como o produto de 𝑛𝑝 = 100 0,4 = 40 e 100 0,6 = 60 é maior que 5 então podemos continuar com o teste de hipóteses. Então nossa hipótese de teste será:
  36. 36. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções Pelo exemplo anterior no nível de significância de 1%, não existe evidências que deem suporte a pesquisadora em afirmar que menos de 40% dos brasileiros usam celular para navegar na internet.
  37. 37. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções A pesquisadora afirma que 86% dos graduados universitários dizem que seu diploma universitário foi um bom investimento. Em uma amostra aleatória de 1.000 graduados, 845 dizem que o seu diploma universitário foi um bom investimento. Com 𝛼 =10%, há evidências suficientes para rejeitar a afirmação da pesquisa?
  38. 38. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções
  39. 39. TESTES DE HIPÓTESES para Proporções Concluímos que não existe evidência a 10% de significância para rejeitar a hipótese que 86% dos graduados afirmarem que a obtenção do diploma tenha sido um bom investimento.
  40. 40. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈 No mundo real, é importante para a produção de resultados consistentes e previsíveis. Por exemplo, considere uma empresa que fabrica bolas de golfe. O fabricante tem de produzir milhões de bolas de golfe, tendo cada um o mesmo tamanho e o mesmo peso. Há uma tolerância muito baixa a variação. Para uma população distribuída normalmente, você pode testar a variância e desvio padrão do processo usando a distribuição qui-quadrado com 𝑛 − 1 graus de liberdade. Antes de aprender a fazer o teste, você deve saber como encontrar os valores críticos, como mostrado até o momento.
  41. 41. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈
  42. 42. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈 Para testar uma variância 𝜎2 ou desvio padrão 𝜎 de uma população que é normalmente distribuída, podemos usar o teste do qui-quadrado (𝜒2 ). O teste do qui-quadrado para a variância ou desvio-padrão não é tão robusto como os testes para a média da população 𝜇 ou a proporção populacional 𝑝. Assim, é essencial na realização de um teste qui- quadrado para a variância ou desvio padrão que a população seja normalmente distribuída. Os resultados podem ser equivocados quando a população não é normal. 𝜒2 = 𝑛 − 1 𝑠2 𝜎2
  43. 43. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈
  44. 44. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈 Uma companhia de processamento de produtos lácteos afirma que a variação da quantidade de gordura em todo o leite processado pela empresa é não mais do que 0,25. Você suspeita que isso esteja errado e encontra em uma amostra aleatória de 41 caixas de leite uma variação de 0,27. Com α=5%, há evidências suficientes para rejeitar a alegação da empresa? Suponha que a população é normalmente distribuída.
  45. 45. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈 Logo, não há provas suficientes ao nível de 5% de significância para rejeitar a alegação da empresa de que a variância da quantidade de gordura em todo o leite não seja maior do que 0,25.
  46. 46. TESTES DE HIPÓTESES para 𝝈 𝟐 e 𝝈 Usando o R Um geólogo afirmou que a resistência média à compressão de um itabirito silicioso (tipo de rocha) explorado na região da Zona da Mata mineira é de 285 Mpa. Desconfiado dessa afirmação, um estudante resolveu fazer um teste de resistência utilizando amostras provenientes da mesma região e encontrou os seguintes valores (em Mpa): 254.29, 165, 189.02, 277.46, 235.56, 198.32 Se o estudante realizou um teste bilateral, para um nível de significância de 1%, a qual conclusão ele chegou?
  47. 47. PRÓXIMA AULA TESTE DE HIPÓTESES COM DUAS AMOSTRAS

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